2-RM 4to (1 raz matematico- 16)

CORPORACIÓN EDUCATIVA

Forma

ndo líd

eres, c

on una

autén

tica ed

ucació

n integ

ral Primero de Secundaria

School´s

MatemáticoRazonamiento

Cuarto

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los

mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación

personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 se da tambien con el trabajo de

los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr

alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:

“Formar líderes con una auténtica

educación integral”

DidácticoPresentaciónPresentación Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de

uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando

una enseñanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad

asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas:

desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral

y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios

y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,

impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da

también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que

permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que

es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

“Formar líderes con una auténtica

educación integral”

Capítulo 1. Situaciones Lógicas y Recreativas ................................... . 9

Capítulo 2. Operaciones Matemáticas ................................................. . 18

Capítulo 3. Distribuciones y Analogías ................................................ 25

Capítulo 4. Criptoaritmetica ................................................................... 32

Capítulo 5. Métodos Operativos ............................................................. 39

Capítulo 6. Planteo de Ecuaciones ........................................................ 47

Capítulo 7. Edades ................................................................................. ... 54

Capítulo 8. Relojes ................................................................................... 62

Capítulo 9. Fracciones ........................................................................... .. 71

Capítulo 10. Reducción a la Unidad ........................................................ 79

Capítulo 11. Tanto por Ciento ................................................................. 86

Capítulo 12. Series Numéricas .................................................................. 93

Capítulo 13. Conteo de Figuras ............................................................... 101

Capítulo 14. Análisis Combinatorio I .................................................... . 109

Capítulo 15. Análisis Combinatorio II ................................................... 117

Capítulo 16. Probabilidades ..................................................................... 126

Capítulo

9

Raz. Matemático - 4to Sec.

Formando líderes con una auténtica educación integral

1Situaciones Lógicas y Recreativas

Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:

* Utilizar sus habilidades creativas con sentido lógico al afrontar la resolución de nuevas situaciones problemáticas.

* Descubrir lo ameno que es jugar con las matemáticas.

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”.

Hipatía

Los ejercicios tratados en este capítulo muestran situaciones, a veces familiares; pero relacionados con el pensamiento creativo, y a medida que los vayas resolviendo, amigo lector, mejorará notoriamente tu capacidad de razonamiento.

Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar conclusiones con solamente un criterio lógico, sin hacer uso de conocimentos profundos de la matemática y la lógica.

Se verán problemas sobre relación de tiempos, ejercicios con cerillos, problemas sobre parentescos, problemas sobre traslados, problemas sobre calendarios, problemas sobre certezas y problemas sobre orden de información.

Siendo jueves el mañana de hoy, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana?

a) miércoles b) martes c) sábadod) jueves e) lunes

Resolución:♦ Jueves < > + 1 + 0 Jueves < > + 1 (Dato)♦ Piden: -2 +1 + 2 = +1 < > jueves

∴ Rpta.: d

Ejemplo 2:

Siendo el mañana de pasado mañana martes, ¿qué día será el anteayer del ayer de mañana?

a) sábado b) lunes c) domingod) miércoles e) jueves

Resolución:

♦ Dato : +1 + 2 = +3 < > martes Piden : -2 -1 + 1 = -2

-2 -1 0 +1 +2 +3

J V S D L M

(Piden) (Dato)

∴ Rpta.: e

Nociones Previas I. Problemas sobre relacIóN de tIemPosEjemplo 1:

OBJETIVOS:

10 Formando líderes con una auténtica educación integral


reto

Un reo tiene ante sí dos puertas: una lo conduce a la libertad y la otra a la silla eléctrica. Puede hacer una sola pregunta a uno de los guardias de las puertas. Uno de ellos siempre miente y el otro dice la verdad. ¿Qué debe preguntar para salvarse?, ¿qué puerta diría tu compañero que debo abrir para salir?

Si el anteayer de dentro de 5 días es domingo, ¿qué día será el pasado mañana de ayer de hace 3 días del pasado mañana de mañana?

a) lunes d) sábadob) martes e) viernesc) jueves

Dato: -2 + 5 <> domingo +3 <> domingo ... (I)

Piden: +2 - 1 - 3 + 2 + 1 = 1 ...(II)ahora de (I) y (II):

Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿qué día fue el ayer del ayer de anteayer?

a) lunes d) sábadob) martes e) viernesc) jueves

Ejemplo 3:

Resolución:

viernes sábado domingo

+1 +2 +3

Incógnita

Dato

∴ Rpta.: e

Ejemplo 4:

Dato:

Anteayer del mañana de

pasado mañana <> martes

+1-2

+2

⇒ -2 + 1 + 2 <> martes +1 <> martes

Resolución:

Piden: Ayer del ayer de anteayer

-1 -1 -2

= -1 - 1 - 2 = - 4

Camila ve en la vereda a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila?

a) padre b) tío c) tío abuelo d) abuelo e) suegro

Hagamos un gráfico:

∴ Del gráf ico se deduce que el hermano de ese h o m b r e e s e l abuelo de Camila.

∴ Rpta.: d

abuelo

jueves- 4

viernes- 3

sábado- 2

domingo- 4

lunes0

martes+1

retroceder Dato

Incógnita ∴ Rpta.: c

II. Problemas sobre PareNtesco

Ejemplo 1:

Resolución:

Debido a un error al escribirse una expresión, se cambió de lugar una cifra y se obtuvo lo siguiente: 82 + 36 = 100.¿Cuál debió ser la expresión correcta?

a) 100 b) 120 c) 150 d) 170 e) 190

Resolución:

∴ Rpta.: a

82 + 36 = 100

Ubica los números del 1 al 8, uno en cada círculo, de tal manera que la suma de los lados sea 13.

Resolución:

4 8 1

7

526

3

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Dado el siguiente conjunto de poleas, si «A» gira en el sentido horario, «B» y «C» ¿en qué sentido giran?

Resolución:

AC

B

a)Giros contrarios

b)Giros contrarios

c)Giros iguales

d)Giros iguales

Entonces:

AC B

H A H H A HA

A (Antihorario)

H (Horario)

B (Antihorario)

C (Horario)

Ejemplo 3:

Dado el siguiente arreglo de palitos de fósforo.

¿Cuántos debo sacar para que queden dos palitos?

¿Cuántos palitos como mínimo debo mover para que el perrito vea a la derecha y continúe feliz?

Resolución:

Resolución:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

11





6) Se quiere medir exactamente 7 litros de kerosene pero solo se dispone de medidas de 3 y 5 litros. ¿Cuántos trasvases como mínimo se debe hacer?

1) Utilizando cuatro veces el número "4" forma todos los números del 0 al 10, inclusive. Usa (+ , - , x , ÷)

0: 44 - 44

1:

2:

3:

4:

5:

6:

7:

8: 4 + 4 + 4 - 4

9:

10:

44

44+

4+4+44

2) Divide la siguiente figura en seis partes con sólo dos líneas rectas.

20

12

3 7

2 4

3) En la siguiente expresión, mueve una cifra para que se verifique la igualdad:

23 + 2 = 10

4) Coloca los números del 1 al 6 (sin repetir) en los círculos correspondientes, para que la suma de los lados sea 10.

5) Completa los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior, sin repetirse.

Resolviendo en claseResolviendo en clase

13



18 =

= 18

=18

1) Con tres cifras "3" y utilizando las operaciones fundamentales (+, -, x, ÷) obtén los números:

a) 9 =

b) 11 =

c) 12 =

2) Divide la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño.

3) En cada caso, mueve una cifra para que se verifique la igualdad.

a) 101 - 102 = 1 b) 432 - 27 = 360

9

5

3

6) Se tiene dos baldes de 7 y 4 litros de capacidad, respectivamente. Explica cómo se debe hacer para medir 1 litro de agua exactamente.

5) Coloca los números 3; 4; 5; 6; 7 y 8 (sin repetir), de tal manera que la suma de cada lado sea 18.

4) Completa los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior, sin repetirse.

Para ReforzarPara Reforzar

PROBLEMAS PARA CLASE N° 1



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

En una vecindad las casas son demasiado pequeñas y por esa razón los baños están al frente. Dibuja tres caminos que partan de cada una de las casas (A, B y C) y vayan al baño respectivo sin cruzarse con los otros dos caminos y sin salir de la vecindad.

Casa B

Casa A

Casa C

Baño C

Baño B

Baño A

En la siguiente figura, cambia de posición dos palitos, para obtener cinco cuadrados iguales.

Obs.: No vale dejar cabos sueltos.

Escribe la palabra "DOSIS" en los tres casilleros mostrados (un caracter por casilla).

Retira diez palitos, para obtener cinco cuadrados iguales.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

15



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 La siguiente columna de cinco filas contiene 15 cifras impares.

1 1 1 + 3 3 3 5 5 5 7 7 7 9 9 9

Une los puntos con cuatro líneas rectas trazadas sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por una misma línea.

Mediante tres líneas rectas, corta el siguiente cuadro en siete partes, de tal manera que en cada parte haya una flor.

Sobre una mesa hay 8 dados, uno encima del otro (ver figura). El pequeño Juanito da vueltas alrededor de la mesa y debe averiguar, sin tocar los dados, cuántos puntos en total han quedado ocultos. Podría decir Ud., ¿cuál fue el valor hallado por Juanito?

a) 52 b) 53 c) 54d) 55 e) 56

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

El problema consiste en tachar nueve cifras, eligiéndolas de manera que al sumar las columnas de las seis restantes se obtenga el número 1111.



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Si tengo cinco trozos de cadenas conformados por tres eslabones cada uno, ¿cuántos eslabones debo abrir y cerrar como mínimo para formar una sola cadena?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

¿Cuántas monedas como mínimo se debe mover para pasar de la posición I a la posición II?

a) 3 b) 4 c) 5d) 2 e) 1

A B C D

E F

G H

En la figura, reemplaza las letras por números del 1 al 8 (sin repetir), de tal forma que en níngún caso un número cualquiera sea vecino con su consecutivo. ¿Cuál es el menor valor de «B + C»?

a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 8

Distribuye en las casillas del tridente, los números del 1 al 13, de tal manera que la suma de las filas I, II, III y IV sea la misma.

III

II IIII

IV

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

17



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Se tiene una tabla de seis metros de largo por tres metros de ancho y se desea (dándole un sólo corte a dicha tabla luego uniendo las dos partes) obtener otra tabla que tenga 9m de largo por 2 m de ancho. ¿Cómo se debe realizar dicho corte?

Divide la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño.

En los vértices del cubo adjunto, coloca los números del 0 al 7 (sin repetir) para que la suma de dos números de cada arista sea un número primo.

Ubica los números: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 en las casillas de la figura, sin repetir, de manera que en cada aspa del molino la suma sea la misma. Halla el máximo valor que toma cada aspa.

a) 15 b) 17 c) 18 d) 14 e) 16

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



Capítulo

2OperacionesMatemáticas

Es el proceso de transformación de una o más cantidades en otras nuevas, mediante una serie de operaciones basadas en las operaciones básicas matemáticas.

operación matemática

oPerador matemÁtIco

Es un símbolo que representa a una operación matemática. Nos da la identificación de una regla o definición.

OPERACIÓN MATEMÁTICA

OPERADORMATEMÁTICO

Adición

Sustracción

Multiplicación

División

Radicación

Valor Absoluto

Sumatoria

Máximo entero

Límite

Integral

Derivada

+

-×

÷

. | |

∑

Lim

∫dydx

Las reglas de operación se basan en las operaciones básicas ya conocidas.

a * b = 2a2 - 2ab + 5bRegla o ley de formación

Operación Matemática

OperadorEjemplo:

Ejemplo 1:

Si a b = ,

halla 3 2.

Resolución:

a3 + 2b2

8b+a

3 2 = 33 + 2(2)2

8(2) + 3

3519

=

Si a * 2b3 = ,

halla 3 * 54.

Resolución:

a + b2

a * 2b3 = 3 * 54

a = 3 ⇒ a = 9

2b3 = 54

b3 = 27 ⇒ b = 3

3 * 54 = = 6 9 + 3

2

Ejemplo 2:

19



Si a * b = ,

halla (4 * 2) * (3 * 4)

Resolución:

2a + b2

2(4) + 22

(4 * 2) * (3 * 4)

( ) 2(3) + 42( )*

5 * 5

2(5) + 52

= 7,5

Si = 2x + 5 y ,

halla

Resolución:

x

x

En = 2x + 5

hacemos x =

entonces : = 2 + 5

por otro lado: = 8x + 7

igualando: 2 + 5 = 8x + 7

= 4x + 1

x

x

x x

x

x

x

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

= 8x + 7x

Ejemplo 5:

Si m ∆ n = m (n ∆ m)2,

calcula 16 ∆ 2.

Resolución:

Debemos hallar la definición de "∆".

En : m ∆ n = m (n ∆ m)2 ... 1

hacemos m = n y n = m

obtenemos: n ∆ m = n (m ∆ n)2... 2

reemplazo 2 en 1 :

m ∆ n = m [n(m ∆ n)2]2

m ∆ n = mn2 (m ∆ n)4

Despejando: m ∆ n =

Luego 16 ∆ 2 = = 1

4

1

mn23

1

16 x 22 3





1) Si: a * b = 4a + 5b,

calcula 2 * 3.

1) Si m # n = m2 + n2,

calcula 1 # 5.

2) Si x = 5x + 1,

calcula 2

2) Sabiendo que m = 2m + 3,

halla 5

3) Si a # b = (a + b)2 - (a - b)2,

halla (2 # 1) # 3

3) Se sabe que:

a * b = 2a - b y m ∆ n = (m + 1) (n - 1),

halla (5 * 1) ∆ (2 * 1)

4) Si a b = ax + 3b

3 2 = 21,

calcula 5 4

a+b3

a - b5

23

4) Si a b = – ,

halla x en:

x 4 =

6) Si a * b = 2a + b, halla x en:

(x * 3) * (1 * 2) = 14

2n factores

5) Sabiendo que:

n = (n)(n+1)(n)(n+1) ...

halla 5 + 6

"xy" sumandos

5) Sabiendo que:

x y = xy + xy + xy + ...

halla 3 4 1/36

6) Sabiendo que: a * (b + 1) = 2a - 3b,

halla "x" en:

5 * x = x * ( 3 * 1)

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______


21



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


12

12

32

Sabiendo que:

a b = ab + ,

halla "x" en:

(5 3) = 11 ( x)

a) b) c)

d) e)

Si a ∆ b = a2 - 1 ; si a > b a ∆ b = b2 - a ; si b > a, calcula:

5 ∆ ( 4 ∆ 17 )

a) 12 b) 14 c) 24d) 16 e) 20

En el conjunto de los números enteros se define la operación * del siguiente modo:

* a = 2a; si a es impar * a = a; si a es par Entonces el valor de * (*3) + *[(*5) + 5] es:

a) 24 b) 36 c) 48d) 12 e) -32

12

13

34

14

23

mn

Si se sabe que:

m n = ∆ m y

a ∆ b = 3 (a + b),

halla "x" en:

(6 2) ∆ 1 = 20 ∆ x

a) 27 b) 8 c) 12d) 60 e) 4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Si en el conjunto de los números naturales se define el operador ∆ por:

a ∆ b = 3a - 2b ; si a > b 3b - 2a ; si b > a

calcula: E = (3 ∆ 1) ∆ (1 ∆ 2)

a) 11 b) -10 c) 13d) 9 e) 8

a2b + 35b4a

1b( )( )

100 operadores

Si a # b = ,

halla:

5# [5 # {5 # (5# (....))}]

a) 1 b) 3 c) -2 d) 5 e) 10

m2 + 62

10000 operadores

Si m * n = ,

calcula:

E = 4 * (5 * (6 * (...)))

a) 1002 b) 10002 c) 10001 d) 102 e) 11

a - ba2 - b2 ; para a ≠ b

para a = b0

Si:

a ∆ b =

en la expresión 5 ∆ x = 2 ∆ [1 ∆ (-2 ∆ 3)] donde x ≠ 5, el valor de x es:

a) -1 b) -7 c) -3d) 3 e) 6

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

23



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Si: x = x2 - 1

x = x (x + 2) ,

calcula:

( 3 + 2 )2

a) 64 b) 49 c) 81d) 36 e) 25

Si: a = a2 - 1 y

a = a + 5 ,

calcula:

( 3 + 3 - 2 )2

a) 64 b) 18 c) 36d) 81 e) 9

(b a)2

4

Si:

a b = ,

calcula 3 5.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

Si:

a * b = 2 (b * a) - b ,

calcula 1 * 10.

a) 3 b) 8 c) 4d) 20 e) 23

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

a+2a - 1

955

1216

816

10514

12116

Si: a* = ,

b∆ = y

c = (c - 1)2 ;

calcula ((2*)∆)

a) b) c)

d) e)

b2 - 1b

12

mn( )

P(n)

P(2)

Si P = P(m) - P(n) ,

calcula

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e)

Si:

x = 3x + 6 y

x + 1 = 3x - 6 ,

calcula 10

a) 31 b) 30 c) 29d) 28 e) 26

12

34

29

Si:

calcula :

a) 15 b) 81 c)

d) e)

( )83 ( )10

5

"b" factores

ab(

a(a -1)(a - 2)...b(b-1)(b-2)...(3)(2)(1))= ,

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Capítulo

25



3Distribuciones yAnalogías

Son ordenamientos en general de tres columnas, cuyo valor central va entre paréntesis.

El objetivo es encontrar una ley de formación.

analogías

En el presente capítulo, veremos diferentes tipos de ordenamientos, principalmente numéricos. A veces intervienen letras, las cuales representarán un valor numérico.

Son arreglos en filas y columnas, en donde la solución se obtiene en forma vertical (columna) u horizontal (fila).

distribuciones

Son arreglos de números, representados en un gráfico. La regla de formación se obtiene en base al gráfico.

distribuciones Gráficas

Ejemplo 1:

2 ( 7 ) 3 5 (26) 1 8 ( ) 4

Resolución:

Analogías:

1.a Fila 22 + 3 = 7

2.a Fila 52 + 1 = 26

3.a Fila 82 + 4 = 68

(el valor pedido)

Ejemplo 2:

10102 (12) 3 201031 (14) 2 100356 ( ) 4

Resolución:

1.a Fila (1 + 1 + 2) (3) = 12

2.a Fila (2 + 1 + 3 + 1) (2) = 14

3.a Fila (1 + 3 + 5 + 6) (4) = 60 (el valor pedido)



Ejemplo 3:

2 3 5 11 5 2 7 17 8 3 x 25

Resolución:

Distribuciones:

2 × 3 + 5 = 11

5 × 2 + 7 = 17

8 × 3 + x = 25 ∴ x = 1

Ejemplo 4:

Resolución:

(De izquierda a derecha)

En la 1.a columna 23 = 4 × 2

En la 2.a columna 33 = 9 × 1

En la 3.a columna 43 = x × 16 ∴ x = 4

2 3 4 3 2 3 4 9 x 2 1 16

Ejemplo 5:

Resolución:

Distribuciones Gráficas:

1.er gráfico: (3 + 2 + 1) (3) = 18

1

2

3

33

x

1

1

3

5

40

3 2

1

18

2.° gráfico: (1 + 1 + 3 + 5) (4) = 40

3.er gráfico: (1 + 2 + 3 + 3 + 3) (5) = 60 = x

CÁNTAROSTenemos dos cántaros de barro como los mostrados en la figura, con la particularidad de que ambos carecen de marca alguna; esto es, su contenido no se puede medir. Sólo sabemos que uno tiene once litros de capacidad y el otro siete.Usando únicamente los dos cántaros y un río caudaloso, ¿como conseguir exactamente seis litros de agua? ¿Cómo lo harías?

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

27





3) Hallar el valor que falta


2 ( 7 ) 4 5 (14) 3 8 ( ) 3


6 (53) 100 18 (22) 24 13 ( ) 113

14

32

4 2

13

25

3 1

X

62

9 3


5 (26) 1 4 (18) 2 7 ( ) 3


8 (30) 4 7 (40) 6 9 ( ) 7


10

14

3 820

20

5 8

15

X

7 6

4

28512

9

27710

8

X515



14

52

4 3

14

58

6 2

X

92

2 3


3 ( 7 ) 2 5 (22) 3 6 ( ) 7


2 (72) 3 4 (1600) 5 5 ( ) 8


7 4 29 3 6 19 4 5 X


5 2 25 2 4 16 X 3 27




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Indica el número que falta en:

a) 6 b) 10 c) 8d) 12 e) 9

Hallar el valor q falta

a) 33 b) 35 c) 37d) 36 e) 32


a) 21 b) 26 c) 25d) 27 e) 24

48

2012

56

2313

26

X82

205

3 1

363

8 4

90X

5 5

537

4 8849

17 412X5

7 8


a) 6 b) 3 c) 7d) 5 e) 4

3

1525 5

6

2412 3

9

?21 7

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

29



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Hallar el valor q falta

6 (30) 9 5 (26) 8 4 ( ) 11

a) 32 b) 30 c) 28d) 24 e) 25

F

A B

C

L

C D

E

?

E F

G


a) R b) P c) Qd) S e) T


2 (9) 5 7 (50) 1 5 ( ) 25

a) 30 b) 40 c) 60d) 50 e) 63

GB

L

BA

DE

S

HC

DE

?

JA


a) T b) S c) Ud) V e) W

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Hallar el valor que falta

a) 15 b) 18 c) 21d) 19 e) 17

Hallar el valor que falta 5 ( 3 ) 4 10 ( 5 ) 5 25 ( ) 2

a) 6 b) 5 c) 9d) 3 e) 4

6

9

3 5

4

8

2 6

11

X

4 7

12

3

0 5

4

1

31

6

9 5

4

-2

42

12

11 13

15

X

Indica el número que falta en:

a) -5 b) 4 c) 6d) 5 e) -4


1 ( 1 ) 1 2 (72) 3 4 ( ) 2

a) 162 b) 240 c) 128d) 64 e) 256

31



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Hallar el valor que falta 2 (14) 10 7 (28) 14 5 ( ) 30

a) 40 b) 32 c) 20d) 48 e) 35


5 6 8 6 4 7 4 3 X

a) 3 b) 12 c) 7d) 5 e) 4


4 (18) 3 16 (16) 2 289 ( ) 5

a) 375 b) 430 c) 425d) 515 e) 455


2 3 4 1 4 7 3 5 x

a) 9 b) 12 c) 8d) 11 e) 10



Capítulo

4Criptoaritmética

Propiedades

En el presente capítulo, analizaremos situaciones donde tendremos que averiguar valores escondidos (valores numéricos), los cuales están representados en forma literal o simbólica. CRIPTOARITMÉTICA es una palabra compuesta, que proviene de "Cripto", escondido, y "aritmio", numeral.

Sean:

abc : producto de tres valores

abc : numeral de tres cifras

aa(2b)c: numeral de cuatro cifras

(a+1)(2b)(3a): numeral de tres cifras

1. Si

entonces x = 1

a b c +

m n r

x y z p

2. Si

a b +

c d

p q

m n q

entonces b + d = 10

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Halla A + B + C en:

ABC + B35 = C81

Resolución:

C + 5 = 11 C=6 (en unidades)

B + 3 + 1 = 8 B = 4 (en decenas)

A + B = C A=2 (en centenas)

∴ A + B + C = 12

A B C +

B 3 5

C 8 1

Halla A + B + C en:

ABC2 × 7 = 32CBA

Resolución:

2 × 7 = 14 A = 4

7C + 1 = 3B C = 5 ; B = 6

7B + 3 = 4C

∴ A + B + C = 15

A B C 2 ×

7

3 2 C B A

33



Ejemplo 3:

Halla la suma de cifras del producto:

Resolución:

Respuesta : 18

7 * * ×

4 *

* 4 * *

* * 4 0

* * * 7 0

7 3 5 ×

4 2

1 4 7 0

2 9 4 0

3 0 8 7 0

Ejemplo 4:

Halla Q + U + E + S + O

en QUE + QUE = ESOS

Resolución:

Q U E +

Q U E

E S O S

E + E = S

1 1 2

Q + Q = 12

6 6

U + U = O (letra "O")

3 3 6

Halla el cociente.

Resolución:

4 8 2 4

4 8

- - 2 4

2 4

- 8

2 4

2 0 1

Cociente : 201

* * * *

4 8

- - * *

2 4

- 8

2 4

* * *

Ejemplo 5:





5) Si AB8 + 2BA = 611 ,

halla A + B.

5) Si A8GA + 5B1 = 5B95 ,

halla 2A + B.

1) Halla 12A + BB1 ,

si 7A3B × 6 = 4AB86.

1) Halla a + b + c en:

2abc × 3 = abc1

2) Si 1CABLE×3 = CABLE1 ,

halla CALLE

C A B + C B B C A 41 A A 0

6) Si:

y además A ≠ 0 , halla A + B + C.

A B B C +

C C A

2 C 3 5

6) Si:

y además B ≠ 0 , halla A + 2B + 3C.

4 * × * 7* * 3* ** * *

3) Halla la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos (*).

4) Si: PENA × 99 = ...1403 ,

halla "P + A + N + E".

2) Si:

A3BB × 8 = 4BA76 ,

halla "A + B".

7 * * × 2 * * 6 * ** * * 81 * 1 * 0

3) Halla la suma de cifras del producto:

4) Si:

abcde × 99 = ...77232 ,

halla a + b + c + d + e.

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______


35



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Si:

halla el segundo producto parcial.

a) 5344 b) 1544 c) 1844d) 1644 e) 1744

* 5 * ×

* 6

* 7 * 8

* * * 9

1 * * 0 *

Halla la suma de cifras totales que faltan en:

a) 40 b) 35 c) 18d) 39 e) 17

Si

UNO + UNO = DOS

halla U + N.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) Más de una es correcta.

5 4 ×

2

9

4 4

6

Si UU + NN + II = UNI ,

halla U + N + I.

a) 19 b) 18 c) 16d) 20 e) 15



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Si

halla t + i + r + a

a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 15

Si: ROTA × A = 5041 ROTA × L = 15123

halla ALA × ROTA

a) 930371 b) 330671 c) 660371d) 770361 e) 550371

PEZ* = * , Si

halla P + E + Z

a) 20 b) 13 c) 14d) 16 e) 17

Si: MANI × S = 6635 MANI × A = 3981 MANI × M = 1327

halla MAS × MANI

a) 123456 b) 179145 c) 133415d) 169243 e) 123415

tiraa

= a ,

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

37



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Halla la suma de cifras del dividendo en:

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 21

* * * *

* 4

- 7 *

* *

- 1 *

* *

* 2

3 *

2 2 *

Si:

halla A + B - C.

a) 9 b) 8 c) 6d) 3 e) 2

6 8 A

A

B 8

B 5

- C A

C A

- -

A

B 3 7

A 8 5 2

3 6

B 2 5

B 0 8

- B 7 2

B A A

- 2 8

3 6

B3A

Si

halla A × B.

a) 10 b) 20 c) 3d) 4 e) 6

Halla la suma de cifras de la raíz.

a) 8 b) 13 c) 10d) 9 e) 12

5 * * 5 * ** *- 7 * * * * * - - -

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Si: AMOR + ROMA = 12562 (O es cero) halla AA + RR + MM

a) 163 b) 251 c) 178d) 136 e) 187

A M I G A +

I M 1 M

G I G 6 2

Si:

halla A + M + I + G + A.

a) 26 b) 32 c) 24d) 28 e) 21

* * * * * * * * * * * *- * * * * 1 * * * - * * * * * * * 9 - - * * * * * * * 6 - - * * * * * * - - -

9 7 3

* * * * * * *

Si:

halla la suma de las cifras del dividendo.

a) 54 b) 55 c) 56d) 53 e) 52

* * * * * * ** * *- - - * * * * - * * * * * * - - 8

* *

* * 8 * *

Si:

da como respuesta la suma de las cifras del dividendo.

a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 29

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Capítulo

39



5Métodos Operativos

Ejemplo 1:

Resolución:

oPeracIoNes INversas

El propósito de este capítulo es mostrar artificios y métodos que abrevien planteamientos tediosos y saturados cálculos en la resolución de problemas.El desafío es saber reconocer en qué casos se aplican y cuál es el procedimiento de solución.

Se emplea este método efectuando las operaciones, empezando del final (dato) hasta el inicio (incógnita) e invirtiendo las operaciones dadas.

Operaciones Directas

Operaciones Inversas

Datox

Si a una cantidad la divides entre 5 y luego la multiplicas por 6; al resultado obtenido le extraes la raíz cuadrada y luego le quitas 2, finalmente obtendrás 4. ¿Cuál es la cantidad inicial?

a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 60

÷5

x 6

-2

Dato final

Incógnita

4

Operaciones Directas

Cantidadinicial

Resultado

Operaciones Inversas

30

6

36

4

x5

÷6

( )2

+2

∴ La cantidad inicial es 30

Resolución:

Ordenando la información:

Jugador Inicio 1.a partida

2.a partida

3.a partida

Carlos

Einstein

Luis

Total 132 132 132 132

48

56

28

?

?

?

El total que aparece en esta línea no varía.

Efectuando operaciones inversas, empezando por el dato final, tendremos:

a) 72; 40 y 20 soles b) 60; 52 y 20 solesc) 40; 72 y 20 solesd) 60; 52 y 20 soles e) 42; 70 y 20 soles

Ejemplo 2:

Carlos, Einstein y Luis se ponen a jugar con la condición que el que pierda duplique el dinero de los demás. Si cada uno pierde una apuesta y al final terminan con S/. 48, 56 y 28, ¿cuánto tenían inicialmente?

Jugador Inicio 1.a partida

2.a partida

3.a partida

Carlos

Einstein

Luis

Total 132 132 132 132

48

56

28

40

72

80

12 24

80 28+2

40

∴ Tenían 72, 40 y 20 soles.



reGla coNjuNta

En aquellos problemas donde se da una serie de equivalencias (igualdades) se aplicará el siguiente procedimiento: El procedimiento de solución consiste en verificar que el segundo miembro de cada igualdad sea de la misma especie que el primero de la siguiente y así sucesivamente, para finalmente multiplicar estas igualdades.

Ejemplo 1:

Cinco gallinas cuestan tanto como 12 patos, y 8 patos valen lo mismo que 18 pavos. Si se sabe que 6 pavos cuestan S/. 60, ¿cuánto cuestan 2 gallinas?

Resolución:

∴ S/. 108

5 gallinas <> 12 patos8 patos <> 18 pavos6 pavos <> 60 solesx soles <> 2 gallinas

5(8)(6)(x) <> 12(18)(60)(2) (x) <> 108

4 4 2

Ejemplo 2:

En cierto sistema de medida se tienen las siguientes equivalencias:

Resolución:

5 codos = 6 palmos 2 palmos = 1 pie 3 pies = 5 brazos 4 brazos = "x" codos

Halla el valor de "x".

Observa que en las dos columnas están las mismas unidades, luego se procede de la siguiente manera:

(5)(2)(3)(4) = (6)(1)(5)(x)4 = x

∴ 4 codos

Ejemplo 1:

El presente método se emplea en problemas donde hay un cierto número de elementos que presentan dos características diferentes y además se indica el total de estas características obtenidas a partir de los elementos.

Se quiere embotellar 111 L de aceite en 27 botellas, unas de 5 L y otras de 3 L. ¿Cuántas botellas de 5 hay más que de 3 L?

Rpta.: 15 - 12 = 3 botellas más

Ejemplo 2:

En un bazar se vende cada camisa en S/. 20 y cada pantalón en S/. 45. Si Rodolfo compró nueve prendas gastando S/. 255, ¿cuántas camisas compró?

Resolución:

1. Falsa suposición (F.S.) Si las nueve prendas compradas costaron S/. 45 cada

una, se habría gastado: 9 x S/. 45 = S/. 405

2. Error total (E.T.): Como el verdadero gasto fue de S/. 255 entonces hay

un error de: 405 - 255 = S/. 150 más

3. Error unitario (E.U.): En cada camisa que cuesta S/. 20 se esta cometiendo

un error de: 45 - 20 = S/. 25 más

4. Error total

Error unitarioNúmero de camisas

=15025

=

= 6

Falsa suPosIcIóN

Resolución:

1. Falsa suposición (F.S.) Si asumimos que todas las botellas

son de 5 L, tendríamos: 27 x 5L = 135 L

2. Error total (E.T.): 135 - 111 = 24

3. Error unitario (E.U.): 5 - 3 = 2

4. N.º de elementos = (el menor)

= 12 botellas de 3 L

Como disponemos de 27 botellas, entonces hay 15 botellas de 5 L.

E.T.E.U.

242

41



método del rombo

Ejemplo 1:

Debo pagar 2050 soles con 28 billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuántos billetes de 50 soles debo emplear?

a) 15 b) 17 c) 16d) 13 e) 14

Resolución:

Aplicando el método del rombo, obtenemos:

Rpta.: a

#de billetesde 50 soles

= 28 x 100 - 2050100 - 50

∴ # de billetes de 50 soles = 15

S/. 100 (billete)

28 billetes

2050soles

S/. 50 (billete)

-

-x

Ejemplo 2:

A una fiesta entran un total de 350 personas entre niños y niñas, recaudándose S/. 1550, debido a que cada niño pagaba S/. 5 y cada niña S/. 4. ¿Cuál es la diferencia entre niñas y niños?

a) 200 b) 300 c) 150d) 50 e) 350

Resolución:Aplicando el método del rombo, obtenemos:

Rpta.: d

# de niñas = 350 x 5 - 15505 - 4

Ahora calculamos el número de niños # de niños = 350 - 200 = 150Luego:Diferencia entre niñas y niños es 200 - 150 = 50

S/.5 (niño)

350personas

S/. 1550

S/. 4 (niña)

-

-x

dIFereNcIa total y uNItarIa

Se aplican en aquellos problemas donde se comparan cantidades; en un caso, sobrante o ganancia y en el otro caso, faltante o pérdida. Se originan 2 diferencias, una total y una unitaria.

La incógnita del problema se origina por el cociente de la diferencia total y la diferencia unitaria.

Ejemplo 1:

Si compro 5 libros de Razonamiento Verbal me faltaría 30 soles, pero si compro 2 libros me sobraría 18 soles, ¿cuánto cuesta cada libro?

Resolución:

Caso 1 Caso 2 Total

D.U.

D.T.

5

-30

2

+18

3

48

(falta) (sobra)

Costoc/libro

= 483

= S/. 16

Ejemplo 2:

Un grupo de amigos decide hacer una colecta para comprar un equipo de sonido. Si cada uno colabora con S/. 20, faltarían S/. 40 y si cada uno colabora con S/. 25, sobrarían S/. 50. ¿Cuántos eran los amigos?

Resolución:

Cada amigo: S/. 20 → Falta: S/. 40Cada amigo: S/. 25 → Sobra: S/. 50

Observa que si cada amigo colabora con:25 - 20 = S/. 5 más, se completaría los S/. 40 que faltaba y todavía quedaría S/. 50, es decir se reuniría: 40 + 50 = S/. 90 más.

Luego, el número de amigos es: 90 ÷ 5 = 18 amigos.

reto

Una fuga peligrosa

Debido a una fuga en una válvula, el camión cisterna pierde por cada 10 km, la mitad de su capacidad y 10 galones más. Luego de 40 km se quedó vacío.¿ C u á n t o s g a l o n e s t e n í a inicialmente el camión cisterna?





4) En una hacienda donde hay conejos y patos se contaron 50 cabezas y 180 patas. ¿Cuántos conejos hay en la hacienda?

5) Aldo tiene doce billetes, algunos de $ 10 y otros de $ 20. Si en total tiene $ 170, ¿cuántos billetes tiene de cada tipo?

4) En un granja donde hay vacas y gallinas se contaron 45 cabezas y 150 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja?

5) Si pagué una deuda de 1200 dólares con 36 billetes de 50 y 10 dólares, ¿cuántos billetes de 50 dólares he usado?

6) Si a cada uno de mis alumnos les entrego S/. 6 me sobrarían S/. 40, pero si les entrego S/. 8, me faltarían S/. 40. ¿Cuántos alumnos tengo?

6) Si Jorge le da a cada uno de sus sobrinos S/. 10 le sobrarían S/. 30, pero si les diera S/. 12 le faltaría S/. 24. ¿Cuántos sobrinos tiene Jorge?

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

1) A un número se le multiplica por 2, luego se le suma 30, al resultado se le extrae la raíz cuadrada, finalmente se le divide entre 6 y se obtiene 2. Halla el número inicial.

2) Al preguntar a Abel por su edad, él respondió: "Si a mi edad le sumo 14, a lo obtenido le resto 2, y al resto le saco raíz cuadrada para después multi-plicarlo por 4, y a este producto sumarle 46, para finalmente dividirlo por 3, obtengo 22". ¿Qué edad tiene Abel?

3) En una librería, 6 lapiceros equivalen a 14 lápices, y 5 lápices a 7 borradores. Si por S/. 5 dan 2 borradores, ¿cuántos lapiceros dan por S/. 49?

1) A cierto número le hago las siguientes operaciones: lo elevo al cubo, al resultado le quito 4 y lo divido por 3, obteniendo como resultado final 20. Halla el número inicial.

2) Se le pregunta la edad a Karina y ella responde: "Si a mi edad la multiplicas por 4, luego al resultado le extraes la raíz cuadrada, después le sumas 10 al resultado y por último lo divides entre 4, obtienes 4". Entonces su edad es:

3) Sabiendo que 5 soles equivalen a 2 dólares, 8 dólares equivalen a 4 marcos, y 6 euros equivalen a 12 marcos, ¿cuántos soles equivalen a 5 euros?

43



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



En un pueblo de la sierra se realiza un trueque: 10 sacos de camote se cambia por 4 de papa, 12 sacos de olluco se cambia por 18 de yuca, y 15 sacos de camote por 6 de yuca. ¿Cuántos sacos de papa darán por 20 de olluco?

a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 24

En una juguetería el precio de 4 muñecas equivalen al de 6 pelotas, el de 9 rompecabezas al de 2 pistolas, y el de 15 pistolas al de 30 muñecas. ¿Cuántas pelotas equivalen al precio de 18 rompecabezas?

a) 16 b) 18 c) 12 d) 8 e) 10

Cada día Martha escribe en su cuaderno la tercera parte de las hojas en blanco que tiene más dos hojas. Si después de tres días consecutivos le quedan aún dos hojas en blanco, ¿cuántas hojas escribió?

a) 17 b) 19 c) 23 d) 25 e) 21

Vanessa escribe cada día las 3/4 partes de las hojas en blanco de un cuaderno, más 5 hojas. Si al cabo de 3 días escribió todas las hojas.

Son ciertas:I. Escribió 420 hojas.II. No es cierto que en el segundo día no escribe

80 hojasIII. El primer día escribe más de 320 hojas.

a) Sólo I b) I y II c) Sólo II d) II y III e) Todas

Resolución: Resolución:

Resolución:

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Cuatro amigos A, B, C y D juegan a los dados y acuerdan que aquél que pierda un juego triplicará el dinero de los otros tres. Si luego de 4 juegos cada uno perdió un juego en el orden mencionado y se retiran con S/. 81 cada uno, ¿cuánto ganó o perdió el primero?

a) Ganó S/. 81 b) Ganó S/. 82 c) Perdió S/. 136d) Perdió S/. 82e) Perdió S/. 163

Se tienen dos depósitos de vino, A y B. De A pasan a B 20 litros; luego de B pasan a A la mitad de los litros que tiene B. Si quedan A y B con 115 y 35 litros, respectivamente, ¿cuántos litros tenía B inicialmente?

a) 40 b) 60 c) 30 d) 80 e) 50

De la granja López se pasaron a la granja Pérez tantas gallinas como el doble de las que había en esta granja. Al día siguiente se regresaron de la granja Pérez a la de López tantas gallinas como el triple de las que quedaron la noche anterior. Si ahora López tiene 40 gallinas y Pérez 45, ¿quién ganó y cuántas?

a) López, 20 d) Pérez, 10 b) López, 40 e) López, 10 c) Pérez, 20

Ricardo, Coco, Polo y Toño, deciden jugar, teniendo en cuenta las siguientes reglas:

Son ciertas:I. El primero en perder deberá aumentar $ 10 a

cada uno de los demás.II. El segundo en perder deberá duplicar el dinero

de los demás.III. El tercero deberá aumentar $ 20 a cada uno

de los demás.IV. El cuarto deberá triplicar el dinero de los otros tres.Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida cada uno quedó con $ 2,40. ¿Quién perdió más?

a) Ricardo b) Toño c) Cocod) Coco y Toño e) Polo

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

45



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Para entrar a una feria, los adultos pagan S/. 30, pero los niños sólo pagan S/. 15. Se vendieron entre adultos y niños, un total de 82 entradas. ¿Cuántas entradas de adultos se vendieron si resulta que en total se recaudaron S/. 2175?

a) 19 b) 72 c) 41 d) 11 e) 63

En un examen por cada respuesta correcta se obtiene 20 puntos y por cada error se descuenta 10 puntos. Un alumno contestó las 50 preguntas del examen y obtuvo 640 puntos.

Entonces es cierto que: I. Tuvo 12 errores. II. Tuvo 36 aciertos. III. Le descontaron 200 puntos.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Todas

En una prueba un alumno gana 10 puntos por cada respuesta correcta y pierde 4 puntos por cada equivocación. Si después de contestar todas las preguntas que son 120; obtiene 500 puntos.

Entonces son ciertas:I. Se equivocó en 50 preguntas.II. Acertó 80 más de las que no acertó.III. Si obtuvo 780 puntos, acertó en 90 problemas.

a) Sólo I b) II y III c) I y II d) I y III e) Sólo II

Los pasajes de Lima a Huaral cuestan S/. 10 en cierta empresa de transporte, mientras que para Huacho cuestan S/. 2 más. Cierto día sólo se vendieron 63 pasajes para Huacho y Huaral, recaudándose S/. 174. Si todos los pasajeros que iban a Huaral hubiesen ido a Huacho y viceversa, ¿cuánto se habría recaudado?

a) S/. 742 b) S/. 728 c) S/. 668 d) S/. 712 e) S/. 672


Resolución:

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

En un restaurante se desea cambiar de mesas. Si compran 5 mesas, sobrarían S/. 400 y se compran 9 mesas, faltarían S/. 140. ¿Cuánto cuesta cada mesa?

a) S/. 60 b) S/. 180 c) S/. 75 d) S/. 90 e) S/. 55

Un padre de familia dispone de cierta cantidad de dinero para comprar cuadernos a sus hijos. Si compra 13 cuadernos, le sobra S/. 70 y si compra 15 cuadernos, le sobra S/. 50. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno?

a) S/. 10 b) S/. 12 c) S/. 14 d) S/. 15 e) S/. 16

En un congreso, si los integrantes se sietan de 3 en 3 sobrarían 4 bancas y si se sientan de 2 en 2, quedarían de pie 18 integrantes. ¿Cuántos son los integrantes?

a) 30 b) 78 c) 62 d) 75 e) 68

Un grupo de feligreses acude a una iglesia. Si se sientan 10 feligreses en cada banca, quedan 2 bancas libres y si se sientan 8 feligreses en cada banca, entonces quedarían 10 feligreses de pie. ¿Cuántos feligreses son?

a) 140 b) 150 c) 120 d) 110 e) 130



Capítulo

47



6Planteo de Ecuaciones

OBJETIVOS:

a Ejercitar la capacidad de comprensión de textos de diversa índole para su posterior simbolización.

a Relacionar e interpretar matemáticamente hechos cotidianos.

Para entender este tipo de situaciones debes tomarlo como si fuera un texto cualquiera. Quiere decir que debes leerlo pausadamente, respetando los signos de puntuación y analizando párrafo por párrafo. ¡Claro! Hay veces en las cuales pensamos que estos problemas son difíciles, pero esto ocurrre cuando encontramos palabras que no sabemos cuál es su interpretación matemática.¡Vamos! No te sientas mal, todos al comienzo hemos pensado lo mismo, pero todo depende de ti, de tu fuerza de voluntad. Y recuerda que "los grandes hombres son los que hacen posible, lo que para otros es imposible". Plantear una ecuación es transformar enunciados, conjunto de oraciones o formas verbales o formas matemáticas o simbólicas.

Forma verbal

Formamatemática

planteo

(palabras y frases) (constantes y variables)

Forma Verbal Forma Simbólica

1) La edad de Einstein aumentada en 5.

1)

2) La suma de 3 números pares consecutivos es igual a 30.

2)

3) El número de caballos excede en 9 al número de cerdos.

3)

4) x es a n como 3 es a 7. 4)

5) El número de mujeres de una reunión es la quinta parte de los presentes.

5)



Una frase u oración puede ser representada simbólicamente de una o varias maneras. El estudiante deberá actuar de acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular.

Sugerencias:

Lee detenidamente el texto del problema hasta comprender de qué se trata.

Ubica los datos y la pregunta.

Elige la(s) varible(s) con las cuales se va a trabajar.

Relaciona los datos con las variables para plantear una o más ecuaciones que al resolver nos den la solución al problema.

Ejemplo 1:

Resolución:

Si subo una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

x44

"x" Escalones

# de pasos

x4

=

x5

5

"x" Escalones

# de pasos

x5

=

En el primer caso se dieron 3 pasos más que en el segundo caso, por lo tanto:

x4

x5

- = 3

Resolviendo: x = 60

∴ La escalera tiene 60 escalones.

Ejemplo 2:

Resolución:

Un número positivo menos el doble de la suma de sus cifras es igual a la suma de los cuadrados de estas dos cifras. Además, el número obtenido al permutar sus cifras, menos 9, da el número original. Entonces el producto del cuadrado de dicho número por la suma de sus cifras es:

El número positivo: abEl doble de la suma de sus cifras:

2(a + b)La suma de los cuadrados de sus

cifras: a2 + b2

Primera condición:ab - 2(a + b) = a2 + b2 ... (I)

Número obtenido al permutar sus cifras: ba

Segunda condición:ba - 9 = ab ... (II)

Del dato (I) tenemos:10a + b - 2a - 2b = a2 + b2

→ 8a - b = a2 + b2 ... (I)

Del dato (II) tenemos:10b + a - 9 = 10a + b

→ 9b - 9a = 9b - a = 1 ... (II)

Resolvemos, reemplazando (II) en (I):8a - a - 1 = a2 + a2 + 2a + 1

→ 5a = 2a2 + 2

Resolviendo: a = 2; b = 3

Lo que piden calcular es:(23)2 (2 + 3) = 2645

reto

Expedición: Planeta KDirige: Mayor P.N.Informe: "El tercer día vimos seres extraños, aunque tienen 20 dedos en total, como nosotros, pero tienen una extremidad menos y un dedo más en cada extremidad, lo que les da un aspecto espantoso".

¿Quién hace el informe?

1) Si han transcurrido del día 5/7 de lo que falta transcurrir, ¿qué hora será dentro de 2 horas?

2) Si comprara 40 libros tendría entonces el quíntuple de lo que me quedaría si hubiera vendido tres, más 15 libros. ¿Cuántos libros tengo?

3) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado tal que el doble de su perímetro, disminuido en 20, es igual al triple de su lado aumentado en 30?

1) Si han transcurrido del día 2 horas más de las que faltan transcurrir, ¿qué hora es?

2) Si ganase S/. 60 tendría el cuádruple de lo que me quedaría si perdiera S/. 75. ¿Cuánto tengo?

3) Tres veces el número de alumnos del 5.º año amentado en 50 nos da el doble del número de alumnos aumentado en 80. ¿Cuántos alumnos son?

4) Un galgo da cuatro saltos recorriendo en cada salto 3 metros más que el salto anterior. Si el galgo recorrió un total de 38 m, ¿cuánto recorrió en el segundo salto?

5) Se tienen tres números consecutivos. Si al cuádruple del intermedio le restamos el triple del mayor y a dicho resultado le agregamos el doble del menor resultaría igual a 100. Halla el mayor de ellos.

6) A una fiesta donde habían 40 hombres y 30 mujeres, llegaron cierto número de parejas, de modo que los 3/5 del número de hombres es igual a 1/3 de las personas presentes. ¿Cuál es el número de parejas presentes?

4) Juana reparte su fortuna a sus tres novios: al 1.º le da el doble de lo que le dio al 2.º y al 3.º $ 200 más que al 2.º. Si su fortuna fue de $ 2200, ¿cuánto le tocó al tercero?

6) Federico compra la mitad de un rollo de alambre menos 12 metros, Fernando compra un tercio del mismo rollo más 4 metros, con lo cual recibe 8 metros menos que Federico. ¿Cuántos metros compró Federico?

5) El recíproco de cierto número aumentado en la mitad del número original es igual a la mitad de 3. Calcula dicho número.

49





Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Para conocer el peso de un cachorro se hizo lo siguiente:I. Se pesó el cachorro con la mamá = x.II. Se pesó el cachorro con el papá = y.III. Se pesaron los dos padres juntos = z.El peso del cachorro es:

a) b) c)

d) e)

x+y+z2

x+y-z2

x-y+z2

x-y-z2

x+y+z3

Si María tiene S/. 5 más que Patty y ésta tiene S/. 2 más que Carmen, ¿qué cambios se deben hacer para que las tres tengan la misma cantidad de dinero?I. María debe darle S/. 5 a Carmen y S/. 1 a Patty.II. María debe darle S/. 3 a Carmen y S/. 1 a Patty.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) F.D. e) N.A.

140 excede al doble de un número en tanto como el triple de dicho número excede a su tercera parte. Halla los dos tercios de dicho número.

a) 20 b) 30 c) 15 d) 25 e) 35

Una vaca pesa 100 kg más 2/3 del peso de un carnero, y además el carnero pesa 20 kg más 1/12 del peso de la vaca. ¿Cuánto pesan los dos animales juntos?

a) 120 kg b) 130 kg c) 140 kg d) 150 kg e) 160 kg

Resolución:

Resolución:


51



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Se tienen tres números enteros consecutivos. Si dividimos el menor entre 17, el intermedio entre 7 y el mayor entre 9, observamos que la suma de los dos primeros cocientes excede en 3 al tercer cociente que obtuvimos. ¿Cuál es el menor de los consecutivos?

a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 e) 38

Se tienen tres números enteros consecutivos. Si dividimos el menor entre 2, el intermedio entre 5, y el mayor entre 8, observamos que la suma de los primeros cocientes excede en 8 al tercer cociente que obtuvimos. ¿Cuál es el menor de los consecutivos?

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

Cuando se le pregunta a Paquito cuántos hermanos tiene, responde así: "Tengo el mismo número de hermanas y de hermanos". Cuando se le pregunta a Mariquita cuántos hermanos tiene, responde así: "Tengo la mitad de hermanas que de hermanos, o lo que es lo mismo tengo el doble de hermanos que de hermanas". Si Paquito y Mariquita son hermanos, diga cuántos hermanos hay en cada sexo.

a) 5 y 3 b) 5 y 4 c) 4 y 3 d) 3 y 5 e) N.A.

En un rebaño, el número de ovejas más bueyes es 30, el de bueyes más vacas es 50, el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40, entonces el número de bueyes más cabras es:

a) 30 b) 40 c) 50 d) 50 e) N.A.


Resolución:

Resolución:



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Compré el cuádruple de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 animales más de cada clase, tendría el triple del número de caballos que de vacas. Halla la diferencia entre caballos y vacas.

a) 40 b) 30 c) 10 d) 25 e) 60

Al preguntar un padre a su hijo cuánto había gastado de los 350 soles que le dio, éste respondió: He gastado las 3/4 partes de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó?

a) S/. 200 d) S/. 330 b) S/. 150 e) S/. 250 c) S/. 20

Aldo le dice a Beto: "Préstame 30 soles para tener ambos la misma cantidad". Beto le responde: "Mejor págame los 10 soles que me debes y así tendré 9 veces lo que te queda". Entre ambos tienen:

a) 80 soles b) 140 soles c) 120 soles d) 60 soles e) 100 soles

Un hombre compró cierto número de libros por 400 soles. Si hubiera comprado 1/4 más del número de libros que compró por el mismo dinero, cada libro le habría costado 2 soles menos. ¿Cuántos libros compró y cuánto pagó por cada uno?

a) 40 y S/. 10 d) 40 y S/. 15 b) 30 y S/. 10 e) 40 y S/. 20 c) 30 y S/. 15

53



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Resolución:

Resolución:

Si mueren los 2/7 de mis ovejas y compro 37 ovejas más, el número de las que tenía al principio queda aumentado en sus 3/8. ¿Cuántas ovejas tenía al principio?

a) 40 b) 48 c) 36 d) 56 e) 60

Un VHS cuesta 500 soles menos que un televisor. Si a la cuarta parte del precio del VHS se le aumenta 60 soles, se obtiene la quinta parte del precio del televisor. ¿Cuál es el precio del televisor?

a) 1800 b) 3700 c) 1300 d) 1850 e) 800

Dos comerciantes importan 6 docenas de chompas, el primero, y 4 docenas, el segundo. Una vez la mercadería en la aduana, se enteraron que tenían que pagar impuestos, como tenían poco dinero, el primero paga con cinco chompas más 114 soles y el segundo paga con 3 chompas más 126 soles. ¿Cuánto cuesta cada chompa?

a) S/. 136 d) S/. 140 b) S/. 130 e) S/. 150 c) S/. 138

Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas; pero tanto en las sillas como en las mesas obtuvo lo mismo. ¿Cuántos muebles vendió si las mesas cuestan S/. 360 más que las sillas y recaudó S/. 9600 total?

a) 8 b) 5 c) 6 d) 12 e) 13



Capítulo

7Edades

OBJETIVOS:

a Utilizar las habilidades y capacidades para resolver los diferentes casos de ejercicios sobre edades.

a Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los ejercicios de manera sencilla y rápida.

a Hacer de manera adecuada, las tablas de doble entrada para la resolución de ejercicios sobre edades, donde intervengan

dos o más sujetos.

coNsIderacIoNes GeNerales

OBSERVACIÓN:Epitafio: Inscripción puesta en una sepultura o escrita como si estuviera destinada a ello.

DIOFANTO: (vivió alrededor del año 275)

En una antología griega de problemas algebraicos en forma de Epigramas, se recoge el siguiente Epitafio:

"Esta tumba contiene a Diofanto. ¡Oh gran maravilla! y la tumba dice con arte la medida de su vida. Dios hizo que fuera un niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego nupcial después del séptimo y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡ay!, niño tardío y desgraciado, en camino de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida".

En este capítulo se debe tener en cuenta que en los problemas intervendrán: sujetos, tiempos y edades.

sujetos: Son los protagonistas que generalmente son las personas y en algunos casos los animales, los árboles, entre otros.

tiempos: Es uno de los puntos más importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado, se complicará la resolución del problema.

1) El tiempo transcurre igual para todos desde un mismo tiempo de referencia.

Ejemplo 1:

Pasado Presente Futuro

José

Cinthia

20

15

26

21

33

28

hace6 años

dentro de 7 años

- Presente: Tengo, tienes, tenemos, mi edad es, tú tienes, la suma de nuestras edades es, ...

- Pasado: Tenía, tenías, hace 20 años, cuando él tenía, ...

- Futuro: Tendré, dentro de 5 años, cuando tú tengas, tendremos, ...

edad: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Se da generalmente en años, pero puede darse en días o meses.

En este capítulo desarrollaremos los problemas donde intervienen las edades de uno o más sujetos.

55



2) La diferencia de las edades de dos personas siempre permanece constante.

Ejemplo 2:

Pasado Presente Futuro

Ricardo

Jorge

13 18

12

hace5 años

dentro de 8años

Cuando Jorge nació, ¿cuántos años tenía Ricardo?

Según el número de sujetos cuyas edades intervienen, los problemas de edades se pueden tipificar en dos:

• Tipo I

Cuando interviene la edad de un solo sujeto.

Ejemplo 1

Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. ¿Cuántos años tengo si la suma de nuestras edades actuales es 42 años?

Resolución:

Hacemos uso de un cuadro en el que se establezcan los tiempos y los sujetos.

Pasado Presente

Yo

Tú

- Al leer el enunciado, puedo observar (en medio de toda esa confusión de palabras) que está referido a la edad que TÚ tienes.

→ Fijo la incógnita de manera apropiada, así: ..."que tú tienes"

Pasado Presente

Yo

Tú x

- Ahora sigo resolviendo el problema de atrás hacia adelante:

"...yo tenía la edad que tú tienes"

Pasado Presente

Yo

Tú x

x

- Seguimos hacia adelante: "...edad que tú tenías cuando..." como no se conoce, uso otra variable.

Pasado Presente

Yo

Tú x

x

y

"Edad que tú tenías..."

- Seguimos: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías..."

Pasado Presente

Yo

Tú x

x

y

"Yo tengo el doble..."

2y

Dato: La suma de nuestras edades actuales es 42 años.2y + x = 42... (I)

Además uso el método del aspa:

Pasado Presente

Yo

Tú x

x

y

2y

x + x = y + 2y

Hace "y"años

EdadActual

E

-y +x

Dentro de "x" años

Reemplazo (II) en (I)

2y + 32

y = 42 → 4y+3y2

= 42

→ 7y = 84 → y = 12∴ Si y = 12, entonces yo tengo:

2(12) = 24 años

32

2x = 3y → x = y ...(II)



Ejemplo 2

Las edades actuales de Lady y Sebastián están en la relación de 5 a 4, respectivamente. La edad que tendrá Sebastián dentro de 5 años es igual a la edad que tenía Lady hace 4 años. ¿Cuántos años tenía Lady cuando nació Sebastián?

Resolución:

Ya que las edades son proporcionales a 5 y 4, tenemos:

Edad Lady (L)Edad Sebastián (S)

= 54

→L = 5kS = 4k

Reemplazamos de acuerdo a los datos:

4k + 5 = 5k - 4 → k = 9L = 5(9) = 45S = 4(9) = 36

Eso quiere decir que Lady es mayor que Sebastián en: 45 - 36 = 9 años

∴ Cuando nació Sebastián, Lady tenía 9 años.

Ejemplo 3

Resolución:

A una persona, en el año 1965, se le preguntó por su edad y contestó: "Tengo, en años, las dos terceras partes del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento". Halla la suma de las cifras de su edad en dicho año.

Planteando los datos obtenemos:

Año de nacimiento

En 1965 edad:

19ab23

(ab) años

23

(39) = 26 años

La suma de cifras de su edad es:∴ 2 + 6 = 8

* Otro tipo de problema.

Nota:Para resolver éste tipo de problemas debes tener presente que:

1. Cuando una persona ya cumplió años, se cumple:

Año de nacimiento

+Edad actual

=Año

actual

2. Cuando una persona aún no cumple años, se cumple:

Año de nacimiento

+Edad actual

=Año

actual-1

Luego planteamos:

1965 = 1900 + ab + (ab)

65 = (ab) → ab = 39

Entonces la edad de la persona es:

1965 = 23

(ab)+ 19ab

23

53

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

57





1) Cuando César tenga 19 años, Andrea tendrá 14 años. ¿Cuál será la edad de César, cuando Andrea tenga 22 años?

1) Cuando Silvia tenga 22 años, Maritza tendrá 29. ¿Cuál es la edad actual de Silvia si Maritza tiene ahora 20 años?

2) La edad de William es el doble de la edad de María Belén y hace 12 años la suma de sus edades era 30 años. Entonces María Belén tiene actualmente:

2) La edad de Sara es el triple de la edad de ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En la actualidad ángel tiene:

3) Juan tiene 42 años y Pedro 18. ¿Hace cuántos años la edad de Juan fue nueve veces la edad que tuvo Pedro en ese entonces?

3) Hace 7 años tenía x años, y dentro de 5 años tendré lo que tenía hace 9 años más la edad que tenía hace 5. Halla x.

6) La suma de las edades actuales de 2 profesoras es 47 años, dentro de 4 años la mayor tendrá el doble de la edad que tenía la menor hace 6 años. Halla la edad actual de la mayor.

4) Un padre le dice a su hijo: "Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías, pero dentro de 8 años sólo será el doble". ¿Qué edad tiene el hijo?

5) José tiene 24 años, y su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Flor cuando José tenía la tercera parte de la edad que tiene Flor. ¿Qué edad tiene Flor?

6) Hace 10 años la edad de A era el doble de la edad de B. Actualmente sus edades suman 56 años. ¿Cuál es la edad actual de B?

5) Pepe tiene 30 años y su edad es el triple de la edad que Pepa tenía cuando Pepe tenía la edad que Pepa tiene. ¿Cuántos años tiene Pepa?

4) Un padre le dice a su hijo: "Ahora tu edad es la quinta parte de la mía, pero hace 5 años era la novena parte". ¿Qué edad tiene el padre?




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


La señora Angela tuvo a los 27 años 2 hijos mellizos; hoy las edades de los tres suman 63 años. ¿Qué edad tendrán los mellizos dentro de 3 años?

a) 12 años b) 15 años c) 24 añosd) 21 años e) 18 años

Juana tuvo una hija a los 20 años y una nieta 24 años después, cuando la nieta tenía 11 años la abuela decía tener 45 y la hija 30. ¿Cuál es la suma de los años que ocultan ambas?


A Paco le preguntaron su edad y él responde: "Tomen 3 veces los años que tendré dentro de 3 años y réstenle 3 veces los años que tenía hace 3 años y resultará los años que tengo". ¿Cuál es su edad actual?

a)20 años b) 21 años c) 18 añosd) 24 años e) 16 años

¿Cuántos años tiene una persona, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11?



Resolución:

Resolución:

59



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Una persona tiene en 1988 tantos años como el producto de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de su edad?

a) 4 b) 8 c) 5d) 10 e) 6

Las edades de un padre y su hijo son tales que el cociente es 4. Si dentro de 8 años el cociente será 5/2, hallar la edad del padre dentro de 10 años.


En el año 1969, Aldo cumplió tantos años como lo indicaba la mitad del número formado por las 2 últimas cifras del año de us nacimento. Halla su edad en esa fecha.


Hace 12 años las edades de 2 hermanos estaban en la relación de 4 a 3. Si actualmente sus edades suman 59 años, ¿dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 8 a 7?






5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Richard le dice a Carito: "Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando transcurra el doble de aquel entonces al presente, nuestras edades sumarán 108 años". ¿Qué edad tiene Richard?


Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 54. ¿Qué edad tengo?

a) 18 años b) 28 años c) 21 añose) 30 años e) 24 años

Juan le dijo a Pedro: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años". Halla la suma de las edades actuales de ambos.


"Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendrás lo que él tenía cuando yo tenía lo que tú tienes, y el tendrá lo que tú y yo tenemos. Se escucha decir a uno de tres hermanos, cuyas edades actuales suman 63 años. El que comenta lo anterior, ¿qué edad tiene?"



Resolución:

Resolución:

61



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Las edades de mi primo mayor y el primo menor viene representadas por dos números que tienen las mismas cifras, pero en orden inverso. Si hace un año mi primo mayor tenía el doble de la edad de mi primo menor, ¿cuántos años tengo si lo mismo que me lleva en edad mi primo mayor yo le llevo al menor?


Determina la edad que cumplirá una persona en 1995, sabiendo que es igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento.


Las edades de 3 hermanos son menores que 10. Si a cien veces la edad del primero se le suma 10 veces la edad del segundo y a este resultado se le suma la edad del tercero aumentado en 7, se obtiene al final 950 años. Halla las edades y da como respuesta la suma de ellas.


Al preguntar la edad de Vanesa, ella respondió: "Si al año en que cumplí los 15 años le suman el año en que cumplí los 26, y le restan la suma del año en que nací y el actual, obtienen 12". La suma de las cifras de la edad de Vanesa es:

a) 9 b) 6 c) 10d) 12 e) 11



Capítulo

8Relojes

OBJETIVOS:

a Brindar al estudiante las pautas teóricas para reconocer y resolver ejercicios sobre relojes.

a Dar a conocer a los estudiantes las diferentes técnicas usadas en la resolución de ejercicios referente a relojes.

a Aplicar a situaciones reales de la vida diaria referente a la medición del tiempo.

ÁNGulos determINados Por las aGujas de uN reloj

En este capítulo analizaremos problemas derivados de la relación que existe entre la hora que marca el reloj y el ángulo formado por las manecillas del reloj (minutero y horario).

dIvIsIoNes de uN reloj

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones mayores que indican las horas, cada una de las cuales está dividida en cinco divisiones menores, las cuales hacen un total de 12 x 5 = 60 divisiones menores en toda la circunferencia que indican los minutos.

Por otro lado, se conoce que toda la circunferencia del reloj tiene 360º.

Del análisis anterior, tenemos las siguientes equivalencias:

60 divisiones<>60 minutos<>360º

1 división <> 1 minuto <> 6º

En una hora el minutero da una vuelta entera, es decir, recorre 60 divisiones, mientras que el horario recorre solamente 5 divisiones, osea la doceava parte de lo que recorre el minutero.

relacIóN de los recorrIdos del HorarIo y el mINutero

30º1/2º

360º6º

1 hora1 min

horariominutero

Hora referencial: Dada una hora cualquiera, la hora referencial será la hora exacta anterior a dicha hora.

Por ejemplo:

Las equivalencias anteriores indican lo siguiente:

→ Si el minutero de un reloj recorre una división, transcurre un minuto y ha barrido un ángulo de 6º.

→ A las 6h 30 min, la hora de referencia será las 6 en punto.→ A las 4h 20 min, la hora de referencia será las 4 en punto.

ÁNGulo Formado Por las maNecIllas del reloj a uNa Hora determINada

Ejemplo 1:

¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 6:20 a.m.?

63



12

6

9 3

Hora referencial

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

6:20 a.m.

a

Análisis:En 20 minutos, el minutero avanzó: 6º x 20 = 120º

En 20 minutos, el horario avanzó: x 20 = 10º

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

Minutero

120º

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

Horario

10º

Relación para hallar "a": 180º + 10º = 120º + a ⇒ a = 70º

Ejemplo 2:

¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las 7h 50 min?

Hora referencial

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

7:50

a

Análisis:

En 50 minutos, el minutero avanzó:

_________________________

En 50 minutos, el horario avanzó:

__________________________

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

Minutero

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

Horario

Combinando ambos tenemos:

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

a = 30H - M ...(I)112

¿Cuál es la relación para determinar "a"?

_________________ a= _______

Mediante el procedimiento anterior-mente descrito se puede demostrar que el ángulo formado por las manecillas del reloj a las H horas y M minutos, es:

a) Cuando el horario adelanta al minutero:

b) Cuando el minutero adelanta al horario:

112

a = M -30H ...(II)

1º2

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

6:20

a10º

120º



Ejemplos usando las fórmulas anteriores:Indica que ángulo forman las manecillas del reloj a las:

a) 3h 26 min

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

¿Quién adelanta a quién?______________________________

Es decir que uso la:

I o II

M = ________ H = __________

a = ________ =

b) 7h 20 min

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

¿Quién adelanta a quién?______________________________

Es decir que uso la:

I o II

M = ________ H = __________

a = ________ =

→ Superpuestas → a = __________

→ Opuestas → a = __________

→ Perpendiculares→ a =_________

Ejemplos:

PosIcIoNes PartIculares eNtre las maNecIllas

1. ¿A qué hora entre las 7 y 8 p.m. las agujas están opuestas?

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

a = _______________ ; H = ________________

¿Quién adelanta a quién?_____________________________

¿Qué fórmula debería usar? I o II⇒ M = _________________

2. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 las agujas son perpendiculares?

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

a = _______________ ; H = ________________



¿Es la única solución? No. Hay otra solución.

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

a = _______________ ; H = ________________



65



Ejemplo 1:

¿Qué hora es. Según el gráfico adjunto?

a) 7h 24 2/3 d) 7h 23 1/13b) 7h 24 1/13 e) 7h 24 3/13c) 7h 23 2/13

a

12

67

8

9 3

4

5

ah m

Resolución:

a

12

67

8

9 3

4

5

a

m12

5div.

m div.

30 div.

Del esquema:

a = 30 - m = + 5m12

m = 23 <>23 minutos13

13

Para el minutero

Luego la hora será: 7h 23 min13

Rpta.: d

adelaNtos y atrasos

En aquellas situaciones donde se encuentran relojes malogrados debemos considerar:

Hora indicada

por un reloj atrasado

HoraReal

Hora indicada

por un reloj adelantado

+ATRASO

TOTAL

-ADELANTO

TOTAL

-Atraso

Total

+Adelanto

Total

Tiempo Atraso

3 horas 2 minutos1 día = 24 horas x

x = = 16 minutos24 .23

Ejemplo 3:

Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la hora correcta marca las 8:17. ¿Cuál será la hora correcta?

a) 8:25 b) 8:42 c) 8:35 d) 9:12 e) 10:01

Resolución:

se atrasaEn 1 hora 3 minutos

En 6 horas xse atrasará

Por regla de 3 simple directa:

x = 6x3 min1

=18 min (Atraso total)

⇒ Hora

correcta (Real)

= 8:17 + 18 = 8:35

Rpta.: c

Ejemplo 2:

Un reloj tiene un atraso de 2 minutos cada 3 horas. ¿Cuánto se atrasará en 1 día?

Resolución:

Se resolverá el problema, empleando la "regla de tres".

Hora real = Hora adelantada - adelanto

Hora real = Hora atrasada + atraso

Hora atrasada

= Hora real

- Atraso total

Hora adelantada

= Hora real

+ Adelanto

Hor

a m

arca

da

1) ¿A qué hora entre las 9 y las 10 las agujas de un reloj determinan un ángulo de 75º?

1) ¿A qué hora entre las 3 y las 4, las agujas de un reloj determinan un ángulo de 60º?

2) ¿Cuánto mide el ángulo que determinan las agujas de un reloj a las 4h 40min?

3) ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 10:40 p.m.?

2) ¿Cuánto mide el ángulo que determina las agujas de un reloj a las 5h 10 min?

3) ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 6:40 a.m.?

4) Un reloj se atrasa 6 minutos cada 8 horas, ¿cuál será su atraso en un día?

4) Un reloj se atrasa 18 segundos cada 2 horas. ¿Cuánto se atrasará en 14 horas?

5) ¿A qué hora entre la 1 y las 2 están opuestas las agujas del reloj?

5) ¿A qué hora entre las 9 y 10 las agujas de un reloj están en línea recta?

6) Un reloj se atrasa tres segundos por minuto. Si ya tiene un atraso de 3 minutos, ¿cuántos minutos necesita para tener 1 hora de retraso?

6) Un reloj se adelanta 7 segundos cada 45 minutos. ¿Cuánto se adelantará en 1 día?





Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______

Rpta: _______


67



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Si son las 2h 36 min, ¿qué ángulo forman las agujas de un reloj?

a) 138º b) 142º c) 117ºd) 146º e) 72º

Un reloj se atrasa 3 minutos cada 15 minutos. ¿Qué hora marcará cuando en realidad sea las 10:24h si hace 5 horas que viene funcionando con este desperfecto?

a) 11:24 b) 09:25 c) 10:28d) 09:24 e) 09:28

Un reloj se adelanta 2 minutos cada media hora. Si hace 8 horas que viene funcionando así, ¿qué hora será en realidad cuando dicho reloj marque las 02:38 h?

a) 02:16h b) 02:06h c) 02:08hd) 02:10h e) 02:18h

¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 10:40 p.m.?

a) 100º b) 60º c) 70ºd) 110º e) 80º





Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Suky golpeó su reloj a las 8:45h y a partir de ese momento se adelanta 8 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará dicho reloj a las 12:00 h?

a) 12:26 h b) 12:18 h c) 11:34 h d) 12:24 h e) 11:48 h

Siendo las 17:20 h un reloj marca 17:28. Si dicho reloj se adelanta a razón de 40s cada hora, ¿a qué hora empezó a adelantarse?

a) 05:30 b) 05:48 c) 05:40d) 05:10 e) 05:20

Siendo las 06:00 a.m., un reloj empieza a atrasarse a razón de 6 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará cuando sean las 6:00 a.m. del día siguiente?

a) 03:50 a.m. b) 04:52 a.m. c) 04:48 a.m.d) 03:36 a.m. e) 03:46 a.m.

Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3h. ¿A qué hora empieza a adelantarse si a las 11h 15 min de la noche marca las 11h 27 min?

a) 5:18 h b) 5:07 h c) 5:17 h d) 5:15 h e) 5:31 h



69



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si este desperfecto ocurre ya hace 7 horas, ¿qué hora marcan las agujas de tal reloj cuando la hora exacta es 3h 58 min?

a) 3h 52 min b) 3h 02 min c) 4h 52 min d) 4h 54 min e) 4h 56 min

Hace 10 horas que el reloj del colegio se atrasa 3 minutos cada media hora. ¿Cuál es la hora exacta si el reloj del colegio indica que son las 11h 28 min?

a) 10h 28 min b) 12 h 28 min c) 11h 56 min d) 12h 56 min e) 10h 15 min

Entre las 15:00 y 16:00 h, ¿a qué hora se superponen las agujas del reloj?

a) 3h 1 min b) 3h 2 min

c) 3h 4 min d) 3h min

e) 3h min

411

611

111

111

911

Luego de las 18:00 h, ¿cuál es la hora más cercana en la que las manecillas del reloj forman un ángulo recto?

a) 18h 2 min b) 18h 1 min

c) 18h 9 min d) 18h 5 min

e) 18 h 9 min

711

711

411

111

911





Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

¿Qué hora será según el gráfico?

a) 2h 24 min

b) 2h 22 min

c) 2h 23 min

d) 2h 21 min

e) 2h 22 1/2 min

¿Qué hora será exactamente según el gráfico?

a) 9h 20 min

b) 9h 25 min

c) 9h 36 min

d) 9h 42 min

e) 9h 18 min

¿Qué hora es según el gráfico?

a) 3h 55 5/13 min

b) 4h 45 4/13 min c) 3h 45 5/4 min

d) 3h 58 5/10 min

e) 3h 35 5/13 min

De acuerdo al gráfico, ¿qué hora es?

a) 2:51

b) 2:52

c) 2:53

d) 2:54

e) 2:55

a

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

2a

a

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

3a

a

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

a

2a

12

67

8

9

10

11 1

2

3

4

5

a



Capítulo

71



9Fracciones

OBJETIVOS:

a Desarrollar la capacidad de abstracción, en el uso de fracciones.a Familiarizar al estudiante en el manejo adecuado, vía operaciones matemáticas de las fracciones y sus múltiples

aplicaciones.

Introducción

"El ser humano es como una fracción: el numerador es lo que él realmente es y el denominador lo que él cree que es. Mientras más grande el denominador más pequeña la fracción".

La noción acerca de la fracción es muy antigua y su remoto origen se pierde en la bruma de los tiempos. Se deriva del latín fractum que significa "roto" o "quebrado".En el transcurso de la lucha por la supervivencia, constantemente surgía el problema de repartir la presa capturada, entre una determinada cantidad de individuos dividir los productos agrícolas recogidos de forma mancomunada, aquí el surgimiento de las fracciones, acto que nace por necesidad.

ab

o a/b

ab

(con b ≠ 0; a, b ∈Z)

Ejemplo:

Al número fraccionario que presente sus dos términos positivos vamos a denominarlo fracción.¡Cuidado!, debemos aclarar que esta consideración es sólo con fines prácticos, pues para dar la idea de fracción, haremos uso de "objetos reales".

Según la noción dada, indica cuáles de los siguientes números son fracciones y cuáles no lo son:

7-3

; 11e

; 86

; 23

; 45

; 7213

; 111113395

;

-59

; p4

; e3

; 1,1010110...; 126

Fracción

Números racionales

NocIóNAl cociente de la división de dos números enteros "a" y "b", donde "b" es diferente de cero, se le denomina número racional.El cociente puede ser un número entero y si no lo es puede quedar indicado en la representación del número racional.Luego bajo las condiciones dadas en la noción, podemos representar un número racional así:

observacIóN

Cuando escribimos:

Para representar a un número racional, estamos haciendo uso, como puede verse, de dos números. El primero es el número entero "a" sobre la línea horizontal que recibe el nombre de numerador y el segundo número entero "b" ubicado bajo la línea, el cual se llama denominador.

Números fraccionarios

Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. De acuerdo a la definición si denotamos por "f" al número fraccionario, tendremos:

f=ab

; donde: a ≠ b; b≠0; a, b ∈ Z

Por ejemplo, son números fraccionarios:

23

; 39

; 1214

; -37

; 218

; 10119

; 7-4

; etc.



Resolución:

No son fracciones:7-3

; 11e

; -59

; p4

; e3

;

126

1,1010110...;

Si son fracciones:

86

; 23

; 45

; 7213

; 111113395

observación

1 <> TOTAL <> 5 PARTES IGUALES

15

15

15

15

15

Lo sombreado representa los

35

ParteTodo

(La UNIDAD ha sido dividido en 5 partes de las cuales se considera 3)

3 PARTES

14

141

414

Sombreado34

14

No sombreado(blanco)

+34 +

14 =

44 =1

En general:

Fracción = ND

NumeradorDenominador

Fracción = ParteTodo

es, son, ...de, del, ...

En los problemas reconoceremos la "parte", porque va antecedido por la palabra "es" o sus sinónimos y el "todo" de la palabra "de", "del", etc.

FraccIóN GeNeratrIz de uNa ...

a) expresión decimal exacta

ab , cde

ab , cd abcd100

tiene 2 cifras

0,32 = 32

100

3,19 = 319100

0,007 = 7

1000

tiene 3 cifras

abcde1000

•

•

Ejemplos:

b) expresión decimal Inexacta

3,7 =37 - 3

9=

349

0,427 = 427 - 0999

=427999

6,74 =674 - 6

99=

66899

Periódica Pura

ab , xyxyxy...

ab , xyztiene 3 cifras

abxyz - ab999

ab , xytiene 2 cifras

abxy - ab99

•

•

•

Ejemplos:

c) expresión decimal Inexacta

ab , cdexyxyxy...

ab , cdexytiene

3 cifras

abcdexy - abcd99000

tiene 2 cifras

Periódica mixta

Fracción: Relación entre una parte de un total y el respectivo total (todo), donde:Todo: Número de partes en que se divide la unidad (total).Parte: Número de partes que se consideran.•

•

73



PérdIdas y GaNaNcIas sucesIvas

Pierde

xy

Queda

y - xy

4,237 =4237 - 42

990=

4195990

0,791 =791 - 79

900=

712900

1,123 =1123 - 11

990=

1112990

•

•

•

Ejemplos:

Ejemplos:

Pierde Queda

13

3 - 13 =

23

27

7 - 27 =

57

1)

2)

Gana

xy

Tendrá

y + xy

Gana Tendrá

29

9+29 =

119

12

2+12

=32

1)

2)

relacIóN Parte-todo

2) ¿Qué parte de es ?

Planteando28P . P= =

14

1 2

1 8

1 2

=1 8

¿Qué parte de A es B?

P . =

PlanteandoBA

P . A = B P=

1) ¿Qué parte de 6 es 2?

Planteando26

P . 6 = 2 P= =13

∴ Rpta.: Es la tercera parte.

∴ Rpta.: Es la cuarta parte.

Ejemplos:

Ejemplos:

Situación 1:

Ejercicios:

58

13

sItuacIoNes bÁsIcas coN FraccIoNes

Son aquellas situaciones que se presentan en los problemas razonados con FRACCIONES.

Halla lo que le falta a una fracción respecto a una cantidad.

a) ¿Cuánto le falta a para ser igual a 2 ?

b) ¿En cuánto es excedido por ?37

53

Situación 2:

Halla lo que le sobra a una fracción respecto a una cantidad.

Ejemplo:

¿Cuánto le sobra a respecto a ?35

13

Resolución:

35

- 13

=4

15

Situación 3:

Halla la fracción de una cantidad.

Ejemplo:

Halla los de 48.58

Resolución:

58

x 48 = 30





Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Efectua:

a) b)

2) Efectua:

a) b)

2) Efectua:

a) b)

1) Efectua:

a) b)

4) Efectua:

25

+ 34

47

- 311

43

+ 56

2548

- 518

35

x 109

79

÷ 143

58

x 34

x 125

512

÷ 158

3) Simplifica la expresión:

3449

-1 249

+15:7,5

549

11196

-: 36

25

3) Calcula el valor de:

E=

45

+12

+910

239

4) Señala una fracción equivalente a:

112

1

3 -2 -

1+

-35

3

32

-2

5) ¿Cuánto le falta a 5 para ser igual a ?23 1

31-

8

5) César tiene S/. 17 y Norma tiene S/. 8 .

¿En cuánto excede lo que tiene César a lo

que tiene Norma?

14

34

6) Si me deben los 3/5 de 500 dólares y me pagan los 2/3 de 300, ¿qué parte de lo que me debían me han pagado?

6) Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me paga 1/9 de S/. 252, ¿qué parte de lo que me debian me han pagado?


75



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resolución:

Resolución:

38

+56

- 118

23

+ 512

- 14

- 324

+ 19

x 75

+27

÷

157

Efectúa:

a) 13 b) 10 c) 3/5d) 4/7 e) N. A.

Efectúa:

a) 16 b) 8 c) 15/7d) 3/8 e) N. A.

38

x45

÷ 310

615

+16

- 15

+29

- 16

23

+49

- 712

x2 34

÷ 13

Lady compró manzanas, naranjas y plátanos. En manzanas gastó el doble que en naranjas y en plátanos el triple que en manzanas. ¿Qué parte del gasto total, gastó en plátanos?

a) 3/4 b) 2/5 c) 2/3d) 3/5 e) 1/3

Al mezclarse 2 cucharadas de pisco con 8 de miel, ¿qué parte de la mezcla es pisco?

a) 1/5 b) 3/10 c) 2/3d) 1/4 e) 3/2



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:Resolución:

Resolución:

Resolución:

Si ganara 20 soles después de perder la sexta parte de lo que tengo, me quedaría con S/. 60. ¿Cuánto tengo?

a) S/. 56 b) S/. 48 c) S/. 52d) S/. 45 e) S/. 42

Si ganara 30 soles después de perder la sexta parte de lo que tengo, me quedaría con S/. 80. ¿Cuánto tengo?

a) S/. 20 b) S/. 40 c) S/. 60d) S/. 80 e) S/. 100

Un avicultor se le pregunta cuántos pavos tiene, él contesta: "Si tuviera 1/5, 2/3, 1/7 y los 2/15 de los que tengo; tendría 30 demás". ¿Cuántos pavos tiene?

a) 200 b) 198 c) 210d) 158 e) 215

Un avicultor se le pregunta cuántos pavos tiene, él contesta: "Si tuviera 1/5, 4/3 y los 2/15 de los que tengo; tendría 20 demás". ¿Cuántos pavos tiene?

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 70

77



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Una pelotita cae de cierta altura y en cada rebote se eleva los 2/3 de la altura anterior. Si después de 4 rebotes consecutivos logra elevarse 32 cm, ¿de qué altura cayó inicialmente? a) 81 cm b) 62 cm c) 162 cm d) 324 cm e) 124 cm

Una pelotita cae de cierta altura y en cada rebote se eleva los 2/5 de la altura anterior. Si después de 3 rebotes consecutivos logra elevarse 64 cm, ¿de qué altura cayó inicialmente? a) 100 cm b) 200 cm c) 300 cm d) 400 cm e) 1 000 cm

Después de haber perdido sucesivamente los 3/4 de su dinero, los 2/5 del resto y los 2/3 del nuevo resto, un apostador pierde $2050 y de este modo queda debiendo $ 150. ¿Qué cantidad tenía antes de iniciar el juego?

a) $ 30 000 b) $ 38 000 c) $ 32 000d) $ 39 000 e) $ 35 000

Después de haber perdido sucesivamente los 1/4 de su dinero, los 2/3 del resto y los 2/5 del nuevo resto, un apostador se queda con S/.60. ¿Qué cantidad tenía antes de iniciar el juego?

a) S/. 100 b) S/. 200 c) S/. 400d) S/. 800 e) S/. 2 000



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Un comerciante tenía cierta cantidad de litros de vino:

I. Al primer cliente le vendió 1/3 del total.II. Al segundo cliente le vendió 1/4 del resto.III. Al tercer cliente le vendió 1/5 del nuevo resto.IV. Al cuarto cliente le vendió 1/6 de lo que aún

le quedaba.V. Al quinto cliente le vendió los 12 últimos litros.¿Cuántos litros de vino le vendió al segundo?

a) 631 L b) 241 L c) 121 L d) 181 L e) 61 L

Un comerciante vende los 4/5 de una pieza de tela a un cliente y la sexta parte de lo que le queda a otro cliente sobrándole aún 20 m. ¿Cuántos metros tenía inicialmente?

a) 60 m b) 150 m c) 90 m d) 240 m e) 120 m

Un vendedor de enciclopedias recibe como comisión, 3/16 del total de las ventas de libros de geografía y los 5/18 del total de las ventas de libros de matemáticas. Si luego de una jornada se vendió S/. 400 en libros de geografía y S/. 576 en libros de matemática. ¿Cuánto recibió de comisión el vendedor?

a) S/. 235 b) S/. 270 c) S/. 135 d) S/. 315 e) S/. 255

Fernando dedica 1/8 del día a jugar en la computadora, 1/16 del día lo dedica a comer y 1/4 del día lo dedica a dormir. Si el resto del día lo dedica a cumplir con los trabajos del colegio, ¿qué fracción del día dedica a esta última labor? a) 3/16 b) 5/16 c) 7/16d) 9/16 e) 1/16

Capítulo

79



10Reducción a la Unidad

OBJETIVOS:

a Emplear fracciones para resolver situaciones que realizan dos o más objetos, o personas en conjunto.

a Desarrollar la capacidad de abstracción, en el uso de fracciones.

Introducción

Estos tipos de problemas se caracterizan porque se tratará de homogenizar lo hecho por cada objeto (caños, grifos) o personas ya sea en "un día", "un minuto", etc.

Es el procedimiento mediante el cual se calcula la parte de la obra realizada en cada unidad de tiempo.

Por ejemplo, si nos dicen que: "Luis hace toda una obra en cinco días", entonces debemos considerar que en un día hará 1/5 de la obra, es decir:

Obra Tiempo Pa r t e d e o b r a realizada en cada unidad de tiempo

12

2 h

de la obra

13

3 h

de la obra

14

4 h

de la obra

1x

x h

de la obra

x partes

...

* Un caño demora 3 horas en llenar un depósito.

* En 1 hora llenará la tercera parte.

Dos caños llenan un depósito; el primero demoraría sólo 3 horas y el otro sólo lo llenaría en 6 horas. ¿En cuánto tiempo llenarían todo el depósito si trabajan juntos?

* El primero demora 3 horas.

1 hora

1 hora1 hora

En 1 hora:

1/3

13

13

llena:13



Ejemplo 3:

Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en cuatro horas y el segundo en tres horas. ¿Cuántas horas después de haber encendido los cirios la altura del primero es el doble de la del segundo?

Resolución:

El primero, en 1 hora se consume:14

El segundo, en 1 hora se consume:13

→ El primero en "t" horas se consumió: t4

→ El segundo, en "t" horas se consumió: t3

Luego: (condición)(lo que quedó del primero) = 2(lo que quedó del segundo)

1- t4

= 2 1- t3

Ejemplo 1:

Entonces:Tiempo Llenan

1h 1/2 X 1

X= 1x1

12

= 2 horas

Si trabajan juntos lo llenarían en 2 horas.

Un recipiente puede ser llenado por el grifo A, trabajando sólo 3 horas, y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará?

Resolución:

∴ Rpta.: El recipiente será llenado en 1,2 h o 1h 12 min.

A = 3h B = 2h A y B = xh13 +

12 =

1x

2+33 x 2 =

1x

3 x 22+3 = x

A B

Ejemplo 2:

Del gráfico, A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas?

P = 3h B = 4h A y B = xh

∴ Rpta: El recipiente se llenará al cabo de 12 h

13 -

14 =

1x

4 - 33 x 4 =

1x

3 x 44 - 3 = x

= x12

A

B

Resolución:

∴ Rpta: t= 2, 4 horas

* El segundo demora 6 horas.

1 h 1 h

1 h 1 h

1 h 1 h

1/6 1/6

1/6 1/6

1/6 1/6

llena:16

Si ambos llenan a la vez en 1 hora:

13 1/6+ = 1

3 +16 = 3

6 = 12

primer caño

segundocaño

En 1 hora:

81





Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Un caño "A" llena un depósito en 6 min y un caño "B" llena el mismo depósito en 12 min. ¿En qué tiempo llenará los dos caños el depósito?

1) Un caño llena el depósito "A" en 6 min y el depósito "B" en 12 min. ¿En qué tiempo llenará ambos depósitos?

2) En 1 min un caño llenó 1/24 de un depósito. ¿Qué tiempo demorará en llenar todo el depósito?

2) Si Gabriel pintó 1/3 de una casa en 1 día, ¿en qué tiempo pintará toda la casa?

3) Frank puede hacer un trabajo en 8 días y su hijo lo puede hacer en 12 días. ¿Cuántos días le tomará hacer todo el trabajo juntos?

3) Un obrero hace una obra en cuatro días; otro obrero demora ocho días. ¿Cuánto demoran juntos en hacer dicha obra? (en días)

4) De los tres caños que fluyen a un estanque, uno de ellos lo puede llenar solo en 36 horas, otro en 30 horas y el otro en 20 horas. Abriendo los tres caños a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenarán las 2/3 del estanque?

4) Un caño puede llenar un depósito en tres horas y otro lo puede hacer solo en cuatro horas. Si el depósito está vacío y abrimos los dos caños a la vez, ¿en qué tiempo se llenará los 3/4 del depósito?

5) Un caño "A" llena un depósito en 24 h y un caño "B" demora 48 h. ¿En qué tiempo llenarán juntos los 2/3 de los 4/5 de los 15/32 del depósito?

5) De los dos caños que fluyen a un tanque, uno solo lo puede llenar en seis horas y el otro lo puede llenar en ocho horas. Si abrimos los dos caños a la vez estando el tanque vacío, ¿en qué tiempo se llenará dicho tanque?

6) Un caño llena un depósito en 8h y un desagüe lo vacía en 12h. ¿En qué tiempo se llenará el depósito si se abre el desagüe una hora después de abrir el caño?

6) Un caño llena un estanque en cuatro horas, y el desagüe lo vacía en seis horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si la llave del desagüe empezará a funcionar una hora después de abierto el caño?




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2




Manuel es el triple de rápido que Juan y juntos realizan una obra en 12 días. Si la obra la hiciera solamente Manuel, ¿cuánto tiempo le tomaría? a) 16 días b) 64 días c) 32 días d) 40 días e) 48 días

Gloria es el doble de rápida que María, y juntas hacen un trabajo en 10 días. ¿En qué tiempo haría Gloria la obra si trabajase sola?

a) 30 días b) 15 días c) 25 días d) 10 días e) 20 días

Tres obreros hacen un trabajo en cuatro días. Si el primero lo haría solo en 12 días y el segundo en 24 días, ¿cuánto demoraría el tercero? a) 6 días b) 4 días c) 5 díasd) 7 días e) 8 días

Tres obreros hacen un trabajo en 4 días, sabiendo que el primero lo haría solo en 9 días y el segundo en 12 días. Averigua lo que demoraría el tercero trabajando solo. a) 15 días b) 18 días c) 16 días d) 20 días e) 17 días

83



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


Resolución:

Resolución:

"A" y "B" pueden hacer una obra en 20 días, "B" y "C" pueden hacer la misma obra en 15 días, "A" y "C" la pueden hacer en 12 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra "A", "B" y "C" juntos?


"A" y "B" pueden realizar cierto trabajo en 4 días, "B" y "C" pueden en 6 días y "A" y "C" pueden efectuarlo en 8 días. ¿Qué tiempo utilizarán los tres juntos en realizar este trabajo?

a) 3 días b) 3 1/2 días c) 4 díasd) 3 9/13 días e) N. A.

Dos grifos "A" y "B" llenan juntos un estanque en 30 horas. Si el grifo "B" fuese desagüe, se tardaría en vaciar el estanque 60 h. ¿En cuántas horas llenaría la llave "A" el estanque, estando este vacío?

a) 20 b) 25 c) 30d) 35 e) 40

Dos grifos "A" y "B" llenan juntos un estanque en 20 h. Si el grifo "B" fuese de desagüe, se tardarían en llenar el estanque 60 h. ¿En cuánto tiempo llenaría "A" el estanque, estando este vacío?

a) 28 h b) 25 h c) 30 hd) 32 h e) 27 h



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:


Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 15 días. Después de trabajar juntos durante 3 días se retira el ayudante terminando el albañil la parte que faltaba en 16 días. ¿Cuántos días se demoraría el ayudante en hacer toda la obra él solo?


Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 12 días. Después de haber trabajado durante 6 días se retira el ayudante y el albañil termina lo que faltaba de la obra en 10 días. ¿En cuántos días puede hacer el ayudante toda la obra trabajando solo?


A, B y C pueden hacer un trabajo en 10, 5 y 2 días, respectivamente. El primer día trabaja A solo, el segundo día se le une B y el tercer día trabajan juntos los tres. ¿Cuánto tiempo se necesitaría para hacer toda la obra?

a) 2 días b) 2 3/4 días c) 2 1/4 díasd) 3 días e) 2 1/2 días

Ana realiza un trabajo en 2 días y Betty hace el mismo trabajo en 3 días. Betty empieza el trabajo y lo hace durante 12 horas, cuando acude Ana en su ayuda y culminan el trabajo juntas. ¿En qué tiempo terminaron las dos juntas la parte que faltaba de la obra?

a) 1 d b) 1 1/4 d c) 1 1/2 dd) 1 1/5 d e) 1 1/3 d

85



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Resolución:

Resolución:

Un caño puede llenar un tanque en 7 horas, mientras que otro caño puede vaciar el mismo tanque en 8 horas. Se abre el primer caño y luego de tres horas el segundo caño. ¿Cuánto tiempo después de haber abierto el segundo caño, se llenaría el tanque?

a) 1 h b) 1 1/2 h c) 1 1/3 hd) 1 1/4 h e) 1 1/5 h

Un depósito tiene dos válvulas de desagüe, situadas en el fondo. La primera válvula desagua todo el volumen en 6 horas y la otra, en 8 horas. Determina qué tiempo tardará en desaguar el depósito si estando lleno se abren las 2 válvulas.

a) 4 3/7 h b) 3 3/7 h c) 2 1/5 hd) 8 1/4 h e) 3 4/9 h

Un tanque puede ser llenado en 20 horas por un grifo A. Este tanque tiene un ducto de vaciado B colocado a media altura del tanque, el cual puede vaciar su parte en 30 horas. Estando abierto el ducto B, se abre el grifo A. ¿Al cabo de qué tiempo se llenará el tanque?

a) 30 h b) 35 h c) 40 hd) 25 h e) 50 h

Se tiene un tanque con tres llaves, la primera llena el tanque con 4h, la segunda llena el mismo tanque en 6h y la tercera lo desagua en 8h. ¿En qué tiempo se debería llenar las 7/8 partes del tanque si se abren las 3 llaves al mismo tiempo estando vacío el tanque?

a) 3 h b) 4 h c) 5 hd) 6 h e) 7 h



Capítulo

11Tanto por Ciento

Ejemplo:

Resolución:

Es el procedimiento que consiste en dividir al todo en 100 partes, de las cuales se toma un número determinado de ellas.

n % = n

100 = n . 1100( ( Se lee n por ciento.

100% = 100100

= 1

50% = 50100

=

25% = 25100 =

12

14

20% = 20100

= 15

10% = 10100

= 110

Ejemplo:

Dividiendo la unidad en 100 partes iguales, tenemos:

1100

1100

1100

1100

1100

1100

...

2 partes = 2% = 2 x 1100 =

2100

equivalencias Notables

x = 100% x Toda cantidad representa el 100% de sí misma.

32% 50 = 50% 32 El orden de los factores no altera el producto.

observación

20% M + 30% M = 50%M 40% N - 15%N = 25%N x + 10%x = 110%x x - 10%x = 90%

(120%)2 = 144%

(81%)1/2 = 90%

operaciones con porcentajes

Expresión general:

p% de N = M

reglas prácticas

I p% de N = x Np

100

Halla el 40% de 800.

40% de 800 = x 800 = 32040100

o también: x 800 = 32025

NotacIóN

100 partes

100% = 100 x 1

100 =100100 = 1

II ¿Qué porcentaje de A es B ?

Rpta.: BA

x 100%

Ejemplo:

¿Qué porcentaje de 150 es 30?

Rpta.: 30150 x 100% = 20%

87



III A% de B = B% de A

Ejemplo:

Halla el 46% de 50.

Resolución:

46% de 50 = 50% de 46

= x 46 = 2312

relación parte - todo

partetodo

x100% → es, será, representa→ de, del, de los

* ¿Qué parte de 60 es 3?3

60x 100% = 5%

* ¿De qué número el 15% es 30?15

100x N =30 → N = 200

IV A% más = (100+A)%A% menos = (100-A)%

Ejemplo:

Halla el 20% más de 850.

Resolución:

20% más→(100+20)% de 850 = 120%(850)

= x 850 = 1020120100

variaciones porcentuales

Sólo se analiza todo aquello que pueda variar, lo constante puede ser eliminado puesto que no afectará el resultado final.

Aumentos y disminuciones:

250%75%10%Aumento

350%175%110%Inicio 100%

Inicio 100%35%10% 45%

55%65%90%

Disminución 75%

25%

Aplicaciones del tanto por ciento en transacciones comerciales.

I. Pv=Pc+G

II. Pv=Pc - P

III. Pv=Pf - D

Pv : Precio de ventaPc : Precio de compraG : GananciaP : PérdidaPf : Precio fijado o precio de listaD : Descuento

2. La base de un rectángulo aumenta en 20% y la altura disminuye en 10%. ¿Qué porcentaje de variación tiene el área?

Resolución:

Inicialmente

100%

100%

Ainicial = 100%

Después de la variación

100% - 10%

90%120%

100%+20%

Afinal = 120%x90%=108%

Luego:El área aumentó en: 108% - 100% = 8%

reGla PrÁctIca

a%xb% =axb100

%

* Descuentos sucesivos

3. En una tienda ofrecen el descuento del 20% más el 30%. ¿Cuál es el descuento único?

Sea x el precio inicial.

70%.80%.x=56%x precio final

descuenta el 20%, queda 80%descuenta el 30%, queda 70%

Descuento: x - 56%.x = 44%x

1. En un salón de clases el 40% son hombres y las mujeres son 21. ¿Cuántos alumnos hay en el salón?

Resolución:

Como el 40% son hombres, entonces el tanto por ciento de mujeres será:

100% - 40% = 60%Luego, si "N" es el número total de alumnos podemos escribir:

60% N = 2160

100N = 21 → N = 35

∴ Son 35 alumnos en el salón.

Resolución:





Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) El 20% del 60% del doble de un número es igual al 45% del 30% de 4000. Halla el 10% del número.

1) Si el 35% de un número equivale al 15% del 2 por 5 de 2100, halla el número.

2) Si el 40% del 50% de x es el 30% de y, ¿qué porcentaje de (2x+7y) es (x+y)?

2) Si el 80% de M es igual al 40% de N, ¿qué porcentaje de N es M?

3) En una reunión hay 100 personas de las cuales el 70% son mujeres. ¿Cuántas parejas deben llegar a la reunión para que el número de hombres sea el 60% de las mujeres?

3) En una compañía trabajan 160 personas donde el 25% son mujeres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 40% del personal sea de mujeres?

4) Dos blusas son vendidas en S/. 30 cada una. En la primera se gana 20% y en la segunda se pierde el 20%, entonces se puede afirmar que:

a) Se pierde S/. 2,50b) Se pierde S/. 4c) No se pierde ni se ganad) Se gana S/. 2,50e) Se gana S/. 4

4) Se venden 2 objetos en S/. 1200 cada uno, en uno de los objetos se gana el 15 por 75 de su costo y en otro se pierde en 10 por 70 de su costo. ¿Qué cantidad se gana o se pierde?

5) Si el lado de un triángulo equilátero aumenta 30%, ¿cuál es la variación del área?

5) Un círculo disminuye en 36% su área. ¿En qué porcentaje habrá disminuido su radio?

6) Dos descuentos sucesivos del 10% y del 30% equivalen a un descuento único de:

a) 39% b) 37% c) 35% d) 33% e) 31%

6) Tres descuentos sucesivos del 50%, 70% y 20%, ¿a qué descuento único equivalen?


89



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:

Resolución:


El 15% del 40% de los 5/8 de un número es equivalente al 25% del 0,02% de 2250. El número es:

a) 3 b) 30 c) 300d) 3000 e) N. A.

El 50% de 40 es el n% de 160.Halla n.

a) 30 b) 25 c) 12,5d) 8 e) 10

Si "S" es el 150% de "T", ¿qué tanto por ciento de "T" es (S+T)?

a) 100% b) 150% c) 200% d) 250% e) 300%

Si el 65% de N es igual a 106% de (N - 123), ¿qué porcentaje de N representa 53?

a) 12,9% b) 16,6% c) 15%d) 18,4% e) 19%



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:


El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, entonces el área del rectángulo varía en 160m2. ¿Cuál era el área inicial?

a) 200 m2 b) 4000 m2 c) 400 m2 d) 1600 m2 e) 2000 m2

Si el precio de un artículo disminuye en 20%, ¿en cuánto debe aumentar el nuevo precio para volverlo al precio original?

a) 20% b) 25% c) 30%d) 15% e) 28%

Se vende un objeto en S/. 10, ganando el 5% del precio de costo. ¿Qué tanto por ciento se hubiese ganado si se hubiese vendido en 12 soles? a) 26% b) 24% c) 28%d) 32% e) 30%

Se compra un artículo y luego se vende ganando S/. 150. ¿Cuál es el precio de costo del artículo si lo vendió en S/. 735? a) S/. 858 b) S/. 586 c) S/. 356d) S/. 587 e) S/. 585

91



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



S e c o m p r ó u n a r t í c u l o e n S / . 1 6 0 . ¿Qué precio debe fijarse para su venta al público, para que haciendo un descuento del 20% todavía se esté ganando el 25% del costo? a) S/. 300 b) S/. 150 c) S/. 250 d) S/. 175 e) S/. 200

Se quiere vender un artículo a S/. 8000, pero luego se le hacen aumentos sucesivos del 20% y 25% y a lo obtenido dos descuentos sucesivos del 25% y 20%. ¿A cómo se vendió finalmente?

a) S/. 9000 b) S/. 7200 c) S/. 8100 d) S/. 7800 e) S/. 1300

Un artículo al venderse se rebaja en 10%, luego se le recarga en 10%, pero se le vuelve a rebajar 10% pagando así S/. 4455. ¿Cuál era el precio inicial?

a) S/. 5200 b) S/. 5000 c) S/. 4800d) S/. 5500 e) S/. 5050

Luego de hacerle dos descuentos sucesivos de 20% y 10% un artículo cuesta S/. 288. ¿Cuál era su precio original? a) S/. 300 b) S/. 320 c) S/. 350d) S/. 280 e) S/. 400



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 90% de triunfos en su carrera. Si ha obtenido 85 triunfos de 100 peleas, ¿cuál es el número mínimo de peleas adicionales necesarias para que el boxeador pueda retirarse?

a) 5 b) 25 c) 50 d) 75 e) 10

Un padre reparte entre sus dos hijos una propiedad de S/. 11250. Si el mayor hubiese recibido 20% menos y el menor 30% menos, entonces ambos recibirían lo mismo. ¿Cuánto recibió el hermano mayor?

a) S/. 6000 b) S/. 6500 c) S/. 5500d) S/. 5300 e) S/. 5250

Si gasto el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería 156. ¿Cuánto tengo?

a) 3500 b) 2000 c) 1500 d) 1560 e) 1800

Si se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, y un aumento del 10%, entonces equivalen a un único descuento del: a) 21,6% b) 23,5% c) 22,4%d) 26,2% e) 20,8%

Capítulo

93



12Series Numéricas

S=1+2+3+...+98+99+100

S = 100+99+98+...+3+2+1

Karl Friedrich Gauss (1777-1855): Llamado el Príncipe de las Matemáticas. Dominó el siglo XIX en matemáticas. Desde niño demostró una poderosa habilidad con los números. A los 3 años corrigió un error que su padre había hecho en el cálculo de los salarios de unos albañiles que trabajaban para él. A los 6 años su maestro de escuela, que quería paz en la clase, ordenó a todos que sumaran los números del 1 al 100. Gauss inmediatamente escribió su resultado en la pizarra: 5050.

Un ejemplo sobre series nos da la siguiente historia:"El rey de la India, en reconocimiento al ingenioso invento realizado por Lahur Sessa decidió darle una recompensa, para lo cual mandó llamar al inventor a su palacio. El invento constaba de un tablero de 64 cuadrículas y 16 piezas. El inventor de dicho juego ordenó que se le diese 1 grano por el primer casillero, y por cada casillero siguiente el doble de la cantidad anterior, hasta terminar con los 64 casilleros. El rey ordenó que se entregue lo pedido por Lahur Sessa, al cabo de un tiempo los calculistas de palacio comunicaron al rey que tal pedido era imposible".Para conseguir dicho volumen se afirma que la Tierra convertida, de norte a sur, en un sembrado con una cosecha por año, tardaría 450 siglos en producir semejante cantidad, y que si por simple pasatiempo contáramos los granos de trigo del montón a razón de 5 granos por segundo, contando día y noche sin parar, dedicaríamos a esta tarea 1170 millones de siglos.

definición

Una serie es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica, y al resultado de dicha adición se le llama valor de la serie. Es decir, si la sucesión numérica es:

t1; t2 ; t3 ; ... ; tn.

entonces, la serie numérica será:

t1 + t2 + t3 + ... + tn

La serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión (progresión aritmética).

a1; a2; a3; ... ;an

serie aritmética

cÁlculo del térmINo eNésImo o térmINo GeNeral

an = a1 + (n -1)r

n = an - a1

r + 1

Sn= a1 + an

2n

cÁlculo del Número de térmINos

cÁlculo de la suma de térmINos

101x1002

(+)

a1 : primer términor : razónan : término enésimo

S =



Ejemplo:

a) Calcula: C =1+4+7+10 + ... + 43

serie Geométrica

La serie geométrica es la adición de los términos de una sucesión o progresión geométrica.

a1; a2; a3; ... ;an

r r

an = a1 (rn-1)

Sn= a1 (r

n -1)

(r -1); donde r ≠ 1

a) Halla el valor de la siguiente serie: S = 2+4+8+16+ ... + 1024

cÁlculo del térmINo eNésImo o térmINo GeNeral

cÁlculo de la suma de térmINos

Ejemplo:

a1 : primer términor : razónan : término enésimo

Donde n es el número de sumandos.

a) R = 1 + 2 + 3 + ... + 20

Donde n es el número de pares consecutivos.

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)

Suma:

suma de los «n» PrImeros Números Naturales coNsecutIvos

1+2+3+...+n = n (n + 1)2

suma de los «n» PrImeros Números Pares coNsecutIvos

series Notables

Ejemplos:

Suma:

Ejemplos:

a) A = 2 + 4 + 6 + ... + 30

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2

suma de los «n» PrImeros Números ImPares coNsecutIvos

Suma:

Ejemplos:

a) Z = 1 + 3 + 5 + ... + 57

Donde n es el número de impares consecutivos.

95



Donde n es el número de los sumandos.

a) M = 1 + 4 + 9 + ... + 900

suma de los cuadrados de los «n» PrImeros Números Naturales coNsecutIvos

12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n +1)

6

Suma:

Ejemplos:

Donde n es el número de los sumandos.

a) K=2+7+28+63+ ...+999

suma de los cubos de los «n» PrImeros Números Naturales coNsecutIvos

13+23+33+...+n3= n(n+1)

2

2

Suma:

Ejemplos:

A las fórmulas que ya conoces, le añadiremos algunas más y estarás listo para resolver ejercicios.

* 1x2+2x3+3x4+...+n(n+1)

= n(n+1)(n+2)3

* 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n(n+1)(n+2)

= n(n+1)(n+2)(n+3)4

* 1

1x2+

12x3

+1

3x4+...+

1n(n+1)

=n

n+1

Ejemplo:

120x21

11x2

+1

2x3+

13x4

+...+

Calcula:

Resolución:

i. Primera forma: Aplicando la fórmula conocida:

120x21

11x2

+1

2x3+

13x4

+...+ =2021

ii. Segunda forma: Yo sé:

* 1

1x2=

12

= 1 - 12

* 1

2x3=

16

= 12

- 13

* 1

3x4=

112

= 13

- 14

Reemplazando se tiene:

1 - 12 +

12

- 13

+13

- 14 +

14 +...

+1

20- 1

21= 1 - 1

21 =2021

Un problema deadolescencia

Carlos es cuatro años más joven que José. Pero dentro de cinco años, José tendrá dos veces la edad que tiene Carlos ahora. ¿Qué edad tiene en este momento cada uno de ellos?

Pista: Uno de ellos es un adolescente.

reto





Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Halla: T = 21+22+23+24+...+100

1) Calcula: S = 3+4+5+...+30

2) Calcula: S = 17+19+21+...+73

2) Calcula: S = 1+3+5+7+...+47

3) Calcula: E=14+16+18+20+...+60

3) Calcula: S=2+4+6+8+...+46

40 términos

4) Calcula: S=32+42+52+...+152

4) Calcula: S=1+4+9+...+169

5) Calcula E = 2(R-P) si: P = 69+67+65+...+7+5+3+1 R = 50+49+48+...+4+3+2+1

5) Calcula B - D si: B = 2+4+6+8+...+80 D = 1+1+1+1+...+1

6) Halla la suma de los 20 primeros términos de la siguiente sucesión:

1, 8, 27, 64, ...

6) Calcula: S = 1+8+27+...+2197


97



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2




Suma: 25+27+29+...

a) 1580 b) 1590 c) 1600d) 1620 e) 1640

30 sumandos

Calcula el valor de F.F = 1+5+9+...+37

a) 170 b) 180 c) 190d) 200 e) 210

Dado: S = 10x11+11x12+12x13+...+20x21halla S.

a) 5640 b) 5740 c) 2750d) 5410 e) 5860

Halla el valor de P si:P = 1x2+2x4+3x6+4x8+...+19x38+20x40

a) 5720 b) 5730 c) 5740d) 5750 e) 6720



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:


Calcula:

a) b) (n+1) c) n

d) e)

11x2

+1

2x3+

13x4

+...E=

(n-1) sumandos

n-1n

n+1n

nn-1

Halla:

a) 61/60 b) 60/61 c) 59/60d) 60/59 e) 62/61

P= 11x2+ 1

2x3+ 1

3x4+...+ 1

60x61

Resuelve:S= 1x2x3x4+2x3x4x5+...+10x11x12x13

a) 46048 b) 43240 c) 45480d) 36036 e) 48048

Halla: M = 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+15x16x17

a) 18360 b) 13860 c) 16380d) 16830 e) 10683

99



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Un comerciante negocia sus caramelos de la siguiente manera: vende 2 y regala 1, vende 4 y regala 2, vende 6 y regala 3, y así sucesivamente. Si en total ha regalado 78 caramelos y no le ha quedado absolutamente nada, ¿cuántos caramelos tenía al principio?

a) 156 b) 172 c) 196d) 212 e) 234

Lolo compra el día de hoy 19 cajas de tomates y ordena que cada día que transcurra se compre una caja más que el día anterior. ¿Cuántas cajas compró en total si el penúltimo día se compraron 43 cajas?

a) 623 b) 819 c) 720d) 430 e) 580

En el siguiente arreglo hay 30 filas. Halla la suma total.

a) 960 b) 1190 c) 1256d) 1640 e) 1343

99 9

9 2 99 2 2 9

9 2 2 2 9

Dado el siguiente arreglo, halla la suma total.

a) 3421b) 3434c) 3424d) 3224e) 3422

12 4

3 2 94 2 2 16

5 2 2 2 25

Fila 1Fila 2Fila 3Fila 4Fila 5

Fila 20

...



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados así formados, tomando como lado la mitad del lado del cuadrado anterior. Considera también al cuadrado mayor.

a) 8a2

3 b) 16a2

c) 4a2

d) 16a2

3 e) 12a2

5

2a O

2a

Calcula:

a) 7/49 b) 9/49 c) 8/50d) 8/49 e) 5/49

U=18

+ 282 + 3

83 + 484 +... ∞

La masa de un péndulo recorre 16 cm durante la primera oscilación. En cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 3/4 de lo recorrido en la oscilación anterior. Calcula el espacio total recorrido por la masa hasta el momento de detenerse. (Sug.: use suma límite)

a) 32 cm b) 16 cm c) 64 cm d) 48 cm e) 128 cm

Si:

halla y.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

y=1+12

14

+ 18

+ +...in f in i tos sumandos

Capítulo

101



13Conteo de Figuras

Consiste en poner dígitos a las figuras que nos interesa contar e ir combinándolos en forma ordenada.

De 1 figura : 1, 2, 3 = 3De 2 figuras : 12, 23, 3 x, 1x = 4De 4 figuras : 123x = 1Total : 8

• Se utiliza en casos donde la cantidad de figuras a contar parezca muy grande.

•Consiste en analizar casos particulares y luego generalizar para hallar el total.

•Este método se emplea para determinar las fórmulas en ciertos casos particulares.

1 2 3 ...

n-1 n

coNteo NumérIco

Ejemplo:

¿Cuántos triángulos hay?

3

21

x

coNteo Por INduccIóN

Dentro de estos casos tenemos:

I. Para trIÁNGulos

Ejemplo:

¿Cuántos triángulos hay?

1 2 3 4 5

triángulos = 5(6)2

Nº.

Nº. triángulos = n(n+1)2

= 15

n n-1

321

...

II. Para ÁNGulos

Nº. n(n+1)2

ángulos =



Nota

No existen fórmulas generales, sólo para ciertos casos particulares.

¿Cuántos ángulos hay?

ángulos = 4(5)

2 = 10

Ejemplo:

4 321

Nº.

III. Para sectores cIrculares

¿Cuántos cuadrados hay?

n = 5

= 150

¿Cuántos cuadriláteros hay?

En total: 10 . 2 = 20 sectores.

sectores = 4 x 52

= 10

n

...

3

2

1 2 3 ... n

5

32

1 2 3

4

4 5

cuadrados = 5 x 6 x 11

6= 55

cuadriláteros = 5 x 62

x 4 x 52

n ...3

2

1

Ejemplo:

¿Cuántos sectores circulares hay?

43

2

1

Iv. Para cuadrados

n(n+1)(2n+1)6

cuadrados =

Ejemplo:

v. Para cuadrIlÁteros

n(n+1)2

m

...

21 2 3 ... n-2 n-1 n

m(m+1)2

Ejemplo:

4

21 2 3 4 5

3

5 x 62

4 x 52

Nº. n(n+1)2

sectores =

Nº.

Nº.

Nº.

cuadriláteros= n(n+1)2

. m(m+1)2

Nº.

Nº.

103



Para n = 3 tenemos:

n

...

1 ... n

1

n...

3(4)2( (2= 36 cubos

vI. Para cubos

Ejemplo:

vII. Para semIcírculos

Fórmula:

Número desemicírculos

= 2Número de diámetros trazados

Ejemplo:

Halla el número total de semicírculos en la siguiente figura:

a) 8 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

Resolución:

Este tipo de ejercicio también se resuelve por medio de fórmula, veamos:

5

5 67

81

23

467

8

1

23

4

Luego:

Número de semicírculos=2(8)=16

Rpta.: d

cubos = n(n+1)2

2Nº.

diámetro





Rpta: ________

Rpta: ________Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

2) ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?



2) En la siguiente figura, indica la cantidad de triángulos que existen como máximo.

3) Determinar la cantidad de cuadrados que hay en la siguiente figura.

1 2 3 4 32 33...

AB

C

D

E

F

GH

4) ¿Cuántos cuadriláteros como máximo hay en la siguiente figura?

6) ¿Cuántos segmentos se cuentan en la siguiente figura?

4) Halla el total de segmentos que se observan.

5) Halla el total de ángulos menores de 180º.

5) ¿Cuántos triángulos como máximo se cuentan en la siguiente figura?

6) Halla el total de triángulos en:

Rpta: ________Rpta: ________

Rpta: ________Rpta: ________

105



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



¿Cuántos triángulos existen en total en la siguiente figura?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

¿Cuántos triángulos se puede contar como máximo en la siguiente figura?

a) 165 b) 105 c) 60 d) 30 e) 90

¿Cuántos cuadriláteros se pueden observar como máximo en esta figura?

a) 5 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

¿Cuántos triángulos hay en la figura?

a) 30 b) 36 c) 40 d) 44 e) 48





Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Halla el total de triángulos.

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

Halla el número total de hexágonos en la figura mostrada.

a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 25

Halla el número de octóganos en la figura mostra-da.

a) 15 b) 18 c) 20 d) 21 e) 24

Halla el número total de triángulos en la figura mostrada.

a) 25 b) 38 c) 42 d) 40 e) 27



107



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

¿Cuántos sectores circulares existen en la figura mostrada?

a) 80 b) 92 c) 82 d) 93 e) 94

Halle el número total de sectores circulares exis-tentes en la figura.

a) 140 b) 142 c) 144 d) 150 e) 154

Halla cuántos triángulos tienen un asterisco.

a) 2 b) 6 c) 5 d) 7 e) N.A.

**

¿Cuántos triángulos tienen sólo un asterisco?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

**

*

r r





Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Determina cuántos trapecios hay en la siguiente figura.

a) 21 b) 28 c) 30 d) 36 e) 37

¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

a) 26 b) 29 c) 32 d) 33 e) N.A.

Halla el número de triángulos.

a) 60 b) 63 c) 65 d) 67 e) 70

20

2

34

5

6

1

......

Si la figura está formada por cuadraditos iguales, ¿cuántos cuadrados se contarán en total?

a) 403 b) 400 c) 350 d) 324 e) 460

1 2 3 17 18 19

... ...

..............



Capítulo

109



14AnálisisCombinatorio I

Para realizar el estudio del análisis combinatorio se hacen necesarias algunas herramientas, tales como el factorial de un número y los números combinatorios.

FactorIal

NotacIóN:

Ejemplos:

Factorial de un número es el producto de los números enteros positivos y consecutivos comprendidos desde el número 1 hasta el número indicado inclusive.

n! = 1 x 2 x 3 x ... x n; n ∈ Z+

n = n = n!

Se lee "factorial de n o n factorial"

descomPosIcIóN caNóNIca de uN FactorIal

2! = 2 = 1x2 = 2

3! = 3 = 1x2x3 = 6

4! = 4 = 1x2x3x4 = 24

5! = 5 = 1x2x3x4x5 = 120

6! = 6 = 1x2x3x4x5x6 = 720

7! = 7 = 1x2x3x4x5x6x7 = 5 040

Nota

Los factoriales mayores que 5 o igual que 5; siempre terminarán en cero.

* Solamente está definido el factorial para números enteros y positivos así por ejemplo:

8! = 8Factorial de 8

(si existe)

(-6)!= -6 Factorial de (-6)(no existe)

6!2

=62

Un medio factorialde 6 (si existe)

-5! = - 5 Menos factorial de 5 (si existe)

14

! = 14

Factorial de 1/4(no existe)

ProPIedades de los FactorIales

I. Solamente existe factoriales para números enteros y positivos.

Es decir: si n = n!

Donde: n: Entero y positivo

II. Por axioma de las matemáticas, se define que: 0! = 1; 1! = 1

III. El factorial de un número puede ser siempre descompuesto como el producto de factorial de otro número menor que él por todos los números consecutivos a este último; hasta completar dicho número.

Así: 7! = 7 x 6 x 5! 9! = 9 x 8 x 7x 6! (n-1)! = (n-1) x (n-2) x (n-3)!



IV. En factoriales, las siguientes operaciones no se cumplen:

(n+m)! ≠ n!+m! (n - m)! ≠ n! - m!

V. Si a! = b! ⇒ a = b; donde a y b son diferentes de cero.

(x+3)! = 8! ⇒ x + 3 = 8 ∴ x = 5

mn

! ≠ m!n!

Resolución:

Ejemplo 1:

Halla la suma de cifras de (2x)! si (x+1)! = 24

(x+1)! = 24 = 1 x 2 x 3 x 4(x+1)! = 4! de lo cual se deduce: x+1 = 4∴ x = 3

Buscamos (2x)! = 6! = 720Nos pide la suma de cifras:

7+2+0=9

Ejemplo 2:

Calcula "a" en:

a!+(a+1)!+(a+2)!a! =

a!+(a+1)!a

Resolución:

a!+a!(a+1)+a!(a+1)(a+2)a! =

a!+a!(a+1)a

a![1+(a+1)+(a+1)(a+2)]

a!

=a![1+(a+1)]

a

a[(a+2)+(a+1)(a+2)] = a![a+2]

Factorizando:a(a+2)[1+(a+1)]= a![a+2]a(a+2) = a!↓ ↓4 x 6 = 4! ∴ a = 4

aPlIcacIoNes de las FactorIalesCantidad de ceros en que termina la factorial de n: (n ≥ 5)Para determinar la condición que nos permita determinar la cantidad de ceros finales de la factorial de n (n ≥ 5), analicemos algunos ejemplos.1500=3 x 53 x 22; entonces N.º de ceros=2 = Exponente del 2

2200=11 x 52 x 23 ; entonces N.º de ceros=2 = Exponente del 5

De lo anterior, deducimos que la cantidad de ceros depende directamente del exponente de 2 ó 5; en forma más explícita podemos afirmar que la cantidad de ceros está dado por el menor exponente del factor 2 o del factor 5.Una regla práctica sería aplicar divisiones sucesivas.

Determina en cada caso en cuantos ceros termina cada factorial:

23!; 78! y 700!

Ejemplos:

* 23! = . . . 00 . . . 00

x cifras

Aplicando divisiones sucesivas:

23 5 3 4 N.º de ceros = x = 4

* 78! = . . . 00 . . . 00

x cifras


78 5 3 15 5 - 3 N.º de ceros = x

=15+3N.º de ceros = 18

* 700! = . . . 00 . . . 00

x cifras


N.º de ceros = x=140+28+5+1N.º de ceros = 174

700 5 - 140 5 - 28 5 3 5 5 - 1

Nota

En el principio de adición, o bien ocurre un caso o bien el otro caso, pero nunca pueden ocurrir simultáneamente.

111



PrINcIPIos FuNdameNtales

I. Principio de adición Si el suceso "A" puede realizarse de "m" maneras y el

suceso "B" de "n" maneras, entonces el suceso "A" o el suceso "B" se puede realizar "(m+n)" maneras.

Ejemplo 1:

Si se tiene 3 pares de zapatillas distintas y 5 pares de zapatos diferentes, ¿cuántas maneras de calzar tiene en total?

Resolución:

Zapatillas (A): A1+A2+A3 = 3Zapatos (B): B1+B2+B3+B4+B5= 5

∴ N.º de maneras: 3+5=8

Ejemplo 2:

Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en microbús. Si hay 3 rutas para el tren y 4 para el ómnibus, ¿cuántas maneras tenemos para decidir nuestro viaje?

Resolución:

Punto de partida

Punto de llegada

Para el tren hay 3 maneras de llegar.

Punto de partida

Punto de llegada

Para el microbus hay 4 maneras de llegar.

∴ N.º de maneras = 3 + 4 = 7

II. Principio de multiplicación Si el suceso "A" se puede realizar de "m" maneras y el

suceso "B" se puede realizar de "n" maneras, entonces los sucesos "A" y "B" se pueden realizar en forma conjunta de: m x n maneras siempre que se efectúe uno después del otro.

Nota

Este principio se puede generalizar para más de dos sucesos.

Ejemplo 3:

De una ciudad "A" a otra ciudad "B" hay 4 caminos diferentes y de la ciudad "B" a la ciudad "C" hay 3 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir de "A" a "C"?

Resolución:

A B C

Hay 4 maneras de ir de A a B

Hay 3 maneras de ir de B a C

Luego, el número de maneras de ir de "A" a "C" son:

∴ N.º de maneras = 4 x 3 = 12

Ejemplo 4:

Un alumno tiene 3 libros de física y una alumna tiene 5 libros de química. ¿De cuántas maneras podría prestarse un libro?

Resolución:

F1

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

F2

F3

3 maneras de prestar

5 maneras de prestar

∴ N.º de maneras = 3 x 5 = 15

Ejemplo 5:

Si se tiene 5 blusas de distintos colores y 7 pantalones de distintos colores, ¿de cuántas maneras diferentes podrá combinar sus prendas?

Resolución:

B1

B2

B3

P1P2P3P4P5P6P7

∴ N.º de maneras = 3 x 7= 21





Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Calcula:15!+16!+17!

15! x 17E =

1) Efectúa:9! x 3!+5! x 8!

29 x 8!E =

2) Halla el valor de "x" en: (x-4)! = 120

2) Halla el valor de "n" en:

n!(n!-1)n!-2

=152

3) En la figura, cada línea representa un camino. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad 1 a la ciudad 4?

1 2 3 4

3) En la figura, de cuántas maneras se puede llegar de A hasta B sin regresar en ningún caso.

A B

11 x 32! x 24!2! x 33! x 23!

4) Reduce:

K =

4) Halla la suma de valores de "n". (n-8)! = 1

5) Se desea hacer parejas (varón y mujer) con 8 varones y 5 mujeres. ¿Cuántas parejas se pueden formar?

6) Se desea viajar a Tumbes pasando por Lima. Se dispone de 3 rutas a Lima y 5 rutas de Lima a Tumbes. ¿De cuántas maneras se puede viajar?

6) Para ir de A a B hay 3 rutas diferentes y para ir de B a C hay 5 rutas diferentes. ¿Cuántas rutas diferentes hay para ir de A a C pasando por B?

5) Katty desea ir a una fiesta para lo cual dispone de 3 blusas, 2 faldas y 4 chompas (todas las prendas de diferente color). ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir Katty considerando los 3 tipos de prenda?

Rpta: ________Rpta: ________

Rpta: ________Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

113



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Halla "x". (x+2)(x+1)x! = (5x-58)!

a) 15 b) 13 c) 16 d) 18 e) 19

A la cumbre de una montaña conducen 7 cami-nos. El número de maneras que puede trepar un hombre una montaña y descender de ella, con la condición de que el ascenso y el descenso tiene lugar por caminos diferentes es:

a) 36 b) 42 c) 40 d) 39 e) 41

Dado que:

¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir y volver de "A" a "C" si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida?

a) 11 b) 24 c) 23 d) 144 e) 132

A B C

Si: (x+3)!+(x+1)!(x+2)(x+3)=240 calcula el valor de:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

(x+1)!x!

E=


Resolución:

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Simplifica:

a) a+1 b) a c) a-1 d) a+2 e) a-2

(a-1)!+a!+(a+1)!(a-1)!+a!

A=

De cuántas maneras se puede comprar cualquiera de los objetos señalados en la lista: 3 camisas; 2 pantalones y 4 polos.

a) 24 b) 10 c) 11 d) 9 e) 14

Juan quiere vestirse eligiendo una prenda de cada clase y dispone de: 4 polos, 5 pantalones y 3 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas se puede vestir?

a) 60 b) 12 c) 19 d) 23 e) 17

Reduce:

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

(3!)!120x6

+(2!)!

2+

(4!)!23!



115



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Determina "x" en la igualdad:

a) 1439 b) 11 c) 9 d) 1470 e) 1

x+12 ! = 720

Halla "n" en:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

n!+6!n!(n!+1)

E= = 7121

En un juego de cuyes intervienen 2 cuyes hay 4 cajones con 2 orificios cada uno, para que entren los cuyes. ¿De cuántas maneras diferentes pueden entrar los cuyes si a cada orificio sólo puede entrar un cuy?

a) 18 b) 24 c) 60 d) 56 e) 72

Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de tres dígitos. Solamente sabe que los dígitos posibles son 2, 4 y 6. ¿Cuál es el mayor número de combinaciones erradas que podría intentar?

a) 48 b) 21 c) 27 d) 26 e) 35





Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Si: (n+1)! = (n-2)![125-n], calcula n +1

a) 10 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

Halla el valor de "m" si: (m+1)!(m-1)! = 36m+(m!)2

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Reduce:

a) 5 050 b) 10 100 c) 5 000 d) 10 000 e) 5 500

100!99!

+99!89!

+98!97!

+...+1!0!

Resuelve:

a) 10/9 b) 9/10 c) 3/10 d) 10/3 e) 2

2 3 4 97 + 8

4+ 5+ 6

= x

1024



Capítulo

117



15AnálisisCombinatorio II

Es parte de la matemática que estudia las diferentes maneras de seleccionar a los elementos de un conjunto.

varIacIoNes o arreGlos

Resolución:

Ejemplo 1:

Variación es cada una de las ordenaciones que pueden formarse con varios elementos, tomadas con varios elementos, tomadas de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres, de modo que dos ordenaciones cualquiera del mismo número de elementos se diferencien por lo menos, en un elemento o por el orden en que están colocados.

El número de maneras de ordenar a "n" elementos de un conjunto, tomados de "r" en "r" es:

Vnr =

n!(n-r)!

Indica de cuántas maneras se pueden ordenar a dos elementos del conjunto:

{a; b; c; d}

V42 =

4!(4-2)!

=12 maneras

Ejemplo 2:

V73 =

7!(7-3)!

=7!4!

=5x6x7= 210

Ejemplo 3:

V52 =

5!(5-2)!

=5!3!

=4 x 5= 20

Ejemplo 4:

Vmm=

m!(m-m)!

=m!0!

=m!1

= m!

Ejemplo 5:

Cuatro alumnos llegan a matricularse a una academia que dispone de 7 aulas. ¿De cuántas maneras se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes?

Resolución:

Sean las 7 aulas, las que muestran en la figura.

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7

4 posibilidades5 posibilidades6 posibilidades7 posibilidades

♦ El primer alumno puede ocupar cualquiera de las 7 aulas, existiendo 7 posibilidades de tomarlo.

♦ El segundo alumno puede ocupar cualquiera de las 6 aulas que quedan por ocupar, existiendo para este alumno 6 posibilidades de tomarlo.

♦ El tercer alumno puede ocupar cualquiera de las 5 aulas restantes, existiendo 5 posibilidades de tomarlo.

♦ El cuarto alumno puede ocupar cualquiera de las 4 aulas restantes, existiendo 4 posibilidades de tomarlo.

Luego: N.º de maneras =7x6x5x4 = 840

Por fórmula:

Vmn =

m!(m-n)!

Donde: m = 7 y n = 4

Luego:V

74 =

7!(7-4)!

=7!3!

=4x5x6x7= 840

V74 = 840 maneras



PermutacIoNes

Se llama permutaciones a las variaciones en las que entran todos los elementos en sus diversas ordenaciones, de modo que dos grupos cualesquiera contienen los mismos elementos y solamente difieren en el orden que están colocados. En toda la permutación, la característica principal es el orden de sus elementos.Sean los elementos: a, b, c

PermutacIoNes de 3 elemeNtos

abc, acb, bca, bac, cba, cab

Permutaciones, son aquellas variaciones de tipo:

Vmn En donde: m = n

Vmn = n!Pn=

Pn= n!∴

PermutacIoNes lINeales

Se da cuando los elementos considerados son todos distintos y se arreglan u ordenan en línea recta. Por ejemplo:- Cuando cuatro elementos se ponen en línea para recibir

un premio.- Cuando intento formar un número de cifras con los

dígitos "1", "2" y "3" (sin repetir). El número de permutaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k" está representado por:

Pnk = P(n,k)=

n!(n-k)!

; 0 < k ≤ n

¿Qué pasa si k = n?

Se tendría: Pnn = P(n,n)=

n!(n-n)!

= n!0! = n!

Ejemplo 6:

Juan, Diana y Cecilia desean tomarse una foto en una banca. ¿De cuántas maneras diferentes podrán hacerlo?

Resolución:

JuanJuanDianaDianaCeciliaCecilia

DianaCeciliaJuan CeciliaJuanDiana

CeciliaDianaCeciliaJuanDianaJuan

Hay seis posibles soluciones.¿Como resolvería el problema usando la fórmula de permutación?

P33 = P(3,3)=

3!(3-3)! =

3!0!

= 1x2x3 = 6

= 3!

PermutacIoNes cIrcularesA diferencia de las permutaciones lineales donde interesa los lugares que los objetos ocupan, en este tipo de permutaciones lo que importa es la posición relativa de los objetos entre sí.

Ejemplo 7:

Pedro, Laura y Miluska desean sentarse alrededor de una mesa circular con tres asientos. ¿De cuántas maneras diferentes podrán hacerlo?

Resolución:

Aparentemente las soluciones posibles son (6).

1Pedr

o Laura

Miluska

2Pedr

o Miluska

Laura

3Laur

a Miluska

Pedro

4Laur

a Pedro

Miluska

5Milu

ska Pedro

Laura

6Milu

ska Laura

Pedro

pero de notar que algunas coinciden por rotación: (1; 3; 5) y (2; 4; 6) por lo cual sólo hay dos soluciones posibles.

Luego: Pc(n) = (n-1)! "n ∈Z+"

Ejemplo 8:

¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas alrededor de una mesa redonda?

Resolución:

Por fórmula: Pn-1 = (n-1)!

Donde: n = 6Luego:

P6-1 = (6-1)! = 5! = 120

P33

119



PermutacIoNes coN luGares FIjos

Si se establece que determinados elementos han de ocupar lugares fijos, el número de agrupaciones será el que se puede formar con los demás elementos.

Pm-n = (m-n)!

Donde:

m : Representa el número total de elementos.

n : Representa el número de elementos con lugares fijos.

Ejemplo 9:

¿Cuántos números mayores de 8000 se podrán formar con las siguientes cifras: 2, 5, 8 y 3?

Resolución:

Los números mayores de 8000, deben tener como primera cifra (lugar fijo) el 8.

8Existe 1 posibilidad de tomar la cifra que queda.

Existen 2 posibilidades de tomar las cifras que quedan.

Existen 3 posibilidades de tomar las cifras que quedan.Lugar fijo

Luego:Los números mayores de 8000 que puede tomar con:

2, 5, 8 y 3= 1 x 2 x 3 = 6

Por fórmula:

Pm-n = (m-n)!

Donde:

m = 4 elementos en total éstos son: 2, 5, 8 y 3

n = 1 elemento fijo es el 8

Luego:

P4-1 = P3 = 3! = 6

PermutacIoNes coN rePetIcIóN

Ocurre cuando los elementos a ordenar no son todos ellos distintos, es decir, hay un elemento o más de uno que se están repitiendo una o más veces.Con las letras de la palabra MIMI puedo obtener los siguientes ordenamientos: MMII, MIMI, MIIM, IMMI, IMIM, IIMM (seis ordenamientos).Supongamos que tenemos "n" elementos tales que hay "k1" elementos repetidos de una clase, "k2" elementos repetidos de una segunda clase y así sucesivamente hasta "km" elementos repetidos de una enésima clase. Entonces el número de permutaciones de "n" elementos de los cuales se repiten algunos, está dado por:

Pnk1, k2,..., km

=n!

k1! k2! k3! km!

Ejemplo 10:

¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden realizar con todas las letras de la palabra MAMITA?

Resolución:

2 elementos de la clase "M"2 elementos de la clase "A"1 elemento de la clase "I"1 elemento de la clase "T"

En total seis elementos

⇒ Pn2, 2, 1, 1 =

6!2!x2!x1!x1!

=6!

2x2

= 180

Ejemplo 11:

¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las siguientes figuras geométricas?

Resolución:

Por fórmula:

nk1, k2

=n!

k1! k2!P

Donde:

m = 6 (N.º total de elementos)m1 = 3 (el triángulo se repite tres

veces)m2 = 2 (el círculo se repite dos

veces)



Luego:

63, 2 = 6!

3!x 2!P = 4x5x6

2!

63, 2 = 4x5x6

2P = 60

combinaciones

Consideremos "n" elementos distintos, los cuales se agrupan de "k" en "k". El número de grupos diferentes con "k" elementos disntitos, viene dado por:

Cnk

=n!

k!(n-k)!; n ≥ k ≥ 0

En una combinación no interesa el orden de sus elementos.

Así por ejemplo:

C53

=51

x 42

x 33

= 10

o también:

C53

=5!

2!x3!= 10=

4 x 52

C74

=71

x 62

x 53

= 35x 44

o también:

C74

=7!

3!x4!= 35=

5x6x76

Ejemplo 12:

Eymi, Rocío, Hugo y Diana son candidatos para integrar una comisión de dos personas. ¿Cuántas posibles comisiones podrán conformarse?

Resolución:

n = 4 k = 2

Es una combinación, pues no interesa el orden.

C42

=4!

2!x(4-2)!=

4!2!x2!

= 6

Ejemplo 13:

¿Cuántos grupos de tres letras se pueden determinar con las letras: "a", "b", "c" y "d"?

Resolución:

C43

=4!

(4-3)!x3!= 4

diferencia entre combinaciones y variaciones

Las combinaciones se diferencian por sus elementos y las variaciones por el orden de los mismos.

Ejemplo 14:

Dado el conjunto A = {a; b; c; d}, calcula las variaciones y las combinaciones de los elementos de "A" tomados de 3 a la vez.

Resolución:

abc abd bcd

Combinaciones

Variaciones

Si cambiamos el orden de los elementos se produce una variación distinta a la anterior.

abcabdacdbcd

acbadbadcbdc

bacbadcadcbd

bcabdacdacdb

cabdabdacdbc

cbadbadcadcb

Notamos que:

C43

=4!

(4-3)! x 3!= 4 y

V43

=4!

(4-3)!= = 24

4!1

ProPIedades

1.a El número de combinaciones de "m" elementos tomados de "n" en "n" es igual al número de combinaciones de "m" elementos tomados (m-n) en (m-n)

Cmn =C

mm-n

Combinaciones Complementarias

2.a

Cm-1n +C

m-1n-1 = C

mn

Dos combinac iones son diferentes sólo si difieren por lo menos en un elemento.

121





Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

2) Halla:

V123

-5!

2) Halla "n" en:

Cn2 = 28

1) ¿De cuántas maneras se pueden disponer cinco niños en una fila?

1) ¿De cuántas formas se pueden ordenar a, b y c en un mismo estante?

4) ¿De cuántas formas se pueden ordenar 6 amigos en una misma fila todos juntos?

4) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las vocales en una fila?

6) En una bodega se venden: fideos, arroz, azúcar, frijoles y lentejas. ¿De cuántas maneras una persona podrá llevarse tres de estos artículos?

5) Con las cifras: 1; 2; 3; 5; 7; y 9, ¿cuántos números pares de cuatro cifras diferentes se puede formar?

5) ¿Cuántas señales se pueden hacer con cinco banderolas de colores diferentes, usando tres de ellas en cada señal?

6) Mónica tiene 9 amigas en la academia y quiere invitarlas a su casa para escuchar música, pero su mamá le ha dicho que sólo invite a 5 de ellas. ¿De cuántas maneras podrá invitar a las 5 amigas, si de todas maneras debe invitar a Rosa que es su mejor amiga?

3) Una melodía musical debe estar formada por cinco notas diferentes. ¿Cuántas melodías se pueden componer?

3) Un comensal se sirve en cada comida cuatro platos de los nueve que son de su agrado. ¿Cuántas comidas diferentes puede hacer la persona?

Rpta: ________Rpta: ________

Rpta: ________Rpta: ________

Rpta: ________



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



¿Cuántas palabras distintas se pueden formar que tengan o no significado con todas las letras de la palabra ESTUDIAR?

a) 6! b) 7! c) 8! d) 9! e) 10!

¿Cuántas palabras de cuatro letras se pueden formar con las letras de la palabra MENTOR, sin importar su significado?

a) 120 b) 360 c) 480 d) 320 e) 210

¿De cuántas maneras se pueden disponer los ju-gadores de fulbito en la cancha?

a) 120 b) 720 c) 600 d) 12 e) 36

¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pue-den formar con: 1; 5; 4, 3; 8 y 9?

a) 120 b) 60 c) 136 d) 142 e) 63



123



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

¿De cuántas maneras se puede formar una co-misión de 4 alumnos, de un salón que tiene 20 alumnos?

a) 4548 b) 4845 c) 3616 d) 3610 e) 116280

En un torneo pugilístico participan 7 boxeadores. Si pelean todos contra todos, ¿cuántas luchas se realizarán?

a) 71 b) 5040 c) 21 d) 42 e) 6

ENUNCIADO (1): Un marinero tiene siete banderolas del mismo

tamaño, pero de colores diferentes; si las iza en un mástil una a continuación de otra: ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer con tres de ellas?

a) 35 b) 210 c) 5040 d) 6 e) 21

Del ENUNCIADO (1): Con cinco de ellas, siendo la primera siempre blanca y la última amarilla, ¿cuántas señales diferentes podrá hacer?

a) 60 b) 10 c) 120 d) 210 e) 20


Resolución:

Resolución:



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

ENUNCIADO (2): El capitán de un yate solicita tres marineros, pero

se presentan siete: ¿De cuántas maneras diferentes podrá elegir tripulación?

a) 35 b) 210 c) 5040 d) 21 e) 6

Del ENUNCIADO (2) ¿De cuántas maneras elegirán la tripulación si Sandro siempre debe pertenecer a ella?

a) 6 b) 30 c) 15 d) 18 e) 20

¿De cuántas formas podemos distribuir 4 caramelos idénticos entre 3 niños?

a) 24 b) 20 c) 10 d) 4 e) 5

¿De cuántas formas se puede distribuir 7 canicas blancas idénticas en 4 recipientes diferentes?

a) 84 b) 72 c) 36 d) 240 e) 120

Resolución:

Resolución:


125



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

¿Cuántas palabras diferentes puedes formar con las letras de la palabra ACCACCIA?

a) 280 b) 560 c) 140 d) 360 e) 720

¿De cuántas maneras diferentes, 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sientan juntos?

a) 864 b) 1728 c) 688 d) 892 e) 1700

¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con todas las letras de la palabra JAPANAJA?

a) 8 b) 840 c) 120 d) 12 e) 64

De ocho candidatos, se desea elegir a un presiden-te, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas diferentes se podrán formar?

a) 336 b) 56 c) 81 d) 6 e) 24


Resolución:

Resolución:



Capítulo

16Probabilidades

El nacimiento de las probabilidades lo encontramos en el interés demostrado por los matemáticos en las probabilidades que tenían de ganar en sus juegos de azar, en los dados, los naipes, etc. El primero que se ocupó de esta cuestión analizando el juego de dados, fue TARTAGLIA (1500 - 1557). Pero la forma que tiene actualmente el cálculo de probabilidades nació a mediados del siglo XVII, cuando el francés De Meré consultó sobre el problema de cómo debían repartirse las apuestas de una partida de dados que debió suspenderse.

surGIó Por los jueGos de azar

* Lanzar un dado.

Blas Pascal (francés 1623 - 1662) conjuntamente con Pierre de Fermat (francés), aficionado a las cuestiones matemáticas (1601 - 1665), arribaron a conclusiones que dieron nacimiento al cálculo de probabilidades.

experimento aleatorio

Es toda prueba o ensayo cuyo resultado no se puede predecir con seguridad antes de realizarlo.

Ejemplos:

* Extraer una bola de una caja.

Espacio Muestral (Ω)

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo :

* Al lanzar un dado.

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

evento

Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo :

* Al lanzar un dado.. Entonces el evento "A" será, tal que: A: Resulta un número par.

A= {2; 4; 6}

1. deFINIcIóN de ProbabIlIdad (deFINIcIóN clÁsIca)

"Cuando un experimento aleatorio es simétrico, es decir, en un número muy grande de pruebas, los distintos sucesos ocurren con igual frecuencia o todos los eventos son equiprobables, la probabilidad de un suceso se obtiene dividiendo el número de casos favorables al suceso entre el número de casos posibles del experimento". Luego, si "A" es un evento de un espacio muestral (Ω), entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota por P(A) y está dado por:

Número de casos favorablesal evento A

Número total de casos posibles(resultado posibles) en Ω

P(A)=

n(A)n(Ω)=

Resolución:

Esta definición, debida a Laplace, sólo es aplicable a los experimentos aleatorios dotados de simetría y, por lo tanto, tiene un alcance de aplicaciones muy restringido.

Ejemplo 1:

Determina la probabilidad de que, al lanzar un dado, el resultado sea un número impar.

* Experimento aleatorio (ε): Lanzamiento de un dado normal

127



236

P2 =

336

P1 =

P(A)=n(A)n(Ω)

36

12

= <>

Demos ahora una definición, que de alguna manera ya habiamos adelantado cuando hablamos del dado trucado y cuando extraíamos al azar bolitas de una urna.

Ejemplo 2:

Halla la probabilidad de obtener 10, como mínimo, en una sola tirada con dos dados.

Resolución:

El número de casos posibles en que dos dados pueden caer es:

6 x 6 = 36

* Diez puede sacarse de 3 maneras: (4; 6), (5; 5), (6; 4) Luego, la probabilidad "P1" de sacar 10 es:

* Once pueden sacarse de 2 maneras: (5; 6), (6; 5) Luego, la probabilidad "P2" de obtener 11 es:

136

P3=

Ahora, la probabilidad de sacar un número no menor de 10, es la suma de esas probabilidades parciales.Luego: P = P1 + P2 + P3

P =3

36=

236

136

636

16

+ + ó

* Doce puede sacarse de 1 manera: (6; 6) Luego, la probabilidad "P3" de obtener 12 es:

Ejemplo 3:

Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae una al azar. Halla la probabilidad de que la carta extraída.a. Sea un 7 de espadas.b. Sea un "as".c. Sea una figura negra.d. Representa su valor con una letra.

Resolución:

a. En la baraja sólo existe un 7 de espadas, luego su

probabilidad P será: P =

b. En la baraja existen 4 ases, luego la probabilidad es

c. Las figuras negras son 13 espadas y 13 tréboles; entonces la probabilidad que la carta extraída sea negra es:

d. Las cartas que presentan su valor con una letra son el once "J", doce "Q", trece "K" y el as "A"; como cada uno tiene cuatro cartas, en total hay 16; luego la probabilidad es:

152

452

1652

413

=

2652

12

=

113

=

=50x51x52

652!

49! x 3!C =

52

3= 22100

Ejemplo 4:

De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes. Determina la probabilidad de que todos sean ases.

Resolución:

Como se van a extraer tres cartas de 52 en total, tendremos como casos posibles:

y como la baraja tiene cuatro ases de los cuales se extraen 3, tenemos como favorables:

4!1! x 3!

C =4

3= 4

Por lo tanto, la probabilidad "p" de sacar tres ases en 3 extracciones de 52 cartas es:

422 100

P = = 1

5 525

Propiedades:

Si A es un evento definido en Ω, entonces:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Si P(A) = 0 ⇒ A = ∅A es un evento imposible.

Si P(A) = 1 ⇒ A = Ω A es un evento seguro.

* Espacio muestral (Ω): Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; n(Ω) = 6

* Evento (A): El resultado es impar: A = {1; 3; 5} n(A) = 3





Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

ENUNCIADO (2):Miguel lanza tres monedas una por una sobre una mesa.

1) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 3 sellos?

2) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan sólo 2 caras?

3) ¿Cuál es la probabilidad que salgan al menos 2 sellos?

4) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado resulte 2 ó 3?

5) En un ómnibus viajan 15 varones, 18 damas y 20 niños. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en bajar sea un niño?

6) Si se lanza 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos?

4) Una caja contiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Si se extrae al azar una de ellas, halla la probabilidad de que la bola extraída no sea azul.

5) Si se lanza dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que los números que salgan en sus caras, sumen 10?

6) Se lanza un par de dados. Si los números que resultan son diferentes, halla la probabilidad de que su suma sea par.

ENUNCIADO (1): Si se lanza tres monedas al aire, indica cuál es la proba-bilidad de obtener como resultado:

1) Dos sellos.

2) Dos caras y un sello.

3) Dos resultados iguales y uno diferente.

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________ Rpta: ________

Rpta: ________ Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

129



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



ENUNCIADO (3): Meche lanza un par de dados sobre una mesa uno por uno.

Del ENUNCIADO (3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 puntos?

a) 2/9 b) 1/3 c) 1/6 d) 5/36 e) 1/2

Del ENUNCIADO (3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma de 7 u 11?

a) 2/9 b) 1/3 c) 1/6 d) 5/36 e) 1/2

Del ENUNCIADO (3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menos que 6?

a) 3/5 b) 5/18 c) 1/3 d) 5/6 e) 2/9

7) ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea impar?

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/2 d) 5/6 e) 17/18

Resolución:

Resolución:




Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Una caja contiene 12 cartas rojas, 6 blancas y 8 negras. Si se saca una sin mirar, ¿cuál es la proba-bilidad de que la carta sea roja?

a) 12/20 b) 9/13 c) 6/13 d) 3/13 e) 5/7

Si se sacan tres cartas al azar de una baraja de 52 cartas, calcula la probabilidad de que sean As, Rey y Reina.

a) 2/2197 d) 4/2197 b) 3/2197 e) 6/2197 c) 5/2197

Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas. Si se sacan 3 bolas de la urna una tras otra, halla la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera sea blanca.

a) 7/10 d) 3/40 b) 6/9 e) 6/15 c) 7/40

En una caja hay 6 cartas rojas y 16 negras. Se saca una carta y se devuelve a su lugar, luego se saca otra carta. Halla la probabilidad de que ambas cartas sean rojas.

a) 49/100 b) 21/95 c) 9/121 d) 3/100 e) 21/100



131



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

ENUNCIADO (4): Se tiene una baraja de 52 cartas.

A

6

Del ENUNCIADO (4): Si se extrae una carta, ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea una "J"?

a) 5/26 d) 2/13 b) 3/52 e) 3/13 c) 1/13

12) Si extraemos una carta, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar?

a) 1/13 b) 4/13 c) 2/13 b) 6/13 e) 7/13

Sin mirar se oprime una de las 27 letras de una máquina. Halla la probabilidad de que sea una vocal.

a) b) c)

d) e) N.A.

1275

27

19

59

Un lote de 12 focos de luz tiene 4 defectuosos. Si se toman al azar tres focos del lote uno tras otro, halla la probabilidad de que los tres estén buenos.

a) 8/12 b) 14/77 c) 14/33 d) 13/50 e) 14/55


Resolución:

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

ENUNCIADO (6): Una caja contiene 3 bolas rojas, 4 negras y 5 bolas blancas.

Si extraemos al azar dos bolas, ¿cuál es la probabi-lidad de que las dos sean blancas?(sin reposición)

a) 3/17 b) 1/11 c) 5/33 d) 2/15 e) 2/16

Del ENUNCIADO (6) Si extraemos al azar tres bolas, ¿cuál es la probabilidad de que dos sean blancas y una negra? (sin reposición)

a) 2/11 b) 2/17 c) 2/15 d) 20/33 e) 2/33

40) Si extraemos al azar una bolilla, ¿cuál es la proba-bilidad de que sea verde o roja?

a) 1/6 b) 91/6 c) 1/3 d) 5/36 e) 9/16

ENUNCIADO (5): Una urna contiene 12 bolillas rojas, 14 blancas y 6 verdes.

Del ENUNCIADO (5) Extrae una bolilla y se devuelve a su lugar, luego se saca otra bolilla. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez se saque una bolilla blanca y la segunda vez se saque una bolilla verde?

a) 12/256 b) 2/3 c) 1/4 d) 1/3 e) 21/256


Resolución:

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2-RM 4to (1 raz matematico- 16)

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