3 cuadernillo sistema diedrico y conica

IES Mesa y López DIBUJO TÉCNICO 1º DE BACHILLERATO

3º TRIMESTRE

CUADERNILLO 3 NOMBRE: ___________________________________________ 1

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Sistema diédrico PerspecKva cónica

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ÍNDICE I. REPRESENTACION EN SISTEMA DIEDRICO 1. Fundamentos del Sistema Diédrico 1.1.-‐ Códigos habituales de Notación 2. Representación del punto 2.1.-‐ Alfabeto del punto 3. La recta 3.1.-‐ Tipos de rectas. 3.2.-‐ Rectas paralelas 3.3.-‐ Intersecciones entre rectas 3,4. Rectas que se cruzan 4. El plano 4.1.-‐ Formas de definir un plano 4.2.-‐ Alfabeto del plano 4.3.-‐ Rectas notables del plano 5. Intersecciones 5.1.-‐ Intersección de dos planos

5.1.1.-‐ Método para hallar puntos de la intersección de dos planos α y β 5.1.2.-‐ Intersección de los planos α1-‐α2 y β1-‐β2.

5.2.-‐ Intersección de una recta cualquiera con un plano.

II. PERSPECTIVA CÓNICA 1.   FUNDAMENTOS DEL SISTEMA CÓNICO 2.   LA PERSPECTIVA CÓNICA FRONTAL 3.   LA PERSPECTIVA CÓNICA OBLICUA

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I.-‐FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIEDRICO.

El sistema diédrico de representación surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel, formato de dos dimensiones.

En el sistema diédrico el espacio queda dividido en cuatro partes iguales, por medio de dos planos perpendiculares entre sí, llamados plano de proyección VERTICAL y plano de proyección HORIZONTAL. Estos dos, como cualquier par de planos que no presenten la parKcularidad de ser paralelos entre sí, se cortarán en una recta, recta conocida por LINEA DE TIERRA (LT). !De modo que el espacio debido ha estos dos planos queda dividido en cuatro partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de DIEDRO ó CUADRANTE.

Además de estos dos planos existen otros dos, no menos importantes, que dividen los diedros mencionados en dos partes iguales. Estos planos forman 45º con los planos de proyección y se cortan entre ellos y a los planos de proyección en la LT. De este modo nuestro sistema queda dividido en ocho partes iguales a las que llamaremos OCTANTES, y a los dos nuevos planos causantes de esta segunda división planos BISECTORES.

Lo expuesto hasta el momento nos da una visión del sistema de representación en el espacio. Pasemos, pues a conKnuación a representarlo al plano, para ello tendremos que abaKr el plano de proyección horizontal sobre el plano de proyección verKcal uKlizando como eje de giro la propia LT. De este modo, quedará como único elemento de referencia la LT. En ocasiones, es necesario realizar una tercera vista o proyección del elemento que estamos representando para su total definición y comprensión, esta proyección se realiza sobre un tercer plano de proyección denominado plano de PERFIL.

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1.1.-‐ CODIGOS HABITUALES DE NOTACIÓN.

La LT se representará en el presente trabajo mediante una línea llena fina con dos segmentos bajo sus extremos.

La nomenclatura del punto a través de letras mayúsculas, diferenciando si se trata de una proyección horizontal (mediante el subíndice 1 ó(‘)), de una proyección verKcal (mediante el subíndice 2 ó(‘’)) o de una tercera proyección, la de perfil (mediante el subíndice 3 ó(‘’’)).

La nomenclatura de las rectas mediante letras minúsculas, diferenciando como en el caso del punto si se trata de una proyección horizontal, verKcal o de perfil mediante los subíndices 1, 2 y 3 respecKvamente.

Para la nomenclatura del plano uKlizaremos el alfabeto griego en minúscula, diferenciando como en los dos casos anteriores las tres proyecciones mediante los subíndices 1, 2 y 3.

2.-‐REPRESENTACIÓN DEL PUNTO.

El sistema diédrico de representación consiste en obtener las disKntas proyecciones de un elemento, en este caso un punto, mediante la proyección de haces proyectantes perpendiculares a los planos de proyección. De modo que proyectando perpendicularmente el punto A sobre el plano de proyección Horizontal obtendremos la proyección horizontal del punto A (A1). RepiKendo la misma operación sobre el plano de proyección verKcal obtenemos la proyección verKcal del punto A, que es A2.

El punto A se puede definir mediante las distancias hasta los tres planos de proyección: A(d,a,c). La primera coordenada nos indica la distancia a un origen 0, la segunda coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyección verKcal (denominada alejamiento) y la tercera coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyección horizontal (denominada cota).

2.1-‐ ALFABETO DEL PUNTO.

Obtendremos ahora en proyección las disKntas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio.

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2.1-‐ ALFABETO DEL PUNTO Representa todos los puntos del esquema de la derecha en el Sistema diédrico.

CaracterísOcas de los puntos según los disOntos diedros que ocupan:

Punto

Cota

Alejamiento

Cuadrante

B

I

K

R

!

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1.  Indica dónde se encuentran los siguientes puntos:

2. Dibuja sobre esta línea de tierra un punto A situado en el 2º cuadrante, otro B situado en el 4º, otro C que pertenezca al 1º bisector y esté situado en el 3º cuadrante y otro D qué esté contenido en el plano horizontal anterior PHA.

3. Dibuja los siguientes puntos e indica dónde se encuentran:

A(3/4/2), B(2/3/-1), C(4/ -3/ -2), D(2,5/-2/1), E(4,5/3/-3), F(5/0/2)

A2

A1

B2

B1

C2C1

D1

D2

E1

E2

F2F1

G1

G2

H1

H2

I1

I2

A

B

C

D

E

F

G

H

I

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3.-‐ LA RECTA

!

La proyección de una recta sobre un plano está formada por la proyección de todos los puntos de la recta que se quiere proyectar. Una recta está definida cuando se conocen sus dos proyecciones, horizontal y verKcal. Donde la recta corta a los planos de proyección, tenemos sus trazas H (traza horizontal) y V (traza verKcal). H1 es la proyección horizontal de la traza horizontal, se la conoce con el nombre de traza horizontal, y la proyección verKcal de la traza horizontal H2 se encuentra sobre la L.T. Del mismo modo V2 es la proyección verKcal de la traza verKcal de la recta, se le denomina traza verKcal y la proyección horizontal de la traza verKcal V1 está sobre la L.T. De esta forma la proyección verKcal de la recta r2 queda definida al unir V2 con H2 y la proyección horizontal r1 al unir H1 con V1.

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3.1-‐ TIPOS DE RECTAS Recta horizontal: recta paralela al P.H. todos sus puntos deben de tener la misma cota.

!

Recta frontal: recta paralela al P.V. todos sus puntos deben de tener el mismo alejamiento.

!

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c. Recta de punta al P.H. es una recta perpendicular al P.H. y sólo Oene traza horizontal.

!

d. Recta de punta al P.V. es una recta perpendicular al P.V. y sólo Oene traza verOcal.

!

e. Recta paralela a L.T. ésta recta es paralela a los dos planos de proyección P.H. y P.V.

!

!

f. Recta de perfil es una recta paralela al plano de perfil (plano auxiliar).

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1. Representa las trazas de las siguientes rectas y señala por qué cuadrantes pasan. Halla también el corte con los bisectores.

s2

s1

t2

t1

r2

r1 u1

u2

¿Qué tipo de rectas son r y u?

2. Halla las trazas de la recta de perfil s

A2

A1

B2

B1

s2

s1

3. Dibuja la recta frontal d que dista 3 cm del plano vertical y hallar sus trazas. Señalar el punto de corte con los bisectores

4. Dibuja una recta horizontal que pase por el punto P y tenga como traza vertical el punto V . Señalar por qué cuadrantes pasa.

x V

5. Dibuja una recta paralela a la LT situada en el 1º cuadrante que diste 30mm del PV y 45mm del PH

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3.2 RECTAS PARALELAS ENTRE SÍ

Si dos rectas r y s son paralelas en el espacio, sus proyecciones homónimas r1,s1 y r2,s2 también son paralelas. Recíprocamente cuando dos rectas Kenen sus proyecciones tanto horizontales como verKcales paralelas, éstas son paralelas en el espacio.

!

Si las rectas son de perfil, no basta que las proyecciones homónimas sean paralelas entre sí. Hay que comprobar que ambas rectas Kenen la misma inclinación, y para ello nos vamos a basar en la tercera proyección o de perfil

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3.3 RECTAS QUE SE CORTAN (INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS)

Dos rectas se cortan cuando Kenen un punto en común

3.4 RECTAS QUE SE CRUZAN

Dos rectas se cruzan cuando no son paralelas y tampoco se cortan.

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1. Halla las trazas de la recta de perfil s

A2

A1

B2

B1

s2

s1

2. Dibuja una recta s paralela a r que pase por A

A2

A1

r2

r1

3. Dibuja una recta p de punta que corte a r en el punto B. Halla los puntos donde r corta a los planos bisectores.

B1

B2

r2

r1

4. Dibuja una recta horizontal que corte a s en el punto A

s2

s1 A2

A1

5. Dibuja una recta s que pase por A y corte a r en su traza horizontal .

r2

r1

A2

A1

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1. Representar la recta que pasa por el punto P y corta a la recta r en el punto de cota 24 mm. Señalar sus partes visibles y ocultas, sus trazas y corte con los bisectores

r2

r1

4. La recta a pasa por los diedros indicados y por el punto B. Represéntala.

P2

P1

2. Calcula las proyecciones horizontales P1 y Q1 de la recta de perfil t

P2

H2

V2

t2

t1

V1

H1

Q2

3. Dibuja una recta s paralela a r que pase por A. Halla sus trazas.

A2

A1 r2

r1

B1

B2

4º D 2º D

5. Halla las trazas de la recta de perfil s que pasa por los puntos A y B. ¿Por qué cuadrantes pasa?

A3

B2

B1

s2

s1

6. Dibuja una recta s que pase por A y corte a r en su traza vertical.

r2

r1

A2

A1

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4.-‐ EL PLANO

Las trazas de un plano son los vérKces en los que dicho plano corta a P.H y P.V. Un plano Kene dos trazas: verKcal ( 2) y horizontal ( 1). Como se indica en la figura las dos trazas del plano siempre se han de cortar en un punto y en la línea de Kerra.

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Para que una recta pertenezca a un plano, es decir esté contenida en él, es necesario que la traza verKcal de la recta v2 esté sobre la traza verKcal del plano 2 y del mismo modo la traza horizontal de la recta h1 deberá estar sobre la traza horizontal del plano 1.

!!

4.1.-‐FORMAS DE DEFINIR UN PLANO

En la geometría del espacio un plano lo podemos definir de cuatro formas diferentes: Mediante dos rectas que se cortan. Mediante tres puntos no alineados. Mediante una recta y un punto que no se pertenezcan.

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En realidad los tres casos anteriores son el mismo. En todos ellos debemos conseguir dos rectas que se corten un punto, puesto que éstas siempre formarán un plano. ParKendo de tres puntos no alineados, bastará con unir los puntos de dos en dos y así obtendremos dos rectas que se cortan en un punto. ParKendo de una recta y un punto que no esté contenido en dicha recta, bastará con hacer pasar otra recta por el punto dado y por un punto perteneciente a la recta dada, obteniendo así el primer caso. Una vez reducidos los casos b) y c) al caso a) bastará con obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales y las verKcales de las rectas, para unir entre sí las proyecciones horizontales de la traza horizontal de las rectas (H1) y obtener así la traza horizontal del plano 1, para obtener la traza verKcal 2 del plano deberemos proceder del mismo modo con las proyecciones verKcales de las trazas verKcales de las rectas.

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d. Mediante dos rectas paralelas. Obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales de las rectas y unirlas entre sí para obtener la traza horizontal del plano. Obtener las proyecciones verKcales de las trazas verKcales de las rectas y unirlas entre sí para obtener la traza verKcal del plano.

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e) Mediante la línea de máxima pendiente ó de máxima inclinación. En el sistema diédrico tenemos para cada plano dos Kpos de líneas de máxima pendiente. Una

con respecto al plano horizontal y otra con respecto al plano verKcal (denominada también LINEA DE MÁXIMA INCLINACIÓN). En la figura se muestra un plano α y contenida en él una recta m perpendicular a la traza α1. Al proyectar dicha recta sobre el plano horizontal, la proyección m1 será perpendicular a α1. Esta recta será l.m.p. del plano α con respecto al plano horizontal y cualquier otra recta contenida en el plano formará con el plano horizontal un ángulo menor que ésta.

En la siguiente figura se muestran las proyecciones de la l.m.p. m (con respecto al plano horizontal) de un plano α. La única condición que debe cumplir es que la proyección m1 sea perpendicular a la traza α1. Cualquier recta paralela a m1 y contenida en el plano α será también l.m.p del plano con respecto al plano horizontal.

!

!

Rectas notables del plano

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4.2.-‐ALFABETO DEL PLANO

!

El plano es un plano oblicuo cualquiera. El plano es un plano proyectante horizontal: la proyección horizontal de todos los puntos y rectas que conKene coincide con su traza horizontal. El plano es un plano proyectante verKcal: las proyecciones verKcales de todos sus puntos y rectas que conKene coinciden con su traza verKcal. El plano es un plano de perfil. El plano es un plano paralelo a la L.T: las trazas que conKene también son paralelas a la L.T. Si la cota y alejamiento es diferente existen diversas posiciones. Si la cota y el alejamiento es la misma entonces estaremos ante un plano perpendicular a su bisector. El plano es un plano paralelo al P.V: las rectas y puntos, sus proyecciones horizontales, coinciden con su traza horizontal. Las rectas y puntos en su proyección verKcal va ha estar en verdadera magnitud. El plano es un plano paralelo al P.H: no existe traza horizontal. La proyección verKcal coincide con la traza verKcal. Las rectas y puntos en su proyección horizontal las vemos en verdadera magnitud. El plano es un plano que conKene a la L.T: si la cota y alejamiento del punto es igual pertenece al 1er bisector, en caso de que sea diferente estamos ante un plano que conKene a la línea de Kerra.

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Rectas notables de los planos

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1. Representar el plano que definen las rectas r y s que se cortan en A

s2

s1 r2

r1

A2

A1

2. Representar el plano que definen las rectas paralelas r y s .

r2

r1

s2 s1

3. Representar el plano que definen la recta r y el punto A

A2

A1

r2

r1

4. Representar el plano que definen los puntos A, B y C

A2

A1

B2

B1

C2

C1

5. Dibuja una recta cualquiera que pertenezca al plano.

6. Dibuja la proyección horizontal del punto A de forma que pertenezca al plano.

A2

Representación de planos

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1. Hallar la recta horizontal del plano de cota 12 mm 2. Hallar el punto P que pertenece al plano y tiene como cota 16 mm y alejamiento 10 mm

3. Dibuja la proyección horizontal de la recta s que pertenece al plano.

s2

4. Dibuja el plano definido por la recta p de máxima pendiente del plano

p2

p1

5. Dibuja el plano definido por la recta i de máxima inclinación del plano

i2

i1

6. Dibuja el plano definido por la recta f frontal del plano

f2

f1

Rectas notables del plano

20 Tipos de planos

1. Hallar la recta frontal del plano de cota 12 mm 2. Hallar el punto P que pertenece al plano y tiene como cota 12 mm y alejamiento 6mm

3. Dibuja la proyección horizontal de la recta s que pertenece al plano.

s2

4. Hallar la proyección horizontal del plano paralelo a la línea de tierra que pasa por el punto A

A2

A1

6. Hallar la proyección vertical de la recta r que pertenece al plano

5. Hallar la proyección horizontal del punto A que pertenece al plano. ¿Qué tipo de plano es?

r1

A2

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5.-‐ INTERSECCIONES 5.1.-‐INTERSECCION DE DOS PLANOS

Sean dos planos α1-‐α2 y β1-‐β2 cuya intersección I vamos a determinar

!

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5.1.1.-‐ INTERSECCION DE DOS PLANOS PROYECTANTES

Uno es un plano proyectante horizontal α1 -‐ α2 y el otro proyectante verKcal β1-‐ β2.

Es indudable que uKlizando los planos de proyección como planos auxiliares, obtenemos dos puntos de la intersección buscada, que son sus trazas H1-‐H2 y V1-‐V2, pudiendo por tanto anotar la intersección i1-‐i2.

Como se observa, las proyecciones de esta intersección se confunden con las trazas de los planos; lo cual concuerda con las caracterísKcas de los planos en cuesKón, que al ser proyectantes Kenen la propiedad de que “ todo elemento que contengan se proyecta según su traza”.

5.1.2.-‐ INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA α1-‐ α2 CON OTRO PARALELO A LA LINEA DE TIERRA β1-‐β2.

Hallamos las trazas de la recta de intersección: H1-‐H2 y V1-‐V2 que nos determinan i1-‐i2.

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5.1.3.-‐ INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA (1er. Método). El primer método consiste en apoyarnos en el plano de perfil. Calcular u obtener las trazas de los planos α y β en el plano de perfil y obtener su intersección I3. A conKnuación desabaKrlo y obtener las rectas I1 e I2.puesto

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5.1.4.-‐ OTROS

5.2.-‐ INTERSECCION DE UNA RECTA CUALQUIERA CON UN PLANO

!

El plano dado lo está por sus trazas P1-‐P2, y la recta r por sus proyecciones r1-‐r2. De todos los planos que pudiéramos elegir pasando por la recta r, uno de los que nos dan solución sencilla es el proyectante. Hemos elegido, en este caso, el proyectante verKcal que tendrá por intersección con el dado P la recta i1-‐i2 determinada por los puntos h1-‐h2 y v1-‐v2. (i2 confundida con y, por tanto, con r2).

Por hallarse en el mismo las rectas r1-‐r2 e i1-‐i2 nos dan el punto solución a1-‐a2.

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2. Hallar la recta intersección de los planos y 1. Hallar la recta intersección de los planos y

3. Hallar la recta intersección entre los planos y

6. Hallar la recta intersección entre los planos y 5. Hallar la recta intersección de los planos y

4. Hallar la recta intersección de los planos y

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r2

r1

p2

p1

Intersección entre recta y plano

q2

q1

r2

r1

p2

p1

p2

p1

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II.-‐ PERSPECTIVA CÓNICA 1, FUNDAMENTOS DEL SISTEMA CÓNICO:

El sistema cónico es la forma de perspecKva que más se parece a la visión del ojo humano (aunque Kene con la visión diferencias significaKvas).

Para representar el espacio y los objetos que están en éste, se imagina que entre los objetos y el observador hay un cristal (una ventana), y que el espacio que está detrás se proyecta en ese “cristal” Este “cristal” se llama en perspecKva cónica Plano del Cuadro (PC)

Además del Plano del Cuadro, en la perspectiva cónica interviene otro elemento importantísimo, que es la línea del horizonte (LH). La línea del horizonte es una línea imaginaria que se produce por la curvatura de tierra, y es el lugar hasta donde nos llega la vista. Por eso está a la altura de nuestros ojos.

Estos son los principales elementos a tener en cuenta en la perspecKva cónica: -‐ El plano del cuadro (PC) (el cristal), se encuentra situado entre el observador y el objeto. -‐ En el plano geometral (PG) o plano del suelo, se encuentra situado el observador. -‐ El plano del horizonte (PH) es perpendicular al plano del cuadro y siempre se encuentra a la altura del ojo del espectador. -‐  La intersección del plano del cuadro con el plano geometral genera la línea de Oerra (LT). -‐ La intersección del plano de horizonte con el plano del cuadro genera la línea del horizonte (LH) Los objetos, por regla general, se sitúan por detrás del plano del cuadro.

Observa cómo la distancia del observador V hasta el punto P se abate sobre el PC para encontrar dos puntos auxiliares, D y D'. Éstos dos puntos son los puntos de distancia y sirven para dibujar diagonales, y para calcular las medidas.

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Según los objetos estén situados paralelos u oblicuos al Plano del Cuadro, hablaremos de perspectiva cónica frontal u oblicua. La frontal tiene un solo Punto de fuga, y la oblicua tiene dos.

Pla nta

LH

LT

X PV

PF

PC

CÓNICA FRONTAL

CÓNICA OBLICUA

2.-‐ LA PERSPECTIVA CÓNICA FRONTAL En la perspecKva cónica frontal, el objeto observado Kene su cara principal paralela al plano del cuadro. Se obKene solamente un punto de fuga, que se encuentra prolongando el punto de vista del observador

hasta la línea de Kerra (LT). Vamos a ver esta perspecKva por medio de un ejemplo: Dibujaremos un cubo de 4cm de lado que está situado 1cm por detrás del plano del cuadro (PC), y que

es visto por un observador que mide 8cm de alto, y que se encuentra a 10cm de distancia del PC. Vista desde arriba (PLANTA):


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Dibuja el mismo cubo variando el punto de vista:

1. OBJETO CENTRADO CON RESPECTO AL OBSERVADOR

Cubo: 4 cm Distancia PV: 4 cm Altura del observador: 6 cm

2. OBJETO DESPLAZADO CON RESPECTO AL OBSERVADOR

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Dibuja el mismo cubo variando el punto de vista:

3. OBJETO MAS ALTO QUE EL OBSERVADOR

Cubo: 4 cm Distancia PV: 4 cm Altura V (distancia LT-‐LH) : 3 cm

4. OBSERVADOR SITUADO MUY LEJOS

Cubo: 4 cm Distancia PV: 6 cm Altura V (distancia LT-‐LH) : 3cm

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DIBUJA ESTA PIEZA EN CÓNICA FRONTAL: La figura se encuentra a 10 mm de la LT. Distancia de v A LT: 80 mm Altura V (LT a LH): 50 mm El punto V está a 100mm del borde del papel. La pieza está a 65 mm del borde del papel

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DIBUJA ESTA LÁMINA EN CÓNICA FRONTAL La figura se encuentra a 10 mm de la LT. Distancia de v A LT: 70 mm Altura V (LT a LH): 60 mm El punto V está a 100mm del borde del papel. La pieza está a 70 mm del borde del papel


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3.-‐ LA PERSPECTIVA CÓNICA OBLICUA En la perspecKva cónica oblicua, el objeto observado Kene sus caras oblicuas al plano del cuadro. Ejemplo:

Distancia LT-‐LH= 40mm Distancia V-‐p= 50mm

1.  En la planta, marcar el punto V, el punto P y el plano del cuadro.

2.  Hallar los puntos de Fuga F y Fćon paralelas a los lados del objeto.

3.  Con centro en F y radio FV trazar un arco para hallar M. Con centro en Fÿ radio F´V trazar un arco para hallar M¨.

4.  M y M¨son los puntos métricos. Sirven para tomar las medidas en perspecKva, dentro del dibujo.

5.  Pasar las medidas de F, F¨, M, Mÿ P a la LH y a la LT del dibujo definiKvo.

6.  Las alturas se miden en una perpendicular a LT y se llevan a los puntos de fuga.


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EJERCICIOS TIPO PAU


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