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Teoría microeconómica:elección racional

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Teoría microeconómica:elección racional

Francisco Lozano

EDITORIAL

Bogotá, D.C., agosto de 2012

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Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia

Lozano Gerena, Francisco Javier, 1972-

Teoría microeconómica : elección racional / Francisco Lozano. – Bogotá :

Universidad Nacional de Colombia. Vicerrectoría Académica. Facultad

de Ciencias Económicas, 2012

464 p. – (Textos)

Incluye referencias bibliográficas

ISBN : 978-958-761-251-6 - - ISBN : 978-958-761-240-0 (e-book)

1. Microeconomía 2. Expectativas racionales (Teoría económica)3. Economía Matemática I. Tít. II. Serie

CDD-21 338.5 / 2012

© Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Económicas

© Editorial Universidad Nacional de Colombia

© Francisco Lozano

Editorial

Universidad Nacional de Colombia

Óscar Fernando Castellanos

Director

Comité editorial

Óscar Fernando Castellanos

Jaime Franky

Julián García González

Luis Eugenio Andrade Pérez

Salomón Kalmanovitz Krauter

Gustavo Silva Carrero

Primera edición, 2012

ISBN 978-958-761-251-6

ISBN 978-958-761-240-0 (e-book)

Diseño de carátula Colección Textos

Ángela Pilone Herrera

Edición

Editorial Universidad Nacional de Colombia

[email protected]

www.editorial.unal.edu.co

Bogotá, D. C., Colombia, 2012

Prohibida la reproducción total o parcial

por cualquier medio sin la autorización escrita

del titular de los derechos patrimoniales

Impreso y hecho en Bogotá, D. C., Colombia

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A Mari

a mis padres,

a Nanda y su familia, a Caro,

a Tere (q. e. p. d.)

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Contenido

Introducción 11

1 Nociones matemáticas 151.1 Nociones de teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . 171.2 Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3 Conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.4 Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.5 Optimización estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2 Teoría del consumidor racional 1012.1 Preferencias y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.2 El problema de maximización

de la utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.3 El problema de minimización del gasto . . . . . . . 1502.4 Variaciones de precios . . . . . . . . . . . . . . . . . 1642.5 Preferencia revelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3 Teoría del productor racional 2053.1 Conjuntos y funciones de producción . . . . . . . . 2063.2 El problema de maximización

del beneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183.3 El problema de minimización de costos . . . . . . . 2353.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

4 Elección racional bajo riesgo 2594.1 Preferencias y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.2 Loterías monetarias y aversión al riesgo . . . . . . . 282

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Teoría microeconómica: elección racional

4.3 Algunos problemas de elección bajo riesgo . . . . . 2944.4 Algunas críticas a la teoría

de la utilidad esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . 3154.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

5 Economías Arrow-Debreu 3355.1 Economías Arrow-Debreu de intercambio

puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3365.2 Elección social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3675.3 Estabilidad del equilibrio walrasiano . . . . . . . . . 3825.4 El núcleo y el equilibrio walrasiano . . . . . . . . . . 3925.5 Una economía Arrow-Debreu con producción . . . 4035.6 Economías de generaciones traslapadas . . . . . . . 411

5.6.1 Una economía de generacionestraslapadas de intercambio puro . . . . . . . 411

5.6.2 Una economía de generacionestraslapadas con producción . . . . . . . . . . 418

5.6.3 La economía de Diamond . . . . . . . . . . . 4245.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

Bibliografía 447

Índice analítico 455

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Introducción

La idea de escribir este libro surgió de las notas de clase que utilicé enlos últimos años como profesor de la Maestría en Ciencias Económicasde la Universidad Nacional de Colombia, y es el resultado de un pro-ceso de revisión bibliográfica, de síntesis de algunos autores sobre susaportes a la teoría y de un trabajo minucioso para plasmar en el textolos elementos fundamentales de lo que considero debería estudiarse enun primer curso de microeconomía en posgrado. Aunque a nivel inter-nacional existen textos de microeconomía de excelente calidad, escritospor economistas de gran prestigio, este es uno de los primeros librosde microeconomía que se hace en el país con un nivel de formalizaciónalto. Este trabajo es el producto del cambio que se ha dado en la ense-ñanza de la Economía en las universidades colombianas, y, en particu-lar, en la Universidad Nacional de Colombia, desde finales de los añosochenta. Por razones ideológicas, antes de esta época, la enseñanza dela microeconomía estaba ausente del pénsum de Economía o se relega-ba a un curso con poco nivel de formalización. Este texto es la expresióndel tipo de análisis que se realiza en los cursos de microeconomía quehoy en día se dictan en las maestrías en Economía de las universidadescolombianas.

Considero fundamental resaltar dos elementos que caracterizan este li-bro. En primer lugar, este texto es una aproximación inicial al estudio dela microeconomía. En particular, en el libro se analiza sólo el compor-tamiento de agentes económicos racionales bajo certidumbre e incerti-dumbre y que no interactúan unos con otros. Así, este libro contieneúnicamente los modelos básicos de los agentes racionales, dejando elestudio de las extensiones y variaciones de estos modelos para un tra-bajo posterior. En consecuencia, representa tan sólo una tercera o cuartaparte de lo que es la teoría microeconómica actual, y puede servir co-mo texto guía en el primer curso de microeconomía de las maestrías enEconomía.

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En segundo lugar, este es un libro de teoría microeconómica y, por en-de, el objetivo de los modelos analizados en este libro no es describirla realidad sino tratar de entender sistemáticamente las relaciones queexisten entre ciertas nociones económicas. Por tal motivo, los ejemplosy las aplicaciones que se presentan en el libro son teóricos y no nece-sariamente tienen un referente empírico. Así, en la teoría económica,como en toda otra teoría, se definen conceptos y se establecen relacio-nes lógicas entre ellos. Lo que hace a un modelo económico es que granparte de los conceptos utilizados son tomados de fenómenos económi-cos que aparecen en la vida real. Por tanto, es probable que este librono llene las expectativas de quienes tienen la intención de utilizar lamicroeconomía para realizar aplicaciones empíricas, ya que los mode-los analizados no pretenden describir el mundo real y mucho menosrealizar con ellos recomendaciones de política económica. De otro la-do, es importante señalar que la inadecuada comprensión de la teoríaeconómica puede llevar, por ejemplo, a la adopción de medidas de polí-tica económica inapropiadas. Por tal razón, la elaboración de una políti-ca económica sólida presupone un conocimiento profundo de la teoríaeconómica existente, la cual debe adoptarse como hipótesis provisio-nal antes de ahondar en caminos alternativos para la resolución de losproblemas económicos. El avance en la construcción de la ciencia eco-nómica requiere, como condición esencial, el conocimiento de la teoríaactual, y solo cuando ella sea comprendida podrá ser criticada y, a lapostre, superada.

Uno de los objetivos del libro es que los estudiantes de Economía com-prendan que lo esencial no es conocer de memoria ciertos resultados,sino el desarrollo de la argumentación coherente. De esta manera, si secambian los postulados sobre los que está basada una teoría, cuando elestudiante utilice argumentos lógicos, estará en capacidad de obtenerlos resultados correspondientes, y estará mejor preparado para llevara cabo un proceso investigativo exitoso. De acuerdo con esto, la mayo-ría de las proposiciones presentadas en el texto son probadas, lo quepermite ilustrar algunos métodos de demostración y argumentación.En este orden de ideas, el objetivo del capítulo 1 es dotar al lector delas herramientas matemáticas que le permitirán adentrarse en el estu-dio de los problemas de la teoría económica que serán analizados endetalle en los capítulos siguientes. Las nociones matemáticas utilizadasse definen dentro del texto principal y no como un apéndice, porqueconsidero que son una parte esencial del análisis económico: indepen-diente de si se considera que estas son o no una herramienta adecua-da para el análisis económico, la abundante y creciente literatura deEconomía Matemática muestra la importancia de que los economistasconozcan este instrumental. Si esto no ocurriera, existiría una barrera

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Introducción

inicial para acceder a discusiones actuales en teoría económica y pararealizar investigación de frontera en esta área del conocimiento. En con-secuencia, la inclusión de algunas nociones matemáticas puras se reali-za para demostrar teoremas del capítulo 1, que luego serán utilizadaspara establecer definiciones económicas y para demostrar proposicio-nes en los restantes capítulos. Un ejemplo concreto: si bien las nocionesde supremum e ínfimum presentadas en el capítulo 1 no son utilizadasdirectamente en los capítulos 2 a 4, son indispensables para demostrarel teorema de Weierstrass que garantiza la existencia de soluciones deproblemas de optimización, que finalmente son los problemas que en-frentan los agentes económicos racionales. En este sentido, el libro esautocontenido. Además, el texto contiene un gran número de ejemplosque permiten una mejor ilustración de los conceptos estudiados. Cadacapítulo contiene también una gran cantidad de ejercicios propuestosque permiten a los estudiantes confrontar el entendimiento que han ad-quirido de cada capítulo.

Es importante anotar que el símbolo ♣ denota el final de una prueba yque cuando se menciona solo el número de un ejemplo o un teorema,sin aclarar el capítulo, se está refiriendo al del mismo capítulo en el queaparece. Así, los ejemplos no se numeran como ejemplo 2.5, sino comoejemplo 5 (que está en el capítulo 2), a diferencia de cuando se enunciael ejemplo 2 del capítulo 1.

Finalmente, quiero agradecer a mis profesores de microeconomía, quie-nes me introdujeron en esta literatura y de quienes aprendí gran partede lo que está escrito en este texto: Álvaro Concha, Sergio Monsalve,Manuel Muñoz y Robert Rosenthal (q. e. p. d.). Agradezco los comen-tarios de Andrés Álvarez, Juan Pablo Herrera, Alejandro Palacio, JorgeMario Rodríguez, Fernando Tenjo y Mauricio Torres, y de mis estudian-tes de la Universidad Nacional de Colombia y de la Pontificia Univer-sidad Javeriana. También debo resaltar el apoyo que he recibido de laFacultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Co-lombia, que me generó el ambiente propicio para escribir este texto.Una mención especial merece Andrés Salamanca Lugo, quien leyó va-rias versiones del manuscrito y quien realizó comentarios valiosos queme permitieron mejorar el texto.

Francisco LozanoBogotá, D.C., marzo de 2012

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CAPÍTULO 1

Nociones matemáticas

El método de construcción de la ciencia económica y su enseñanza sonobjetos de controversia permanente. Los desarrollos en teoría económi-ca que han sido elaborados en los últimos sesenta años, que empleanuna alta dosis de matemáticas complejas, han sido duramente critica-dos. La axiomatización de la economía de forma similar a las matemá-ticas y a la física ha llevado a argumentar a sus opositores que se hanelaborado proposiciones económicas universales independientes de lascondiciones políticas, sociales e institucionales, desconociendo así el ca-rácter histórico propio de la naturaleza de la ciencia económica. Si bienes cierto que la construcción de la ciencia económica, como ciencia so-cial, debe tener en cuenta que los principios formulados no son válidosen todo tiempo y lugar sino que están sujetos a las condiciones históri-cas en las que se desarrollan los fenómenos económicos, esta posiciónno riñe con la adopción del método matemático como medio de enten-dimiento de la ciencia económica. Si se conciben las matemáticas en unsentido más general, es decir, como matemáticas universales que no serestringen exclusivamente a la utilización de símbolos, conceptos y teo-remas, sino como un sistema de pensamiento ordenado y lógico dondelas conclusiones se deducen de postulados claramente explícitos, enton-ces la economía recobraría su carácter histórico, ya que el marco social,especificado dentro de las hipótesis de un modelo económico, condicio-naría la validez de las conclusiones obtenidas.

Los fenómenos económicos que ocurren a diario son de tal complejidadque sería imposible su comprensión sin un aparato analítico que aís-le cierto tipo de fenómenos. Aunque toda discusión metodológica estásujeta a controversias, el acercamiento a la realidad y su entendimientodependen de forma fundamental del método que se utilice. En este sen-tido, gran parte de la teoría económica ha seguido el enfoque propuestopor Koopmans ( 1957 ) en uno de sus Tres ensayos sobre el estado de la cien-cia económica. Dicho enfoque afirma que el proceso de construcción delconocimiento económico se divide en dos partes:

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a) La primera es la formulación de postulados acerca del comporta-miento de los agentes económicos, y la deducción de conclusionescon base en un razonamiento lógico. Debe enfatizarse que, en estaprimera etapa, los postulados no necesariamente deben ser realis-tas; es decir, los postulados no deben corresponder fielmente alcomportamiento observado o empírico.

b) La segunda es la ampliación del conjunto de axiomas que permitaque los postulados sean cada vez más cercanos a la realidad.

Se concibe así a la teoría económica como una sucesión de modelos cuyoobjetivo es expresar en forma simplificada diferentes aspectos de unarealidad compleja. En palabras de Koopmans,

cada modelo se define por una serie de postulados, de los cuales se de-ducen aquellas implicaciones que se consideren fructíferas en relacióncon los aspectos de la realidad que aquellos recojan. El estudio de losmodelos más sencillos queda libre de la acusación de falta de realismo,en la medida que constituyen el prototipo de otros modelos ulterioresmás realistas pero también más complicados ( 1957, p. 155 ).

De acuerdo con lo anterior, las matemáticas deben utilizarse en el pro-ceso de construcción de la ciencia económica, ya que estas evitan el pe-ligro de utilizar hipótesis implícitas que impiden observar las condicio-nes bajo las cuales las conclusiones son válidas, o que inducen a cometererrores en el proceso lógico. Además, la historia de la teoría económicaevidencia que los desarrollos económicos han dependido de los desa-rrollos matemáticos. Por ejemplo, la respuesta a la pregunta sobre laexistencia de un equilibrio walrasiano dependió fundamentalmente dela demostración de teoremas de punto fijo. Esto último ilustra que al-gunos problemas económicos son tan difíciles de comprender que nopueden ser resueltos sin la ayuda de las matemáticas, y, por tanto, loseconomistas deberían tener una sólida base matemática. Lo anterior nosignifica que la economía se convierta o deba convertirse en una ramade las matemáticas y que los actuales economistas deban ser en primerainstancia matemáticos, sino que el progreso en la búsqueda del conoci-miento económico requiere de un sistema de pensamiento ordenado.

En consecuencia, las facultades de economía deben ofrecer a sus estu-diantes una mejor formación en matemáticas, ya que la falta de entre-namiento en esta área ocasiona confusión sobre aspectos teóricos fun-damentales. Valga aclarar que este entrenamiento no debe centrarse enla presentación de algunas reglas de cálculo; el objetivo es enseñar apensar con matemáticas y esto se logra realizando las demostracionesde los teoremas. Así, el estudiante no solamente se familiarizará con las

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1 Nociones matemáticas

nociones matemáticas sino que también aprenderá razonamientos quele permitirán establecer conexiones lógicas entre ellas.

Es interesante anotar que las teorías económicas que han utilizado ma-temáticas sofisticadas, y que hace algunos años eran incomprensiblespara muchos estudiantes, hoy son asimiladas con relativa facilidad. De-be advertirse, sin embargo, que la expresión literaria no se desecha co-mo una forma de análisis de los fenómenos económicos: si un hechoeconómico es susceptible de ser expresado mediante alguna noción delanálisis matemático, debe realizarse; si no es factible, debe ser expre-sado literariamente pero con precisión, y utilizando un proceso lógicoy ordenado para la derivación de las conclusiones. Así, el método pro-puesto por Koopmans es no sólo aquel de construcción de la cienciaeconómica, sino también la forma como debe enfocarse la enseñanzade la economía1.

Por los argumentos expuestos anteriormente, y a diferencia de la granmayoría de los libros de microeconomía, las herramientas matemáticasque emplearemos en este texto no se presentan como un apéndice sinocomo un capítulo, cuyo objetivo es la definición de las nociones ma-temáticas y la introducción de los teoremas que serán indispensablespara la comprensión adecuada de los temas que se abordarán en loscapítulos posteriores. Inicialmente, definiremos un conjunto ordenadoque luego se dotará de una métrica para poder definir ciertas nocionestopológicas, tales como la convergencia de una sucesión y la continui-dad de una función. Posteriormente, se le dará una estructura algebrai-ca al conjunto para definir un conjunto convexo y una función cónca-va, que serán fundamentales para describir los conjuntos de elección ylas preferencias de los agentes económicos. Por último, introduciremosla teoría de la optimización, esencial para solucionar los problemas deelección de los agentes económicos racionales. Todos los conceptos ylas herramientas utilizados en este texto hacen parte de los argumentoscentrales de la teoría económica moderna2.

1.1 NOCIONES DE TEORÍA DE CONJUNTOS

Un elemento es un objeto de algún tipo, y un conjunto S es una colecciónde elementos. Si un elemento x pertenece a un conjunto S lo denota-mos x ∈ S, y si no pertenece lo denotamos x /∈ S. Observemos que un

1Es interesante notar, como lo señala Rabin ( 2002 ), que la teoría de juegos y la econo-mía del comportamiento han seguido el enfoque metodológico propuesto por Koopmans.

2Para referencias adicionales sobre los temas que trataremos en este capítulo, consultarBrowder ( 1996 ), Carter ( 2001 ), Rudin ( 1976 ) y Simmons ( 1963 ).

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conjunto puede tener elementos que son a su vez conjuntos. Esto crea laposibilidad de que un conjunto pueda contenerse a sí mismo como unode sus elementos. A tal conjunto lo denominaremos un conjunto anor-mal, mientras que a un conjunto que no se contiene a sí mismo como unelemento lo llamaremos un conjunto normal. Sea N el conjunto de todoslos conjuntos normales. La pregunta es si N es un conjunto normal oanormal. Observemos que si N es normal, N ∈ N y, por tanto, es unconjunto anormal. Más aún, si N es anormal, N /∈ N y, en consecuen-cia, es un conjunto normal. Este resultado se conoce como la paradoja deRussell. Para evitar este tipo de problemas lógicos, de ahora en adelanteasumiremos que todos los conjuntos que consideremos consistirán deelementos de un conjunto U , llamado conjunto universal.

Los conjuntos pueden ser especificados por extensión, que consiste enlistar sus elementos, o por comprensión, que consiste en utilizar una pro-piedad que caracterice los elementos del conjunto. Si x, y ∈ S, diremosque x = y si ellos denotan el mismo elemento. Dos conjuntos X y S soniguales si tienen los mismos elementos.

Definición 1 (Inclusión de conjuntos)

X es un subconjunto de S si todo elemento de X es un elemento de S ylo denotaremosX ⊆ S. SiX es un subconjunto de S y S no es igual aX ,diremos que X es un subconjunto propio de S y lo denotaremos X ⊂ S.

La inclusión de conjuntos tiene las siguientes propiedades:

a) X ⊆ X para todo X .

b) X ⊆ S y S ⊆ X implica X = S.

c) X ⊆ S y S ⊆ Y implica X ⊆ Y .

De las propiedades a) y b) se tiene el siguiente principio de demostra-ción: X ⊆ S y S ⊆ X si y sólo si X = S.

Si un subconjunto de U no tiene ningún elemento diremos que es vacío,y lo denotaremos ∅. Por ejemplo, el conjunto de los números naturalesnegativos es vacío.

Definición 2 (Complemento de un conjunto)

Sea X un subconjunto de S. Los elementos de S que no pertenecen aX forman el conjunto denominado el complemento de X en S, el cualdenotaremos por CS X o, simplemente, CX .

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Definición 3 (Unión e intersección de conjuntos)

Sea X una colección de conjuntos.

a) Su unión, denotada⋃X∈X

X , es

⋃

X∈XX = {x /x ∈ X para algún X ∈ X }

es decir, es el conjunto de elementos que pertenecen a al menosun conjunto de la colección.

b) Su intersección, denotada⋂X∈X

X , es

⋂

X∈XX = {x /x ∈ X para todo X ∈ X }

es decir, es el conjunto de elementos que pertenecen a todos losconjuntos de la colección. Si la intersección de dos conjuntos esvacía, diremos que los conjuntos son disjuntos.

Ejemplo 1

Consideremos la siguiente colección de intervalos de

R : X =

{[a+

1

n, b− 1

n

]}∞

n=1

,

donde a y b son números reales tales que a < b. Veamos que

∞⋃

n=1

[a+

1

n, b− 1

n

]= ( a, b )

a) Sea x ∈∞⋃n=1

[a+ 1

n , b− 1n

]. Entonces

a < a+1

n≤ x ≤ b− 1

n< b

para algún n ∈ N. Por tanto, x ∈ ( a, b ).

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b) Sea x ∈ ( a, b ). Como x − a > 0, la propiedad arquimediana3

garantiza que existe n1 ∈ N tal que n1(x−a ) > 1; es decir, tal quex > a+ 1

n1. De forma similar, como b−x > 0, existe n2 ∈ N tal que

n2( b− x ) > 1; es decir, tal que x < b− 1n2

. Sea N = max{n1, n2 }.Entonces

a+1

N< x < b− 1

N

Por tanto, x ∈∞⋃n=1

[a+ 1

n , b− 1n

].

Ejemplo 2

Consideremos la siguiente colección de intervalos de

R : X =

{(a− 1

n, b+

1

n

)}∞

n=1

,

donde a y b son números reales tales que a ≤ b. Veamos que

∞⋂

n=1

(a− 1

n, b+

1

n

)= [ a, b ]

a) Sea x ∈ [ a, b ]. Entonces

a− 1

n< a ≤ x ≤ b < b+

1

n

para todo n ∈ N. Por tanto, x ∈∞⋂n=1

(a− 1

n , b+ 1n

).

b) Sea x ∈∞⋂n=1

(a− 1

n , b+ 1n

). Entonces

a− 1

n< x < b+

1

n

para todo n ∈ N. Si x < a, la propiedad arquimediana garantizaque existe n ∈ N tal que n( a−x ) > 1; es decir, tal que a− 1

n > x, locual es una contradicción. Si x > b, existe n ∈ N tal que n(x−b ) >1; es decir, tal que x > b+ 1

n , lo cual es una contradicción. Por tanto,x ∈ [ a, b ].

3La propiedad arquimediana de los números reales afirma que si x es un número real posi-tivo, para cada y ∈ R, existe n ∈ N tal que nx > y.

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Teorema 1 (Leyes de De Morgan)

Sea X una colección no-vacía de conjuntos de U . Entonces

a) C( ⋃X∈X

X

)=⋂X∈X

CX .

b) C( ⋂X∈X

X

)=⋃X∈X

CX .

Prueba

a) x ∈ C

( ⋃X∈X

X

)si y sólo si x /∈ ⋃

X∈XX si y sólo si x /∈ X para

todo X ∈ X si y sólo si x ∈ CX para todo X ∈ X si y sólo six ∈ ⋂

X∈XCX .

b) x ∈ C

( ⋂X∈X

X

)si y sólo si x /∈ ⋂

X∈XX si y sólo si x /∈ X para

algún X ∈ X si y sólo si x ∈ CX para algún X ∈ X si y sólo six ∈ ⋃

X∈XCX .♣

Teorema 2 (Leyes distributivas)

Sean A, B y D tres conjuntos. Entonces

a) A ∪ (B ∩D ) = (A ∪B ) ∩ (A ∪D ).

b) A ∩ (B ∪D ) = (A ∩B ) ∪ (A ∩D ).

Prueba

a) Observemos que x ∈ A ∪ (B ∩ D ) si y sólo si x ∈ A o (x ∈ B yx ∈ D) si y sólo si (x ∈ A o x ∈ B) y (x ∈ A o x ∈ D) si y sólo six ∈ A ∪B y x ∈ A ∪D si y sólo si x ∈ (A ∪B ) ∩ (A ∪D ).

b) Observemos que x ∈ A ∩ (B ∪ D ) si y sólo si x ∈ A y (x ∈ B ox ∈ D) si y sólo si (x ∈ A y x ∈ B) o (x ∈ A y x ∈ D) si y sólo six ∈ A ∩B o x ∈ A ∩D si y sólo si x ∈ (A ∩B ) ∪ (A ∩D ).♣

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Definición 4 (Diferencia de conjuntos)

Sean X y S dos conjuntos. La diferencia entre X y S, denotada X \ S, esel conjunto de elementos de X que no pertenecen a S; es decir, X \ S =X ∩ CS.

Definición 5 (Producto cartesiano)

Sean S1, . . . , Sm m conjuntos. El producto cartesiano, denotado porm∏i=1

Si, es el conjunto de todas las m-tuplas (x1, . . . , xm ) tal que xi ∈ Sipara todo i = 1, . . . ,m.

Ejemplo 3

El producto cartesiano de S1 = { 1, 2, 3 }, S2 = { b } y S3 = { a, c } es

3∏

i=1

Si = { ( 1, b, a ), ( 1, b, c ), ( 2, b, a ), ( 2, b, c ), ( 3, b, a ), ( 3, b, c ) }

Observemos que el orden en el cual xi y Si son escritos es esencial.

Definición 6 (Partición)

Una partición de un conjunto S es una colección de subconjuntos deS no-vacíos, disjuntos por pares y cuya unión es S; es decir, si todoelemento de S pertenece a uno y sólo uno de los subconjuntos de lapartición.

Definición 7 (Función)

Sean S y T dos conjuntos no-vacíos. Una función de S en T asigna a cadaelemento de S un único elemento de T y se denotará f : S −→ T . A losconjuntos S y T se les denomina el dominio y el conjunto de llegada de lafunción, respectivamente.

Una función consta de tres partes: dos subconjuntos no-vacíos, S y T , yuna regla f(·) que asigna a cada x ∈ S un único elemento y ∈ T plena-mente determinado. Sin embargo, un elemento de T puede ser imagende uno, de varios o de ningún elemento de S. Por ejemplo, sean S elconjunto de todos los cuadrados y T el conjunto de todos los círculos;la regla f(·) que asigna a cada cuadrado el círculo que lo inscribe defineuna función de S en T .

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Ejemplo 4

La regla que asigna a cada x ∈ R el número real |x | ≡ max{x,−x } seconoce como la función valor absoluto. Esta función posee las siguientespropiedades:

a) |x | ≥ 0; |x | = 0 si y sólo si x = 0.

b) |x | = | − x |.

c) |x+ y | ≤ |x |+ | y |.

Las propiedades a) y b) se deducen fácilmente de la definición de lafunción valor absoluto. Veamos que esta función satisface la propiedadc) conocida como la desigualdad triangular. Sean x, y ∈ R.

i) Si x, y ≥ 0, entonces |x+ y | = x+ y = |x |+ | y |.

ii) Si x, y ≤ 0, entonces |x+y | = −(x+y ) = −x+(−y ) = |x |+ | y |.

iii) Si x ≤ 0 y y ≥ 0, debemos considerar dos casos: si x+ y ≥ 0,

|x+ y | = x+ y ≤ −x+ y = |x |+ | y |

y si x+ y < 0,

|x+ y | = −(x+ y ) = −x+ (−y ) ≤ −x+ y = |x |+ | y |

Definición 8 (Gráfico de una función)

Sea f(·) una función de S en T . El gráfico de la función f(·) está definidocomo

{ (x, y ) ∈ S × T / y = f(x ) }

Definición 9 (Conjuntos imagen directa e imagen inversa)

Sea f(·) una función de S en T .

a) Sea X un subconjunto de S. El conjunto imagen directa de X , deno-tado f(X ), está definido como

f(X ) = { y ∈ T / y = f(x ) para algún x ∈ X }

Al conjunto imagen directa de S se lo conoce como el rango de lafunción f(·).

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b) Sea Y un subconjunto de T . El conjunto imagen inversa de Y, denota-do f−1(Y ), está definido como

f−1(Y ) = {x ∈ S / f(x ) ∈ Y }

Consideremos, por ejemplo, la función f(x ) = 1x de R \ { 0 } en R. El

conjunto imagen directa del intervalo [−1, 1 ] es

f( [−1, 1 ] ) = (−∞,−1 ] ∪ [ 1,+∞ ]

El conjunto imagen inversa del intervalo [ 1, 2 ] es

f−1( [ 1, 2 ] ) =

[1

2, 1

]

Teorema 3

Sean S y T dos conjuntos no-vacíos y f(·) una función de S en T . En-tonces

a) f−1(CT Y ) = CS f−1(Y ) para todo Y ⊆ T .

b) f−1

(⋂Y ∈Y

Y

)=

⋂Y ∈Y

f−1(Y ) para toda colección Y de subcon-

juntos de T .

c) f−1

(⋃Y ∈Y

Y

)=

⋃Y ∈Y

f−1(Y ) para toda colección Y de subcon-

juntos de T .

Prueba

a) x ∈ f−1(CT Y ) si y sólo si f(x ) ∈ CT Y si y sólo si f(x ) /∈ Y si ysólo si x /∈ f−1(Y ) si y sólo si x ∈ CS f−1(Y ).

b) x ∈ f−1

(⋂Y ∈Y

Y

)si y sólo si f(x ) ∈ ⋂

Y ∈YY si y sólo si f(x ) ∈ Y

para todo Y ∈ Y si y sólo si x ∈ f−1(Y ) para todo Y ∈ Y si ysólo si x ∈ ⋂

Y ∈Yf−1(Y ).

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ii


ii

ii


c) x ∈ f−1

(⋃Y ∈Y

Y

)si y sólo si f(x ) ∈ ⋃

Y ∈YY si y sólo si f(x ) ∈ Y

para algún Y ∈ Y si y sólo si x ∈ f−1(Y ) para algún Y ∈ Y si ysólo si x ∈ ⋃

Y ∈Yf−1(Y ).♣

Definición 10 (Tipos de funciones)

Sea f(·) una función de S en T .

a) Si f(S ) = T diremos que f(·) es una función de S sobre T ; es de-cir, f(·) es una función de S sobre T si todo elemento de T es laimagen de algún elemento de S.

b) Diremos que f(·) es una función inyectiva si cada elemento de f(S )es imagen de un único elemento de S.

c) Diremos que f(·) es una biyección si f(·) es sobre e inyectiva; es de-cir, f(·) es biyectiva cuando, para cada y ∈ T , f−1( { y } ) consistede un único elemento.

Definición 11 (Función inversa)

Sea f(·) una función biyectiva de S en T . Su función inversa, denotadaf−1(·), asocia a cada y ∈ T el elemento x ∈ S tal que f(x ) = y.

Ejemplo 5

Sea f : R −→ R definida por f(x ) = 5x+ 25. La función inversa de f(·)es f−1( y ) = y

5 − 5.

Definición 12 (Función compuesta)

Sean S, T y W tres conjuntos no-vacíos, f(·) una función de S en T yg(·) una función de T en W . La función compuesta, denotada g ◦ f , de Sen W está definida como ( g ◦ f )(x ) = g( f(x ) ) para todo x ∈ S.

Definición 13 (Conjuntos contables e infinito contables)

Un conjunto S es contable si existe una biyección con algún subconjuntode los números naturales; es decir, si tiene a lo más tantos elementoscomo el conjunto de los números naturales. Si la biyección es con elconjunto de los números naturales, diremos que el conjunto es infinitocontable.

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ii

ii


Ejemplo 6

a) El conjunto de los números impares positivos es infinito contable,ya que existe una biyección entre este conjunto y el de los númerosnaturales: f(n ) = 2n− 1.

b) El conjunto de los números pares es infinito contable, ya que existeuna biyección entre este conjunto y el de los números naturales:

f(n ) =

n si n es par

1− n si n es impar

c) El conjunto de los números racionales positivos también es infini-to contable. Aunque no es posible ordenarlos de menor a mayor,sí es posible ordenarlos de la siguiente forma:

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5. . .

2

1

2

2

2

3

2

4

2

5. . .

3

1

3

2

3

3

3

4

3

5. . .

4

1

4

2

4

3

4

4

4

5. . .

......

......

... . . .

Listemos estos números utilizando diagonales (omitiendo los yalistados cuando se llega a ellos). La sucesión que se obtiene es:

1,1

2, 2,

1

3, 3,

1

4,

2

3,

3

2, 4 . . .

De esta manera, cada número racional es listado una y sólo unavez. Utilizando un razonamiento similar, se puede mostrar que elconjunto de todos los números racionales es infinito contable.

d) Es posible mostrar que el conjunto de los números reales no esinfinito contable.

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ii


ii

ii


Definición 14 (Correspondencia)

Sean S y T dos conjuntos no-vacíos. Una correspondencia es una reglaque asigna a cada elemento x ∈ S un subconjunto no-vacío de T ; es de-cir, una correspondencia es una función de S en el conjunto de subcon-juntos de T .

Definición 15 (Gráfico de una correspondencia)

Sea ϕ(·) una correspondencia de S en T . El gráfico de la correspondenciaϕ(·) está definido como

{ (x, y ) ∈ S × T / y ∈ ϕ(x ) }

El gráfico de una correspondencia se ilustra en la siguiente figura:

x

ϕ( x )

Figura 1.1

Definición 16 (Relación binaria)

Sea S un conjunto no-vacío. Una relación binariaR sobre S es un subcon-junto del producto cartesiano S × S. Abusando de la notación, (x, y ) ∈R lo escribiremos como xRy.

Definición 17 (Tipos de relaciones binarias)

Sean S un conjunto no-vacío yR una relación binaria sobre S.

a) R es una relación reflexiva si xRx para todo x ∈ S.

b) R es una relación simétrica si para todo x, y ∈ S tales que xRy,entonces yRx.

c) R es una relación transitiva si para todo x, y, z ∈ S tales que xRy yyRz, entonces xRz.

[ 27 ]

ii


ii

ii


d) R es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transiti-va.

e) R es una relación antisimétrica si para todo x, y ∈ S tales que xRyy yRx, entonces x = y.

f) R es una relación completa si para todo x, y ∈ S o xRy o yRx.

g) R es un preorden (completo) si es una relación reflexiva y transitiva(completa).

h) R es un orden (completo) si es una relación reflexiva, transitiva yantisimétrica (completa).

Notemos que en la definición de una relación completa los elementosx, y pueden ser iguales. Esto implica que si una relación binaria es com-pleta, también es reflexiva. Por tanto, una relación binaria es un preor-den completo si es completa y transitiva.

Vamos ahora a definir dos relaciones a partir de una que asumimoscomo primitiva. Sea% un preorden sobre S. La relación binaria� sobreS está definida por x � y si y sólo si x % y y no y % x. La relaciónbinaria ∼ sobre S está definida por x ∼ y si y sólo si x % y y y % x.

Ejemplo 7

Consideremos el conjunto S = { a, b, c, d, e } y la siguiente relación bi-naria sobre S:R = { ( a, b ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, e ) }.

a) Esta relación no es reflexiva, ya que no todo elemento de S estárelacionado consigo mismo; por ejemplo, ( a, a ) /∈ R.

b) Esta relación no es simétrica, ya que (x, y ) ∈ R no implica que( y, x ) ∈ R; por ejemplo, ( a, b ) ∈ R, pero ( b, a ) /∈ R.

c) Esta relación tampoco es transitiva porque (x, y ) ∈ R y ( y, z ) ∈R no implican que (x, z ) ∈ R; por ejemplo, ( a, b ) ∈ R y ( b, c ) ∈R, pero ( a, c ) /∈ R.

d) Esta relación tampoco es completa, ya que podemos encontrar unpar de elementos x, y ∈ S tales que ni xRy ni yRx; por ejemplo,ni ( a, e ) ni ( e, a ) pertenecen aR.

Ejemplo 8

Consideremos la siguiente relación binaria definida sobre la colecciónde todos los subconjuntos del conjunto universal: A % B si B ⊆ A. De

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