TEORÍA DE LOS NÚMEROS

PEDRO ECHEVERRÍA SÁNCHEZ

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOSNúmero primo Es aquel que tiene exactamente dos divisores: él mismo y la unidad. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, ......El número 2 es el único número primo par.Los números compuestos son todos aquellos que no son primos, es decir, tienen más de dos divisores.El número 1 no es primo, pues únicamente tiene un divisor; tampoco es compuesto. El 1 es llamado unitario.

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplo de un número Es aquel que lo contiene un número exacto de veces. 15 es múltiplo de 1, 3, 5, 15; 35 es múltiplo de 1, 5, 7 y de 35; 8 es múltiplo de 1, 2, 4 y 8 etc. Los múltiplos de un número se forman multiplicando ese número por la serie infinita de los números naturales. Por ejemplo, los múltiplos de 3 se obtienen así:

= 3•{0, 1, 2, 3......} = {0,3,6,9,12…}

3

3

Divisor de un número Es aquel que lo divide un número exacto de veces. Por ejemplo, 3 es divisor de 6; 4 es divisor de 12; 5 es divisor de 15, etc.

Los divisores de 15 son: 1, 3, 5, 15; por otra parte, 15 es múltiplo de 1, 3, 5, 15.

Los divisores de 60 son 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Son conjunto de reglas que ayudan a determinar cuando un número es divisible entre otro sin necesidad de estar haciendo la operación.

Divisibilidad por 2Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.8, 14, 54, 382, 1876 son divisibles por 2.

Divisibilidad por 3Un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo componen, es múltiplo de tres.

6, 21, 69, 255, 1356 son divisibles por 3

Divisibilidad por 4Un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades y decenas) son dos ceros (00) o son divisibles por cuatro. Doce es divisible por cuatro por lo tanto 512 es divisible entre cuatro. Al igual que: 204 y 780, 7500...

Divisibilidad por 5Un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 o 5.20, 45, 765, 1040… son divisibles por 5

Divisibilidad por 6Un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.

36, 66, 2436… son divisibles por 6

Divisibilidad por 7Un número es divisible por 7, si el número que se obtiene al separar el último dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el número que queda, es múltiplo de 7.Esto se ve complicado pero observa: el número 98 es divisible por 7 porque Se separa el 9 del 8, ahora se multiplica 8 x 2 = 16 y se resta 16 –9 = 7245 es divisible por 7. porque se separa el último dígito, el 5; queda 24. Ahora se multiplica 5 x 2 = 10 y se resta 24 – 10 = 14

Divisibilidad por 11Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par de derecha a izquierda es cero o múltiplo de 11.

Por ejemplo, el número 1892 ¿será divisible entre 11?

Sumamos: 2 + 8 = 10 suma del valor absoluto de las cifras

de lugar par

9 + 1 = 10 suma del valor absoluto de las cifras de lugar impar

10 – 10 = 0 Encontramos la diferencia. Como es cero, entonces 1892 sí es múltiplo de 11.

62656 es divisible entre 11, porque:6 + 6 + 6 = 18 5 + 2 = 7 18 – 7 = 11

Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.Divisibilidad por 10Un número es divisible por 10, si su último dígito es 0.Divisibilidad por 100Un número es divisible por 100, si sus dos últimos dígitos son cero. .

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOSDescomponer un número en sus factores primos es convertirlo en un producto indicado de factores primos.

Procedimiento

•Se divide el número entre el número primo más pequeño que lo divida exactamente.

•Se divide el cociente de la división anterior entre el siguiente número primo que dé división exacta.

•Se continúan efectuando cálculos hasta llegar a un cociente igual a uno.

El número que se descompuso en sus factores primos debe ser igual al producto de todos los divisores resultantes.

EJEMPLO 1Descomponer en factores primos el número 64 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 64 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 26

EJEMPLO 2Descomponer en factores primos el número 182 182 2 91 7 13 13 182= 2 x 7 x 13 1

EJEMPLO 3Descomponer en factores primos el número 78 78 2 39 3 13 13 78= 2 x 3 x 13 1

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El m.c.d. (máximo común divisor) de varios números es aquel que como su nombre lo indica, es el mayor número que divide exactamente al grupo de números dados. Puede encontrarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor común (primo) y mediante divisiones sucesivas terminar cuando los números que quedan sean primos entre sí, es decir, no tienen ningún divisor en común a excepción del 1.

EJEMPLO 1 Encontrar el m.c.d. de 20 y 80. 20 80 210 40 2 m.c.d. = 2 X 2 X 5 = 20 5 20 5 1 4

1 y 4 tienen un único divisor en común que es el 1, por lo tanto ahí termina el proceso.

EJEMPLO 2 Encontrar el m.c.d. de 55, 66, 275 55 66 275 11 5 6 25 m.c.d. =11

El proceso termina ahí, porque 5, 6 y 25 no tienen ningún divisor en común a excepción del 1 (en éste caso, se dice que 5, 6 y 25 son primos relativos ó primos entre si).

APLICACIÓNSe tienen 3 varillas de 60 cm, 80 cm y 100 cm de longitud respectivamente. Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud. ¿Qué longitud tendrán? ¿Cuántos pedazos obtendríamos de cada una? ¿Cuántos obtendremos en total?

60 80 100 230 40 50 2 m.c.d = 2031 20 25 5 3 4 5

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El m.c.m. (mínimo común múltiplo) de dos o más números es el menor número que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos, es decir, es el menor número natural que es múltiplo común de esos números. Para obtener el m.c.m, Se divide cada uno de los números dados por su menor divisor primo sucesivamente hasta obtener que todos los cocientes sean 1.

EJEMPLO 1Encontrar el m.c.m. de 32 y 80

32 80 216 40 2 8 20 2 4 10 2 2 5 2

1 5 5 1 1

El m.c.m. de 32 y 80 es = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 5 = 25 x 5 = 160

EJEMPLO 2Encontrar el m.c.m. de 18, 24 y 4018 24 40 2 9 12 20 2 9 6 10 2 9 3 5 3 3 1 5 3 1 1 5 5 1 1 1 El m.c.m. de 18, 24 y 40 es = 2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 = 360

APLICACIÓNTres avisos luminosos encienden sus luces así: el primero cada 6 segundos, el segundo cada 9 segundos y el tercero cada 15 segundos. A las 7 de la noche se encienden simultáneamente los tres avisos. ¿Cuántas veces coinciden encendidos los avisos en los 9 minutos siguientes?

6 9 1512 18 3018 27 4524 36 6030 45 75 . . . . . .90 90 90

Calculamos el m.c.m. de los números

6 9 15 23 9 15 31 3 5 31 1 5 51 1 1

m.c.m. = 2x3x3x5 = 90Esto significa que cada 90 segundos coincidirán encendidos los tres avisos. Ahora bien, en 9 minutos tenemos 540 segundos; 540/90 = 6

Respuesta: los avisos coincidirán encendidos 6 veces en los próximos 9 minutos.