Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.

A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.

Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.

Expresiones Expresiones booleanasbooleanas- Los dos posibles valores en el sistema booleano son 0 y 1 (falso y verdadero)- El símbolo ·  representa la operación lógica AND

- El símbolo + representa la operación lógica OR

- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario

Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.

.Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.

Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.

Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

PostuladosPostulados*P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT

*P2 El elemento de identidad con respecto a ·  es uno y con respecto a   es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT

*P3 Los operadores ·   y + son conmutativos.

*P4 ·   y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).

*P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.

*P6 ·   y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

TeoremasTeoremas•Teorema 1: x . 0 = 0

•Teorema 2: x . 1 = x

•Teorema 3: x . x = x

•Teorema 4: x . x = 0

•Teorema 5: x + 0 = x

•Teorema 6: x + 1 = 1

•Teorema 7: x + x = x

•Teorema 8: x . x =1

•Teorema 9: x + y =y + x

•Teorema 9: x + y =y + x

•Teorema 10: x . y = y . x

•Teorema 11: x + (y +z) = (x + y) + z = x + z + y

•Teorema 12: x (y . z) = (x . y) z= xyz

•Teorema 13a: (X (y +z)= (x.y) +x+z

•Teorema 13b: (w + x)(y + z)= (w.y) + (x.y) + (w.z)+(xz)

•Teorema 14:x + xy = x

•Teorema 15a: x + x . y = x + y

•Teorema 15b: x + x . y = x + y

X 0

X1

XX

X0

TEOREMA 1

TEOREMA 4TEOREMA 3

TEOREMA 2

TEOREMA 8

TEOREMA 6

TEOREMA 7

TEOREMA 5

X 0 X

1

X

0 X

X

X1

1

Características:Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)Y 3- Tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + xConmutativa respecto a la segunda función: xy = yxAsociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)Identidad respecto a la primera función: x + 0 = xIdentidad respecto a la segunda función: x1 = xComplemento respecto a la primera función: x + x' = 1Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

Función BooleanaUna función booleana es una aplicación de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.

El número posible de casos es 2n.  Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:Votos         ResultadoABCD1111              11110              11101              11100              01011              11010              01001              01000              00111              10110              00101              00100              00011              00010              00001              00000              0

Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1.

En nuestro ejemplo la función booleana será:f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD

La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas.

Implementación en circuitos Implementación en circuitos

Es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND

Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT.

La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, esto es sencillo si utilizamos los teoremas de De Morgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:

Circuitos Combinacionales

Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste echo, cada salida representa una función booleana diferente.

Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000.

A=0B=1C=1

1

0

D=1

11

10 2

En la figura la compuerta and 1 tiene las tres entradas del nivel 1 por que el INVERSOR cambia la expresion A=0 a 1. esta condicion produce un 1 en la salida de la compuerta AND, puesto que 1.1.1=1. la compuerta OR tiene entradas de 1 y 0 por lo cual produce una salida de 1 por que 1+0=1 este 1 se ivierte a 0 y se aplica a la compuerta AND2 producen una salida X de cero debido a que 0.1=0

Suponga que deseamos construir un circuito cuya salida sea Y= AC + BC + ABC esta expresion booleana contiene tres terminos (AC, BC, ABC)los cuales estan operados conpuerta OR. Lo anterior nos idica que se requiere una compuerta OR de tres entradas iguales como se muestra en la figura.

ACBCABC

y=AC+BC+ABC

Cada compuerta OR es un termino del producto del producto AND, lo cual significa que se puede una compuerta AND con entradas apropiadas para para generar cada uno de esos términos. Lo anterior se ejemplifica en la figura siguiente en la que se muestra el diagrama final del circuito Obsérvese el uso de INVERSORES para producir los términos A y C que se requieren en la expresión

A

BC

C

BC

B

C

A

AC

BC

ABC

Y=AC+BC+ABC

Dibuje el diagrama delo circuito para implementar la expresion x=(A+B)(B+C).Esta expresión indica que los terminos A+B y B+C son entradas de una compuerta AND y cada uno se genera a partir de una compuerta OR separada. El resultado se dibuja en la sig. figura

AB

C

B

A+B

B+C

x=(A+B)(B+C)

COMPUERTAS NOR Y COMPUERTAS NANDEn los circuitos digitales se utilizan ampliamente dos tipos mas de compuertas lógicas NOR y NAND. Estas compuertas en realidad combinan las operaciones básicas AND, OR y NOT, por lo tanto es relativamente simple escribir sus expresiones booleanas.COMPUERTA NORDEn la sig. Figura se muestra el símbolo de una compuerta NOR. Es igual al símbolo de la compuerta OR excepto que tiene un circulo pequeño en la salida, lo cual representa la operación de inversión.

SIMBOLO NORD

AB

Denota inversión

AB

CIRCUITO EQUIVALENTE

X=A+B

X=A+B

A B A + B A + B

0 0 0 1

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 1 0

OR NOR

TABLA DE VERDAD

En la sig. figura se muestra el símbolo de una compuerta NAND de dos entradas es el mismo símbolo de la compuerta AND excepto por el circulo pequeño en su salida. De nuevo este símbolo denota la operación de inversión . Así la compuerta NAND opera como una compuerta And seguida por el inversor .

Denota inversión

SIMBOLO NAND

AB

X=AB

AB

X=AB

CIRCUITO EQUIVALENTE

A B A B A B

0 0 0 1

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

AND NARD

TABLA DE VERDAD