Aplicaciones de las Ecuaciones Cuadráticas
• Ejemplo 1 (Jardinería): Un jardín rectangular es 60 por 80 pies. Parte del jardín ha sido removido para instalar una acera de ancho uniforme alrededor de el. El área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín.
Indique el ancho de la acera.
Ejemplo 1 (Jardinería) …
1. Planteamiento del problema.
xx
xxx
xx
x
60 pies
80 pies
Jardín viejo
Jardín nuevo
Acera
Como no sabemos el ancho de la acera, llamamos a su ancho x.
60 – 2x
80 – 2x
Ejemplo 1 (Jardinería) …
2. Traduzca en una ecuación. El área de un rectángulo es largo por ancho.
Área del jardín viejo = 60 ∙ 80;
Área del nuevo jardín = (60 - 2x)(80 – 2x)
Debido a que el área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín, tenemos:
(60 – 2x)(80 – 2x) = ½ ∙ 60 ∙ 80
3. Solucionar la ecuación:
2
2
2
160 2 80 2 60 80
2
4800 120 160 4 2400
4 280 2400 0
70 600 0
10 60 0
10 o 60
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
Multiplicando en ambos miembros.
Agrupando y transponiendo términos.
Dividiendo entre 4
Factorizando
Usando el principio de cero como producto
4. Comprobación: Sustituimos en la ecuación original.
10 60
60 2 60 2
60 2 60 20 60 2 60 120
40 60
80 2 80 2
80 2 80 20 80 2 80 120
10 60
60
10 60
40
x x
x x
x x
Para Para
Ancho Ancho
Ancho pies Ancho
Largo Largo
Largo pies Largo
Solución verdadera porque el ancho y largo dan números positivos
x = 60 no puede ser porque el ancho y largo dan negativo y no puede ser negativo.
5. Respuesta:El ancho de la acera es de 10 pies.
• Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) :
Una escalera se reclina contra un edificio, como se indica en el dibujo. La escalera mide 20 pies de largo. La altura donde se apoya la escalera es 4 pies mayor que la distancia (d) de la escalera al edificio.
Encuentre la distancia d y la altura donde se apoya la escalera.
Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …
1. Planteamiento del problema.
Primero hacemos un dibujo y lo identificamos. Queremos encontrar d y d + 4.
20 ft 4d
d
20 ft d + 4
d
Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …
2. Traduzca en una ecuación.
Usando el Teorema de Pitágoras, dado que se forma un triángulo rectángulo en la figura, tenemos:
2 2 2
22 220 4
c a
d d
b
Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …
3. Resolver la ecuación.
22 2
2 2
2
2
20 4
400 8 16
2 8 384 0
4 192 0
16 12 0
16 0 o 12 0
16 o 12
d d
d d d
d d
d d
d d
d d
d d
Elevando al cuadrando.
Agrupando y transponiendo términos.
Dividiendo por 2.
Factorizando.
Usando los productos nulos.
Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …
4. Resultado final.
La distancia d es 12 pies y la altura a la que se apoya la escalera es 12 + 4 (d + 4), o 16 pies.
Ejemplo 3 (localización de la Escalera) .
Suponga que la escalera en el Ejemplo 2 tiene una longitud de 10 ft.
Encuentre la distancia d y la distancia d + 4.
Usando el mismo razonamiento del problema anterior (Ejemplo 2), traducimos el problema a la ecuación102 = d2 + (d + 4)2.
Ejemplo 3 (localización de la Escalera) …
Usando la fórmula cuadrática:
2 2
2
2
22 4 4
100 8 16
2 8 84 0
4 42 0
44
2 2
4 16 168 4 184
2 2
4 4 46 4 2 46
1 4
2 6
1
4
2
2 2
d d d
d d
d d
b b acd
a
Elevando al cuadrando
Agrupando términos.
Multiplicando por ½, o dividiendo entre 2
Ejemplo 3 (localización de la Escalera) …
2 26 0 46 2,
2 46 2 6.782 4.782
4 4.782 4 8.782
d
d
Dado que y encontramos que
pies
pies
Respuesta:
d = 4.782 pies. d + 4 = 8.782 pies.
• Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) :
La temperatura T, a la cual hierve el agua, se relaciona con la altitud h, en metros sobre el nivel del mar, mediante la fórmula:
Válida entre .
La elevación aproximada del Monte Everest es de 8840, ¿cuál será la temperatura a la cual hierve el agua en la cima de esa montaña ?
21005801001000 TTh
10095 T
• Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente)
1.- Obtención de la ecuación:
Se sustituye h = 8840 en la fórmula, esto es:
Ahora se sustituye temporalmente , resultando:
Que también se puede representar como:
Dividiendo entre 10, tenemos:
210058010010008840 TT
Tx 100
258010008840 xx
088401000580 2 xx
088410058 2 xx
• Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente)
2.- Solución de la ecuación:
Se aplica la ecuación cuadrática con: a = 58, b = 100, c = -884.
86.4116
563
135.3116
77.363
116
463100
116
215088100
116
20508810000100
582
884584100100
2
1
2
x
xx
x
x
x
• Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente)
3.- Solución del problema:
Se sustituyen los resultados en la expresión x = 100 – T, y obtenemos:
100 – T = 3.135 y 100 – T = -4.86
Por lo que T toma los Valores: T = 96.86, y T = -104.86
Examinando con detenimiento el problema, en el enunciado se señala que la fórmula es válida para 95 T 100, por lo que la solución T = -104.86 no es válida y se debe desechar.
En conclusión, la temperatura a la que hierve el agua en la cima de monte Everest es:
T = 96.86 °C.
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