1

4.4 EL SUELOS COMO SEMIESPACIO ELÁSTICO

4.4.1. DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN EL SUELO DEBIDOS A UNA CARGA SUPERFICIAL.

(TEORÍA DE BOUSSINESQ) Teoría de Boussinesq − Los esfuerzos que una carga vertical concentrada, actuante en la superficie

horizontal de un medio semiinfinito, homogéneo, isotrópico, linealmente elástico e infinitamente resistente, fueron determinados por Boussinesq.

2

3

23

RPz

zπ

σ =

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−=

ψψψψ

πσ

cos1cos21cos3

2

222 vsen

zP

r

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−−=

ψψψ

πσθ cos1

coscos2

212

32z

Pv

ψψπ

τ senzP

rz4

2 cos23

=

De estas ecuaciones nos interesa la referente al esfuerzo vertical σz

( ) 2522

3

2

3

23

23

zr

zPR

Pzz

+==

ππσ

2

2/5

22 )/(11

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

zrzP

zπ

σ (Ecuación 1)

La ecuación anterior puede extenderse para el caso de una carga distribuida:

qdAdP =

( )

25

22 11

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

zrzqdAd zπ

σ

- Por integración se puede encontrar el esfuerzo bajo el centro de una zapata circular

de radio R0 (área circular con carga uniforme q).

θrdrddA =

( )( )∫ ∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

0

0

2

0

25

22 11

23R

zzrz

rdrdqπ

πθσ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−=

2/3

20 )/(111

zRqzσ (Ecuación 2)

− Para una zapata rectangular, de lados a y b, podemos calcular el esfuerzo bajo un

vértice a una profundidad “z”.

( )1>⇒>= mbabam

bzn = mnA = 221 nmB ++=

Si 022 <− mBn , reemplazar 222

mBnBA

−=ω por πωω +=′ , en el cálculo del

arco tangente. Para calcular sz en el centro de una zapata rectangular, se consideran 4 sub-zapatas. En general es aplicable el Principio de Superposición.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

+=⇒ 22

2

222arctg2

4 mBnBA

BnB

mBnAq

z πσ

3

4.4.2. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. ISÓBARAS

4

4.4.3. CARTAS DE INFLUENCIA DE NEWMARK: Método de Newmark De la ecuación 2 tenemos:

( )

23

20111

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−=

zRqzσ

Tabulando diversos valores de sz/q vs. R0/z, obtenemos:

1.911.391.110.920.770.640.520.400.27R0/z

1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.1σz/q

∞

5

- Es decir, si se tiene un circulo de radio 0.27z el esfuerzo a z será 0.1q. - Si este circulo se divide en 20 partes, por cada sector circular cargado, el esfuerzo a

z será 0.005q. - Este valor de 0.005q es el “valor de influencia” de cada uno de los sectores

circulares considerados. - Si el circulo cargado tuviese un radio 0.4z, el esfuerzo en z es 0.2q, es decir que la

corona produce un incremento de 0.1q, y cada veinteavo de la misma 0.005q. - Esto es extensible a las demás coronas indicadas, incluyendo la última de radio

infinito.

6

7