Taller Final Inv Operaciones 2

TALLER FINAL

PROGRAMACION LINEAL

INVESTIGACION DE OPERACIONES

PROFESOR:

FERNEY GUEVARA

PRESENTADO POR:

JOHAN ANDRES OCAMPO

MARTHA CECILIA ESPINOSA

LUIS EDUARDO TAMAYO GONZALEZ

QUINTO SEMESTRE NOCTURNO

ADMINISTRACION DE EMPRESAS

SANTIAGO DE CALI

UNIVERSIDAD LIBRE

MAYO 24 DE 2010

1. Determine el valor máximo de la función objetivo Z sujeta a las restricciones dadas.

a) Z=3 x+2 y ; x+ y≤5 , x>0 , y>0Si x=0∴ y=5Si y=0∴ x=5

R/= 0<x ≤5∧0< y≤5

Ecuación objetivo

z=3 x+2 y , reemplazamos z→ p y despejamos

y=32x+ 12p

si p=10entonces , y=−32

x+12(10)

si y=0entonces x=3.33 y si x=0entonces y=5

b) Z=5 x+ y ; x>0 , y>0 ,3x+ y ≤7 , x+ y ≤3 , x+2 y≤5

Cortes con los ejes , ecuacion3 ,3 x+ y≤7

si x=0entonces y=3 , si y=0entonces x=73

Cortes con los ejes , ecuacion4 , x+ y≤3


Cortes con los ejes , ecuacion5 , x+2 y ≤5

si x=0entonces y=2.5 , si y=0entonces x=5

Encuentro corte entre Eq. 4 y 5

(−1 ) x+ y=3(−1)x+2 y=5y=2

reemplazo y en1 , entoncesx+2=3x=3−2x=1


(−1 ) x+ y=3(−1)3 x+ y=72 x=4x=2

reemplazo x en1 ,entonces2+ y=3y=3−2y=1

Ecuación Objetivo 1

Z=5 x+ yZ=5 (1 )+2

Z=7


Z=5 x+ yZ=5 (2 )+1Z=11

2. Determine los valores mínimos para la función objetivo Z sujeta a las restricciones dadas.a) Z=x+ y ; x>0 , y>0 , x+3 y>6 ,2x+ y>7

Cortes con los ejes , ecuacion3 , x+3 y=6


Cortes con los ejes , ecuacion4 ,2x+ y=0

si x=0entonces y=7 , si y=0entonces x=3.5


(−2 ) x+3 y=6(−2)2 x+ y=7y=1

reemplazo y en1 , entoncesx+3 y=6x=6−3x=3


Z=x+ yZ=3+1Z=4

B) Z=x− y ; x>0 , y>0 , x+ y>4 , x+2 y ≤10

Cortes con los ejes , ecuacion3 , x+ y=4


Cortes con los ejes , ecuacion4 , x+2 y=10

si x=0entonces y=5 , si y=0 entonces x=10


(−2 ) x+ y=4 (−2)x+2 y=10

y=6

reemplazo y en1 , entoncesx+6=4x=−6+4x=−2


Z=x− yZ=−2−6Z=−8

Respuesta :∀ x≠0∴3.5<x≤10∧∀ y≠0∴4< y ≤7

3. Para cada uno e los casos siguientes plantee el modelo de programación lineal y su solución grafica.a. Una compañía produce dos producto A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en la primera

maquina, y 5 horas en la segunda maquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera maquina y 3 horas en la segunda maquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera maquina y 110 en la segunda maquina. Si la compañía obtiene una utilidad $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B, ¿Cuánto deberá producir de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total?

MAQUINAS1 2 U

PRODUCTOSA 2 5 70B 4 3 50

Horas disponibles

100 110 ?

Ecuaciones:

Umax=70a+50b;restricciones A>0 ,B>0 , Mq1=2 A+4 B≤100 , Mq2=5 A+3B≥110

Cortes con los ejes , ecuacion3 ,2 A+4 B=100

si a=0entonces b=25 , sib=0entonces a=50

Cortes con los ejes , ecuacion4 ,5 A+3B=110

si a=0entonces b=36.7 , si b=0entonces a=22


(−3 )2a+4 b=100 (−3)5a+3b=110

a=10

reemplazo y en3 , entonces2(10)+4 b=100b=(100−20 )4

x=20


Utilidad=70 (10 )+50 (20 )=1700

b. Una compañía posee dos minas , P y Q. Cada tonelada de mineral de la primera mina produce 50 libras de Cobre (Cu), 4 libras de Cinc (Zn) y una 1 de Molibdeno (Mo). Cada tonelada de mineral Q produce 15 libras de Cobre(Cu), 8 libras de Cinc(Zn) y 3 libras de Molibdeno(Mo).LA compañía debe producir al menos 87.500, 16.000 y 5.000 libras de estos tres metales, respectivamente. Si tiene un costo de $50 por tonelada obtener mineral P y $60 por tonelada de la mina Q. ¿Cuánto mineral deberá obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de producción a un costo mínimo?

MINERALCo Ci Mo COSTO

MINAS

P 50 4 1 50Q 15 8 3 60Prodct. Estimado 87500 16000 5000 ?

Ecuaciones:

COSTOMINIMO<50 p+60q ;Restricciones : p>0 , q>0 ,Co=50 p+15q≥87.500 ,Ci=4 p+8q≥16.000 ,Mo=p+3q≥5.000

Cortes con los ejes , ecuacion3 ,50 p+15q≥87.500

si p=0entoncesq=5833 , si q=0entonces p=1750

Cortes con los ejes , ecuacion4 ,4 p+8q≥16,000


ortes conlos ejes , ecuacion5 , p+3q≥5000



50 p+15 q=87500(−5) p+3q=5000(−5)

p=1388

reemplazo y en3 , entonces1388+3q=50003q=5000−1388

q=1204


Costominimo=50 (1388 )+60 (1204 )=141640

c. Una empresa de productos químicos produce dos tipos de fertilizantes. Su marca regular contiene nitratos; fosfatos y potasio en la razón de 5; 5; 10 y su marca súper contiene estos tres integrantes en la razón 5; 10; 5. En cada caso, el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de nitrato químico, el segundo se refiere al porcentaje de fosfatos u el tercer valor al porcentaje de potasio. Cada mes, la disponibilidad y costos de materia primas son 1100 toneladas de nitratos; 1800 toneladas de fosfatos y 2000 toneladas de potasio. Si la empresa obtiene una utilidad de $18.5 por cada tonelada de fertilizante regular y $20 por cada tonelada de fertilizante súper, ¿que cantidades de cada fertilizante deberá producir a fin de obtener la máxima utilidad?

MATERIA PRIMANITRATOS FOSFATOS POTASIO UTILIDAD

MARCAS

MARCA REGULAR

5 5 10 18.5

MARCA SUPER

5 10 5 20

DISP. ESTIMADA

1100 1800 2000 ?

Ecuaciones:

Utilidad Maxima=18,5mr+20ms; Restricciones :mr>0 ,ms>0 ,∋¿5mr+5ms≤1100 ,Fo=5mr+10ms≤1800 ,Po=10mr+5ms≤2000

Cortes con los ejes , ecuacion3 ,5mr+5ms≤1100

simr=0entoncesms=220 , sims=0entoncesmr=220

Cortes con los ejes , ecuacion4 ,5mr+10ms≤1800


cortes con losejes , ecuacion5 ,10mr+5ms≥2000



(−1)5mr+5ms=1100(−1)5mr+10ms=1800

ms=140

reemplazo y en3 , entonces5mr+5 (140 )≤11005mr≤1100−700

mr≤80


(−1 )5mr+5ms≤1100(−1)10mr+5ms≤2000

mr≤180

reemplazo y en3 , entonces5 (180 )+5ms≤11005ms≤1100−900

ms≤40


Utilidadmaxima=18,5mr+20ms

reemplazoenUtilidadmaxima , entonces ,18,5(80)+20(140)1480+28004280

d. Un fabricante de juguetes prepara un programa s de producción para los dos nuevos juguetes, muñecas y soldados, con base en la información concerniente a sus tiempos de producción dados en la siguiente tabla 1:

TABLA 1PROCESOS

MAQUINA A MAQUINA B ACABADO UTILIDAD

PRODUCTOS

MUÑECAS 2 HORAS 1 HORA 1 HORA $ 4

SOLDADOS 1 HORA 1 HORA 3 HORAS $ 6

HORA DISPONIBLES 70 40 90 ?

Por ejemplo,. Cada muñeca requiere 2 horas en la maquina A, las horas disponibles empleadas por semana son: para la maquina A ,70; para la B, 40; para acabado, 90. Si las utilidades en cada muñeca y soldado son $4 y $6 respectivamente. ¿Cuántos juguetes de cada uno debe producir por semana el fabricante con el fin de maximizar su utilidad?, ¿Cuál es esta utilidad?

Ecuaciones:

Utilidad Maxima=4m+6 s ; Restricciones :m>0 , s>0 , Mqa=2m+s≤70 , Mqb=m+s≤40 , Ac=m+3 s≤90

Cortes con los ejes , ecuacion3 ,2m+s≤70

sim=0entonces s=70 , si s=0entoncesm=35

Cortes con los ejes , ecuacion4 ,m+s≤40

sim=0entonces s=40 , si s=0ent oncesm=40

cortes con losejes , ecuacion5 ,m+3 s≤90

sim=0entonces s=30 , si s=0entoncesm=90


2m+s ≤70(−1 )m+s≤40(−1)

m≤30

reemplazo y en4 , entonces30+s≤40s≤10

¿¿


(−1)m+s≤40(−1)m+3 s≤90s≤25

reemplazo y en4 , entoncesm+25≤40m≤15

¿¿


Utilidadmaxima=

4m+6 s4 (30 )+6(10)Um=180


Util idadmaxima=

4m+6 s4 (15 )+6(25)Um=210

e. Una empresa fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas, la normal y la extra grande. El proceso de manufacturado asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades: ensamble, pintura y pruebas de control. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las bombas se muestran en la tabla. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es de $50, en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es de $75. Existen disponibilidades por semana de 4800 horas de tiempo de ensamble, 1980 de tiempo de pintura, 900 de tiempo de prueba. Las experiencias anteriores de venta señalan que la empresa espera vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extra grandes. A la empresa le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba a fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades.

Tabla: Requerimientos de manufacturas en horas

TIPO TIEMPO DE ENSAMBLE TIEMPO DE PINTADO TIEMPO DE PRUEBANormal 3,6 1,6 0,6

Extra grande 4,8 1,8 0,6

Ecuaciones:

Utilidad Maxima=50n+75eg; Restricciones :n>0 , eg>0,3,6n+4,8eg≤4800 ,1,6n+1,8eg ≤1980 ,0 ,6n+0,6 eg≤900

Cortes con los ejes , ecuacion3 ,0,3,6n+4,8eg≤4800

sin=0entonces eg=1000 , si eg=0 entoncesn=1333

Cortes con los ejes , ecuacion4 ,1,6n+1,8eg≤1980

sin=0entonc es eg=1100 , sieg=0 entoncesn=1237

cortes con losejes , ecuacion5 ,0 ,6 n+0,6eg≤900

sin=0entonces eg=1500 , si eg=0 entoncesn=1500

Encuentro corte entre Eq. 3 y 4 0.75 345

3,6n+4,8eg=4800(−2.25)1,6n+1,8eg=1980(−2.25)

eg≤460

reemplazo y en4 , entonces1.6n+1.8 (460 )=1980

n≤720¿

¿


(−1)m+s≤40(−1)m+3 s≤90s≤25

reemplazo y en4 , entoncesm+25≤40m≤15

¿¿


Utilidadmaxima=

50 (720 )+75(460)36000+34500Um=70500

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