Programa Acadmico Preparatorio
PAP
Escuela de Formacin de Profesores de
Enseanza Media
Curso de Matemticas
Lgica Matemtica
Profesor Pedro Comelli
Lgica Matemtica
La lgica es el estudio del razonamiento; estudia los mtodos, procedimientos y
tcnicas que nos permiten distinguir el razonamiento correcto del incorrecto
El Clculo Proposicional, se aplica en expresiones que pueden se verdaderas o
falsas, y resulta til para muchas aplicaciones en computacin, entre las que
podemos citar, anlisis de circuitos, anlisis y confiabilidad de sistemas mediante
rboles lgicos, diversas aplicaciones de solucin a problemas de planeacin, etc.
En la vida diaria, podemos resolver determinados problemas usando simplemente
lgica (razonamiento). Tratemos de resolver los siguientes ejemplos:
1) Ana, Beatriz y Carmen son deportistas. Una es tenista, otra gimnasta y otra
nadadora. La gimnasta, la ms baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de
Beatriz, es ms alta que la tenista. Qu deporte practica cada una?
2) ngel, Boris, Csar y Diego se sentaron a beber. El que se sent a la izquierda
de Boris, bebi agua. ngel estaba frente al que beba vino. Quien se sentaba a la
derecha de Diego beba ans. El del caf y el del ans estaban frente a frente.
Cul era la bebida de cada hombre?
En el clculo proposicional, hacemos uso de PROPOSICIONES, cuya
caracterstica fundamental es que son expresiones o enunciados con sentido y
que pueden ser catalogados como falsos o verdaderos. La verdad o falsedad de
un enunciado se llama su VALOR DE VERDAD.
Los principios fundamentales de la lgica son:
1) Principio de no contradiccin Un enunciado no puede ser verdadero y falso al
mismo tiempo
2) Principio del tercer excluido Un enunciado slo puede ser verdadero o falso.
Ejemplos de proposiciones:
1. 9 es un nmero impar
2. 4 es mltiplo de 3
3. Un cuadrado tiene 3 lados iguales
4. La tierra es redonda
5. Centroamrica est en Europa
Ejemplos de enunciados que no son proposiciones:
1. Cmo te llamas?
2. Hasta pronto.
3. corran!
4. Ella vive en Suiza
Si una proposicin contiene uno o varios sujetos y un predicado que afirma algo
sobre dichos sujetos, entonces decimos que es una proposicin simple.
Toda proposicin simple est dada en forma afirmativa, pero esto no significa que
siempre deber ser verdadera. Las proposiciones 2 y 3 estn dadas en forma
afirmativa, pero sus valores de verdad son falsos.
4 es mltiplo de 3
Un cuadrado tiene 3 lados iguales
En general, las proposiciones de la 1 a la 5 son llamadas PROPOSICIONES
SIMPLES, (slo constan de un enunciado).
9 es un nmero impar
4 es mltiplo de 3
Un cuadrado tiene 3 lados iguales
La tierra es redonda
Cuando las proposiciones constan de dos o ms proposiciones simples, unidas
mediante uno o ms de los conectivos u operadores lgicos y, o,
si.entonces, si y solo si entonces reciben el nombre de
PROPOSICIONES COMPUESTAS.
EJEMPLO:
1. Antigua est en Guatemala y Guatemala est en Centroamrica
2. 7 + 5 = 12 si y solo si 12 5 = 7
3. Si un tringulo es rectngulo, entonces uno de sus ngulos mide
90grados.
Los enunciados se denotarn por las letras p, q, r, s....etc, las cuales se conocen
como letras proposicionales.
CONJUNCIN: p q (se lee p y q o si p y q )
Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra Y.
Para formar un enunciado compuesto. La conjuncin se denota simblicamente
por .
El valor de verdad del enunciado compuesto p q ser verdadero solamente si p
y q son verdaderas, en otro caso el valor de verdad de p q ser falso.
Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma:
Ejemplo:
Sean los enunciados:
p: 5 es un nmero natural impar
q: 3 + 2 = 6
p q : 5 es un nmero natural impar y 3 + 2 = 6.
DISYUNCIN: p q (se lee si p o q )
Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra o
para formar un enunciado compuesto. La disyuncin se denota simblicamente
por .
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
El valor de verdad del enunciado compuesto p q ser falso solamente si p o
q son falsas, en otro caso el valor de verdad de p q ser verdadero. Este o es
inclusivo, es decir si p es verdadera o q es verdadera o ambas son verdaderas,
el enunciado compuesto ser verdadero.
Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma:
Ejemplo:
Sean los enunciados:
p: 7 es divisor de 9
q: 7 es divisor de 14
El valor de verdad del enunciado compuesto del ejemplo anterior es
VERDADERO, pues el primer enunciado es falso y el segundo verdadero, y solo
sera FALSO si ambos enunciados fueran falsos, de acuerdo al conectivo lgico
utilizado.
Se puede interpretar como: 7 es divisor de 9 o de 14 o de ambos.
Existe tambin un o exclusivo, el cual como su nombre lo indica, excluye la
posibilidad de que las dos proposiciones se cumplan.
En la proposicin compuesta 2 es un nmero par o impar, slo una de las dos
proposiciones puede cumplirse.
BICONDICIONAL: p q (se lee p si y solo si q )
Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra si y
solo si para formar un enunciado compuesto. La bicondicionalidad se denota
simblicamente por
El valor de verdad del enunciado compuesto p q ser verdadero solamente
si p es verdadera y q es verdadera, o si p es falsa y q es falsa; en otro caso el
valor de verdad de p q ser falso..
Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma:
Ejemplo:
Sean los enunciados:
p: Guatemala es un pas de Centroamrica
q: 3 + 2 = 6
El valor de verdad del enunciado compuesto del ejemplo anterior es FALSO, pues
el primer enunciado es verdadero y el segundo falso, y es el nico caso en el cual
el enunciado compuesto puede ser falso utilizando este conectivo.
BICONDICIONAL: p q (se lee p si y solo si q )
Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra si y
solo si para formar un enunciado compuesto. La bicondicionalidad se denota
simblicamente por .
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
El valor de verdad del enunciado compuesto p q ser verdadero solamente si
p es verdadera y q es verdadera, o si p es falsa y q es falsa; en otro caso el valor
de verdad de p q ser falso.
Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma:
Ejemplo:
Sean los enunciados:
p: 5 es un nmero primo
q: 8 15
El valor de verdad del enunciado compuesto del ejemplo anterior es FALSO,
pues el primer enunciado es verdadero y el segundo falso.
NEGACIN: p (se lee es falso que p o no es cierto que p
o no p)
Dado un enunciado p, se puede formar otro enunciado que se llama negacin de
p. La negacin se denota simblicamente por .
Lo anterior se puede expresar por medio de una tabla de la siguiente forma
EJEMPLO:
Sea el enunciado:
p: Guatemala es un pas de Centroamrica
p: Guatemala no es un pas de Centroamrica,
No es cierto que Guatemala sea un pas de
Centroamrica.
ANLISIS PROPOSICIONAL
VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
Los valores de verdad de una proposicin compuesta dependen de los valores de
verdad de las proposiciones simples que la conforman.
EJEMPLO
Sean las proposiciones:
p: Atitln es un lago de Guatemala
q: Guatemala est en Europa
r: Europa est en Centroamrica
Determine el valor de verdad del enunciado compuesto siguiente:
(p q r) (p r)
Si describimos verbalmente este enunciado compuesto, dir: Si Atitln es un lago
de Guatemala y Guatemala est en Europa, entonces Europa est en
Centroamrica, o Atitln es un lago de Guatemala si y solo si Europa no est en
Centroamrica
Por simples conocimientos generales, podemos afirmar que p es verdadera, q es
falsa y r es falsa. Partiendo de estos valores de verdad, realizamos lo siguiente:
En esta proposicin compuesta observamos el uso de signos de agrupacin
(parntesis). Algunas proposiciones compuestas ms complejas hacen uso de
ms signos de agrupacin, como corchetes y llaves { }. El orden en que se
trabajarn ser, de adentro hacia fuera.
TABLAS DE VERDAD
Son un instrumento que nos permite mostrar de una manera simple la relacin de
una proposicin compuesta con los valores de verdad de sus proposiciones
simples, tomando en cuenta todas las posibles alternativas en cuanto a la
combinacin de sus valores de verdad, pues lo mismos se desconocen.
Las primeras columnas de la tabla estarn formadas por las variables p, q, r..... Si
tenemos 2 proposiciones simples, entonces tendremos 4 filas; si son 3
proposiciones simples, entonces tendremos 8 filas, y en general, si le llamamos n
al nmero de proposiciones, entonces el nmero de filas que obtendremos es 2n,
dnde 2 es una base constante (nunca cambia) y n es el exponente al cual
estar elevada esa base.
Despus, contaremos con varias columnas para cada paso sucesivo del clculo
del valor de verdad que se busca para la proposicin, valor que aparecer en la
ltima columna.
Ejercicio
Hallar la tabla de verdad de la proposicin: p q
Pasos:
1) Tomar en cuenta todas las posibles combinaciones de valores de verdad
para p y q, por medio de la frmula 2n ( 22 = 4)
2) Obtener la columna p (negar p)
3) Formar la conjuncin p q
Como los valores de la ltima columna no son o todos verdaderos o todos falsos,
sino que son una combinacin de ambos, entonces se dice que el enunciado
compuesto p q es una CONTINGENCIA.
Hallar la tabla de verdad de la proposicin:
(p q) (p q )
Podemos observar que en la ltima columna, todos los valores son verdaderos.
Por lo tanto, el enunciado compuesto (p q) (p q ) es una TAUTOLOGA.
Cuando todos los valores de la ltima columna son falsos, entonces el enunciado
compuesto que dio origen a este resultado es una CONTRADICCIN.
PROPOSICIONES EQUIVALENTES
Dos proposiciones son lgicamente equivalentes si los resultados que se obtienen
en la ltima columna de cada tabla de verdad correspondiente son idnticos.
El smbolo se lee es lgicamente equivalente a.
Ejemplo
p q r p q ( p q) r
V V V V V
V V F V F
V F V F F
V F F F F
F V V F F
F V F F F
F F V F F
F F F F F
Se puede observar que las dos ltimas columnas son idnticas, por lo que
las proposiciones son lgicamente equivalentes.
PROPOSICIN ABIERTA
Es una proposicin que carece de significado hasta que la a la variable que la
conforma se le asignan determinados valores.
Por ejemplo, la proposicin x es mayor que 5, definida en el campo de los
nmeros naturales es abierta, pues slo podr saberse si es falsa o verdadera,
dependiendo del valor que tome x. Si x vale 6, la proposicin es verdadera. Si x
vale 3, la proposicin es falsa.
p q r q r p (q r)
V V V V V
V V F F F
V F V F F
V F F F F
F V V V F
F V F F F
F F V F F
F F F F F
A los enunciados abiertos que contienen variables algebraicas se les denomina
funcin proposicional, que tienen la propiedad de convertirse en proposiciones, al
sustituirse la variable por una constante especfica.