Colegio con Visin Universitaria ALBORADA 5 Ao de Secundaria

CAPITULO 1SUMATORIA

La expresin: S= l + 2 + 3 + ,.. + 20 puede ser escrita de modo simplificado:

Hecho que leemos: "suma de todas las i, desde i =1 hasta i=20.

En 2: es el smbolo de la sumatoria. i es el ndice, cuyo valor vara desde un lmite inferior 1 hasta el lmite superior 20 en el ejemplo. El ndice puede representarse tambin por cualquier otra letra distinta de i, como j, k, p, q, t. En forma anloga, puede expresarse como: , "suma de todos los desde k =1 ; hasta k = 50"En general: , representa la suma de los elementos Xi desde i=m hasta i=n, donde m y n son nmeros enteros no negativos, tales que . Por ejemplo:

Evaluemos otros ejemplos:

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

Ejemplo:

donde c es constante

Ejemplo:

siendo c una constante

Ejemplo:

Ejemplo:

SUMATORIAS ESPECIALES:

1. Sumatoria de los n primeros nmeros naturales:

2. Sumatoria de los n primeros nmeros impares:

3. Sumatoria de los n primeros nmeros pares:

4. Sumatoria de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales:

5. Sumatoria de los cubos de los n primeros nmeros naturales.

PROBLEMAS RESUELTOS I

01. Calcular:

Solucin:Tenemos:

Es decir:

02. Evaluar:

Solucin:Sustituyendo los valores de i:T = 4(4+1) + 5(5+1) + 6(6+1) + 7(7+1)Luego:T = 20 + 30 + 42 + 56T = 148PROBLEMAS PROPUESTOS

BLOQUE I

01. Calcular el resultado de desarrollar:

A) 4

B) 25/12C) 1/9D) 4/9

E) 2/902. Indicar el valor de A, siendo:

A) 19

B) 18

C) 20

D) 21

E) 42

03. Cul ser el resultado de efectuar:

A) 62/120

B) 60/121

C) 21/40D) 13/120E) 4/304. Calcule el valor de la expresin:

A) 580

B) 321

C) 200

D) 268

E) 25305. Cul es el valor de la expresin:

A) 1 022

B) 1 024

C) 1 023

D) 1 021

E) 1 02506. Recordando que:

calcular el valor de:

A) 1 275

B) 3 042

C) 62053

D) 2 095

E) 48 76207. Calcular el valor de:

A) 200

B) 210

C) 0

D) 426

E) 32008. Indicar el resultado de efectuar:

A) 40

B) 45C) 90

D) 62

E) 60

09. Cul ser el valor de la expresin:

A) 60

B) 0

C) 3

D) 20

E) 1

010. Sealar el resultado de efectuar:

A) 90

B) 100

C) 190

D) 210

E) 320

011. Teniendo en cuenta la propiedad

indicar el resultado de la expresin:

A) 345B) 675

C) 765

D) 285

E) 676012. Recordando que:

calcular el valor de:

A) 4821

B) 6580

C) 4651

D) 1255

E) 1320013. Calcular el valor de:

A) 899

B) 890

C) 980

D) 809

E) 908

014. Indicar el valor que resulta de:

A) 3 190

B) 9 130

C) 1 390

D) 1 930

E) 3 910

015. Hallar el valor de S; si:

A) 3217

B) 5342

C) 5432

D) 5243

E) 5324

016. Para qu valor de n se cumple que:

A) 9B) 10C) 11D) 12E) 13

017. Indicar el valor que deber tomar n de manera que se verifique la relacin:

A) 42

B) 60

C) 12

D) 20

E) 28

018. A partir de la igualdad mostrada:

.

Calcular el valor de: (2a 3b)A) 2B) 3C) 4D) 5E) 0

019. Considerando la relacin:

Calcular el valor de ( ab)A) 4B) 8C) 12D) 16E) 30BLOQUE II

01. Simplificar la expresin:

A) 2n

B)

C) 2n 1

D) n

E) 002. Al reducir la expresin mostrada:

; se obtiene:A) 2n 1

B) n2C) 2n2D) n + 1

E) n 1

03. Reducir la siguiente expresin:

A) n

B) n + 1

C) n 1

D) 2n 1

E) 2n

04. Indicar el equivalente de:

A) n

B) 2nC)

D)

E) n/3

05. Reducir la expresin:

A)

B)

C)

D)

E)

06. En una sala de cmputo, las mquinas estn numeradas a partir del 1; cul es la suma de los nmeros de las 45 mquinas?

A) 1 035

B) 45

C) 1 000

D) 90

E) 202507. Cada da un nio ahorra un nuevo sol ms que el da anterior; si el primer da ahorr 10 nuevos soles, cunto habr ahorrado al cabo de 30 das?A) 735

B) 780

C) 820

D) 775

E) 560

08. En un calendario se observa el mes de marzo; cul es la suma de los nmeros que se observan en l? (Considere slo las fechas)

A) 992

B) 496

C) 465

D) 930

E) 31

09. Una persona que desea adelgazar, corre el primer da 1 cuadra; el segundo da 2 cuadras; el tercer da 3 cuadras, y as sucesivamente. Despus de cuntos das habr recorrido en total 210 cuadras (desde el primer da)?A) 40B) 21C) 12

D) 20

E) 10010. En una hoja se han dibujado todos los polgonos regulares desde el tringulo equiltero hasta el icosgono; cuntos vrtices se contarn en estas 18 figuras?

A) 200

B) 180

C) 210

D) 207

E) 319

011. Del ejercicio anterior, cuntos lados se cuentan?A) 207

B) 180

C) 200

D) 210

E) 319

012. Se tienen trozos de madera cortados en forma de cuadrados, cuyos lados miden 1 cm, 2 cm, 3 cm, ..., 100 cm; indicar qu cantidad de madera se tiene. (En m2)A) 33,835

B) 32

C) 30

D) 34

E) 60

013. Un ave recorre el primer da 1 km; el segundo da 3 km ms que el anterior; el tercer da 5 km ms que el anterior; el cuarto da 7 km ms que el anterior; y as hasta que el 25 da recorri 49 km ms que el anterior da. Cuntos kilmetros recorri en total el ave?

A) 626

B) 3 250

C) 6000

D) 625

E) 5 525014. Entre 30 asistentes a una reunin de promocin, cuntos apretones de mano originarn?

A) 30

B) 435

C) 465

D) 60

E) 320

015. Un vendedor principiante en su primera venta logra un libro; en su segunda venta 8 libros; en la tercera vez vende 27; en la cuarta 64 libros y as sucesivamente hasta que luego de un tiempo, haciendo una estadstica, descubre que en total vendi 14400 libros. Indicar cuntas ventas hizo.

A) 15

B) 14

C) 16

D) 13

E) 17016. El espacio que recorre un mvil est determinado por la funcin (en km):

donde n es el da que desarrolla dicho espacio. As: el da 1 recorre: f (1) = 6 km. Calcular el espacio total recorrido desde el primer da hasta el 35 da.

A) 2 000

B) 13042

C) 21020

D) 16053

E) 18060

017. La reproduccin de un microbio en cada hora est determinada por la funcin:

R (n) = n2 + n + 1 200.

Indicar cuntos de stos habrn luego de 17 horas; si se supone que su perodo de vida es de 30 a 35 horas.

BLOQUE III

01. Hallar la suma de los 38 primeros mltiplos de 13.A) 9670

B) 9577

C) 9633

D) 9120

E) N.A

02. Hallar la suma de los 40 primeros nmeros que sean mltiplos de 2; 3 y 7 a la vez.

A) 32200

B) 34400

C) 24800

D) 34440

E) 3470003. La suma de 30 nmeros enteros consecutivos es 1665. Hallar el primero de dichos nmeros.

A) 40

B) 41

C) 42D) 39

E) N.A

04. La suma de los n primeros nmeros naturales consecutivos y los n primeros nmeros pares consecutivos es 198. Hallar n.

A) 11

B) 12

C) 13

D) 10

E) 14

05. Una gallina loca pone cierto da 21 huevos y cada da que transcurre pone un huevo ms que el da anterior. Si cl ltimo da puso 57 huevos: cuntos puso en total?A) 1343

B) 1443

C) 1 543

D) 1433

E) 1453

06. Un forastero viaja 45 km el primer da y cada da posterior 5 km menos de lo que ha recorrido el da anterior. Cuantos das viaja?A) 8

B) 9

C) 12

D) 11

E) 10

07. La suma de los 100 primeros nmeros pares excede a la Suma de los 100 primeros nmeros impares, en:

A) 10

B) 100

C) 200

D) 50

E) 400

08. Cuntas campanadas dar en un da un reloj que indica cada hora con igual nmero de campanadas y cada media hora con una campanada?A) 78

B) 180

C) 48

D) 90

E) 156

09. Un regimiento, para cumplir una misin debe realizar cierto recorrido, partiendo del kilmetro 360, aumentando su marcha diaria en 12 km. Hallar la longitud que recorri en 15 das.

A) 840 km

B) 360 km

C) 720 km

D) 1440 km

E) 521 km

010. Una tortuga va de su casa a visitar a una amiga. Por cada metro que recorre descansa un tiempo en segundos numricamente igual al total de metros recorridos desde que parti. Si en total descans 3'30"qu distancia recorri?A) 10 m

B) 210 m

C) 21 m

D) 20 cm

E) 40 m

011. En una autopista se colocan 51 marcadores de kilmetros, cada uno de los cuales se distancia 3 km de su ms prximo. La cantidad total de kilmetros que ellos marcan es 4233. Cunto marca el ltimo?

A) 168

B) 178

C) 158

D) 188

E) 148

012. Hallar la suma de todos los nmeros de la forma: donde t es un nmero entero que toma valores desde 1 hasta n inclusive..

A) 3n 2B)

C) 3n(n + 1)D) n2E)

013. La suma de los n primeros mltiplos de 7 es 35 350. Hallar n.A) 99

B) 98

C) 100

D) 101

E) 102

014. La suma de los cubos de los primeros n nmeros naturales es 216 225. Hallar n.A) 21

B) 25

C) 35

D) 30

E) 31

015. Un basquetbolista hace durante un campeonato: el primer partido 20canastas; el segundo. 22 canastas; el tercero, 24 canastas, y as sucesivamente hasta completar 11 partidos. Cuntas canastas hizo en total?A) 330

B) 320

C) 340

D) 310

E) 300

016. Hallar:S = 25 + 36 + 49 + 64 + ... + 225

A) 1 206

B) 1210

C) 1420

D) 1201

E) 1215

017. Hallar la suma de todos los nmeros dc la forma:

2 ( t + 1); donde t toma valores desde 5 hasta 20 inclusive.

A) 216

B) 648

C) 432

D) 424

E) 442

018. Hallar la suma de todos los nmeros de la forma: (t3 t); para valores de t, desde 1 hasta el 10 incluso.A) 2960

B) 2 980

C) 2 950

D) 2 970

E) 2940

019. Hallar la Suma de todos los nmeros de la forma: {(t 1)3 + 1 }, para valores de t desde 1 hasta 10 inclusive.A) 2 025

B) 2 035

C) 2045

D) 2 055

E) 2 015

020. Hallar:R = 8 - 4 + 27 - 9 + 64 - 16 + 125 - 25 + ...

24 sumandos

A) 7 472B) 7460C) 7 466

D) 7 464

E) N.A

CAPITULO 2PROMEDIOS

PROMEDIO: es un valor representativo de un conjunto de nmeros que tiene la caracterstica de ser mayor que el menor de ellos pero menor que el mayor.

Los promedios ms utilizados son:

PROMEDIO ARITMETICO

Particularmente para 2 nmeros se le llama media aritmtica:

Ejemplo:

El promedio de las 5 notas de un alumno es 12. Si la mayor nota que puede haber obtenido es 13. Cul es la menor nota posible?

Solucin:

Sean las notas a, b, c, d, e

Entonces:

Supongamos que a es la menor nota posible, entonces las dems sern las mayores, es decir 13.

Luego:

PROMEDIO GEOMTRICO

se define:

Particularmente para 2 nmeros se le llama media geomtrica:

PROMEDIO ARMNICO

se define:

Particularmente para 2 nmeros se le llama media armnica:

PROMEDO ARITMTICO PONDERADO

Cuando tenemos el promedio aritmtico de dos o ms grupos y queremos determinar el promedio de todos en conjunto, aplicamos el promedio aritmtico ponderado:

Donde:

Pa1 = promedio aritmtico del primer grupo.

Pa2 = promedio aritmtico del segundo grupo. y as sucesivamente; tambin:

n1 = nmero de elementos del primer grupo.

n2 = nmero de elementos del segundo grupo.

es decir el nmero de elementos del grupo correspondiente

Por ejemplo:

En un saln de clase el promedio de los 30 varones es 12 y el promedio de las 20 mujeres es 18; cul es el promedio de los 50 alumnos?

En este caso:

Pa1= = 15 Pa2 = 18 n1 = 30 n2 = 20

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Hallar el promedio aritmtico de:

2x; 3(x - 2); 5(2 - x)A) 2/3B) 4/5C) 4/3D)

E) 202. Hallar el promedio geomtrico de:

A)

B)

C)

D)

E) 2

03. Hallar el promedio armnico de:

A) 2/3B) 1/3C) 5/9D) 3/4

E) 5/6

04. Las temperaturas registradas en Puna, a una misma hora durante una semana, fueron:

5 ; - 235 ; - 10 ; 0 ; - 4 ; 3 ; 1

cul es la temperatura promedio?

A) 1

B) 0C) 1

D) 2

E) 2

05. Hallar el promedio de los nmeros naturales cuyos cuadrados sean menores que 25.

A) 2

B) 2,5

C) 3,5

D) 3

E) 2/3

06. Hallar el promedio de los nmeros enteros cuyos cuadrados sean menores que 25.

A) 2

B) 1

C) 2,5

D) 0E) 5/307. Las notas de un alumno son: 12; 08; 06; 14 Cul ser su promedio?

A) 11

B) 08

C) 09

D) 10

E) 12

08. Hallar el promedio geomtrico de los 5 primeros nmeros enteros positivos.A)

B) 0C)

D)

E)

09. El promedio de notas de 4 alumnos es 12 y el promedio de notas de otros 6 alumnos es 17. Cul es el promedio de los 10 alumnos?

A) 13

B) 15

C) 14

D) 16

E) 14,5

010. Cul es el promedio geomtrico de:

A)

B) 5

C) 8

D)

E)

011. La media aritmtica de 2 nmeros enteros positivos es 10 y la media geomtrica es 6. Cul es la media armnica?

A) 5B) 15/2C) 28/3D) 7E) 18/5

012. Las notas de un alumno son 13; 11; 08; cul deber ser su cuarta nota, para que tenga el puntaje mnimo aprobatorio en su promedio?

A) 11

B) 13

C) 14

D) 10

E) 12

013. El promedio de 8 nmeros es 36. Si se agrega el nmero 72, cul ser el nuevo promedio?

A) 40

B) 42

C) 41

D) 38

E) 39014. En un grupo de 4 muchachos, el promedio de sus edades es 15 aos; ninguno de ellos es menor que 13 aos. Cul es la mayor edad que puede tener uno de ellos?A) 19

B) 18

C) 21

D) 17

E) 16015. El promedio de goles por partido de 4 equipos de ftbol es de 3 goles. Cul es el mayor nmero de goles que hace uno de estos equipos en un partido, si ninguno de ellos hace menos de 2 goles por partido?A) 4

B) 5

C) 7D) 6E) 8

016. El promedio de 15 nmeros es 32. Si se eliminan el 20, el 30 y ello, cul es el promedio de los nmeros que quedan?

A) 35

B) 36

C) 37D) 34E) 38

017. El promedio aritmtico de 3 nmeros pares consecutivos es 10. Cul es su promedio geomtrico?A)

B)

C)

D)

E)

018. El promedio de 12 nmeros es 15. Si a cada uno se le aumenta 2 unidades, cul ser el nuevo promedio?

A) 16

B) 17

C) 15

D) 18

E) 19

019. En una coleccin de 5 tomos, ninguno sobrepasa de las 450 pginas. Cul ser el menor nmero de pginas que tendr uno de dichos libros, si el promedio de pginas de los 5 tomos es 400?

A) 200

B) 220

C) 300

D) 275

E) 350020. Un alumno obtiene 12 de nota en un primer examen, 10 en un segundo examen y 12 en el tercer examen. Si los pesos de dichas notas son sucesivamente 1; 2 Y 3, cul es el promedio ponderado de dichas notas?

A) 10,7

B) 11,1

C) 11,6

D) 11,3

E) 11,8

BLOQUE II

01. Cul es el promedio de un dcimo, un centsima y un milsimo?A) 0,003

B) 0,01

C) 0,037

D) 0,111

E) 0,33302. Cul es el nmero que equidista de ?A) 1/8

B) 1/4

C) 1/3

D) 1

E) 3/203. El promedio de dos nmeros es M, uno de ellos es N, el otro ser:

A) 2NB) 2M

C) 2M 2

D) 2M N

E) M N

04. La media aritmtica de (a2 + 1) y (1 a2) es:

A) 2B) 0 1

C) a2 + 1

D) a2 05. Tenemos los nmeros 9 ; 10 y 13 de un total de cuatro, cuyo promedio resulta (t + 8); cul es el cuarto nmero?A) 4tB) 24t

C) 40 + t/4

D) 40 + t

E) N.A.06. Qu fraccin se deber aadir a las siguientes fracciones: 3/5; 1/4; 1/10 y 1/2 para tener un promedio de 3/10?A) 1/20B) 2/3C) 8/5D) 29/20E) 3/2

07. Un automvil ha recorrido 105000 km usando 7 llantas en total. El promedio recorrido por cada llanta ser (en km):A) 60 000

B) 15 000

C) 26 500

D) 80000

E) N.A08. La edad promedio de 3 personas es 54 aos; ninguno de ellos es mayor de 56 aos. Cul es la mnima edad que puede tener el menor?

A) 54

B) 48

C) 50

D) 56

E) 44

09. De un total de 14 nmeros, 3 eran 5; 5 eran 8; 4 eran 9 y el resto eran 14. Cul es el promedio de estos nmeros?

A) 12

B) 10,4

C) 8,5

D) 22E) 13010. Las temperaturas registradas en una ciudad son: 28; 25, 15 y 12. Cul es la temperatura promedio?A) 20

B) 12,5

C) 10D) 3,5E) 14011. Si tenemos los nmeros 64 y 16, la media geomtrica de stos ser:

A) 8

B) 32

C) 24

D) 12

E)

012. Dados los nmeros 8; 2 Y un tercer nmero; su promedio geomtrico es 4. El tercer nmero es:

A) 2

B) 4

C) 8D) 5

E) 6

013. El promedio geomtrico de cuatro nmeros enteros diferentes entre s es . El nmero mayor es:

A) 2

B) 4

C) 8

D) 16

E) 10014. Dados dos nmeros: t y otro desconocido cuya media geomtrica es G. El otro nmero ser:A)

B)

C)

D)

E) Gt015. El doble de la media aritmtica de dos nmeros es igual al cuadrado de su media geomtrica ms 1. Si uno de los nmeros es 120, el otro ser:

A) 10

B) 100

C) 1

D) 20

E) 30016. Hallar dos nmeros sabiendo que su media aritmtica es 9 y su media geomtrica es

A) 36; 1

B) 6; 12

C) 8 ; 9

D) 18; 4

E) N.A

BLOQLE III

01. Dados: 3; 6 y 10; el promedio armnico ser:A) 4

B) 8

C) 5

D) 6

E) 7

02. En las fracciones dadas, hallar el promedio armnico de las tres menores.

A) 0,67

B) 0,53

C) 0,72

D) 0,48

E) 0,68

03. Si la media geomtrica de 2 cantidades es 200 y su media armnica es 160; cul es la media aritmtica?

A) 180

B) 179

C) 250

D) 236

E) 186

04. Siendo la media aritmtica de dos cantidades 18/5 y su media armnica 2,5; la media geomtrica es:

A) 3 1/3

B) 6

C) 3 3/16

D) 9

E) 3

05. Un avin va de una ciudad A a B, con una velocidad de 80 km/h y regresa con una velocidad de 40 km/h. Cul es la "velocidad promedio"?

A) 60

B) 20

C) 53 1/3

D) 120

E) F.D.

06. Cul es el producto de dos nmeros si su media aritmtica es 16 y su media armnica es 12?

A) 36

B) 12

C) 144

D) 96

E) 192

07. Si la media geomtrica de dos nmeros a y b es k veces la media armnica de dichos nmeros y ambos nmeros cumplen: a = 9b; entonces k es:

A) 1

B) 4/3

C) 5/3

D) 2

E) N.A

08. La media geomtrica de 2 nmeros es 12; si aumentamos ambos nmeros en 10 unidades, la media aritmtica sera 23. La media armnica es:

A) 144/13

B) 288/13

C) 13/144

D) 13/288

E) 10

09. Hace 10 aos la media geomtrica de tu edad y la ma eran 10 aos; cul es la media armnica de nuestras edades actuales?A) 1/20

B) 10

C) 30

D) 20

E) 18

010. Se compran 10 kg de azcar a S/. 50 y 15kg a S/. 60. Cul es el precio promedio por kilo de azcar?A) 6

B) 4,4

C) 5

D) 8,2

E) 4,6

011. Se hacen las siguientes compras de alcohol en diferentes farmacias:

30 a SI. 15 por litro

35 a SI. 18 por litro

40 a SI. 20 por litro

45 a SI. 26 por litro

50 a SI. 25 por litro

Hallar el precio promedio de alcohol.B) 80

C) 42

D) 12,8

E) 20

F) 21,5

012. Si se mezclan 100 litros de gasolina de SI. 2,60 con 200 litros de gasolina de SI. 3,20; cul es el precio de un litro de mezcla?A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 12,2

013. Se mezclan 200 litros de vinagre de SI. 5 por litro, con 30 litros de vinagre a mayor precio, obtenindose una mezcla a un precio de SI. 6,5 el litro; cul es el precio del vinagre ms caro?A) 8

B) 9,5

C) 10

D) 16,5

E) 7,5

014. Se mezclan 60 litros de alcohol de 40 con 40 litros de alcohol de 60. El grado de pureza de la mezcla ser:A) 50

B) 40

C) 60

D) 48

E) 52

015. Qu cantidad de agua (en litros) hay que agregarle a 4 litros de alcohol de 30, para tener una mezcla de 25?A) 8

B) 0,8

C) 6

D) 0,6

E) 1,2

016. Juan mezcla 30 litros de alcohol de 30, cuyo precio por litro es de S/.2,0, con 10 litros de alcohol de40, cuyo precio es SI. 3,0. Hallar el precio promedio de la mezcla. (SI.)A) 2,20

B) 2,25

C) 2,40

D) 2,50

E) 2,70

017. A cmo debemos vender aproximadamente el kg de arroz que resulta de mezclar:

Arroz Paisana: 50 kg de SI. 8,6 el kg Arroz Superior: 30 kg de SI. 9,5 el kg Arroz Comn: 20 kg de S/. 9,3 el kg

A) S/. 10

B) S/. 9

C) S/. 8,5

D) S/.12

E) S/. 7,1

018. Se tiene una mezcla de 20 litros al 25% de alcohol; cuntos litros de agua hay que echarle para que la nueva mezcla est al 10% de alcohol?A) 20

B) 10

C) 30

D) 40

E) 25019. Se mezclan los siguientes ingredientes:

28 kg de caf a S/. 7,25 el kg

14 kg de caf a S/. 7,40 el kg

7 kg de caf a S/. 7,45 el kg

Cul es el "precio medio" de la mezcla?

A) S/. 8,2

B) S/. 7,32

C) S/. 6,40

D) S/. 4,42

E) S/. 6,1

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