I. EulersTEOREMAExtensión de Teorema € ™ s Eulerâ a norte -Dime nsion Espacios a1ITZHMXY.BAR-ITZHACK, Senior Member, IEEEGoddard Space Flight Center€ ™ s Eukrâ teorema establece que cualquier secuencia de rotaciones finitasde un cuerpo rígido se puede describir como una sola rotación de el cuerpo sobre un fijo axk en el espacio euclidiano tridimensional. losusual declaración de TH teorema en la literatura no se puede extenderLo Espacios euclídeos de otras dimensiones. Formulaciones equivalentesdel thcorem un dado y demostrado de una manera que hace no limitarlos a elel espacio euclidiano tridimensional. Por lo tanto, THteoremas equivalentes tienen en otra dimemiom La pruebadeunoformulación presenta un algoritmo queespectáculosCómoloconpute unmatriz angulardifferenceesorepresenls una sola rotación quees equivalenteala secuencia de rotatiom que han generado(élfinalnorte-reorientaciónEstaalgoritmoresultadosademásenuna constantevelocidad angular que, cuando se aplica a la orientación inicial,finalmente se obtiene la orkntation final, independientemente de lo angularla velocidad generada

elúltimo. La extensión del teorema esdenmnstrated en un ejemplo numérico de cuatro dimensiones. Por último,elasuntode la representación correcta de la velocidad angular ennorte-resi discutido.Manuscrito recibido enero 11,1989.IEEE Lug N ° 30692€ ™ s authorâ dirección: NASA, Goddard Space Flight Center, VueloAnálisis Dinámica de Poder, Código554,Greenbelt, MD 20â € ™ 771.Investigador Asociado Residente Consejo Nacional de Investigación. EnSabático de Echnion-Israel Institute of lkchnology, Haifa,Israel.0018-9251 / 89 / 1100-03 $ 1.00@IEEE 1989En 1775 Euler publicó un documento sobre la rotacióndecuerpos rígidos [L]. En ese papel, queeraescritoenAmérica, presentó el teorema cuya fotografía esse muestra en la Fig. 1. El teorema establece lo siguiente.De cualquier manera que una esfera se hace girar alrededor de su centro, essiempre es posible calcular un diámetro alrededor del cual una rotaciónbringi la esfera en coincidencia con su ubicación original.Una formulación de módem de este teorema establece lasiguiendo[2].Un cuerpo conjunto de ejes en cualquier momentotpuede siempreseradquiridoporlarotación sola del conjunto inicial de ejes.

Nosotros preferimos para formular este teorema como sigue.Independientemente de la forma en que un sistema de coordenadas se gira desdesu orientación original, siempre es posibleaencontrar un eje fijoen el espacio sobre el que una sola rotación de las coordenadas inicialesextremosala orientación final.Theorema.y omodocunquc/ phaerahaciacentrumtararearconuer-Tatur,bmpcr aflgnaritotalizador/diamcter,cuiusdireaio en/ matranslatoconueniatsemen/ maIdentificación del inu.fig. 1. Eulerâ € ~ s Teorema sobre la rotación de un cuerpo rígido, ya queaparecidoenel1775publicación.Teorema € ™ s Eulerâ sirve como piedra angular endeterminación de actitud [3-91 y seguimiento[7,9,101,En particular, siiies un vector unitario a lo largo del

ejede rotación y8es el ángulo por el cual lasus iniciales en sistema de coordenadasposeepara ser girado con el finacoincidiendo con el final, entonces D (fi, O), lamatriz de transformación de la inicial a la fmalsistema coordinado,esdada por [7-101qi, q=zcoso+(1-COSE) fiiiT-sine [solución] (1)dondeZdenota la matriz de identidad,Tdenota latranspuesta de la matriz, y [solución] denota el producto vectorialmatriz deii.La relación formulada en(1)puede tambiénexpresarse como sigueQII, e)=(2)donde8=88. La tasadecambio del vectorCantidad 8 como una funciónde

w,la velocidad angular enel cual el sistema de coordenadas gira, viene dada por [9,101LIEEE Transactions on AEROESPACIAL Y SISTEMAS ELECTRÓNICOS VOL. 25, NO. 06 de noviembre 19899

II.

FORMULACIONES SUPLENTES DE EULERâ € ™ S

TEOREMA

A. Angular-Matrix (discreta) Formulación

Denotar la matriz antisimétrica [Ox] por 0,

es,

o

= [Antiguo]

(4)

donde la expresión explícita para 0 es:

Ecuación

(2)

puede escribirse como

o (ii, e)

=

mi-@.

(6)

Deje que la orientación inicial de una determinada coordenada

sistema con respecto a algún sistema de referencia sea

expresado por la matriz de actitud

Hacer.

Supongamos ahora

que este sistema de coordenadas se gira desde su posición inicial

orientación por la secuencia de rotaciones

O1, O2 ,.

. .

,

Y.

Denotan las matrices de productos transversales que corresponden

a

el, y ,.

. .

,

OK

por

01,02 ,.

. .

, Y,

respectivamente. Entonces,

en vista de (6), la matriz de actitud que transforma las

referencia sistema de coordenadas a la final, y que

expresa la orientación de ese sistema, viene dada por

0.

(7)

re

-

e- @ k ... e- @ Ze-QID

F -

Por otra parte

F

=

e-OfDo.

(8)

(9)

ahora bien

De

#

0 k

+

. . .

+

0 2

+

01.

Nos damos cuenta de que la equivalencia entre

(7)

y (8) es

otra expresión del teorema € ™ s Eulerâ. Podemos, entonces,

formular el teorema € ™ s Eulerâ también de la siguiente manera.

Independientemente de la forma en que un sistema de coordenadas se gira desde

su orientación original, siempre es posible expresar la final

Orientación del sistema por la matriz actitud Df donde

Df

=

e- @ f

Hacer

y 0s es una matemáticas antisimétrica.

Podemos este discreta formulación debido a la rotación

expresada por

De

es equivalente a la discreta

k

rotaciones expresadas por el individuo

0i

(yo

=

1,2,

...,

k)

matrices.

B. Angular-Rate (continua) Formulación

€ ™ s Eulerâ Teorema dio lugar a

(1)

y (3) la cual

indicar cómo encontrar la orientación de una coordenada

sistema, en cualquier momento dado

tf,

con respecto a su inicial

orientación a la hora de hacerlo, si

w (t),

la historia de su tasa de

rotación, es conocido por que

<

t

<

tf; a saber,

w (t)

se utiliza

en (3) para resolver

Antiguo Testamento)

y luego, se utiliza esa solución

en (1)

para obtener la orientación requerida especificada por

D (tf).

La matriz de actitud

D (tf)

puede ser calculada en

sin embargo, de otra manera, ya que la tasa de cambio de

D (t)

como

una función de

w (t)

está dada por la matriz conocida

ecuación diferencial

b (t)

=

- [w (t) x] D (t).

(10)

La matriz [w (t) x] se define en los componentes de

w (t)

cuando este último se resuelve en

el

cambiar (final)

sistema coordinado. También denotamos esta matriz por R (t);

eso es,

Por lo tanto

(10)

se puede escribir también como

R (t) =

[w (t) x].

(11)

B (t)

=

-II (t) D (t).

(12)

Se da la expresión explícita para R (t) (o [w (t) x])

por la matriz antisimétrica:

1

[

--W2 (T)

-Wl (T)

0

0

--W3 (T)

-W2 (T)

R (t)

=

3 (t)

0

- (T)

.

(13)

Hay, pues, una equivalencia entre el par

(1)

y

(3)

por una parte, y

(12)

por otro lado.

Teorema € ™ Eulerâ s, básicamente, que siempre

existe un vector O (tf) que especifica la orientación

independientemente de los cuales

w (t)

generado que O (tf).

En consecuencia, cualquier

w

(t)

que satisface la siguiente

dos condiciones, hace girar el sistema de coordenadas inicial

en la misma orientación final

Mientras que la verdad de la última proposición es evidente por sí mismo,

también puede ser fácilmente verificado por la solución de (3) para cualquier

velocidad angular

w (t)

que satisface las condiciones

(14).

Dado que cualquier

w (t)

que satisface

(14)

gira el inicial

coordenadas en la misma orientación, entonces, ciertamente

el vector de velocidad angular constante especificada por

gira las coordenadas iniciales en la misma orientación

y ya que según el teorema € ™ s Eulerâ tales

mi(?,)

siempre existe, entonces dicha constante

w

existe también. Por último,

ya que una constante tal

w

existe entonces, siguiendo

(4)

y

(ll),

también existe una constante correspondiente

matriz

R

(16)

1

R

=

--De

tf

-a

que cuando se utiliza en la solución de

(12),

se obtiene la

D (tf)

que corresponde a O (tf). Por lo tanto, en vista de la

la equivalencia entre el par

(1)

y (3), por una

parte, y(12)Por otro lado, podemos una fraseformulación equivalente del teorema de Euler de la siguiente manera.Independientemente de lo que la matriz fl (t) genera D (tf), es siemprepwibleaencontraruna matriz constante antisimétricaFloridacualgenera los mismosD (rf).Llamamos a esta formulación continua porque se relacionaal cambio continuodela orientación como una

resultadodela existenciadeuna velocidad angular a la que lacambios de orientación.Ill. REPRESENTACIÓN DE ROTACIONES ENnorte-reDenotan la dimensión de un espacio euclidiano pornorte.La matriz de rotación ennorte-RE,ser una matriz cuadrada,consiste enn2elementos. Sin embargo, la ortogonalidadde los impone la matriz(norte+l) n / 2restricciones en él.En consecuencia, una matriz de rotación ennorte-reSólo tienemetro=(norte-l) n / 2parámetros independientes. Eso es unmatriz de rotación ennorte-rese define por exactamentemetro=(norte-

l) n / 2parámetros. Consideremos ahora la rotación 3-D.Comoindicado por(1)y de hecho según lo declarado por Euler [l,111el vector6 (tf)en sus tres componentes contienela información necesaria y suficiente para especificarla rotación 3-D. Del mismo modo la rotación ortogonalmatrizD (tf)contiene tres parámetros independientesaunque tiene nueve elementos.Asi queel caso 3-D esúnico en quenorte=metroy la rotación se puede describirya sea por un vector o una matriz. En todas las otras dimensiones,aunque,norte#metroy desdemetrose necesitan parámetros paradefinir la rotación, un vector con sunorteelementos no puedenespecificar una rotación. Rotación matrices sin embargo, con sumetroparámetros independientes, hacen especificar la rotación.Del mismo modo, un vector no puede especificar velocidad angularennorte-redondenorte#

metro;sin embargo, velocidades angulares hacenexiste ennorte-RE.Su representación correcta ennorte-rese discute en la SecciónVI.Por el momento estamoscentrar nuestra atención en las matrices de rotación y en laextensióndeTeorema de Euler paranorte-RE.que la versión originaldeTeorema de Euler o cualquierdesus variantes que se presentan en la sección I no son extensiblesanorte-remientras que la formulación alternativodeEulerTeorema dada en la Sección I1 puede extenderse aDakota del Norte.Comouna consecuenciadeesta discusión, se concluyeIV. El teorema de Euler ENnorte-reEn vistadela conclusión extraída en la Sección 111, el

formulaciones generales del teorema de Euler ennorte-rese thme dado en la Sección11.Primero vamos a abordar laangular de matriz (discreto) formulación y reformular enun marco más general por el siguiente teorema.TEOREMA1. Dadas las matrices unitarias arbitrariasHaga = D (a)yDf=D (tf), entonces Df puede ser aZwaysexpresado en la forma:Df=e- "Do(17)dónde0es unasesgarMatriz hermitiana.Dado que la matriz de rotaciónesortogonal, laformulación angular de matriz del teorema de Euler es unespecialcaso de este teorema. Aunque el teoremano es nuevo (véase, por ejemplo,[12,ejercicio 4,p.346]),para elabundamiento presentamos aquí una prueba de laTeorema.PRUEBA.Definir la matriz unitariare=Df D $

(18)donde+denota la transpuesta conjugada de una matriz.Desderees unitario, también es normal ycomotalellotiene nvectores propios ortogonales (ver Apéndice,TeoremaAlabama).Definir una matrizVcuyas columnas sonlos vectores propiosde D.entoncesVesunitario. Dado que lavectores propiosde Dformar un conjunto ortogonal, entoncesre=VGV '(19)dondeGRAMOes la matriz diagonaldelos valores propiosdere(verA2).Ahora bien, comorees unitario, sunortevalores propiosgl, g2 ,.

.

.,gramo,tumbarse en el círculo unitario del plano complejo(verA3);eso es,soldado americano=ej + i,i =1,2, ...,nortedondej=(-1) * L2y$ ies la fase de la i-ésimavalor propio. Formemos una matriz diagonal00 =diag {- $ l, +, ..., - Y}.(20)G =ej *.(21)0= V j W +(22)(23)mi-"=VGV '.(24)re=mi-".(25)Entonces, obviamente,Siguiente definimos una matriz constante

0comoentonces (ver A4)eQ=e - vj @ +=ye-j @ y +.Sustituyendo(21)dentro(23)obtenemosUna comparación entre(24)y(19)rendimientosLuego desde(18)y(25)obtenemosDf=e- "Do.Acompletar la prueba de que todavía tenemos que demostrar que0eshemi-hermitiana. De(25)(26)(27)-e +D + = e.también(verA5)D-1=pero desderees unitario

D +=RE-'BAR-ITZHACK:EXTENSIÓNDel teorema de Euler para n-dimensional ESPACIOS905

Página 4por lo tanto el lado derechode (26)es igual a lade(27), en consecuencia8 '=-8.Estacompleta la demostración.Con Teorema1a la mano estamos listos ahorafrente a la velocidad angular formulación (continua) deTeorema de Euler. Aquí también replanteamos este último en unmás marco general de la siguiente manera.TEOREMA2.Dadas las matrices unitarias arbitrariasHacer=D (a) y Df=D (tf), entoncesDfposiblesiempre séobtenido como una solución dede(12) con la condición inicial¿De dónde0es una matriz hermitiana inclinación constante.Tenga en cuenta que debido a la ortogonalidad de la rotaciónmatriz, la formulación de velocidad angularde

EulerTeorema constituye un caso especial del último teorema.La siguiente pruebadeeste último se basa en laex teorema.PRUEBA.De Teorema1Df=Por otro lado, la solución (12) cuandoResconstante esde=en (tf-ro) Do.La igualdaddeestos rendimientos(28)a = --para tfeso es; no importa queR (t)generadoDe,podemossiempre encontrará una constanteRDe acuerdo a(28)para cualla soluciónde(12) con la condición inicialHACERrendimientosDfatf.Desde0es

hemi-hermitiana, y luego, a partir de(28),Res hemi-hermitiana también. Esto concluye la prueba.Podemos considerarRcomo una velocidad media calculadapor(28).(La capacidad de expresar la velocidad angularporlamatriz se demuestra en la SecciónVI).Nosotros notamosesoRno es el promediode R (t);eso es,R#+ / R (t) dt ".aaEsta desigualdad esconocidoen 3-D comono conmutatividad.(Otra expresión de la no conmutatividadderotaciones es la desigualdad expresada en (9)).Los teoremas anteriores se extienden teorema de Eulerendos caminos. Primero se tratan con el generalnorte-remás bienque en el caso 3-D y en segundo lugar que se extienden de EulerTeorema a la transformación unitaria (complejo).Formulación original de Euler es, entonces, un caso especial delos teoremas anteriores.V. NUMÉRICA EjemploA

demostrar los hechos señalados en la SecciónIVtraemos un ejemplo de cuarto orden en el que se muestracómoDe ,que se obtiene como resultado de la soluciónde (12) para una cierta velocidad angular variable en el tiempomatrizR (t)se puede obtener mediante la solución de (12)con una matriz de velocidad angular constanteR.a saber, con uno ortogonal. También por simplicidady sin pérdida de generalidad, que elegimosHACER=YO.Nosotrosutilizar primero el siguiente tiempo VaryingR (t)para resolver (12)dea=0.atf=0,5 s.Para simplificar nos ocupamos de una matriz unitaria especial;11.31.5t20. y 3rO.-1ª0.-0.9sin (6,2 y) -0,95 / (1.-t)-1.5t20.9sin (6,2 y)0.0.75

Nuevo Testamento)=L-0.8t30,95 / (1.-t)-0.750.1(30)Esto produce la siguiente solución entf:0.98130682 -0,15805594 -0,08266215 -0,072264890.18388549 0.761803410.217770620.581736740.04691911 -0,102217270.% 379 421 -0,24176631-0.031% 326 -0,619859260.129783070.77324588o =[La siguiente matriz vector propio deDfes obtenidoutilizando la rutina EIGZF de la biblioteca IMSL:V =-0.038+j0.161 -0.03- j0.1610.687 + jo.0.687 + jo.0.683+ j0.0.683+ j0.0.037-j0.1770.037 + j0.177-0,170+j0.184 -0,170-j0.184 -0.052-j0.659 -0.052+

j0.659yo0,056+j0.6640,056-j0.664 -0,151+j0.181 -0,151-j0.181La misma rutina también produce los siguientes valores propiosdeDe:g1= 0,7452+j0.6668=ejo.mg2= 0,7452-j0.6668 =e-jo.mg3=0.9949+j0.1012=ejo.l0l3g4=0.9949-j0.1012 =e-jo.l0l3La matriz diagonalj @se calcula de acuerdo con (20)y se utiliza en (22) y (28) para calcular la siguienteconstante de matriz de velocidad angular:yo

0.00000000 0.371477070.123874420.04981448-0,37147707 0,00000000 -0,35388342 -1,31771209-0,12387442 0,353883420.000000000.40459905-0,04981448 1,31771209 -0,404599050.00000000n =[(31)Cuando ahora (12) se resuelve con la condición inicialHACER=ZEmpezando pora=0entonces, como se esperaba,Df906IEEE Transactions on AEROESPACIAL Y SISTEMAS ELECTRÓNICOS VOL.25,NO.611 1989WO bb no. Lla0io0clerospke yelectrónicosystans01302007[4]010/18/1888009:33

La solución obtenida se en el momentot=0.5.Por último, parademostrar la desigualdad presentado en(29)nosotrospromedio de R (t) dada en(30).El promedio resultante es:0.0,3750,1250.0251-0,3750.-0,573 -1,317-0,125 0,5730.0,750-0,025 1,317 -0,7500.Obviamente este último matriz difiere de la constantematriz angularRdada en(31).VI.ANGULARLA TASAENDakota del NorteComoexplica en la Sección 111, velocidad angular no puedeexpresarse ennorte-repor un vector cuandonorte#3.

Susrepresentación adecuada en espacios cuya dimensión esotro que3ahora se discute.Recordar(12)b (t) = R (t) D (t).(12)La matrizrepuede ser vistocomouna transformaciónmatriz que transforma componentes del vector en unanorte-reEspacio euclidiano. En particular, se transforma unaconjunto de vectores unitarios, que forman una de coordenadas cartesianassistema, a otro como conjunto. Dejar11sdenotar la antiguacomo el sistema inicial y la segunda como la coordenadafinal. Las filasdereson componentesdeunidadvectoresdeel conjunto inicial resuelto en la última cartesianatal sistema de coordenadas quedj, jes el componente i-ésimoen el sistema finaldeel vector unidad j de la inicialsistema coordinado. De(12)nortey, j=-wi, kdkJ

k = lpor lo tantow +es el peso relativo que el k-ésimocomponente en el sistema final,deun vector unitario enel sistema inicial, tiene sobre la tasadecambiardeelcomponente i en el sistema finaldela misma unidadvector en el sistema inicial. Tenga en cuenta que este peso esindependientede j; es decir, dequé unidad vector en la inicialsistema que consideramos.lbdarW; Jun más descriptivointerpretación yverel papelde Rmas claramente,considera el3-Dcaso en el que, por ejemplo=-W + I 4, l - w3,2d21.(32)(Tenga en cuenta que el términoW3,3d3,1fue bajado desdew3,3=0para sesgar-simétricaR).En3-D (32)

puede escribirse comolicenciado en Derecho=-2d1,1+wldzl(33)dondew1yw2son las velocidades angulares respectivas enque el sistema de coordenadas de la final de forma instantáneagira alrededor de su1y2ejes. Los componentesw ;,yo=1,2,3,son esosdeel3-Dvector de velocidad angularque describe la rotación instantánea de la finalsistema. En3-DWisconsines también la velocidad angular a la que lajejegira hacia lakeje,yasi queen en un cíclicoforma dewjysem.De hecho una comparación entre

(32)y(33)revela quew2=W3, l-W1=w33Llegamos a la conclusión de que la siguiente se puede decir deRen3-D.1)Los elementos deRson velocidades angulares.2)Cada uno de los componentesRes una tasadegirodeunoeje de coordenadashaciaotra de tal manera quewp, qesla velocidad angular a la cualejepgira hacia el ejeq. Obviamente,wp, q=- W,.3)Ambospy los ejes q giran a la velocidad angularwp, qalrededor del eje

r.4) Los elementosde$ 2 son componentesdeun angularvector velocidad.Cuando pasamos anorte-RE,nos damos cuenta quela observación precedente no puede ser completamente extendidade 3 anorte-RE.Ennorte-reRposeemetro=n (n-1) / 2componentes independientes de tal manera que los elementos deRno podersercomponentesdeun vector tasa cuyo númeroes necesariamenten. Nosno puede, por lo tanto, considerar laelementos deRtasas tan angulares sobre (coordenadas) ejes.Por consiguiente,delas cuatro característicasdelos elementos

deRen3-D,mencionado anteriormente, lasólolos que tambiénprevalecer ennorte -reson1)y2).Al darse cuenta de que las velocidades angulares ennorte-reno poderser descrito por un vector, uno es motivado para examinarla posibilidaddeexpresar la velocidad angular por unatensor.Alograr eso, elegir uno, decir que el ITH,la columna de b (t) y la columna i-ésima de laD (t)ydesignarlos correspondientemente por dyrede tal manera qued = [&, &, ..., d,] T y d =[dl, d2, ...,&ELLO.Usandosus componentes que se expresen como vectores en la mismaarbitrariamente elegido tal sistema de coordenadas quedonde71,? 2 ,.. .,?norteson vectores unitarios a lo largo de la coordenada

ejes1,2 ,.. .,norte,respectivamente. Del mismo modoDefinir un tensor de segundo ordenlautilizando elelementosde Rcomo sigue-R=i & O+i y w1,2+. . .+ILT "W1"+? 2ilW2J+A+. . .+? 2? N, w2 "entonces, evidentemente,-d =-fizBAR-ITZHACK: EXTENSIÓN DE teorema de Euler PARA ESPACIOS n-DIMENSIONALES907

Página 6esoes,cuando se tratan los componentes de velocidad angularcomo elementos de un tensor de segundo orden,(12)es totalmentesatisfecho.

LAtensordela segunda fila es también conocido comodiádica[15].El hecho de que la tasa angular en3-Des básicamenteun tensor es conocida[16, 171pero no se refleja en elliteratura aplicada. La razón de ello se deriva, tal vez,de la posibilidad única de expresar velocidades angulares en3-Dpor un vector tal que su descripción como un tensorpodría haber sido percibido como un mero filosóficaformalismo. (Incluso cuando son tratados como un tensor, el angulartasa suele ser quedela3-Dsistema coordinado).De hecho, la creación, en3-D, deelasi quedenominado â € œvectormatrizA entre productos € basa en la velocidad angularvector está concebido como un truco útil en lugar de unarestauración de la verdadera descripción matemáticadeelde velocidad angular.Asi queel momento, la consideración de tasas angularesen dimensiones superiores a3probablementeerano requeridoni conocido. Por lo tanto, no se reconoció que en mayordimensiones de la velocidad angular no puede ser descrito porun vector, pero deben ser descritos como otra entidad, yque la capacidad de describirlo en

3-Dpor un vector es sóloun asuntodebuena fortuna. (De hecho, incluso en2-Delvelocidad angularesverdaderamente no expresable como un vector. Estaesevidente cuando observamos que la expresiónderotaciónen un plano por un vector normal a la misma es necesariamente una3-Dexpresión. La correcta y sólo2-Dexpresión esodonde la primera expresiónesen una forma de tensor y lasegundo es en forma de matriz). Otra posible causa deel despreciodeel hecho de que la velocidad angular es un tensorderiva del hecho de que el tensordeel segundorango; es decir, el diádica, es reemplazable por una matriz (como sedemostrado en la última2-Drepresentación y en(12)).Por lo tanto, todos los trabajos prácticos en cualquier dimensiónpuede llevarse a cabo sin recurrirael tensorconcepto.VII. CONCLUSIONES€ ™ s Eulerâ teorema fundamental de la capacidadpara describir cualquier orientación de un cuerpo rígido como unarotación individual y las diferentes versiones conocidas deeste teorema no se puede extender directamente a otra

dimensiones porque todas las formulaciones conocidas dependen deel conceptode ejede rotación que no existeen dimensiones distintas de tres. Sin embargo, cuandose reconoce que el generalnorte-rerotación esno se caracteriza por unaejede rotación sino más bien poruna matriz de diferencia de angular o por una velocidad angular-matriz, Teorema € ™ s Eulerâ puede reformularse en3-Denmaneras que son equivalentes a la otra conocidaformulaciones y a continuación, las nuevas formulaciones pueden serextendido anorte-RE.Presentamos las nuevas formulacionesen3-Dy luego hemos demostrado que valen para cualquierdimensión. Una de las nuevas formulaciones establece queno importa queerala secuenciaderotaciones queresultado en la orientación final, siempre es posibleexpresar la matriz de rotación como una función exponencialde una matriz angular diferencia antisimétrica. losotra nueva formulacióndeTeorema € ™ s que EulerâNo importa cómo los cambios en la matriz de velocidad angularcomo una función del tiempo, siempre podemos encontrar una constantematriz de velocidad angular que se traducirá en idénticacambio de orientación durante el mismo intervalo de tiempo.necesarios para calcular la matriz angulardifferencey la matriz de velocidad angular constante equivalente

Una vez que el inicial y las actitudes final, así como lase dan intervalo de tiempo.Ademostrar el nuevoformulaciones del teorema y su extensibilidad adimensiones distintas de3se utilizó el algoritmo para resolverla4-Dejemplo. El ejemplo demuestra claramentela capacidad de alcanzar la misma orientación final utilizando unaconstante de matriz de velocidad angular.Desde vectores no pueden describir velocidades angularesen espacios cuya dimensión es distinto de3,elcuestión de la representación matemática adecuadadese discutió velocidades angulares. Se demostró quela forma correcta de representar a velocidades angulares es portensoresdela segunda fila, también conocido como diádica. losEstos últimos son reemplazables por matrices, por lo que de hecho lavelocidad angular ennorte-rese expresa correctamente por unhemi-simétrica matriz.La prueba de los teoremas suministra el algoritmoAPÉNDICEEstaApéndice enumera algunos teoremas conocidos quese utilizan en la pruebadeel teorema en el extendidoEuler teorema.Al. Un conjunto de vectores propios ortonormales n puede serA2Una matriz puede ser reducido a una matriz diagonalencontrado para un nX

n matriz normal [13,p.761.por un transjiormation simihritysiy sólo IFA conjunto den linearb vectores propios independientes se pueden encontrar [13,. 721 p.A3.valor absoluto 1 [14, p. 1.291.Los valores propios de una matriz unitaria tienenA4. ZfA=€ ™ TJT-A, entonces f (A)=Tf (J) T-â € ™ [13,COMO.Si A=eB entonces A-â € ™=eB.PRUEBA.Desdesegundoy-SEGUNDOconmutar, a continuación,EBE-â € ™=reflujo=YO.Por lo tantoP-801.Ae-â € ™=YO.AsíA-â € ™--MI- mi.

908IEEE Transactions on AEROESPACIAL Y SISTEMAS ELECTRÓNICO