Sucesiones y series

Funciones y Procesos InfinitosFunciones y Procesos Infinitos

Sucesiones y Series en IRSucesiones y Series en IR

Funciones y Procesos InfinitosFunciones y Procesos Infinitos Prof. Prof. MgMg. (c) Nicol. (c) Nicoláás Ss Sáánchez Acevedonchez Acevedo

Sucesiones de NSucesiones de Núúmeros Reales (IR)meros Reales (IR)

Concepto de SucesiConcepto de Sucesióónn

Funciones y Procesos InfinitosFunciones y Procesos Infinitos Prof. NicolProf. Nicoláás Ss Sáánchez Acevedonchez Acevedo

Si a cada nSi a cada núúmero natural se el hace mero natural se el hace corresponder un ncorresponder un núúmero real amero real a11, a, a22, , aa33,,��, , aann el conjunto A={ael conjunto A={a11, a, a22, a, a33,,��, , aann} se } se denomina sucesidenomina sucesióón.n.

Por lo tanto, toda sucesiPor lo tanto, toda sucesióón es un n es un conjunto de infinitos tconjunto de infinitos téérminos. rminos.


Una sucesiUna sucesióón es una n es una funcifuncióónn cuyo cuyo dominio es el conjunto de los ndominio es el conjunto de los núúmeros meros naturales naturales ÍÍ y su recorrido es un y su recorrido es un subconjunto de los nsubconjunto de los núúmeros reales IR.meros reales IR.

En el diagrama siguiente se representa el En el diagrama siguiente se representa el concepto de concepto de sucesisucesióón con una funcin con una funcióón.n.



N IRÖ(x)

1

2

3

4

.

.

.

.

n

na

a

a

a

a

4

3

2

1

Sucesión de una función Ö(x)

Ejemplo 1Ejemplo 1::

La sucesiLa sucesióón formada por los n formada por los nnúúmeros meros parespares tiene por tiene por ttéérmino general:rmino general:

de modo que si reemplazamos de modo que si reemplazamos ��nn�� por por los valores naturales (IN), 1, 2, 3, los valores naturales (IN), 1, 2, 3, ��n se n se obtienen los tobtienen los téérminos de la sucesirminos de la sucesióón.n.


na n 2

Con lo que obtenemos el conjunto de Con lo que obtenemos el conjunto de los nlos núúmeros pares =meros pares =


8,6,4,2;2/ Nnnaa nn


El tEl téérmino general de la sucesirmino general de la sucesióón de n de nnúúmeros imparesmeros impares es:es:

Con lo que obtenemos el conjunto de los Con lo que obtenemos el conjunto de los nnúúmeros impares =meros impares =


12 na n

7,5,3,1;12/ Nnnaa nn

Ejercicio 1Ejercicio 1::

Los tLos téérminos de la una sucesirminos de la una sucesióón definida n definida por:por:

Obtener los tObtener los téérminos de la sucesirminos de la sucesióón.n.


11

n

na

n

n

Sucesiones RecurrentesSucesiones Recurrentes


DefiniciDefinicióónn::

SucesiSucesióón recurrente es aquella que se n recurrente es aquella que se define considerando su primer tdefine considerando su primer téérmino rmino ��aa11�� y una expresiy una expresióón para n para ��aann+1+1�� en en funcifuncióón del nn del n--éésimosimo ttéérmino rmino ��aann��..

Es decir, se define conocidos lo tEs decir, se define conocidos lo téérminos rminos ��aann�� y y ��aann+1+1��..



Encontrar los cinco primeros tEncontrar los cinco primeros téérminos rminos de la suceside la sucesióón conocidos an conocidos a11=1 y =1 y aann+1+1=(=(aann))22 + 2.+ 2.


1

2

2 1

2

3 2

1 ( )

2 3

2 11

a por definición

a a

a a

EjerciciosEjercicios::

Escribe los 5 primeros tEscribe los 5 primeros téérminos de las rminos de las sucesiones recurrentes dadas:sucesiones recurrentes dadas:


1 1

2

1 1

) 162

) 1 3

n

n

n n

ai a y a

ii a y a a

Ejercicios de concepto de Ejercicios de concepto de sucesisucesióón y sucesiones n y sucesiones

recurrentesrecurrentes


1) Encontrar los 5 primeros t1) Encontrar los 5 primeros téérminos de rminos de las siguientes sucesiones:las siguientes sucesiones:


1

11) 1 ;

22 ) ;

11

3) ;2

14 ) 1 ;

k

k

n

n

n

n

a k Nk

na n N

n

na n N

n

a n Nn

2) 2) Halla una expresiHalla una expresióón o formula para el n o formula para el ttéérmino nrmino n--éésimosimo de la suceside la sucesióón.n.

1)1)

2)2)

3)3)


,16,12,8,4na

,10,7,4,1na

,

5

1,

4

1,

3

1,

2

1na

SumatoriasSumatorias


Concepto de sumatoria

Para poder simplificar todos los Para poder simplificar todos los elemento de una determinada sucesielemento de una determinada sucesióón, n, se ha convenido en utilizar para se ha convenido en utilizar para representar la adicirepresentar la adicióón de los tn de los téérminos rminos mediante el signo mediante el signo ��ÓÓ�� acompaacompaññado de la ado de la formula o termino general de la sucesiformula o termino general de la sucesióón n y del rango de valores que tomary del rango de valores que tomaráá la la variable considerada en esta formula.variable considerada en esta formula.


Denominaremos sumatoria de una Denominaremos sumatoria de una sucesisucesióón n ��aann�� a la forma abreviada de a la forma abreviada de escribir sus tescribir sus téérminos expresados como rminos expresados como sumandos.sumandos.

Se anota:Se anota:


kn

n

nk aaaaa1

321

NotaNota

En general el tEn general el téérmino:rmino:

suele anotarse de forma abreviada porsuele anotarse de forma abreviada por


kn

n

na1

k

n

na1

EjemplosEjemplos::


nk

n

nn1

321

20

1 121

20

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 k

n n

n

kn

n

nn1

22222 321

6

1

21876543n

n

nn

a)

b)

c)

d)

Propiedades de la sumatoriaPropiedades de la sumatoria


1) 1) Sumatoria de una constanteSumatoria de una constante


1 2 3 nSi c c c c c

ckc

k

n

n 1

EjemploEjemplo::


50

1

4n

CalculemosCalculemos

2) 2) Sumatoria del producto de una constante Sumatoria del producto de una constante

por los tpor los téérminos de una sucesirminos de una sucesióónn

Si Si ��cc�� es una constante es una constante


k

n

n

k

n

n acac11

EjemploEjemplo::

Calculemos Calculemos


5

1

2 13n

k

3) 3) Sumatoria de la suma o resta de Sumatoria de la suma o resta de ttéérminos de dos o mrminos de dos o máás sucesioness sucesiones

Sean Sean ��aakk�� y y ��bbkk�� dos sucesiones, dos sucesiones, entonces se cumple que:entonces se cumple que:


k

n

k

k

n

k

k

n

kk baba111

EjemploEjemplo::

CalculeCalcule


62

1

5

1

1) 3 2

12)

4

n

n

k k

k k

Ejercicios 1Ejercicios 1::

Calcula las siguientes sumatorias, (solo Calcula las siguientes sumatorias, (solo los primeros cinco tlos primeros cinco téérminos).rminos).


7

1

8

1

11)

2

2) 3 2

n

n

k k

k

6

21

4

1

3)1

14)

2 1

n

k

kn

kk


Expresa como sumatoria las siguientes Expresa como sumatoria las siguientes sumas.sumas.


2 3 4 51) 1 2 3 50) 1 1 2 3 3 5 10 19) 2 5 8 11 44) 1 4 7 43

abcd

Algunas formulas importantes de Algunas formulas importantes de conocer son las sumatorias de las conocer son las sumatorias de las siguientes sucesionessiguientes sucesiones


Sumatoria de los n primeros Sumatoria de los n primeros nnúúmeros naturalesmeros naturales::


2

14321

1

kknk

k

n

Ejemplo:Ejemplo:

Calcular por la formula la siguientes Calcular por la formula la siguientes sumatoriasumatoria


50

1n

n

Sumatoria de los n primeros nSumatoria de los n primeros núúmeros meros

naturales imparesnaturales impares::


2

1

1 3 5 7 2 1 2 1k

n

k n k

EjemploEjemplo::

Calcular por la formula la siguientes Calcular por la formula la siguientes sumatoriasumatoria


50

1

12n

n

Sumatoria de los cuadrados de los n Sumatoria de los cuadrados de los n primeros nprimeros núúmeros naturalesmeros naturales::


2 2 2 2 2 2

1

1 2 11 2 3 4

6

k

n

k k kk n

EjemploEjemplo::

Calcula la siguiente sumatoriaCalcula la siguiente sumatoria


25

1

2

n

n

Sumatoria de los cubos de los n primeros Sumatoria de los cubos de los n primeros nnúúmeros naturalesmeros naturales::


2

3 3 3 3 3 3

1

11 2 3 4

2

k

n

k kk n


Aplica las propiedades de las sumatorias y Aplica las propiedades de las sumatorias y calculacalcula


40

1

30

1

632

1

1)

2) 2 1

3)

n

n

n

n

n

n

802

1

702

1

302

1

4) 2

5)

6) 5 2

n

n

n

n

n n

n


Usa las formulas conocidas y encuentra a Usa las formulas conocidas y encuentra a su vez otra formulas conocidas y su vez otra formulas conocidas y encuentra a su vez otra formula para cada encuentra a su vez otra formula para cada una de las siguientes sumatorias.una de las siguientes sumatorias.


1

1

2

1

1) 2

2) 2 4

3) 6 4

k

n

k

n

k

n

n

n

n n

2

1

1

2

1

4) 2 1

5) 3 2

5 46)

3 9

k

n

k

n

k

n

n

n

n

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