UNIDAD III: EJERCICIOS SOBRE DERIVADAS

1.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:a ) f ( x )=3 x2−2

5x3+3 3√ x4 b ) f ( x )=3 x⋅e2 x 2+1

c ) f ( x )=x2−12 x+2

d ) f ( x )=Ln2(3 x2+2 )

e ) f ( x )=Ln√1+x1−x

f ) f ( x )=e3 x Ln x2

2.- Usando la calculadora científica, determina el valor de la pendiente en los puntos dados para cada función:

a ) f ( x )=1−e ( 5√ x ) ; x0=1 f ) f ( x )=x⋅ex2; x0 =0

b ) f ( x )=Ln √3 x2+2 ; x0=0 g ) f ( x )=5√x−19 (3 x2+2) ; x0=2

c ) f ( x )=√1−e2 x ; x0=−0 .5 h) f (x )=Ln(ex ) ; x0=0

d ) f ( x )=eLn( e2x x ); x0 =1 i ) f (x )=Ln(√ x−ax+a ); x0 =2 a

e ) f (x )=2x+5· x3 x0 =0 j) f ( x )=xLn( x) ; x0 =2

3.- Dada la función f(x) = 3x3 - 2x2 - 5x - 1, señala si es creciente o decreciente en cada uno de los siguientes puntos e indica por qué: x = 1, x = 2, x = -1, x = 0.

4.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la función en el punto x = 1.

5.- Hallar los puntos en los que la tangente a la curva y= x3

3−x2−3 x+1

es:

a) Paralela al eje OX.

b) Paralela a la recta y = 5x + 3.

c) Perpendicular a la recta y= x

3+1

6.- Halla un punto de la gráfica y=x2 + x + 5 en el cual la recta tangente sea paralela a la recta y=3x - 8.

7.- Halla los valores de a y b para los cuales la recta tangente a la curva y=x2 + ax + b en el punto P(3, 0) sea paralela a la recta y = 3 + 2x.

8.- Dada la función y=x2 - 4x + 3, encuentra un punto de su gráfica en el cual la recta tangente a ella sea paralela a la recta secante a la curva dada en los puntos de abscisas x=1 y x=4.9.- Determina los coeficientes a y b de la parábola y= ax2 + bx + 2, sabiendo que la recta tangente en el punto x=1 es la recta y= -2x.

10.- Una empresa tiene la siguiente función de producción: Q = −2

3H3+10H2

, donde H representa el número de horas de trabajo aprovechadas por la empresa diariamente, y Q el número de quintales obtenidos de un determinado producto agrícola. a) Halle el valor de H para el cual el producto total es máximo. Halle el producto total máximo.b) Graficar esta función.11.- Dada la función de demanda p=4−q y la función de costo medio de

un monopolista, Cme = q−2+ 4

q . a) Represente las funciones de costo total e ingreso total en un mismo gráfico. b) Represente las funciones de costo marginal e ingreso marginal en otro gráfico.c) Determine el valor de q que maximiza la ganancia. Compruebe estos resultados en los gráficos de los incisos a) y b). Halle la ganancia máxima. 12.- Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: p = 72 -0,04q, y la función de costos es C = 500 +30q.a) ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad?b) ¿A qué precio ocurre este, y cuál es la utilidad correspondiente?

13.- Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: p=50

√q

; y la función de costo promedio es: C=0 , 50+1000

q . Encuentre el precio y la producción que maximizan la utilidad.

14.- Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo

promedio C por unidad, está dado por: C=2 q2−36 q+210−200

q , donde 2≤q≤10 .a) ¿A qué nivel dentro del intervalo [2; 10] debe fijarse la producción para minimizar el costo total?b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [5; 10], ¿qué valor minimiza el costo total?

15.- La demanda de un mercado monopolizado sigue la ley: p = 100 -3x, y

el monopolista produce x unidades a un costo total de: C=1

2x2−3 x+1500

. Determinar el precio del artículo y la cantidad que debe producirse para obtener la máxima utilidad.16.- Un fabricante puede producir cuando mucho, 420 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación de demanda para ese producto es: p = q2 -100q +3200, y la función de costo promedio del fabricante es:

C=23

q2−40 q+10000q .

Determine la producción que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad máxima.17.- Para el producto de un monopolista, la ecuación de demanda es: p = 42

-4q y la función de costo promedio es: C=2+80

q . Encuentre el precio que maximiza la utilidad.

18.- Sea . Halle la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal, en el punto de abscisa 1.19.- Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de

la función: que pasa por el punto .

20.-Halle la ecuación de la recta tangente y normal a la curva

, en el punto donde .

21.- Sea : , halle la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de que pasa por el punto .

22.-En las funciones siguientes determina los intervalos de monotonía, hallando la posición de los puntos críticos y sólo con dicha información intenta razonar la existencia en los mismos de mínimos, máximos o puntos de inflexión: