1. La Programacion Lineal
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E. Raffo Lecca 2 La programación lineal De todas las técnicas de la IO, es la programación lineal o PL (Linear Programming) la más conocida y utilizada [SIM72]. La programación lineal nació hacia 1939 con los trabajos del matemático ruso Leonid V. Kantorovich (1912-1986), quien en 1976 recibiera el Premio Nobel de Economía por sus investigaciones. Su trabajo se mantuvo en secreto durante la segunda guerra mundial. En su obra “La Optimización de los recursos óptimos”, Kantorovich presenta este pensamiento. No en vano se trata de la teoría de cómo organizar de la mejor manera posible una cantidad limitada de recursos (o defensas) para obtener de ellos el mayor rendimiento (o conseguir los mínimos daños). 2.1El problema de la Programación Lineal George Dantzig crea el método simplex para la programación lineal, descrito por primera vez en su paper Programming in a linear structure (Programación en una estructura
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E. Raffo Lecca
2La programación linealDe todas las técnicas de la IO, es la programación lineal o PL (Linear Programming) la
más conocida y utilizada [SIM72]. La programación lineal nació hacia 1939 con los
trabajos del matemático ruso Leonid V. Kantorovich (1912-1986), quien en 1976
recibiera el Premio Nobel de Economía por sus investigaciones. Su trabajo se mantuvo
en secreto durante la segunda guerra mundial. En su obra “La Optimización de los
recursos óptimos”, Kantorovich presenta este pensamiento.
No en vano se trata de la teoría de cómo organizar de la mejor manera posible
una cantidad limitada de recursos (o defensas) para obtener de ellos el mayor
rendimiento (o conseguir los mínimos daños).
2.1 El problema de la Programación Lineal
George Dantzig crea el método simplex para la programación lineal, descrito por
primera vez en su paper Programming in a linear structure (Programación en una
estructura lineal). El término Programming o programación estaba referido a los
tipos de problemas abordados por Dantzig en aquellos años, denominados
Programming problems (problemas de programación), relacionados con la
investigación en devise programs of activities for future conflicts del departamento
de defensa de los Estados Unidos. Posteriormente se utiliza el término
programación lineal en lugar de programación en una estructura lineal, y los
problemas pertenecientes a esta área reciben el nombre de problemas de
programación lineal. De esta forma se asocia el término programación con un tipo
de problema matemático específico en la literatura de la Investigación de
Operaciones.
Un modelo programación lineal se define como:
E. Raffo Lecca
max omin z=c1 x1+c2 x2+…+cn xn
Sujeto a las restricciones
a i1 x1+ai 2 x2+…+a¿ xn{≤¿≥}b i, i=1,2 , …, m
Con las restricciones de no negatividad:
x j ≥ 0 , j=1,2 ,…n
Los siguientes problemas matemáticos corresponden a la programación lineal:
P1:
max z=x1+¿3 x2¿
Sujeto a
x1+ x2 ≤1
x1≥ 0 , x2≥ 0
P2:
max z=x1+¿ x2¿
Sujeto a
x1+ x2 ≤ 4
x1≥ 0 , x2≥ 0
P3:
max z=x1+¿ x2¿
Sujeto a
x1−2 x2 ≤ 0
2 x1−x2 ≤ 4
x1≥ 0 , x2≥ 0
P4:
max z=x1+¿ x2¿
Sujeto a
x1≤ 3
x1−x2≥ 4
x1≥ 0 , x2≥ 0
2.2 Hipótesis de la PL
E. Raffo Lecca
Los PL descansan sobre 4 supuestos: ser determinístico, la proporcionalidad, aditividad
y divisibilidad (ver la figura 2.1).
Figura 2.1: Supuestos en la programación lineal
Todo PL se construye haciendo uso de estas 4 hipótesis. Es la única guía en el
arte de construir modelos lineales de programación o también conocida como
formulación de PL.
Una mueblería produce sillas y mesas. Consta de dos departamentos: corte y
acabado. En cada departamento existe un operario que trabaja 8 horas diarias, y 5 días a
la semana. Cada silla deja una utilidad de $3 y cada mesa $5.
Departamento
Producto
DisponibilidadSilla Mesa
Corte 1 1 40
Acabado 1 2 40
Utilidad 3 5
Tabla 2.1: Composición de ingredientes
En la tabla 2.1, se presentan los tiempos estándares para procesar cada producto
en los dos departamentos.
E. Raffo Lecca
Se está buscando la mejor combinación de productos a elaborar, con el objetivo
de maximizar la utilidad semanal.
Los datos que se hacen uso para resolver un PL, asumen la completa certeza en
la información. Esto es hipótesis de ser determinístico. Algún cambio por error en el
ingreso de los datos o su posterior variación producto de los cambios genera el
denominado análisis pos óptimo.
Como un PL se compone de decisiones, restricciones y objetivos. La primera
pregunta es ¿Qué se necesita conocer?, la respuesta viene por el lado de las variables
decisionales: Cuánto producir de sillas y mesa por semana.
x1=Unidades a producir de sillas
x2=Unidades a producir de mesas
Sobre la segunda pregunta, ¿Cuál es el objetivo del PL? , se está buscando
maximizar la utilidad.
Por un lado la proporcionalidad dice que si por una silla gana $3, por x1 sillas
gana 3x1. Por otro lado si por una mesa se gana $5, por x2 sillas se gana 5x2. Aquí no
existe la economía de escala; es decir no hay descuentos por vender por cantidad.
Por la aditividad se explica que la utilidad total es la suma de la contribución por
las sillas mas la contribución por las mesas.
Luego la función objetivo es:
max z=3 x1+5 x2
El hecho que los recursos utilizados para producir un bien tienen un valor, se
debe a que son limitados; de otro lado su abundancia traería como consecuencia un
precio del recurso igual a cero. Se optimiza los recursos porque son escasos, en su
abundancia no tendría sentido tanto desarrollo computacional. Las restricciones
delimitan el espacio de solución a un PL, la acotan o restringen.
E. Raffo Lecca
En el caso de este ejemplo “piloto”, se podría producir ingentes cantidades de
sillas y mesas, y sólo el mercado podría restringirlas. Aquí se supone que todo lo que
produce la mueblería tiene mercado. Las restricciones son las horas-hombres que se
disponen en los departamentos de corte y acabado.
Restricción en el departamento de corte:
Horas-Hombre en procesar sillas más las H-H en procesar mesas NO EXCEDE de 40
x1+ x2 ≤ 40
Restricción en el departamento de acabado:
Horas-Hombre en procesar sillas mas las H-H en procesar mesas NO EXCEDE de 40
x1+2 x2 ≤ 40
Las soluciones al PL no pueden ser negativas; y como hacen usos de técnicas
matriciales para dar solución al conjunto de ecuaciones, se asume la negatividad para las
variables de decisión; aparte que pertenecen al conjunto de los números reales; y no
reflejan la naturaleza del dominio de la variables, que sean sillas o gramos de alimentos.
El PL es:
max z=3 x1+5 x2
Sujeto a:
x1+ x2 ≤ 40
x1+2 x2 ≤ 40
x1 , x2≥ 0
Esta estructura de PL es conocida como el problema de la mezcla óptima de
productos.
2.3 Formulación de PL
E. Raffo Lecca
En esta sección se presenta un conjunto de plantillas o template a estructuras de
problemas muy utilizados en los sectores económicos como públicos en la vida diaria.
2.3.1 Mezcla óptima de productos
El problema de la mezcla óptima de productos tiene como característica, un modelo que
tiene como variables decisionales la cantidad a producir de los bienes o productos y se
encuentra restringido por los recursos que utiliza, incluyendo la demanda que impone el
mercado. Los recursos pueden ser identificados por las limitaciones en H-H en los
departamentos, cantidad disponible de insumos, componentes o ingredientes; además de
las limitaciones de la demanda del mercado. Muchas situaciones en el mundo real caen
dentro de esta categoría de modelos.
La empresa PETFOOD, se dedica a la elaboración de alimentos para mascotas.
Existen dos tipos de alimentos el dogfood y el catfood. El precio de venta para cada caja
de alimentos con peso de una onza, es $ 10.5 y $14.5 respectivamente. El costo del
envase es $1.5 por unidad.
AlimentoIngredientes
A B C
Dogfood 30 40 30
Catfood 25 50 25
Disponibilida
d
1000 1400 900
Costo $4 $3 $2
Tabla 2.2: Composición de ingredientes
Cada uno de alimentos, contiene 3 ingredientes: A, B y C. En la tabla 2.2, se
presenta la composición de ingredientes por cada onza de alimentos. Los costos de una
onza de ingredientes son $4, $3 y $2 respectivamente.
La demanda del alimento dogfood es de 2000 unidades y 1500 unidades para
catfood. La capacidad de producción se limita a solo 3000 unidades de producción total.
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Presentar el PL para optimizar la utilidad total, sabiendo que existen limitaciones
en la cantidad de onzas de ingredientes disponibles.
El interés es conocer cuántas cajas del alimento dogfood y de catfood se deben
producir, para maximizar la utilidad. La utilidad viene como resultado de la diferencia
entre el ingreso por la venta y los costos por las onzas de ingredientes utilizados y el de
los envases.
Las variables de decisión vienen como:
x1=Unidades a producir de dogfood
x2=Unidades a producir de catfood
Las restricciones dadas por la demanda, así como la capacidad total de
producción son:
x1≤ 2000
x2≤ 1500
x1+ x2 ≤3000
Las restricciones impuestas por la disponibilidad de ingredientes son:
0.30 x1+0.25 x2 ≤1000
0.40 x1+0.50 x2 ≤1400
0.30 x1+0.25 x2 ≤ 900
La función objetivo es Utilidad=Ingresos−Costos:
Ingresos=10.5 x1+14.5 x2
Costos=4(0.30x¿¿1+0.25 x2)¿ + 3(0.40x¿¿1+0.50 x2)¿ + 2(0.30 x¿¿1+0.25 x2)¿
+1.50(x¿¿1+x2)¿
Utilidad=9 x1+13 x2−(3 x¿¿1+3 x2)=6 x1+10 x2¿
E. Raffo Lecca
El PL es:
max z=6 x1+10 x2
Sujeto a:
x1≤ 2000
x2≤ 1500
x1+ x2 ≤3000
0.30 x1+0.25 x2 ≤1000
0.40 x1+0.50 x2 ≤1400
0.30 x1+0.25 x2 ≤ 900
x1 , x2≥ 0
2.3.2 El problema de la dieta
El problema de la dieta fue analizado y resuelto en 1945 por George J. Stigler premio
Nobel de Economía en 1982. Este problema se identifica porque se tienen alimentos a
satisfacer, cumpliendo un peso determinado y satisfaciendo restricciones de contenidos
nutricionales.
Las aplicaciones del problema de la dieta se presentan en una diversidad de
situaciones de la vida real; no sólo en el balance dietético. A continuación se presenta
una versión, aplicada a la mezcla de aceros con la finalidad de conseguir una orden de
producción en una fundición.
MineralesAcero
A B C D
Silicio 5 4 3 6
Manganeso 0.5 0.6 0.8 0.7
Costo $18 $20 $24 $22
Tabla 2.3: Composición de los minerales
La empresa IRON se dedica a la fundición de aceros para conseguir un producto
industrial. En el momento actual se cuenta con entregar una orden de 2000 libras la que
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debe cumplir con un contenido mínimo del 0.6% de manganeso; y el contenido de
silicio encontrarse entre 4.4% y 5.5%.
La empresa vende a $0.40 la libra de material fundido, y hace uso de cuatro tipos
de aceros con el contenido de silicio (por cada 1000 libras de acero) y manganeso (en
porcentaje) dado en la tabla 2.3. El costo de los tipos de acero viene dado para miles de
libras.
Formular un PL para ayudar a IRON a optimizar la presente orden de
producción, sabiendo que se puede comprar manganeso a un precio de $8 la libra.
El interés es conocer cuántas libras de acero en los diferentes tipos, y libras de
manganeso se deben utilizar, para maximizar la utilidad. La utilidad viene como
resultado de la diferencia entre el ingreso por la venta y los costos por las libras de acero
y manganeso utilizados.
Las variables de decisión vienen como:
x1=Miles de librasa utilizar del acero tipo A
x2=Miles de libras autilizar del acero tipo B
x3=Miles de libras autilizar del acero tipo C
x4=Milesde libras a utilizar del acero tipo D
x5=Libras a utilizar demanganeso
La función objetivo es maximizar la Utilidad=Ingresos−Costos:
Ingresos=0.40 (2000 )=800
Costos=18 x1+20 x2 +24 x3+22 x4+8 x5
Utilidad=800−¿(18 x1+20 x2+24 x3+22 x4 +8 x5)
La restricción del peso del producto fundido:
1000 x1+1000 x2+1000 x3+1000 x4+x5=2000
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La restricción impuesta para el contenido de manganeso, viene de 5 libras de
manganeso están presentes en 1000 libras del acero A, 6 libras de manganeso están
presentes en 1000 libras del acero B, etc. Luego:
5 x1+6 x2+8 x3+7 x4+x5
2000≥ 0.006
5 x1+6 x2+8 x3+7 x4+x5≥ 12
Las restricciones impuestas por el contenido de silicio:
50 x1+40 x2+30 x3+60 x4 ≥88
50 x1+40 x2+30 x3+60 x4 ≤110
El PL es:
min z=¿18 x1+20 x2+24 x3+22 x4 +8 x5¿
Sujeto a:
1000 x1+1000 x2+1000 x3+1000 x4+x5=2000
5 x1+6 x2+8 x3+7 x4+x5≥ 12
50 x1+40 x2+30 x3+60 x4 ≥88
50 x1+40 x2+30 x3+60 x4 ≤110
x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥ 0
2.3.3 Planeación de cartera de inversiones
Una empresa acaba de obtener $500,000 y está buscando oportunidades de inversión
para los fondos. Se ha recomendado invertir en la industria Pesquera, minera o en
agroindustrias. Las inversiones y tasas de rendimiento se muestran en la tabla 2.4.
Se imponen los siguientes lineamientos de inversión:
Ninguna industria recibirá más de $250,000.
La inversión en agroindustrias deberán ser al menos 25% de las
inversiones mineras.
La inversión en Fondo Pesquero, no excederá del 60% de la inversión
pesquera.
E. Raffo Lecca
Inversión Tasa de rendimiento (%)
Fondo Pesquero 8.0Pesca Corp. 11.0BISA 9.0Mining Corp. 8.0Agroindustrias 5
Tabla 2.4
¿Qué recomendaciones de inversiones y cantidades deberán hacerse?
Variables Descripciónx1 Inversión en Fondo Pesquerox2 Inversión en Pesca Corp.x3 Inversión en BISAx4 Inversión en Mining Corp.x5 Inversión en Agroindustrias
Función objetivo = maximizar el interés total del portafolio
La inversión en Fondo pesquero genera: 0.08 x1
La inversión en Pesca Corp. genera: 0.11 x2
La inversión en BISA genera: 0.09 x3
La inversión en Mining Corp. genera: 0.08 x4
La inversión en Agroindustrias genera: 0.05 x5
Max z= 0.08 x1+0.11 x2+0.09 x3+0.08 x4+0.05 x5
El presupuesto disponible es de $500,000, que se invierte en los proyectos:
x1+ x2+x3+x4+x5≤ 500000
La restricción para la industria pesquera:
x1+ x2 ≤ 250000
La restricción para la industria minera:
x3+x4 ≤250000
La restricción para Agroindustrias:
x5≤ 250000
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La inversión en Agroindustrias al menos 25% de las inversiones mineras:
x5≥ .25(x¿¿3+x4)¿, equivalente a
−0.25 x3−0.25 x4+x5 ≥0
La inversión en Fondo Pesquero, no excederá del 60% de la inversión en pesca:
x1≤ 0.60(x1+x2), equivalente a
0.40 x1−0.60 x2≤ 0
El PL:
Max z= 0.08 x1+0.11 x2+0.09 x3+0.08 x4+0.05 x5
Sujeto a:
x1+ x2 ≤ 250000
x3+x4 ≤250000
x5≤ 250000
x1+ x2+x3+x4+x5≤ 500000
0.25 x3+0.25 x4−x5 ≤0
−0.60 x1+0.40 x2 ≤ 0
x1 , x2 x3 , x 4 , x5≥ 0
Inversión CantidadFondo Pesquero 0Pesca Corp. 250,000BISA 200,000Mining Corp. 0Agroindustrias 50,000
2.3.4 Un problema de comunicación
Un sistema de comunicación como el que se muestra en la figura 2.2, mide su capacidad
en llamadas-kilómetros. Dos llamadas entre los puntos A y B, utiliza 2 enlaces entre A y
el switch o intercambio, del mismo modo 2 enlaces entre el switch y B. Su capacidad es
2 d AB .
E. Raffo Lecca
Presentar un PL que maximice la capacidad del sistema de comunicación;
asumiendo que el número de líneas de enlaces es 8, 14 y 8 para A, B y C
respectivamente; y las distancias d AB=50 ,d AC=200 yd BC=150.
Figura 2.2: Sistema de comunicación
Las variables de decisión vienen dadas por las llamadas en simultáneo que se
dan entre A-B, como A-C y B-C:
x1=Llamadasentre A−B
x2=Llamadasentre A−C
x3=Llamadas entre B−C
El sistema de comunicación se encuentra restringido por el número de enlaces
que existe entre cada punto y el switch.
La función objetivo es maximizar la capacidad del sistema:
max z=50 x1+200 x2+150 x3
Las restricciones vienen dadas por el balance entre las llamadas que hacen uso
de cada uno de los enlaces y el total de líneas de enlaces disponibles:
x1+ x2 ≤ 8
x1+ x3 ≤ 14
E. Raffo Lecca
x2+ x3 ≤ 8
El PL resultante es:
max z=50 x1+200 x2+150 x3
Sujeto a:
x1+ x2 ≤ 8
x1+ x3 ≤ 14
x2+ x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3≥ 0
2.3.5 El problema de mezcla de crudos
Las operaciones en una refinería producen gasolina, petróleo, butano, etc. desde crudos
a través de una serie de operaciones. En la figura 2.3 se presenta una visión muy simple
de estas operaciones mediante la desintegración catalítica.
Una refinería posee tres procesos para elaborar varios tipos de gasolina. Los
diferentes crudos se mezclan en un desintegrador catalítico.
Figura 2.3: Operación en una refinería
El proceso 1, cuesta $4 y tiene como entrada 2 barriles de crudo 1 y 3 barriles de
crudo 2. El producto que se obtiene es 2 barriles de gasolina 1 y 2 barril de gasolina 2.
El proceso 2, cuesta $5 y tiene como entrada 2 barriles de crudo 1 y 3 barriles de
crudo 2. El producto que se obtiene es 3 barriles de gasolina 2.
E. Raffo Lecca
El proceso 3, cuesta $6 y tiene como entrada 2 barriles de crudo 1 y 3 barriles de
crudo 2. El producto que se obtiene es 3 barriles de gasolina 3.
Cada semana se podrían comprar 300 barriles de crudo 1 a 3$ por barril y 300
barriles de crudo 2 a $2 por barril. Los 3 tipos de gasolina se pueden vender por barril:
$15 la gasolina 1, $10 la gasolina 2 y $20 la gasolina 3. Cada proceso se ejecuta durante
una hora.
Formular un PL que optimice la utilidad, suponiendo que la planta trabaja 24
horas por día y 5 días por semana.
Figura 2.4: Descomposición de los procesos
Las variables de decisión vienen como:
x1=Horas del proceso1
x2=Horas del proceso 2
x3=Horas del proceso 3
a1=Barriles del crudo1
a2=Barriles del crudo2
E. Raffo Lecca
La restricción del total de horas en proceso, contando con 24(5)=120 horas a la
semana:
x1+ x2+x3 ≤120
La restricción del total de barriles de crudos a utilizar:
a1≤ 300
a2≤ 300
Relación de la cantidad de crudos utilizados, desde las horas de proceso:
a1¿2 x1+2 x2+2x3
a2¿3 x1+3 x2+3 x3
La función objetivo es maximizar la Utilidad=Ingresos−Costos:
Ingresos=15 (2 x1 )+10 (2 x1+3 x2 )+20 (3 x3 )Ingresos=50 x1+30 x2+60 x3
Costo=Desintegrador+Crudos
Costo=(4 x¿¿1+5 x2+6 x3)+(3 a1+2a2)¿
El PL resultante es:
max z=¿ 46 x1+25 x2+54 x3−3 a1−2 a2¿
Sujeto a:
x1+ x2+x3 ≤120
a1≤ 300
a2≤ 300
a1¿2 x1+2 x2+2x3
a2¿3 x1+3 x2+3 x3
x1 , x2 , x3 , a1 ,a2≥ 0
2.3.6 El problema de la composición de productos
Una variedad de problemas están relacionados con la composición de los productos a
través de sus insumos. Por ejemplo para producir envasados de jugo de naranjas, se
necesitan como insumos grados de naranjas. De la misma forma a partir de los químicos
se producen los fármacos, los dulces se hacen a base de azúcar, nuez y chocolates; y
finalmente diversos tipos de leche son la base para producir los quesos. Inclusive los
E. Raffo Lecca
grados de crudos son la base para formar los productos gasolinas y aceites y las
cosechas de uvas son la base para producir los vinos. Ver la figura 2.5
La característica de los modelos de PL para composición de productos es
identificar cuánto de cada insumo se asigna a cada producto; satisfaciendo las
condiciones de constitución de la “fórmula química” del producto.
Figura 2.5: Composición de productos
La empresa FANIA tiene su giro de negocios en torno a producir salsas para
gourmet.
Para el presente periodo, tiene que producir salsa DURA y salsa SENSUAL,
éstas tienen como insumo ajís y tomates. Se dispone en el almacén de 40 libras de ajís y
50 libras de tomates. El costo de estos insumos es $2 y $3 por libra respectivamente
para cada uno de los insumos.
En la tabla 2.4 se presenta la fórmula química para cada una de salsas en
mención; obteniéndose un ingreso de $4 y $5 por cada libra para cada una de las salsas
producidas respectivamente.
Presentar un PL para optimizar la producción de salsas a partir de ajís y tomates
para el presente periodo.
E. Raffo Lecca
InsumosSalsa
DURA SENSUAL
Ají Por lo
menos 25%
Por lo
menos 40%
Tomate A lo sumo
70%
Tabla 2.4: Composición de las salsas
Las variables de decisión vienen como:
x ij=Libras delinsumo iasignadas al producto j
A partir de la tabla 2.5.
InsumosSalsa
DURA SENSUAL
Ají x11 x12
Tomate x21 x22
Tabla 2.5: Variables de decisión
La relación de la cantidad de libras de insumo utilizados para el presente
periodo:
Ají ¿ x11+x12
Tomate ¿ x21+x22
La relación de la cantidad de libras de salsa producidos para el presente periodo:
DURA ¿ x11+x21
SENSUAL¿ x12+x22
La función objetivo es maximizar la Utilidad=Ingresos−Costos:
Ingresos=4 ( DURA )+5 ( SENSUAL)
E. Raffo Lecca
Ingresos=4 x11+4 x21+5 x12+5 x22
Costo=2 ( Ají )+3(Tomate)
Costo=2 x11+2 x12+3 x21+3 x22
Utilidad=2 x11+3 x12+x21+2 x22
La restricción del total de libras de insumos a utilizar:
x11+x12≤ 40
x21+x22≤ 50
La restricción de la composición de las libras de insumos por producto:
[ Ají ensalsa DURA ]x11
x11+ x21
≥ 0.25
[ Ají ensalsa SENSUAL ]x12
x12+x22
≥ 0.40
[ Tomate ensalsa DURA ]x21
x11+x21
≤ 0.70
El PL resultante es:
max z=¿2 x11+3 x12+x21+2x22¿
Sujeto a:
x11+x12≤ 40
x21+x22≤ 50
0.75 x11−0.25 x21≥ 0
0.60 x12−0.40 x22≥ 0
−0.70 x11+0.30 x21≤ 0
x11 , x12 , x21 , x22≥ 0
2.3.7 El problema del inversionista
A pesar que este problema se presenta con diversas variantes, existe características
comunes que los hacen identificable a un problema donde se desea invertir capitales
dada una cantidad disponible. Esto se da al principio del proyecto.
E. Raffo Lecca
Al inicio se propone elegir desde un monto disponible, cuánto invertir en cada
una de las alternativas; sin excederse de la cantidad total.
El objetivo es encontrar la cantidad máxima que se puede arribar en el último
periodo; producto de la ganancia en intereses.
Se dispone para invertir de $1000, y se tiene tres acciones a invertir a lo largo de
4 periodos. En la Tabla 2.6 se detallan los intereses a ganar en cada una de las acciones
y el periodo al cual están colocados.
Acción Periodo Tasa de
interés (%)
A 1 4
B 2 9
C 3 13
Tabla 2.6: Acciones a invertir
Se quiere maximizar la cantidad que se llega al final del periodo 4.
Las variables de decisión para A, vienen a continuación; y para B y C se
presentan en la figura 2.6:
x A1=Cantidad ainvertir de A enel periodo 1
x A2=Cantidad ainvertir de A enel periodo 2
x A3=Cantidad a invertir de A enel periodo 3
x A4=Cantidad a invertir de A enel periodo 4
E. Raffo Lecca
Figura 2.6: Variables de decisión
La función objetivo es maximizar la total que se consigue al fin del periodo
último. Esto es x A4+0.04 x A4 más xB3+0.09 xB3 más xC 2+0.13 xC 2 :
max z=1.04 x A 4+1.09 xB3+1.13 xC 2
La restricción del total a invertir en las diversas acciones:
x A1+xB1+xC 1≤ 1000
La restricción a invertir en el periodo 2:
x A2+xB2+xC 2≤ 1.04 x A1
La restricción a invertir en el periodo 3:
x A3+xB3 ≤1.04 xA 2+1.09 xB1
La restricción a invertir en el periodo 4:
x A4 ≤ 1.04 x A3+1.09 xB2+1.13 xC 1
El PL resultante es:
max z=1.04 x A 4+1.09 xB3+1.13 xC 2
Sujeto a:
x A1+xB1+xC 1≤ 1000
−1.04 x A1+x A2+xB2+xC 2≤ 0
−1.04 x A2−1.09 xB1+x A3+xB 3≤ 0
−1.04 x A3−1.09 x B2−1.13 xC 1+x A4 ≤ 0
x A1 , x A 2, x A3 , x A4 , xB1 , x B2 , xB3 , xC 1 , xC 2 ≥0
E. Raffo Lecca
El problema del inversionista a menudo aparece como el nivel a invertir en cada
uno de los proyectos. Este nivel se encuentra entre 0 y 1(100%).
El balance de la cantidad a invertir, se encuentra restringido al ingreso de los
flujos. En cada periodo El flujo de ingreso es igual al flujo de salida, incluyendo la
inversión de la cantidad remanente a cierta tasa de interés.
2.4 Análisis gráfico en un PL
Un PL con dos variables decisionales es resuelto fácilmente usando el análisis gráfico.
Este no es un método para resolver un PL, sólo es una manera de visualizar las
relaciones existentes entre las restricciones.
2.4.1 Usando el plano cartesiano
El PL formulado para la mueblería es:
max z=3 x1+5 x2
Sujeto a:
x1+ x2 ≤ 40
x1+2 x2 ≤ 40
x1 , x2≥ 0
En el análisis gráfico, se trata de resolver el conjunto de desigualdades o
inecuaciones que definen el espacio de solución factible o BFS. Condicionado al
concepto que tienen los economistas sobre las isocuantas o curvas de indiferencia.
Primero se numerarán las restricciones de 1 al 4 incluyendo las restricciones de
no negatividad:
1 : x1+x2≤ 40
2 : x1+2 x2≤ 40
3 : x1≥ 0, 4 : x2≥ 0
Como estas desigualdad se visualizan como el área que se encuentra bajo (o
arriba) de la línea; entonces la línea se grafica tomando puntos de intercepción con los
ejes cartesianos.
E. Raffo Lecca
Para la recta 1 : x1+x2=40 , x1=0 , x2=40.
Para la recta 1 : x1+x2=40 , x1=40 , x2=0.
Para la recta 2 : x1+2 x2=40 , x1=0 , x2=20.
Para la recta 2 : x1+2 x2=40 , x1=40 , x2=0.
Figura 2.7: Espacio de solución factible
En la figura 2.7 se observa que el BFS corresponde al área común para todas las
restricciones.
Sea la curva de indiferencia que produce el valor f ( x1 , x2 )=k , para diferentes
valores de k. De todas las curvas de indiferencia en la región factible, el punto óptimo se
encuentra en aquella cuyo valor k es el mejor (sea mínimo o máximo).
E. Raffo Lecca
Figura 2.8: El óptimo PL de la MUEBLERIA
En la figura 2.8, la línea z=c1 x1+c2 x2 tiene como pendiente,
d x2
d x1
=−c1
c2
=−35
Para el PL de la mueblería la solución óptima es x1=40 , x2=0 , z=120. Este es
el punto más alto en el espacio de solución factible. El concepto de curva de
indiferencia dice que todos los puntos en z (en el BFS) son igualmente seleccionados.
El PL para PETFOOD es:
max z=6 x1+10 x2
Sujeto a:
1 : x1 ≤ 2000
2 : x2≤ 1500
3 : x1+x2 ≤3000
4 :0.30 x1+0.25 x2 ≤1000
5 :0.40 x1+0.50x2 ≤1400
6 :0.30 x1+0.25 x2 ≤ 900
7 : x1≥ 0, 8 : x2≥ 0
E. Raffo Lecca
Figura 2.9: El óptimo del PL PETFOOD
Para encontrar la solución óptima, el análisis gráfico permitirá visualizar entre
otras las restricciones activas y las redundantes. Las restricciones 4 y 5 son redundantes,
toda vez que se pueden eliminar y no cambia la solución. Se observa el BFS está
definido por las otras restricciones. De este conjunto de restricciones, las restricciones 2
y 3 son las activas (por definir la solución óptima) y las restricciones 1, 6,7 y 8 son las
no activas.
La solución óptima es x1=1,500 , x2=1,500 , z=24,000.
2.4.2 Casos en PL
A continuación se presentan algunos casos de PL, para mostrar la importancia del
análisis gráfico. El objetivo es conocer las distintas geometrías con que se presenta un
PL.
Sea el PL P2 definido a principio de capítulo, se observa que la línea de la función objetivo es paralela a la restricción activa; en consecuencia toda la línea 1, constituye la solución óptima; se dice que existen soluciones alternativas. Ver figura 2.10.
E. Raffo Lecca
PL Análisis gráfico
max z=x1+¿ x2¿Sujeto a
1 : x1+x2≤ 42 : x1≥ 03 : x2≥ 0
Figura 2.10: Soluciones alternativas
En el PL P3, se observa que la región de solución factible BFS no se encuentra
acotada; en consecuencia el óptimo se encuentra en el infinito; se dice que la solución
óptima está no acotada. Ver figura 2.11.
En el PL P4, se observa que la región de solución factible BFS no existe; se dice
que la solución es no factible. Ver figura 2.12.
max z=x1+¿ x2¿
Sujeto a
1 : x1 ≤ 3
2 : x1−x2≥ 4
3 : x1≥ 0
4 : x2≥ 0
PL Análisis gráfico
E. Raffo Lecca
max z=x1+¿ x2¿Sujeto a
1 : x1−2x2 ≤02 :2 x1−x2 ≤ 4
3 : x1≥ 0 ,4 : x2≥ 0
Figura 2.11: Optimo no acotado
Figura 2.12: Solución no factible
2.5 Algebra lineal
La programación lineal está íntimamente ligada a la solución de sistema de ecuaciones
lineales. Esto significa un conocimiento en álgebra lineal, en temas sobre matrices,
combinación lineal, dependencia lineal, independencia lineal, bases y soluciones
básicas.
2.5.1 Combinación lineal
Sea la matriz A
E. Raffo Lecca
A=( a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amn
)Donde cada columna de la matriz se define como:
u j=(a1 j
⋮amj
)Sea un conjunto de vectores u1 ,u2 , …, un y un conjunto de escalares λ1 , λ2 ,…, λn,
se define la combinación lineal (ver la figura 2.13):
u=∑i=1
n
λi ui=λ1u1+λ2u2+…+ λn un
Figura 2.13: Combinación lineal
Un conjunto de vectores u1 ,u2 , …, un, se dice que es linealmente
dependiente, si alguna combinación lineal de estos, es con al menos un escalar
λ1 , λ2 ,…, λn, diferente de cero.
La combinación lineal es linealmente dependiente si se cumple:
∑i=1
n
λiu i=λ1 u1+λ2 u2+…+ λnun=0 ,∃algún λi ≠ 0
En la siguiente matriz
E. Raffo Lecca
U=(1 0 11 1 01 0 1)
∑i=1
n
λiu i=λ1 u1+λ2 u2+…+ λnun=0
u1+λ2u2+…+ λ ju j+…+λnun=0 , λ j≠ 0
u j=−1λ j
∑i≠ j
n
λ iui
∑i=1
3
λiu i=1u1−1u2−1u3=0
u1=u2+u3
En la siguiente matriz
A=(1 0 00 1 00 0 1)
Se observa que A está constituida por vectores unitarios, luego
λ1e1+ λ2 e2+λ3 e3=0
La solución λ1=λ2= λ3=0, se dice que existe independencia lineal. Los vectores unitarios son
linealmente independientes.
2.5.2 Bases e independencia lineal
A continuación se presentan las propiedades para la combinación lineal:
1. B es una matriz de orden mxn , y es un vector columna de n componentes,
By= y1b1+ y2b2+…+ yn bn . Con b j la columna j de B.
2. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si uno de
ellos es combinación lineal de los otros.
3. El conjunto de los vectores unitarios e1 ,e2 , …,en constituyen una base en
el espacio Euclidiano n.
4. La representación de cualquier vector en una combinación lineal es única.
5. Cualquier base es una independencia lineal en el espacio n.
E. Raffo Lecca
Si cualquiera de las columnas de una matriz cuadrada A, desde la independencia
lineal, A tiene inversa; entonces las filas de A y las columnas de A son linealmente
independiente.
Sea un sistema de ecuaciones Ax=b donde las filas de A son linealmente
independientes; con A una matriz de orden m x n, con m ≤n.
Teorema
Si A es una matriz de orden m x n, con m ≤n y las filas de A son linealmente
independientes, entonces existen m columnas de A son linealmente independientes.
∑i=1
n
x i ai=x1 a1+x2 a2+…+xn an=b
2 x1+x2+x3=11
−x1+ x2+x4=4
Sean m columnas de A que son linealmente independientes, lo que significa
que (n-m) valores xm+1 , xm+2 ,.. , xn sean cero.
x1 a1+ x2 a2+…+ xm am=b
Una solución básica
(1 00 1) x=b, Bx=b , B=(1 0
0 1)Con las variables no básicas x1 , x2=0 y las variables básicas x3 , x4 (diferentes de
cero).
La submatriz B cuadrada de orden m define una base, de las
( nm)= n !
m! (n−m ) !
Combinaciones existentes. (Para el caso n=3 ym=2 son 6 bases).
Para B x B=b , Entonces como B define una base, es invertible y xB es la
solución a la base se tiene que:
E. Raffo Lecca
xB=B−1b=( x3
x4)=(11
4 )x1=x2=0 , x3=11 , x4=4.
De x1 a1+ x2 a2+…+ xn an=b se tiene,
B=[ a3 , a4 ]=(1 00 1) , N=[a1 , a2 ]=( 2 1
−1 1),
xB=(x3
x4), xN=( x1
x2), B x B+N xn=b, Con xN=0=(0
0),
En general:
xB=B−1b−B−1 N x N
xB=B−1b−B−1∑j=1
n−m
a j x j ,con j∈Variables No Básicas
Los hiperplanos y los conjuntos convexos son conceptos algebraicos. Un
segmento de línea es la distancia más corta entre dos puntos a y b en el espacio
euclidiano n. La línea que pasa a través de los dos puntos, es el conjunto de puntos x en
el espacio euclidiano que satisface x=λ a+(1−λ ) b.
Desde el sistema de ecuaciones:
x1=λa1+(1−λ)b1
x2=λa2+(1−λ)b2
a1−b1
a2−b2
=x1−b1
x2−b2
Define un segmento de línea que conecta los dos puntos:
x=λ a+(1−λ ) b ,0 ≤ λ ≤1
Un hiperplano en el espacio euclidiano n, es el conjunto de todos los puntos {
x1 , x2 ,…, xn} que satisfacen:
z=c1 x1+c2 x2+…+cn xn
E. Raffo Lecca
{x , cx=z }
{x , cx≤ z }
{x , cx≥ z }
{x , se encuentra enel hiperplano}
{x , cx=z }
Suponga que xse encuentra entre a y b :
x=λ a+(1−λ ) b
z=cx
z=c [ λ a+(1−λ )b ]
z=λz+(1− λ ) z
z=λz+λz− λz=z
La combinación convexa es una clase de combinación lineal
∑i=1
m
λi x i= λ1 x1+λ2 x2+…+λm xm , λi ≥ 0 ,∑i=1
m
λi=1
Un punto extremo de un conjunto convexo X, es un punto x que no puede ser
expresado como:
x=λ x1+(1−λ ) x2 , con x1 y x2 dos puntos diferentes en X.
2.6 Análisis de sensibilidad en modo gráfico
Investigar el impacto que se tiene al hacer cambios en los parámetros del modelo, con
respecto a la solución óptima.
Cambios en los coeficientes de la FO.
Cambio en el valor de disponibilidad del recurso.
Se aprovecha el análisis gráfico para realizar el análisis de sensibilidad, cuando
ocurren cambios en la función objetivo y la disponibilidad de los recursos.
E. Raffo Lecca
2.6.1 Cambios en los coeficientes de costos
Sea el PL:
max z=x1+¿ x2¿
Sujeto a
1 : x1+x2≤ 6
2 : x1+2 x2≤ 10
x1≥ 0 , x2≥ 0
Se observa en la figura 2.14, que la pendiente de la línea 1 es menor o igual que
la pendiente de la FO y esta menor igual que la pendiente de la línea 2.
De la relación:
z ¿c1 x1+¿ c2 x2¿
−11
≤−c1
c2
≤−12
Figura 2.14: Variación de los costos
La relación entre los coeficientes es como sigue:
12
≤c1
c2
≤11
, c2≠ 0
1 ≤c2
c1
≤ 2 ,c1 ≠0
E. Raffo Lecca
El rango de sensibilidad del costo c1 se encuentra entre 0.5 y 1; del mismo modo
c2 se encuentra entre 1 y 2. Ver tabla 2.7.
Costo Valor Incremento Incremento
c1 1 0.5 0
c2 1 0 1
Tabla 2.7: Rango de sensibilidad para los costos
2.6.2 Cambios en la disponibilidad de recursos
Al observar la restricción 1 en la figura 2.15, se encuentra que puede pasar por lo menos
en el punto (0,5) y llegar hasta el punto (10,0).
x1+ x2 ≤ 6
(0,5 ) , b1=0+5=5
(10,0 ) , b1=10+0=10=105 ≤ b1≤ 10
Puede bajar el recurso de la restricción, 1 unidad o subir 4 unidades por ser b1=6.
Figura 2.15: Variación de los recursos
El valor de un recurso, es resultado de su valor marginal:
E. Raffo Lecca
u j=∆ z∆ b j
Por ejemplo para el recurso 1: la restricción 1
x1+ x2 ≤ 6=b1
z=x1+x2=6+0=6
Un incremento de una unidad en el recurso, se encuentra que z=7:
x1+ x2 ≤7=b1
z=x1+x2=7+0=7
u1=∆ z∆ b1
=7−67−6
=1
En la tabla 2.8, se presenta los valores marginales para cada uno de los recursos.
Recurso Valor Marginal
b1 6 1
b2 10 0
Tabla 2.8: Rango de sensibilidad para los costos
Finalmente considere el PL:
max z=cx1+¿ x2 ¿
Sujeto a
x1+ x2 ≤ 6
x1+2 x2 ≤10
x1≥ 0 , x2≥ 0
Realizar el análisis para los casos: c>0 y c<0.
Para c>0, revisando las intersecciones:
x1+ x2=6 ⟶ L1
x1+2 x2=10⟶ L2
L1⋂ L2=(2,4) z ¿2 c+¿ 4¿
(6,0 ) z ¿6 c, (0,5) z=5
E. Raffo Lecca
max z= {2c+4,6 c ,5 }=6
12
≤c1
c2
≤11
, c2=1 ,c=c1=1
Para c<0 max z=cx1+¿ x2 ¿
(6,0 ) z ¿0, (0,5) z=5
max z= {0,5 }=5
Problemas propuestos
1. Una compañía produce A, B, C y D, y puede vender estos bienes en cantidades
ilimitadas a los siguientes precios unitarios: A, $15; B, $30; C, $40, D, $50. Producir
una unidad de A requiere 1 h. de mano de obra; una unidad de B, 2 h. de mano de obra
más 2 unidad de A; una unidad de C, 3 h. de mano de obra más 1 unidad de B; y una
unidad de D, 2 h. de mano de obra más 1 unidad de C. Cualquier unidad A, que se usa
para producir B no se puede vender. Cualquier unidad de B que se utiliza para producir
C no se puede vender; y de igual manera cualquier unidad de C que se utiliza en D no se
puede vender. Se dispone de un total de 120 h. de mano de obra. Plantee un PL para
maximizar los ingresos de la compañía.
2. La empresa de saneamiento de agua potable, está programando la construcción
de nuevas plantas a 5, 10 y 15 años, con la finalidad de responder a las necesidades de
agua para la ciudad de Lima.
Puede comprar sólo tres tipos de acciones, con un valor de acción de $1000,000
por unidad. Estas acciones producen ingresos en los años 5, 10 y a 15; las que son
utilizadas para cubrir los requerimientos mínimos de desembolso en esos años.
La tabla 2.9 presenta la cantidad de ingresos por cada acción en los años 5, 10 y
15; además del requerimiento mínimo de requerido en cada uno de los años.
Plantee un PL para determinar las inversiones en las acciones, con la finalidad
cubrir los requerimientos de efectivos, optimizando la cantidad total invertida.
Año Ingreso por acción Requerimiento
E. Raffo Lecca
mínimoAcción 1 Acción 2 Acción 3
5 2 1 2 $200 M10 0.5 1 2 $400 M15 0 0.5 1 $300 MTabla 2.9: Retorno de las acciones por año
3. Una mueblería produce sillas y mesas. Cada silla y cada mesa requieren 2 y 3
horas-hombre respectivamente. Se tienen dos operarios que trabajan 8 horas diarias, y 5
días a la semana. Cada silla deja una utilidad de $4 y cada mesa $5. El mercado limita la
venta de sillas a 16 unidades. Cada silla requiere 4 pies2 de madera y cada mesa 4 pies2
de madera. Se dispone de 120 pies2 de madera
Usando análisis gráfico, responder:
a) ¿Cuánto producir de sillas y mesas y cuánto es la utilidad?
b) ¿Hasta cuánto puede subir la utilidad por cada silla, para que la solución óptima
continúe?
c) De ser posible comprar el recurso madera, ¿hasta cuánto puede comprar y
cuánto pagaría por cada pie2, sin cambiar la mezcla óptima de producción?
4. Sea el PL:
max z=4 x1+¿2x2 ¿
Sujeto a
3 x1+2 x2≤ 9
x1+2 x2 ≤7
x2≤ 7
x1≥ 0 , x2≥ 0
Usando análisis gráfico, responder:
a) ¿Cuánto es x1 , x2 y cuánto la utilidad?
b) ¿Hasta cuánto puede subir la utilidad por cada x1, para que la solución óptima
continúe?
E. Raffo Lecca
c) De ser posible comprar el recurso primero, ¿hasta cuánto puede comprar y
cuánto pagaría, sin cambiar la mezcla óptima de producción?
5. Los oficiales del Serenazgo distrital, tienen que cumplir diariamente 12 horas de
labor. Existen 4 turnos de 6 horas, los que son en el siguiente orden: 22:00 a 4:00, 4:00
a 10:00, 10:00 a 16:00 y 16:00 a 22.00. Los oficiales pueden cumplir las 12 horas
continuas o repartirlas en dos turnos. El salario para los turnos continuos es de S/. 15 la
hora, y el de turnos repartidos es de S/. 18 la hora.
Para la siguiente semana las necesidades mínimas de oficiales en los turnos son:
20, 15, 10 y 18 respectivamente.
Presentar un PL que optimice la planilla diaria de los oficiales del Serenazgo en
el distrito.
6. La compañía química FLOGISTO, elabora tres productos: A, B y C. Los precios
de venta son de sus productos son: $20, $25 y $35 por libra, respectivamente.
Por cada libra de materia prima se elabora una libra del producto A o una libra
del producto B. La materia prima tiene un costo de $10 por libra.
Con un proceso adicional una libra del producto A, se convierte en 0.7 libras del
producto B y 0.3 libras del producto C. El costo del proceso adicional para A es de $6 la
libra; De la misma manera, una libra de B mediante un proceso adicional se convierte en
0.7 libras de C y residuos, a un costo de $4 por libra.
Para la siguiente semana se tiene que cumplir la entrega de sus productos en las
cantidades de: 40, 50 y 60 libras respectivamente.
Presentar el PL que optimice las utilidades semanales de la compañía química
FLOGISTO.
Solución a propuestos
E. Raffo Lecca
1. Sea la variable de decisión:
x i=Producción de i ; i=A ,B , C , D
La función objetivo es maximizar la totalidad de ingresos por venta de los
productos. Esto es,
max z=15 ( x1−2 x2 )+30 ( x2−x3)+40(x3−x 4)+50 x4
La restricción del total horas a utilizar en mano de obra:
x1+2 x2+3 x3+2 x4 ≤120
El PL resultante es:
max z=15 x1+10 x3+10 x4
Sujeto a:
x1+2 x2+3 x3+2 x4 ≤120
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
3. El PL es:
E. Raffo Lecca
max z=4 x1+5 x2
Sujeto a:
2 x1+3 x2≤ 80
4 x1+4 x2≤ 120
x1≤ 16
x1 , x2≥ 0
a) Sillas = 10 y mesas = 20, z = 140.
b) c1≤ c2=5
c) M=2 (0 )+3 (30 )=90, Incremento=90−80=10 , z=4 (0 )+5 (30 )=150. Se puede
pagar hasta 90−80
150−140=1 .
5.
6. Sea la variable de decisión:
x i=Venta de i; i=1,2,3
x i=Producciónde i ,i=A , B
x=Materia prima
E. Raffo Lecca
Relaciones:
x=x A+xB
x A= x1+ y1
xB+0.7 y1=x2+ y2
0.3 y1+0.7 y2=x3
Ingresos ¿20 x1+25 x2+35 x3
Costos = Materia prima + procesos ¿10 x+6 y1+4 y2
El PL resultante es:
max z=20 x1+25 x2+35 x3−10 x+6 y1+4 y2
Sujeto a:
x=x A+xB
x A= x1+ y1
xB+0.7 y1=x2+ y2
0.3 y1+0.7 y2=x3
x1≤ 40
x2≤ 50
x3≤ 60
x1 , x2 , x3 , x A , xA , x , y1 , y2≥ 0
E. Raffo Lecca
