Solucionario Raz Matematico

8/12/2019 Solucionario Raz Matematico

1/42

SOLUCIONARIO

RAZONAMIENTO

MATEMTICO

DE WALTER ARRIAGA DELGADO

2014


2/42

SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO MATEMTICO

NESTOR ABEL SNCHEZ GOYCOCHEA Pgina 1

CAP. 01: SUCESIONES Y SERIES 0.1.

SUCESIONES

Solucin

+2 +2 +2 +2

5 3 6 5 7 7 8 9 9 11

+1 +1 +1 +1

Solucin

1 5 6 2 1 0 1 2 3 1 5 1 8

23 15 46 210 69 315

2 3 5 4 6 1 0 6 9 1 5 2 0


3/42



Solucin

15

12

913

45

2529

15

48

913

1620

2529

De los numeradores tenemos:

1 2 3 4 5 20 400 De los denominadores se obtiene:

5 8 13 20 29

3 5 7 9

2 2 2Entonces:

5 3 1 2 1 2 2! 5 32 0 1 22 0 12022! 404

Por lo tanto el trmino vigsimo es:

400404


4/42


5/42



Solucin

5 17 43 89 161

+12 +26 +46 +72

+14 +20 +26

+6 +6

5 1 2 1 14 1 22! 6 1 2 3 3! 5 1 21 0 1 141 0 11022!

61 0 11 0 21033!

1121

Solucin

4 4 4 8 24 120 960

1 1 2 3 5 8Nmeros de Fibonacci


6/42



Solucin

2 3 7 5 6 15 8 24

5 12 21 32 A+B=45

+7 +9 +11 +13

+2 +2 +2

Solucin

13 22 31 40 904

+9 +9 +9

1 3 9 1 9 4Para que un trmino de la sucesin 9 4 "termine en cifra 5, se debecumplir que 9,19,29,

Si 9 99 4 8 5 Si 1 9 919 4 1 7 5 Si

2 9 929 4 2 6 5

Formamos una nueva sucesin con los trminos (de la sucesin original) queterminan en cifra 5.

85 175 265 .

+90 +90

8 5 9 0 1


7/42



Dado que el ltimo trmino de la sucesin original es 904, entonces

9 0 4

85 90 1 90490 1 819 1 9 . 1

1 0 . 1 1 0

Solucin

Sean , y los trminos de la progresin aritmtica.Por datos del problema tenemos:

1) 333 33 11

2) 12321 1 111 1 1232

1 1 1 1 1121 2 1 1129 3


8/42



Solucin

+r +r +r

Teniendo en cuenta el diagrama, calculamos

2 2

( 2 2 )

2 2

2

22 4

Solucin

Sean , y los trminos de la progresin geomtrica.


9/42



Por datos del problema

2 4 2 4 24 5 4 5 4 54

De estos datos tenemos: 5424

94 32

Luego:

2432 24 16 4Hallamos el trmino central:

32 4 6

Solucin

8 18 38 68 1908

+10 +20 +30 trmino n-simo

+10 +10

Hallamos la frmula de trmino n-simo

8 1 0 1 10 1 2 2!


10/42



1 9 0 8 8 1 0 1 0 5 3 25 5 1 9 0 0 0

3 8 0 0 2 0 1 9 0

2 0

Solucin

1 2 4 10 34 154 874

+1 +2 +6 +24 +120 +720

x2 x3 x4 x5 x6

Solucin

E,F,G,H J,K,L N.

D F H J


11/42



Solucin

4 7 12 19 28 1684

+3 +5 +7 +9 trmino n-simo

+2 +2 +2

Hallamos la frmula de trmino n-simo

4 3 1 2 1 2 2! 1 6 8 4 4 3 3 3 2

1 6 8 1 0 4 1 4 1 0 4 1


12/42



Solucin

Analicemos

3 3113

92

275

31

62

113

184

275

De los numeradores se obtiene:

3 6 11 18 27

3 5 7 9

2 2 2Entonces:

3 3 1 2 1 2 2! 2

De los denominadores tenemos:

1 2 3 4 5 Por lo tanto el trmino n-simo de es:

2 Analicemos

1.5 43 1.2565

32 43 54 65


13/42



De los numeradores tenemos:

3 4 5 6 2 De los denominadores tenemos:

2 3 4 5 1Por lo tanto el trmino n-simo de es:

2 1Finalmente, hallamos la diferencias de los trminos n-simo de y

2

2 1

2 1 2 1

2 2 2

2

SERIES

Solucin

1 2 3

63 61 59 1

-2 -2


14/42



Hallamos el nmero de das

1 6 3 1262 12

3 1 13 2

Hallamos el total de gotas (G) 6 3 6 1 5 9 1

2 1

=

3 2

1 0 2 4

Solucin

2 3 4 3 6 3 8 3 1 6 3

+20 +20 +20

Hallamos la forma del trmino n-simo de y el nmero de trminos de trmino n-simo 2 3 2 0 1 2 0 3 nmero de trminos

1 6 3 2 0 316020

8 Por lo tanto:

2 0 3

=


15/42



2 0

= 3

=

2 0 89

2 38 744

Por lo tanto la suma de las cifras de P es:

7 4 4 15

Solucin

Hallamos

1 3 5 1 9 2 1

= 10 100

Hallamos 1 4 9 1 0 0 1 2 3 1 0

= 101121

6 385

Hallamos 0 . 1 0 . 2 0 . 3 8 110

210

310

8010

10

= 110

= 110

80812 3 2 4

Por lo tanto: 1 0 0 3 8 5 3 2 4 809


16/42



Solucin

2 3 2

= 2

= 3

= 2

=

2 1011

2

3 1011

21

6 2 10

11

2 5005

Solucin

2++++ 22(2 )++++ 22

2[++++] 212 1 2 3 105

12 210

4 2 0 0 2 0 2 1 0

2 0


17/42



Solucin

Fi la

Fi la

Fi la

Fi la

Fi la

1 01

2 4 02

3 6 9 03

4 8 12 16 04

30 60 90 900 30

La fila 30 se puede reescribir de la siguiente manera:

F

30 30 1 2 30

30 3130

0

2

1395

Solucin2 6 12 20 930

+4 +6 +8

+2 +2


18/42



Hallamos la forma del trmino n-simo:

n

n nt n

!

n n nn n

2

2

2 1 22 4 1

2

2 4 4 3 2

Hallamos el nmero de trminos

n n

n n

n n n

2

2

930

0 930

0 31 30 30

Por lo tanto:

nn n

n n

P t n n

n n

30 30

2

1 1

30 30

2

1 1

30 31 61 30 31

6 2

9920

Solucin

n n

n n

S x x x

S n n n n

S n n

S

S

20 20

2

1 1

20 20

2

1 1

1 1 4 2 2 4 20 20 4

4 4

4

20 21 41 20 214

2

0

6

371


19/42



Solucin

n

n

n

n

x x x x x x x x m

n

x x x x x x x x m

n

x x x x x x x x m

n

n n n m

n

n n n m

n n

20

1

20

1

1

1 1 1 1

2 4 6 4 6 8 6 8 10 40 42 44

1 1 1 1

8 1 2 3 8 2 3 4 8 3 4 5 8 20 21 22

1 1 1 1 1

8 1 2 3 2 3 4 3 4 5 20 21 22

1 1

8 1 2

1 1 1 1

8 2 1 2 2

1 1 1

8 2 2 1 n

n n

n

n n m

nn n n n m

n

m

20 20

1

20 20

1 1

1 1

2 1 2 2

1 1 1 1 1

16 1 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

16 2 2 3 3 4 20 21 2 3 3 4 4 5 21 22

1 1 1 11

16 21 2 22

n

m

nn ; m

m

115

115 36963696

Por lo tanto:n m 115 3696 3811

Solucin


20/42



Multiplicamos pora

S 11

1 1 1 2 3 10

2 2 4 8 16 2

Luego:

S S

S

S

S

S

S

10 11

10 11

9 10

10 1 2 3 9

9

10

10

1 1 2 3 4 10 1 1 2 3 101

2 2 4 8 16 2 2 4 8 16 2

1 1 1 1 1 101

2 4 8 16 2 2

1 1 1 1 102

2 4 8 2 2

10 1 1 1 12

2 2 2 2 2

11

2038 1 2

12 21

2

2038

2

S

S

9

10

11

22038 1024

3060

2

2

1024

Solucin

a ; a ; a ; a ; ; a 1 1 1 1 1

1 2 3 100

101 nmeros consecutivosPor dato del problema:

a a

k

1 1

100

17


21/42


22/42



Luego:

x

i

x

i

x

x

x

x x

2

1

2

2

1 3 5 7 2 3 7 14 21 49

2 1 7 1 2 3 7

7 82 7

2

2 196

2 14

12 16

Dado que ""debe ser positivo, elegimos 1 2. Entonces: x 2 23 12 3 225

Solucin

Multiplicamos por 10 a

S 2 3

2 3 410 1

10 10 10

Luego:

S

S

S S

S

S

2 3 2 3 4

2 3

2 3 4 1 2 3 4

10 1 10 10 10 10 10 10 10

1 1 19 1

10 10 10

19

11

10

109

9

10

81


23/42



Solucin

S

S

S .

9 9 9 9

20 40 80 160

9

920

1 101

2

0 9

Solucin

x x x x

x x x

x x x

x x

x x

1 1 1

1 1

2 3 2 3

2 3 2 3

6 6 6

1 1

3 2

1 1 1 1 1 13 3 3 2 2 2

1 1

3 2

1 11 1

3 2

1

2

1

1

12


24/42


25/42



fig f ig f ig f ig

t50

1 2 3 50

9 21 33

+12 +12

: Representa la suma de los tres nmeros de la figura 50

nt n

t

t

50

50

9 12 1

9 12 50 1

597

Solucin

1 0 0 2 9 24

+1 +0 +2 +7 +15

-1 +2 +5 +8

+3 +3 +3

Por lo tanto el producto de las cifras de 24 es:

2 4 8

Solucin

Por datos del problema:


26/42



a a r a r

a a r a r

5 1 1

9 1 1

5 1 17 4 17 1

9 1 33 8 33 2

Resolvemos el sistema de ecuaciones (1) y (2):

a r

a r

r

r

1

1

4 17

8 33

4 16

4

Reemplazando en (1) a a 1 14 4 17 1

Hallamos el dcimo trmino

a a r

aa

10 1

10

10

10 1

1 4 9

37

Solucin

a r

a r a

Por datos del problema, tenemos:

Suma de sus dimensiones.

S a r a a r

a

a

30 30

3 30

10

Volumen del paraleleppedo


27/42



V a r a a r

r r

r

rr

2

2

640 640

10 10 10 640

100 64

36

6

Hallamos la arista mayor a r

a r 10 6 16

Solucin

Hallamos el trmino n-simo de la sucesin

16 19 22 616

+3 +3

nt n n 16 3 1 3 13

Sumamos dos unidades a los trminos de la sucesin

n n

n

a t n

a n

2 3 13 2

3 5

Por dato del problema, la raz cuadrada de n" a " debe ser exacta, es decir:

na k ; k *

n k

n k

kn * *

2

2

3 5

3 5

53

Es fcil ver que el ltimo trmino de n" a " es 618, y teniendo en cuenta (*),

tenemos lo siguiente:


28/42



na

k .

618

24 8596 1

Observemos por (**) que para que n sea entero, k debe ser mltiplo de 3 ydiferente de 0 y 3, es decir:

k ; k y k

0 3 23

De (1) y (2) tenemos:k , , , , , , 6 9 12 15 18 21 24

Por lo tanto los trminos que resultan tener raz cuadrada exacta son:

tr min s

n

o

a k , , , , , , 2 2 2 2 2 2 2 2

7

6 9 12 15 18 21 24

Solucin

8 1 1 7 31 78 156

-7 -2 +8 +24 +47 +78

+5 +10 +16 +23 +31

+5 +6 +7 +8

Solucin

E;F H;I;J L;M;N; P;Q;R;S;T

B D E G I K N O S U

C;D F;G;H J;K;L;M ;O;P;Q;R


29/42



Solucin

Elevamos al cuadrado cada uno de los trminos

a7

7 14 28 562

x2 x2 x2 x2 x2

a 56 2 112

Por lo tanto, la suma de las cifras de es: 1 1 2 4

Solucin

3 10 29 66 1730

+7 +19 +37

+12 +18

+6Hallamos el trmino n-simo

n

n

n

n n n n n t n

! !

t n n n n n n

t n

2 3 2

3

12 1 2 6 1 2 33 7 1

2 3

3 7 7 6 3 2 6 11 6

2


30/42



Veamos, que posicin ocupa el ltimo trmino

n

n

n

3

3

1730 2

1728

12

Por lo tanto, el penltimo trmino ocupa la posicin 11t 3

11 11 2 1333

Solucin

4 3 18 39 18 6

5 4 22 42 17 5

m

n

4 6 9 13 18 245 8 11 14 17 20

mn

Analicemos los numeradores4 6 9 13 18 24 31

+2 +3 +4 +5 +6 +7

+1 +1 +1 +1 +1

Analicemos los denominadores5 8 11 14 17 20 23

+3 +3 +3 +3 +3 +3

Luego

31

23

m

n


31/42


32/42



Solucin

3 6 11 18 27

+3 +5 +7 +9

+2 +2 +2

2

2

2 1 23 3 1

2

3 3 3 3 2

2

n

n

n

n nt n

t n n n

t n

Para encontrar los nt que terminen en cifra 7, se debe cumplir que2n termine en

5, esto implica que ntermine en 5. Es decir: 5 15 25n , n , n , Por lo tanto,

el tercer trmino que termine en cifra 7, se da cuando 25n .

225

25 25 2 627Si n t

Solucin

15 13 11 9

+2 +2 +2

15 2 1

15 2 2

2 17

n

n

n

t n

t nt n

Veamos qu posicin ocupa el nmero 89

89 2 17 10 2

3

6

5

n

n

n

SERIES


33/42



Solucin

5 6 7 8 9 10 11 12 20

6 7 8 9 10 11 12 20

7 8 9 10 11 12 20

8 9 10 11 12 20

9 10 11 12 20

20

Podemos reescribir la suma anterior de la siguiente manera:

16

1

16

2

1

16 16

2

1 1

5 1 6 2 7 3 8 4 9 5 20 16 4

4

4

16 17 33

2040

16 174

6 2

1496 544

i

i

i i

i i

i i

i i


34/42



SolucinSea

: Nmero de artculos que vende Alessandra.

7: Precio por cada artculo que le pagaran a Alessandra.Por lo tanto:

20

1

20

2

1

20 20

2

1 1

7

7

7

20 21 41 20 217

6 2

2870 1480

4350

n

n

n n

Pago total n n

n n

n n

Solucin


35/42



3 4 4 4 4

4 2 6 6 10 10 14 78 82

3 1 1 1 1 1 1 1 1

4 2 6 6 10 10 14 78 82

3 1 1

4 2 8

5

4

2

1

1

Sx x x x

S

S

S

Solucin

Considere la siguiente progresin aritmtica

1 1 1

1 2n

n tr mi n osa a a a

1 1 1na a n


El trmino del lugares 4.

1

3

1

1

13

4 13

15

3

n

na a

na

na *

La suma de los trminos es 33.


36/42



1

1 1

1

1

2

133

2

2 133

2

66 2 1

na aS n

a a nn

a nn

a n n * *

Reemplazamos (*) en (**)

2

1566 2 1

3

30 2 3 166

3

198 27

0 27 198

0 6 33

6 33

nn n

n nn

n n

n n

n n

n n

Dado que ""representa el nmero de trminos, elegimos el valor positivo, porlo tanto:

6n

Solucin

2 3 32 32n sumandos

n n n k n

Por formula del trmino n-simo de una sucesin aritmtica, se tiene:

2

2

1k n n n

k n n n

k n


37/42



2

2

2 3 32 1

2 3 32 1

1 2 3 32 1

132 1

2

64

8

n n n k n

n n n n n

n n n

n nn

n

n

n

Solucin

2 2

1 13

12 12

2 2

1 1

12

2 2 2

1 1 1

12 12

2 2

1 1

12

2 2 2

1 1 1

12

2 2

1

12

2

1

12

2

1

7 2

7 2

7 2

5

n n

x k

y y

n n

x k k

y y

n n

x k k

y

k

y

x k

W

y y

x k k

W

y y

x k k

W x k

y y

k

W

y

12

2

1

12

2

1

1

5

5

k

y

y k

W

k

W

y


38/42



Solucin

1 1

2 1 2 1 2 1 2 1

1 3 3 5 2 1 2 1

1 2

2 1 1

1

n n

k k

k k k k

n

n

n

n

Solucin


39/42



58

1

30 30

1 1

58

1

30

1

58 58

1 1

30

1

2 1

5 26 5 32

2 1

5 26 5 32

2 1

58

58 592 58

2

30 58

58 59 1

30 5

29

15

8

k

k k

k

k

k k

k

k

D

k k

k

k k

k

Solucin

14400 19600 22200 23500 24150

viernelunes martes mircoles j sueves

+5200 +2600 +1300 +650

2 2 2

Dado que Alessandra quiere recaudar S/. 190000 en una semana, entonces.


40/42



8

19900

14400 19600 22200 23500 24150 1900

61 0

0

5

lunes martes mircoles jueves viernes sbado y domin go

x

x

Solucin

Consideremos1

a como el pago del primer cliente.2 3 12

1 1 1 1 12 2 2 2a a a a a

Dado que es una progresin geomtrica, entonces:

1

13

1

1

1

1

1

2 124573

2 1

24573 8191

3

na rS

r

a

a

a

Hallamos el pago del dcimo cliente.

1

1

1 1

1

10

0

33

6

2

144

n

nt a r

t

t

Solucin

Sea la razn de la siguiente progresin geomtrica


41/42



3 2 3 59

23 3 1 59 23 1

20 36

1 1

n tr min os m tr min os

r n r m

r rn m

De estas igualdades se tiene:

20 36

1 1

5 1 9 1

5 5 9 9

5 9 4

n m

m n

m n

m n *


2 2 2

2 2

m n

m n * *

De (*) y (**) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

5 9 4 10

2 2 6

m n m

m n n

Hallamos el valor de

20 20

1 6 1

4

r rn

r

De los datos obtenidos, se tiene:

115

3 7 11 59

n m tr minostr mi n os

3 4 1

3 4 4

4 1

p

p

p

t p

t p

t p

Hallamos la suma de los trminos de la sucesin


42/42


15

1

15 15

1 1

3 7 11 59

4 1

4 1

15 16

5

4 12

46

5

p

p p

S

S

S p

S p

S

Solucionario Raz Matematico

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