Diseño de experimentos

¿Por qué diseñar experimentos?

Exploración: cuáles factores son importantes para realizar exitosamente un proceso

Optimización: cómo mejorar un proceso

Ahorro de tiempo: predicción

Modelado cuantitativo: obtención del modelo matemático de un sistema

Quimiometría

Diseño de experimentos

Mejor estrategia da la mayor cantidad de información o la

información deseada con un costo mínimo (no necesariamente el

menor número de experimentos)

Quimiometría

Ejemplo:

Estudiar el rendimiento de una reacción como función de:

la concentración

el pH

¿Estrategia?

Quimiometría

Estrategia (un factor a la vez):

se comienza eligiendo una concentración dada

variar el pH

Quimiometría

Si se comienza eligiendo una concentración 2 mM y variando el pH:

Óptimo: pH 3,4

Quimiometría

Si se varía la concentración a pH 3,4:

Variación del rendimiento versus concentración a pH 3,4

Óptimo: concentración 1,4 mM

Quimiometría

Rendimiento de una reacción como función de la concentración y el pH

Óptimo rendimiento a:

pH: 4,4

concentración: 1,0 mM

Quimiometría

Óptimo empleando DOE: pH 4,4 y concentración 1,0 mM

Óptimo hallado variando un factor a la vez: pH 3,4 y 1,4 mM

¿Problema?

La influencia del pH y la concentración sobre el rendimiento no son independientes

Quimiometría

interacción

Diseño de experimentos

Consiste en planear y realizar un conjunto de pruebas con el

objetivo de generar datos que, al ser analizados

estadísticamente proporcionen evidencias objetivas que

permitan responder a los interrogantes planteados por el

experimentador sobre determinada situación

Trata con fenómenos que son observables y repetibles

Quimiometría

Diseño de experimentos

Breve historia

1920-1930 R. A. Fisher: propone los tres principios básicos del diseño de experimentos (agricultura)

1950s G. Box y K. Wilson: desarrollan la metodología de superficie de respuesta (industria química)

1980s G. Taguchi: diseños robustos (insensibles a osciliaciones en las variables ambientales) de alto impacto en la industria

Quimiometría

Diseño de experimentos

Trata con fenómenos que son observables y repetibles

Principios básicos del diseño:

Aleatorización

Repetición

Bloqueo

Quimiometría

Diseño de experimentos: Principios básicos

Aleatorización: consiste en hacer las corridas experimentales en orden aleatorio (al azar).

previene la existencia de sesgo (dependencia de los errores)

evita la dependencia entre las observaciones

aumenta la probabilidad de que las pequeñas diferencias provocadas por factores no controlados se repartan de manera homogénea

valida muchos de los procedimientos estadísticos más comunes

Quimiometría

Diseño de experimentos: Principios básicos

Repetición: consiste en realizar más de una vez un tratamiento o combinación de factores (cuando corresponda de acuerdo con la aleatorización).

permite medir el error experimental

permite que los efectos de las variables incontroladas se compensen

Quimiometría

Diseño de experimentos: Principios básicos

Bloqueo: es dividir las unidades experimentales en grupos (bloques) de modo que las observaciones realizadas en cada bloque se realicen bajo condiciones experimentales lo más parecidas posibles

permite convertir la variabilidad sistemática no planificada

en variabilidad sistemática planificada

Quimiometría

Diseño de experimentos: Etapas

reconocer y/o delimitar el problema

seleccionar la(s) variable(s) de respuesta

elegir los factores, niveles y rangos

elegir el diseño experimental

planeamiento previo a los

experimentos

Quimiometría

Diseño de experimentos: Etapas

realizar los experimentos

analizar estadísticamente los datos (ANOVA)

interpretación

conclusiones y recomendaciones

Quimiometría

Diseño de experimentos: Un ejemplo

Objetivo: obtener el peso de 3 objetos A, B y C → ¿w1, w

2, w

3?

Medios: balanza con dos platillos, costo 100 $/lectura

Quimiometría

Diseño de experimentos: Un ejemplo

Método: 1 experimento ↔ 1 pesada ↔ 1 lectura↓

1 resultado experimental o respuesta yi

Error experimental yi = w + e

i

Varianza: medida de la dispersión de yi alrededor de w

i → calidad

var(yi) = s2

↓menor s2 ↔ mejor precisión y

i

Quimiometría

Diseño de experimentos: Un ejemplo

Estrategia 1

1° pesada: ningún objeto en la balanza 2° pesada: A 3° pesada: B en el mismo platillo 4° pesada: C

costo 400 $

¿Mejor estrategia?

Quimiometría

Estrategia 1

Exp. N° A B C resultado

1 0 0 0 y1

2 1 0 0 y2

3 0 1 0 y3

4 0 0 1 y4

matriz experimental

Quimiometría

Estrategia 1

Información obtenida: estimación de los pesos ( ŵ)

y1= ŵ

0

y2= ŵ

0 + ŵ

1ŵ

1= y

2 - y

1

y3= ŵ

0 + ŵ

2 → ŵ

2= y

3 - y

1

y4= ŵ

0 + ŵ

3 ŵ

3= y

4 – y

1

Calidad de la información obtenida: error, precisión

var (ŵ1) = var (y

2 – y

1) = var (y

2) + var( y

1) = s2 + s2 = 2s2

Quimiometría

Estrategia 2

Exp. N° A B C resultado 1 0 0 0 y

1

2 1 1 0 y2

3 1 0 1 y3

4 0 1 1 y4

y1= ŵ

0

y2= ŵ

0 + ŵ

1 + ŵ

2 ŵ

1= (y

2 + y

3 - y

1- y

4)/2

y3= ŵ

0 + ŵ

1 + ŵ

3 → ŵ

2= (y

2 + y

4 - y

1- y

3)/2

y4= ŵ

0 + ŵ

2 + ŵ

3 ŵ

3= (y

3 + y

4 - y

1- y

2)/2

var (ŵ1) = ¼ (4s2 ) = s2

Quimiometría

Estrategia 3

usar los dos platillos D(+1); I(-1)

Exp. N° A B C resultado 1 +1 +1 +1 y

1

2 -1 +1 +1 y2

3 +1 -1 +1 y3

4 +1 +1 -1 y4

Quimiometría

DI

Estrategia 3

usar los dos platillos D(+1); I(-1)

y1= ŵ

0 + ŵ

1 + ŵ

2+ ŵ

3

y2= ŵ

0 - ŵ

1 + ŵ

2+ ŵ

3ŵ

1= (y

1 - y

2)/2

y3= ŵ

0 + ŵ

1 - ŵ

2+ ŵ

3 → ŵ

2= ( y

1- y

3)/2

y4= ŵ

0 + ŵ

1 + ŵ

2 - ŵ

3 ŵ

3= (y

1- y

4)/2

var (ŵ1) = ¼ (2s2 ) = s2/2

Quimiometría

Estrategia 4

Exp. N° A B C resultado 1 -1 -1 -1 y

1

2 -1 +1 +1 y2

3 +1 -1 +1 y3

4 +1 +1 -1 y4

D (+1); I (-1)

Quimiometría

Estrategia 4

y1= ŵ

0 - ŵ

1 - ŵ

2 - ŵ

3

y2= ŵ

0 - ŵ

1 + ŵ

2+ ŵ

3ŵ

1= (-y

1 – y

2 +

y

3 + y

4)/4

y3= ŵ

0 + ŵ

1 - ŵ

2+ ŵ

3→ ŵ

2= ( -y

1 + y

2 -

y

3 + y

4)/4

y4= ŵ

0 + ŵ

1 + ŵ

2 - ŵ

3 ŵ

3= (-y

1 + y

2 +

y

3 - y

4)/4

var (ŵ1) = 1/16 (4s2 ) = s2/4

↓con 4 experimentos → 400 $ → ¿mejor estrategia?

var (b) = s2

N para las matrices experimentales →

Quimiometría

Diseño de experimentos: clasificación

¿Objetivo del experimento?

Diseños para:

comparar dos o más tratamientos: diseño completamente al azar,

cuadros latinos.

estudiar el efecto de varios factores sobre la(s) respuesta (s):

diseños factoriales.

Quimiometría

Diseño de experimentos: clasificación

¿Objetivo del experimento?

Diseños para:

optimizar un proceso: diseños factoriales, diseño central

compuesto, diseño de Box-Behnken, diseño simplex

optimizar una mezcla: diseño simplex reticular, simplex con

centroide, axial

. . .

Quimiometría

Diseño de experimentos: Modelos lineales

y = b0 + b

1 x

1 + b

2 x

2 + .... + b

j x

j + ... b

N-1 x

N-1

Factoriales completas (2k)

Factoriales fraccionarias (2k-p), Diseños de Plackett-Burman

Diseños de Taguchi

Quimiometría

Diseño de experimentos: Modelos cuadráticos

y = b0 + b

1 x

1 + b

2 x

2 + .... + b

kx

k + b

12 x

1 x

2 + ......... + b

(k-1) k x

k-1 x

k

Factoriales (3k y 3k-p)

Centrales compuestas (Box y Wilson)

Box y Behnken

Doelhert

Quimiometría

Diseño de experimentos: Mezclas

serie de factores cuyo total es una suma constante

Simplex reticular

Simplex con centroides

Diseño con restricciones

Diseño axial

Quimiometría

Diseños factoriales

factores, Uj: variables naturales cuyos valores se pueden controlar

(cualitativos o cuantitativos) → variables codificadas (reducidas y centradas)

efecto, b

j: cambio en la respuesta ocasionado por un cambio en el

nivel del factor

nivel: categoría de un factor

Quimiometría

Diseños factoriales

Estudio cuantitativo de factores:

efectos principales (bj)

interacciones (bji)

si cada variable puede tener un valor mayor o uno menor: diseño factorial de dos niveles

número de experimentos (N) para k factores N = 2k

↓ 2 niveles

Quimiometría

Diseños factoriales

N = 2k

k efectos principales

(2k - k - 1) interacciones

Quimiometría

si k = 2 matriz 22 4 experimentos

QuimiometríaDiseños factoriales

X1

X2

X2 X1

k factores interacciones de orden q

interacciones de qvo orden entre (q+1) factores

Quimiometría

Diseños factoriales

si k = 7 matriz 27 128 experimentos

q = 1 interacciones de primer orden:

C = = 21 q = 2 interacciones de segundo orden ....

27

7(7-1) 2

Quimiometría

Diseños factoriales

las interacciones entre 3 factores son escasas

las interacciones entre 4 son despreciables

es posible disminuir N sin disminuir k

Quimiometría

Diseños factoriales

si k = 3 matriz 23 8 experimentos

matriz experimental

matriz del modelo

Quimiometría

promedio de las medidas

DISEÑO 23Quimiometría

Un ejemplo: Diseños factoriales completos

Objetivo: estudiar la síntesis de un compuesto orgánico

Factores que podrían afectar el rendimiento son: pH

intensidad de la lámpara (W/m2)

fuerza iónica (M)

[catalizador] (µM)

si se establecen dos posibles niveles por factor: 24 = 16 combinaciones

Quimiometría

Un ejemplo: Diseños factoriales completos

Combinaciones - : menor nivel + : mayor nivel

Variable Nombre - +A pH 4 6

B Intensidad (W/m2) 1000 2000

C Fuerza iónica (M) 0,25 0,75

D [catalizador] (mM) 0,1 1,0

Quimiometría

DISEÑO FACTORIAL COMPLETO CON MINITAB

Quimiometría

pH luz FI [cat] pH luz FI [cat] %rendimiento

variables codificadas

respuesta

Quimiometría

Evaluación de los datos

¿cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento?

Estimated Effects and Coefficients for % (coded units)

Quimiometría

Estimated Effects and Coefficients for % (coded units)

Term Effect CoefConstant 50.250A 2.750 1.375B 19.500 9.750C 1.500 0.750D -14.500 -7.250A*B 2.250 1.125A*C -0.250 -0.125A*D -2.750 -1.375B*C 1.500 0.750B*D 5.500 2.750C*D 3.000 1.500A*B*C 1.250 0.625A*B*D -1.250 -0.625A*C*D 0.750 0.375B*C*D -3.000 -1.500A*B*C*D -0.750 -0.375

Gráfico de probabilidad normal de los efectos

efecto

score

A pH

B Intensidad (W/m2)

C Fuerza iónica (M)

D [catalizador] (mM)

Quimiometría

Term

Effect

ACACD

ABCDABDABC

CBCABA

ADBCDCDBDDB

20151050

5.78

Pareto Chart of the Effects(response is %, Alpha = .05)

Lenth's PSE = 2.25

Quimiometría

Efectos principales

%

pH luz fuerza iónica [catalizador]

Quimiometría

A

1-1 1-1

60

45

30

60

45

30

B

C

60

45

30

1-1

60

45

30

1-1

D

-11

A

-11

B

-11

C

-11

D

Interacciones QuimiometríaInteracciones

Evaluación de los datos

Ventajas:

¿cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento?

se puede proponer un modelo del tipo

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1 x2

Quimiometría

Evaluación de los datos

Dificultades:

el diseño no tiene réplicas

no se ha estimado el error experimental: por lo cual no se puede dar una respuesta definitiva sobre si los factores son o no significativos.

Quimiometría

Evaluación de los datos

Dificultades:

cada variable se probó sólo con dos niveles

problema de curvatura (se necesitarían términos de segundo orden en el modelo: x

j

2)

probar 3 niveles: 3k en este ejemplo: k=4 ¡81 experimentos!

se puede reducir con otros diseños: superficie de respuesta

Quimiometría

Diseño factorial con réplicas

Objetivo: estudiar el efecto de tres factores (A, B, C) sobre el

funcionamiento de un plasma empleado para grabados.

con dos niveles

Factor -1 +1

A (distancia, cm) 0,8 1,20

B (flujo gas, cm3/min) 125 200

C (potencia, W) 275 325

Quimiometría

Diseño factorial con réplicas

23 = 8 combinaciones

con dos réplicas: 16 experimentos

respuesta: velocidad de grabado para nitruro de silicio (Å/m)

Quimiometría

Diseño factorial con réplicas

respuesta: velocidad de grabado (I y II)

A B C I II- - - 550 604

+ - - 669 650

- + - 633 601

+ + - 642 635

- - + 1037 1052

+ - + 749 868

- + + 1075 1063

+ + + 729 860

Quimiometría

Diseño factorial con réplicas

16 experimentos

en orden estándar

¡¡hacer en orden aleatorio!!

Orden A B C velocidad1 -1 -1 -1 5502 1 -1 -1 6693 -1 1 -1 6334 1 1 -1 6425 -1 -1 1 10376 1 -1 1 7497 -1 1 1 10758 1 1 1 7299 -1 -1 -1 60410 1 -1 -1 65011 -1 1 -1 60112 1 1 -1 63513 -1 -1 1 105214 1 -1 1 86815 -1 1 1 106316 1 1 1 860

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB

el efecto C (potencia) domina el proceso

el efecto A (distancia entre los electrodos) y la interacción AC también

son estadísticamente significativos (valores de P pequeños P < 0,05)

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicasEstimated Effects and Coefficients for v (coded units)

Term Effect Coef SE Coef T P

Constant 776,06 11,87 65,41 0,000

A -101,62 -50,81 11,87 -4,28 0,003

B 7,37 3,69 11,87 0,31 0,764

C 306,13 153,06 11,87 12,90 0,000

A*B -24,88 -12,44 11,87 -1,05 0,325

A*C -153,63 -76,81 11,87 -6,47 0,000

B*C -2,12 -1,06 11,87 -0,09 0,931

A*B*C 5,62 2,81 11,87 0,24 0,819

el error estándar de todos los coeficientes del modelo es igual porque el diseño es ortogonal

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB: gráfico de Pareto los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos

Term

Standardized Effect

BC

ABC

B

AB

A

AC

C

14121086420

2,31

A AB BC C

Factor Name

Pareto Chart of the Standardized Effects(response is v, Alpha = ,05)

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB: gráfico de probabilidad normal (Daniel) los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos

Standardized Effect

Perc

ent

151050-5

99

95

90

80

70

60504030

20

10

5

1

A AB BC C

Factor Name

Not SignificantSignificant

Effect Type

A C

C

A

Normal Probability Plot of the Standardized Effects(response is v, Alpha = ,05)

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB: gráficos factoriales

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

empleando MINITAB: gráficos factoriales

A

B

C

1-1 1-1

1000

800

600

1000

800

600

-11

A

-11

B

Interaction Plot (data means) for v

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

gráficos de superficie de respuesta: se pueden sugerir las mejores

condiciones analizando las curvas de nivel

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

conviene trabajar a una velocidad de 900 Å/m

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

modelo para predecir la velocidad de grabado

ŷ = b0 + b

1 x

1+ b

2 x

2 + b

3 x

3 + b

12 x

1x

2 + b

13x

1x

3 + b

23x

2x

3 + b

123 x

1 x

2x

3

velocidad = 776,6 - 50,81x1 + 153,06x

3 -76,81 x

1x

3

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

análisis de regresión (para el modelo completo):

S = 47,4612

desviación estándar

R-Sq = 96,61%

el modelo explica un 96,61 % de la variabilidad observada

(problema: R2 aumenta al aumentar el número de factores, aunque

no sean significativos)

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

análisis de regresión (para el modelo completo):

S = 47,4612

desviación estándar

R-Sq(adj) = 93,64%

R2 (ajustado para el tamaño del modelo): suele disminuir si se

agregan factores no significativos

se puede volver a calcular con el modelo reducido

Quimiometría

Análisis del diseño factorial con réplicas

al menos un efecto principal y una interacción entre dos factores son estadísticamente significativos

Analysis of Variance for v (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MSMain Effects 3 416378 416378 1387932-Way Interactions 3 96896 96896 322993-Way Interactions 1 127 127 127Residual Error 8 18020 18020 2253 Pure Error 8 18021 18021 2253Total 15 531421

Source F PMain Effects 61,62 0,0002-Way Interactions 14,34 0,0013-Way Interactions 0,06 0,819Residual Error Pure ErrorTotal