Post on 22-Oct-2015
description
Universidad de las FuerzasArmadas ESPE
Extension Latacunga
Dinamica
Sistema de 4 Barras en mathcad
Katherine Aroca y Kevin Barrera
4o A Ingenierıa Mecatronica
24 de diciembre de 2013
1. Ejercicio
La excentrica de una maquina de coser esta girando con una velocidad an-gular de 0,5 rad/s y una aceleracion angular de 1 rad/s. Use mathcad paracalcular todos los valores de velocidad y aceleracion de los angulos θ3 y θ4 consus respectivas graficas.
Los valores r1=0,75 m, r2=0.2, r3=0.75 mm y r4=0.3 son valores constantes yel angulo θ2 varia en 360o
De una manera vectorial se puede representar al vector R como:
−→R = −→r2 +−→r3
−→R = −→r1 +−→r4
Igualando ambos valores de R:
−→r2 +−→r3 = −→r1 +−→r4−→r2 +−→r3 −−→r1 −−→r4 = 0
Utilizando la notacion de algebra compleja
r1ejθ1 = r2e
jθ2 + r3ejθ3
Donde ejθ = Cos(θ) + jSen(θ) (formula de Euler)Posicion
r2(Cos(θ2)+jSen(θ2))+r3(Cos(θ3)+jSen(θ3))−r1(Cos(θ1)+jSen(θ1))−r4(Cos(θ4)+jSen(θ4)) = 0
Parte Real: r2Cos(θ2) + r3Cos(θ3)− r1Cos(θ1)− r4Cos(θ4) = 0Parte Imaginaria: r2Sen(θ2) + r3Sen(θ3)− r1Sen(θ1)− r4Sen(θ4) = 0Cambio de variable: a = r2Cos(θ2)−r1Cos(θ1) b = r2Sen(θ2)−r1Sen(θ1)
1 =⇒ a+ r3Cos(θ3)− r4Cos(θ4) = 0
2
2 =⇒ b+ r3Sen(θ3)− r4Sen(θ4) = 0
De 1 y 2 despejamos los valores de θ4
(a+ r3Cos(θ3))2 = (r4Cos(θ4))2
(b+ r3Sen(θ3))2 = (r4Sen(θ4))2
3 =⇒ a2 + 2ar3Cos(θ3) + (r3Cos(θ3))2 = (r4Cos(θ4))2
4 =⇒ b2 + 2br3Sen(θ3) + (r3Sen(θ3))2 = (r4Sen(θ4))2
Sumando las ecuaciones 3 y 4:
a2 + b2 + 2ar3Cos(θ3) + 2br3Sen(θ3) + (r3)2 = (r4)2
aCos(θ3) + bSen(θ3) =(r4)2 − (r3)2 − a2 − b2
2r3
Cambio de variable: c =(r4)2 − (r3)2 − a2 − b2
2r3Usando estas dos expresiones trigonometricas:
Sen(θ) =2tan(
θ
2)
1 + tan2(θ
2)
Cos(θ) =1− tan2(
θ
2)
1 + tan2(θ
2)
a(1− tan2(
θ32
)
1 + tan2(θ32
)
) + b(2tan(
θ32
)
1 + tan2(θ32
)
) = c
a− a.tan2(θ32
) + 2b.tan(θ32
) = c+ c.tan2(θ32
)
(−a− c)tan2(θ32
) + 2b.tan(θ32
) + a− c = 0
Forma general de la ecuacion de 2do grado:
tan(θ32
) =−2b±
√4b2 − 4(−a− c)(a− c)
2(−a− c)
tan(θ32
) =−2b±
√4b2 − 4(−a2 + c2)
2(−a− c)
tan(θ32
) =−b±
√b2 + a2 − c2−a− c
I θ3(θ2) = 2tan−1(−b±
√b2 + a2 − c2−a− c
)
De 1 y 2 despejamos los valores de θ3
(−a+ r4Cos(θ4))2 = (r3Cos(θ3))2
3
(−b+ r4Sen(θ4))2 = (r3Sen(θ3))2
5 =⇒ a2 − 2ar4Cos(θ4) + (r4Cos(θ4))2 = (r3Cos(θ3))2
6 =⇒ b2 − 2br4Sen(θ4) + (r4Sen(θ4))2 = (r3Sen(θ3))2
Sumando las ecuaciones 5 y 6:
a2 + b2 − 2ar4Cos(θ4)− 2br4Sen(θ4) + (r4)2 = (r3)2
aCos(θ4) + bSen(θ4) = − (r3)2 − (r4)2 − a2 − b2
2r4
Cambio de variable: d = − (r3)2 − (r4)2 − a2 − b2
2r4Usando estas dos expresiones trigonometricas:
Sen(θ) =2tan(
θ
2)
1 + tan2(θ
2)
Cos(θ) =1− tan2(
θ
2)
1 + tan2(θ
2)
a(1− tan2(
θ42
)
1 + tan2(θ42
)
) + b(2tan(
θ42
)
1 + tan2(θ42
)
) = d
a− a.tan2(θ42
) + 2b.tan(θ42
) = d+ d.tan2(θ42
)
(−a− d)tan2(θ42
) + 2b.tan(θ42
) + a− d = 0
Forma general de la ecuacion de 2do grado:
tan(θ42
) =−2b±
√4b2 − 4(−a− d)(a− d)
2(−a− d)
tan(θ42
) =−2b±
√4b2 − 4(−a2 + d2)
2(−a− d)
tan(θ42
) =−b±
√b2 + a2 − d2−a− d
I θ4(θ2) = 2tan−1(−b±
√b2 + a2 − d2−a− d
)
Escribiendo estas ecuaciones en mathcad se obtienen los siguentes datos ygraficas:
4
5
VelocidadDerivando rejθ se obtiene: jwrejθ
Analizando La velocidad en el punto D:
−→VD = −→w4 ⊗−→r4
VD = jw4r4Cos(θ4)− w4r4Sen(θ4)
Analizando la velocidad relativa:
−→VD =
−−−→VD/A +
−→VA
−→VD = −→w3 ⊗−→r3 +−→w2 ⊗−→r2
VD = jw3 ∗ r3Cos(θ3)− w3 ∗ r3Sen(θ3) + jw2 ∗ r2Cos(θ2)− w2 ∗ r2Sen(θ2)
Igualamos las dos ecuaciones:
jw4r4Cos(θ4)−w4r4Sen(θ4) = jw3∗r3Cos(θ3)−w3∗r3Sen(θ3)+jw2∗r2Cos(θ2)−w2∗r2Sen(θ2)
Parte Real −w4r4Sen(θ4) = −w3 ∗ r3Sen(θ3)− w2 ∗ r2Sen(θ2)Parte Imaginaria w4r4Cos(θ4) = w3 ∗ r3Cos(θ3) + w2 ∗ r2Cos(θ2)
I w4(θ2) =r2 ∗ w2Cos(θ2) + r3 ∗ w3Cos(θ3)
r4Cos(θ4)
−(r2 ∗ w2Cos(θ2) + r3 ∗ w3Cos(θ3)
r4Cos(θ4))r4Sen(θ4) = −w3∗r3Sen(θ3)−w2∗r2Sen(θ2)
w3r3r4Cos(θ3)Sen(θ4)+w2r2r4Cos(θ2)Sen(θ4) = w3r3r4Cos(θ4)Sen(θ3)+w2r2r4Cos(θ4)Sen(θ2)
I w3(θ2) =−w2r2r4Cos(θ2)Sen(θ4) + w2r2r4Cos(θ4)Sen(θ2)
r3r4Cos(θ3)Sen(θ4)− r3r4Cos(θ4)Sen(θ3)
Escribiendo estas ecuaciones en mathcad se obtienen los siguentes datos ygraficas:
6
.
7
AceleracionDerivando jwrejθ se obtiene:jrαejθ − w2rejθ
Analizando la aceleracion en el punto D:
aD = jr4α4ejθ4 − w2
4r4ejθ4
aD = jr4α4Cos(θ4)− r4α4Sen(θ4)− w24r4Cos(θ4)− jw2
4r4Sen(θ4)
Analizando la aceleracion relativa:
−→aD = −−−→aD/A +−→aA
aD = jr3α3Cos(θ3)−r3α3Sen(θ3)−w23r3Cos(θ3)−jw2
3r3Sen(θ3)+jr2α2Cos(θ2)
−r2α2Sen(θ2)− w22r2Cos(θ2)− jw2
2r2Sen(θ2)
Igualando ambas ecuaciones
jr4α4Cos(θ4)−r4α4Sen(θ4)−w24r4Cos(θ4)−jw2
4r4Sen(θ4) = jr3α3Cos(θ3)−r3α3Sen(θ3)−w23r3Cos(θ3)
−jw23r3Sen(θ3) + jr2α2Cos(θ2)− r2α2Sen(θ2)− w2
2r2Cos(θ2)− jw22r2Sen(θ2)
Parte Real −r4α4Sen(θ4)−w24r4Cos(θ4) = −r3α3Sen(θ3)−w2
3r3Cos(θ3)−r2α2Sen(θ2)− w2
2r2Cos(θ2)Parte Imaginaria r4α4Cos(θ4)−w2
4r4Sen(θ4) = r3α3Cos(θ3)−w23r3Sen(θ3)+
r2α2Cos(θ2)− w22r2Sen(θ2)
α4 =r3α3Cos(θ3)− w2
3r3Sen(θ3) + r2α2Cos(θ2)− w22r2Sen(θ2) + w2
4r4Sen(θ4)
r4Cos(θ4)
α3 =−w2
3r3r4Cos(θ3)Cos(θ4)− w22r2r4Cos(θ2)Cos(θ4)− w2
3r3r4Sen(θ4)Sen(θ3)
r3r4Sen(θ3)Cos(θ4)− r3r4Sen(θ4)Cos(θ3)
+−w2
2r2r4Sen(θ2)Sen(θ4) + w24r
24 − α2r2r4Sen(θ2)Sen(θ4) + α2r2r4Cos(θ2)Cos(θ4)
r3r4Sen(θ3)Cos(θ4)− r3r4Sen(θ4)Cos(θ3)
Escribiendo estas ecuaciones en mathcad se obtienen los siguentes datos y gra-ficas:
8
9