2º BACHILLERATO

TEMA 7. DIÉDRICO DIRECTOFundamentosRecta y plano

InterseccionesParalelismo

Perpendicularidad

DIBUJO TÉCNICO

1. La representación del punto por coordenadas

La representación de un punto A se materializa en su proyección horizontal A1 y su proyección vertical A2.

No se dibuja línea de tierra.

Su situación queda determinada en base a las proyecciones de otros puntos (sistema de coordenadas relativas)

X Separación entre líneas de referencia

Y Diferencia de alejamientos

Z Diferencia de cotas

X=DISTANCIA

Y= ALEJAMIENTO

A1

A2

1B

B2

Z =COTA

Una recta queda definida por dos puntos.

Un punto pertenece a una recta si sus proyecciones pertenecen a las de esa recta (A y B pertenecen a la recta r)

Las proyecciones de los puntos determinan las proyecciones de la recta

r1

1A

2A

2r

1B

2B

x

y

z

2. La representación de la recta

Recta oblicua: Las dos proyecciones de la recta son oblicuas a las líneas de referencia de sus puntos.

Son las posiciones en las cuales la recta muestra su verdadera magnitud en alguna de sus proyecciones.

También son útiles para determinar relaciones geométricas respecto a otros elementos, como los ángulos respecto de los planos de proyección.

h1

1A

2A 2h

1B

2B

3. Posiciones favorables de la recta

β

=V.M.

Recta horizontal: Paralela al PH.

Su proyección vertical h2 es perpendicular a las líneas de referencia .

En la planta se proyecta la VM y se mide el ángulo β que forma la recta con el PV.

f11A

2A

2f

1B

2B

α

=V.M.

Recta frontal: Paralela al PV.

Su proyeccion horizontal f1 es perpendicular a las líneas de referencia.

En el alzado se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH.

r1

1A

2A

2r

1B

2B

Recta de perfil: Paralela al PP.

En el perfil se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH y el ángulo β que forma con el PV.

r3 =V.M

.

β

3A

3B

α

1≡B

2B

r11A

2A 2r

1B

2B

=V.M.

Recta perpendicular al PP: En la planta y el alzado se proyecta la VM.

Las dos proyecciones principales son paralelas entre sí y perpendiculares a las líneas de referencia.

En el perfil la proyección es un punto.

≡r11A

2A

2r

Recta vertical: Perpendicular al PH y paralela a los otros dos planos de proyección.

La dirección de la proyección vertical es la misma que la de las líneas de referencia.

En el alzado y perfil se proyecta en VM. En la planta su proyección es un punto.

r1

1A

2A 2≡ r

1B

2≡B

Recta de punta: Perpendicular al PV y paralela a los otros dos planos de proyección.

La dirección de la proyección horizontal es la misma que la de las líneas de referencia.

En la planta y perfil se proyecta en VM. En el alzado su proyección es un punto.

r3=V.M.3A 3B

=V.M.

3B=V.M.3r

=V.M.

≡ r3

Dada una recta r y el punto M, para que el punto pertenezca a la recta es necesario que las proyecciones del punto se encuentren sobre las proyecciones del mismo nombre en la recta

r1

M2

M1

r2

1N

2N

En el caso de la recta de perfil no es suficiente con comprobar las proyecciones horizontal y vertical y en el caso del punto C nos hemos de auxiliar de la proyección de perfil para comprobar que no pertenece a la recta.

4. Pertenencia de punto a recta

2r

r1

1A

2A

1B

2B

r3 =V.M

.

β

3A

3B

α2C

1C

3C

5. Condición de corte de dos rectas

r1 s1

s22r

P1

P2

La condición para que dos rectas se corten es que tengan un punto en común.

Cuando no se da esta circunstancia las dos rectas se cruzan en el espacio.

r1

s1

s22r

P1

P2

6. Proyecciones auxiliares de una recta (por cambio de plano)

Además de la proyección de perfil de una recta, a veces es conveniente disponer de otras proyecciones auxiliares para lo que necesitaremos cambiar la posición de uno de los dos planos de proyección principales.

Conversión de una recta oblicua en horizontal:

z

A2

B2

A1

B1

z

A2’

B2’

VM

Conversión de una recta oblicua en frontal:

A2

B2

A1

B1

y

y

A1’

B1’

VM

7. Representación del plano

La mejor manera de representar un plano es por medio del polígono más simple (triángulo) perteneciente a dicho plano

Dado un polígono ABC que define un plano y el punto P

Se traza una de las proyecciones de una recta auxiliar R que pase por P

Se comprueba que el punto P esté contenido en R

r1

M2

M1

r2

1N

2N

P1

P2

1C

B1

1A

2A

C2

B2

Se localizan las proyecciones de la intersección de R con dos rectas del plano para que R esté contenida en dicho plano (M y N)

Trazar la otra proyección de R

8. Pertenencia recta y punto a un plano

Recta horizontal del plano: Paralela al PH de referencia.

Recta frontal del plano: Paralela al PV de referencia

9. Rectas notables del plano

h2

h1

f2

f1

Recta de máxima pendiente: Perpendicular a una horizontal del plano

Recta de máxima inclinación: Perpendicular a una frontal del planom1

m2 n2

n1

Tres puntos no alineados

Dos rectas que se cortan

Una recta y un punto exterior

Dos rectas paralelas

1P

P2

1r

2r

1

2

1B

1A

1C

2A

2B

2C

r1 s1

s22r

P1

P2

10. Formas de determinar un plano

La forma más habitual de representar un plano en diédrico directo es mediante una forma poligonal cerrada, pero desde el punto de vista conceptual el plano puede venir determinado por:

A2

B2

r2

A1

B1

r1

C2

D2

s2

C1

D1

s1

h1m1

h2

2m

Con una recta de máxima pendiente

Con una recta de máxima inclinación

n1f1

f22n

P1

P2

Los dos siguientes son casos particulares de dos rectas que se cortan:

P1

P2

Las posiciones que un plano puede ocupar en relación con los planos de proyección son: oblicuo, perpendicular y paralelo.

Las posiciones favorables del plano son aquellas en las que el plano muestra su verdadera magnitud o aquellas que son útiles para resolver relaciones geométricas, como ángulos o intersecciones.

11. Posiciones del plano favorables

Plano perpendicular a los de proyección o planos proyectantes

Proyectante horizontal:

Perpendicular al PH.

En la planta su proyección queda contenida en una recta y se mide el ángulo β de este plano con el PV.

En este plano las rectas horizontales son también de máxima inclinación.

Las frontales, cuya proyección horizontal es un punto (recta vertical) son también rectas de máxima pendiente.

α2

α1

β

f2

f1

h2

≡h1

Proyectante vertical:

Perpendicular al PV.

En el alzado su proyección queda contenida en una recta y se mide el ángulo que forma con el PH.

En este plano las rectas horizontales son también de máxima inclinación y su proyección vertical es un punto (recta de punta).

Las frontales, son también rectas de máxima pendiente. α1

α2

β

h1

h2

f1

≡f2

Proyectante de perfil:

Es perpendicular al PP.

En el perfil su proyección queda contenida en una recta y se miden los ángulos que forma con el PH y con el PV.

α2

α1

α3

Plano horizontal:

Paralelo al PH y perpendicular a los otros dos de proyección.

En planta los elementos contenidos se presentan en VM y en el alzado y perfil la proyección está contenida en una recta.

Todas las rectas de este plano son horizontales, incluso las de máxima pendiente.

La frontal f tendrá sus dos proyecciones paralelas a la LT.

La recta de máxima inclinación es una recta de punta.

Plano paralelo a los de proyección o planos proyectantes

α1= VM

α2

Plano frontal:

Paralelo al PV y perpendicular a los otros dos de proyección.

En el alzado los elementos se ven en VM y en la planta y el perfil la proyección de los mismos queda contenida en la recta.

Todas las rectas de este plano son frontales, incluso las de máxima pendiente.

La horizontal h tendrá sus proyecciones paralelas a la LT.

La recta de máxima pendiente es una recta de punta.

α2= VM

α1

h1

≡h2

f2

≡f1

f1

≡f2

h2

≡h1

m1

m2

n2

n1

Plano de perfil:

Paralelo al PP y perpendicular a los otros dos planos de proyección.

En el perfil los elementos se ven en VM. En la planta y el alzado la proyección queda contenida en una recta.

La horizontal h coincide con la recta de máxima inclinación y es, al mismo tiempo, una recta de punta.

La frontal f coincide con la recta de máxima pendiente y es una recta vertical. α1

y

Y’

y

Y’

α3= VMα2

h3

≡h1

h2 f3

≡ f2

f1

12. Proyecciones auxiliares del plano por medio de CAMBIOS DE PLANO

Que una forma plana sea paralela a un plano de proyección supone una gran ventaja ya que la proyección que obtenemos sobre este es real en forma y dimensión (VM).

Conversión plano oblicuo en proyectante horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL)

1C

B1

1A

2A

C2

B2

f1

f2

YC

YB

YC

YB

1B’

A’1

C’1

Para realizar esta operación utilizamos como

auxiliar una recta FRONTAL

Conversión plano proyectante horizontal en frontal (CAMBIO DE PLANO VERTICAL)

2C

B2

2A

1A

B1

C1

ZB

z A

ZB

ZA

2A’

C’2

B’2

Por las proyecciones horizontales de los puntos se trazan nuevas líneas de

referencia perpendiculares a la recta-proyección horizontal del plano y sobre ellas

se trasladan las cotas

La nueva proyección vertical está en VM.

Conversión plano oblicuo en proyectante vertical (CAMBIO DE PLANO VERTICAL)

1C

B1

1A

2A

C2

B2

h1

h2

ZC

z B

2A”

B’’2

C’’2

ZC

zB

Para realizar esta operación utilizamos como

auxiliar una recta HORIZONTAL

Conversión plano proyectante vertical en horizontal (CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL)

2A

1A

2B

2C

1C

1B

YB

YC

Y B Y C

1C

1A’

1B’

Por las proyecciones verticales de los puntos se trazan nuevas líneas de

referencia perpendiculares a la recta-proyección vertical del plano y sobre ellas

se trasladan los alejamientos

La nueva proyección horizontal está en VM.

RESUMEN

A2

B2

A1

B1

C2

C1

h2

h1

z2

z1

y1

y2

z2 z

1

A’2

B’2

C’2

y 1

y 2

C’1

A’1

B’1

VM

Para representar la VM de un plano en posición general realizamos dos cambios de plano.

En el primero el plano ha de quedar proyectante (vertical) : h1 indica la dirección de la proyección

A partir de esta proyección y proyectando perpendicularmente definimos el nuevo plano horizontal de proyección paralelo a este polígono sobre el que hallamos la VM del mismo.

A2 B2

C2 D2

C1

D1

A1

B1

Y1

Y2

z

z

C 2’≡D 2

’

A 2’≡B 2

’

Y 1

Y 2

C 1’

A’ 1

B 1’

D 1’

VM

En este caso un de las horizontales del plano (lados AB o CD) indica la dirección de la proyección

En el segundo, el plano debe quedar paralelo al nuevo plano de proyección

Cambio de plano horizontal (piezas)

En la nueva proyección horizontal (o planta auxiliar), los alejamientos relativos respecto al plano de los elementos representados no varían respecto a los que tenían en la antigua planta.

y

y

VM

y1

y2

y1

y2

VM

Cambio de plano vertical (piezas)

En la nueva proyección vertical (o alzado auxiliar), las cotas o alturas de los elementos representados no varían respecto a las que tenían en el antiguo alzado

VM

z

z

zz

VM

B2A2

A1

B1

V1

V2

B3

A3

V3

α

13. Intersección entre rectas

Rectas que se cortan

Existe un punto común a ambas rectas

Rectas que se cruzan

s1

s2

1r

2r

1P

2P

1r

2r

s1

s2

NO existe un punto común a las rectas

La intersección entre dos rectas es un punto. No hay que confundirla con el caso de dos rectas que se cruzan (en el espacio)

14. Intersección de dos planos

La intersección dos planos es una recta.

Si utilizamos como planos dos formas poligonales, la recta intersección está definida por el segmento que tienen ambos en común (siempre que los planos no sean paralelos)

Si uno de los planos es proyectante, se visualiza directamente la recta intersección.

α

β

s

A2

B2

A1

B1

C2

C1

D2

E2

F2

F1

E1

D1

G2

H2

G1

H1

visibilidad

Para determinar la visibilidad de los planos:

A2

B2

A1

B1

C2

C1

D2

E2

F2

F1

E1

D1

G2

H2

G1

H1

En las zonas comunes de la proyección vertical, serán visibles las que tenga mayor alejamiento (lo que se ve en el plano horizontal) y oculta la de menor.

En las zonas comunes de la proyección horizontal serán invisibles, aquellas que observando la proyección vertical tenga menor cota.

Menor cota: no visible en proyección horizontal

Menor cota: no visible en proyección horizontal

Mediante cambio de plano

E2

G2

E1

G1

F2

F1

A2

B2

A1

B1 C2

C1

h2

h1

z2

z1

z2 z

1

E’ 2

F’ 2

G’ 2

z 4z 3

z4

z3

A’2

B’2

C’2

J’ 2

K’ 2

J1

K’

L1

J2

K2

L2

Mediante planos auxiliares

E2

G2

E1

G1

F2

F1

A2

B2

A1

B1 C2

C1

α2 M2 K2 L2

M1

K1

L1

S1

S2

β2O2 P2 Q2

O1

P1

Q1

T1

T2

15. Intersección entre recta y plano

La intersección de una recta con un plano es un punto.

El método general para determinar la intersección de una recta r con un plano α, consiste en hacer pasar por la recta r un plano auxiliar β. La intersección de α con β produce una recta s. La intersección de r con s origina el punto de intersección.

Si el plano está situado en posición favorable (proyectante), queda inmediatamente visualizado el punto de intersección.

r

α

β

s P

El plano en posición proyectante es una posición favorable, muy útil para la resolución de intersecciones y en la representación de la perpendicularidad.

α1

α2

P2

r2

P1

r1

Mediante cambio de plano

z 2z 1

h2

h1

A2

B2

A1

B1

C2

C1

r2

r1

z3

z2z1

A’2

C’2

B’2

z3

r’2

I’2

I1

I2

Mediante plano auxiliar que contenga la recta (intersección de planos)

A2

B2

A1

B1

C2

C1

r2

r1

I2

≡α2

D2

E2

D1

E1I1

E2

G2

E1

G1

F2

F1

A2

B2

A1

B1

C2

C1

α2

M2

N2

M1

N1

β2

≡O2

P2

O1

P1S1

S2

T1

T2

16. Intersección de dos planos mediante intersección recta plano

1. Paralelismo entre rectas

Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas.

17. Paralelismo

Si demás de ser paralelas son paralelas a un plano de perfil, se necesita su proyección de perfil para verificar el paralelismo

r2

r1

s2

s1

2. Paralelismo entre recta y plano

Una recta r es paralela a un plano, cuando lo es a una recta s que está contenida en el plano

r

α

sA

B

Casos de paralelismo entre recta y plano

Trazar por un punto P exterior a un plano α una recta paralela al plano. (infinitas soluciones)

Trazar por un punto P un plano α paralelo a un recta r. (infinitas soluciones)

Dadas dos rectas r y s no paralelas, trazar el plano α paralelo a s. (solución única)

s2

s1

r2

r1

P2

P1

r2

r1

r2

r1

s2

s1

P1

P2

r2

r1

s2

s1 s2

s1

P1

P2

3. Paralelismo entre planos

Si dos planos α y β son paralelos también los son las rectas r y s resultantes de la intersección de esos dos planos con un plano auxiliar δ.

Si dos rectas que se cortan definen un plano, en dos planos paralelos hallaremos pares de rectas que se corten y que sean paralelas a otros pares de rectas del otro plano.

Dos planos paralelos tendrán paralelas las rectas notables: las horizontales y las frontales, las de máxima pendiente y las de máxima inclinación o los lados del polígono que representa el plano.

Trazar por un punto P el plano β paralelo al plano α.

h2

h1

f2

f1

f2

f1

h2

h1

P2

P1

α2

α1

P2

P1

r2

r1

s2

s1

α2

α1

r2

r1

s2

s1

α2

α1

1. Perpendicularidad entre rectas

Según el teorema de las tres perpendicularidades, si dos rectas son perpendiculares entre sí en el espacio (tanto si se cortan como si se cruzan) y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las dos rectas sobre este plano son perpendiculares entre sí.

18. Perpendicularidad

r

α

s

r’s’

r2

r1

P2

P1

f2

f1

A2

A1r1

r2P2

P1

h2

h1

A2

A1

Recta perpendicular a f o h que pasa por P

p2

p1

s’1

r’1

A1

A2 r2

r1

Recta perpendicular a r que pasa por A: Método cambio de plano

1. Realizo el cambio de plano horizontal y convierto r en una horizontal.

2. Realizo este mismo cambio de plano para A.

3. Desde A’1 trazo una s’1

recta perpendicular a r’1.

4. Obtengo B, punto de intersección de las dos rectas y lo traslado sobre las otras proyecciones de r.

5. Uno A con B para dibujar las proyecciones de la recta s perpendicular a r

11

12

21

22

1’ 1

2’1

A’ 1

B’1

B1

B2

h2

h1

f2

f1A1

A2

r2

r1

Recta perpendicular a r que pasa por A: Método Plano auxiliar

1. Dibujo por A una horizontal perpendicular a r1

2. Dibujo por A una frontal perpendicular a r2

3. Inserto r en un plano auxiliar α que corta al plano formado por h y f

≡ α2

4. Obtengo los puntos de intersección 1 y 2 para hallar s (intersección de los dos planos)

11

12

21

22

s1

≡ s2

5. Donde s corta a r hallo punto B

6. Uno A con B y obtengo recta solución.

B1

B2

p2

p1

2. Perpendicularidad entre recta y plano

Si una recta es perpendicular a un plano también lo es a todas las infinitas rectas contenidas en ese plano.

A2

c2

A1

c1

B2

B1

h2

h1

f2

f1

P2

P1

r2

r1

Aplicando el teorema de las tres perpendicularidades se deduce que en la planta la proyección de la recta r será perpendicular a las proyecciones de las rectas horizontales del plano. Por la misma razón en el alzado la proyección de r será perpendicular a las proyecciones de las frontales del plano.

Trazar por P la recta perpendicular a un plano conocido

Trazar por A el plano perpendicular a una recta conocida

A1

A2

r2

r1

h2

h1

f2

f1

α

3. Perpendicularidad entre planos

A2

c2

A1

c1

B2

B1

h2

h1

f2

f1

s2

s1

Un plano β es perpendicular a otro α si β contiene una recta perpendicular a α. Además r es el eje de un haz de planos perpendiculares a α.

β

r

r2

r1

P2

P1

α2

α1

Dibujar plano que pase por la recta r y sea perpendicular al dado ABC

h2 12

11

h1

C2

A2

B2

E2

D2

F2

B1

E1C1

A1

F1

D1

Analizar si son perpendiculares entre sí los dos planos

f2

22

21

f1

32

31

1. Dibujo una horizontal del plano ABC

2. Dibujo una frontal del plano ABC

3. Dibujo en el plano EFG una recta cualquiera r cuya r1 sea perpendicular a h1 y r2 perpendicular a f2

4. Compruebo que la recta pertenece al plano EFD. En este caso compruebo que la recta r pertenece al plano por lo que ambos planos son perpendiculares.

r242

41

r1