PRESENTACINLa investigacin realizada por el equipo 1 de la asignatura seminario de investigacin matemtica se hizo con la intencin de no slo coordinar sesiones de trabajo en la presentacin y anlisis del tema central, sino tambin, con el propsito de dejar evidencia de la extensa indagacin hecha por los integrantes del equipo, plasmando en este documento con datos recopilados de diversas fuentes, as como el anlisis de dicha informacin. Cabe mencionar que la base de nuestra fuente de consulta se apoy en ponencias y seminarios llevados a cabo en nuestro pas y a nivel internacional; por lo que las diferentes interpretaciones, al igual que los diferentes argumentos y aplicaciones los hemos analizado para poder entender dicha teora, la cual nos lleva a establecer definiciones y formas de aplicacin que van de la mano del contexto en el que nos desenvolvemos con los alumnos de escuelas secundarias Por ello, esperamos que la investigacin de esta teora que ha sido de gran utilidad en la enseanza de la geometra y aplicada en los modelos de enseanza de la geometra en diversos pases resulte significativa para los alumnos que conforman el seminario de la asignatura; siendo la discusin, la lluvia de ideas y las preguntas lo que se propicie en las sesiones de trabajo. Adems, se espera que los integrantes de este seminario hagan suya esta teora y la apliquen en su prctica docente cuando desarrollen temas de geometra con sus alumnos de secundaria. Esperamos que este documento cumpla las expectativas del trabajo de seminario, de tal forma que las personas que participen en el seminario cuenten con una rplica de dicho trabajo para que recurran a l como apoyo en la realizacin de sus planes de clase relacionados con temas geomtricos y que desarrollen en sus alumnos las habilidades marcadas en cada nivel para su mayor conocimiento geomtrico.

Los ponentes.

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INTRODUCCINLa teora de Van Hiele ha sido el camino favorable para la enseanza de la geometra en las ltimas dcadas, su metodologa y argumentacin de la misma ha favorecido a que los estudios sobre matemticas educativas se vuelvan ms amplios, dando pie a que diversos investigadores partan de dicha teora para investigaciones de este rubro. Cabe mencionar que a pesar de que una considerable cantidad de investigadores ha pretendido llevar este modelo de razonamiento geomtrico propuesto por los Van Hiele a otras ramas de las matemticas ha sido fallido debido a que no les arroja resultados similares a los que se obtiene al aplicar el modelo de Van Hiele en contextos geomtricos. Dado a esta situacin, nuestra intencin al desarrollar esta investigacin es proponer esta teora para la enseanza de la geometra y despertar la inquietud de los compaeros normalistas en la especialidad de matemticas a indagar en los estudios que se realizan de matemtica educativa. La investigacin la desarrollamos en tres captulos, el captulo I damos la referencia de cmo surge esta teora?, adems de la explicacin de cada uno de los niveles de pensamiento y por qu consideramos el inicio de la numeracin de los niveles del 1 al 5, y no del 0 al 4 como la mayora de los investigadores lo han propuesto. Adems, damos a conocer las caractersticas que llevan al anlisis de cada nivel. Para el captulo II, damos a conocer las fases de aprendizaje mediante un proceso, dicho proceso va dirigido al educador para llevarlo a la prctica en contextos escolares y desarrollar en sus planificaciones el mtodo adecuado para desarrollar algn nivel de razonamiento. Por ltimo, en el captulo III mencionaremos las ventajas y comparaciones que existe entre el mtodo de Van Hiele con el mtodo Piagetano, adems de que proponemos dos actividades como muestra de la aplicacin de esta teora para la enseanza de la geometra. Por lo nos compete a nosotros como docentes en la especialidad de matemticas, es importante estudiar intensamente los componentes de esta teora, con ello tendremos un perspectiva en primera, de aprender una gran nmeros de contenidos geomtricos tratando de alcanzar hasta el ltimo nivel de pensamiento. En segunda, llevar a la prctica las fases de aprendizaje en las planeaciones y secuencias didcticas que realicemos para la enseanza de la geometra en la escuela secundaria. Con ello obtendremos aprendizajes significativos reales y el nivel de razonamiento del docente y los alumnos obtendrn un desarrollo favorable para llevarlo a la prctica cotidiana y para estudios posteriores en esta rea. 4

CAPTULO I.-DATOS HISTORICOS, NIVELES DE RAZONAMIENTO Y SUS CARACTERSTICAS.1.1 Cmo surgi la teora de Van Hiele? 5

Al decir de De la Torre (2004), entre los continuadores de Piaget, se encuentran los esposos Pierre y Dina Van Hiele, quienes introdujeron en Holanda, a partir de 1957, el modelo de los niveles de pensamiento (Stucture anf Insignht: A theory of mathematics education) con el propsito de desarrollar en lo alumnos de escuela bsica el insight en la geometra. El modelo despert de inmediato el inters de los psiclogos en la unin sovitica hasta el punto que A. M. Pyshkalo en 1963 lo tom como base para su programa de enseanza de geometra. En los Estados Unidos, Izaak Wirszup introdujo formalmente las ideas de los Van Hiele mediante la conferencia titulada Some Breakthroughsin the psychology of learning and Teachers of Mathematics (NCTM), de Atlantic City, realizado en 1974. Algunas publicaciones hechas por Freudenthal, Hoffer y Coxford ayudaron a despejar el camino. Cabe mencionar que este modelo realizado por los Van Hiele fue una propuesta para obtener el grado Doctoral y fue presentado en la Universidad de Utirecht, Holanda. En el artculo de Gutirrez A. y Jaime A. (1991) acerca del modelo de razonamiento de Van Hiele nos dice que a partir de su experiencia docente y de las dificultades de comprensin que observan en sus alumnos, los Van Hiele elaboraron un modelo que por una parte explica cmo se produce la evolucin del razonamiento geomtrico de los estudiantes y, por otra parte, cmo puede un profesor ayudar a sus alumnos para que mejoren la calidad de su razonamiento, por lo que hace esta teora sumamente atractiva. Datos publicados en la enciclopedia de Wikipedia nos mencionan que la idea bsica del modelo, expresado en su forma sencilla es: El aprendizaje de la geometra se hace pasando por niveles de pensamiento. Estos niveles no van asociados a la edad, y cumplen las siguientes caractersticas: No se puede alcanzar el nivel n sin haber pasado por nivel anterior n-1, o sea, el progreso de los alumnos a travs de los niveles es invariante. En cada nivel de pensamiento, lo que era implcito, en el nivel siguiente se vuelve explicito. Cada nivel tiene su lenguaje utilizado (smbolos lingsticos) y su significatividad de los contenidos (conexin de estos smbolos dotndolos de significado). Dos estudiantes con distinto nivel no pueden entenderse.

Los niveles son 5 y se suele nombrar con los nmeros del 1 al 5, como los nombran algunos autores; (Gutirrez, A. Jaime, A. 1991) sin embargo, es ms utilizada la notacin del 0 al 4 (Fouz, 2001) y (Hoffer; Cit, por De la Torre, 2004). 6

A pesar de que la forma de comenzar la numeracin no incide en el orden de los niveles y las caractersticas ya mencionadas, para la comunidad cientfica e investigadores de la matemtica difieren de ella argumentando el por qu se debe comenzar del 1 al 5 o del 0 al 4. Para este caso, nosotros comenzaremos a nombrar los niveles del 1 al 5, partiendo de la idea del significado del cero y que el alumno posee un conocimiento previo, ya sea falso o errneo. Por lo que los niveles de razonamiento basndose en Lobo (2009) y Gutirrez A. Jaime, A. (1991), quedaran de la siguiente forma: 1.2 Nivel 1 (reconocimiento/visualizacin) Los objetos se perciben en su totalidad, son descritos de forma global, diferencindolos y clasificndolos en base a semejanzas o diferencias fsicas generales, ya que no se reconocen explcitamente los elementos y las propiedades de los objetos. Por ejemplo: Un estudiante en este nivel reconocer el dibujo de un rectngulo a pesar de no estar consciente de las propiedades de dicha figura plana. Ejemplo identifica paralelogramos en un conjunto de figuras. Identifica ngulos y tringulos en diferentes posiciones en imgenes. 1.3 Nivel 2 (Anlisis) Los conceptos se entienden a travs de los elementos que los componen, identificando y generalizando propiedades del mismo, las cuales se utilizan independientemente sin establecer relaciones entre ellas. Se pueden deducir relaciones o propiedades entre los objetos y sus componentes, pero slo a travs de la experimentacin. En este nivel surge por primera vez el pensamiento matemtico pues se realizan deducciones de propiedades que tienen figuras geomtricas concretas. Por ejemplo: Un cuadrado tiene cuatro lados iguales. Un cuadrado tiene cuatro ngulos iguales. 1.4 Nivel 3 (Clasificacin) Se realizan clasificaciones lgicas de los objetos, descubriendo nuevas propiedades en base a relaciones o propiedades ya conocidas y por medio del razonamiento informal. Se comprenden los pasos individuales de un razonamiento lgico en una forma aislada, pero no se comprende el encadenamiento de estos pasos ni la estructura de una demostracin. Por ejemplo: El estudiante podr entender por qu todo cuadrado es un rectngulo y por qu no todo rectngulo es cuadrado, pero no podr explicar la congruencia de las diagonales de un rectngulo. 7

1.5 Nivel 4 (deduccin) Se comprende la estructura axiomtica de la Matemtica y se emplea el razonamiento lgico formal para construir demostraciones, aceptando la posibilidad de obtener el mismo resultado siguiendo distintas premisas, es decir, comprende la existencia de definiciones distintas de un mismo concepto. An no se ha adquirido un conocimiento global de los sistemas axiomticos por lo cual no se comprende la necesidad del razonamiento riguroso. 1.6 Nivel 5 (Rigor) Dado que el nivel 5 se piensa que es inalcanzable para los estudiantes y muchas veces se prescinde de l, adems, trabajos realizados sealan que los estudiantes no universitarios, como mucho, alcanzan los tres primeros niveles. En este nivel se analizan y comparan las diferentes Geometras procedentes de una variedad de sistemas axiomticos. Aunque diversas investigaciones han demostrado la inconsistencia de este nivel con los anteriores, el mismo es alcanzado slo por matemticos puros y estudiantes avanzados de las Facultades de Ciencias. Es importante sealar que, un estudiante puede estar, segn el contenido trabajado, en un nivel u otro distinto.

A continuacin vamos a describir cules son las caractersticas de cada nivel desde la perspectiva del aprendizaje de los estudiantes. 8

1.7 Caractersticas de los niveles. Siguiendo por la misma lnea del listado de los niveles de razonamiento de la teora de Van Hiele, tenemos (segn los autores mencionados en la descripcin de los niveles) las siguientes caractersticas: *Recursividad: Los elementos implcitos en el razonamiento del nivel N se hacen explcitos en el razonamiento del nivel N + 1. Es decir, cada nivel de razonamiento se apoya en el anterior as en cada nivel siempre hay elementos que los alumnos utilizan inconscientemente y que en el siguiente nivel lo utilizarn de manera consciente. *Secuencialidad: No se puede alcanzar un nivel sin haber superado de forma ordenada todos los niveles inferiores, por ello hay que evitar la enseanza memorstica, ya que los estudiantes pueden aparentar un nivel de razonamiento superior al que realmente tienen al manejar vocabulario y formas de trabajo propios del nivel superior pero sin comprenderlas. *Especificidad del lenguaje: Cada nivel lleva asociado un tipo de lenguaje y un significado especfico del vocabulario matemtico, entonces el docente deber situarse en el mismo nivel de sus alumnos, y si no lo hace entonces no podr entenderse con ellos, ya que los razonamientos son distintos. *Continuidad: El paso en los niveles de Van Hiele se produce de forma continua y pausada, pudiendo durar varios aos en el caso de los niveles 3 y 4. Incluso se puede dar el caso de que el individuo no llegue a alcanzar el nivel 4. *Localidad: Por lo general un estudiante no se encuentra en el mismo nivel de razonamiento en cualquier rea de la Geometra, pues el aprendizaje previo y los conocimientos que tenga son un elemento bsico en su habilidad de razonamiento.

CAPTULO II.- PROCESO DE APRENDIZAJE POR MEDIO DE FASES.9

En el modelo de Van Hiele se proponen cinco fases, que se describen a continuacin en secuencia cclica para ayudar al progreso de un nivel de pensamiento al siguiente. (Gutirrez y Jaime, 1991) 2.1 Fase de informacin. En esta fase se realiza una primera toma de contacto con la materia que se va a estudiar. La tarea del profesor es informar a los alumnos sobre lo que se va a trabajar. As mismo los alumnos aprendern a manejar el material y tendrn que adquirir unos conocimientos bsicos para poder comenzar el trabajo correspondiente. 2.2 Fase de orientacin dirigida. El profesor suministrar al alumno un material formado por actividades dirigidas al descubrimiento, comprensin y aprendizaje de los conceptos y propiedades fundamentales del rea de la geometra en estudio. Estas actividades han de ser seleccionadas de manera que los conceptos y estructuras caractersticas sean presentados de forma gradual y progresiva. 2.3 Fase de explicitacin. Se basa en el dilogo entre los estudiantes con intervenciones del profesor cuando sea necesario, a fin de conseguir que las experiencias adquiridas se unan a los smbolos lingsticos precisos dentro de las caractersticas del nivel de razonamiento respectivo. En esta fase se hace una revisin de lo realizado anteriormente, se organizan ideas y conclusiones, se afina o modela el nuevo vocabulario para poder expresarse con precisin. 2.4 Fase de orientacin libre. Es el momento de aplicar los conocimientos y el lenguaje adquiridos anteriormente a nuevas situaciones con el fin de afianzar, perfeccionar y completar el tema de estudio, para ello se asignan tareas que preferiblemente lleven a diferentes soluciones.

2.5 Fase de integracin.

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En esta ltima fase el profesor ha de resumir de forma global los conocimientos y formas de razonamiento que el alumno ha adquirido en las anteriores fases, de modo que le proporcione una visin general de lo aprendido. Una vez completada esta fase, el alumno habr adquirido un nivel superior de razonamiento.

CAPTULO III.- APLICACIONES11

3.1 Ventajas de modelo de Van Hiele con otras teoras. A partir de la dcada de los 80 se produce un uso general de modelos didcticos, pero qu entendemos por modelos didcticos? Joyce y Weil los definen como "unos planes estructurados que pueden usarse para configurar un currculo, para disear materiales de enseanza y para orientar la enseanza en las aulas". Nosotros creemos que son potentes estrategias que vienen determinadas por unas metodologas concretas y por supuesto por unas teoras determinadas.

http://www.gransimenuts.org/modelodidactico/esquema.jpg Pasamos de largo sobre el modelo didctico tradicional y el modelo conductista para centrarnos en el modelo constructivista, ya que esta teora del constructivismo (Vigotsky, Piaget y Ausbel) y sus variaciones es la que ms influencia est teniendo en la actualidad para disear modelos didcticos, sin ir ms lejos el currculo de la LOE para primaria aconseja lo que se poda identificar como el modelo del constructivismo social basado en el aprendizaje significativo, trabajo colaborativo, aplicacin de nuevas tecnologas.... Teniendo en cuenta el modelo didctico que se impone en nuestra sociedad actual, es necesario identificar la teora o teoras sobre las que se basa y como la enseanza es la geometra, hay dos teoras que determinan los modelos didcticos actuales: La teora del constructivismo cognitivo de Piaget. Destacamos esta teora desarrollada en los aos 60 principalmente por la importancia que adquiere en geometra la evolucin que el nio tiene del espacio. Piaget distingue dos conceptos: 12

1-La percepcin (conoce objetos por su contacto directo con ellos) y 2-La representacin (reproduce las formas). En esta evolucin pasa por diferentes etapas con la consiguiente diferenciacin de propiedades geomtricas que pueden ser: a) Las topolgicas son como las primeras caractersticas geomtricas de su entorno natural, independientes de la forma o tamao (hasta los 6 aos): - cercana (cara con ojos muy pegados aunque estn mal situados). - separacin (no separa cabeza y tronco). - orden (nariz por debajo de ojos y por encima de la boca). - cerramiento (dibujar los ojos dentro de la cabeza, distinguen una curva cerrada de una abierta). - continuidad de lneas (piernas prolongacin del tronco). b) Las proyectivas en las que el nio puede predecir que aspecto presentar se las mire). Hace referencia a la posicin y orientacin del objeto (arriba, abajo, derecha, izquierda, delante, detrs). c) Las propiedades eucldeas que se refieren a tamaos, distancias que conducen a la medida de magnitudes, longitud, superficie, ngulos...(distingue el rombo del cuadrado porque el ngulo es propiedad eucldea). Si comparamos la teora piagetana con la de Van Hiele, observamos varias similitudes, una y otra conciben el desarrollo de los conceptos espaciales y geomtricos como una secuencia desde planteamientos inductivos y cualitativos hacia formas de razonamiento deductivas y abstractas. Los dos se basan en niveles de carcter recursivo. Sin embargo presentan diferencias que hacen que el modelo de Van Hiele resulte ms didctico:

La teora de Piaget es una teora del desarrollo, no del aprendizaje, por lo que no se plantea como avanzar de un nivel al siguiente, Piaget lo considera un proceso madurativo. Van Hiele en su preocupacin por el problema didctico de como ayudar a los alumnos en el ascenso de un nivel de razonamiento al siguiente, desarrolla una teora de la enseanza aprendizaje, no psicogentica. Da gran importancia a los contextos interactivos en el aula y al papel del profesor. Otra diferencia importantes es el papel que Van Hiele otorga al lenguaje como estructuracin del pensamiento, a cada nivel de razonamiento geomtrico le corresponde un lenguaje especfico. 3.2 Propuesta de actividad 1. 13

Como ya se explic los niveles de Van Hiele son apropiados para le geometra y esos llevan un proceso de aprendizaje largo y puede durar aos. La actividad que se va a llevar a cabo es una de las opciones que ya se enlistaron anteriormente. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Clasificacin de polgonos Subtema: Clasificacin de tringulos NIVEL 1 Reconocimiento A cada uno de los alumnos se les va a entregar tringulos de colores y de diferente tamao, segn el nivel en primera instancia los van a clasificar por color y tamao (semejanzas o diferencias fsicas).

NIVEL 2 Anlisis Ahora realizan una segunda clasificacin de acuerdo a una definicin informal. Los puede clasificar por la medida de sus ngulos, de sus lados (describe los objetos de manera informal), aun no identifican las relaciones que existen entre ests caractersticas.

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Los colores identifican los lados que son iguales y los que son diferentes. Por medio de la experimentacin podra llegar a deducir los ngulos que coinciden con los de otro tringulo. Adems a que un tipo de tringulo cabe en otro tipo de tringulo., todo esto de manera informal. NIVEL 3 Clasificacin Ya que lleg a la experimentacin, en el nivel anterior, ahora puede formar una definicin y clasificaciones lgicas. Como: La clasificacin de tringulos por sus lados y por sus ngulos. Que un tringulo carece de diagonales. Todo tringulo equiltero es un issceles. La suma de los ngulos de un tringulo suman 180 Las rectas importantes del tringulo (definiciones). Entre otras, concluye con esto de manera aislada ya que todava no comprende la axiomtica de las matemticas. Desgraciadamente en la escuela secundaria solo se llega a este nivel, pero muy pocas veces. Tringulo (figura), polgono de tres lados. Segn la longitud de sus lados, los tringulos se clasifican en equilteros, si sus tres lados son iguales, issceles, si tienen dos lados iguales, y escalenos, si los tres lados son distintos.

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La suma de los tres ngulos de un tringulo es 180 Si los tres ngulos son agudos el tringulo se llama acutngulo, si tiene un ngulo recto, rectngulo y obtusngulo si el mayor de sus ngulos es obtuso.

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TRINGULOS RECTNGULOS Los tringulos rectngulos cumplen una serie de relaciones mtricas importantes entre sus lados. Los lados de un tringulo rectngulo que forman el ngulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ngulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitgoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a2 = b2 + c2 NIVEL 4 Deduccin Ya identificadas todas las propiedades de los tringulos el sujeto pasa de un lenguaje comn a un lenguaje formal por medio de las demostraciones. Por ejemplo: Demostrar que la suma de los ngulos interiores de un tringulo suman 180. Teorema: en cualquier tringulo issceles, los ngulos correspondientes a su base son iguales (este ser resuelto por los alumnos).

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3.3 Propuesta de actividad 2. Uno de los tests ms conocidos es el de Salman Usinskin( propuesto por Fouz, 2001) que se compone de 25 preguntas, en principio, asociadas a los cinco niveles con igual nmero de preguntas. Vamos a elegir una pregunta por nivel y luego completaremos con Modelo de Van Hiele para la didctica algunas preguntas de un test. En el test de Usinskin se respetan los nmeros originales de las preguntas. 4o Cules de las siguientes figuras son cuadrados? A. Ninguno es un cuadrado. B. Slo G. C. Slo F y G. D. Slo I y G. E. Todos son cuadrados. 8o Un rombo es una figura de cuatro lados de igual longitud (tres ejemplos se muestran a la derecha). Cul de las respuestas A-D no es cierta en un rombo? A. Las dos diagonales tienen la misma longitud. B. Cada diagonal es bisectriz de dos ngulos del rombo. C. Las dos diagonales son perpendiculares. D. Los ngulos opuestos tienen la misma medida. E. Todas las respuestas anteriores son ciertas en un rombo. 12o He aqu dos afirmaciones: 1a El tringulo ABC tiene tres lados iguales. 2a En el tringulo ABC, los ngulos B y C tienen la misma medida. Cul es la respuesta correcta? A. Las afirmaciones 1a y 2a no pueden ser ciertas a la vez. B. Si la 1a es cierta, entonces la 2a es cierta. C. Si la 2a es cierta, entonces la 1a es cierta. D. Si la 1a es falsa, entonces la 2a es falsa. E. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta. 18o He aqu dos afirmaciones: I: Si una figura es un rectngulo, entonces cada diagonal bisecta a la otra. II: Si las diagonales de una figura se bisectan, la figura es un rectngulo Cul, entre las siguientes respuestas, es correcta? A. Para probar que I es cierto, basta probar que II es cierto. B. Para probar que II es cierto, basta probar que I es cierto. C. Para probar que II es cierto, es suficiente elegir un rectngulo, cuyas diagonales se bisectan una a la otra. 19

D. Para probar que II es falsa, es suficiente elegir un no-rectngulo, cuyas diagonales se bisectan una a la otra. E. Ninguna de las respuestas A-D es correcta. 25o Suponga que ha probado las afirmaciones I y II: I.- Si p, entonces q. II.- Si s, entonces no q. Qu afirmacin se deduce de las anteriores I y II? A. Si p, entonces s. B. Si no p, entonces no q. C. Si p q, entonces s. D. Si s, entonces no p. E. Si no s, entonces p. A continuacin figuran un grupo de preguntas propias, concentradas en los tres primeros niveles pues van dirigidas a alumnado no-universitario ya que stos son los niveles en los que pueden estar. 1a.- Cuntos elementos puedes nombrar en la figura de la derecha? A modo de ejemplo: _ Puntos. _ Segmentos rectos. _ Segmentos curvos. _ Superficies. _ ngulos, etc. 2a.- Seala en la figura todos los polgonos y poliedros que identifiques

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3a.- Despus de sealar cmo se llama la figura de abajo, responde a: qu es... A. C B. O C. AB D. OC E. AC BC?

4a.- Cul de las siguientes respuestas, referidas a la figura de la derecha, no es correcta? A. Es un paralelogramo. B. Es un rombo. C. Es un cuadrado. D. Es un cuadriltero. E. No puede ser todo lo anterior a la vez. 5a.- Si disponemos de escuadra y cartabn, para trazar paralelas y perpendiculares podemos desde el centro de un hexgono regular trazar ngulos de 30o, 45o,60o, 90o, 120o, 135o 150o y 180o? A. Slo los mltiplos de 60o. B. S, en todos los casos. C. Todos excepto 45o y 135o. D. No porque necesitamos adems un comps. E. Si no lo inscribimos en una circunferencia ser imposible. 6a.- La figura muestra una seccin hexagonal de un cubo qu respuesta de las siguientes es falsa? a. Los tringulos sobre las caras son issceles. b. Cada cara del cubo contiene un solo lado del hexgono. c. La figura es imposible. en la realidad se trata de una ilusin falsa. d. El hexgono es regular. e. Las dos partes en que se divide el cubo son idnticas.

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7a.- Discute la validez de las siguientes afirmaciones: dos rectas en un plano son paralelas si... A. Una perpendicular a la primera tambin lo es a la segunda. B. No se cortan en ningn punto. C. Cada una de ellas es paralela a una tercera recta. D. La distancia entre ellas es siempre constante. E. Construimos un tringulo con dos vrtices fijos en una recta y el tercero lo movemos por la segunda recta. El rea de ese tringulo es siempre constante. 8o.- En una circunferencia elegimos dos puntos A y B cualesquiera. Cules de las siguientes afirmaciones no son ciertas? A. Slo puedo construir un rectngulo inscrito siendo AB un lado. B. Puedo construir infinitos trapecios issceles inscritos de base AB. C. Puedo construir solamente un trapecio rectngulo inscrito de base AB. D. AB puede ser la hipotenusa de un tringulo rectngulo inscrito. 9a.- Las figuras de abajo se llaman COMETAS". Seala todas las propiedades que identifiques y da una definicin precisa.

10a.- Segn se describe en las imgenes de abajo. Qu es un polgono?

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CONCLUSIONESLa teora de Van Hiele es ideal en la enseanza y aprendizajes de contenidos geomtricos, ya que su metodologa nos lleva a alcanzar niveles de razonamiento favorables tanto en el grado de aprendizaje geomtrico que desarrollemos en nosotros mismos y en los alumnos, como el grado de pensamiento intelectual que generemos, llevando a la practica en nuestras actividades cotidianas. Es necesario considerar las caractersticas que componen los niveles de razonamiento del modelo de Vann Hiele, y nos referimos al termino de modelo por forma o sistema (contexto) que nos dar la pauta en el desarrollo de los contenidos geomtricos, siendo las caractersticas que nos guiara a la adecuada aplicacin de la teora de Van Hiele. Cabe mencionar que el desarrollo de las 5 fases de aprendizaje no implica el salto de un nivel de pensamiento a otro, es decir, al llevar a cabo una propuesta didctica y que esta sea exitosa, no garantiza que el alumno este apto para alcanzar el siguiente nivel, por lo que la misma teora nos indica es el trabajo constante de los temas y desarrollarlo por fases, con ello el alumno tendr suficientes elementos de avanzar al siguiente nivel, sin olvidar que la ultima parte de cada nivel de pensamiento da la pauta para el comienzo del siguiente nivel. A pesar que el ultimo nivel de pensamiento que el de rigor (Nivel 5 en nuestra investigacin, y 4 para estudios de otros investigadores) se considera inalcanzable, es nuestra tarea como profesores de matemticas en trazarse objetivos serios para el estudio intenso de las matemticas, en este caso de la geomtrica, para que nosotros mismos podamos desarrollar algn teorema o crear nuestros propios mtodos para demostrar alguna propiedad o caractersticas de componentes geomtricos, por lo que al alumno podamos mostrar y demostrar hechos que nosotros mismos descubramos. Dado al desarrollo de esta investigacin nos despert la necesidad de indagar en los estudios que se realizan de matemtica educativa, no slo de investigaciones en geometra, sino en investigaciones hechas en otras ramas de las matemticas. Esto llevar al docente (o en su caso, al alumno normalista) a tener una perspectiva diferente sobre la enseanza y el aprendizaje de las matemticas, as como desarrollar su nivel intelectual que se ver reflejado en su perfil como docente de matemticas.

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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS*De la Torre, Andrs, El mtodo Socrtico y el modelo de Van Hiele, Lecturas Matemticas, Universidad de Antioquia, Colombia, Vol.24, 2004. pp. 91-121. *Gutirrez, A. y Jaime, A. El modelo de Van Hiele como marco para el aprendizaje comprensivo de la geometra, Un ejemplo, Los Giros, en Educacin matemtica, vol. 3, Nm. 2, agosto, Mxico, Grupo editorial Iberoamrica, 1991, pp. 49-65. Pginas Web. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/testuakonline/04-05/pg-04-05-fouz.pdf; consultado el 19 de febrero de 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Deduccin; consultado el 1 de marzo de 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Geometra; consultado el 1 de marzo de 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Induccin_(filosofa); consultado el 1 de marzo de 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Mtodo; consultado el 1 de marzo de 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_(cientfico); consultado el 1 de marzo de 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Recursividad; consultado el 1 de marzo de 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_van_Hiele; consultado el 19 de febrero de 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema; consultado el 1 de marzo de 2009. http://es.wikipedia.org/wiki/Teora; consultado el 1 de marzo de 2009. http://www.femica.org/diccionario/index2.php; consultado el 1 de marzo de 2009. www.deguate.com/infocentros/gerencia/glosario/t.htm http://www.gransimenuts.org/modelodidactico/esquema.jpg; Consultado el 19 de febrero de 2009. http://www. Monografas. Com/ teora de van hiele; consultado el 19 de febrero de 2009. http://www.serbi.luz.edu.ve/scielo.php? pid=S131722552004001000004&script=sci_arttext; consultado el 19 de febrero de 2009.

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GLOSARIO Anlisis: Distincin y separacin de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principales elementos. Deduccin: Opuestamente al razonamiento inductivo en el cual se formulan leyes a partir de hechos observados, el razonamiento deductivo infiere esos mismos hechos basndose en la ley general. Segn Bacon la induccin es mejor que la deduccin porque mientras que de la induccin se pasa de una particularidad a una generalidad, la deduccin es de la generalidad. Geometra: Es una rama de las matemticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polgonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orgenes se remontan a la solucin de problemas concretos relativos a medidas y es la justificacin terica de muchos instrumentos, por ejemplo el comps, el teodolito y el pantgrafo. Induccin: Es una modalidad del razonamiento no deductivo que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observacin repetida de objetos o acontecimientos de la misma ndole se establece una conclusin para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Ley: Axioma con el que se define a un objeto natural. Por tanto, la teora construida a partir de leyes sirve para describir el mundo natural. Mtodo: Del griego metha (ms all) y odos (camino), significa literalmente camino o va para llegar ms lejos; hace referencia al medio para llegar a un fin. En su significado original esta palabra nos indica que el camino conduce a un lugar. Modelo cientfico: En ciencias puras y, sobre todo, en ciencias aplicadas, se denomina modelo al resultado del proceso de generar una representacin abstracta, conceptual, grfica o visual (ver, por ejemplo: mapa conceptual), fsica, matemtica, de fenmenos, sistemas o procesos a fin de analizar, describir, explicar, simular - en general, explorar, controlar y predecir- esos fenomenos o procesos. Se considera que la creacin de un modelo es una parte esencial de toda actividad cientfica. A pesar que hay poca teora generalizada acerca del empleo de modelos -la que existe encontrndose principalmente en la filosofa de la ciencia, teora general de sistemas y el campo, relativamente nuevo, de visualizacin cientfica - la ciencia moderna ofrece una coleccin creciente 25

de mtodos, tcnicas y teoras acerca de diversos tipos de modelos. En la prctica, diferentes ramas o disciplinas cientficas tienen sus propias ideas y normas acerca de tipos especficos de modelos (ver, por ejemplo: teora de modelos). Sin embargo, y en general, todos siguen los Principios del modelado. Para hacer un modelo es necesario plantear una serie de hiptesis, de manera que lo que se quiere representar est suficientemente plasmado en la idealizacin, aunque tambin se busca, normalmente, que sea lo bastante sencillo como para poder ser manipulado y estudiado. Recursividad: Recursin o recursividad es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definicin. Siendo un poco ms precisos, y para evitar el aparente crculo sin fin en esta definicin, las instancias complejas de un proceso se definen en trminos de instancias ms simples, estando las finales ms simples definidas de forma explcita. Rigor: m. Severidad excesiva. Aspereza en el carcter o en el trato. Intensidad. Propiedad. precisin Teorema: Es una afirmacin que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lgico. Demostrar teoremas es el asunto central en la matemtica. Teora: Es un sistema lgico compuesto de observaciones, axiomas y postulados, que tienen como objetivo declarar bajo qu condiciones se desarrollarn ciertos supuestos, tomando como contexto una explicacin del medio idneo para que se desarrollen las predicciones. A raz de estas, se pueden especular, deducir y/o postular mediante ciertas reglas o razonamientos, otros posibles hechos. Test: (ingls) Prueba, ensayo, examen.

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