1

Transformada de Laplace

Con el objeto de un mejor entendimiento de los temas centrales de nuestro

desarrollo es conveniente recordar algunos conceptos previos, ya vistos, ellos

son:

Continuidad Seccional

Una funcin real f (t) es

seccionalmente continua en un

intervalo [a, b], si una particin del mismo en numero finito de

partes, en cada una de las cuales la

funcin es continua y adems tiene

limites laterales finitos en los

extremos de cada subintervalos.

Es consecuencia de esta definicin

que toda funcin continua en un

intervalo [a, b], es seccionalmente

continua.

En efecto, si se divide el intervalo [a, b], en dos o ms partes se comprueba

fcilmente que en cada una de ellas la funcin es continua y adems verifica las

condiciones enunciadas anteriormente.

Funciones de Orden Exponencial

Se dice que una funcin f (t) es de orden exponencial cuando t tiende a

infinito , o simplemente que es de orden exponencial, si dos constantes

reales M y mayores que cero, tales que a partir de un cierto valor de tH,

es : f (t) M . e t

Se dice tambin que la funcin f (t) est dominada por la funcin M . e t

que

esta, es mayorante.

Si la funcin es de orden exponencial t H , se verifica la doble desigualdad

-M . e t

f (t) M . e t

La grafica de la funcin f (t), a partir de t H se encuentra entre las curvas

simtricas de las funciones exponenciales M . e t

y - M . e t

En el grafico siguiente aparecen algunos ejemplos de funciones de orden

exponencial.

0

f (t)

t

a b

2

f(t)=sen a.t

H

M.e

-M.e

f(t)=K

f(t)=a.t

M

K

-M

f(t)

t

f(t)=A.cos a.t

Vemos para la funcin f (t) = k que t H es k M . e t

Transformada de Laplace

Definicin:

Sea f (t) una funcin definida t R0*+. Si la integral dttfets )(

0

.

existe,

es decir, si esta integral converge para algn valor de s , ser una funcin del parmetro S. La funcin as obtenida recibe el nombre de Transformada de

Laplace de la funcin f (t)

Denotaremos a la transformada de Laplace de f (t) con cualquiera de las

siguientes formas:

{ f (t)} = F (s) ( se lee: la transformada de f (t) es F (s) )

f (t) F (s) ( se lee : f (t) tiene por transformada a F (s) )

3

En la definicin { f (t)} = )(.).(0

. sFdtetf ts

se llaman

f (t) : es la funcin ORIGINAL

F (s): es la IMAGEN o TRANSFORMADA

e-st

: es el NCLEO DE TRANSFORMACIN

S : VARIABLE SIMBOLICA (que puede ser compleja)

Criterio de Existencia de la Transformada de Laplace

Si una funcin es seccionalmente continua en un intervalo 0 t H, y de orden

exponencial t H, entonces existe la transformada de Laplace de

f (t) S .

Demostracin:

Por las propiedades de los modulos de las integrales, sabemos:

0 0

..

0

. )()(.)(. dttfedttfedttfe tststs , ya que es

tsts ee .. y como f (t) M e.t , resulta :

dteMdteMedttfe tsttsts 0

).(

0

.

0

. .).(

resolviendo

= -

0)(lim. eeS

M Ps

P expresin en la que si S

Pse )( 0 cuando p . Esto indica que la integral converge para

valores de s , que la transformada existe y adems que F (s) M / s - .

Si la funcin fuera de orden exponencial en un intervalo (H, ) y seccionalmente continua en [0, H], podemos generalizar el resultado anterior

descomponiendo el intervalo de integracin [0, ] en dos partes por el punto H

En el primer intervalo [0, H] la integral existe por ser f (t) seccionalmente continua y en el intervalo [H, ] se repite el razonamiento anterior con lo que

queda demostrado.

4

Condiciones Suficientes para la existencia de la Transformada

Para que la transformada de Laplace de una funcin f (t) exista, y para que

f (t) se pueda volver a encontrar a partir de su transformada F (s), es suficiente

que:

a) Que sea f (t) seccionalmente continua en el intervalo (0, H) y tenga a lo mas un numero finito de mximos y de mnimos y un numero finito de

discontinuidades finitas.

b) Que exista una constante real a tal que la integral impropia

dttfe ta ).(.0

.

0

. )(. dttfe ta , sea convergente.

Frecuentemente la condicin b) es reemplazada por otra ms exigente, es decir

por otra mas restrictiva:

b) Si existen constantes reales , M, H tales que :

e-.t

f (t) M vlido t H bien f (t) M .e.t

t H

Esta ltima condicin restrictiva, no es otra cosa que la definicin vista de

funciones de orden exponencial.

Es evidente, que en adelante la deduccin de las propiedades fundamentales de

las transformadas de Laplace implica, el operar con la integral

0).(. dttfe st

Esta es claramente impropia, ya que su lmite superior es infinito, y tambin

podra resultar impropia debido a las condiciones que puede presentar la funcin

a transformar, en uno o ms puntos del intervalo de integracin. Sin embargo en

tanto y en cuanto supongamos que f (t) sea seccionalmente continua, estas

discontinuidades sern en el peor de los casos, saltos finitos, que se salvan

fcilmente descomponiendo el intervalo de integracin en intervalos parciales

cuyos extremos son precisamente los puntos de discontinuidad. Por tanto, no

prestaremos una atencin especial a los posible saltos de f (t) . Pero los que

requieren mayor observacin, por ser mas serios, son los problemas relacionados

con el limite superior infinito de la integral.

Transformadas de funciones elementales

Demostraremos a continuacin las transformadas de las funciones elementales

de uso mas frecuente:

5

Si f (t) = 1 {1} = s

1 s 0

Demostracin :

{1} =

pps

p

P ts

p

ts

S

edtedte

0

.

0

.

0

. limlim.1.

ss

e

s

e sps

p

10lim

0..

si S 0

Si f (t) = t {t} = 21

s s 0

{t} = dttedttep ts

p

ts ..lim..0

.

0

.

haciendo :

u = t du = dt

dv = e-s.t. dt v = e-s.t/-s resulta reemplazando:

{t} = dtess

et tsp

ts

P.

1.lim

0

.

0

.

analicemos el primer trmino

s 0 psP

Ps

P es

P

s

eP.

.

.lim

.lim

aplicando L Hopital

= 0.

1lim

.2

psP eS y cuando t = 0 0

. .

s

et ts

en consecuencia la integral dada ser igual a:

{t} = .1

..1

0

.

sdte

s

tS

{1} = 2

1

s s 0

6

Generalizando {t n} = n ! s 0 con n = 1, 2, 3, . S n+1

Ya hemos demostrado la regla para n = 1, supongamos se cumple para un valor

de n = k , o sea se verifica que

{t k} = 1!kS

k para un valor de n = k +1 tendremos :

{t k+1}= dttekts .. 1

0

. resolviendo por partes

= dtte

s

k

s

et ktstsk

..1.

0

.

0

.1

procediendo a un anlisis similar al del

punto anterior vemos que el primer termino es cero, de donde nos queda

{t k+1}= s

k 1. {t k} =

s

k 1. 1

!kS

k =

2

!1

KS

kAs por el principio de

induccin completa, queda probada la validez, de la formula para todo n

natural.

Si f (t) = tae . {

tae . } = as

1 s a. Demostracin

{tae . } = dtee

tats .. .0

.

= dteast .

0

).(

= -

0

)(

as

e ast

cuando s a s a 0 0).(

1limlim

)(

)(

astt

ast

t easas

e

{tae . }= -

asas

e

10

0

s a

Veamos ahora algunas transformadas de funciones trigonomtricas.

7

Si f (t) = sen a t { sen a.t } = 22 as

a

s a

Demostracin : { sen a.t } = dttasenets ...

0

.

, podramos realizar la

demostracin resolviendo en forma directa esta integral, pero recordemos que

sen a.t = i

ee taitai

.2

.... y aplicando la propiedad lineal de las transformadas,

tendremos

{ sen a.t } =

i

ee taitai

.2

....

= i.2

1[ {

taie .. } - { taie .. } ] =

= ..2

1

i

aisais .

1

.

1

=

i.2

122

..2

as

ai

= 22 as

a

s a

Si f (t) = cos a.t { cos a.t } = 22 as

s

s a

Para la demostracin recordemos que cos a.t = 2

.... taitai ee

y aplicando las mismas propiedades que en punto anterior

{ cos a.t } = 2

1[ {

taie .. } + { taie .. } ] = .2

1

aisais .

1

.

1

=

= 2

122

.2

as

s

= 22 as

s

s a

- Si f (t) = Ch .at { Ch . at } = 22 as

s

s a

para la demostracin recordamos que Ch . at = 2

.. tata ee

{Ch. at} = 2

1[ {

tae . } + { tae . }] = .2

1

asas

11= 22

.2

2

1

as

s

8

- Si f (t) = Sh .at { Sh . at } = 22 as

a

s a

sabemos que Sh. at = 2

.. tata ee por lo que su transformada ser:

{Sh. at} = 2

1[ {

tae . } - { tae . }] = .2

1

asas

11

= 2222.2

2

1

as

a

as

a

si s a

Es posible, con el objeto de facilitar la bsqueda y calculo de las transformadas,

confeccionar una tabla para las funciones elementales de uso frecuente :

f (t) F (s) s

1 ; u (t) s

1 s 0

t 2

1s

nt

1

!ns

n Nn

ate as

1 s a

sen at 22 as

a

s 0

cos at 22 as

s

Sh.at 22 as

a

s a

Ch.at 22 as

s

Propiedades de la transformacin de Laplace

Propiedad Lineal

Si f (t) F (s) g (t) G (s) , siendo A y B ctes. arbitrarias se demuestra

9

{A. f (t) B. g (t)} = A . F(s) B .G(s)

esta propiedad como una consecuencia inmediata de la definicin de la transformada, en razn de las propiedades lineales de las integrales.

Ejemplo :

Hallar { 2.5 .22 tett } = { 2t } 5 { t } + { te .2 } 2 {1} =

= ssss

2

2

15223

Propiedad de translacin

Si f (t) F (s) { )(.. tfe ta } = F (s - a)

Demostracin : por definicin tenemos

{ )(.. tfe ta } =

0

.. ).(.. dttfee tats =

0

)( )().(. asFdttfe ast

Si la transformada de f (t) existe, esta ultima integral define una transformada

de variable simblica (s a), por lo que la propiedad queda demostrada, veamos un ejemplo prctico :

Hallar: { tet .32 . }

calculamos { 2t } = 32

s {

tet .32. } = 3)3(

2

s

otro ejemplo Hallar { tChet .3... }

calculamos { Ch 3 t}= 22 3s

s { tChe

t .3... } = 9)(

)(2

s

s

Cambio de Escala

Si f (t) F (s) { f (a.t)} = asFa .1

Demostracin: aplicando la definicin

{f (t.a)} = dtatfets )..(.

0

.

resolviendo

10

u = t .a t = a

u dt =

a

1.du

{ f (a.t) } = )(1

.1

).(.0

.

asF

adu

aufe a

su

Transformada de Laplace de Derivadas

Si f (t) F (s) y posee derivadas sucesivas en cero se demuestra que:

{ )(

)(

n

zf } = )1(

)(

)2(

)(

321 ........)()()(.)(. non

o

nnnn ffSofSfSofSsFS

a) Demostraremos en primer termino para la primera derivada

Si f (t) F (s) { f (t).} = S. F(s) f (o)

{ f (t).} = dttfedttfep ts

P

ts ).(.lim).(.0

.

0

.

resolviendo

u = tse . du = - dtes

ts .. .

dv = f (t) dt v = f (t)

{ f (t).} =

P tsP

ts

Pdttfestfe

0

.

0

. ).(.)(.lim =

=

P ts

P

ps

PofsFsdttfesofepfe

0

.0. )()(.).(.lim.)()(.lim

nos queda por demostrar 0)(.lim.

pfe ps

P, recordemos que f (t) es de

orden exponencial, cuando t o sea que )(tf teM .. tambin

)(.. pfe ps )(.. ... sppsp eMeeM

11

si s el segundo miembro tiende a cero cuando p

o sea 0)(.lim.

pfe ps

P

b) Transformada de la derivada segunda

Si f (t) F (s) { f (t)} = s 2. F(s) s. f (o) f (o)

Aplicando el concepto demostrado en el punto anterior y pensando que f (t) es

la primitiva de f (t) tendremos

{ f (t)} = s. { f (t)} f (o) = s [ s. F(s) f (o)] f (o)

= s 2. F(s) s .f (o) f (o) con lo que queda demostrado

Supongamos la regla se verifica para la derivada ensima

{)(

)(

n

tf } = )1(

)(

)2(

)(

21 .......)(.)()(. non

o

nnn ffsofsofssFs

aplicando el procedimiento sabiendo que la primitiva de )1(

)(

n

tf es )(

)(

n

tf

{)1(

)(

n

tf } = s. {)(

)(

n

tf } - )(

)(

n

of reemplazando los valores

{)1(

)(

n

tf } = s . [1

)(

1 ......)(.)(. nonn fofssFs ] -

)(

)(

n

of

{)1(

)(

n

tf } = )(

)0(

)1(

)0(

11 ......)0()0()(. nnnnn ffsfsfssFs

como vemos la regla se verifica para el orden (n+1)

Transformada de Laplace de Integrales

Si f (t) F(s) t

duuf0

).( )(.1

sFs

lo demostramos :

Supongamos que g (t) = t

duuf0

).( y sea p (u) una funcin de variable

independiente u tal que su derivada sea p(u) = f (u)

g (t) = t t

optpcupduuf0 0

)()()().( derivando :

g (t) = p(t) y como p(u) = f (u) g(t) = p(t) = f (t) adems

12

la funcin g (t) en el punto cero ser g (o) = 0

00).( duuf

si hallamos la transformada de la igualdad g(t) = f (t)

{ g(t)} = s. { g (t)} g (o)}

{ f (t)} = F(s) s. { g (t)} = F(s) despejando

{ g (t)} = s

1 .F(s) {

t

duuf0

).( } = s

1 .F(s)

Ejemplo: Hallar { t

dusenau0

. }

Sabemos que sen au 22 as

a

t

as

a

sduausen

0 22.

1...

Divisin por t

Si f (t) F (s) t

tf )(

SduuF ).( , lo demostramos

Llamemos a t

tf )(= g (t) o sea f (t) = t . g (t)

{ f (t)} = { t . g (t)} supongamos que G(s) = { g (t)}, adems

{f (t)} = F(s) ; { t . g(t)} = (-1)1. ds

d.G(s) , por lo tanto:

F(s) = - )(sGds

d o tambin F(u) = - ),()(. uGuG

du

d integrando

s s

p

s

pPPs suGudGuGdduuGduuF )(lim)(lim)(.)().(

= G(s) - )()(lim sGpGp

como este ultimo miembro es la transformada de

g(t) = t

tf )( se deduce que :

t

tf )(=

sduuF ).( siendo F(s) f (t)

en esta demostracin hemos supuesto que 0)(lim

pGp

, en efecto

13

la funcin G(u) =

t

tf )(=

0

. .)(

. dtt

tfe ts por definicin, adems

t

tf )( es de orden exponencial y se verificar

t

tf )(

teM .. y M 0

dtt

tfedt

t

tfe tsts

)(..

)(.

0

.

0

.

M . )(.0

).( sGdte ts

0

).(. dteM ts

como

0

).( 0)(lim0.lim sGdtes

ts

s

0)(lim

pG

p

Calculo de Integrales impropias

Si f (t) F(s)

0 0

).(..

)(duuFdt

t

tf

Demostracin : Por el teorema anterior resulta:

0

. ).(.)(

.s

ts duuFdtt

tfe tomando limites para s o+

SS

tS

SduuFdt

t

tfe )(lim

)(.lim

00

.

0 como 1. tSe si s 0+

0 0

)(.)(

duuFdtt

tf veamos una aplicacin :

0 020

..lim1

p

pStgarc

s

dsdx

x

xsen

20...lim

tgarcPtgarc

p

Transformada de Funciones Peridicas

Sea f (t) peridica de periodo primitivo p, ser:

f (t) = f (t+p) t R y si f (t) es Laplace transformable:

14

entonces )(tf =

Pts

psdttfe

e 0.

.).(..

1

1

Demostracin :

Por definicin ser : )(tf =

0

. ).(. dttfe ts

Descomponiendo el intervalo de integracin (0, )

=

P P

P

tsP

P

tsts dttfedttfedttfe0

3

2

.2

.. ...........).(.).(.).(.

Sustituyendo en la primera integral t = u ; en la segunda t = u+p , en la tercera

t = u + 2p, en la cuarta t = u + 3p ---------y en la n-sima integral a t = u + (n-

1).p

tendremos :

= ..........).2().()(

0

)2(

0

)(

0

. dupufedupufeduufeP

PUSP

PUSP

US

= ............).(.)(.).(.

0

.2

00duufeeduufeeduufe

PUSSP

PSUSP

PSU

= ........)1.().(32

0

SPSPSPP

SU eeeduufe este ultimo factor en

la integral que no depende de u, representa la serie geomtrica de razn SPeq , de valor absoluto 1 s 0 y primer termino a = 1, suma que

converge a SPeq

aS

1

1

1 cuando n , como limite de esta

)(tf =

Pus

psduufe

e 0.

.).(..

1

1 y como u = t en (0, P)

queda as demostrada

Transformada de la Funcin Escaln Unidad

Conceptos Previos : Definicin

Una funcin escaln unidad de variable real t queda definida mediante la expresin :

15

u (t - a) = 0 si t a

1 si t a

a R su grafica es :

Como caso particular de esta funcin si a = 0, ser :

u (t) = 0 si t 0

1 si t 0

Propiedades

Si una funcin f (t) est definida en R , se verificar :

f (t) . u (t) = 0 si t 0 (1)

f (t) si t 0

f (t a).u (t) = 0 si t 0 (3)

f (t a) si t 0

f (t) .u (t a) = 0 si t a (4)

f (t) si t a

f (t a). u (t a) = 0 si t a (2)

f (t a) si t a

veamos algunos ejemplos grficos de estas situaciones

u

0 t

1

a

t0

u

1

16

y

0 t

f (t - a) . u (t)

a

(1) y

0 t

f(t)

y

0

f(t).u(t)

t

f (t - a)

(2)

a0 t

y

f (t - a) .u (t - a)

y

a0

f (t - a)

0 a t

y(3)

y

(4)

f(t)

0

y

f (t ) . u (t - a)

a t0

17

1

0

u(t).sen t

1

0

y y

tt

f(t)=sen t

y

u(t).sen (t- )

0

y

u.(t- ).sen (t- )

0

sen (t- )

0

y

u.(t-a).sen t

a

sen (t- )

0

y

0

y

sen t

y

t t

tt

En algunos problemas suele suceder que sobre un sistema que, debido a alguna

perturbacin seal inicial, entra en actividad en el instante t = 0 , acta luego,

por ejemplo en el instante t = a, otra perturbacin. La representacin analtica de

18

estas funciones y la naturaleza de su transformada de Laplace constituyen por lo

tanto cuestiones de cierta importancia.

Veamos algunos ejemplos en las que intervienen combinaciones de funciones

escalones entre si, y con otras :

Caso de funcin impulso rectangular funcin filtro

f

a b0

A 1

ab

1 -u(t-b)

t

u(t-a)

B

0

f(t) f(t)

t1

Como vemos la funcin impulso del grafico A puede interpretarse como la suma

algebraica de dos funciones escalones sugeridas en B f (t) = u (t - a) u (t b) Sea ahora una g (t) una funcin de variable t y f (t) el impulso

0 1

f

g

a b

t

a b

g . f

0t

g = g (t) f (t) = u (t a) u (t b) g . f = g (t).[ u (t a) u (t b)]

0 si t a

g . f = g (t) si a t b

0 si t b

Veamos entonces sus transformadas :

Si f (t) = u (t a) sae

satu .

1)(

19

Demostracin :

Por definicin ser :

dtatueatu ts ).(.)(0

.

= dtatuedtatuea

tsa

ts ).(.).(. .0

.

como u (t a) = 0 si t a

1 si t a

=

a

sa

at

tsts e

ss

edte .

.. .

1.1.

s 0

como caso particular se verificar : si a = 0

u (t a) = u (t) u (t) = 0 si t 0 luego ser :

1 si t 0

{ u (t)} = s

1 , ya que 1

. sae cuando a = 0

Si f (t) F (s) f (t a) . u (t a) F (s). sae .

Demostracin :

Como el producto f (t a) . u (t a) = 0 si t a

f (t a) si t a

{f (t a) . u (t a)} = dtatfedtea

tsa

ts )(..0. .0

.

si t a = v

= )(.).(..).(..

0

..

0

)( sFedvvfeedvvfe asvsasavs

Ejemplos: Dado un impulso rectangular, hallar su transformada

Ser : f (t) = 1 t (a, b)

0 t (a, b)

f (t) = u (t a) u (t b)

f

0 a b

t

1

20

{ f (t)} = { u (t - a)} - { u (t - b)}= )(1 .. sbsa ees

Definir y hallar la transformada de :

f (t) = t (0, a)

0 t (0, a)

la podemos definir tambin f (t) = (u (t) u (t a))

{ f (t)} = [ { u (t )} - { u (t - a)}=

saess

.11= sae

s

.1

a la misma expresin llegaramos si aplicamos la definicin :

{ f (t)} =

a ats

a

tststs dtedtedtedttfe0 0

...

0

. ..0...).(.

que resolviendo ser : = asats e

se

s

.

0

. 1

Definir y hallar la transformada de :

F(t)= )2(2

1

2

3

2

11

2

1

2

1

2

1

tutututu

{ f (t)} =

s

s

s

s

eeees

22

3

2

.2

1

Definir y hallar su transformada

f (t) = u (t -1) 2 u (t -2) + u (t -3)

t

f

0 a

1/2

1

0 1/2 1 3/2 2

t

f

21

{ f (t)} = sss eees

32.21

Multiplicacin por t n Propiedad

Si f (t) F (s) )()(.)1()(. nnn sFtft *Nn

Demostraremos primero para n =1. Por definicin tenemos:

dttfesF ts ).(.)(0

. , si derivamos ambos respecto de s :

dttftedttftedttfeds

dsF tststs )).(.().(..)(.)(

0

.

0

.

0

.

F(s) = - {t .f (t)} tambin que {t .f (t)} = - F(s)

podemos derivar nuevamente a la ultima integral respecto de s, aplicando el mismo procedimiento, supongamos que la regla se cumple para un valor

de n = k se verificar entonces que :

{t kf (t)} = (-1) k. )(

)(

k

sF es decir : )(

)(0

. .)1().(..ks

kkts Fdttfte

Derivando esta ultima, respecto de la variable s:

)1()(0

. .)1().(.. ks

kkts Fdttfteds

d

dttftedttftte ktSktS ).(.).(... 10

.

0

. pasando el signo

)1(

)(11

0

. .)1().(. ks

kkts Fdttfte

{t k+1 .f (t)} = (-1) k+1. )1(

)(

k

sF y generalizando

{t n .f (t)} = (-1) n. )(

)(

n

sF con lo que queda demostrada.

Ejemplo : Hallar la transformada de la funcin tsent .3..2

sabemos que

22

9

3.3

2 s

tsen , aplicando la propiedad :

32

2

22

222

)9(

18.18

9

3.)1(.3..

s

s

sds

dtsent

Transformada Inversa de Laplace

Si : {f (t)} = F(s) -1{F (s)} = f (t) Esto expresa que f (t) es la transformada inversa de F(s)

donde -1 se denomina Operador transformada inversa. Veamos un ejemplo: Sabemos que

{ te .3 } = 3

1

s -1

3

1

s =

te .3

podramos expresar lo mismo con la siguiente notacin :

F(s) f (t) y se lee F(s) tiene por transformada inversa a f (t) Con el objeto de facilitar la bsqueda de las antitransformadas de una dada

f (t) se confeccionan tablas al efecto, pero en realidad las tablas de

transformadas son de doble entrada :

F(s) f(t)= -1{F (s)}

s1 1

21s

t

ns1 t

n-1/(n-1)!

as 1 tae .

221

as sen a.t /a

22 ass

cos a.t

221

as sh a.t /a

22 ass

Ch a.t

23

Propiedades de la Transformada Inversa

1- Linealidad

Sean a y b constantes, F(s) = -1{f (t)} G(s) = -1{g (t)}

Se demuestra que : -1{a .F (s) b .G(s)}= a . f (t) b . g (t)

En efecto dado que {a . f (t) b . g (t)}= a. F(s) b. G(s)

resulta que se verificar que -1{a .F(s) b .G(s)}= a . f (t) b . g (t) Ejemplo : calclese la transformada inversa de la funcin

F(s) = 4

2

16

.3

2

422

ss

s

s aplicando la propiedad

: -1{F (s)}= 4 -1 .321

s -1 .

162

s

s -1

4

22s

=

= tsentet .2.4.cos.3.4 .2

2- Primera Propiedad de Traslacin

Si F(s) = { f (t) } -1{F (s - a)}= )(.. tfe ta

En efecto, por la propiedad de traslacin de la transformada directa vimos

que { )(.. tfe ta } = F (s a) en consecuencia se verificar que

-1{F (s - a)}= )(.. tfe ta

3- Segunda Propiedad de Traslacin

f (t a) si t a

Si F(s) f (t) -1{ )(.. sFe sa } = 0 si t a

o sea -1{ )(.. sFe sa } = u (t a).f (t a)

sabemos que si f (t) F(s) f (t - a).u(t a) )(. sFe sa por tanto

-1{ )(.. sFe sa }= f (t - a).u (t a) siendo a 0 y t a

24

4- Cambio de Escala

Si F(s) f (t) -1{ F(ks)} =

k

tf

k

1 ; demostracin :

Por definicin sabemos que : F(s) =

0

. ).(. dttfe ts para una variable

simblica sk ser F(sk) =

0

. ).(. dttfe tsk haciendo un cambio de variable

y llamando kt = u t = u/k dt = du/k , reemplazando

F(sk) =

0

. .1

)/(. duk

kufe us =

0

. )./(1

dukufek

us

por lo tanto

F(sk) )/(1

ktfk

Transformadas Inversas de la Forma P(s) / Q(s)

Primer caso: Q(s) tiene races reales simples Suponemos en todos los casos que Q(s) es de grado superior a P(s) ya que en

caso contrario se podr realizar el cociente indicado.

Tambin suponemos Q(s) polinmica de grado n, con coeficiente igual a uno en su termino de mayor grado. Si Q(s) se anula para s = a ; s = b ; s = c ; .........

1) hacemos P(s) / Q(s) = cs

C

bs

B

as

A

donde los numeradores A, B, y C

son coeficientes a determinar, por ejemplo por reduccin a comn denominador

y eliminando luego a estos resulta :

P(s)= A (s-b) (s-c) +B (s-a) (s-c) + C (s-a) (s-b) , dando a s tres valores distintos cualesquiera se obtienen A, B y C, pero si hacemos en particular

s = a P(a) = A (a-b) (a-c) A = P(a) / (a - b) (a - c)

s = b P(b)= B (b-a) (b-c) B = P(b) / (b-a) (b-c)

s = c P(c) = C (c-a) (c-b) C = P(c)/ (c-a) (c-b) Obtenidos as los coeficientes, aplicamos la prop. Lineal

-1{P(s)/Q(s)} = A . -1

as

1+ B . -1

bs

1+ C . -1

cs

1=

-1{P(s)/Q(s)} = tctbta eCeBeA ... ...

2) Otro mtodo consiste en multiplicar sucesivamente por cada uno de los

denominadores (s a); (s b); ......... a la igualdad

25

P(s) / Q(s) = cs

C

bs

B

as

A

y luego tomar limite cuando s a, s b; ......

As por ejemplo para hallar A, multiplicamos ambos miembros por (s a) obteniendo P(s).(s-a)/Q(s) = A + W (s).(s-a)

Notamos que el primer miembro de la ultima igualdad es una funcin continua

en a, ya que Q(s) contiene un solo factor (s-a) que se simplificar con el del numerador. Por otra parte W(s) es la expresin con la que representamos las

dems fracciones simples que no contienen a (s-a) en su denominador. Tomando

limite para s a ser : A = )(/)).((lim sQassPaS

3) Tomando como base el segundo mtodo podemos deducir un tercer mtodo :

como P(s).(s-a)/Q(s) tambin puede escribirse bajo la forma P(s)/ )(

)(

as

sQ

,

tomando limite s a

A = )(

)(/)(lim

as

sQsP

aS =

aSas

sQ

sP

)(

)(lim

)(lim pero )()(lim aPsP

aS

Adems )('1

)('lim

)(

)(lim aQ

sQ

as

sQ

aSaS

)('

)(

aQ

aPA

operando de igual manera con las races b, c, ..........obtenemos B, C, .......

Ejemplo : Hallar la transformada inversa de : -1

sss

s

6

123

a) Aplicando el primer mtodo

Para 0.623 sss 0)6.( 2 sss s1 = 0

de 062 ss s2 = 2 s3 = -3 por lo tanto

32)3(20.6

123

s

C

s

B

s

A

s

C

s

B

s

A

sss

s

s +1 = A (s - 2) (s + 3) + B s.(s + 3) + C.s.(s - 2)

si : s = 0 1 = -6A A = - 1/6

s = 2 3 = 10.B B = 3/10

s = -3 -2 = 15.C C = -2/15 reemplazando

26

)3.(15

2

)2.(10

3

.6

1

.6

123

ssssss

s por lo que su transformada

inversa ser :

-1 6

1

.6

123

sss

s -1

s

1+

10

3 -1

2

1

s - 15

2 -1

3

1

s

-1 tt eetf

sss

s .3.223 15

2

10

3

6

1)(

.6

1

b) Obtencin de los coeficientes por segundo mtodo

si 32)3).(2.(

1

s

C

s

B

s

A

sss

s

multiplicamos ambos miembros por el primer denominador S y luego tomamos limite para s 0, obtenindose as el coeficiente A

6

1

)3).(2(

1lim

0

ss

sA

s

multiplicamos ahora ambos miembros por (s 2) y tomamos limite para s 2 tendremos :

10

3

)3.(

1lim

2

ss

sB

s , finalmente para hallar C multiplicamos por (s+3) y

tomamos limite cuando s -3

15

2

)2.(

1lim

3

ss

sC

s

c) Aplicando el tercer mtodo tendremos : Q(s) = 3 s2 + 2.s 6

61

6.2.3

1

)(

)(

0

2

sss

s

aQ

aPA

103

6.2.3

1

)(

)(

2

2

sss

s

bQ

bPB

27

152

6.2.3

1

)('

)(

3

2

sss

s

cQ

cPC

Segundo Caso : Q (s) tiene races Complejas Simples Se trata de hallar la transformada inversa de una expresin P(s)/Q(s) cuyo

denominador tiene races complejas para Q(s)= 0 que llamaremos a = + i

b = - i . Se emplea cualquiera de los mtodos vistos anteriormente para el

caso de races reales simples as, P(s)/Q(s) = )(sWbs

B

as

A

siendo el

ultimo termino una funcin que contiene a todas las dems races posibles de

Q(s), no siendo ninguna de estas iguales: a b. Por lo tanto resolviendo

-1 tbta eBeAsQsP .. ..)(/)( -1{W(s)}, termino este ultimo que no consideraremos su resolucin; interesa para el calculo practico dar una forma

real a la primera parte del segundo miembro

as tittittititbta eeBeeAeBeAeBeA .....).().(.. ........

= )...(cos.)...(cos... tseniteBtseniteA tt

y agrupando: tseniBAtBAe t ..)(.cos)(. tsenCtCe t ..2.cos.1.

Ejemplo : Hallar la Transformada inversa : -1

9

2.62s

s

Si : s2 + 9 = 0 s1 = 3 i s2 = -3 i por tanto

is

B

is

A

s

s

339

2.62

por lo que -1

9

2.62s

s=

titi eBeA ..3..3 .. tambin

que titi eBeA ..3..3 .. (A+B) cos 3 t + (A-B) i sen 3 t , en forma real

determinamos entonces los valores de A y B

28

33

.2

2.6

)(

)(

.31

1 i

s

s

sQ

sPA

iS

33

.2

2.6

)(

)(

.32

2 i

s

s

sQ

sPB

iS

A + B = 6 (A - B) i = -2/3 reemplazando estos valores

f (t) = 6. cos 3 t - tsen .3.3

2 que es el resultado buscado.

Tercer Caso : Q (s) tiene races reales mltiples Supongamos P(s)/Q(s) donde Q(s) es de grado mayor que P(s) y Q(s) = 0

tiene una raz triple en s = a , podemos escribir :

P(s)/Q(s) = )()()( 23

sWas

C

as

B

as

A

, termino este ultimo que

contiene a todas las dems fracciones de las posibles races distintas de a. Multiplicando ambos miembros por la mayor potencia de (s - a) que aparece en

los denominadores, sea por (s a)3, obtenemos

P(s).(s - a)3/ Q(s) = )(.)().()(

32 sWasasCasBA .(1)

Llamando a la, funcin del primer miembro H(s) = P(s).(s-a)3/Q(s)

Obtendremos )(lim sHAaS

, ya que todos los dems trminos del segundo

miembro se anulan cuando s = a , excepto A.

Luego derivando sucesivamente la expresin (1) y tomando limite para s a, encontraremos los dems coeficiente B, C,.......; ejemplo

H(s) = B +2.C (s a) + [(s a)3. W(s)] B = )('lim sHaS

H(s) = 2 ! c + [(s a)3.W(s)] C = !2

)(''lim

sH

aS

Podemos generalizar el mtodo para un grado multiplicidad n

)()(

............)()(

)()(1

sWas

N

as

B

as

AsQsP

nn

siendo H(s)= )()).(( sQassPn ;A= H(a); B = H(a),C=

!2

)('' aH;

)!1(

)1(

)(

n

HN

n

a

29

Ejemplo : Hallar la transformada inversa de 345 .2

2)(

sss

ssF

para 0.2345 sss tendremos :

0)1.2.( 23 sss s1 = s2 = s3 = 0 s4 = s5 = 1 luego

)1()1(.2

2223345

s

E

s

D

s

C

s

B

s

A

sss

s

para hallar los tres primeros coef. multiplicaremos por s 3 ambos miembros de la

igualdad, y para hallar los restantes lo hacemos por (s 1)2 y luego tomamos los limites correspondientes.-

Para la raz triple s = 0 tenemos:

)1.2.(

).2(

)(

)).(()(

23

3

sss

ss

sQ

assPsH

n

=1.2

22

ss

s por lo que

21.2

2)(lim

0

20

SS ss

ssHA

5)1(

5

)1(

2.lim)('lim

0

3200

SSS s

s

s

s

ds

dsHB

8)1.(2

)5.()1.(3)1(

)1(

2lim

2

1

!2

)(''lim

0

6

23

22

2

00

SSS s

sss

s

s

ds

dsHC

Para la raz doble s = 1 tendremos :

323

2 2

)1.(

)1).(2()()).(()(

s

s

ss

sssQbssPsL n

los coeficientes

sern 32

lim)(lim311

s

ssLD

SS

86.2

lim)('lim411

s

ssLE

SS

f (t) = -1

345 .2

2

sss

s=

tt eettt .8..38.52

Cuarto Caso: Q(s) tiene races complejas mltiples El procedimiento en estos casos, es el mismo que se utiliz para el caso de

races reales mltiples, teniendo cuidado de darle al resultado final la forma

de una funcin real.

30

Ejemplo: Supongamos la ecuacin diferencial, con valores iniciales

y+ y = 2.cos t con y(o) = 0 y(o) = 0, aplicamos transformada

{y} + {y} = 2 . {cos t} resolviendo estos trminos

.2s {y} s. y(o) y(o) + {y} = 1

.22 s

s aplicando las condiciones iniciales del

problema y(o) = 0 y(o) = 0 tendremos

s2 . {y} + {y} = 1

.22 s

s despejando {y} {y} = 22 )1(

.2

s

s como

vemos cuando 0)1(22 s tendremos races complejas repetidas a = i ;

b = - i ; c = i ; d = -i

(1)

Determinacin del valor de los coeficientes

Multiplicamos (1) por (s i)2 y tomando limites para s i tenemos

2).2(

.2

)(

.2lim

22

i

i

i

is

sA

iS

0)(

.4).(2

)(

.2lim

32

iSiS is

sis

is

s

ds

dC

Multiplicamos ahora (1) por (s+i)2

y tomamos limite cuando s -i

2)(

.2lim

2i

is

sB

iS

; derivando respecto de s , ser :

)()()()()1(

.22222 is

D

is

C

is

B

is

A

s

s

31

0)(

.4).(2

)(

.2lim

32

iSiS is

sis

is

s

ds

dC

Por lo que -1

22 )1(

.2

s

s A . -1 .

)(

12

Bis

-1

2)(

1

is

y (t) = ...tieA -1

2

1

s +

tieB .. -1

2

1

s = titi eBeAt .. ...

debemos dar a esta expresin una forma real equivalente

y(t) = t. [A.(cos t + i. sen t) + B (cos t i sen t) ]= = t. [(A+B) cos t + i.(A-B).sen t] = t . sen t

y(t) = t . sen t ya que A + B = 0 i (A - B) = 1

Veamos otro mtodo de resolucin : Convolucion

De gran inters tanto terico como practico son los resultados relativos al

producto de transformadas, cuando se trata de hallar transformadas inversas de

la forma -1 {F(s). G(s)} donde F(s) G(s) son conocidas. Veamos:

Dada las funciones f (t) y g (t) definidas t 0 se llama Convolucion de f y g y lo representamos por f * g , a la funcin de t dada por la expresin

t

dgtfgf0

).().(* ; la Convolucion goza de las propiedades,

asociativas y conmutativa, as :

f * (g * h) = (f *g)*h

f * g = g * f sea tt

dftgdgtf00

)().().().(

bajo estas condiciones se demuestra :

Si : {f (t)} = F(s) {g (t)} = G(s)

-1 {F(s) . G(s)} = f * g -1{F(s) .G(s)} = t

dgtf0

).().(

tambin suele encontrarse bajo la forma :

{f (t)} . {g (t)} = {f * g}

Demostracin : Por definicin de transformada tenemos :

{f * g} = t

dgtf0

).().( =

t

t

tS dtdgtfe00

. .).().(.

la doble integracin define una regin del plano t ; donde

32

0 t 0 t , se puede representar tambin por las siguientes

inecuaciones equivalentes de la

misma regin de integracin:

0 t de modo que la transformada de la

convolucion es

0

.

0

. ..).(.)(.).().(.

dtdetfgdtdgtfet

tS

t

tS

haciendo t - = t - = dt = du si t = u = 0

t = + si t u

{f * g} =

0 0

.

0

.

0

)( .).(.).(.).()(

u

uSS

u

uS dduufeegdudufeg

F(s)

= F(s) .

0

. .).(

deg S = F(s) . G(s) por lo tanto :

si : {f * g} = F(s) . G(s) -1 {F(s) . G(s)} = f * g

con lo que queda demostrado.

Ejemplo:

1.- Hallar la transformada inversa -1

)1.(

12ss

; consideramos

-1 11

s; -1 tsen

s.

1

12

entonces aplicando convolucion -1 tsenss.*1

)1.(

12

1*sen t = t t

dsen0 0

.cos...1 = 1 cos t -1 cos1)1.(

12

sst

2.- Hallar -1

)1(

122 ss

consideramos :

0 t

t =

33

-1 ts

2

1 -1 tsen

s.

1

12

as :

-1

t

dsenttsentss 022

.).(.*)1.(

1 resolviendo :

t

dsent0

..).( = tsentdtt

...cos.cos).(0

-1 tsentss

.)1.(

122

3.- Hallar -1

222 3)2(

1

s; aplicando prop. Traslacin

-1 .

3)2(

1 .2222

tes

-1

222 3

1

s ahora bien

)3(

1.

)3(

1

)3(

12222222 sss

3

.3. tsen.

3

.3. tsen por lo que

-1

t

dsentsentsentsens 0222

..3.).(3.9

1.3.

3

1*.3.

3

1

)3(

1

tt

ttsendtt

00

.3.cos.6

).36(

18

1

2

..3.cos)..3.6cos(

9

1

tt

tsen.3.cos.

3

.3.

18

1 ).3.cos..3.3.(

54)(

.2

tttsene

tft

Este ejemplo muestra como en ciertos casos, cuando el denominador de la

transformada tiene factores cuadrticos repetidos, se puede utilizar el teorema de

convolucin, en lugar del mtodo para races con repeticin, considerndolo de

la forma P(s)/Q(s)

34

- Teorema de Unicidad de la Transformada Inversa

Si para una dada funcin F(s), existe una f (t) tal que {f (t)}= F(s), entonces

llamamos a f la transformada inversa de Laplace de la funcin F.- Esta relacin

en la transformacin entre f y F se describe simblicamente mediante:

f (t) = -1{F(s)}, esto significa solamente que si cumple que

f (t) = -1{F(s)} {f (t)} = F(s) ; por ejemplo, hemos demostrado que

{1} = s

1 por lo que es correcto decir que -1 1

1

s. Sin embargo, nos

enfrentamos an con la cuestin de si este resultado encontrado es nico o hay

otras, cuyas transformadas inversas existen y es igual a uno.

Es difcil encontrar ejemplos prcticos de funciones, laplace-transformables f

g tales que {f (t)} = {g (t)}

Veamos

Sea la funcin de variable t , g (t) tal que:

g (t) = 1 t 2

2 t = 2

Entonces {g (t)} = dttgedttgetsts ).(.).(.

2

.2

0

. como g (t) = 1

en esos intervalos ser :

{g (t)} = dtedtedte tststs ..1..1.0

.

2

.2

0

. {1} =

s

1

Lo que demuestra que no tiene importancia el valor de g en t =2 y su transformada es la misma que la transformada de la funcin constante, continua

f (t) = 1, o que la funcin Escaln Unidad u(t)

luego -1

s

1 no es nica

Para describir esta carencia de unicidad de la transformada inversa, necesitamos

de otras definiciones como ser :

g

1

0 2

2

g(t)

t

35

Funcin Nula : Definicin. Es una funcin N, tal que para todo valor de T se

verifica que T

dttN0

0).( ; los ejemplos mas simples de ellas, lo

constituyen todas aquellas que en un numero finito de puntos de su dominio no

se hacen cero, siendo nula para los dems, veamos dos casos grficamente :

N1

0

P1P2

t1 t2 t

t1

t2

t3

t4 t5 t

P1

0

P2

P3

P4

P5

N2

Si la diferencia entre dos funciones integrables f g es una funcin nula, de manera que : f (t) = g (t) + N (t) , toda integracin en un intervalo 0; T de

esta igualdad ser por supuesto T T

dttgdttf0 0

0).().( T 0. El

resultado bsico sobre la falta de unicidad de la transformada inversa se enuncia

mediante:

Teorema de Lerch

Si f (t) = -1 {F (s)} g (t) = -1 {F (s)} f (t) = g (t) + N (t) ; t 0

Esto es, dos transformadas inversas f g de una misma F, pueden diferir cuando

mas, en una funcin nula N(t) t 0

Una consecuencia inmediata es que si f g son continuas y a su vez

transformada inversa de una misma F(s), entonces las funciones f g son

idnticas t 0 . Adems si f g son seccionalmente continuas con idnticos intervalos de continuidad, y con la misma transformada, entonces

pueden tener valores diferentes, solo en los puntos de discontinuidad.

En la mayora de las aplicaciones reales esas condiciones de continuidad se

imponen a la solucin del problema, de tal manera de que para un gran numero de propsitos prcticos la transformada inversa puede considerarse nica. As, estas apreciaciones practicas, nos permiten construir las tablas de

transformadas inversas, uno a uno.