1

[ ]

FUNCIONESDEFINICION DE FUNCION

Una funciónf es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio un valor único f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama rango de la función.

DOMINIO Y RANGO

Las funciones que se van estudiar son reales, es decir, el conjunto de salida son todos los valores de la recta real, lo mismo que el conjunto de llegada.

DOMINIO: es un subconjunto del conjunto de salida, los elementos se les acostumbran a llamar x y corresponde a la variable independiente. El conjunto de todos los valores posibles para x tal que f(x) existe se llama DOMINIO NATURAL de la función.

RANGO: es el conjunto de todos los valores que puede tomar f(x), a cada uno de éstos valores se les acostumbra a llamar “y” o variable dependiente.

Ejemplo:

1.- Como no se menciona su dominio entonces se halla los valores de x para los cuales existe f(x), como no debe haber división entre 0 y x2-1 =(x-1) (x+1)=0 si y sólo si x=1 y x=-1, entonces

Dom (f) = R- {1, -1}

2.-

En este caso x2-1 > 0, entonces

GRÁFICA DE FSe define por gráfica de la función f: AB a la unión de los pares ordenados del plano cartesiano de la forma:

•• •

2

[ ]

Gráfica (f) = {(x, y) / x Dom (f), y = f(x)}Nota: Una característica importante que tienen las gráficas de las funciones es que al trazar rectas verticales estas interceptan a la gráfica siempre en un solo punto.

Ejemplos

A={1,2,3 } , B={ a,b,c}AXB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c) }

1.- Sea f= {(1, a), (2, b), (3, b)}

f es una función f(1)=a, f(2)=b, f(3)= b

Rang (f) = {a, b}

Dom (f) = {1, 2, 3}

Observación:f= {(x, f(x))/ x Є Dom (f)} Rang (f)= { f(x)/ x Є Dom (f)} Al trazar rectas verticales estas interceptan la gráfica siempre en un punto

cba

1 2 3

3.- Hallar el Dominio, Rango y la gráfica de f(x) = x2 , -1 ≤ x ≤ 2Dom (f) = [-1, 2] ,Rang (f) = [ 0, 4]

DEFINICIÓN DE LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES

A Bf123

c

ababababababababababababababababababababababababababababababababababababab

3

[ ]

El punto (a, 0) se llama un a intersección con el eje x de la gráfica de una ecuación si es un punto solución de la ecuación.

El punto (b, 0) se llama un a intersección con el eje y de la gráfica de una ecuación si es un punto solución de la ecuación.

Ejemplo:Graficar: F ( x )=x+2 ,∀ x∈RSabemos que: y=x+2Tabulando:

X Y

-3 -1

-2 0

0 2

1 3

2 4

⋮ ⋮

Ejercicios

-3

-1

0X

Y

4

[ ]

Suponga que y es una función de x. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera. Justifique su respuesta

a. Para cada valor de x, y puede tomar varios valores

b. Para cada valor de y ,x puede tomar varios valores

c. Cuando x crece y también crece

1. Haga la gráfica e indique si son o no funciones. Si no son funciones escriba porqué.2. En la gráfica indique los puntos de intersección con los ejes coordenados.3. Despeje y en cada una de las ecuaciones.

a) 2 x− y=4 b) x2+ y2=9 c)

x2

4+ y2

9=1

d) x2+3 x− y=−2

2. Halle el dominio de las funciones:

a) b) c)

d) e) f)

3. halle el rango de las funciones:

a) b) c)

4. Halle el dominio, el rango y los interceptos de las funciones. Trace sus gráficas:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

5

[ ]

TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS

Sea k una constante positiva, con respecto a la gráfica de f(x), la gráfica de:

f(x+k) es la gráfica de f desplazada k unidades a la izquierda

f(x-k) es la gráfica de f desplazada k unidades a la derecha

f(x)+k es la gráfica de f desplazada k unidades hacia arriba

f(x)-k es la gráfica de f desplazada k unidades hacia abajo

kf(x) es la gráfica de f alargada k veces en la dirección vertical

f(x)/k es la gráfica de f contraída k veces en la dirección vertical

f(kx) es la gráfica de f contraída k veces en la dirección horizontal

f(1/kx) es la gráfica de f alargada k veces en la dirección horizontal

f(-x) es la gráfica de f reflejada con respecto al eje y

-f(x) es la gráfica de f reflejada con respecto al eje x

-f(-x) es la gráfica de f simétrica con respecto al origen.

Ejemplo

1.- Sabiendo la gráfica de Sen(x) Graficar:

a) Sen(x + π/2)b) Sen(x - π/2)

Desplazamientos a la izquierda y derecha

2.- Sabiendo la gráfica de Sen(x) graficar Sen(x) +1 , Sen(x) - 1 Desplazamiento hacia arriba y hacia abajo

k

k

π-π -π/2 π/2

Sen(x)

Sen(x -π/2)

Sen(x +π/2)

Desplazamientos a la derecha

Desplazamientos a la izquierda

6

[ ]

2.- Sabiendo la gráfica de Sen(x) Graficar:

a) Sen(x)+1b) Sen(x) -1

3.-Sabiendo la gráfica de Sen(x) graficar 2 sen(x) ,

π/2 π

-π -π/2

Sen(x)

2 Sen(x)

Desplazamiento hacia abajoSen(x)-1

k

k

-π/2 π/2-π π

Desplazamiento hacia arribaSen(x)+1 Sen(x)

7

[ ]

4.- Sabiendo la gráfica de Sen(x) graficar sen(2x) , sen(x/2)

5.- Sabiendo la gráfica de ex graficar e-x ,- ex y -e-x

ex

Reflexión con respecto al eje y

e-x

Simetría con respecto al origen

-e-x Reflexión con respecto al eje x

-ex

-π

-2π 2ππ

Sen(x/2)

Sen(2x) Sen(x)

exexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexexex

8

[ ]

Ejercicios

1. Trace las gráficas de las siguientes funciones:

a. b.

c. d.

e. k(x)= Función parte entera de x. (La parte entera de x es el mayor entero menor o igual a x.

2. Realice movimientos en el plano para obtener la gráfica de:

a. b. c.

d. e.

3. Observe las gráficas que aparecen a continuación y decida cuál de ellas representa de forma más aproximada a la gráfica de la función:

9

[ ]

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES SEGÚN SU FORMA:

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Un ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por:

y=(√ x+5 )3

x23+3

FUNCIONES POLINÓMICAS

Ya se analizó el concepto de función y sus elementos; ahora estudiaremos un grupo de funciones llamadas algebraicas, en particular un conjunto de ellas que denominaremos funciones polinomiales.

Las funciones polinomiales tienen una gran aplicación en la elaboración de modelos que describen fenómenos reales. Algunos de ellos son: la concentración de una sustancia en un compuesto, la distancia recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su comisión, la variación de la altura de un proyectil, entre otros.

f ( x )=a0+a1 x+a2 x2+…+an−1 xn−1+an−1 xn

10

[ ]

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN CONSTANTEy=F ( x )=C ∀C∈R

DF=RRF={C }

FUNCIÓN IDENTIDADy=F ( x )=x

DF=RRF=R

FUNCIÓN LINEAL

y=F ( x )=mx+b ;m≠0

DF=RRF=R

FUNCIÓN CUADRÁTICAy=F ( x )=x2

DF=RRF=R0

+¿¿

FUNCIÓN CÚBICAy=F ( x )=x3

DF=RRF=R

FUNCIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO

y=F ( x )=1x

DF=R−{0}RF=R−{0}

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADAy=F ( x )=√ x

DF=R0+¿¿

RF=R0+¿¿

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOy=F ( x )=|x|

DF=RRF=R0

+¿¿

FUNCIÓN SIGNO FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO

11

[ ]

y=Sgn ( x )={ 1x>00x=0

−1x<0

DF=RRF={−1;0 ;1 }

y= ⟦ x ⟧=n↔ n≤ x<n+1∀n∈Z

DF=RRF=Z

FUNCIONES TRASCENDENTES

No siempre se puede modelar con funciones del tipo algebraico; esto ha dado lugar al desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones trascendentes, las cuales se clasifican en: las trigonométricas y sus inversas, relacionadas con el triángulo rectángulo; y las logarítmicas y exponenciales, más asociadas a una variación en progresión geométrica (crecimiento poblacional, por ejemplo).

y=cos xy=23x

y=log25 x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radián.

12

[ ]

13

[ ]

FUNCIÓN EXPONENCIAL

y=F ( x )=ax , ∀a>0∧a ≠1

DF=RRF=R+¿¿

FUNCIÓN LOGARITMOy=F ( x )=loga x ,∀a>0∧a≠1

DF=R+¿¿

RF=R

FUNCIÓN PERIÓDICA

Una función F es periódica, con periodo T (T>0) si cumple las siguientes condiciones:1. ∀ x∈DF, se tiene que (x+T )∈DF

2. F ( x+T )=F ( x ) ;∀ x∈DF

Ejemplo:

14

[ ]

F ( x )=cos x ; x∈ R1. ∀ x∈DF, se tiene que (x+2π )∈DF

2. F ( x+2π )=cos ( x+2π )=cos x=F ( x )→ el periodo es 2π

NOTA: Si T es periodo, también kT /k∈Z−{0 } es periodo

Gráficamente

FUNCIÓN CRECIENTEUna función F es creciente sobre un intervalo I⊂DF ,si y sólo si:∀ x1, x2∈ I:

x1< x2→ F ( x1)< F ( x2 )FUNCIÓN DECRECIENTEUna función F es creciente sobre un intervalo I⊂DF ,si y sólo si:∀ x1, x2∈ I:

x1< x2→ F ( x1)> F ( x2 )

FUNCIÓN MONÓTONAUna función F, es monótona sobre un intervalo I⊂DF, cuando es creciente o no creciente o decreciente o no decreciente.

15

[ ]

FUNCIÓN PARSe dice que una función Fes par, si:F(-x) = F(x) , para todo x DomF

Observación:La gráfica de una función par, es simétrica con el eje Y¿Puede ser simétrica al eje X, la gráfica de una función?

FUNCIÓN IMPAR

Se dice que una función Fes impar, si:F(-x) = -F(x) , para todo x DomF

Observación:La gráfica de una función impar, es simétrica con respecto al origen.

FUNCIONES EXPLÍCITAS

16

[ ]

Es aquella en la que la variable dependiente se encuentra despejaday=f (x )

Ejemplo:

FUNCIONES IMPLÍCITAS

Es aquella que se encuentra dentro de una ecuación f (x , y )=0

que la involucra a ella y a otras funciones, y en la que, como se observa, la variable dependiente no se encuentra despejada.

Ejemplo:

FUNCIÓN PARAMÉTRICA

Existe una forma de representar a una función en la que tanto la variable dependiente "y" como la variable independiente "x", se expresan en términos de una tercera variable cono-cida como parámetro de la función. De esta forma, una función y = f (x) queda representa-da paramétricamente como:

17

[ ]

Ejercicios:

1. Determinar si las siguientes funciones son pares o impares

k ( x )=4 x3−x

p ( x )=x3−3 x+1 r ( x )=3√ x−x

t ( x )=|x|+1 w (x )=|x+1|

g (r )= r2−1r2+1

g ( z )= z−1z+1

h ( x )= x2−52x3+x

f ( x )={−1 si x<01 si0≤ x

f ( y )= y3− yy2+1

f ( x )= |x|x2+1

2. Dada la ecuación x2

9+ y2

4=1, obtener dos funciones explícitas de ella, dar sus dominios y

recorridos y hacer un trazo aproximado de sus gráficas.

3. Demuestre que si f y g son funciones impares f+g y f-g son también funciones impares; mientras que f.g y f/g son funciones pares

4. analice gráficamente si las funciones son pares , impares o ninguno de los dos casos

1

2

3

4

5

18

[ ]

ALGEBRA DE FUNCIONES

Si F y G son funciones con dominios DF y DG, tal que DF ∩ DG=D∧D ≠ Φ; entonces se pueden realizar las operaciones:

(F+G)(x)=F (x)+G(x)

(F−G)(x )=F(x)−G( x)

(F ∙G)(x)=F(x) ∙G( x )

( FG )

(x)=

F( x)

G(x)

∕ G(x)≠0

Ejemplo

Sea f ( x )=2x+1 y g ( x )=x2−1 entonces:

f ( x )+g ( x )=2 x+x2

f ( x )−g ( x )=2 x−x2+2

f ( x ) g (x )=(2x+1 ) ( x○2−1 )

Dom f +g=Domf −g=Dom f . g=R

f ( x )g ( x )

=2x+1x2−1

, Domfg=R− {±1 }

Ejercicio

Halle f +g , f −g , f . g yfg

indicando el dominio en cada caso

19

[ ]

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas las funciones f y g con dominios Df y Dg respectivamente, se define como la composi-ción de la función f con la función g a la función denotada con fog tal que:

Fog se lee " f composición g" y se trata de una función cuyo dominio está formado por to-dos los elementos " x " que pertenecen al dominio de "g”, para los cuales g(x) pertenece al dominio de " f ", lo que se expresa como:

Ejercicio

Halle fog y gof indicando su dominio

f ( x )=3 x2−4 x ; g ( x )=2 x−5 f ( x )=√x2−36 ; g ( x )=x2−3 x

f ( x )= 1x−1

; g ( x )= 2

x2+1

f ( x )=2√x+3x

;g (x )=2 x+5x4

f ( x )=1x

; g ( x )=√ x

f ( x )=√x g ( x )=|x+2|

f ( x )=|x|; g ( x )=−1x

f ( x )=√x2−1 ; g ( x )=√x−1Determine f y g de modo que h sea la composición de estas, hágalo de 2 formas

h ( x )=√ x+7 h ( x )=( x2+x )15

h ( x )= 2

( x2+x+1 )3

h ( x )=log ( x3+3 x ) h ( x )=√ x2−4

h ( x )=(9+x2)−2

h ( x )=( 1x−2 )

3

h ( x )= 43√x3+3

h ( x )=( x2+4 x−5 )4

h ( x )=√|x|+4Sea f ( x )= x

x−1 . Determine y simplifique cada valor.

20

[ ]

f (1 /x ) f ( f ( x ) ) f (1 / f ( x ) )

21

[ ]

FUNCIÓN INYECTIVALa función F es inyectiva (univalente o uno a uno) cuando para cada imagen ‘’y’’ le corres-ponde una y sólo una pre-imagen ‘’x’’:

Una función F, tal que ∀ x1, x2∈DF ,es inyectiva si:

F ( x1 )=F ( x2 )→ x1=x2GRAFICAMENTE:

FUNCIÓN SURYECTIVA

La función F:A→B es suryectiva si todo elemento y ϵ B tiene al menos una pre-imagen x ϵ A; equivalentemente f es suryectiva si: RanF=BSimbólicamente:

F : A →B / y∈F (x )Una función F, tal que ∀ x1, x2∈DF ,es suryectiva si:

F es suryectiva ↔ RF=BNotas

i. La función suryectiva también se nombra sobreyectiva o función sobre.ii. En aquellas funciones donde no se indica el conjunto de llegada, se les considera su-

ryectiva.

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función F : A → Bes biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y suryectiva, y la relación entre los elementos del dominio y los del codominio es biunívoca.Ejemplo:Sea:F : ⟨0 ;2 ⟩ → ⟨1 ;9 ⟩ , F ( x )=x3+1¿Será F biyectiva?

F ( x )=x3+1 ,0<x<2

FUN- CIÓN INVERSA

Se cumple:• F es inyectiva• RanF=⟨1 ;9 ⟩=¿B→F es suryectiva

∴F esbiyectiva

22

[ ]

Sea la función inyectiva:F={(x ; F (x))/ x∈DF }

Entonces existe la función inversa de F, denotada por F*, cuya regla será:F ¿= {(F (x ) ; x)/ x∈DF }

Esto es F* es el conjunto de pares ordenados obtenidos al intercambiar el primer y el se-gundo elemento en cada par ordenado de F.

Propiedades1. La inversa de F también se indica por F-1

2. DomF*=RanF3. RanF*=DomF4. F*oF=I, sobre DomF5. FoF*=I, sobre DomF*6. (F*)*=F7. (FoG)*=G*oF*; si F y G son inyectivas8. Si FoG=H → F=HoG* y G=F*oH

NotasI. La notación F-1 se refiere a la inversa de la función F ya no al exponente -1 usado

para números reales. Únicamente se usa como notación para la función inversa.II. La inversa de una función cuando existe es única.

III. La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una fun-ción biyectiva siempre existe.

IV. En general, las gráficas de F y F-1 son simétricas respecto a la función identidad y=x

Gráfica de la función inversaLa gráfica de la función inversa F* se obtiene reflejando la gráfica de F sobre la gráfica de la función identidad (y=x)

23

[ ]

Métodos para la hallar la inversa de una función

Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obte-ner la inversa de la función f(x).

Procedimiento:

Se sustituye f(x) por y en la función dada. Se intercambian x e y para obtener x=f(y) Se despeja la variable y. En la solución se escribe f−1 (x) en vez de y

Ejemplo

Hallar la inversa de la función f ( x )= x2−5

Solución

Ejercicio

Determine la función inversa si existe, halle su dominio y contradominio. Grafíquelas

f ( x )=5 x−7 f ( x )=1−x2

f ( x )=3 x+6 f ( x )=x5

f ( x )= (4−x )3

f ( x )=√2 x−6 f ( x )=3 ( x2+1 ) f ( x )=√1−x2

f ( x )=|x|+ x

f ( x )=3 3√x+1

f ( x )={x2+2 ;−2≤ x<0

−x+63

;0≤ x≤6

f ( x )={ 1−x2 ;−2<x ≤0

1+sen x ;0< x≤π2

f ( x )= x2−5

y= x2−5

x= y2−5

x+5= y2

2 x+10= yy=2x+10

f−1(x)=2x+10

Y la inversa es la función:

24

[ ]

f ( x )={x2+4 x−1;−4 ≤ x ≤−2−12

x−6 ;−2<x<0

−x−244

;0≤ x<4

MODELAMIENTO CON FUNCIONES

Secuela para formular funciones:

Lectura e identificación de magnitudes e incógnitas Modelo geométrico con magnitudes Modelo matemático preliminar Ecuaciones auxiliares Modelo matemático definitivo

EjemploEl volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta y a la temperatura de 175° el gas ocupa 100 m3. Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen como una función de la temperatura. ¿Cuál es el volumen del gas a una temperatura de 140°?

SoluciónSea f ( x ) metros cúbicos el volumen del gas cuya temperatura es x grados. Entonces, por la definición de variación directamente proporcional

f ( x )=kx …(1)

Donde k es una constante. Como el volumen del gas es 100 m3 a la temperatura de 175°, se sustituye x por 175 y f ( x ) por 100 en (1), de donde se obtiene

100=k (175 )

k=47

Al sustituir este valor en (1), se obtiene

f ( x )= 47

x

A partir de la expresión para f(x), se obtiene

f (140 )=47

(140 )=80

Conclusión: a una temperatura de 140° el volumen ocupado por el gas es de 80 m3.Ejemplo Un fabricante de cajas de cartón desea elaborar cajas abiertas a partir de piezas de cartón rectangulares de 10 pulg por 17 pulg cortando cuadrados iguales en las cuatro es-

25

[ ]

quinas y doblando hacia arriba los lados. Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una función de la longitud del lado de los cuadrado que se corta-rán. ¿Cuál es el dominio de la función obtenida? Graficar la función y aproxime, la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán para que la caja tenga el volumen máximo. ¿Cuál es el volumen máximo?SoluciónSea x pulgadas la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán y sea V ( x ) pulgadas cúbicas el volumen de la caja. En la figuras se presenta una pieza de cartón dada y la caja obte-nida a partir de la pieza de cartón. El número de pulgadas de las dimensiones de la caja son x, 10−2x y 17−2x. Por tantoV ( x )=x (10−2x ) (17−2x )V ( x )=170 x−54 x2+4 x3

De la expresión para

V ( x )

, se

observa que V (0 )=0 y V (5 )=0. A partir de las condiciones del problema se sabe que x no puede ser un número negativo ni tampoco mayor que 5. En consecuencia, el dominio de V es el intervalo cerrado [0,5 ].

La gráfica de la función V se muestra en la figura. Se ob-serva que V tiene un valor máximo en su dominio. La co-ordenada x del punto más alto de la gráfica proporciona la longitud del lado de los cuadrados, los cuales deben cortarse para obtener la caja de volumen máximo, y la coordenada y proporciona dicho volumen. En la grafica-dora se determina que el punto más alto es (2.03,156 .03 ) Conclusión: la longitud del lado de los cuadrados debe ser de 2.03 pulg para obtener la caja cuyo volumen máxi-

mo es 156.03 pulg3.EJERCICIOS

1. Para una cuerda que vibra, el número de vibraciones es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda, y una cuerda de la tensión de la cuer-da, y una cuerda particular vibra 864 veces por segundo bajo una tensión de 24 kg. Encuentre un modelo matemático que exprese el número de vibraciones como una función de la tensión. Determine el número de vibraciones por segundo bajo una tensión de 6 kg.

26

[ ]

2. Si se supone que la resistencia a la flexión de una viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado del peralte de su sección, formular una expresión matemáti-ca que represente a la resistencia de dicha viga en términos únicamente de su an-cho. La viga se saca de un tronco de sección circular cuyo diámetro es de 50 cm.