diedrico 1 parte

Iniciación al diédrico

C.E.S. San José - Málaga

2º de BACHILLERATO CIENCIA Y TECNOLOGÍA

Prof.: Juan Carlos Bravo Reina

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SISTEMA DIÉDRICO: ALFABETO DEL PUNTO

q Definiciones q El sistema Diédrico o de Monge es un Sistema de Representación constituido por un par de

proyecciones cilíndricas ortogonales.

q Gaspard Monge, Conde de Pèluse (1746-1818) q Matemático, impulsor de la Revolución Francesa, ayudó en la definición de metro y en la formación de la

Escuela Politécnica q Resolvió el ejercicio teórico de disposición de cañones en una fortaleza q Dos libros fundamentales: “Geometría Descriptiva” y “Análisis aplicado a la geometría” q Amigo íntimo de Napoleón, fue encargado de la comisión que eligió las pinturas en Italia para el museo del

Louvre. Cayó en desgracia con la restauración Borbónica.

q Elementos formantes

q Dos planos perpendiculares entre sí (plano horizontal H y plano vertical V) donde se reflejan las proyecciones horizontal y vertical del objeto tridimensional. Estos planos son opacos (es decir, no vemos lo que hay detrás de ellos) e indefinidos en cuanto a extensión.

q La recta de intersección de ambos planos es la línea de tierra LT. q Los planos H y V dividen el espacio en cuatro diedros.

q Al representarse el objeto tridimensional sobre un plano, y existir en este caso un par de proyecciones, es necesario realizar un abatimiento del plano vertical sobre el horizontal en el sentido de giro trigonométrico (antihorario) hasta que ambos planos se solapen. De esa forma tenemos un único plano de trabajo, como corresponde a un auténtico sistema de representación.

Elementos formantes del Sistema Diédrico

q Mecánica de la Proyección

q El observador se encuentra en el infinito, mirando hacia los planos H y V para obtener las proyecciones horizontales y verticales respectivamente.

Iniciación al sistema diédrico DIBUJO TÉCNICO IIJCBRAVO

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q Por ser un sistema de proyección ortogonal, los rayos de proyección son todos paralelos. Se proyecta la figura tanto sobre el plano vertical como el horizontal.

q Las proyecciones de un punto se encuentran ambas en una línea perpendicular a la LT. Si esto no ocurre así, entonces las proyecciones no corresponden al mismo punto.

Proyecciones de un cubo en sistema Diédrico

q En algunos casos es preciso emplear la tercera proyección, realizada sobre un plano de perfil perpendicular a V y H, y por tanto a LT. En la figura se describe el proceso de proyección.

q A la hora de especificar las coordenadas (x,y,z) de un punto en el Sistema Diédrico, x hace mención a la distancia entre el punto y el plano de perfil elegido, y es la distancia a H (cota) y z la distancia a V (alejamiento). Si se dan tan sólo dos coordenadas, la primera es la cota y la segunda el alejamiento.

Tercera proyección en Diédrico


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q Notación empleada

q La línea de tierra se representa a trazo medio o grueso y con dos rayas horizontales por debajo de la misma en sus extremos.

q Los puntos mediante letras mayúsculas y con una, dos o tres primas según se trate de la proyección sobre H, V o la tercera proyección, respectivamente.

q Las rectas se nombran por letra minúsculas y sus proyecciones primadas al igual que los puntos

q Alfabeto del Punto

q Cota (también ordenada o altura) es la distancia que separa el punto de su proyección horizontal, o lo que es lo mismo, la distancia desde la proyección vertical a LT. Será positiva si está por encima del plano H

q Alejamiento es la distancia que separa al punto de su proyección vertical, o bien la distancia desde su proyección horizontal a LT. Será positiva si está por delante del plano V.

q Planos bisectores son aquellos que pasando por LT bisectan a los diedros. El primer bisector pasa por el I y III diedro y el segundo bisector por el II y IV. Tienen la propiedad de que los puntos contenidos en ellos, en valor absoluto, tienen cotas y alejamientos iguales. Los bisectores, junto con los planos de proyección, compartimentan el espacio en ocho octantes.

q Existen 17 posiciones del punto a considerar:

q 4 en los planos de proyección q 4 en los planos bisectores q 8 en cada uno de los octantes q 1 en la LT

q Resumen de las posiciones

q Los puntos del primer diedro tienen una proyección a cada lado de LT; la horizontal por debajo y la vertical por encima. Es decir, tanto su cota como su alejamiento son positivos.

q Los puntos del segundo diedro tienen las dos proyecciones por encima de LT. Tienen cota positiva, pero su alejamiento es negativo.

q Los puntos del tercer diedro tienen una proyección a cada lado de la LT; la horizontal por encima y la vertical por debajo. Tanto la cota como el alejamiento son negativos.

q Los puntos del cuarto diedro tienen las dos proyecciones por debajo de LT, luego tienen cota negativa y alejamiento positivo.


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Alfabeto del punto en sistema Diédrico


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SISTEMA DIÉDRICO: ALFABETO DE LA RECTA

q Definiciones

q La proyección de una recta sobre un plano es otra recta formada por la proyección de todos los puntos de aquella. Por tanto, una recta quedará definida por las proyecciones de dos de sus puntos.

q La proyección de una recta puede entenderse también como la traza de un plano que pasando por el centro de proyección e incluyendo a dicha recta intercepta al plano de proyección. Este tipo de planos se denominan proyectantes. En sistema diédrico los planos proyectantes, al ser el centro de proyección un punto impropio y tratarse de una proyección ortogonal, son perpendiculares a los planos de proyección H y V, existiendo dos posibilidades:

q Horizontal: Obtienen las proyecciones horizontales. q Vertical: Obtiene las proyecciones verticales.

q Como consecuencia, la intersección de los planos proyectantes nos da la posición de la recta en el espacio

Caracterización de una recta en Diédrico

q Consideración 1: Para que un punto pertenezca a una recta, las proyecciones del punto deben estar en las trazas de la recta que lo contiene.

q Consideración 2: Dos rectas se cortan en el espacio si las proyecciones del presumible punto de corte están en la misma perpendicular a LT. En este caso, las rectas serán coplanares. En caso contrario, las rectas se cruzarán.

Intersección de rectas


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q Puntos notables de la recta

q Las trazas de la recta son los puntos de intersección de dicha recta con los planos de proyección. En general, una recta vendrá definida por sus dos trazas: una horizontal, de cota nula, y otra vertical, de alejamiento nulo.

q Para identificar la traza horizontal, sabemos que dicho punto ha de estar en la recta y que ha de tener cota nula, es decir, su proyección vertical debe de situarse en la línea de tierra. Una vez localizado el corte de la proyección vertical de la recta con LT, la perpendicular trazada por este punto determina sobre la proyección horizontal de la recta la traza horizontal. El método empleado para la obtención de la traza vertical es similar, y parte de considerar el alejamiento nulo de la traza vertical.

q Las trazas, como puntos que son, se nombran con la misma letra mayúscula que designa la recta y el subíndice “1” o “2”, según consideremos la traza horizontal o vertical, respectivamente.

q Si las trazas son inaccesibles (es decir, las trazas están en el infinito), las rectas serán paralelas a uno de los planos de proyección o a ambos simultáneamente.

q Punto de corte con el primer bisector: Trazamos la simétrica respecto a LT de la proyección vertical. Su intersección con la proyección horizontal nos da el punto. Lógicamente cota y alejamiento tendrán el mismo valor absoluto. (cabe decir lo mismo haciendo la simétrica de la proyección horizontal). Se designa con la letra X.

q Punto de corte con el segundo bisector: Determinado por el punto de intersección de las proyecciones vertical y horizontal de la recta considerada. Se designa con la letra Y.

Trazas e intersección de los bisectores de una recta en Diédrico

q Análisis de la visibilidad

q Teniendo en cuenta que los diedros son opacos, serán visibles aquellas partes de una recta que se encuentren en el primer diedro, indicándose ésta con línea continua, mientras que las ocultas se escribirán con línea discontinua. Una recta puede pasar a lo sumo por tres diedros. El problema se reduce a localizar las trazas de la recta (es decir, los puntos donde


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la visibilidad cambia) y analizar a qué diedro pertenecen cada una de las regiones que estas determinan.

q Alfabeto de la recta

• Rectas perpendiculares a los planos de proyección

• Rectas perpendiculares al plano horizontal: Sólo es accesible su traza horizontal, que se confunde con su proyección horizontal. De ahí que también se conozcan como rectas de punta.

• Rectas perpendiculares al plano vertical: Sólo es accesible su traza vertical, que se confunde con su proyección vertical. Al igual que las anteriores, se las conoce como rectas de punta.

Rectas perpendiculares a PH o a PV

• Rectas paralelas a la línea de tierra • Tienen sus proyecciones paralelas a LT • No poseen ninguna traza propia. Ambas son inaccesibles.

Rectas paralelas a LT

• Rectas paralelas a los planos de proyección

• Paralelas al plano horizontal

• Se conocen como horizontales de plano. • La traza horizontal es inaccesible.


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• El ángulo que forma la recta con el plano vertical de proyección es el mismo que forman la proyección horizontal y la línea de tierra, luego conserva la verdadera magnitud en esta proyección.

Rectas horizontales de plano

• Paralelas al plano vertical

• Se conocen como frontales de plano. • La traza vertical es inaccesible. • El ángulo que forma la recta con el plano horizontal de proyección es el mismo que

forman la proyección vertical y la línea de tierra, luego conserva la verdadera magnitud en esta proyección.

Rectas frontales de plano

• Rectas oblicuas a los planos de proyección pasando por los tres diedros • Estas rectas poseen las dos trazas propias y su posición determina las los diedros que

atraviesa la recta.

Ejemplo de rectas oblicua a los planos de proyección que pasa por tres diedros


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• Rectas oblicuas a los planos de proyección pasando por dos diedros • Se caracterizan por tener ambas trazas coincidentes y en la línea de tierra.

Recta oblicua a los planos de proyección que pasa por dos diedros

• Rectas paralelas a los planos bisectores

• Paralelas al primer bisector: Las dos proyecciones forman el mismo ángulo con LT en valor absoluto.

Recta paralela al primer bisector

• Paralelas al segundo bisector: Las dos proyecciones son paralelas entre sí

Recta paralela al segundo bisector


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• Rectas de perfil • Están situadas en planos de perfil, y por tanto tienen las dos proyecciones confundidas

en una misma perpendicular a la LT., luego necesitan dos puntos para definirse correctamente.

• En el caso particular de que sean perpendiculares a alguno de los planos bisectores, las trazas de dichas rectas tendrán cotas y alejamientos iguales en valor absoluto. Observar como toda recta perpendicular a un bisector es siempre paralela al otro, sin que el recíproco sea en general cierto (una recta paralela a un bisector no tiene que ser forzosamente perpendicular al otro)

Rectas de perfil oblicuas a los planos bisectores


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SISTEMA DIÉDRICO: ALFABETO DEL PLANO

q Definiciones y representación

q Las trazas de un plano son las rectas de intersección de dicho plano con los planos de proyección H y V. Existen, por lo tanto y en general, una traza vertical y otra horizontal.

q La traza horizontal es una recta incluida en el plano H, luego coincide con su proyección horizontal, encontrándose la proyección vertical sobre la línea de tierra. Lo mismo ocurre de forma análoga con la traza vertical. Ambas trazas se cortan en el punto doble N’-N” perteneciente a la línea de tierra.

Caracterización de un plano en Diédrico

q Existen varias formas de definir un plano

q Por medio de tres puntos no alineados q Por medio de dos rectas que se cortan (incluye el caso de rectas paralelas) q Por una recta y un punto que no se pertenecen

q Generalmente definiremos el plano por medio de dos rectas que se cortan, procurando que esas rectas sean precisamente las trazas del plano, como se ha visto con anterioridad.

Formas de definir un plano en Diédrico

q En general, y de cara a poder acometer un gran número de operaciones sobre el plano, es interesante determinar sus trazas, independientemente de cómo venga definido éste.

q Si tenemos tres puntos no alineados, podemos determinar las trazas del plano por medio de las trazas de las rectas que podemos definir entre dichos puntos, ya que las trazas de


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un plano son el lugar geométrico de las trazas de todas las rectas incluidas en ese plano. Así, uniendo las trazas horizontales de las rectas tendremos la traza horizontal del plano. De forma análoga procederemos para la determinación de la traza vertical.

q Si las rectas son paralelas (proyecciones horizontales y verticales de ambas paralelas entre sí), podemos determinar igualmente las trazas de las mismas para localizar las trazas del plano.

q Pertenencia de puntos y rectas a un plano

q Una recta está situada en un plano cuando las trazas de la recta están situadas sobre las trazas del mismo nombre del plano.

q Un punto está sobre un plano cuando las proyecciones del punto están sobre las proyecciones del mismo nombre de una recta que pertenece al plano.

q Consideración: Un punto no puede situarse aleatoriamente sobre un plano, sino que necesita definirse sobre una recta del plano que lo contenga. Por sencillez, suelen emplearse rectas frontales u horizontales de plano para tal fin.

Ejemplos de rectas pertenecientes a planos

q Rectas notables del plano

q Horizontales de plano q Su proyección vertical es paralela a LT. q Como su traza horizontal es impropia, la proyección horizontal es paralela a la traza

horizontal del plano que la contiene.

q Frontales de plano q Su proyección horizontal es paralela a LT. q Como su traza vertical es impropia, la proyección vertical es paralela a la traza horizontal

del plano que la contiene.


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Rectas horizontales y frontales de plano

q Línea de máxima pendiente (lmp): Es aquella recta del plano que forma el mayor ángulo posible con el PH. Se caracteriza porque su proyección horizontal es perpendicular a la traza horizontal del plano. Se denota por el signo de perpendicularidad o por medio de dos trazos paralelos.

q Línea de máxima inclinación (lmi): Es aquella recta del plano que forma el mayor ángulo posible con el PV. Se caracteriza porque su proyección vertical es perpendicular a la traza vertical del plano. Se denota por el signo de perpendicularidad o por medio de dos trazos paralelos. q Consideración: Un plano queda definido por su lmp o lmi. Si conocemos la lmp,

perpendicularmente a su proyección horizontal por la traza de dicha recta se dibujará la traza horizontal del plano. Por el punto doble de la línea de tierra y por la traza vertical de la lmp pasará la traza vertical del plano.

Líneas de máxima pendiente y de máxima inclinación


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q Alfabeto del plano

q Planos proyectantes

q Son los planos perpendiculares a los planos de proyección H y V. Son muy empleados en la realización de construcciones auxiliares.

q Plano proyectante horizontal: Es perpendicular al plano horizontal, luego su traza vertical es perpendicular a LT y su traza horizontal es una recta cualquiera. Todo lo contenido en ese plano se proyecta horizontalmente sobre la traza horizontal del proyectante. El ángulo que forma el plano con V se aprecia en verdadera magnitud.

q Plano proyectante vertical: Es perpendicular al plano vertical, luego su traza horizontal es perpendicular a LT y su traza vertical es una recta cualquiera. Todo lo contenido en ese plano se proyecta verticalmente sobre la traza vertical del proyectante. El ángulo que forma el plano con H se aprecia en verdadera magnitud.

Planos proyectantes horizontal y vertical

q Planos paralelos a los de proyección

q Son un tipo concreto de planos proyectantes, pues al ser paralelos a uno de los planos de proyección son perpendiculares al otro. Hay dos posibilidades:

q Plano Horizontal: Tiene una única traza vertical paralela a LT, que se puede encontrar por encima, contenida en LT (la propia definición de H) o por debajo. Todo los que contiene lo proyecta verticalmente sobre su única traza y horizontalmente en verdadera magnitud.

Plano horizontal

q Plano Vertical: Tiene una única traza horizontal paralela a LT, que se puede encontrar por encima, contenida en LT (la propia definición de V) o por debajo. Todo


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los que contiene lo proyecta horizontalmente sobre su única traza y verticalmente en verdadera magnitud.

Plano vertical

q Planos perpendiculares a los bisectores

q Plano de perfil: Es perpendicular a LT, por lo tanto lo es a H y a V, siendo un tipo de plano doblemente proyectante. Sus trazas son ambas perpendiculares a LT y están confundidas, así como las proyecciones de cualquier entidad contenida en el mismo. También es perpendicular a ambos bisectores.

q Planos perpendiculares al primer bisector: Tiene ambas trazas formando el mismo ángulo con LT.

q Planos perpendiculares al segundo bisector: Tiene sus trazas en línea recta y solapadas, formando un ángulo cualquiera con LT.

Planos perpendiculares a los bisectores

q Planos que pasan por LT

q Se caracterizan porque ambas trazas están confundidas y son coincidentes con LT, por lo que se precisa de un punto auxiliar para representarlos. Se denotan con dos trazos situados a cada lado de la línea de referencia del punto auxiliar donde se escriben las trazas. q Consideración: Si además dichos planos forman 45º o 135º con el Plano Horizontal

de proyección, tenemos la definición de los planos bisectores.


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Planos que pasan por la LT

q Planos paralelos a LT

q Se caracterizan porque las dos trazas son paralelas a LT, ya que el punto de corte con dicha recta es impropio. Distinguimos dos casos:

q Planos paralelos a LT que son a su vez paralelos a los bisectores q Existen cuatro posiciones:

q Paralelo al segundo bisector por encima del primer bisector q Paralelo al segundo bisector por debajo del primer bisector q Paralelo al primer bisector por encima del segundo bisector q Paralelo al primer bisector por debajo del segundo bisector

q Planos paralelos a LT que no son paralelos a los bisectores q Existen cuatro posiciones genéricas, descritas a continuación.

Planos paralelos a LT

q Proyecciones de una figura plana

q Problema: Dado un plano y una figura contenida en dicho plano, de la que se conoce una de sus proyecciones, determinar la otra proyección.

q Resolución: Existen dos métodos:

q Método 1: Partiendo de la base de que todos los puntos de la figura pertenecen al plano, es posible hacer uso de las relaciones de incidencia recurriendo al trazado de rectas del plano, prefiriendo frontales u horizontales de plano por su facilidad de dibujo. Las proyecciones del punto han de encontrarse sobre las proyecciones del


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mismo nombre de la recta que lo contiene, permitiendo así referirse a vértices de la proyección conocida para encontrar la otra proyección.

q Método 2: Existe una afinidad entre las dos proyecciones de una figura plana en el Sistema Diédrico, quedando definida por los siguientes elementos:

q Eje de afinidad: Recta intersección del plano que contiene la figura con el 2º bisector. q Para localizar el eje, conocemos un punto doble perteneciente al segundo

bisector que es la intersección de las trazas del plano. Localizamos otro punto trazando una frontal u horizontal de plano y localizando su intersección con el 2º bisector (donde sus proyecciones se corten).

q Dirección de afinidad: Perpendicular a LT.

Proyecciones diédricas de una figura plana incluida en un plano


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