TEMAS 1-5 S DIEDRICO

DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO SISTEMA DIEDRICO

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TEMA 1

PUNTO, RECTA Y PLANO 1. SISTEMAS DE REPRESENTACION 1.1 CLASES DE PROYECCIÓN Proyección de un punto sobre un plano es la intersección del rayo proyectante que pasa por el punto con el plano de proyección. Existen las siguientes clases de proyección:

1. Proyección cónica. Todos los rayos proyectantes parten de un punto fijo llamado centro

de proyección. 2. Proyección cilíndrica. Todos los rayos proyectantes son paralelos a una dirección dada,

es decir, el centro de proyección es un punto impropio (está en el infinito).

- Proyección cilíndrica oblicua. Los rayos son oblicuos respecto al plano de proyección.

- Proyección cilíndrica ortogonal. Los rayos son perpendiculares al plano de proyección.

1.2 SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN Se denomina sistemas de representación a los diversos procedimientos o sistemas para representar en un plan objetos tridimensionales. Los diversos sistemas de representación que vamos a estudiar son:

a) SISTEMA DIÉDRICO: proyección cilíndrica ortogonal. b) SISTEMA DE PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA: proyección cilíndrica ortogonal. c) SISTEMA DE PERSPECTIVA CABALLERA: proyección cilíndrica oblicua. d) SISTEMA CÓNICO: proyección cónica.

2. SISTEMA DIEDRICO 2.1 ELEMENTOS DEL SISTEMA DIÉDRICO PH Plano horizontal de proyección. PV Plano vertical de proyección. PH y PV son

perpendiculares. LT Línea de tierra. Es la intersección del PH y

del PV. I Primer cuadrante o diedro. II Segundo cuadrante o diedro.


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III Tercer cuadrante o diedro. IV Cuarto cuadrante o diedro. Β´ Primer bisector. Es el plano que divide al 1º y 3º cuadrantes en dos partes iguales. Β´´ Segundo bisector. Es el plano que divide al 2º y 4º cuadrantes en dos partes iguales. PHa Plano horizontal anterior. PHp Plano horizontal posterior. PVs Plano vertical superior. PVi Plano vertical inferior. Los puntos se designan con letras latinas mayúsculas (A, B, C, ...), las rectas con letras latinas minúsculas (a, b, c, ...) y los planos con letras griegas (α, β, γ, ...). 3. EL PUNTO 3.1 REPRESENTACION DEL PUNTO Vistos en el espacio los elementos que intervienen en el sistema diédrico, veamos ahora de qué forma se pueden representar los objetos sobre un papel valiéndonos de dichos elementos. Supongamos que el plano horizontal es nuestra hoja de papel:

a) Se proyecta ortogonalmente el punto A sobre el plano horizontal en Al. b) Se proyecta ortogonalmente el punto A sobre el plano vertical en A2. c) Se abate el plano vertical sobre el plano horizontal en, el sentido trigonométrico, es

decir, contrario al movimiento de las agujas del reloj. Observación: puede considerarse igualmente que la hoja de papel es el plano vertical; en este caso, es el plano horizontal el que se abate sobre el vertical yen el mismo sentido de las agujas del reloj. Tanto en un caso como en otro se obtiene el mismo resultado, pero no deben mezclarse ambos criterios.

d) Si ahora se coloca el plano horizontal de frente, se verá el rectángulo de la figura 6b, la línea de tierra y las dos proyecciones del punto.

En adelante no se dibujará el rectángulo, pues ambos planos de proyección se consideran sin límites. La línea de tierra se representa con dos rayitas en sus extremos y por debajo de ella, indicando la parte anterior del plano horizontal. DEFINICIONES DEL PUNTO A1 Proyección horizontal del punto: es la proyección sobre el plano horizontal. A2 Proyección vertical del punto: es la proyección sobre el plano vertical. c Cota del punto: es la distancia del punto al plano horizontal, es decir, la distancia desde

la proyección vertical del punto a la línea de tierra. a Alejamiento del punto: es la distancia del punto al plano vertical, es decir, la distancia

desde la proyección horizontal a la línea de tierra. La línea ficticia que une ambas proyecciones se denomina línea de referencia del punto.


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3.2 POSICIONES DEL PUNTO Puntos situados en el primer cuadrante A: Punto situado encima del primer bisector; la cota es mayor que el alejamiento. B: Punto situado en el primer bisector; la cota es igual al alejamiento. C: Punto situado debajo del primer bisector; la cota es menor que el alejamiento. Puntos situados en el segundo cuadrante

1. D: Punto situado debajo del segundo bisector; la cota es i menor que el alejamiento.

2. E: Punto situado en el segundo

bisector; la cota es igual al alejamiento.

3. F: Punto situado encima del

segundo bisector; la cota es mayor que el alejamiento.

Puntos situados en el tercer cuadrante G: Punto situado encima del primer bisector; la cota es menor que el alejamiento. H: Punto situado en el primer bisector; la cota es igual al alejamiento. I: Punto situado debajo del primer bisector; la cota es mayor que el alejamiento.


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Puntos situados en el cuarto cuadrante J: Punto situado debajo del segundo bisector; la cota es mayor que el alejamiento. K: Punto situado en el segundo bisector; la cota es igual que el alejamiento. L: Punto situado encima del segundo bisector; la cota es menor que el alejamiento. Puntos situados en los planos de proyección M: Punto situado en el plano horizontal anterior; la cota es cero.

N: Punto situado en el plano horizontal posterior; la cota es cero. Q: Punto situado en el plano vertical superior; el alejamiento es cero. R: Punto situado en el plano vertical inferior; el alejamiento es cero. S: Punto situado en la línea de tierra; la cota y el alejamiento son cero.

3.3 REPRESENTACIÓN DEL PUNTO POR COORDENADAS Origen Se dibuja la línea de tierra y se determina sobre ella un origen. Dicho origen será el vértice de un sistema de ejes ortogonales (X, Y, Z), cuyos sentidos positivos y negativos son los indicados en la figura. Representación del punto El punto queda definido por sus coordenadas diédricas; P(x, y, z), cuyo significado es el siguiente: X Distancia al origen. Indica la posición del punto respecto del origen.


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Si es +, está a la derecha del origen.

Si es -, está a la izquierda del origen. Y Alejamiento. Indica la posición de la proyección horizontal P1.

Si es +, está por debajo de LT. Si es -, está por encima de LT.

Z Cota. Indica la posición de la proyección vertical P2' Si es +, está encima de LT.

Si es -, está debajo de LT.

Ejemplos La representación de los puntos A, B y C es la siguiente:

A(4, 2, -3), B(4, O, 3) y C(O, -3, 2).

4. LA RECTA

4.1. REPRESENTACION DE LA RECTA Supongamos de nuevo que el plano horizontal es nuestra hoja de papel:

1. Se proyectan ortogonalmente todos los puntos de la recta sobre el plano horizontal en r1.

2. Se proyectan ortogonalmente todos los puntos de la recta sobre el plano vertical en r2.

3. Se abate el plano vertical sobre el plano horizontal en el sentido trigonométrico, como se ha hecho con el punto.

4. Si ahora se coloca el plano horizontal de frente, se verá la línea de tierra y las dos proyecciones de la recta.

Por tanto:

r1 Proyección horizontal de la recta: es la proyección sobre el plano horizontal. r2 Proyección vertical de la recta: es la proyección sobre el plano vertical.


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Traza horizontal de la recta (Hr) Es la intersección de la recta con el plano horizontal. En diédrico se determina trazando, por el punto donde la proyección vertical r2 de la recta corta a la línea de tierra, la perpendicular hasta cortar a la proyección horizontal r1. La traza horizontal es un punto H,(Hr1 Hr2) que se encuentra en el plano horizontal y por tanto, tal como se ha visto antes, su proyección horizontal Hr1 coincide con el propio punto H, y su proyección vertical H'2 está en la línea de tierra. Generalmente, y para simplificar la notación, escribiremos simplemente Hr. Traza vertical de la recta (Vr) Es la intersección de la recta con el plano vertical. En diédrico se determina trazando, por el punto donde la proyección horizontal r1 de la recta corta a la línea de tierra, la perpendicular hasta cortar a la proyección vertical r2. La traza vertical es un punto Vr( Vr1 Vr2) del plano vertical y por tanto su proyección vertical Vr2 coincide con el propio punto Vr y su proyección horizontal está en la línea de tierra. Para simplificar la notación en adelante escribiremos simplemente Vr. En las figuras pueden verse dos nuevas posiciones y sus trazas. 4.2 CONDICIONES PARA QUE UN PUNTO PERTENEZCA A UNA RECTA. PARTES VISTAS Y OCULTAS DE LA RECTA Dada una recta r, para que un punto P pertenezca a la recta, la proyección horizontal P1 del punto debe estar en la proyección horizontal r1 de la recta y la proyección vertical P2 del punto debe estar en la proyección vertical r2 de la recta. Partes vistas y ocultas "En sistema diédrico solo considera visto todo aquello que se encuentra en el primer cuadrante; como una recta puede atravesar distintos cuadrantes, existen ¡ partes de ella que son vistas y partes que son ocultas. En una recta, los puntos que separan las partes vistas de las ocultas son sus trazas, pues son los puntos en los que la recta pasa a otros cuadrantes.


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En las figuras de la parte superior se han marcado las partes vistas y ocultas de tres rectas; para ello se ha dividido cada una de ellas en tres tramos separados por sus trazas y se han tomado tres puntos, A(A1, A2), B(B1, B2) y C(C1, C2), situados en cada uno de dichos tramos. El tramo correspondiente al punto situado en el primer cuadrante (proyección horizontal A1 por debajo de LT y proyección vertical A2 por encima de LT) será el tramo visto por encontrarse todos sus puntos en el primer cuadrante. 4.2. POSICIONES DE LA RECTA Rectas contenidas en los planos de proyección Una recta r contenida en el plano horizontal tiene su proyección vertical r2 confundida con la línea de tierra. Una recta s contenida en el plano vertical tiene su proyección horizontal s1 confundida con la línea de tierra. Rectas horizontal y frontal Recta horizontal r es aquella recta paralela al plano horizontal; su proyección vertical r2 es paralela a la línea de tierra. Recta frontal s es aquella recta paralela al plano vertical; su proyección horizontal s2 es paralela a la línea de tierra.

Rectas vertical y de punta Recta vertical r es aquella recta perpendicular al plano horizontal; su proyección horizontal r1 es un punto y su proyección vertical r2 es perpendicular a la línea de tierra. Recta de punta s es aquella recta perpendicular al plano vertical; su proyección vertical s2 es un punto y su proyección horizontal s1 es perpendicular a la línea de tierra. Recta de perfil Como se verá un poco más adelante, un plano de perfil es aquel que es perpendicular a los dos planos de proyección. Se define la recta de perfil como la recta que está contenida en un plano de perfil. Las dos proyecciones de la recta son perpendiculares a la línea de tierra. Por tanto, como todas las rectas de perfil tienen la misma representación, para distinguirlas hay que dar, además de sus proyecciones, dos puntos contenidos en la misma.


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Recta paralela a la línea de tierra Las proyecciones horizontal r1 y vertical r2 son paralelas. a la línea de tierra.

Recta que corta a la línea de tierra Las dos proyecciones r1 y r2 de la recta se cortan en la línea de tierra.

4.4. REPRESENTACIÓN DE LA RECTA POR COORDENADAS La recta queda determinada por dos de sus puntos. Ejemplo: Representar la recta r: M(O, 4, 1), N(6, 1, 3). 5. EL PLANO 5.1. REPRESENTACION DEL PLANO Los planos no pueden representarse como los puntos y las rectas, mediante sus proyecciones, pues si proyectáramos todos los puntos de un plano sobre el plano horizontal o el vertical no obtendríamos nada. Suponiendo el plano horizontal como nuestra hoja de papel:

1. Las intersecciones del plano a con los planos de proyección son las rectas α1 y α2.

2. Se abate el plano vertical sobre el plano horizontal en el sentido trigonométrico, como se ha hecho con el punto y con la recta.

3. Si ahora el plano horizontal se coloca de frente, se verá la línea de tierra y las dos rectas de intersección α1 y α2 como en la figura.


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Por tanto: α1 Traza horizontal del plano: es la intersección con el plano horizontal. α2 Traza vertical del plano: es la intersección con el plano vertical. Las dos trazas de un plano se cortan siempre en un punto de la línea de tierra. La traza horizontal es una recta que se encuentra en el plano horizontal y por tanto, tal como se ha visto anteriormente, su proyección horizontal coincide con la propia recta y su proyección vertical está en la línea de tierra. Para simplificar 1a notación, y por lo general, escribiremos simplemente α1. La traza vertical es una recta del plano vertical y por tanto su proyección vertical coincide con la propia recta y su proyección horizontal está en la línea de tierra. Para simplificar la notación escribiremos α2. 5.2. RECTAS CONTENIDAS EN UN PLANO Dado un plano α, para que una recta r pertenezca a dicho plano, la traza horizontal Hr de la recta debe estar en la traza horizontal al del plano y la traza vertical Vr de la recta debe estar en la traza vertical α2 del plano. Para que un punto P pertenezca a un plano se podrá pasar por él una recta r que pertenezca a dicho plano, es decir, que cumpla las condiciones anteriores.

Recta horizontal del plano Es una recta que, perteneciendo al plano, es paralela al plano horizontal. La proyección horizontal r1 de la recta es paralela a la traza horizontal α1 del plano y la proyección vertical r2 de la recta es paralela a la línea de tierra.

Recta frontal del plano Es una recta que, perteneciendo al plano, es paralela al plano vertical. La proyección horizontal r1 de la recta es paralela a la línea de tierra, y la proyección vertical r2 de la recta es paralela a la traza vertical α2 del plano.


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Recta de máxima pendiente Es una recta que, perteneciendo al plano, forma el máximo ángulo posible φ con el plano horizontal. La proyección horizontal r1 de la recta es perpendicular a la traza horizontal α1 del plano.

Recta de máxima inclinación Es una recta que, perteneciendo al plano, forma el máximo ángulo posible φ con el plano vertical. La proyección vertical r2 de la recta es perpendicular a la traza vertical α2 del plano.

5.3. POSICIONES DEL PLANO Plano proyectante horizontal Plano proyectante horizontal α es aquel que es perpendicular al plano horizontal; la traza vertical α2 del plano es perpendicular a la línea de tierra.

Plano proyectante vertical Plano proyectante vertical a es aquel que es perpendicular al plano vertical; la traza horizontal α1 al del plano es perpendicular a la línea de tierra.

Plano de perfil Plano de perfil α es aquel que es perpendicular a los dos planos de proyección; las trazas horizontal α1 y vertical α2 del plano son perpendiculares a la línea de tierra.


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Plano horizontal Plano horizontal α es aquel que es paralelo al plano horizontal; la traza vertical α2 del plano es paralela a la línea de tierra y la traza horizontal está en el infinito.

Plano vertical Plano vertical α es aquel que es paralelo al plano vertical; la traza horizontal α1 del plano es paralela a la línea de tierra y la traza vertical está en el infinito.

Plano paralelo a la línea de tierra Es aquel plano a que es paralelo a la línea de tierra; las trazas horizontal α1 y vertical α2 del plano son paralelas a la línea de tierra.

Plano que contiene a la línea de tierra Es aquel plano α2 que pasa por la línea de tierra; las dos trazas α2 y α2 se confunden con la línea de tierra. Cualquier otro plano β, que pasa por la línea de tierra, tiene la misma representación que

a por tener sus razas β1 y β2 en la línea de tierra; por tanto, para distinguir estos planos entre sí, además de sus trazas hay que dar las proyecciones de un punto que pertenece a cada uno de ellos. 5.4. PLANO DEFINIDO POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN Las dos rectas r y s se cortan porque tienen un punto P común que pertenece a ambas; si las dos rectas no se' cortasen, las intersecciones de sus proyecciones r1-s1 y r2-s2 no coincidirían en la misma perpendicular a la línea de tierra. El plano α definido por r y s contiene a las dos rectas; por tanto, ambas deben cumplir la condición para que una recta pertenezca a un plano. Dadas las rectas r y s que se cortan en el punto P :


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1. Se hallan las trazas Hr y Vr de la recta r. 2. Se hallan las trazas Hs Y Vs de la recta s. 3. La recta que une las dos trazas horizontales Hr y Hs de las rectas es la traza horizontal

α1 del plano α. 4. La recta que une las dos trazas verticales Vr y Vs de las rectas es la traza vertical α2

del plano α. Como comprobación, las dos trazas α1 y α2 se cortan; en el mismo punto de la línea de tierra.

Trazar el plano definido por un punto y una recta Dado el punto P y la recta :

1. Se elige un punto A arbitrario de la recta r.

2. Se unen los puntos A y P mediante la recta s.

3. Se procede como en el caso anterior, ya que las rectas r y s se cortan en el punto A.

Trazar el plano definido por tres puntos Dados los puntos A, B y C:

1. Se unen dos puntos cualesquiera A y B mediante la recta s.

2. Se unen otros dos puntos arbitrarios A y C mediante la recta r.

3. Se procede como en el primer caso, puesto que las rectas r y s se cortan en el punto A.

El resultado hubiese sido el mismo si se hubiesen unido los puntos B y C; esta tercera recta puede servir de comprobación. 5.5. REPRESENTACION DEL PLANO POR COORDENADAS Como en el caso del punto, en la determinación del plano intervienen tres coordenadas α(x, y, z), pero su significado es distinto: X Distancia del origen al vértice del plano.

Si es +, está a la derecha del origen. Si es -, está a la izquierda del origen.

Y Alejamiento de la traza horizontal α1 en el origen.

Si es +, está debajo de LT. Si es -, está encima de LT.

Z Cota de la traza vertical a2 en el origen. Si es +, está encima de LT. Si es -, está debajo de LT.


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Ejemplos Representar los siguientes planos::

α(3, 2, 3), β(-3, -3, 2) y γ(-4, 3, ∞).

6. TERCERA PROYECCIÓN Para las representaciones en tercera proyección, además del plano horizontal y del vertical se necesita un tercer plano π de proyección, que es siempre de perfil. 6.1. REPRESENTACION DEL PUNTO Dado un punto A cualquiera del espacio, se elige un plano de perfil π arbitrario y se proyecta el punto sobre él, abatiendo a continuación el plano π sobre el vertical. En diédrico, dado un punto A, y sus dos proyecciones A1 y A2 :

1. Se traza un plano de perfil π cualquiera.

2. Por la proyección vertical A2 se traza la paralela a la línea de tierra, dejándola indefinida.

3. Por la proyección horizontal A1 se traza otra paralela a la línea de tierra, hasta cortar a la traza horizontal π en A'.

4. Haciendo centro en el vértice O del plano π y radio OA', se describe un arco hasta cortar a la línea de tierra en A".

5. Por A" se traza la perpendicular a la línea de tierra hasta cortar a la horizontal trazada por A2 en A3, tercera proyección del punto.

La tercera proyección de un punto sobre un plano de perfil es la vista de perfil que tiene un observador .1situado a la izquierda del sistema representado en la j figura; por tanto, si se considera en diédrico a π2 como si fuera el plano vertical visto de canto y la línea de tierra el plano horizontal visto también de canto, se observa que la distancia que hay desde A3 hasta la línea de tierra es la cota del punto y que la distancia que hay desde A3 hasta π2 es el alejamiento del mismo. 6.2. REPRESENTACION DE LA RECTA Dada una recta r cualquiera en el espacio, se elige un plano de perfil π arbitrario y se proyecta la recta sobre él, abatiendo a continuación el plano π sobre el vertical.


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En diédrico, dada una recta r; y sus dos proyecciones r1 y r2 :

1. Se traza un plano de perfil π cualquiera. 2. Se eligen dos puntos cualesquiera A y B y se halla su tercera proyección, tal como se

ha explicado en el punto anterior. Si en vez de elegir dos puntos arbitrarios se eligen su traza horizontal Hr y su traza vertical Vr, el resultado es el mismo y se consigue una cierta simplificación.

3. Al unir las dos proyecciones A3 y B3, o bien la tercera proyección de sus trazas, Hr3 y Vr3 según sea el caso, se obtiene la tercera proyección r3 de la recta r.

La tercera proyección de una recta resulta útil en casos, donde intervienen rectas de perfil. Por ejemplo, una aplicación inmediata de la tercera proyección es la de hallar las trazas de una recta de perfil dada por dos puntos. 6.3. REPRESENTACIÓN DEL PLANO Dado un plano α cualquiera en el espacio, se elige un plano de perfil π cualquiera y se halla la intersección de ambos planos, abatiendo a continuación el plano π sobre el plano vertical. En diédrico, dado un plano α y sus dos trazas α1 y α2 :

1. Se traza un plano de perfil π cualquiera.

2. La intersección de las dos trazas verticales α2 y π2 es la traza vertical V de la recta de intersección.

3. La intersección de las dos trazas horizontales α1 y π1 es la traza horizontal H de la recta de intersección.

4. Haciendo centro en el punto O y con radio OH, se describe un arco hasta cortar a la línea de tierra en H".

5. La recta que une H" con V es la tercera traza α3 del plano α.

La tercera traza de un plano resulta muy útil en problemas donde intervienen planos paralelos a la línea, de tierra, o planos que la contienen.


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TEMA 2

INTERSECCION, PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS

1. INTERSECCIONES 1.1. INTERSECION DE DOS PLANOS OBLICUOS La intersección de dos planos siempre es una recta. La recta de intersección pertenece a los dos planos y por ello debe cumplir con cada uno las condiciones para que una recta pertenezca a un plano, es decir, las trazas de la recta deben estar en las trazas homónimas de cada uno de los planos; por tanto:

Dados los planos α(α1- α2) y β(β1- β2):

1. La intersección de las trazas horizontales α1 y β1 determinan la traza horizontal Hr de la recta r de intersección.

2. La intersección de las trazas verticales α2 y β1 determinan la traza vertical vr de la recta. 3. Se une la proyección horizontal vr1 de la traza vertical vr con la traza horizontal Hr,

obteniendo así la proyección horizontal r1 de la recta. 4. Se une la proyección vertical Hr2 de la traza horizontal Hr con la traza vertical vr,

hallando la proyección vertical r2 de la recta.


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1.2. INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO PROYECTANTE El proceso a seguir es el mismo que en el caso anterior. ; Lo único a tener en cuenta en este caso es que la proyección horizontal de cualquier elemento situado en un plano proyectante horizontal se encuentra en la traza horizontal de dicho plano, y viceversa, la proyección vertical de cualquier elemento que se . encuentre en un plano proyectante vertical está en la traza vertical del plano. Dados los planos α(- α2) y β(- β2):

1. La intersección de las trazas horizontales determinan la trazas horizontales Hr de la recta r; y la intersección de las trazas verticales α2 y α(α1- α2) y β(β1- β2)2 definen la traza vertical Vr .

2. La proyección horizontal T1 se halla trazando por Vr la perpendicular a la línea de tierra y uniendo dicho punto con la traza horizontal Hr. Véase que por ser β un plano proyectante horizontal, esta proyección r1 coincide con la traza horizontal β1 del plano.

3. La proyección vertical r2 se halla trazando por Hr , la perpendicular a la línea de tierra y uniendo dicho punto con la traza vertical Vr de la recta.

El proceso hubiera sido semejante si el plano β hubiese sido proyectante vertical. 1.3. INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO PARALELO A LOS DE PROYECCIÓN En este caso la recta de intersección, además de pertenecer al plano oblicuo, es paralela al plano horizontal, es decir, se trata de una recta horizontal del plano que, como ya se estudió en el tema anterior, tiene su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano y su proyección vertical paralela a la línea de tierra. Dados los planos α(α1- α2) y β(β1- β2):


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1. La intersección de las trazas verticales α2 y β2 de los planos define la traza vertical Vr de la

recta de intersección. 2. La proyección horizontal r1 se halla trazando por Vr la perpendicular a la línea de tierra y

dibujando por dicho punto la paralela a la traza horizontal α1 del plano. 3. La proyección vertical r2 se halla trazando por Vr la paralela a la línea de tierra. El proceso hubiera sido semejante si el plano β hubiese sido paralelo al vertical. 1.4. INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS QUE PASAN POR EL MISMO PUNTO DE LA LINEA DE TIERRA Con frecuencia ocurren casos en los que no se puede disponer de la intersección de las trazas horizontales y de las trazas verticales de los dos planos. En el caso que nos ocupa sucede que los dos puntos de intersección coinciden en un mismo punto. Para solucionar estos problemas se acude a un tercer plano auxiliar que corta a los anteriores según dos rectas; éstas, a su vez, se cortan en un punto perteneciente a los tres planos y, por tanto, a la recta de intersección de los dos planos dados. Dados los planos α(α1- α2) y β(β1- β2):


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1. Un punto de la intersección es el punto M(M1-M2) donde se cortan las trazas de los planos. 2. Para hallar otro punto, se traza un tercer plano auxiliar, en nuestro caso el plano horizontal

δ(δ2). 3. Se halla la recta m de intersección del plano δ con el plano α, que es una recta horizontal

del plano α. 4. Se halla la recta n de intersección del plano δ con el plano β, que es una recta horizontal

del plano β. 5. Las rectas m y n se cortan en el punto N; uniendo los puntos M y N se obtiene la recta r. 1.5. INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LÍNEA DE TIERRA Dos planos paralelos a la línea de tierra tienen sus trazas paralelas a ella y, por tanto, no se cortan; por esta razón no puede aplicarse el caso general visto anteriormente. Para solucionar el problema se acude a un tercer plano auxiliar, en nuestro caso un plano de perfil, que corta a los anteriores según dos rectas que, a su vez, se cortan en un punto. Dado que la intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra es una recta paralela a la línea de tierra, basta con el punto hallado para trazar la solución. Dados los planos α(α1- α2) y β(β1- β2):

1. Se traza un plano π de perfil cualquiera. 2. Se hallan las terceras trazas α3 y β3 de los dos planos dados. 3. La intersección de las trazas α3 y β3 determina la tercera proyección r3 de la recta r de

intersección buscada. 4. Se hallan las proyecciones horizontal y vertical de la recta r que, como se ha dicho antes,

es paralela a la línea de tierra y por tanto sus proyecciones r1 y r2 también. 1.6. INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO La intersección de una recta y un plano, salvo que sean: paralelos entre sí, siempre es un punto. Para determinar dicho punto se sigue el siguiente proceso general: En el espacio, dados el plano α y la recta:


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1. Se traza un plano β cualquiera que contenga a la recta r: 2. Se halla la recta m de intersección de los planos α y β. 3. El punto P de intersección de las rectas r y m es el punto de intersección buscado. En diédrico, dados el plano α(α1- α2) y la recta r(r1- r2): 1. Se traza un plano cualquiera β que contenga a la recta r: Si el plano β se elige proyectante

las operaciones se simplifican. 2. Se halla la recta m de intersección de los planos α y β, cuya proyección horizontal coincide

con la traza horizontal del plano β por ser proyectante. 3. La proyección vertical P2 del punto de intersección se encuentra donde se cortan las

proyecciones verticales m2 y r2. 4. Como las proyecciones horizontales m1 y r1 coinciden, la proyección horizontal P1 se halla

trazando la perpendicular a la línea de tierra desde la proyección vertical P2. 1.7. INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN PLANO DADOPOR DOS RECTAS QUE SE CORTAN Supongamos una recta r y un plano dado por dos rectas' que se cortan y del que no se dispone de sus trazas; el proceso a seguir es similar al del caso general. Dada la recta r y las rectas m y n que definen un plano:


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1. Se traza un plano proyectante auxiliar β que contenga a la recta r: 2. Se halla el punto A de intersección de la recta m con el plano β y el punto B de intersección

de la recta n con el plano β. 3. La recta p que une los puntos A y B es la recta de intersección del plano β con el plano

definido por las rectas m y n. 4. La intersección de las dos rectas r y p es el punto P, de intersección buscado. 1.8. INTERSECCIÓN DE TRES PLANOS Dados tres planos α, β y δ pueden aplicarse dos procedimientos, y que dejamos al lector la posibilidad de resolver:

a) Se halla la recta r de intersección de dos de los planos, por ejemplo el α a y el β. Después se halla el punto P de intersección de la recta r con el tercer plano o.

b) Se halla la recta r de intersección de dos de los planos, por ejemplo el α y el β; a continuación se halla la recta s de intersección de otros dos planos, por ejemplo el a y el δ. El punto P de intersección de las rectas r y s es el de intersección de los tres planos.

2. PARALELISMO 2.1. PARALELISMO ENTRE RECTAS

En diédrico, la condición para que dos rectas r y s sean paralelas es que sus proyecciones homónimas r1-s1 y r2-s2 sean paralelas entre sí, excepto las rectas de perfil que, además, deben ser paralelas sus terceras proyecciones.


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2.2. PARALELISMO ENTRE PLANOS En diédrico, la condición para que dos planos α y β sean paralelos es que sus trazas homónimas α1 y β1 α2 y β2 sean paralelas entre sí, excepto los planos paralelos a la línea de tierra que, además, deben ser paralelas sus terceras trazas.

2.3. PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO Una recta r es paralela a un plano α si en éste existe al menos una recta s paralela a r. Por tanto, en diédrico deberá poderse trazar una recta que esté contenida en el plano α (las trazas de la recta deben estar contenidas en las trazas homónimas del plano) y cumpla la condición de ser paralela a la recta s (sus proyecciones homónimas deben ser paralelas). Fíjese que las proyecciones de la recta y las trazas del plano, en diédrico, no guardan relación alguna entre sí.

2.4. TRAZAR EL PLANO PARALELO A OTRO QUE CONTENGA A UN PUNTO Dados el plano α(α1- α2) y el punto P(P1-P2):


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1. Se traza una recta r que contenga al punto P de forma que dicha recta pertenezca al plano solución; para ello, se elige una recta horizontal de manera que su proyección horizontal r1 sea paralela a la traza horizontal α1 y que, por tanto, será paralela también a la traza horizontal β1 del plano que se busca, pues ambos deben tener sus trazas paralelas.

2. Por la traza vertical V, de la recta r se dibuja la traza vertical β2 paralela a la traza vertical α2 del plano dado.

3. Por el vértice del plano (punto donde la traza vertical β2 corta a la línea de tierra), se dibuja la traza horizontal β1, paralela a la traza α1.

3. PERPENDICULARIDAD

En Diédrico, al revés de lo que ocurre en paralelismo, dos rectas que son perpendiculares, o dos planos que son perpendiculares, no guardan relación especial entre si; es decir, que si en diédrico se da el caso que las proyecciones homónimas de dos rectas son perpendiculares, no significa que dichas rectas sean perpendiculares en el espacio; y si las trazas homónimas de dos planos son perpendiculares, tampoco significa que ambos planos sean perpendiculares.

3.1. PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO Si una recta r es perpendicular a un plano α, la proyección r1 de la recta sobre otro plano π es perpendicular a la intersección de ambos planos. En diédrico, si se considera que el plano π es el plano horizontal y después se considera que es el plano vertical, se obtienen las condiciones para que una recta y un plano sean perpendiculares. Dados el plano α(α1- α2) y la recta r (r1- r2):


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1. La proyección horizontal r1 de la recta es perpendicular a la traza horizontal α1 del plano, y

2. La proyección vertical r2 de la recta es perpendicular a la traza vertical α2 del plano.

3.2 TRAZAR EL PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA Y QUE CONTENGA A UN PUNTO Dados el punto P(P1-P2) y la recta (r (r1- r2):

Por el punto P se traza una recta que pertenezca al plano solución; para ello, se elige una recta horizontal m cuya proyección horizontal m1 sea perpendicular a r1 y que, por tanto, será paralela a la traza α1 del plano que se busca (pues r1 y α1 deben ser perpendiculares). Se halla la traza vertical Vm y por este punto pasa la traza vertical α2 perpendicular a r2. Por el vértice del plano (punto donde α2 se corta con la línea de tierra) se dibuja la traza horizontal α1, perpendicular a r1. 3.3 PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS A no ser que la recta sea paralela a uno de los planos de proyección, el paralelismo entre rectas no lo veremos en proyecciones. Dados el punto A(A1-A2) y la recta r , hallar una recta perpendicular que pase por A.


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1. Por el punto A se traza un plano α perpendicular a la recta r, para lo cual primero

trazamos una recta horizontal m perpendicular a r que contenga a A. 2. Hallamos la intersección del plano α con la recta r determinando el punto I(I1 – I2). 3. Por ultimo determinamos la recta t que pasará por A y por I y que será perpendicular a

la recta r. 4. DISTANCIAS Cuando en diédrico se habla de distancias se entiende que se trata de hablar de verdadera magnitud de la mínima distancia que existe entre dos elementos, es decir, lo que mide el segmento que los une. 4.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Si se tienen dos puntos A y B en el espacio, es evidente: que la distancia que los separa no es la misma que la f distancia que hay entre sus dos proyecciones horizontales A1 y B1, salvo que el segmento AB fuese paralelo al plano horizontal. Lo mismo ocurre con la proyección vertical del segmento. El problema de resolver la distancia real entre los puntos A y B se soluciona trazando por uno de los dos puntos, el de menor cota por ejemplo, una recta paralela al plano de proyección. De esta forma se obtiene un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia que se busca. Si a continuación se abate el triángulo, alrededor del lado paralelo al plano de proyección, hasta colocarlo paralelo a éste, la proyección del triángulo entonces estará en verdadera magnitud. Sean los puntos A (A1-A2) y B (B1 – B2):

1. Por la proyección vertical B2 del punto B de menor cota se traza la paralela a la línea de tierra hasta cortar a la línea de referencia del punto A en A´2.

2. Por la proyección horizontal A1 del otro punto se traza la perpendicular a la proyección horizontal A1B1 del segmento.

3. Sobre la perpendicular anterior se lleva la diferencia de cotas A1A0 = A´2A2 entre ambos puntos.

4. El valor A0B1 de la hipotenusa del triángulo obtenido es la verdadera magnitud de AB.

También se puede tomar como cateto la proyección vertical A2B2 siendo el otro cateto la diferencia de alejamiento de los dos puntos. 4.2 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Sean el punto P y el plano a :


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1. Por el punto P se traza la recta r perpendicular al plano α. 2. Se halla el punto M de intersección de la recta r con el plano α. 3. Aplicando el procedimiento para hallar la distancia entre dos puntos, explicado

anteriormente, se halla la distancia entre los puntos P y M. No creemos que exista dificultad para realizar en diédrico las operaciones mencionadas, pues son pasos ya estudiados. 4.3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Dados el punto P y la recta r:

1. Por el punto P se traza el plano a perpendicular a la recta t. 2. Se halla el punto M de intersección de la recta r con el plano α. 3. Aplicando el procedimiento para hallar la distancia entre dos puntos, se determina la

distancia entre los puntos P y M. 4.4 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Dadas las rectas r y s:

1. Se traza un plano α cualquiera perpendicular a las dos rectas r y s. 2. Se halla el punto M de intersección de la recta r con el plano α. 3. Se halla el punto N de intersección de la recta s con el plano α.


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4. Aplicando el procedimiento para hallar la distancia entre dos puntos, se determina la distancia entre los puntos M y N.

4.5 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS Dados los planos α y β:

1. Se traza una recta r cualquiera perpendicular a los dos planos α y β. 2. Se halla el punto M de intersección de la recta r con el plano α. 3. Se halla el punto N de intersección de la recta r con el plano β. 4. Aplicando el procedimiento para hallar la distancia entre dos puntos, se determina la

distancia entre los puntos M y N.


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TEMA 3

ABATIMIENTOS, GIROS Y CAMBIOS DE PLANO

1. ABATIMIENTOS 1.1 ABATIMIENTO DE UN PUNTO Abatir un plano sobre otro fijo es hacer coincidir el primero con este al girarlo alrededor de su recta de intersección. La recta de intersección, que se toma como eje de giro, se denomina charnela. En diédrico, si se abate un plano α sobre el plano horizontal, la charnela es su traza horizontal α1 al. Si se abate sobre el plano vertical, la charnela es α2. De forma estricta, el abatimiento de un punto, o de una recta, carece de sentido. Cuando se habla de abatimientos debe entenderse que lo que se abate es siempre un plano sobre otro. Por ello, cuando se habla del abatimiento de un punto debe entenderse que se trata de abatir un plano que lo contiene. Para efectuar el abatimiento de un punto que se encuentre en un plano, se tendrá en cuenta que dicho punto describe alrededor de la charnela un arco de circunferencia situado en un plano β perpendicular a la charnela. ABATIMIENTO SOBRE EL PLANO HORIZONTAL Dados el plano α y un punto A contenido en él. En el espacio: La proyección horizontal A1 y el punto abatido A0 se encuentran siempre en una recta perpendicular a la charnela α1.

1. El radio del arco que describe el punto A es igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma con el punto A, su proyección horizontal A1 y el punto A´ de intersección de la charnela con la perpendicular trazada por A1.

2. Se abate sobre el plano horizontal el triángulo AA1A' en A"A1A', por tanto:

En diédrico:

1. Por la proyección horizontal A del punto se trazan la paralela y la perpendicular a la charnela α1.

2. Sobre la paralela, y a partir de A1 se lleva una longitud A1A" igual a la cota c del punto.

3. Con centro en A' y radio A'A" se describe un arco de circunferencia hasta cortar a la perpendicular en el punto A0.


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De forma análoga se realizaría el abatimiento del punto sobre el plano vertical (fig. 20).

1.2 ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA DADAS LAS PROYECCIONES, HALLAR SU VERDADERA MAGNITUD El abatimiento de las trazas de un plano permite abatir un punto por un procedimiento más ágil. En este caso, se hacen pasar por los vértices de la figura rectas horizontales del plano. Sea el plano a y la figura ABC:


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1. Por el punto A(A1A2) se traza la recta horizontal α. 2. Se abate la traza vertical del plano en ao, tomando í como punto auxiliar la

traza vertical Va. 3. Por V0 se traza la recta abatida ao, paralela a α1 4. El punto abatido A0 se halla donde se cortan ao y la perpendicular a α1 trazada

por A1.

El resto de los puntos se abaten de la misma manera que el punto A, es decir, se trata de construir los siguientes rectángulos:

1. Por B1 se traza la paralela a α1 hasta cortar a la línea de tierra. 2. Por el punto de la línea de tierra se traza la perpendicular a α1 hasta cortar a

α0. 3. Por el punto de ao se traza la paralela a α1. 4. Por B1 se traza la perpendicular a α1 hasta cortar a la paralela anterior en Bo.

DADA LA FIGURA, HALLAR SUS PROYECCIONES:

Supongamos ahora que se desean hallar las proyecciones de un hexágono regular contenido en un plano α y conociendo el centro O del mismo.


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En primer lugar se abate el punto O en O0 y se dibuja, con centro en 00, el hexágono regular en verdadera magnitud; por último, se desabaten todos y cada uno de los vértices del hexágono. Sea un plano α y un punto O contenido en él:

1. Se abate la traza vertical del plano en α0 y el punto O en O0, tal como ya se ha explicado.

2. Con centro en O0 se dibuja el hexágono AoBoCoDoEoFo en la posición que se determine y con el radio dado.

3. Para hallar la proyección horizontal A1 de un punto, por ejemplo, se traza la recta ao paralela a α1 al hasta cortar a ao, después se traza la perpendicular a al hasta la línea de tierra y por este punto la paralela a1 a α1 hasta cortar a la perpendicular trazada por A0 en A1.

4. La proyección vertical A2 se halla trazando primero la proyección vertical de la recta α: donde a1 corta a la línea de tierra se traza la perpendicular a la misma hasta cortar a α2 en Va, y desde aquí la paralela a2 a la línea de tierra. Trazando desde A1 la perpendicular hasta cortar a α2 se determina A2.

El resto de puntos se desabaten de la misma manera. 2. CAMBIOS DE PLANO 2.1 PROYECCIONES DE UN PUNTO EN UN CAMBIO DE PLANO

El problema de los cambios de plano consiste en elegir uno de los dos planos de proyección y, sin dejar de ser perpendicular al otro, colocarlo en una posición distinta que sea más favorable para resolver un ejercicio. Existen, por tanto, dos tipos de cambios de plano: el cambio de plano vertical y el cambio de plano horizontal, según se cambie uno u otro. Cuando se efectúa un cambio de plano todos los elementos proyectados o contenidos en él cambian de posición. Sin embargo, no cambian de posición los elementos del espacio, ni las CAMBIO DE PLANO VERTICAL


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Al cambiar el plano vertical cambia la posición de la línea de tierra, que se distingue de la primitiva porque se representa con dos rayitas por debajo de los extremos. Para indicar el tipo de cambio que se efectúa se coloca V' en un extremo de la línea de tierra. En el espacio:

1. El punto P y su proyección P1 sobre el plano horizontal permanecen en el mismo lugar; su cota, pues, sigue siendo la misma.

2. Al cambiar de posición el plano vertical, la proyección vertical P2 desaparece de donde está y pasa a estar en otro lugar que debemos hallar.

En diédrico:

1 La proyección horizontal primitiva P1 coincide con la nueva proyección horizontal P'1. 2 Por la proyección horizontal P'1 se traza la perpendicular a la nueva línea de tierra; en ella se encontrará P´2. 3 Sobre la perpendicular trazada anteriormente, ya partir de la nueva línea de tierra, se transporta la cota c que hay desde P2 a la línea de tierra primitiva, determinando así la nueva

proyección vertical P´2. De forma análoga se realizaría un cambio de plano horizontal.


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2.2 PROYECCIONES DE UNA RECTA EN UN CAMBIO DE PLANO

Dada la recta r y una nueva línea de tierra, en un cambio de plano vertical: 3 Se toman dos puntos A(A1A2) y

B(BIB2) arbitrarios de la recta r. 4 Por las proyecciones horizontales Al

y BI se trazan las perpendiculares a la nueva línea de tierra, hallando las nuevas proyecciones verticales A'2 y B'2 como se ha explicado anteriormente.

5 Uniendo las proyecciones A'2 y B'2 se halla la nueva! proyección vertical r´2 de la recta.

2.3 TRAZAS DE UN PLANO EN UN CAMBIO DE PLANO

En un cambio de plano vertical, la traza horizontal α1 del plano sigue siendo la misma, pero la traza vertical α1, es decir, la intersección del plano a con el nuevo plano vertical es otra; el nuevo vértice O´ el plano está donde se corta la traza α1 con la nueva línea de tierra. Por otra parte, la recta de intersección de los dos planos verticales, V y V', se corta con la traza vertical α2 en un punto M cuya proyección horizontal está donde se cortan ambas líneas de tierra; dicho punto M es un punto

doble y por tanto pertenece a las dos trazas verticales α1 α´2 del plano . Dado el plano α(α1 α2) y una nueva línea de tierra, en un cambio de plano vertical:


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1. Se toma el punto M de la traza vertical α2 del plano, cuya proyección horizontal M1 coincide con el punto de intersección de las dos líneas de tierra.

2. Se hallan las nuevas proyecciones del punto M: por M1 M´2 se traza la perpendicular a la nueva línea de tierra y se transporta la cota del punto, hallando M´2.

3. La nueva traza vertical α´2 se halla al unir M'2 con el nuevo vértice O' (donde a1

se corta con la nueva línea de tierra). La traza horizontal α´1 sigue siendo la misma que antes α1.

En el caso de que las dos líneas de tierra no se corten:

1. Se elige una recta horizontal

r(r1 r2) cualquiera. 2. Se halla, mediante un punto

cualquiera N(NIN2), la nueva proyección vertical r´2 de la recta (fig. 26c) y se determina su nueva traza vertical Vr´.

3. Uniendo Vr´ con el nuevo vértice O' se obtiene α´2 (en el caso de no disponer de O', se elige otra recta horizontal y se halla su nueva traza vertical).

Para resolver este segundo caso es un error elegir otro punto cualquiera de α2 Y cambiarlo. 3. GIROS 3.1 GIRO DE UN PUNTO A diferencia de los cambios de plano, en los giros son los elementos geométricos los que se mueven, permaneciendo los planos de proyección. Cuando un punto gira alrededor de una recta describe una circunferencia, cuyo plano es perpendicular a la recta, el centro es la intersección de la recta con el plano y el radio es la distancia del punto a la recta. A la recta, alrededor de la que se gira, se la denomina eje de giro. Los ejes que consideraremos van a ser perpendiculares a uno de los dos planos de proyección, es decir, los giros se realizarán alrededor de una recta vertical o de una recta de punta. Para girar un punto alrededor de un eje vertical se tendrá en cuenta:


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1. El punto describe alrededor del eje una circunferencia paralela al plano horizontal.

2. La proyección horizontal de la circunferencia que describe el punto es una circunferencia del mismo radio que la anterior, cuyo centro coincide con la proyección horizontal del eje, que es un punto.

3. La proyección vertical de la circunferencia que describe el punto es un segmento paralelo a la línea de tierra, cuya longitud es igual al diámetro de la circunferencia.

Las mismas consideraciones pueden hacerse en un giro alrededor de un eje de punta. GIRO DE UN PUNTO ALREDEDOR DE UN EJE PERPENDICULAR AL PLANO HORIZONTAL Sea el eje e y un punto P :

Haciendo centro en la proyección horizontal el Y radio elPl, se describe un arco de un determinado ángulo y sentido, hasta la posición P1.

1. Por la proyección vertical P2 del punto se dibuja la í paralela a la línea de tierra, traza vertical β2 del plano que contiene a la circunferencia.

2. Por la nueva proyección horizontal P'l se traza la perpendicular a la línea de tierra hasta cortar en P2 a la paralela anterior.

De forma análoga se realizaría un giro alrededor de un eje perpendicular al plano vertical.


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3.2. GIRO DE UNA RECTA

Existen dos casos: que la recta corte al eje o que no la corte; vamos a estudiar, para no extendernos, el primer caso, por ser el más frecuente. Sea el eje e, perpendicular al plano horizontal, y la recta r1 que corta al eje en el punto A:

1. Se elige un punto arbitrario B(BIB2) de la recta r. 2. Se gira el punto B, alrededor del eje, un ángulo determinado, hasta colocarlo

en su nueva posición B'(B1B'2). 3. Se une el punto B' con el punto A que, por pertenecer al eje, es un punto doble,

obteniendo la recta r'; la proyección r´1 se obtiene al unir Al y B1, y r'2 se halla uniendo A2 y B'2.

Si el giro de la recta fuese alrededor de un eje perpendicular al plano vertical, el proceso hubiera sido análogo. 3.2 GIRO DE UN PLANO Sea el eje e, perpendicular al plano horizontal, y el plano α:


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1. Se halla el punto A de intersección del plano con el eje: se traza la recta horizontal r de forma que rl pase por el; Al coincide con el y A2 se encuentra donde se cortan r 2 y e2.

2. Se gira la traza horizontal αl: se elige el punto M de intersección de la traza αl con la perpendicular trazada desde el; a continuación se gira el punto M el ángulo necesario hasta la posición M'; y por último se traza por M' la perpendicular α´l al segmento elM', que corta a la línea de tierra en O'.

3. La nueva traza vertical α´2 parte del nuevo vértice O' del plano; para hallar otro punto de la nueva traza, se halla la traza vertical Vr' de la recta horizontal r', que tiene su proyección horizontal rl paralela a al. Uniendo O' y Vr' se obtiene α '2.

Evidentemente, al girar un plano, las operaciones se simplifican si, en el momento de elegir el eje e, este está contenido en el plano vertical, es decir, su proyección vertical es perpendicular a la línea de tierra y su proyección horizontal está en ella. Comprueba tu mismo particularidad.


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TEMA 4

SUPERFICIES

POLIEDROS REGULARES Se llaman poliedros regulares a los sólidos cuyas caras son polígonos regulares. Son cinco: tetraedro, hexaedro (o cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro. Teorema de Euler: En todo poliedro convexo, el número de caras, más el de vértices, es igual al número de aristas más dos.

(v + c = a + 2)

Para la construcción de los poliedros regulares se dibujo en primer lugar la proyección del poliedro sobre el plan, en el que está apoyado, procediendo a continuación a levantar alturas. El tetraedro regular es el poliedro formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros; tiene cuatro vértices y seis aristas y no tiene diagonales. 1. TETRAEDRO 1.1 TETRAEDRO APOYADO POR UNA CARA EN EL PLANO HORIZONTAL

La proyección sobre el plano horizontal de un tetraedro regular, de arista a, apoyado por una cara en dicho plano, es un triángulo equilátero de lado igual a la arista del tetraedro. La proyección del cuarto vértice D sobre el plano de la base está en D1 e tal forma que D1A = 2/3 h' o D1M = 1/3 h', siendo h' = AM la altura d¡ una de las caras del tetraedro.

1. Se construye, en proyección horizontal, un triángulo equilátero A1B1C1 de lado igual a la arista del tetraedro. La proyección D1l se encuentra en la intersección de las tres alturas del triángulo, obteniendo así la proyección horizontal del tetraedro.

2. La proyección vertical A2B2C2 de la cara apoyada en el plano horizontal se encuentra

en la línea de tierra. Para hallar la altura h del tetraedro se abate el triángulo rectángulo AD1D, sabiendo que: a) en D1 está el ángulo recto; b) el cateto es A1D1 = 2/3 h', y c) la hipotenusa es A1 D0 = a.


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1.1 TETRAEDRO APOYADO POR UNA ARISTA EN EL PLANO HORIZONTAL La proyección horizontal de un tetraedro regular, de arista a, apoyado en el plano horizontal por una arista, en posición inestable, es un cuadrado cuya diagonal es igual a la arista a del tetraedro:

1. Se construye, en proyección horizontal, un cuadrado A1D1B1C1 cuya diagonal A1B1 es la arista del tetraedro apoyada en el plano horizontal. Los otros dos vértices C1 y D1, extremos de la otra diagonal, corresponden a la proyección horizontal de la arista opuesta CD, paralela al plano horizontal.

2. Las proyecciones A2 y B2 se encuentran en la línea de tierra. La altura h, o cota de los

puntos C y D, se halla abatiendo el triángulo rectángulo BC1C, sabiendo que: a) en C1

está el ángulo recto; b) el cateto BC1 es el lado del cuadrado proyección, y c) la hipotenusa es B1CO = a. Se puede comprobar que la altura h es igual aliado del cuadrado proyección.

1.2 TETRAEDRO APOYADO POR UN VÉRTICE EN EL PLANO HORIZONTAL

La proyección sobre el plano horizontal de un tetraedro regular de arista a, apoyado por un vértice A en dicho plano, es un triángulo equilátero de lado igual a la arista del tetraedro. La construcción es similar a la del tetraedro apoyado por una cara, pues la cara opuesta al vértice A es paralela al plano horizontal.

1. Se construye, en proyección horizontal, un triángulo equilátero B1C1A1 de lado igual a la arista del tetraedro; trazando las alturas a cada lado se obtiene D1 y la proyección horizontal del tetraedro.


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2. La proyección D2 está en la línea de tierra. Para hallar la altura h del tetraedro se abate el triángulo rectángulo AA1D de la misma forma que se hizo con el tetraedro apoyado por una cara.

2. HEXAEDRO El hexaedro regular, llamado también cubo, es el poliedro formado por seis caras que son cuadrados; tiene ocho vértices y doce aristas; asimismo, tiene cuatro diagonales iguales que se cortan en su punto medio. 2. 1 HEXAEDRO APOYADO POR UNA CARA EN EL PLANO HORIZONTAL La proyección sobre el plano horizontal de un hexaedro guiar de arista a, apoyado por una cara en dicho plano, es un cuadrado de lado igual a la arista del hexaedro.

1. Se construye, en proyección horizontal, un cuadrado A1B1C1O1 de lado igual a la arista del hexaedro.

2. La proyección vertical A2B2C2O2 se encuentra en la línea de tierra. La altura del

hexaedro es igual a la arista a del mismo. SECCIONES PRINCIPALES DEL CUBO Si por el punto medio M de una de las diagonales, por ejemplo la BH, se traza el plano perpendicular a dicha diagonal, la sección que produce en el cubo es un hexágono regular 123456 que tiene por lado la mitad dl2 de la diagonal de una cara; los vértices de este hexágono son los puntos medios de las aristas que no son paralelas ni consecutivas. Si se divide la diagonal BH en tres partes iguales y por los puntos de división R y S se trazan sendos planos perpendiculares a dicha diagonal, las secciones que se producen son los triángulos equiláteros ACF y OEG, cuyos lados son iguales a la diagonal d de una cara del cubo.


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2.2. HEXAEDRO APOYADO POR UNA ARISTA EN EL PLANO HORIZONTAL La proyección horizontal de un hexaedro regular, de arista a, apoyado en el plano horizontal por una arista, en posición inestable, es un rectángulo cuyo lado menor es igual a la arista del hexaedro y cuyo lado mayor es igual a la diagonal del cuadrado de una cara:

1. Por los extremos Al y B1

de la proyección horizontal de la arista apoyada en el plano horizontal, se trazan ! dos segmentos C1Fl y O1E1 , perpendiculares a la arista e iguales a la diagonal d de una cara.

2. La proyecciones verticales A2 y B2 se

encuentran en la línea de tierra; las proyecciones G2 y H2 tienen una altura igual a la diagonal d de una cara y C2, O2, E2 y F2

están a una altura d/2 igual a la mitad de dicha diagonal.

2.3. HEXAEDRO APOYADO POR UN VÉRTICE EN EL PLANO HORIZONTAL

La proyección, sobre el plano horizontal, de un hexaedro regular, de arista a, apoyado por un vértice sobre dicho plano, en posición inestable (una diagonal principal es perpendicular al plano horizontal), es un hexágono regular:

1. Se construye un cuadrado EFGH de lado a; el

segmento EG es la diagonal d de una cara. Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos son la diagonal d y la arista a; la hipotenusa de dicho triángulo es la diagonal principal del cubo. Si por el punto Ese traza la perpendicular correspondiente a la hipotenusa, se observa que el triángulo EAN que se forma es igual al triángulo ABBl de la perspectiva, puesto que: AE = AB e igual a la arista a, AN = BB1 e igual a 1/3 de h. Por


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tanto, EN = ABl es el radio r del hexágono proyección .

2. Con centro en Al y radio r se construye el hexágono regular BlClOlHlElFl, proyección horizontal del hexaedro. Los vértices que están unidos con el vértice inferior A forman las aristas ocultas, mientras que los vértices que están unidos con G forman las aristas vistas.

3. La proyección vertical A2 del vértice apoyado en el plano horizontal está en la línea de

tierra y la proyección vertical G2 del vértice opuesto está a una altura h igual a la diagonal principal del cubo. La proyección vertical B2, F2 y O2 de los vértices que están unidos con el vértice inferior A tienen de altura h/3 y la proyección vertical C2, F2 y H2 de los vértices unidos con el vértice superior G tienen de cota 2h/3; estos puntos se unen entre sí siguiendo el mismo orden correlativo que siguen los vértices del hexágono en la proyección horizontal.

3. OCTAEDRO El octaedro regular es el poliedro formado por ocho caras que son triángulos equiláteros; tiene seis vértices, doce aristas y tres diagonales iguales que se cortan perpendicularmente entre sí en su punto medio. 3.1. OCTAEDRO APOYADO POR UNA CARA EN EL PLANO HORIZONTAL La proyección, sobre el plano horizontal, de un octaedro regular, de arista a, apoyado por una cara sobre dicho plano, es un hexágono regular formado a su vez por dos triángulos equiláteros cuyo lado es igual a la arista del octaedro. Uno de los triángulos corresponde a la cara apoyada en el plano horizontal y el otro se encuentra en un plano paralelo.

1. En proyección horizontal, se construye un triángulo equilátero A1B1C1 cuyo lado es

igual a la arista a del octaedro. Con el mismo centro, se traza otro triángulo equilátero de forma que al unir todos los vértices de forma consecutiva aparezca un hexágono regular.

2. La proyección vertical A2B2C2 de los vértices apoyados en el plano horizontal se

encuentran en la línea de tierra. La cota o altura de los otros tres vértices O2, E2 y F2 se halla abatiendo el triángulo rectángulo AO1O: a) el ángulo recto está en Ol; b) el lado A1O1 es igual aliado del hexágono, y c) la hipotenusa A1OO es igual a la arista del octaedro.


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3.2. OCTAEDRO APOYADO POR UNA ARISTA EN EL PLANO HORIZONTAL

La proyección horizontal de un octaedro regular, ,; apoyado por una arista a en el plano horizontal, es un rombo cuya diagonal menor es igual a la arista" del octaedro y la diagonal

mayor es igual a la diagonal de un cuadrado cuyo lado es igual a la arista a del octaedro.

1. La proyección horizontal del octaedro se halla trazando

un rombo cuyas diagonales son A1B1 = a y E1F1 = d, siendo d la diagonal del cuadrado de arista a.

2. La proyección vertical A2B2 de la arista apoyada en et'

plano horizontal está en la línea de tierra; la proyección vertical C2D2 está a una altura igual a la arista a; y la proyección vertical E2F2 de los dos vértices restantes tienen de altura a/2.

3.3. OCTAEDRO APOYADO POR UN VÉRTICE EN EL PLANO HORIZONTAL La proyección, sobre el plano horizontal, de un octaedro 1 regular, de arista a, apoyado por un vértice en el plano horizontal, en posición inestable, es un cuadrado de lado igual a la arista a . La diagonal AF es una recta vertical.

1. La proyección horizontal del octaedro se halla dibujando un cuadrado de lado a y trazando a continuación las diagonales de dicho cuadrado.

2. La proyección vertical A2 del vértice apoyado en el plano horizontal, está en la línea de

tierra; la proyección vertical F2 del vértice opuesto está a una altura igual a la diagonal d del cuadrado que es proyección horizontal; la altura del resto de los vértices es igual a d/2.


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4. DODECAEDRO El dodecaedro regular es el poliedro formado por doce caras iguales que son pentágonos regulares; tiene, por tanto, veinte vértices y treinta aristas. 4.1 DODECAEDRO APOYADO POR UNA CARA EN EL PLANO HORIZONTAL La proyección horizontal de un dodecaedro, de arista a, apoyado por una cara en el plano horizontal, está formada por dos pentágonos regulares de lado a y un decágono regular, más exterior, cuyo radio se determina a continuación. Se dibuja el pentágono de la base 1121314151 cuyo lado es igual a la arista a del dodecaedro y con el mismo centro O se dibuja otro pentágono 61718191101, girado respecto del anterior, de tal forma que todos los vértices formarían un decágono regular. Este nuevo pentágono es la proyección horizontal de la cara opuesta, que es paralela a la anterior.

1. Partiendo de dos lados adyacentes, 1121 y 2131, del primer pentágono, se dibujan otros

dos pentágonos regulares 1121130120110 y 2131150140130; estos pentágonos son el abatimiento sobre el plano horizontal de las dos caras del dodecaedro que parten de dichos lados y cuyas charnelas son los lados comunes.

2. Por los dos vértices abatidos 130 se trazan dos rectas perpendiculares a sus

correspondientes charnelas, a modo de desbatimiento, de tal forma que donde se cortan se encuentra la proyección horizontal 131 del vértice común. Con radio 0-131 se traza el decágono regular, perímetro de la proyección horizontal del dodecaedro.

3. La altura h o cota de los vértices que están unidos con los del pentágono de la base se

halla mediante el triángulo rectángulo 51191190: a) el ángulo recto está en 191; b) un cateto es la longitud 51191, y c) la hipotenusa 51190 = 5111 es la arista a.

4. La altura H de los vértices que están unidos con los del pentágono superior se halla

con el triángulo rectángulo M121120: a) el ángulo recto está en 121; b) un cateto es el segmento M121, y c) la hipotenusa M120 es la altura h' del pentágono de una cara.

5. Por último, la altura de los vértices del pentágono superior es H + h.


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5. ICOSAEDRO El icosaedro regular es el poliedro formado por veinte caras iguales que son triángulos equiláteros; tiene doce vértices y treinta aristas. 5.1. ICOSAEDRO APOYADO POR UN VÉRTICE EN EL PLANO HORIZONTAL La proyección horizontal de un icosaedro, de arista a, apoyado por un vértice en el plano horizontal, está formada por dos pentágonos regulares de lado a, que tienen el mismo centro, y el decágono regular que une todos los vértices anteriores. La diagonal AL es una recta vertical.

1. Con centro en A1, se dibuja el pentágono B1C1D1E1F1 cuyo lado es igual a la arista a del icosaedro y con el mismo centro se dibuja otro pentágono G1H1l1J1K1, igual al anterior, pero girado 180° respecto a él. A continu ación se unen de forma correlativa los vértices de los dos pentágonos, formando un decágono; todos los vértices se unen también con el centro.

2. La proyección vertical A2 está en la línea de tierra , por ser un punto situado en el

plano horizontal. 3. Las proyecciones verticales B2, G2, O2, E2 y F2, correspondientes a los vértices que

están unidos: con A1 están a una altura h que se halla mediante el triángulo rectángulo A1B1B´: a) el ángulo recto está en B1; b) el cateto A1B1 es el radio del pentágono, y c) la hipotenusa A1B1 es la arista a, igual al lado del pentágono.

4. Las proyecciones verticales G2, H2, /2, J2 y K2, correspondientes a los vértices que están unidos con el vértice superior L, están a una altura h + H, hallándose H mediante el triángulo B1G1G': a) el ángulo recto está en G1 b) el cateto B1G1 es el lado del decágono, y c) la hipotenusa B1G' es la arista a del icosaedro.

5. La altura del vértice L es igual a h + H + h.


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TEMA 5

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

1. PIRÁMIDE La superficie piramidal está engendrada por una recta que, pasando por un punto fijo, llamado vértice, se apoya en un polígono, llamado directriz. Se llaman aristas laterales a las rectas que unen el vértice de la pirámide con los vértices del polígono directriz; se llaman generatrices a las rectas que unen el vértice de la pirámide con cualquier punto de la directriz que no sean los vértices. La pirámide es el cuerpo geométrico que resulta de limitar la superficie piramidal por un plano que corta a todas las aristas laterales. Las pirámides pueden ser rectas y oblicuas, según que el punto de intersección de la perpendicular trazada desde el vértice al plano que la limita coincida con el centro de gravedad del polígono sección o no. 1.1 REPRESENTACIÓN DE UNA PIRÁMIDE APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL En la representación diédrica de una pirámide cualquiera, apoyada por la base en el plano horizontal, se tendrá en cuenta que la proyección horizontal A1B1C1D1E1 de la base está en verdadera magnitud y la proyección vertical A2B2C2D2E2 es una línea recta que se confunde con la línea de tierra. Partes vistas y ocultas a) Las partes vistas de la proyección horizontal son las que ve un observador situado por encima del plano horizontal, en el infinito, y que mira perpendicularmente al mismo. Proceso:

1. El contorno aparente V1E1A1B1C1 es siempre visto.

2. El resto de los lados de la base C1D1 y D1E1, no incluidos en el contorno anterior, son ocultos.

3. Las aristas de la pirámide V1A1 y V1B1, no incluidas el contorno aparente, que parten de vértices de la base que son vistos, son vistas.

4. Las aristas de la pirámide, como


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la V1D1, no incluidas en el contorno aparente, que parten de vértices de la base que son ocultos, son ocultas.

b) Las partes vistas de la proyección vertical son las que un observador situado delante del plano vertical, en el infinito, y que mira perpendicularmente al mismo. Proceso: Se denominan planos rasantes a los planos proyectantes que, conteniendo a una generatriz, no cortan a la pirámide.

1. Se trazan los planos rasantes α y β perpendiculares al plano vertical. 2. El contorno aparente V2B2E2 es siempre visto. 3. Las aristas VC y VD que parten de los vértices de la base que están por debajo de la

recta ficticia que une las proyecciones B1 y E1 es decir, que se encuentran más cercanas al observador, en proyección vertical, V2C2 y V2D2, son vistas.

4. Las aristas, como la VA, que parten de vértices de la base que están por encima de la recta B1E1, es decir, que se encuentran "detrás" de la pirámide, en proyección vertical, V2A2, son ocultas.

1.2. SECCION DE UNA PIRÁMIDE POR UN PLANO PROYECTANTE Sea la pirámide de vértice V, cuya base es el polígono ABCDE, apoyada en el plano horizontal, y sea el plano α a(α1 α2) proyectante vertical. La sección que se produce es un polígono de cinco lados cuyos vértices resultan de la intersección de las aristas de la pirámide con el plano α:

1. La proyección vertical 1222324252 de la sección y dado que el plano es proyectante, se obtiene directamente donde se cortan las aristas V2A2, V2B2, ... con la traza vertical α2 del plano.

2. La proyección horizontal

1121314151 se determina trazando, desde las proyecciones verticales anteriores, perpendiculares a la línea de tierra hasta sus correspondientes aristas en proyección horizontal V1A1, V1B1, ...

3. Partes vistas y ocultas: cada lado

del polígono sección será visto u oculto según sea visto u oculto el correspondiente lado de la base.

Verdadera magnitud de la sección Para obtener la verdadera magnitud de la sección se giran los cinco vértices de la misma alrededor de un eje e(e1e2), que coincide con la traza α1 o, lo que es lo mismo, se abate el plano α sobre el plano horizontal. El proceso es el mismo que si hubiéramos efectuado un abatimiento, utilizando como charnela la traza horizontal 0:¡, de tal forma que la traza vertical del plano abatida coincidiría.


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1.3. SECCIÓN DE UNA PIRÁMIDE POR UN PLANO CUALQUIERA Sea la pirámide de vértice V, cuya base es el polígono ABCDE situado en el plano horizontal, y sea el plano α(α1 α2). Para determinar la sección plana de una pirámide se pueden emplear tres procedimientos: Método 1: Por intersección de las aristas con el pl ano

1. Se halla la intersección de una de las aristas de la pirámide, por ejemplo la VA, con el plano α (ver intersección de recta y plano); para ello se ha utilizado el plano proyectante β(β1 β2) que contiene a la arista y cuya intersección con α es la recta m, obteniendo así el punto 1(1112) de la intersección.

2. Se repite la operación con todas y cada una de las aristas, obteniendo el polígono sección 1121314151-12224252.

3. Partes vistas y ocultas: cada lado del polígono sección será visto u oculto según sea visto u oculto el correspondiente lado de la base.

Método 2: Por cambios de plano

1. Se efectúa un cambio de plano vertical para convertir el plano dado en un proyectante vertical, de esta forma la nueva línea de tierra es perpendicular a la traza α1.

2. Se halla la nueva traza vertical α'2, tomando para ello la recta horizontal auxiliar m, hallando su nueva traza vertical Vm y uniendo ésta con el nuevo vértice O' del plano.

3. Se dibuja la nueva proyección vertical de la pirámide: la proyección V'2 se halla trazando, desde V1, la perpendicular a la línea de tierra y transportando la cota de V; las proyecciones A´1, B'2, ... están en la nueva línea de tierra, pues tienen cota cero.

4. Donde la traza α'2 corta a las aristas en los puntos 1'2, 2'2, . . . se encuentra la proyección vertical de la sección según la


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línea de tierra nueva. La proyección horizontal 11, 21, ... se halla bajando las proyecciones anteriores a sus correspondientes aristas y la proyección vertical 12, 22, ... se halla subiendo las proyecciones a sus aristas según la línea de tierra original.


Método 3: Por homología

1. Se halla la intersección de una de las aristas de la pirámide, por ejemplo la VA, con el plano a (ver intersección de recta y plano); para ello se ha utilizado el plano proyectante β(β1 β2) que contiene a la arista y cuya intersección con a es la recta m, obteniendo así el punto 1(11 12) de la intersección.

A partir de este punto, entre el polígono base de la pirámide y el polígono sección que le produce el plano puede establecerse una homología con los siguientes elementos:

- Eje de homología: traza horizontal α1 del plano.

- Centro de homología: la proyección horizontal V1 del vértice.

- Pareja de puntos homólogos: A1 y 11.

2. Se une el punto A1 con cualquier otro vértice de la base, el D1 por ejemplo, hasta cortar al eje al en el punto M. A continuación se une M con el punto 11 hasta cortar a la arista V1D1 en el punto 41.

3. Se une un punto de la base de cuya arista ya se conozca su intersección (A1 o D1) con otro punto cualquiera de la base del que no conozcamos su intersección (B1 o C1) y se opera de forma análoga a como se ha hecho con el punto 41.

4. La proyección vertical 12, 22, ... se halla subiendo las proyecciones horizontales hasta cortar a sus correspondientes aristas en proyección vertical en los puntos 1222324252.


Existe otra manera de establecer una homología sin necesidad de ejecutar el punto 1 del proceso anterior que nos permitía hallar una pareja de puntos homólogos, a saber:

- Eje de homología: la recta α1 de intersección de los planos que contienen los polígonos homólogos, es decir, el plano horizontal que contiene a la base y el plano sección α.

- Centro de homología: la proyección horizontal V1 del vértice de la pirámide. - Recta límite: la recta de intersección del plano que contiene a la base, en

nuestro caso el plano horizontal, con el plano paralelo al plano sección a trazado por el vértice V.

Dejamos al lector la posibilidad de ejecutar dicho caso como una aplicación más de la homología.

Verdadera magnitud de la sección La verdadera magnitud de la sección se obtiene por abatimiento del plano α que la ha producido. En la figura se ha procedido a abatir el plano a abatiendo primero la traza vertical


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del plano, αo. 1.4. DESARROLLO DE LA PIRAMIDE Sea la pirámide de vértice V y base ABCDE situada en el plano horizontal; los lados de la base, por tanto, están en verdadera magnitud. Las caras laterales de la pirámide son triángulos que se pueden reproducir en verdadera magnitud si se conoce la medida de sus aristas; para conseguirlo, se giran todas y cada una de las aristas alrededor de un eje vertical, común a todas ellas, hasta convertirlas en rectas frontales paralelas al plano vertical.

1. Se toma el eje e, perpendicular al plano

horizontal, que pasa por el vértice V. 2. Para girar una arista, por ejemplo la VA,

se elige como auxiliar el propio punto A de la base, haciéndolo girar alrededor del eje hasta la posición A'1; la proyección vertical A'2 del punto girado, por tener cota cero, está en la línea de tierra. Al unir A'2 con V2 se obtiene la proyección vertical de la arista girada que está en verdadera magnitud.

3. Se giran todas las aristas de la pirámide por el mismo procedimiento del punto anterior y se obtienen las verdaderas magnitudes V2B'2, V2C'2, V2D'2 y V2E'2.

4. Aparte, se elige un punto cualquiera V y se transporta la medida VA = V2A'2 correspondiente a la arista por la que vamos a abrir la pirámide. Con centro en V y radio VB = V2B'2 se traza un arco de circunferencia y con centro en A y radio AB = A1B1 se traza otro arco que corta al anterior en el punto B. Uniendo B con A y V se obtiene una de las caras de la pirámide.

5. Se construye el resto de las caras por el mismo procedimiento del punto anterior. 6. Finalmente, por cualquier método de construcción de un polígono igual a otro, se dibuja la

base de la pirámide. 2. CONO La superficie cónica está engendrada por una recta o generatriz que, pasando por un punto fijo, llamado vértice, se apoya en una curva llamada directriz. El cono es el cuerpo geométrico que resulta de limitar la superficie cónica por un plano que corta a todas las generatrices. Los conos pueden ser de revolución o no. Un cono es de revolución si la sección que le produce un plano perpendicular al eje es una circunferencia. Si a un cono de revolución de dos ramas se le secciona por un plano, y dependiendo del ángulo


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que forma dicho plano con el eje, se obtienen las denominadas curvas cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola), ya estudiadas. El estudio del cono es similar al de la pirámide, pues a un cono se le puede considerar como una pirámide de infinito número de aristas. 2.1. REPRESENTACIÓN DE UN CONO APOYADO EN EL PLANO HORIZONTAL

En la representación diédrica de una superficie cónica cualquiera con la directriz circular situada en el plano horizontal, la proyección horizontal se representa por la directriz, en este caso una circunferencia de centro 01 y las generatrices de contorno aparente, V1S1 y Vl T1, tangentes a la circunferencia desde V1. La proyección vertical es un segmento A2B2, situado en la línea de tierra, cuyos extremos, al unirlos con V2, nos determinan las generatrices V2A2 y V2B2 de contorno aparente. Partes vistas y ocultas a) Las partes vistas de la proyección horizontal son las que ve un observador situado por encima del plano horizontal, en el infinito, y que mira perpendicularmente al mismo. Proceso:

1. El contorno aparente V1S1A1T1 es siempre visto. 2. El resto de la base S1B1T1 es oculto. 3. Las generatrices que parten de puntos de la base que son vistos, como la V1A1, son

vistas. 4. Las generatrices que parten de puntos de la base que son ocultos, como la V1B1, son

ocultas. b) Las partes vistas de la proyección vertical son las que ve un observador situado delante del plano vertical, en el infinito, y que mira perpendicularmente al mismo. Proceso:

1. Se trazan los planos rasantes α y β (ver pirámide) perpendiculares al plano vertical.

2. El contorno aparente V2A2B2 es siempre visto.

3. Las generatrices, como la VT, que parten de la semicircunferencia que está por debajo


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de la recta que une A1 y B1 es decir, que se encuentran más cercanas al observador, en proyección vertical, V2T2, son vistas.

4. Las generatrices, como la VS, que parten de la semicircunferencia que está por encima

de A1B1, es decir, que se encuentran "detrás" del cono, en proyección vertical, V2S2, son ocultas.

2.2. SECCIÓN DE UN CONO POR UN PLANO PROYECTANTE Sea el cono de revolución apoyado en el plano horizontal de vértice α(α1 α2) y sea un plano proyectante vertical . La sección será una elipse puesto que el plano corta a todas las generatrices del cono. Proceso:

1. Se divide la circunferencia de la base en un número cualquiera de partes, por ejemplo

en ocho, obteniendo A1, B1, ..., H1 en proyección horizontal y A2, B2, ..., H2 en proyección vertical. Dichos puntos se unen con el vértice V dando lugar a las generatrices V1A1, V1B1, ..., V1H1 en proyección horizontal y V2A2, V2B2, ..., V2H2 en proyección vertical.

2. La proyección vertical 1222...82 de la sección, y dado que el plano es proyectante, se obtiene directamente donde se cortan las aristas V2A2, V2B2, ..., V2H2 con la traza vertical α2 del plano.

3. La proyección horizontal 1121...81 se determina trazando, desde las proyecciones verticales anteriores, perpendiculares a la línea de tierra hasta sus correspondientes generatrices en proyección horizontal V1A1, V1B1, ..., V1H1.

4. Las generatrices VG y VG son dos rectas de perfil; para hallar las proyecciones horizontales de los puntos 3 y 7 puede acudirse a tercera proyección.

Verdadera magnitud de la sección Para obtener la verdadera magnitud de la sección se giran los ocho puntos de la misma alrededor de un eje e(e1e2), perpendicular al plano vertical, cuya proyección horizontal coincide con la traza α1, hasta situarlos en el plano horizontal. El proceso es el mismo que si hubiéramos efectuado un abatimiento, utilizando como charnela la traza horizontal a1, de tal forma que la traza vertical abatida del plano coincidiría con la línea de tierra. En la figura se ha incluido el mismo caso con un cono inclinado que no es de revolución.


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Sección de un cono por un plano cualquiera La sección de un cono apoyado en el plano horizontal por un plano cualquiera es igual al correspondiente caso de la pirámide. Lo único a tener en cuenta es que inicialmente habrá que dividir la circunferencia de la base en un número cualquiera de partes y trazar sus correspondientes generatrices, tal como se ha hecho en el caso anterior. 2.3 DESARROLLO DEL CONO Sea el cono de vértice V y directriz de centro O situada en el plano horizontal. La verdadera magnitud de las generatrices se halla al girarlas todas alrededor del eje vertical común que pasa por el vértice V, hasta convertirlas en rectas frontales paralelas al plano vertical. 1. Se divide la circunferencia de la

base en un número cualquiera de partes iguales, por ejemplo en ocho, de tal forma que la proyección horizontal Al del primero de estos puntos se obtenga trazando la recta que une V1 y 01. De esta manera se tienen los puntos A, B, ..., H que, al unirlos con el vértice V; dan lugar a las generatrices V1A1, V1B1, ..., V1H1 en proyección horizontal y V2A2, V2B2, ..., V2H2 en proyección vertical.

2. Se toma el eje e, perpendicular al plano horizontal, que pasa por el vértice V.

3. Para girar una generatriz, por ejemplo la VA, se elige como auxiliar el punto A de la base, haciéndolo girar alrededor del eje hasta la posición A'1, de forma que la proyección horizontal V1A'1 sea paralela a la línea de tierra; la proyección vertical A'2 del punto girado está en la línea de tierra. Al unir A'2 con V2 se obtiene la proyección vertical de la generatriz girada, en verdadera magnitud.

4. Se giran todas las generatrices del cono por el mismo procedimiento del punto anterior, obteniendo así las verdaderas magnitudes V2B'2, V2C'2, ..., V2H'2.

5. Aparte, se elige un punto cualquiera V y se transporta la medida VA = V2A'2

correspondiente a la generatriz más corta por la que vamos a abrir el cono (podría empezarse por cualquier otra generatriz, pero el desarrollo no quedaría entonces simétrico). Con centro en V y radio VB = V2B'2 se traza un arco de circunferencia y con centro en A y radio AB = A1B1 se traza otro arco que corta al anterior en el punto B. Uniendo B con A y V se obtiene un triángulo en el que se ha sustituido la longitud del arco AB por la longitud de su cuerda, cometiendo un pequeño error prácticamente despreciable.

6. Se construye el resto de los triángulos por el mismo procedimiento del punto anterior; a continuación se unen los puntos A, B, ..., H y A mediante una curva, subsanando así parte del pequeño error cometido anteriormente, pues ahora se traza el arco en vez de la cuerda.

7. Finalmente se sitúa la directriz o base del

cono, de forma que sea tangente a la curva de la base. Se aconseja trazar la circunferencia tangente en los puntos A o


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E, ya que la recta tangente común a las dos curvas en dichos puntos es perpendicular a la correspondiente generatriz.

3. PRISMA La superficie prismática está engendrada por una recta, llamada generatriz, que trasladándose paralelamente a sí misma, se apoya en un polígono, llamado directriz. Se llaman aristas a las posiciones de la generatriz en los vértices del polígono. El prisma es el cuerpo geométrico que resulta de limitar la superficie prismática por dos planos a ya' que cortan a todas las aristas laterales. El prisma se puede considerar como una pirámide cuyo vértice es un punto impropio, es decir, está en el infinito y por tanto las aristas laterales resultan paralelas. Los prismas pueden ser rectos y oblicuos, según que las aristas laterales sean perpendiculares o no al plano de la directriz. 3.1. REPRESENTACIÓN DE UN PRISMA APOYADO EN EL PLANO HORIZONTAL Al representar en proyecciones horizontal y vertical un prisma pentagonal oblicuo apoyado en el plano horizontal, las proyecciones horizontales de ambas bases se encuentran en verdadera magnitud y las proyecciones verticales son dos segmentos; el que corresponde a la base apoyada en el plano horizontal (base inferior) coincide con la línea de tierra y el correspondiente a la otra base (base superior) es paralelo a la misma.

Partes vistas y ocultas Proyección horizontal Siguiendo un razonamiento similar al que se hizo con la pirámide:

1. El contorno aparente A1B1B'1C'1D'1E'1E1A1 es siempre visto. 2. El resto de los lados de la base inferior, no incluidos en el en el contorno aparente, son

ocultos, mientras que todas las aristas de la base superior son vistas. 3. Las aristas laterales del prisma, como la A1A'1, que parten de vértices vistos de la base

inferior, son vistas. 4. Las aristas del prisma C1C'1 y D1D'1, que parten de vértices ocultos de la base inferior,

son ocultas.

Proyección vertical


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1. Se trazan los planos rasantes a y β (ver pirámide) perpendiculares al plano vertical. 2. El contorno aparente A2A'2D'2D2 es siempre visto. 3. Las aristas BB' y CC', que parten de vértices de la base que están por debajo de la

recta ficticia que une las proyecciones A1 y D1, es decir, que se encuentran más cercanas a un observador situado en el infinito y delante del plano vertical, en proyección vertical (B2B'2 y C2C'2) son vistas.

4. Las aristas, como la EE', que parten de vértices de la base que están por encima de la recta A1D1 es decir, que están "detrás" del prisma respecto del observador, en proyección vertical E2E´2 son ocultas.

3.2. SECCION DE UN PRISMA POR UN PLANO PROYECTANTE

Sea el prisma oblicuo de base ABCDE, apoyado en el plano horizontal, de altura h, y sea el plano α(α1α2) proyectante vertical:

1. La proyección vertical 1222324252 de la sección coincide con la traza vertical α2 del

plano secante en su intersección con las aristas A2A'2, B2B'2, ... 2. La proyección horizontal 1121314151 se determina trazando, desde las proyecciones

verticales, perpendiculares a la línea de tierra hasta sus correspondientes aristas en proyección horizontal A1A'1, B1B'1, ...

3. Partes vistas y ocultas: cada lado del polígono sección será visto u oculto, según sea visto u oculto el correspondiente lado de la base.

Verdadera magnitud de la sección La verdadera magnitud de la sección se obtiene por abatimiento del plano α. En nuestro caso, el abatimiento se ha efectuado abatiendo la traza vertical del plano, que coincide con la línea de tierra en α0 ; de esta manera se obtiene el polígono 1020304050 en verdadera magnitud. El proceso es el mismo que si se hubiera efectuado un giro utilizando como eje la recta e(e1e2) coincidente con la traza horizontal al del plano. 3.3 SECCION POR UN PLANO CUALQUIERA Sea el prisma oblicuo de directriz ABCDE y el plano α(α1α2). Método 1 : Por intersección de las aristas con el plano

1. Se halla la intersección de una de las aristas del prisma, por ejemplo la AA', con el plano α (ver intersección de recta


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y plano); para ello se ha utilizado el plano proyectante vertical β(β1β2) que contiene a la arista y cuya intersección con α es la recta i(i1i2), obteniendo así el punto 1(1112) de la intersección .

2. Se repite la misma operación con todas y cada una de las aristas, obteniendo así el polígono sección 1121314151-1222324252.

3. Partes vistas y ocultas: cada lado del polígono sección será visto u oculto según lo sea el correspondiente lado de la base inferior del prisma.

Método 2: Por cambios de plano

1. Se efectúa un cambio de plano vertical de tal forma que la nueva línea de tierra sea perpendicular a la traza horizontal α1 del plano, convirtiendo éste en un plano proyectante vertical.

2. Se obtiene la nueva proyección vertical del prisma, cambiando uno a uno todos los vértices de ambas bases; la nueva proyección vertical de la base inferior se encuentra en la nueva línea de tierra y la de la base superior está a una altura h de la misma.

3. La proyección vertical de la sección, según la nueva línea de tierra, se encuentra donde α'2 corta a las proyecciones verticales de las aristas en los puntos 1'2,2'2, ... La proyección horizontal se halla bajando las proyecciones

anteriores a sus correspondientes aristas, en 11, 21, ...

4. La proyección vertical 1222324252 de la sección se obtiene subiendo las proyecciones horizontales a sus correspondientes aristas en proyección vertical.

Método 3: Por afinidad

1. Se halla la intersección de una de las aristas del prisma, por ejemplo la CC' , con el plano α(α1 2α), obteniendo así el punto 3(3132).

Llegados a este punto, entre la base directriz de un prisma y la sección que le produce un plano, existe una relación de afinidad definida por los


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siguientes elementos:

- Eje de afinidad: la intersección del plano sección con el plano de la base, es decir, α1. - Dirección de afinidad: la de las aristas laterales del prisma en proyección horizontal. - Par de puntos afines: C1 y 31, hallados anteriormente.

2. Se une el punto C1 con cualquier otro vértice de la base, por ejemplo C1B1, hasta cortar

al eje al en el punto M; a continuación se une M con 31 hasta cortar a la arista que parte de B1 en 21.

3. Se une un punto de la base, de cuya arista ya se conozca su intersección (B1 o C1),

con otro punto cualquiera de la base, de cuya arista no conozcamos su intersección (D1, E1 o A1), y se opera de la misma manera que se ha hecho antes.

4. La proyección vertical 1222324252 se determina subiendo las proyecciones horizontales

hasta cortar a sus correspondientes aristas en proyección vertical. Verdadera magnitud de la sección La verdadera magnitud de la sección se obtiene por abatimiento del plano a que la contiene. En las dos figuras primeras el abatimiento se ha realizado abatiendo la traza vertical del plano αo; en cambio, en la tercera se ha determinado por la afinidad que existe entre la sección y su abatimiento. 3.4. DESARROLLO DEL PRISMA Sea el prisma oblicuo de directriz ABCOE, de altura h . Para hallar el desarrollo se determina en primer lugar la sección recta del prisma, es decir, la que le produce un plano a(ala2) cualquiera, que sea perpendicular a las aristas laterales.

1. Se traza un plano α(α1 2α) arbitrario, perpendicular a las aristas del prisma, de tal forma que sus trazas sean perpendiculares a las proyecciones homónimas de las aristas. A continuación, aplicando cualquiera de los métodos explicados anteriormente, se hallan las proyecciones 1121314151 y 1222324252 de la sección que le produce el plano α.

2. Se determina la verdadera magnitud 1020304050 de la sección abatiendo el plano α que la contiene; en nuestro caso se ha utilizado el método de afinidad.

3. Se gira una arista cualquiera, por ejemplo la 00', alrededor del eje e(e1e2) vertical que pasa por el punto O', hasta convertirla en recta frontal. Para girar la arista se ha tomado el punto O de la base y, haciendo centro en el, se ha descrito un arco hasta 0"1, cuya proyección vertical 0"2 está en la línea de tierra. Uniendo D"2 con D'2 se obtiene la verdadera magnitud de la arista DD´. Todas las demás aristas tienen la misma longitud.

4. Con la arista DD' ha girado el punto 4; por tanto, trazando por 42 la paralela a la línea de tierra hasta 0”20"2 se obtiene 4"2. De esta forma 4"2D"2 es la distancia real que hay


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desde el punto 4 a la base. 5. Se giran los demás vértices de la sección trazando, por sus proyecciones verticales,

paralelas a la línea de tierra hasta cortar a la proyección vertical D'2D"2 en los puntos 1"2, 2"2, 3"2 y 5"2.

Realmente estos giros no son correctos porque para ello habría que haber girado todas y cada una de las aristas de forma independiente; pero el resultado al que se llegaría es el mismo, es decir, las distancias 1"2D"2, 2"2D"2, 3"2D"2 y 5"2D"2 que hay desde cada punto a la base son las mismas.

6. En lugar aparte, sobre una recta r se desarrolla el perímetro 123451 de la sección, tomando las medidas de la verdadera magnitud. Por dichos puntos se trazan rectas perpendiculares a r.

7. A partir de los puntos 1, 2, 3, ... se transportan, hacia abajo, las distancias 1A = 1"2D"2, 2B = 2"2B"2, 3C = 3"2D"2...; uniendo los puntos A, B, ..., se obtiene la transformada de la base inferior.

8. A partir de los puntos A, B, C, ... se transportan, hacia arriba, las distancias AA' = BB' = CC' = ... = D'2D"2; al unir los puntos A' , B', C', ..., se halla la transformada de la base superior.

9. Finalmente, por cualquier procedimiento de construcción de un polígono igual a otro, se dibujan las bases inferior y superior, apoyándolas por cualquiera de sus lados.

4. CILINDRO La superficie cilíndrica está engendrada por una recta, llamada generatriz, que, apoyándose sobre una curva, llamada directriz, se traslada paralelamente a sí misma. El cilindro es el cuerpo geométrico que resulta de limitar la superficie cilíndrica por dos planos α α y α´ que cortan a todas las generatrices. Los cilindros pueden ser de revolución o no. Un cilindro es de revolución si la directriz es una circunferencia y la generatriz es perpendicular al plano que la contiene. 4.1. REPRESENTACIÓN DE UN CILINDRO APOYADO EN EL PLANO HORIZONTAL En la figura de al lado se representan dos cilindros de revolución en sistema diédrico, el primero apoyado en el plano horizontal por la directriz o base y el segundo apoyado por una generatriz. En la representación de un cilindro cualquiera, con la directriz circular situada en el plano horizontal, las proyecciones horizontales de las bases se encuentran en verdadera magnitud y las proyecciones verticales son dos segmentos; el que corresponde a la base situada en el plano horizontal (base inferior) coincide con la línea de tierra y el correspondiente a la otra base (base superior) es paralelo a la misma. El cilindro representado no es de revolución. Partes vistas y ocultas Proyección horizontal Siguiendo un razonamiento similar al que se hizo con el prisma:

1. El contorno aparente C1A1D1D'1'C'1C1 es siempre visto. 2. El resto de la base inferior, D1B1C1, es oculto; en cambio, la base superior es vista.


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3. Las generatrices que parten de puntos de la base inferior que son vistos, como la A1A'1, son vistas.

4. Las generatrices que parten de puntos de la base inferior que son ocultos, como la B1B'1, son ocultas.

Proyección vertical

1. Se trazan los planos rasantes α Y β (ver pirámide) perpendiculares al plano vertical.

2. El contorno aparente A2A'2B'2B2 es siempre visto.

3. Las generatrices, como la DD', que parten de la semicircunferencia que está por debajo de la recta A1B1, en su proyección vertical D2B'2, son vistas.

4. Las generatrices, como la CC', que parten de la semicircunferencia que está por encima de A1B1, es decir, que están detrás del cilindro, en su proyección vertical C2C'2, son ocultas.

4.2 SECCION DE UN CILINDRO POR UN PLANO PROYECTANTE

Sea un cilindro oblicuo de altura h cuyas bases, con centros en 0(0102) y 0'(0'10'2), son dos circunferencias; y sea también α(α1α2) un plano proyectante vertical:

1. Se divide la circunferencia de la base en un número cualquiera de partes, por ejemplo en ocho, obteniendo A1 B1, ..., H1 en proyección horizontal y A2, B2, ..., H2 en proyección vertical; se trazan también las correspondientes generatrices A1A'1, B1,B'1, ..., H1H'1 en proyección horizontal y A2A'2, B2B'2, ..., H2H'2 en proyección vertical.

2. La proyección vertical de la sección, 122232...82, coincide con la traza vertical a2 del plano secante en su intersección con las aristas A2A'2, 828'2, ..., H2H'2, por ser el plano proyectante.

3. La proyección horizontal se determina bajando las proyecciones verticales a sus correspondientes aristas en proyección horizontal A1A'1, B1,B'1, ..., H1H'1, obteniendo así la proyección 112131...81.

4. Partes vistas y ocultas: las generatrices de contorno aparente delimitan las partes vistas y ocultas de la sección, según sea vista u oculta la parte correspondiente de la base.

Verdadera magnitud de la sección La verdadera magnitud de la sección se obtiene por abatimiento del plano α. En nuestro caso el abatimiento se ha efectuado abatiendo la traza vertical α2 del plano en α0, que coincide con la línea de tierra; de esta manera se obtiene la curva sección 102030...80 en verdadera magnitud. El proceso es el mismo que si se hubiera efectuado un giro utilizando como eje de giro la recta e(e1e2) coincidente con la traza horizontal α1 del plano. Sección de un cilindro por un plano cualquiera


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La sección de un cilindro apoyado en el plano horizontal por un plano cualquiera es similar al correspondiente caso del prisma. La diferencia está en que inicialmente habrá que dividir la circunferencia de la base en un número cualquiera de partes y trazar sus correspondientes generatrices, de la misma manera que se ha hecho en el caso anterior. 4.3 DESARROLLO DEL CILINDRO Sea la superficie cilíndrica, frontal y oblicua, limitada por el plano horizontal y por un plano paralelo a una altura h; el desarrollo se efectúa de forma análoga a como se hizo con el prisma, hallando primero la sección recta, es decir, la sección que le produce un plano α(α1α2) cualquiera, perpendicular a las generatrices del cilindro.

1. Se divide la circunferencia de la base en un número cualquiera de partes iguales, por ejemplo en ocho; a continuación se trazan las generatrices A1A'1, B1B1, C1C'1... correspondientes a dichos puntos. Con el fin de que el desarrollo salga simétrico, la proyección horizontal A1 del primero de estos puntos debe encontrarse en la línea ficticia que une 01 y 0'1.

2. Se traza un plano α(α1α2) arbitrario, perpendicular a las generatrices del cilindro, de tal forma que sus trazas sean perpendiculares a las proyecciones homónimas de dichas generatrices; en nuestro caso resulta un plano proyectante vertical. A continuación se halla la sección que le produce el plano a obteniendo las proyecciones 112131...81 y 122232...82.

3. Se halla la verdadera magnitud 102030...80 de la sección abatiendo sobre el plano horizontal el plano α que la contiene.

4. Por tratarse de un cilindro frontal todas sus generatrices, así como las distancias que hay desde cada punto de la sección hasta la base, están en verdadera magnitud. Si se tratase de un cilindro cualquiera habría que girar una generatriz y todos los puntos de la sección de forma similar a como se hizo con el prisma.

5. En lugar aparte, sobre una recta r; se rectifica la sección 123456781, tomando las medidas de su verdadera magnitud, y trazando por dichos puntos rectas perpendiculares a r. Si se empieza por el punto lo 5 el desarrollo saldrá simétrico.

6. A partir de los puntos 1, 2, 3, ... se transportan, hacia abajo, las distancias 1A = 12A2, 2B = 2282, 3C = 32C2, ..., hallando, al unir los puntos A, B, C, ..., la transformada de la base inferior.

7. A partir de los puntos A, B, C, ... se transportan, hacia arriba, las distancias AA' = 88' = ... = 020'2; al unir los puntos A', B', C', ..., se halla la transformada de la base superior.

8. Finalmente se sitúan las bases inferior y superior del cilindro de tal forma que sean tangentes a sus correspondientes transformadas. Se aconseja trazar las circunferencias tangentes en los puntos A, A' o E, E', ya que la recta tangente común a


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la curva ya la circunferencia en dichos puntos es perpendicular a la correspondiente generatriz.

TEMAS 1-5 S DIEDRICO

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