1

Sistema Diédrico

Sistema DiédricoProyección:

Cilíndrica, Ortogonal y sobre al menos 2 Planos

Muy utilizado en el Dibujo Industrial

(Vistas Normalizadas)

Principales dificultades:

Dificultad de interpretación

Medición de líneas oblicuas

Planos no paralelos a los proyectantes

Dificultad para trabajar con sólidos

2

Diedros

Diedros abatidos

Alto / Bajo

Cerca / Lejos

3

Sistema Diédrico Directo

Se prescinde de la línea de tierra.

La proyección vertical se considera el alzado y nos determina las alturas de los puntos

La proyección horizontal se considera como una planta y nos determina los alejamientos de los puntos

Puede existir un tercer plano de proyección llamado perfil. Este plano se considera un plano auxiliar, necesario para visualizar correctamente algunas rectas o planos que son perpendiculares al plano horizontal y vertical

Por lo tanto cualquier elemento (punto, recta, plano) representado en diédrico directo tendrá al menos dos vistas (planta y alzado)

Vistas Normalizadas

Alto / Bajo

Alante / Atras

Línea de cota cero

Línea de alejamiento cero

Las vistas normalizadas son proyecciones diédricas, sin línea de tierra. Existen líneas de referencia de cota cero y de alejamiento cero

Alzado

(Proyección vertical)

Planta

(Proy. Horizontal)

4

Sistema Diédrico Directo y Vistas Normalizadas

En general tendremos que saber resolver los siguiente problemas de diédrico aplicado a las vistas.

- Problemas de pertenencia

- Problemas de intersecciones

- Problemas de distancias y verdadera magnitud

Geometría Básica aplicada a las vistas de una pieza:

Los puntos son Vértices, las rectas son Aristas y los planos son Caras Planas

Tendremos que conocer por lo tanto las distintas visualizaciones y problemas geométricos entre esos elementos

- Definición de elementos y propiedades

Elem

ento

s a

repr

esen

tar El punto (Vértices)

La Recta (Aristas)Posiciones en el espacioPosiciones relativas

Recta y puntoDos Rectas

Verdadera magnitud de una arista(Distancia entre dos puntos)

El plano (Caras planas)Construcción de un plano

3Puntos, punto y recta, dos rectas que se cruzan

Posiciones en el espacioPosiciones relativas

Recta y planoDos planos

Distancia de un punto a un plano

5

Elem

ento

s a

repr

esen

tar Cualquier elemento que dibujemos tendrá

SIEMPRE al menos 2 proyecciones.Vertical o AlzadoHorizontal o Planta

A veces es posible que por problemas de visualización nos interese una tercera vista normalizada. Como norma general se utilizará el perfil.

Tercer plano de proyección o Perfil

Se pueden añadir tantos planos como vistas normalizadas (6)A veces utilizaremos planos de proyección distintos de los normalizados. Se denominan planos auxiliares y permiten generar vistas auxiliares

El puntoUn punto en el sistema diédrico viene dado por dos proyecciones (vertical y horizontal) (alzado y planta).

El punto se puede asimilar a uno de los vértices de la pieza queestamos representando.

Problemas:

•Determinar su pertenencia o no a un plano o recta.

• Determinar su posición utilizando coordenadas (Muchas veces tenemos la información sobre un punto concreto en función de sus coordenadas cartesianas)

• Determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera en el espacio en 3D

6

El punto

A

a2

a1

B

b2

b1

C

c2

c1

Un punto se puede asociar a un vértice de la pieza

El punto

a2

a1

b2

b1

c2

c1

El resultado, viendo sólo las proyecciones de los puntos es el siguiente:

Las proyecciones están unidas entre sí por líneas imaginarias que son perpendiculares a la línea de cota cero

Si se tienen dos proyecciones de un punto se tienen todas las demás.

7

El punto

y

xy

z

x

z

A (x,y,z)

a2 (y,z)

a1 (x,y)

Un punto también se puede expresarse por sus coordenadas catersianasA(x,y,z)

El punto

y

y

x

z

x

zA (x,y,z)

a2 (y,z)

a1 (x,y)

Una vez conocidas las dos proyecciones de un punto se puede conseguir cualquier otra proyección

x

a3 (x,z)

x

8

La rectaUna recta en el sistema diédrico viene dada por dos proyecciones (vertical y horizontal) (alzado y planta).

La recta geométrica se puede asimilar a cualquier arista de la pieza que estamos representando.

Problemas:

•Conocer los distintos tipos de rectas.

•Resolver problemas de intersecciones de rectas

•Relaciones entre recta y plano

•Pertenencia

•Perpendicularidad

•Rectas de máxima pendiente

La recta Un punto se puede asociar a cualquier arista de una piezar2

r1

RS

s1

s2

T

t2

t1 K

k2

k1

9

La recta

El resultado, viendo sólo las proyecciones de las rectas es el siguiente:

Las proyecciones están unidas entre sí por líneas imaginarias que son perpendiculares a la línea de cota cero

r2

r1

s1

s2

t2

t1

k2

k1

La recta Las rectas son infinitas.

Es por ello que a pesar de que normalmente representamos las aristas de las piezas, tenemos que ser conscientes que las proyecciones de las rectas son infnitas y que un punto puede pertenecer a la recta sin que por ello implique pertenecer a la arista.

r2

r1

s1

s2

t2

t1

k2

k1

b1

a1

a2

El punto A, pertenece a la recta S

El punto B, pertenece a la recta R

= b1

10

La recta: Posiciones relativas

PARALELISMODos rectas son paralelas si y solo sí, lo son también sus proyecciones diédricas

(Si al menos dos de ellas son paralelas, quiere decir que todas sus posibles proyecciones lo tienen que ser)

r2

r1

R

S

s1

s2

r3

s3

La recta: Posiciones relativas

PARALELISMODos rectas son paralelas si y solo si, lo son también sus proyecciones diédricas

(Si al menos dos de las tres principales (alzado, planta o perfil) son paralelas, quiere decir que todas sus posibles proyecciones lo tienen que ser)

s3r3

r1

s1

R

S

r2

s2

En esta vista y sólo en esta las proyecciones son paralelas. Por lo tanto las rectas R y S no son paralelas en la realidad

11

La recta: Posiciones relativasPARALELISMO

Por lo tanto, prescindiendo de las vistas. Una recta será paralela a otra, cuando sus proyecciones sean paralelas en todas las vistas.

Las rectas R y S son paralelas entre sí.

Para trazar una recta paralela a otra dada, sólo hay que trazar rectas paralelas a cada una de sus proyecciones.

Lo mismo ocurre con las rectas J y K.

r2

r1

s1

s2

j2

j1

k2

k1

La recta: Posiciones relativas

RECTAS QUE SE CORTANDos rectas se cortan cuando su intersección es un punto. (Definen un plano)

Eso implica que las proyecciones de la recta, tienen como intersección las proyecciones de un solo punto.

Si no es así, las rectas se cruzan en el espacio 3D. (No definen un plano)

RS

A

r1s1

a1

r2 s2

a2

r3 = s3

a3

12

La recta: Posiciones relativas

RECTAS QUE SE CRUZAN

Las proyecciones de la recta, NOtienen como intersección las proyecciones de un punto.

R

S

r2

s3

r3

r1

s1

Estas no son las proyecciones de un punto en diédrico.

En el perfil se puede comprobar como las rectas en 3D no se cortan, sino que se cruzan

La recta: Posiciones relativas

j2

k2

j1

k1

PARALELAS

r2

s2

r1s1

SE CRUZAN

r2

r1s1

s2

SE CORTAN (Punto A)

a1

a2

13

Punto y recta: Pertenenciaa2

a1

Un punto pertenece a una recta cuando sus dos proyecciones están contenidas en las proyecciones de la arista

A

B

b2

b1

Punto y recta: PertenenciaUna recta pasa por un punto cuando cada una de sus dos proyecciones pasan por las proyecciones del punto (EXISTEN INFINITAS SOLUCIONES)

A

a2

a1

B

b2

b1

s2

s1

t1

t2

Ejemplo: Rectas que pasan por A o B y no son aristas de la pieza de la figura

s2

s1

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El planoEl plano se puede asimilar a cualquier cara plana de arista de la pieza que estemos representando.

Un plano (cara) se puede definir por medio de:

• Tres Puntos

• Dos Rectas

• Un punto y una recta

Problemas:•Conocer los distintos tipos de planos.

•Relaciones entre recta y plano (Pertenencia, Perpendicularidad)

•Resolver problemas de intersecciones de plano con plano o de plano con recta

•Rectas de máxima pendiente

El planoEn el sistema Diédrico Directo no se utiliza el concepto de Traza del plano. A pesar de ello es interesante conocer su definición, ya que en ciertos casos puede ser interesante utilizar esa nomenclatura.

Se denominan TRAZAS de un plano a las proyecciones de la recta intersección del plano con los principales de proyección. El problema de las trazas es que no permiten interpretar los planos en 3D, por lo que son un elemento de representación muchas veces confuso.

En general en Diédrico Directo definiremos un plano cualquiera por tres puntos. En esta definición será innecesario el concepto de trazas para resolver cualquier problema dado, estableciéndose además una relación directa entre plano y cara de una pieza.

Sin embargo cuando se hablen de Planos Proyectantes, sí que se verá el concepto de traza, ya que es un concepto muy gráfico, que nos permite visualizar el plano en 3D mejor que su definición por puntos. (Sólo en ese caso, PLANO PROYECTANTE, utilizaremos las trazas)

15

El planoUn plano se puede asociar a cualquier cara plana de una pieza

Caso 1:

Plano definido por 3 puntos(o lo que es equivalente por tres aristas que se cortan entre sí)

s1

B

AC

b2

b1

c2

c1

a2

a1

El planoEl resultado si prescindimos de las vistas de la pieza es el siguiente. (Tres puntos cualesquiera siempre definen un plano y una cara plana)

La zona amarilla define el interior de la cara de la pieza.

IMPORTANTE: El plano geométrico es infinito y por lo tanto no está limitado por las aristas de la cara.

Eso quiere decir que pueden existir puntos fuera del recinto delimitado por los puntos ABC que pertenezcan al plano (Aunque no a la cara)

s1

b2

b1

c2

c1

a2

a1

16

El planoUn plano se puede asociar a cualquier cara plana de una pieza

Caso 2:

Plano definido por 2 rectas paralelas

B

A

C

D

b1

c1

a2 = d2

a1

d1

b2 = c2

El planoOJO: Cuatro puntos o más, NO siempre definen un plano.

Puntos ABC DSi no hay relaciones de paralelismo entre las rectas, hay que comprobar si los puntos pertenecen o no a un mismo plano.

NO se distingue a simple vista sobre las proyecciones. B

AC

b1

c1

a2

a1 D

b2

d1

c2d2

17

El planoPuntos ABC D

Hay que comprobar si los puntos pertenecen o no a un mismo plano.El método de comprobación consiste en definir un plano con tres de los puntos dados y comprobar si los siguientes pertenecen o no a dicho plano.

(También se pueden comprobar relaciones de paralelismo entre rectas, pero el método general es el anterior)

(Otro sistema es comprobar que todos los puntos definen una única cara de la figura tridimensional que estamos estudiando)

b1

c1

a2

a1

b2

d1

c2d2

El planoUn plano se puede asociar a cualquier cara plana de una pieza

Caso 3:

Plano definido por una recta y un punto que no pertenece a dicha recta

B

A

C

a2

b1

c1

a1

b2

c2

Este plano no define ninguna de las caras de la pieza. Sino un plano oblicuo en R3

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Rectas del planoPara trazar una recta que pertenezca a un plano dado, hay que encontrar dos puntos de esa recta que pertenezcan a ese plano.

El plano en general viene definido por tres puntos. Eso quiere decir que disponemos de tres puntos que seguro que pertenecen al plano y de tres aristas que también pertenecen al plano.

Por ello para trazar una nueva recta contenida en el plano podremos utilizar cualquiera de esos tres puntos de corte o cualquier otro que pertenezca a una de las aristas que definen la cara

A

a2

a1

B

b2

b1

Rectas del planoCualesquiera dos puntos que elijamos que pertenezcan a las aristas que definen la cara, generan una recta que pertenece a ese plano.

B

b2

b1

A

a2

a1

19

Rectas del plano

Prescindiendo de las vistas de la pieza, podemos hacer el mismo proceso para determinar una recta que pertenezca a un plano.

Todas estas rectas están contenidas en los planos definidos por tres puntos.

b2

b1

a2

a1s1

b2

b1

a2

a1

Puntos del planoUn punto pertenece a un plano, si y solo si, el punto pertenece a una recta contenida en ese plano.

Por eso, cualquier punto que seleccionemos de una recta que sepamos que está contenida en el plano, estará contenido en él.

s1

BA

b2

b1

a2

a1

C

c1

c2

20

Puntos del planoUn punto puede pertenecer a un plano aunque no pertenezca a la cara delimitada por las aristas de la pieza.

Basta con que el punto pertenezca a una recta que esté contenida en el plano.

BA

b2

b1

a2

a1

C

c1

c2

Puntos del planoPara saber si el punto ( C ) está dentro de la cara dada por sus aristas límites (tres puntos):1.- Se escoge una proyección del punto (c2) y se hace pasar la proyección vertical de una recta (S) por él.

2.- Se obliga a que dicha recta esté contenida en el plano. (Para ello, los puntos de intersección de la proyección vertical con las proyecciones de las aristas límites de la cara (A, B), tienen que ser puntos que pertenezcan a la recta S)

3.- Se determinan las proyecciones horizontales de los puntos A y B y se traza la proyección horizontal de la recta S, de manera que se cumpla la condición de pertenencia al plano dado.

4.- Si la proyección horizontal del punto (c1) está dentro de la proyección horizontal (s1) eso indica que el punto pertenece a la recta S y por lo tanto pertenece al plano dado

b1

a1s1

c1

c2b2

a2

s2

El p

unto

C,

NO

pe

rtene

ces

al p

lano

da

do

21

Puntos del planoPara saber si el punto ( C ) está dentro de la cara dada por sus aristas límites (tres puntos):1.- Se escoge una proyección del punto (c2) y se hace pasar la proyección vertical de una recta (S) por él.

2.- Se obliga a que dicha recta esté contenida en el plano. (Para ello, los puntos de intersección de la proyección vertical con las proyecciones de las aristas límites de la cara (A, B), tienen que ser puntos que pertenezcan a la recta S)

3.- Se determinan las proyecciones horizontales de los puntos A y B y se traza la proyección horizontal de la recta S, de manera que se cumpla la condición de pertenencia al plano dado.

4.- Si la proyección horizontal del punto (c1) está dentro de la proyección horizontal (s1) eso indica que el punto pertenece a la recta S y por lo tanto pertenece al plano dado

b1

a1s1 c1

c2b2

a2

s2

El p

unto

C

perte

nece

s al

pla

no

dado