13 Estadística 13 - IES LA BASÍLICA MATEMÁTICAS · aparecen datos agrupados en clases, la marca...

13 Estadística

400Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

En esta unidad trataremos la elaboración e interpretación de informaciones estadísticas que describan un conjunto de datos.

Lo fundamental es que los alumnos aprendan las fases y tareas de las que se compone un estudio estadístico. No va a suponer dificultad el tratamiento de los conceptos iniciales de esta unidad, los alumnos en cursos anteriores ya se iniciaron en el estudio de la estadística y

en su entorno muchas informaciones tienen precisamente un tratamiento estadístico. Será muy importante que comprendan lo que significa la representatividad de una muestra estadística, que dibujen e interpreten tablas y que calculen los parámetros de centralización y dispersión. Analizar e interpretar la información estadística que aparece en los medios de comunicación favorecerá el desarrollo de su actitud crítica.

Les resultará sencillo el cálculo de las medidas de centralización pero si presentará problemas iniciales el cálculo de las medidas de dispersión. Utilizaremos los métodos para el aprendizaje más adecuados en cada caso (lápiz y papel, calculadora, hoja de cálculo), valorando cualitativa-mente la representatividad de las muestras utilizadas. Al terminar la unidad es muy importante que nos aseguremos de que los alumnos sean capaces de calcular los parámetros estadísticos en variables discretas y continuas, con la ayuda de la calculadora o de una hoja de cálculo.

Los contenidos de esta unidad parten de hechos concretos y cotidianos, esta es la forma para lograr alcanzar que los alumnos comprendan otros más abstractos como las medidas de posición y dispersión.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán adquirir varias competencias al mismo tiempo.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de toda la unidad teniendo especial importancia en los epígrafes Población y muestra, Recuento de datos, Medidas de dispersión, y en Matemáticas vivas, Estadística en los medios de comunicación, así como en Lee y comprende las matemáticas.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla lo largo de toda la unidad, aplicarán el razonamiento matemático para describir, interpretar y predecir resultados.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Está presente en varias actividades, en las que interpretarán fenómenos y problemas sociales para elaborar respuestas y tomar decisiones.

Competencia aprender a aprender (CAA)A lo largo de la unidad se considera la necesidad de que adquieran la capacidad de motivarse por aprender. En todas las secciones y mediante enunciados de la vida cotidiana conseguiremos que los alumnos tomen conciencia de su propio aprendizaje. Aprender a aprender se manifies-ta tanto individualmente como en grupo, con el trabajo en equipo se potenciarán las metas de su aprendizaje.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío) y en la sección de Matemáticas vivas.

Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)Se integra en la sección Matemáticas vivas.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Comprender el lenguaje estadístico.❚❚ Obtener las frecuencias de los valores de una variable estadística y representar conjuntos de datos mediante tablas y gráficos.❚❚ Conocer el significado y calcular los parámetros de centralización, así como de posición y dispersión e interpretarlos para comparar variables. ❚❚ Realizar una tarea de trabajo estadístico cooperativo.

ESTADÍSTICA13

401

13Estadística

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con la estadística. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre estadística y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la estadística pueden acceder a las lecciones 1194, 1195, 1196, 1197, 1201, 1253, 1255 y 1333 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Población y muestra. VariablesVariables estadísticasTipos de variables estadísticas

1. Reconocer los conceptos de población, muestra y variable estadística.

1.1. Distingue población y muestra y valora la representatividad de una muestra.1.2. Identifica los diferentes tipos de variables.

1, 6-846, 472-545, 48, 49

CLCMCTCSCCAACSIEE

Recuento de datosRecuento de datos agrupados

2. Elaborar recuentos de datos de variables cuantitativas y cualitativas.3. Agrupar los datos de una variable cuantitativa discreta en clases y reconocer la marca de clase.4. Elaborar tablas de frecuencias.

2.1. Realiza el recuento de datos de una variable y lo expresa mediante una tabla.3.1. Construye e interpreta tablas donde aparecen datos agrupados en clases, la marca de clase y el recuento.4.1. Crea tablas de frecuencias y relaciona los distintos tipos de frecuencias.

9, 10, 13

11, 12, 14, 15Matemáticas vivas 1

16-21

CLCMCTCDCSCCAACSIEE

Tablas de frecuencias

Diagramas de barras y de sectoresDiagrama de barrasPolígono de frecuenciasDiagrama de sectores

5. Representar los datos de una variable estadística mediante un diagrama de barras y obtener el polígono de frecuencias.6. Construir el diagrama de sectores de una variable estadística.7. Interpretar los datos de un estudio estadístico que venga dado por un diagrama de barras o de sectores.

5.1. Construye diagramas de barras y polígono de frecuencias.

6.1. Representa mediante un diagrama de sectores los datos de una distribución.7.1. Obtiene información de estudios estadísticos que vengan dados mediante diagramas de barras o de sectores.

22, 2350, 52

51, 54

24,25Matemáticas vivas 2

CL CMCT CSCCAACSIEE

HistogramasHistograma de frecuencias acumuladas

8. Elaborar histogramas de variables estadísticas con datos agrupados en clases y dibujar el polígono de frecuencias absolutas. 9. Realizar histogramas y polígonos de frecuencias utilizando las frecuencias acumuladas.

8.1. Construye e interpreta histogramas y polígonos de frecuencias.

9.1. Representa e interpreta histogramas y polígonos de frecuencias acumuladas.

53E1, E2

26-28

CLCMCTCDCSCCAACSIEE

Medidas de centralizaciónMedia aritméticaModaMediana

10. Determinar la media, la moda y la mediana para un conjunto de datos, agrupados o no agrupados.

10.1. Calcula las medidas de centralización para un conjunto de datos no agrupados en clases. 10.2 Elabora información de los datos conocida su media aritmética.10.3. Halla las medidas de centralización para conjuntos de datos agrupados en clases.

29, 30, 3355, 57-5931, 32, 36, 60Trabajo cooperativo34, 35, 56 Matemáticas vivas 3

CLCMCTCSCCAACSIEECCEC

Medidas de posiciónCuartilesDiagrama de caja y bigotes

11. Calcular e interpretar los parámetros de posición.12. Elaborar e interpretar diagramas de caja y bigotes.13. Hallar las medidas de dispersión de un conjunto de datos.14. Relacionar las medidas de dispersión con las medidas de centralización.

11.1. Calcula e interpreta los cuartiles.

12.1. Construye e interpreta diagramas de cajas y bigotes.13.1 Calcula e interpreta las medidas de dispersión de un conjunto de datos.14.1. Compara distribuciones estadísticas.

3762, 6338-4061, 6441, 4265-6843, 4469-72

CLCMCTCDCSCCAACSIEEMedidas de

dispersión

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Recuento de datos • Recuento de datos agrupados

4. Diagramas de barras y de sectores

• Diagrama de barras • Polígono de frecuencias • Diagrama de sectores

7. Medidas de posición • Cuartiles • Diagrama de caja y bigotes

¿Qué tienes que saber? • Tablas de frecuencias y diagramas • Medidas de centralización y

dispersión • Medidas de posición

Matemáticas vivasObras públicas • Aplicación de la Estadística en la

toma de decisiones

AvanzaDesviación media

Estadística en los medios de comunicación

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidadIdeas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. La ciencia estadística

1. Población y muestra. Variables • Variables estadísticas • Tipos de variables estadísticas.

Vídeo. Tablas de frecuencias

GeoGebra. HistogramaVídeo. Histograma 2

GeoGebra. Medidas de dispersión (Calculadora)GeoGebra. Medidas de dispersión (Hoja de cálculo)

3. Tablas de frecuencias

8. Medidas de dispersión

5. Histogramas • Histogramas de frecuencias

acumuladas

6. Medidas de centralización • Media aritmética • Moda • Mediana

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.esLecciones 1194, 1195, 1196, 1197, 1201, 1253, 1255 y 1333 de la web mismates.es

Practica+

Comprende y resuelve problemas

13 Estadística

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Cooperación guiada o estructurada, de O’Donnell y Dansereau

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO402

403

13Estadística


Sugerencias didácticas

En esta unidad los alumnos aprenderán a elaborar e inter-pretar tablas y gráficos estadísticos y también a calcular los parámetros estadísticos más usuales en distribuciones uni-dimensionales.

La presentación de la unidad conviene que hacerla recor-dando qué es el valor absoluto de un número, el concepto de intervalo y resolviendo ejercicios sencillos del cálculo del porcentaje de un número.

Contenido WEB. LA CIENCIA ESTADÍSTICA

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se explica el desarrollo de la estadís-tica desde la Antigüedad hasta las aplicaciones más actuales de esta ciencia. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

mac3e47

253

13 ESTADÍSTICA

Hoy en día es imprescindible el uso de la estadística para extraer, de forma sencilla, información relevante de diferentes conjuntos de datos y dar respuesta a necesidades de la sociedad a fin de conocer la realidad y predecir situaciones futuras.

Tanto en el ámbito social, con los estudios de mercado o los sondeos previos a las votaciones, como en el científico y tecnológico, con la investigación farmacológica y médica, los cálculos y gráficos estadísticos sirven como referencia a la hora de identificar los elementos más representativos de un estudio y adoptar decisiones ajustadas a la situación.

IDEAS PREVIAS

❚ Valor absoluto.

❚ Intervalos.

❚ Porcentajes.

REPASA LO QUE SABES1. Escribe el valor absoluto de estos números y halla el resultado

en cada caso.

a) 5 b) −5 c) 7 d) −3

2. Indica razonadamente si estas afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) El número 2 pertenece a (2, 5].

b) El número 0 pertenece a (2, 5].

c) El número 5 pertenece a [2, 5).

d) El número −5 pertenece a [−5, 5).

e) El número 2 pertenece a [−2, 2).

3. Calcula:

a) El 25 % de 110. c) El 50 % de 33.

b) El 2 % de 40. d) El 15 % de 150.

Aunque la elaboración de censos y el estudio de las tasas de natalidad y de mortalidad se habían utilizado anteriormente, no será hasta el siglo XVIII cuando se cree el término estadística para designar a la ciencia que recopila y analiza datos con fines políticos, militares, económicos o científicos.

Matemáticas en el día a día ][Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Escribe el valor absoluto de estos números y halla el resultado en cada caso.

a) 5 b) −5 c) 7 d) −3

a) 5 = 5 b) −5 = 5 c) 7 = 7 d) −3 = 3

2. Indica razonadamente si estas afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) El número 2 pertenece a (2, 5].

b) El número 0 pertenece a (2, 5].

c) El número 5 pertenece a [2, 5).

d) El número −5 pertenece a [−5, 5).

e) El número 2 pertenece a [−2, 2).

a) Falsa, el intervalo es abierto en el 2.

b) Falsa, entre los valores mayores que el 2 y menores o iguales a 5 no está el 0.

c) Falsa, el intervalo es abierto en el 5.

d) Verdadera, el intervalo es cerrado en el −5.

e) Falsa, el intervalo es abierto en el 2.

3. Calcula:

a) El 25 % de 110. b) El 2 % de 40. c) El 50 % de 33. d) El 15 % de 150.

a) 25

100⋅110 = 27,5 b)

2

100⋅ 40 = 0,8 c)

50

100⋅33 = 16,5 d)

15

100⋅150 = 22,5

13 Estadística


1. Población y muestra. Variables

255

13Actividades13 Estadística

254

Razona si es más conveniente realizar un estudio de la población o de una muestra para analizar:

a) El número de espectadores de un programa de televisión.

b) El color preferido por tus compañeros de clase.

c) La antigüedad de los coches que circulan en tu ciudad.

Indica razonadamente si las variables estadísticas son cualitativas o cuantitativas.

a) La profesión del padre de los alumnos de determinado curso.

b) La altura de los edificios de una ciudad.

c) La provincia de nacimiento de los inscritos en una maratón.

Clasifica estas variables estadísticas en cualitativas o cuantitativas y, en este último caso, indica si la variable es discreta o continua.

a) Los goles marcados en los partidos de fútbol de una jornada de liga.

b) Los libros leídos por los alumnos de 3.º de ESO el curso pasado.

c) El consumo de litros de agua mensuales en un hotel.

Considera la población formada por los alumnos de tu clase. Pon cuatro ejemplos de variables estadísticas cualitativas e indica alguna de sus modalidades.

¿Cuáles de las siguientes variables estadísticas son discretas?

a) El número de coches estacionados en un aparcamiento.

b) El perímetro de la cintura.

c) Los ingresos diarios en un comercio.

d) Las barras de pan consumidas en el comedor de un colegio en una semana.

De una población formada por adultos de 85 años se extrae una muestra; cita cuatro ejemplos de variables estadísticas cuantitativas que consideres convenientes para realizar un estudio.

1

2

3

4

5

6

En un instituto hay escolarizados 540 alumnos en Secundaria y 360 en Bachillerato. Para hacer una encuesta, hay que seleccionar a 20 alumnos, y la elección debe realizarse de forma directamente proporcional al número de alumnos que hay en cada etapa a fin de que la muestra sea representativa. ¿De qué forma ha de realizarse la selección?

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1. POBLACIÓN Y MUESTRA. VARIABLES

Una empresa dedicada al análisis estadístico y los sondeos de opinión va a realizar un estudio en una ciudad de 330 580 habitantes sobre el gasto semanal de los jóvenes de 15 años.

El conjunto de chicos y chicas de 15 años de la ciudad constituye la población del estudio y está formado por 16 220 individuos.

Preguntar a toda la población sería complicado porque son muchos jóvenes. Con objeto de hacer el estudio más sencillo, la empresa decide elegir una muestra de 1 500 individuos.

❚ La población es el conjunto formado por todos los elementos de un estudio estadístico.

❚ Una muestra es una parte de la población que se selecciona para hacer el estudio y sirve para extraer conclusiones válidas para el total de la misma.

La muestra es representativa si a partir de ella podemos sacar conclusiones relativas a toda la población.

❚ Un individuo es cada uno de los elementos de la población.

❚ El tamaño de la muestra es el número de individuos que la componen.

Variables estadísticasAl empezar el curso, el tutor de 3.º A de un centro escolar realizó un sondeo entre sus alumnos con el fin de conocer algunas de sus características personales. Entre otras cuestiones había preguntas sobre:

❚ El deporte que practican.

❚ El número de hermanos que tienen.

❚ El tiempo que dedican al estudio diariamente.

❚ La estatura de cada uno.

En cada pregunta que hace el tutor se está analizando una característica o variable estadística de la población.

Una variable estadística es una característica observable que permite clasificar a los individuos de una muestra o una población.

Tipos de variables estadísticasSegún los valores que pueden tomar, las variables se clasifican en:

CualitativasLos datos de la variable son cualidades, no números.

Deporte practicado, color de pelo,…

Cuantitativas

Discretas

Los datos de la variable son números.

Estos son un número de valores aislados.

Número de hermanos, canastas logradas por un jugador en un partido,…

Continuas

Los datos de la variable son números.

La variable puede tomar cualquier valor intermedio entre dos números dados.

Tiempo dedicado al estudio diario, estatura de los alumnos de un colegio,…

Los datos que toma una variable estadística cualitativa se denominan modalidades.

Lenguaje matemático

Aprenderás a… ● Comprender el lenguaje estadístico.

● Identificar el tipo de variable estadística en un estudio.

} En una ciudad en la que están censados dos millones de habitantes mayores de 18 años, de los que el 62 % son mujeres, se va a escoger una muestra de 2 000 personas para realizar una encuesta. ¿Cuántas mujeres y cuántos hombres deberán formar la muestra para que sea representativa?

Solución

La muestra debe ser reflejo de la población, deberá estar formada por un 62 % de mujeres: 0,62 ⋅ 2 000 = 1 240 mujeres

El resto serán hombres: 2 000 − 1 240 = 760 hombres

EJERCICIO RESUELTO

A la hora de hacer un estudio estadístico, la forma en la que seleccionemos a los individuos de una muestra afecta a la precisión de la información que obtengamos sobre la población.

Existen varios procedimientos para elegir una muestra según el tipo de estudio que se prevea realizar.

Busca en Internet los tipos de muestreo más utilizados y explica cómo debería aplicarse alguno de ellos a un estudio que te parezca interesante.

8

Investiga

Soluciones de las actividades1 Razona si es más conveniente realizar un estudio de la población o de una muestra para analizar:

a) El número de espectadores de un programa de televisión.

b) El color preferido por tus compañeros de clase.

c) La antigüedad de los coches que circulan en tu ciudad.

a) Una muestra dado que el número de espectadores es muy grande.

b) La población, deben estar representados todos los compañeros.

c) Una muestra, el número de coches que circulan es muy grande.2 Indica razonadamente si las variables estadísticas son cualitativas o cuantitativas.

a) La profesión del padre de los alumnos de determinado curso.

b) La altura de los edificios de una ciudad.

c) La provincia de nacimiento de los inscritos en una maratón.

a) Cualitativa, los valores de la variable son cualidades. c) Cualitativa, los valores de la variable son cualidades.

b) Cuantitativa, los valores de la variable son números.


Debemos plantear problemas contextualizados en pobla-ciones familiares a los alumnos para distinguir entre pobla-ción y muestra, de esta manera despertaremos el interés de los alumnos y daremos sentido al estudio de la estadística.

Es importante identificar claramente el colectivo al que nos vamos a referir en cada problema, así como los datos esta-dísticos que vamos a estudiar.

Debemos insistir en valorar la representatividad de una muestra a través del procedimiento de selección así como su tamaño, en casos sencillos.

Para que aprendan a distinguir entre variable cualitativa, cuantitativa discreta y cuantitativa continua es recomen-dable, después de nuestra explicación, proponer que cada uno de ellos pongan ejemplos de cada tipo.

405

13Estadística


3 Clasifica estas variables estadísticas en cualitativas o cuantitativas y, en este último caso, indica si la variable es discreta o continua.

a) Los goles marcados en los partidos de fútbol de una jornada de liga.

b) Los libros leídos por los alumnos de 3.º de ESO el curso pasado.

c) El consumo de litros de agua mensuales en un hotel.

a) Cuantitativa discreta b) Cuantitativa discreta c) Cuantitativa continua4 Considera la población formada por los alumnos de tu clase. Pon cuatro ejemplos de variables estadísticas cualitativas e

indica alguna de sus modalidades.

Respuesta abierta, por ejemplo:

❚❚ Profesión de su padre: médico, abogado. ❚❚Deporte favorito: natación, futbol.

❚❚Color del pelo: rubio, castaño. ❚❚ Lugar preferido de vacaciones: playa, montaña. 5 ¿Cuáles de las siguientes variables estadísticas son discretas?

a) El número de coches estacionados en un aparcamiento.

b) El perímetro de la cintura.

c) Los ingresos diarios en un comercio.

d) Las barras de pan consumidas en el comedor de un colegio en una semana.

Son discretas las variables de los apartados a) y d). 6 De una población formada por adultos de 85 años se extrae una muestra; cita cuatro ejemplos de variables estadísticas

cuantitativas que consideres convenientes para realizar un estudio.

El número de nietos que tienen, su tensión arterial, la pensión que reciben y los metros cuadrados de su vivienda. 7 En un instituto hay escolarizados 540 alumnos en Secundaria y 360 en Bachillerato. Para hacer una encuesta, hay que

seleccionar a 20 alumnos, y la elección debe realizarse de forma directamente proporcional al número de alumnos que hay en cada etapa a fin de que la muestra sea representativa. ¿De qué forma ha de realizarse la selección?

Si x es el número de alumnos que debemos elegir de secundaria: 540

900=

x

20→ x = 12

Si y es el número de alumnos que debemos elegir de bachillerato: 360

900=

y

20→ y = 8

Investiga8 A la hora de hacer un estudio estadístico, la forma en la que seleccionemos a los individuos de una muestra afecta a la

precisión de la información que obtengamos sobre la población.

Existen varios procedimientos para elegir una muestra según el tipo de estudio que se prevea realizar.

Busca en Internet los tipos de muestreo más utilizados y explica cómo debería aplicarse alguno de ellos a un estudio que te parezca interesante.

Muestreo aleatorio simple

Se quiere realizar un estudio sobre las horas que duermen al día los 650 jóvenes de un Instituto. Para ello deben elegir una muestra de 70 jóvenes. El muestreo aleatorio consistiría en asignar a cada joven un número, de 1 a 650, introducir en una urna 650 bolas numeradas y extraer 70 de ellas.

Este tipo de muestreo no se podrá utilizar en el estudio de una población de la que no conozcamos a todos sus individuos y tampoco debemos utilizarlo si la muestra que elijamos es muy pequeña, dado que es posible que la muestra no repre-sente a la población.

Muestreo aleatorio estratificado

El tamaño de cada estrato en la muestra deberá ser proporcional a su tamaño en la población.

Por ejemplo en el ejercicio resuelto de este epígrafe y en el ejercicio 7 debe hacerse un muestreo de este tipo.

13 Estadística


2. Recuento de datos

257


256

Una familia ha utilizado los siguientes envases de cartón (C), plástico (P) y latas (L).

LCCPP

LPPLC

CLCCC

LPCPP

LPPCL

PCCCL

Realiza el recuento de los envases para reciclar y construye una tabla.

Una compañía telefónica ha realizado una encuesta para saber cuál es el número de aparatos, fijos y móviles, que hay en cada vivienda de una localidad. Ha recopilado estas respuestas.

344425

431324

221315

342142

533243

Realiza el recuento y exprésalo mediante una tabla.

9

10

María acudió a una fiesta y preguntó por su edad a cada uno de los participantes. Obtuvo las siguientes respuestas:

16181521

15191615

17192016

14181420

14161714

Construye una tabla donde aparezcan:

❚ Los datos agrupados en cuatro intervalos.

❚ Las marcas de clase.

❚ El recuento.

En el centro médico de un colegio han realizado un estudio sobre el peso de los alumnos.

Han elegido una muestra de 20 alumnos, y los resultados han sido:

61566357

46585360

56624363

66715149

49614958

Construye una tabla donde aparezcan los datos agrupados en cinco intervalos, las marcas de clase y el recuento.

En una clase se ha realizado un examen tipo test de 30 preguntas. El número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos ha sido:

202020251020

101030101010

151515252028

281025301523

303030102330

Expresa el recuento mediante una tabla.

Fíjate en los siguientes datos:197214444

951699135

204090401060301010

801080104010201060

279872316

a) Construye una tabla agrupando los datos en 10 clases.

b) Agrupa los mismos datos en 5 intervalos y crea la tabla con las marcas de clase y el recuento.

c) Pon un ejemplo donde sea preferible, por la información que proporciona, la agrupación en 5 intervalos.

11

12

13

14

2. RECUENTO DE DATOSRamón ha escrito en su cuaderno el número de personas que habitan en cada una de las viviendas de su edificio.

22

24

42

15

16

31

33

52

Después, los ordena y anota el número de veces que se repite cada dato.

1234

1235

1235

2246

En un estudio estadístico, los datos se recogen, se cuentan y se agrupan.

❚ Si la variable estadística es cuantitativa, se ordenan los datos en orden ascendente y se anota el número de veces que aparece cada uno.

❚ Si la variable estadística es cualitativa, se escribe cada dato y se anota el número de veces que aparece cada uno de ellos.

Recuento de datos agrupadosSe han obtenido las estaturas, en centímetros, de 32 jóvenes.

150166158160

170176156164

178169170174

176158171165

173170167164

168179151153

179161157163

170165151174

Tratándose de variables cuantitativas continuas o discretas, si el número de datos distintos es casi tan grande como el número total de datos, para poder estudiarlas es conveniente agrupar los datos en intervalos o clases.

En este caso, observamos que el dato menor es 150 cm, y el mayor, 179 cm.

Como la diferencia es 179 − 150 = 29 para repartir los 32 datos en 5 intervalos de la misma amplitud:

29

5= 5,8 → tomaremos como amplitud 6. De este modo, formamos las cinco clases:

[150, 156) [156, 162) [162, 168) [168, 174) [174, 180)

Calculamos las marcas de clase sumando los extremos de cada intervalo y dividiendo por 2 obtenemos:

150 + 156

2= 153

Por último, realizamos el recuento.

Los datos pueden agruparse en intervalos siempre que la variable estadística sea cuantitativa.

❚ Las clases son los intervalos, cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha, en los que se agrupan los datos.

❚ Las marcas de clase son el punto medio de cada intervalo.

❚ La amplitud de un intervalo es el tamaño de dicho intervalo, es decir, la diferencia entre sus extremos.

❚ Llamamos xi a los datos de una variable. Si los datos están agrupados, se toma como xi la marca de clase de cada intervalo.


Aprenderás a… ● Realizar el recuento de datos de un estudio estadístico. } Un grupo de amigos conversan sobre el deporte

que más ven en televisión.

Estos son los resultados:

Fútbol FútbolMotociclismo RugbyMotociclismo BaloncestoFútbol BaloncestoMotociclismo FútbolRugby FútbolBaloncesto Motociclismo Baloncesto Rugby

Realiza el recuento y construye una tabla.

Solución

Identificamos las modalidades y construimos la tabla contando los datos de cada una.

Deporte Recuento

Fútbol 5

Motociclismo 4

Baloncesto 4

Rugby 3

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO¿Por qué los intervalos que formamos para agrupar los datos de una variable estadística cuantitativa son cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha?

15

Personas Recuento

1 3

2 5

3 3

4 2

5 2

6 1

Presta atención

Habitualmente, al agrupar los datos en intervalos, estos se eligen de la misma amplitud.

Estatura Marca de clase Recuento

[150, 156) 153 4

[156, 162) 159 6

[162, 168) 165 7

[168, 174) 171 8

[174, 180) 177 7

Soluciones de las actividades9 Una familia ha utilizado los siguientes envases de cartón (C), plástico (P) y latas (L).

LCCPP

LPPLC

CLCCC

LPCPP

LPPCL

PCCCL

Realiza el recuento de los envases para reciclar y construye una tabla.

Envases Recuento

Cartón 12

Plástico 10

Latas 8

10 Una compañía telefónica ha realizado una encuesta para saber cuál es el número de aparatos, fijos y móviles, que hay en cada vivienda de una localidad. Ha recopilado estas respuestas.

3 4 2 3 5 4 3 2 4 3 2 2 1 4 4

4 1 1 2 3 4 3 3 1 2 5 4 5 2 3Realiza el recuento y exprésalo mediante una tabla. Aparatos 1 2 3 4 5

Recuento 4 7 8 8 3


No presentará ningún problema la elaboración de una tabla para describir un conjunto de datos.

Debemos prestar atención en la explicación de cómo hacer un recuento de datos agrupados.

Es importante reconocer la necesidad de que en estudios que presenten un número de datos muy grande y que to-

men valores muy distintos se hace imprescindible la agrupa-ción de datos por intervalos o clases. Introduciremos el con-cepto de amplitud de un intervalo y como puede resultarles difícil la formación de clases, debemos ayudarles a realizar todas las actividades propuestas en la sección para así com-probar que han adquirido la suficiente destreza.

407

13Estadística


11 María acudió a una fiesta y preguntó por su edad a cada uno de los participantes. Obtuvo las siguientes respuestas:

16 15 17 14 14 18 19 19 18 16

15 16 20 14 17 21 15 16 20 14

Construye una tabla donde aparezcan:

❚❚ Los datos agrupados en cuatro intervalos.

❚❚ Las marcas de clases.

❚❚ El recuento.

12 En el centro médico de un colegio han realizado un estudio sobre el peso de los alumnos. Han elegigo una muestra de 20 alumnos, y los resultados han sido:

61 46 56 66 49 56 58 62 71 61

63 53 43 51 49 57 60 63 49 58

Construye una tabla donde aparezcan los datos agrupados en cinco inter-valos, las marcas de clases y el recuento.

13 En una clase se ha realizado un examen tipo test de 30 preguntas. El número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos ha sido:

20 10 15 28 30

25 10 25 30 10

20 10 15 10 30

10 10 20 15 23

20 30 15 25 30

20 10 28 23 30

Expresa el recuento mediante una tabla.14 Fíjate en los siguientes datos:

1 9 2 8 2 9 5 4 1 7 7 1 9 8 9

2 6 4 1 8 1 9 1 4 7 4 9 6 10 2

4 1 3 2 3 4 3 1 1 1 4 5 10 6 6

a) Construye una tabla agrupando los datos en 10 clases.

b) Agrupa los mismos datos en 5 intervalos y crea la tabla con las marcas de clase y el recuento.

c) Pon un ejemplo donde sea preferible, por la información que proporciona, la agrupación en 5 intervalos.

a) Es una variable discreta con pocos valores, b) cada clase es cada valor.

Datos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Recuento 10 5 3 7 2 4 3 3 6 2

c) Cualquier ejemplo donde el número de datos distintos sea casi tan grande como el número de datos.

Desafío15 ¿Por qué los intervalos que formamos para agrupar los datos de una variable estadística cuantitativa son cerrados por la

izquierda y abiertos por la derecha?

Porque así se incluye el dato de la izquierda y no el de la derecha.

Edad Marca de clase Recuento

[14, 16) 15 7

[16, 18) 17 6

[18, 20) 19 4

[20, 22) 21 3

Datos Marca de clase Recuento

[1, 3) 2 15

[3, 5) 4 10

[5, 7) 6 6

[7, 9) 8 6

[9, 11) 10 8

Peso (kg) Marca de clase Recuento

[43, 50) 46,5 5

[50, 57) 53,5 4

[57, 64) 60,5 9

[64, 71) 67,5 1

[71, 78) 74,5 1

Respuestas correctas Marca de clase Recuento

[10, 13) 11,5 8

[13, 16) 14,5 4

[16, 19) 17,5 0

[19, 22) 20,5 5

[22, 25) 23,5 2

[25, 28) 26,5 3

[28, 31) 29,5 8

13 Estadística


3. Tablas de frecuencias

259


258

Copia en tu cuaderno y completa esta tabla a partir de los resultados que se han anotado al lanzar un dado 20 veces.

Resultado fi hi Fi Hi %

1 3 O O O O

2 5 O O O O

3 4 O O O O

4 3 O O O O

5 2 O O O O

6 3 O O O O

Total O O

Se ha preguntado a 15 personas por el número de días que practican algún deporte durante la semana y se han obtenido estas respuestas:

146

132

353

635

523

Elabora la tabla de frecuencias correspondiente.

Para elegir el color de la pintura del portal de un edificio de viviendas, el administrador realizó una encuesta entre los vecinos. A tal fin, les facilitó primero una papeleta donde pudieron anotar el color preferido entre los siguientes:

G = gris B = blanco A = azul

Después, ordenó las papeletas por colores y obtuvo este resultado:

ABBGG

ABBGG

ABBGG

ABGGG

BBGGG

Construye la tabla de frecuencias asociada a esta encuesta.

Los cuatro cantantes de un festival de música han conseguido los votos del público que se pueden ver en esta tabla.

Copia y completa la tabla con las frecuencias relativas, expresadas en porcentajes, y las frecuencias acumuladas.

En una carrera se ha cronometrado el tiempo, en segundos, que empleaba cada participante.

19,012,5 8,010,0

18,013,0 8,5 9,0

17,014,0 9,5 9,5

18,510,014,012,0

10,0 8,515,010,0

Ordena estos datos en una tabla de frecuencias, agrupando los datos en cuatro intervalos con la misma amplitud.

16

17

18

19

20

3. TABLAS DE FRECUENCIASEl padre de Andrés está preocupado por la cantidad de mensajes que envía su hijo a través del teléfono móvil: aproximadamente 70 cada semana. Habla con los padres de los 10 amigos con los que se comunica de forma habitual para hacer un estudio.

En la tabla ha recogido los datos:

Mensajes 20 40 50 60

Número de amigos 3 5 1 1

Andrés tiene 3 amigos que envían 20 mensajes semanales; decimos que 3 es la frecuencia absoluta del dato 20 del estudio.

La frecuencia absoluta, fi, de un dato es la cantidad de veces que se repite.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos:

f1 + f2 + … + fn = N

El padre de Andrés elabora la tabla de frecuencias. Para ello, calcula la frecuencia relativa de cada dato dividiendo su frecuencia absoluta por el número total de datos.Después, halla las frecuencias acumuladas calculando, para cada dato, la suma de las frecuencias de los datos menores o iguales que él.

❚ La frecuencia relativa, hi , de un dato es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos.

hi =fiN

❚ La frecuencia absoluta acumulada, Fi , de un dato es la suma de las frecuencias absolutas de los datos menores o iguales que él.

Fi = f1 + f2 + … + fi

❚ La frecuencia relativa acumulada, Hi , de un dato es la suma de las frecuencias relativas de los datos menores o iguales que él.

Hi = h1 + h2 + … + hi

Presta atención

❚ La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

h1 + h2 + … + hn = 1

❚ La frecuencia absoluta acumulada del último dato coincide con el número total de datos.

❚ La frecuencia relativa acumulada del último dato es igual a 1.

} En el estudio realizado por el padre de Andrés, indica las frecuencias relativas en forma de porcentaje y explica los resultados obtenidos.

Solución

Como las frecuencias relativas están expresadas en forma decimal, para hallar los porcentajes equivalentes, multiplicamos por 100 cada frecuencia: hi ⋅ 100

La mitad de los amigos de Andrés (50 %) envían 40 mensajes semanales; el 30 % de ellos, 20 mensajes; un 10 %, 50 mensajes, y otro 10 %, 60 mensajes.

EJERCICIO RESUELTO

Mensajes hi Porcentajes

20 0,3 30 %

40 0,5 50 %

50 0,1 10 %

60 0,1 10 %

DESAFÍOEn un estudio realizado a 120 alumnos de 3.º de ESO, la frecuencia relativa de los que hacen montañismo los fines de semana es de 0,6. El resto no practica esta disciplina deportiva. Elabora una tabla de frecuencias a partir de estos datos.

21

Aprenderás a… ● Obtener las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas de un conjunto de datos.

● Elaborar tablas de frecuencias.

mac3e48

Soluciones de las actividades16 Copia en tu cuaderno y completa esta tabla a partir de los resultados que se han anotado al lanzar un dado 20 veces.

Resultado fi hi Fi Hi %

1 3 0,15 3 0,15 15 %

2 5 0,25 8 0,40 25 %

3 4 0,20 12 0,60 20 %

4 3 0,15 15 0,75 15 %

5 2 0,10 17 0,85 10 %

6 3 0,15 20 1 15 %

Total 20 1


Los alumnos conocen, porque lo estudiaron el curso pasa-do, que las tablas de frecuencias son una forma de repre-sentar los datos de un estudio estadístico.

Para que puedan valorar resultados es conveniente que rea-licemos algún ejercicio con gran número de datos.

Será sencillo conseguir que sean capaces de crear tablas de frecuencias y relacionar los distintos tipos de frecuencias para obtener información de la tabla elaborada.

Es importante que las frecuencias relativas sepan expresar-las en forma de porcentaje.

Debemos hacer hincapié en la creación de las columnas de frecuencias acumuladas y explicar que gracias a ellas podre-mos analizar el porcentaje de datos que presentan valores inferiores, superiores o iguales a uno dado.

Vídeo. TABLAS DE FRECUENCIAS

En el vídeo se muestra la construcción de la tabla de frecuencias paso a paso. Una vez realizado el recuento, se calculan las fre-cuencias relativas y acumuladas indicando las operaciones nece-sarias para obtenerlas. Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación de la tabla de frecuencias o para que los alumnos repasen el procedimiento más tarde.

409

13Estadística


17 Se ha preguntado a 15 personas por el número de días que practican deporte a la semana y se han obtenido estas res-puestas: 1 1 3 6 5 4 3 5 3 2 6 2 3 5 3

Elabora la tabla de frecuencias correspondiente.

Días fi hi Fi Hi %

1 2 0,133 2 0,133 13,3 %

2 2 0,133 4 0,266 13,3 %

3 5 0,333 9 0,599 33,3 %

4 1 0,066 10 0,665 6,6 %

5 3 0,200 13 0,865 0,20 %

6 2 0,133 15 1 13,3 %

18 Para elegir el color de la pintura del portal de un edificio de viviendas, el administrador realizó una encuesta entre los vecinos. A tal fin, les facilitó primero una papeleta donde pudieron anotar el color preferido entre los siguientes:

G = gris B = blanco A = azul

Después, ordenó las papeletas por colores y obtuvo este resultado:A A A A B B B B B B B B B G GG G G G G G G G G G

Construye la tabla de frecuencias asociada a esta encuesta.

Color fi hi Fi Hi %

A 4 0,16 4 0,16 16 %

B 9 0,36 13 0,52 36 %

G 12 0,48 25 1 48 %

19 Los cuatro cantantes de un festival de música han conseguido los votos del público que se pueden ver en esta tabla. Completa la tabla con la frecuen-cia relativa, expresada en porcentajes, y las frecuencias acumuladas.

Cantantes Número de votos Porcentajes Fi

Giulia 215 43 % 215

Francesca 165 33 % 380

Maxime 90 18 % 470

Juliete 30 6 % 500

20 En una carrera se ha cronometrado el tiempo, en segundos, que empleaba cada participante.19 18 17 18,5 10 12,5 13 14 10 8,58 8,5 9,5 14 15 10 9 9,5 12 10

Ordena estos datos en una tabla de frecuencias, agrupando los datos en cuatro intervalos con la misma amplitud.

Tiempo Marca de clase fi hi Fi Hi %

[8, 11) 9,5 10 0,5 10 0,5 50 %

[11, 14) 12,5 3 0,15 13 0,65 15 %

[14, 17) 15,5 3 0,15 16 0,8 15 %

[17, 20) 18,5 4 0,2 20 1 20 %

Desafío21 En un estudio realizado a 120 alumnos de 3.º de ESO, la frecuencia relativa de los que hacen montañismo los fines de

semana es de 0,6. El resto no practica esta disciplina deportiva. Elabora una tabla de frecuencias.

Montañismo fi hi Fi Hi %

Practican 72 0,6 72 0,6 60 %

No practican 48 0,4 120 1 40 %

Total 120

13 Estadística


4. Diagramas de barras y de sectores

261


260

4. DIAGRAMAS DE BARRAS Y DE SECTORESLos datos estadísticos se representan gráficamente, ya que de esta forma podemos hacernos una idea de su distribución con solo un vistazo. Según el tipo de variable estadística, conviene usar un tipo de gráfico u otro.

Diagrama de barrasEn este gráfico está representado el número de aprobados en la asignatura de Matemáticas que hubo el curso pasado en un colegio.

Para elaborar un diagrama de barras, se representan:

❚ Los datos de la variable estadística en el eje horizontal.

❚ Las frecuencias en el eje vertical.

Sobre cada dato se dibuja una barra cuya longitud es su frecuencia.

Polígono de frecuenciasCuando representamos datos de variables estadísticas cuantitativas en un diagrama de barras, podemos unir los extremos superiores de las barras mediante una línea poligonal. Obtenemos el polígono de frecuencias de la variable estadística.

El polígono de frecuencias es un gráfico que se representa uniendo los puntos (x, y) determinados por los datos de la variable estadística como coordenada x, y sus frecuencias, como coordenada y.

Diagrama de sectoresPodemos representar también el número de aprobados en un gráfico circular.

Curso fi hi Amplitud

1.º 125 0,25 0,25 ⋅ 360º = 90º

2.º 125 0,25 0,25 ⋅ 360º = 90º

3.º 150 0,3 0,3 ⋅ 360º = 108º

4.º 100 0,2 0,2 ⋅ 360º = 72º

Total 500 1

En un diagrama de sectores se representan los datos de la variable estadística en un círculo dividido en sectores cuya amplitud es proporcional a la frecuencia de cada dato.

Ángulo del sector circular = hi ⋅ 360º

Se ha preguntado a un grupo de 24 alumnos por el número de piezas de fruta que toman semanalmente y se han obtenido estos resultados:

7697

8769

6889

9397

9768

6798

Realiza el recuento y representa gráficamente los datos en un diagrama de barras y mediante un polígono de frecuencias.

Dibuja en tu cuaderno el polígono de frecuencias para los datos representados en estos gráficos y elabora las tablas de frecuencias absolutas correspondientes.

a)

CBA0

5

10

15

b)

0

10

20

30

40

4321

Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas que se corresponda con este diagrama de sectores.

En él se muestran los resultados de una encuesta realizada a 12 individuos con tres posibles respuestas: A, B o C.

22

23

24

Presta atención

❚ Podemos utilizar un diagrama de barras para representar cualquier tipo de variable estadística, aunque esta clase de gráficos se considera idónea para las variables cuantitativas discretas.

❚ También podemos representar cualquier tipo de variable estadística con un diagrama de sectores, si bien son las variables cualitativas las más adecuadas para esta clase de gráficos.

Curso

N.º de aprobados

0

10

20

30

40

4321

72º

108º 90º

90º

4321Curso

0

10

20

30

40

4321

N.º de aprobados

En tu vida diaria

Gracias a los ordenadores

es frecuente que nos

encontremos gráficos

realizados en tres

dimensiones.

25

10

20

15

5

0

DESAFÍOA una oposición al Cuerpo General de Policía se han presentado 1 080 aspirantes. El resultado de la prueba está representado en el diagrama de sectores.

Averigua el número de aspirantes que superaron todas las pruebas, así como los que fallaron en 1, 2, 3 o 4 de ellas.

25

60º70º

80º

80º

70º

4

3

2

1

0

120º90º

150º

A

B

C

Aprenderás a… ● Procesar la información estadística para representarla mediante diagramas de barras y de sectores.

● Interpretar diagramas estadísticos para tratar la información contenida en ellos.


Es recomendable empezar pidiéndoles que traigan a clase gráficos de barras y de sectores que encuentren publicados en medios de comunicación o en libros de otras materias.

Probablemente nos presentarán algunos otros gráficos, his-togramas, pictogramas e incluso pirámides de población por lo que aprovecharemos para contar sus diferencias.

Es necesario recordar que para elaborar un diagrama de ba-rras debemos representar los datos de la variable estadística en el eje de abscisas y las frecuencias en el eje de ordenadas

y recordar que cualquier variable estadística puede ser re-presentada mediante este tipo de gráfico, siendo el idóneo para las variables cuantitativas discretas.

Será muy sencillo explicarles cómo dibujar el polígono de frecuencias (uniendo los puntos medios de los lados supe-riores de cada rectángulo). Los diagramas de sectores re-quieren operaciones que pueden resultar en un principio complejas para los alumnos. Debemos realizar ejemplos sencillos, donde manejaremos el sistema sexagesimal.

Soluciones de las actividades22 Se ha preguntado a un grupo de 24 alumnos por el número de piezas de fruta que toman semanalmente y se han obte-

nido estos resultados: 7 8 6 9 9 6 6 7 8 3 7 7

9 6 8 9 6 9 7 9 9 7 8 8

Realiza el recuento y representa gráficamente la distribución de los datos en un diagrama de barras y mediante un polí-gono de frecuencias.

Piezas de fruta Recuento

3 1

6 5

7 6

8 5

9 7Piezas de fruta

Recuento

1234567

3 6 7 8 9

1

56

5

7

411

13Estadística


23 Dibuja en tu cuaderno el polígono de frecuencias para los datos representados en estos gráficos y elabora la tabla de frecuencias absolutas correspondientes.

a) b)

CBA0

5

10

15

0

10

20

30

40

4321

a)

CBA0

5

10

15

Dato fiA 15

B 10

C 5

Total 30

b)

10

20

30

40

4320 1

Dato fi1 20

2 30

3 10

4 40

Total 100

24 Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas que se corresponda con este diagrama de sectores. En él se muestran los resultados de una encuesta realizada a 12 individuos con tres posibles respuestas: A, B o C.

Llamamos a, b y c al número de veces que han respondido la opción A, B y C, respectivamente.

90

360=

a

12→ a = 3

150

360=

b

12→ b = 5

120

360=

c

12→ c = 4

Desafío25 A una oposición al Cuerpo General de Policía se han presentado 1 080 aspirantes. El resultado de la prueba está repre-

sentado en el diagrama de sectores.

Averigua el número de aspirantes que superaron todas las pruebas, así como los que fallaron en 1, 2, 3 o 4 de ellas.

Superaron todas las pruebas: 70

360=

x

12→ x = 210 aspirantes

Y fallaron los siguientes.

❚❚ En 1 prueba: 80

360⋅1080 = 240 aspirantes ❚❚ En 3 pruebas:

70

360⋅1080 = 210 aspirantes

❚❚ En 2 pruebas: 80

360⋅1080 = 240 aspirantes ❚❚ En 4 pruebas:

60

360⋅1080 = 180 aspirantes

Opción fiA 3

B 5

C 4

Total 12

120º90º

150º

A

B

C

13 Estadística


5. Histogramas

263


262

En una maternidad nacen en un mes 100 bebés. De ellos, 10 pesan entre 2 y 2,5 kg; 25, entre 2,5 y 3 kg; 30 entre 3 y 3,5 kg, y el resto, entre 3,5 y 4 kg.

a) Elabora la tabla de frecuencias incluyendo las frecuencias acumuladas.

b) Representa los datos en un histograma de frecuencias absolutas.

La inteligencia espacial es la capacidad que tiene una persona de reconocer y relacionar aspectos como los colores, las líneas, las formas, las figuras y el espacio. Las personas con una marcada inteligencia espacial son capaces de pensar en imágenes para diseñarlas o dibujarlas. La tabla muestra las respuestas correctas a un test de 50 preguntas para medir la inteligencia espacial de un grupo de alumnos.

Respuestas xi fi Fi hi %

[0, 10) O 5 O O O

[10, 20) O O 20 O O

[20, 30) O O O 0,3 O

[30, 40) O 10 O O O

O 45 O 50 O O

a) Copia la tabla y complétala en tu cuaderno.

b) Representa el histograma de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias.

c) Realiza el histograma de frecuencias acumuladas y su polígono de frecuencias.

26

27

5. HISTOGRAMASEl encargado de un albergue juvenil permite reservar habitaciones por períodos de 5 días. En la página web del albergue podemos ver este gráfico, en el que aparecen las reservas que han hecho los clientes para los 20 primeros días de vacaciones escolares.

5 10 15 20N.º de días

N.º de clientes

0

5

10

15

20

25

30

Los jóvenes interesados en el albergue pueden constatar, al consultar el gráfico, la ocupación en los distintos períodos. Esta representación gráfica es un histograma.

Podemos observar que, para los 5 primeros días, el histograma muestra 10 reservas de habitaciones; para los 5 siguientes, 20; para el tercer período, 30, mientras que el último tiene el mismo número de reservas que el segundo.

Para elaborar un histograma, se representan:

❚ Los datos de la variable estadística, agrupados en clases, en el eje horizontal.

❚ Las frecuencias en el eje vertical.

Si los intervalos tienen la misma amplitud, sobre cada uno se dibuja un rectángulo cuya altura sea proporcional a su frecuencia.

Si en el gráfico anterior unimos mediante una línea poligonal los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos, es decir, los puntos correspondientes a las marcas de clase, dibujamos el polígono de frecuencias de la variable estadística.

Histograma de frecuencias acumuladasTambién podemos realizar un histograma y un polígono de frecuencias utilizando las frecuencias acumuladas. En este caso, el polígono de frecuencias es la línea poligonal que une los vértices superiores de la derecha de cada rectángulo.

DíasMarcas de clase

fi Fi

[0, 5) 2,5 10 10

[5, 10) 7,5 20 30

[10, 15) 12,5 30 60

[15, 20) 17,5 20 80

Presta atención

Utilizamos un histograma para representar una variable estadística cuantitativa continua, como, por ejemplo, la edad o la estatura de una muestra amplia de personas, en la que los datos se agrupan en clases para facilitar su estudio.

5 10 15 200

5

10

15

20

25

30

N.º de días

N.º de clientes

5 10 15 200

30

4050

6070

80

2010

N.º de días

N.º de clientes

} Las notas de una clase en la asignatura de Educación Física han sido:

1,736

5,87,34,8

47

1,3

9,88

9,2

6,754

Agrupa los datos en 5 clases de igual amplitud, analiza las frecuencias absolutas y haz un gráfico donde esté representado el polígono de frecuencias.

Solución

Notas fi

[0, 2) 2

[2, 4) 1

[4, 6) 5

[6, 8) 4

[8,10) 3

EJERCICIO RESUELTO

En una hoja de cálculo podemos representar gráficamente variables estadísticas como puedes ver en el ejemplo.

Investiga diferentes opciones de gráfico que incluye el programa CALC de OpenOffice y representa los datos del ejercicio anterior.

28

Investiga

Aprenderás a… ● Conocer y comprender la utilidad de la representación de datos estadísticos mediante un histograma.

● Diferenciar y saber elegir entre un diagrama de barras o un histograma, según el tipo de variable estadística que se estudie.

mac3e50

mac3e49

Soluciones de las actividades26 En una maternidad nacen en un mes 100 bebés. De ellos, 10 pesan entre 2 y 2,5 kg; 25, entre 2,5 y 3 kg; 30 entre 3 y

3,5 kg, y el resto, entre 3,5 y 4 kg.

a) Elabora la tabla de frecuencias completa de la variable estadística.

b) Representa los datos en un histograma de frecuencias absolutas.


Seguramente en la sección anterior hemos tenido que ha-blar de qué es un histograma para que entendieran las di-ferencias existentes entre estos y los diagramas de frecuen-cias.

Es necesario explicar que un histograma representa una va-riable cuantitativa continua en la que los datos están agru-pados en clases.

Introduciremos el concepto de marca de clase(valor central del intervalo) y resultará muy sencillo que entiendan que para calcularla hemos de hallar la media aritmética de los valores extremos del intervalo.

No encontraremos dificultad a la hora de dibujar histogramas de frecuencias acumuladas, pero es conveniente insistir en cómo ha de trazarse el polígono de frecuencias (hay que unir los vértices superiores de la derecha de cada rectángulo).

GeoGebra. HISTOGRAMA

En este recurso se muestra el histograma y el polígono de frecuen-cias correspondiente al ejercicio resuelto. Se pueden modificar los valores de las frecuencias para representar otras distribuciones y observar cómo cambia el gráfico. Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación de este tipo de gráficos.

Vídeo. HISTOGRAMA

En el vídeo se muestra, paso a paso, cómo realizar un diagrama de sectores, un diagrama de barras y un histograma utilizando una hoja de cálculo. Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación de la representación gráfica de los datos estadísticos o para que los alumnos investiguen el uso de una hoja de cálculo al realizar estos gráficos.

413

13Estadística


a) Peso (kg) xi fi Fi hi Hi %

[2; 2,5) 2,3 10 10 0,10 0,10 10 %

[2,5; 3) 2,7 25 35 0,25 0,35 25 %

[3; 3,5) 3,3 30 65 0,30 0,65 30 %

[3,5; 4) 3,7 35 100 0,35 1 35 %

Total 100 1

27 La inteligencia espacial es la capacidad que tiene una persona de reconocer y relacionar aspectos como los colores, las líneas, las formas, las figuras y el espacio. Las personas con una marcada inteligencia espacial son capaces de pensar en imágenes para diseñarlas o dibujarlas. La tabla muestra las respuestas correctas a un test de 50 preguntas para medir la inteligencia espacial de un grupo de alumnos.

Respuestas correctas

Marcas de clase

fi Fi hi %

[0, 10) O 5 O O O

[10, 20) O O 20 O O

[20, 30) O O O 0,3 O

[30, 40) O 10 O O O

O 45 50 O O

a) Copia la tabla y complétala en tu cuaderno.

b) Representa el histograma de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias.

c) Realiza el histograma de frecuencias acumuladas y su polígono de frecuencias.a) Respuestas

correctasMarcas de clase

fi Fi hi %

[0, 10) 5 5 5 0,1 10 %

[10, 20) 15 15 20 0,3 30 %

[20, 30) 25 15 35 0,3 30 %

[30, 40) 35 10 45 0,2 20 %

[40, 50) 45 50 0,1 10 %

b) c)

fi


20

15

10

5

00 10 20 30 40 50

fi


50403020100

0 10 20 30 40 50

Investiga28 En una hoja de cálculo podemos representar gráficamente variables estadísticas.

Investiga las opciones de gráfico que incluye el programa CALC de OpenOffice y representa los datos del ejercicio anterior.

Respuesta abierta.

Los alumnos manejarán la hoja de cálculo para representar los datos del ejercicio anterior y se debe comprobar que el resultado es el mismo que el obtenido en dicho ejercicio.

b)

2 2,5 3 3,5 4 Peso (kg)

fi

05

10152025

3530

13 Estadística


6. Medidas de centralización

265


264

Determina la moda de estos datos.421

2303

0314

2140

1101

111

El número de libros leídos por un grupo de amigos durante los tres meses de verano están recogidos en la tabla.

29

30

Libros 1 2 3 4

fi 1 3 2 4

Calcula la media, la moda y la mediana.

La media aritmética de la cantidad de leche que consumen 4 familias en una semana es de 13 litros, pero solo disponemos de los datos de tres de ellas: los Sánchez beben 12 litros; los Ruiz, 16 litros, y los Jiménez, 9 litros. ¿Qué cantidad de leche consume a la semana la cuarta familia?

La media aritmética de la calificación de 4 alumnos en un examen de Matemáticas ha sido de 6,5 puntos. Si se añade un quinto alumno, la nota media de todos sube a 7 puntos. Calcula la nota de este último alumno.

El dueño de una tienda de caramelos está teniendo dificultades con el cambio, por lo que ha decidido hacer un recuento del tipo de monedas que entran y salen de la caja durante un día.

Los datos que ha obtenido aparecen en esta tabla:

31

32

33

6. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓNLas medidas de centralización son la media, la moda y la mediana. Con las tres se resume la información de una muestra.

Media aritméticaCayetana quiere calcular la media aritmética de los exámenes realizados en una asignatura. Para ello debe sumar todos los resultados y dividir por el número total.

Notas: 5 4 6 9 8 7 Media: 5 + 4 + 6 + 9 + 8 + 7

6= 6,5

Para hallar la media aritmética de las notas en todas las asignaturas, puede sumar los productos de cada dato por su frecuencia y dividir por el número total de resultados.

Notas 4 5 6 7 9

fi 2 9 7 8 4 Media: x =2 ⋅ 4 + 9 ⋅5 + 7 ⋅6 + 8 ⋅7 + 4 ⋅9

30= 6,23

La media aritmética de una variable estadística es el resultado de dividir la suma de cada dato multiplicado por su frecuencia por el número total de datos.

x =x1 ⋅ f1 + x2 ⋅ f2 + ... + xn ⋅ fn

N

Si los datos están agrupados en clases, se toma como xi la marca de clase.

ModaEn Estadística, el dato que más veces se repite es el que está de moda. Así, la moda de todas las notas de Cayetana es 5, porque es el que tiene mayor frecuencia, 9.

La moda de una variable estadística es el dato que tiene mayor frecuencia. Se representa mediante Mo.

❚ La moda puede no ser única: si hay dos datos que tienen la mayor frecuencia, la variable estadística es bimodal; si son tres, trimodal, etc.

❚ Si los datos están agrupados en clases, el intervalo que contiene a la moda se llama intervalo modal o clase modal. En este caso, como aproximación de la moda, se puede tomar la marca de clase de dicho intervalo.

MedianaPara determinar la mediana de todas sus notas, 30 datos, Cayetana debe calcular la media aritmética de los dos datos que ocupan los lugares 15 y 16 una vez ordenados los datos de menor a mayor:

4 4 5 5 5 5 5 5 5 55 6 6 6 6 6 6 6 7 77 7 7 7 7 7 9 9 9 9

Como ambos datos son 6, la mediana es 6.

La mediana de una variable estadística es el valor que ocupa la posición central; hay tantos valores menores como mayores que él. Se representa mediante Me.

❚ Si el número de datos es impar, la mediana es el dato central y si es par, la mediana se calcula hallando la media aritmética de los dos datos centrales.

❚ Si los datos están agrupados en clases, el intervalo que contiene a la mediana se llama intervalo mediano. En este caso, como aproximación de la mediana, se puede tomar la marca de clase de dicho intervalo.

Para escribir la suma de varios números, utilizamos el símbolo ∑, que se lee sumatorio.

Así, calculamos la media aritmética:

x =xi ⋅ fi

i=1

n

∑N


Presta atención

xi fi Fi hi Hi

4 2 2 0,07 0,07

5 9 11 0,3 0,37

6 7 18 0,23 0,6

7 8 26 0,27 0,87

9 4 30 0,13 1

N 30

❚ La mediana es el primer dato de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor que la mitad del número total de datos.

❚ La mediana es el primer dato cuya frecuencia relativa acumulada supera 0,5.

Aprenderás a… ● Conocer y comprender la utilidad de los parámetros de centralización.

● Calcular la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos.

Tipo de moneda N.° de monedas

1 124

2 105

5 302

10 109

20 206

50 126

1 € 288

2 € 141

Ayúdale a calcular:

a) La media aritmética, en euros, del importe de las monedas.

b) El tipo de moneda que corresponde a la moda.

c) El valor que representa la mediana.

} La tabla muestra la edad de los clientes de una papelería un sábado por la mañana.

Edad [14, 16) [16, 18) [18, 20) [20, 22)

fi 5 2 3 9

Calcula las medidas de centralización.

Solución

Completamos la tabla de frecuencias:

Edad xi fi FI hi Hi

[14, 16) 15 5 5 0,26 0,26

[16, 18) 17 2 7 0,11 0,37

[18, 20) 19 3 10 0,16 0,53

[20, 22) 21 9 19 0,47 1

Total 19 1

Media: x =15 ⋅5 + 17 ⋅2 + 19 ⋅3 + 21⋅9

19= 18,68 años

El intervalo modal es [20, 22) porque tiene la mayor frecuencia absoluta, 9.

El intervalo mediano es [18, 20) ya que su frecuencia relativa acumulada es la primera que supera 0,5.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOEncuentra un ejemplo de una variable estadística, relacionada con tu vida cotidiana, que tenga 10 datos y que verifique que la media aritmética es 8 y la moda es 6.

36

Halla la media, la clase modal y el intervalo mediano de los salarios de estos empleados de una empresa:

Sueldo (€) Número de empleados

[800, 1 200) 4

[1 200, 1 600) 10

[1 600, 2 000) 15

[2 000, 2 400) 11

Actualmente, las fuerzas armadas cuentan con 126 300 militares en activo y 4 500 voluntarios en reserva. En las tablas se muestra una clasificación porcentual de las edades de los militares en activo.

Edad [18, 23) [23, 28) [28, 33)

Porcentaje 6 % 33 % 30 %

Edad [33, 38) [38, 43) [43, 48)

Porcentaje 20 % 7 % 4 %

Halla la mediana de la edad del personal alistado en activo. ¿Cuál es la moda de las edades?

34

35

Soluciones de las actividades29 Determina la moda de estos datos.

4 2 0 2 1 1 2 3 3 1 1 1

1 0 1 4 0 1 3 4 0 1 1 1

La moda es Mo = 1.30 El número de libros leídos por un grupo de amigos durante los tres meses de verano están recogidos en la tabla.

Libros 1 2 3 4

fi 1 3 2 4

Calcula la media, la moda y la mediana.31 La media aritmética de la cantidad de leche que consumen 4 familias en una semana es de 13 litros, pero solo disponemos

de los datos de tres de ellas: los Sánchez beben 12 litros; los Ruiz, 16 litros, y los Jiménez, 9 litros. ¿Qué cantidad de leche consume a la semana la cuarta familia?

Si llamamos x a la cantidad desconocida tenemos: 13 =12 + 16 + 9 + x

4→ x = 15 L

x =1⋅1+ 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4

10=

29

10= 2,9 Mo = 4 Me = 3


Los alumnos saben calcular la media aritmética y la moda, en el cálculo de la mediana pueden aparecer dificultades. Nuestra labor se centrará en que comprendan los concep-tos que representan. Es conveniente que realicen algún ejercicio en el que tengan que hallar un valor desconocido de la variable proporcionándoles la media de los datos.

Será importante profundizar en la explicación del signifi-cado y cálculo de la mediana. Empezaremos con ejemplos

simples para hacerles entender que si el número de datos es par la mediana será la media de los dos datos centrales.

Es muy importante que comprendan que cuando tenga-mos una variable con muchos datos debemos observar este valor en la tabla de frecuencias relativas acumuladas.

Será útil hacerles ver que la mediana deja a su izquierda el 50 % de los datos.

415

13Estadística


32 La media aritmética de la calificación de 4 alumnos en un examen de Matemáticas ha sido de 6,5 puntos. Si se añade un quinto alumno, la nota media de todos sube a 7 puntos. Calcula la nota de este último alumno.

6,5 =x1 + x2 + x3 + x4

4→ x1 + x2 + x3 + x4 = 26 → 7 =

x1 + x2 + x3 + x4 + x5

5=

26 + x5

5→ x5 = 9

33 El dueño de una tienda de caramelos está teniendo dificultades con el cambio, por lo que ha decidido hacer un recuento del tipo de monedas que entran y salen de la caja durante un día. Los datos que ha obtenido aparecen en esta tabla:

Ayúdale a calcular:

a) La media aritmética, en euros, del importe de las monedas.

b) El tipo de moneda que representa la moda.

c) El valor que representa la mediana.

a) x =1⋅124 + 2 ⋅105 + 5 ⋅ 302 + 10 ⋅109 + 20 ⋅ 206 + 50 ⋅126 + 100 ⋅ 288 + 200 ⋅141

1401=

70354

1401= 50,21 cent

La media aritmética del importe de las monedas es de 0,50 €.

b) Mo = 5 cent

c) Como hay 1 401 datos, el valor central será el que ocupe, una vez ordenados, el lugar 701. Al hallar las frecuencias absolutas acumuladas resulta que, la mediana será 20 cent.

34 Halla la media, la clase modal y el intervalo mediano de los salarios de estos empleados de una empresa:

Sueldo (€) Marca de clase N.º de empleados

[800, 1 200) 1 000 4

[1 200, 1 600) 1 400 10

[1 600, 2 000) 1 800 15

[2 000, 2 400) 2 200 11

Añadimos en la tabla las marcas de clase.

Así, la media será: x =1000 ⋅ 4 + 1400 ⋅10 + 1800 ⋅15 + 2200 ⋅11

40=

69200

40= 1730

La clase modal es [1 600, 2 000) y el intervalo mediano es [1 600, 2 000).35 Actualmente, las fuerzas armadas cuentan con 126 300 militares en activo y 4 500 voluntarios en reserva. En la tabla se

muestra una clasificación porcentual de las edades de los militares en activo.

Edad [18, 23) [23, 28) [28, 33) [33, 38) [38, 43) [43, 48)

Porcentaje 6 % 33 % 30 % 20 % 7 % 4 %

Halla la mediana de la edad del personal alistado en activo. ¿Cuál es la moda de las edades?

Edad xi Porcentaje Militares en activo Fi

Me = 30,5 años

Mo = 25,5 años

[18, 23) 20,5 6 % 7 578 7 578

[23, 28) 25,5 33 % 41 679 49 257

[28, 33) 30,5 30 % 37 890 87 147

[33, 38) 35,5 20 % 25 260 112 407

[38, 43) 40,5 7 % 8 841 121 248

[43, 48) 45,5 4 % 5 052 126 300

Desafío36 Encuentra un ejemplo de una variable estadística, relacionada con tu vida cotidiana, que tenga 10 datos y que verifique

que la media aritmética es 8 y la moda es 6.

Respuesta abierta, por ejemplo: Las notas obtenidas por un alumno en la asignatura de Lengua han sido:

6 8 8 6 6 9 10 7 10 10 En este caso se cumple que: x = 8 y Mo = 6

Tipo de moneda N.° de monedas

1 cent 124

2 cent 105

5 cent 302

10 cent 109

20 cent 206

50 cent 126

1 € 288

2 € 141

13 Estadística


7. Medidas de posición

267


266

Los puntos obtenidos por un jugador de baloncesto en los partidos de una temporada han sido:

2210

2312

1224

2223

1022

1212

2325

2323

2222

1225

a) Construye la tabla de frecuencias completa.

b) Obtén las medidas de posición e interpreta los resultados.

Observa los siguientes diagramas de caja y bigotes. Calcula los cuartiles e interpreta los resultados.

a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

37

38

En la tabla aparecen, agrupadas en clases, las estaturas, en m, de 20 alumnos.

Estatura [1,50; 1,52) [1,52; 1,54) [1,54; 1,56) [1,56; 1,58) [1,58; 1,60)

N.º de alumnos 2 2 3 5 8

a) Construye la tabla de frecuencias.

b) Calcula los cuartiles y representa los datos en un diagrama de caja y bigotes. Interpreta los resultados.

39

7. MEDIDAS DE POSICIÓNLas medidas de posición son valores de la variable que informan del lugar que ocupa un dato dentro del conjunto ordenado de todos los datos.

CuartilesAlfredo salió con sus amigos el viernes por la tarde y tomó nota de lo que se gastaron, en euros, cada uno.

0 0 1 2 2 2 3 3 5 6 7 7 7 8

Observa que los datos están ordenados de menor a mayor y que la mediana es 3 €.

Alfredo quiere repartir ahora en cuatro partes los datos de la variable, de forma que cada una incluya el 25 % de sus amigos. Los valores que debe calcular son el primer cuartil, Q1, el segundo cuartil, Q2, y el tercer cuartil, Q3:

25 % 25 % 25 % 25 %

0 0 1 2 2 2 3 3 5 6 7 7 7 8

25 % de 14 = 3,5

El dato que ocupa el cuarto lugar es el 2.

Q1 = 2

50 % de 14 = 7

Por ser par el número de datos, el valor es la media aritmética de los datos que ocupan las posiciones 7 y 8.

Q2 = 3

75 % de 14 = 10,5

El dato que ocupa el undécimo lugar es el 7.

Q3 = 7

Con esta información, Alfredo puede concluir lo siguiente: el 25 % de sus amigos no gastó más de 2 €, la mitad de ellos gastó 3 € o menos, y el 75 % no gastó más de 7 €.

Los cuartiles son tres valores que separan los datos de la variable estadística en cuatro partes iguales.

❚ Primer cuartil, Q1: es el valor que deja a su izquierda el 25 % de los datos.

❚ Segundo cuartil, Q2: es el valor que deja a su izquierda el 50 % de los datos.

❚ Tercer cuartil, Q3: es el valor que deja a su izquierda el 75 % de los datos.

Diagrama de caja y bigotesPodemos representar la variable estadística que ha estudiado Alfredo con este gráfico, un diagrama de caja y bigotes.

Q1 = 2 80 Q3 = 7Q2 = 3

La parte derecha de la caja es mayor que la izquierda, es decir, los datos comprendidos entre el 50 % y el 75 % están más dispersos que los comprendidos entre el 25 % y el 50 %.

El bigote izquierdo es mayor que el derecho; por tanto, el 25 % de los datos menores están menos concentrados que el 25 % de los datos mayores.

Un diagrama de caja y bigotes es una representación gráfica que describe la dispersión y la simetría de los datos de una variable estadística.

❚ La caja es un rectángulo determinado por los cuartiles y dividido en dos partes por el valor de la mediana.

❚ Los bigotes son dos segmentos, situados a los lados de la caja, cuyas medidas corresponden a las diferencias de los cuartiles con el primer y el último dato de la variable.

Llamamos rango intercuartílico a la diferencia entre el primer y el tercer cuartil.


Presta atención

El segundo cuartil coincide con el valor de la mediana.

Q2 = Me

Presta atención

❚ El primer cuartil es el primer dato de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor que el 25 % del número total de datos.

❚ El primer cuartil es el primer dato cuya frecuencia relativa acumulada supera 0,25.

Presta atención

❚ El tercer cuartil es el primer dato de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor que el 75 % del número total de datos.

❚ El tercer cuartil es el primer dato cuya frecuencia relativa acumulada supera 0,75.

Presta atención

Si los datos están agrupados en intervalos, podemos tomar, como aproximación de los cuartiles, las marcas de clase de los intervalos correspondientes.

Aprenderás a… ● Calcular los cuartiles de una variable estadística.

● Analizar una variable estadística conociendo los cuartiles.

● Realizar e interpretar diagramas de cajas y bigotes.

} En la tabla aparecen las edades de los niños que acuden una mañana a la consulta de un pediatra.

Edad [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8)

N.º de niños 9 5 7 8

Calcula los cuartiles y representa los datos en un diagrama de caja y bigotes.

Solución

Edad xi fi FI hi Hi

[0, 2) 1 9 9 0,31 0,31

[2, 4) 3 5 14 0,17 0,48

[4, 6) 5 7 21 0,24 0,72

[6, 8) 7 8 29 0,28 1

El intervalo [0, 2) es el primero en el que Hi supera 0,25 → Q1 = 1

En el intervalo [4, 6) supera por primera vez Hi el 0,5 → Q2 = Me = 5

El intervalo [6, 8) es el primero en el que Hi supera 0,75 → Q3 = 7

Construimos el diagrama de caja y bigotes. No tiene bigotes porque no hay valores menores que Q1 ni mayores que Q3.

EJERCICIO RESUELTO

Q3 = 7Q2 = 5Q1 = 1

DESAFÍOEn un concurso de salto de obstáculos participaron 15 jinetes: un tercio de ellos logró saltar 240 cm, dos de los jinetes llegaron a los 250 cm, tres alcanzaron los 245 cm, y el resto se quedó en los 235 cm.

a) Elabora la tabla con las frecuencias acumuladas y calcula los cuartiles de la variable estadística.

b) Dibuja el diagrama de cajas e interpreta los resultados.

40

Soluciones de las actividades37 Los puntos obtenidos por un jugador de baloncesto en los partidos de una temporada han sido:

22 23 12 22 10 12 23 23 22 12

10 12 24 23 22 12 25 23 22 25

a) Construye la tabla de frecuencias completa. b) Obtén las medidas de posición e interpreta los resultados.a) xi fi Fi hi Hi

10 2 2 0,10 0,10

12 5 7 0,25 0,35

22 5 12 0,25 0,60

23 5 179 0,25 0,85

24 1 18 0,05 0,90

25 2 20 0,10 1


Es conveniente introducir el concepto de cuartil mediante una variable que contenga pocos datos y explicaremos que los cuartiles son tres valores, Q1, Q2 = Me y Q3 de la variable que separan los datos en cuatro partes iguales.

Para calcular los cuartiles de una variable dada por una tabla de valores será conveniente que utilicemos la información de la columna de las frecuencias absolutas acumuladas.

Podríamos ampliar la explicación hablándoles de los per-centiles, esto es, los 99 valores que dividen los datos orde-

nados de una variable en 100 partes iguales. De forma que P25 = Q1, P50 = Q2 y P75 = Q3. Los percentiles son utilizados para comparar la longitud que tienen los bebés, al nacer y en su desarrollo, con las medidas tomadas a un gran núme-ro de bebés de la misma edad. Así, por ejemplo cuando un bebé está en un percentil 30 significa que estadísticamente dicho niño es más alto que el 30 % de los niños de su edad, y más bajo que el 70 % de los niños de su edad.

La construcción de diagramas de cajas y bigotes no presen-tará dificultad, y debemos poner interés en su interpretación.

b) Q1 = 12 Q2 = 22 Q3 = 23

La mediana de los datos es 22.

La diferencia entre Q3 y Q2 es más pequeña que hay entre Q2 y Q1, esto quiere decir que los datos comprendidos entre el 50 % y el 75 % están más concentrados que los datos comprendidos entre el 25 % y el 50 %.

417

13Estadística


38 Observa los siguientes diagramas de caja y bigotes. Calcula los cuartiles e interpreta los resultados.

a) b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

a) Q1 = 3, Q2 = 5, Q3 = 11. Los datos comprendidos entre el 25 % y el 50 % están más concentrados que los comprendi-dos entre el 50 % y el 75 %. El bigote derecho es mayor que el izquierdo por tanto el 25 % de los datos más grandes están más dispersos que el 25 % de los datos más pequeños.

b) Q1 = 8, Q2 = 11, Q3 = 14. La distribución de los datos comprendidos entre el 25 % y el 50 % es igual a la de los com-prendidos entre el 50 % y el 75 %. El bigote izquierdo es mayor que el derecho por tanto el 25 % de los datos más pequeños están más dispersos que el 25 % de los datos más grandes.

39 En la tabla aparecen, agrupadas en clases, las estaturas, en m, de 20 alumnos.

Estatura [1,50; 1,52) [1,52; 1,54) [1,54; 1,56) [1,56; 1,58) [1,58; 1,60)

N.º de alumnos 2 2 3 5 8

a) Construye la tabla de frecuencias.

b) Calcula los cuartiles y representa los datos en un diagrama de caja y bigotes. Interpreta los resultados.a) Estatura Marcas de clase fi Fi hi Hi

[1,50;1,52) 1,51 2 2 0,10 0,10

[1,52; 1,54) 1.53 2 4 0,10 0,20

[1,54; 1,56) 1,55 3 7 0,15 0,35

[1,56; 1,58) 1,57 5 12 0,25 0,60

[1,58; 1,60) 1,59 8 20 0,40 1

Total 20 1

b) Q1 = 1,55, Q2 = 1,57, Q3 = 1,59.

La distribución de los datos comprendidos entre el 25 % y el 50 % es igual a la de los comprendidos entre el 50 % y el 75 %. El 25 % de los alumnos que tienen estaturas más pequeñas coincide con el 25 % de los alumnos de mayor estatura.

Investiga40 En un concurso de salto de obstáculos participaron 15 jinetes: un tercio de ellos logró saltar 240 cm, dos de los jinetes

llegaron a los 250 cm, tres alcanzaron los 245 cm, y el resto se quedó en los 235 cm.

a) Elabora la tabla con las frecuencias acumuladas y calcula los cuartiles de la variable estadística.

b) Dibuja el diagrama de cajas e interpreta los resultados.a) xi fi Fi hi Hi

235 5 5 0,3

0,3

240 5 10 0,3

0,6

245 3 13 0,2 0,86

250 2 15 0,13

1

Total 15 1

1,51 1,53 1,55 1,57

Q¹ Q² Q³

1,59

b)

235 240 245

Q¹ Q² Q³

250

El 75 % de los jinetes no alcanzaron a saltar los 250 m y el 50 % saltaron como mucho 240 m.

Q1 = 235, Q2 = 240, Q3 = 245.

13 Estadística


8. Medidas de dispersión

269


268

Dos matrimonios con sus hijos están pasandounas vacaciones en la playa. Las edades de cada uno son 2, 4, 4, 8, 15, 15, 40, 42, 45 y 45 años.

Construye una tabla de frecuencias y calcula:

a) El rango de las edades.

b) La media aritmética.

c) La varianza y la desviación típica.

41

En una población se ha elegido una muestra para hacer un estudio estadístico de dos variables cuantitativas, A y B. El rango de la variable A es 8, mientras que el de la variable B es 30. ¿Cuál de las dos tendrá los datos más dispersos?

428. MEDIDAS DE DISPERSIÓNUn equipo de gimnasia rítmica se ha dividido en dos grupos y se ha calculado la media aritmética del peso de sus componentes.

Grupo 1:Grupo 2:

4640

5147

5154

5554

5957

5963

6470

Observamos que la media de los dos grupos es la misma, 55 kg. ¿Se puede concluir que los dos conjuntos de datos son iguales?

Aunque la media es la misma, los conjuntos de datos son muy diferentes. Y es que, en muchas situaciones, las medidas de centralización no proporcionan suficiente información. Surge, así, la necesidad de medir la dispersión de los datos.

La diferencia entre el dato mayor y el menor de cada grupo es:

64 − 46 = 18 70 − 40 = 30

En el segundo conjunto la diferencia es mayor, esto es, los datos están más dispersos.

El rango o recorrido, R, es la diferencia entre el dato mayor y el menor de la variable estadística.

R = dato mayor − dato menor

El rango indica la amplitud del intervalo en el que se hallan todos los datos.

Veamos cómo varían los datos del grupo 1 respecto de la media:

xi fixi − x xi − x( )2 xi − x( )2 fi

46 1 −9 81 81

51 2 −4 16 32

55 1 0 0 0

59 2 4 16 32

64 1 9 81 81

N 7 226

Varianza: σ2 =226

7= 32,29 Desviación típica: σ = 32,29 = 5,68

❚ La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las diferencias entre cada dato y la media.

σ2 =x1 − x( )2 f1 + x2 − x( )2 f2 + ... + xn − x( )2 fn

N

❚ La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se mide en las mismas unidades que los datos de la variable.

σ = σ2

Coeficiente de variación: CV =5,68

55= 0,1033 → 10,33 %

Representa el número de veces que la desviación típica contiene a la media. Así, cuanto mayor sea el coeficiente de variación, mayor es la dispersión y menor la representatividad de la media.

El coeficiente de variación es el cociente entre la desviación típica y la media. Se suele expresar en forma de porcentaje, multiplicando el resultado por 100.

CV =σx

Presta atención

❚ También podemos calcular la varianza mediante la expresión:

σ2 =x1

2f1 + x22f2 + ... + xn

2fnN

− x2 =

=xi

2fii=1

n

∑N

− x2

xi fixi

2 xi2fi

46 1 2 116 2 116

51 2 2 601 5 202

55 1 3 025 3 025

59 2 3 481 6 962

64 1 4 096 4 096

N 7 21 401

σ2 =21 401

7−552 = 32,29

❚ La varianza es siempre un valor positivo.

Aprenderás a… ● Conocer y comprender la importancia de la información que nos proporcionan las medidas de dispersión.

● Calcular el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de un conjunto de datos.

● Relacionar las medidas de dispersión con las medidas de centralización.

} En un vivero han estudiado la longitud de las hojas de 40 plantas de interior para valorar la eficacia de un fertilizante.

Longitud xi fi

[0, 2) 1 1

[2, 4) 3 6

[4, 6) 5 26

[6, 8) 7 6

[8, 10) 9 1

Halla los porcentajes de los datos que se encuentran

en los intervalos x − σ , x + σ( ) , x − 2σ , x + 2σ( ) y x − 3σ , x + 3σ( ) .

Solución

La longitud media de las hojas es: x = 5

La desviación típica es: σ = 1,41

x − σ , x + σ( ) = (3,59; 6,41) → Hay 27 datos en este intervalo, lo que representa el 68 % del total.

x − 2σ , x + 2σ( ) = (2,18; 7,82) → Hay 38 datos, es decir, el 95 % del total.

x − 3σ , x + 3σ( ) = (0,77; 9,23) → Hay 39 datos, que constituyen el 99 % del total.

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula la varianza y la desviación típica de los datos del grupo 2 de gimnasia rítmica del ejemplo.

a) Utilizando la calculadora.

b) Usando una hoja de cálculo.

Solución

a)

b)

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOObserva las representaciones gráficas de dos variables estadísticas.

0

1

2

3

4

7654321 0

1

2

3

4

7654321

a) Sin realizar cálculos, compara la dispersión e indica en cuál de ellas la media es más representativa.

b) Construye las tablas de frecuencias y calcula las medidas de dispersión. ¿Puedes confirmar tu hipótesis?

44

Halla el porcentaje de datos incluidos en los intervalos x − σ , x + σ( ) y x − 2σ , x + 2σ( ) de esta variable.

123

123

134

234

234

234

43

mac3e51

mac3e52


Es importante hacerles ver que las medidas de centraliza-ción no siempre proporcionan información suficiente de una variable. Lo entenderán con facilidad si les proponemos el ejemplo de dos variables con datos muy diferentes pero que tengan la misma media.

Hay que resaltar que el recorrido cuando la variable toma gran cantidad de valores no es muy representativo.

El cálculo de la varianza puede resultarles complicado, es preferible explicar cómo deben confeccionar la tabla para simplificar los cálculos.

Será conveniente que cuando estemos seguros de que los alumnos manejan las tablas, les propongamos calcular la varianza y la desviación típica con la calculadora y con una hoja de cálculo (visualizar vídeos del ejercicio resuelto).

El coeficiente de variación es un parámetro comparativo que en la mayoría de los ejercicios lo trataremos en for-ma de porcentaje, su cálculo les resultará muy sencillo a los alumnos si han aprendido correctamente a calcular la desviación típica.

Vídeo. MEDIDAS DE DISPERSIÓN (CALCULADORA)

En la sección Con calculadora aparece un vídeo que muestra a los alumnos cómo utilizar la calculadora científica en el modo estadístico para hallar la media o la desviación típica. Existen otros modelos de calculadora pero el procedimiento para realizar estos cálculos suele ser similar.

Puede reproducirse en clase explicando el proceso que se sigue o como recurso para que los alumnos dominen la técnica de uso de la calculadora.

Vídeo. MEDIDAS DE DISPERSIÓN (HOJA DE CÁLCULO)

En el vídeo se muestra, paso a paso, cómo realizar una aplicación para calcular las medidas de dispersión de una variable estadística discreta utilizando una hoja de cálculo.

Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación del cálculo de las medidas de dispersión o para que los alumnos investiguen el uso de una hoja de cálculo para determinar la me-dia, la varianza y la desviación típica.

419

13Estadística


Soluciones de las actividades41 Dos matrimonios con sus hijos están pasando unas vacaciones en la playa. Las edades de cada uno son 2, 4, 4, 8, 15, 15,

40, 42, 45 y 45 años. Construye una tabla de frecuencias y calcula:

a) El rango de las edades. b) La media aritmética. c) La varianza y la desviación típica.

xi fi xi ⋅ fi xi2 xi

2 ⋅ fi 2 1 2 4 4

4 2 4 16 32

8 1 8 64 64

15 2 30 225 450

40 1 40 1 600 1 600

42 1 42 1 764 1 764

45 2 90 2 025 4 050

42 En una población se ha elegido una muestra para hacer un estudio estadístico de dos variables cuantitativas, A y B. El rango de la variable A es 8, mientras que el de la variable B es 30. ¿Cuál de las dos tendrá los datos más dispersos?

La variable B tendrá los datos más dispersos por tener mayor rango.

43 Halla el porcentaje de datos incluidos en los intervalos x − σ , x + σ( ) y x − 2σ , x + 2σ( ) de la esta variable.

1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 43


2 ⋅ fi1 3 3 1 3

2 5 10 4 20

3 6 18 9 54

4 4 16 16 64

Investiga44 Observa las representaciones gráficas de dos variables estadísticas.

0

1

2

3

4

7654321 0

1

2

3

4

7654321

a) Sin realizar cálculos, compara la dispersión e indica en cuál de ellas la media es más representativa.

b) Construye las tablas de frecuencias y calcula las medidas de dispersión. ¿Puedes confirmar tu hipótesis?

a) La media es más representativa en la primera variable, la dispersión de los datos es menor.

b)

a) R = 45 − 2 = 43

b) x =220

10= 22

c) σ2 =7964

10− (22)2 = 796,4− 484 = 312,4

σ = 312,4 = 17,67

x =47

18= 2,61 σ2 =

141

18− (2,61)2 = 1,02 → σ = 1,02 = 1,009

x − σ , x + σ( ) = (2,61 − 1,009; 2,61 + 1,009) =

= (1,601; 3,619), hay 11 datos → 61,1 %

x − 2σ , x + 2σ( ) = (2,61 − 2,018; 2,61 + 2,018) =

= (0,592; 4,628), hay 18 datos → 100 %


2 ⋅ fi3 1 3 9 9

4 2 8 16 32

5 3 15 25 75

6 1 6 36 36

R = 6 − 3 = 3 x =32

7= 4,57

σ2 =152

7− (4,57)2 = 0,83 → σ = 0,91

Comparando los rangos y las desviaciones típicas de las dos variables se confirma que la dispersión de los datos de la primera variable es menor que la dispersión de la segunda.


2 ⋅ fi3 1 3 9 9

4 2 8 16 32

5 1 5 25 25

6 2 12 36 72

7 1 7 49 49

R = 7 − 3 = 4 x =35

7= 5

σ2 =187

7−52 = 1,71→ σ = 1,3

13 Estadística



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Elaborar tablas de frecuencias y obtener información de la tabla elaborada.

❚❚ Construir, con la ayuda de herramientas tecnológicas si fuese necesario, gráficos estadísticos adecuados a situaciones rela-cionadas con variables asociadas a problemas de la vida cotidiana.

❚❚ Calcular e interpretar las medidas de centralización y medidas de posición de una variable estadística para proporcionar un resumen de los datos.

❚❚ Calcular las medidas de dispersión e interpretar el comportamiento de una variable estadística para comparar la represen-tatividad de la media y describir los datos.

Actividades finalesSoluciones de las actividades45 Se quiere determinar el número medio de días que estuvieron de baja por enfermedad durante el año los empleados de

una empresa de 600 trabajadores. Para ello, se pregunta a 70 miembros del personal elegidos al azar.

a) ¿Cuántos individuos forman la población?

b) ¿De qué tamaño es la muestra?

c) Indica de qué tipo es la variable estadística que se estudia.

a) La población está formada por 600 trabajadores.

b) La muestra tiene tamaño 70.

c) Es una variable estadística cuantitativa discreta.

¿Qué tienes que saber?

270 271

¿QUÉ13 tienes que saber? Actividades Finales 13

Gráficos estadísticos

El número de horas de entrenamiento diario realizado por 20 nadadores es:

2115

4155

3253

4354

2344

Construye la tabla de frecuencias y el diagrama de barras.

El gráfico representa el número de personas que han acudido en una semana a un gimnasio.

Días de la semana

N.º de clientes

0102030405060708090

SaViJuMiMaLu

a) Crea la tabla de frecuencias absolutas y acumuladas correspondiente.

b) Representa los datos en un diagrama de sectores.

Fíjate en la frase: Si quieres ir rápido, camina solo. Si quieres ir lejos, camina acompañado.

a) Halla el número de vocales que contiene.

b) Elabora una tabla de frecuencias para saber cuántas veces aparece cada vocal.

c) Construye el diagrama de barras.

d) ¿Es posible representar el polígono de frecuencias absolutas? Razona la respuesta.

Estas son las notas obtenidas por 20 alumnos en una prueba tipo test.

0,2

5,2

6,5

7,8

3

5,4

6,8

8

3,2

5,6

7

8,7

4

5,8

7

9

4

5,8

7

9a) Construye una tabla de frecuencias con los datos

agrupados en cinco clases: I = [0, 5), SF = [5, 6), B = [6, 7), N = [7, 9) y S = [9, 10).

b) Elige qué tipo de gráfico es el más conveniente para representar los datos de la tabla y dibújalo.

A una comida de empresa en un restaurante asistieron 30 personas: el 10 % pidió carne; el 40 %, pescado, y el resto, pollo.

a) Elabora la tabla de frecuencias absolutas.

b) Haz un diagrama se sectores.

50

51

52

53

54

Estudios estadísticos

Se quiere determinar el número medio de días que estuvieron de baja por enfermedad durante el año los empleados de una empresa de 600 trabajadores. Para ello, se pregunta a 70 miembros del personal elegidos al azar.

a) ¿Cuántos individuos forman la población?

b) ¿De qué tamaño es la muestra?

c) Indica de qué tipo es la variable estadística que se estudia.

En una población de 10 000 habitantes se elige una muestra para hacer una entrevista.

a) Calcula el tamaño de la muestra si se selecciona el 10 % de la población.

b) Si la muestra es de 250 personas, ¿qué porcentaje de la población ha sido entrevistado?

Una empresa de sondeos estadísticos tiene capacidad para hacer una encuesta a 1 000 personas cada semana.

Si dispone de 4 semanas, ¿a qué porcentaje de una población de 100 000 habitantes puede entrevistar para obtener una muestra?

Indica si las siguientes variables estadísticas son cualitativas o cuantitativas y, en este último caso, señala si son discretas o continuas.

a) El nombre de una persona.

b) El número de preguntas de un examen.

c) El partido político votado en unas elecciones.

d) El número de goles marcados por un jugador en una temporada.

e) El grupo sanguíneo de una persona.

f) El número de bebés nacidos en un mes.

g) La temperatura corporal.

h) El tiempo de espera en la consulta de un médico.

Se está llevando a cabo un estudio sobre el número de ocupantes de los coches que pasan por un peaje de autopista, el color del vehículo y la letra inicial de la matrícula. Indica de qué tipo son las tres variables estadísticas consideradas.

45

46

47

48

49

Un estudio realizado sobre jóvenes con edades comprendidas entre 16 y 22 años que tienen un puesto de trabajo ha arrojado los siguientes datos:

2220202118

2221191720

1821221916

2218181918

2222201819

1619181820

2120202220

2016202021

2121211822

1721182020

2121202021

2121202222

a) Agrupa los datos en 4 intervalos, construye la tabla de frecuencias completa y representa gráficamente la variable estadística.

EdadMarcas de clase

fi Fi hi Hi

[16, 18) 17 5 5 0,08 0,08

[18, 20) 19 15 20 0,25 0,33

[20, 22) 21 30 50 0,5 0,83

[22, 24) 23 10 60 0,17 1

Tablas de frecuencias y diagramasTen en cuenta ❚ Frecuencia absoluta, fi, de un dato: es la cantidad de veces que se repite.

❚ Frecuencia relativa:

hi =fiN

❚ Frecuencia absoluta acumulada:

Fi = f1 + f2 + … + fi

❚ Frecuencia relativa acumulada:

Hi = h1 + h2 + … + hi

b) Halla la media, la moda y la mediana. Calcula también el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.

Edad xi fi xi ⋅ fixi − x xi − x( )2 xi − x( )2 fi

[16, 18) 17 5 85 −3,5 12,25 61,25

[18, 20) 19 15 285 −1,5 2,25 33,75

[20, 22) 21 30 630 0,5 0,25 7,5

[22, 24) 23 10 230 2,5 6,25 62,5

60 1 230 165

x =1230

60= 20,5 Mo = 21 Me = 21 R = 24 − 16 = 8

σ2 =165

60= 2,75 σ = 2,75 = 1,66 CV =

1,66

20,5= 0,0809 → 8,09%

Medidas de centralización y de dispersión

c) Dibuja el diagrama de caja y bigotes de la variable estadística que estudia las edades de los jóvenes trabajadores.

25 % de 60 = 15 → Q1 = 19

Q2 = Me = 21

75 % de 60 = 45 → Q3 = 21

Medidas de posición

Ten en cuenta ❚ Media aritmética:

x =xi ⋅ fi

i=1

n

∑N

❚ Moda, Mo: dato o marca de clase que tiene mayor frecuencia.

❚ Mediana, Me: valor que ocupa la posición central de los datos ordenados.

❚ Rango o recorrido, R:

R = dato mayor − dato menor

❚ Varianza:

σ2 =xi − x( )2 fi

i=1

n

∑N

❚ Desviación típica:

σ = σ2

❚ Coeficiente de variación:

CV =σx

❚ Primer cuartil, Q1: valor que deja a su izquierda el 25 % de los datos.

❚ Tercer cuartil, Q3: valor que deja a su izquierda el 75 % de los datos.

16 19 21 25

05

101520253035

2422201816

421

13Estadística


46 En una población de 10 000 habitantes se elige una muestra para hacer una entrevista.

a) Calcula el tamaño de la muestra si se selecciona el 10 % de la población.

b) Si la muestra es de 250 personas, ¿qué porcentaje de la población ha sido entrevistado?

a) El tamaño de la muestra es: 10

100⋅10000 = 1000 individuos

b) x

100⋅10000 = 250 → x = 2,5 Ha sido entrevistado el 2,5 % de la población.

47 Una empresa de sondeos estadísticos tiene capacidad para hacer una encuesta a 1 000 personas cada semana. Si dispone de 4 semanas, a qué porcentaje de una población de 100 000 habitantes puede entrevistar para obtener una muestra.

En 4 semanas puede entrevistar a 4 000 personas lo que supone un:x

100⋅100000 = 4 000 → x = 4 % de la población.

48 Indica si las siguientes variables estadísticas son cualitativas o cuantitativas y, en este último caso, señala si son discretas o continuas.

a) El nombre de una persona.

b) El número de preguntas de un examen.

c) El partido político votado en unas elecciones.

d) El número de goles marcados por un jugador en una temporada

e) El grupo sanguíneo de una persona.

f) El número de bebés nacidos en un mes.

g) La temperatura corporal.

h) El tiempo de espera en la consulta de un médico.

a) Cualitativa e) Cualitativa

b) Cuantitativa discreta f) Cuantitativa discreta

c) Cualitativa g) Cuantitativa continua

d) Cuantitativa discreta h) Cuantitativa continua49 Se está llevando a cabo un estudio sobre el número de ocupantes de los coches que pasan por un peaje de autopista, el

color del vehículo y la letra inicial de la matrícula. Indica de qué tipo son las tres variables estadísticas consideradas.

❚❚ Número de ocupantes de los coches es variable estadística cuantitativa discreta.

❚❚ Color del vehículo es variable estadística cualitativa.

❚❚ Letra inicial de la matrícula es variable estadística cualitativa.50 El número de horas de entrenamiento diario realizado por 20 nadadores es:

2 4 3 4 2 1 1 2 3 3

1 5 5 5 4 5 5 3 4 4

Construye la tabla de frecuencias y el diagrama de barras.

Horas fi Fi hi Hi

1 3 3 0,15 0,15

2 3 6 0,15 0,30

3 4 10 0,20 0,50

4 5 15 0,25 0,75

5 5 20 0,25 1

Total 20 1

fi

Horas

543210

1 2 3 4 5

13 Estadística


51 El gráfico representa el número de personas que han acudido en una semana a un gimnasio.

a) Crea la tabla de frecuencias absolutas y acumuladas corres-pondiente.

b) Representa los datos en un diagrama de sectores.

a) Día fi Fi Amplitud

Lunes 30 30 30º

Martes 50 80 50º

Miércoles 80 160 80º

Jueves 70 230 70º

Viernes 70 300 70º

Sábado 60 360 60º

Total 360

52 Fíjate en la frase: Si quieres ir rápido, camina solo. Si quieres ir lejos, camina acompañado.

a) Halla el número de vocales que contiene.

b) Elabora una tabla de frecuencias para saber cuántas veces aparece cada vocal.

c) Construye el diagrama de barras.

d) ¿Es posible representar el polígono de frecuencias absolutas? Razona la respuesta.

a) Contiene 30 vocales.b) Vocal fi

a 8

e 5

i 9

o 6

u 2

d) No es posible ya que la variable es cualitativa.53 Estas son las notas obtenidas por 20 alumnos en una prueba tipo test.

0,2 3 3,2 4 5 5,2 5,4 5,6 5,8 66,5 6,8 7 7 7,6 7,8 8 8,7 9 9

a) Construye una tabla de frecuencias con los datos agrupados en cinco clases:

I = [0, 5), SF = [5, 6), B = [6, 7), N = [7, 9) y S = [9, 10).

b) Elige qué tipo de gráfico es el más conveniente para representar la tabla y dibújalo. a) Notas fi hi Amplitud

I 4 0,20 0,2 ⋅ 360º = 72º

SF 5 0,25 0,25 ⋅ 360º = 90º

B 3 0,15 0,15 ⋅ 360º = 54º

N 6 0,30 0,3 ⋅ 360º = 108º

S 2 0,10 0,1 ⋅ 360º = 36º

Total 20

b)

fi

Horas

543210

1 2 3 4 5

c)

Vocal

10

02468

a e i o u

fi

c)

InsuficienteSuficienteBienNotableSobresaliente

I = 4

SF = 5

B = 3

N = 6

S = 2

Días de la semana

N.º de clientes

0102030405060708090

SaViJuMiMaLu

423

13Estadística


54 A una comida de empresa en un restaurante asistieron 30 personas: el 10 % pidió carne; el 40 %, pescado, y el resto, pollo.

a) Elabora la tabla de frecuencias absolutas.

b) Haz un diagrama se sectores.a) Comida fi Fi

Carne 3 3

Pescado 12 15

Pollo 15 30

Total 30

b) Comida fi hi Amplitud

Carne 3 0,1 0,1360º = 36º

Pescado 12 0,4 0,4360º = 144º

Pollo 15 0,5 0,5360º = 180º

Total 30

CarnePescadoPollo

3

12

Total = 30

15

13 Estadística


55 Calcula la media aritmética en cada caso.

a) Peso de tres personas: 55 kg, 60 kg y 64 kg.

b) Salario por hora de cuatro electricistas: 24 €, 25 €, 28 € y 32 €.

a) x =50 + 60 + 64

3=

174

3= 58 kg b) x =

24 + 25 + 28 + 32

4=

109

4= 27,25 €

56 Halla la marca de clase de los intervalos de la tabla y calcula la media aritmética de las alturas.

Altura (cm) xi fi[100, 120) 110 3

[120, 140) 130 5

[140, 160) 150 2

57 Se ha encuestado a 200 personas para saber el tipo de transporte que utilizan en vacaciones.

Indica la moda de esta variable estadística y calcula el porcentaje de personas que emplea cada medio de transporte.

Mo = Coche

Añadimos en la tabla la columna con las marcas de clase.

x =110 + 130 + 150

3=

390

3= 130 cm

Tipo fi Porcentaje

Avión 2020

200→ 10%

Tren 3535

200→ 17,5%

Coche 120120

200→ 60%

Moto 2525

200→ 12,5%

273

Actividades Finales 13

272

13 Estadística

El peso medio de los perros de la raza golden retriever es de 25 kg, y la desviación típica de 2,5 kg. Por otro lado, los ponis tienen un peso medio de 122 kg y una desviación típica de 10 kg. Calcula el coeficiente de variación y explica en cuál de las dos especies presenta el peso una mayor dispersión.

Los datos muestran la estatura, en cm, de las componentes de dos equipos de baloncesto femenino.

Equipo 1: 160170

165170

165172

168172

168180

Equipo 2: 168172

168175

170175

170180

172180

a) Halla la media y la desviación típica de cada equipo.

b) Indica cuál manifiesta una mayor variabilidad.

Se ha realizado un estudio sobre la velocidad a la que se circula en una autovía y en una carretera secundaria.

Autovía

Velocidad (km/h) 90 100 110 120 130

N.º de coches 1 1 2 5 1

Carretera secundaria

Velocidad (km/h) 40 50 60 70 80

N.º de coches 1 3 4 1 1

a) Calcula el rango de las velocidades.

b) Halla la desviación típica de ambas.

c) Estudia dónde se observa menor dispersión.

70

71

72

Medidas de dispersión

En la tabla aparecen las temperaturas máximas que se registraron durante el mes de abril en cierta localidad.

Temperatura 15 16 17 18 19

N.° de días 7 9 7 5 2

Calcula la varianza y la desviación típica de la variable estadística.

¿Qué varianza corresponde a una variable estadística en la que todos los valores coinciden con la media?

La tabla muestra los diferentes precios, en euros, de un teléfono móvil en varias tiendas.

Precio (€) N.º de tiendas

[140, 160) 2

[160, 180) 3

[180, 200) 5

[200, 220) 1

Calcula:

a) El precio medio de venta del teléfono.

b) El intervalo mediano y el intervalo modal.

c) La varianza y la desviación típica.

d) El coeficiente de variación.

Un estadio de fútbol acogió un total de entre 12 000 y 16 000 espectadores en 4 partidos, entre 16 000 y 20 000 en 6 partidos, entre 20 000 y 24 000 en 5 partidos y entre 24 000 y 28 000 en 15 partidos.

a) Construye una tabla, calculando las marcas de clase y las frecuencias.

b) ¿Cuál es el rango?

c) Halla la varianza y la desviación típica.

d) Calcula el coeficiente de variación.

Observa los estudios estadísticos representados.

0

1

2

3

4

5

6

54321

a) Halla la media aritmética de cada uno y piensa en cuál de los gráficos es más representativa.

b) Calcula la desviación típica de ambos estudios.

c) Compara los coeficientes de variación de los dos estudios.

65

66

67

68

69

Medidas de posición

Fíjate en los siguientes diagramas. Calcula los cuartiles e interpreta la distribución de los datos.

a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

b)

1 2 3 4 5 6 7 8

c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

La tabla muestra el número de trabajos realizados para la asignatura de Inglés por un grupo de alumnos de 3.º de ESO durante el curso.

xi fi Fi

1 3 3

2 3 6

3 4 10

4 6 16

5 4 20

Halla las medidas de posición e interprétalas.

Calcula la mediana y los cuartiles de la distribución dada por la tabla.

Clases fi

[0, 10) 11

[10, 20) 17

[20, 30) 18

[30, 40) 10

Al preguntar a 50 jóvenes por el tiempo, en minutos, que tardan en ducharse, se obtiene la información que se recoge en la tabla.

Tiempo (min) fi

4 2

5 10

6 23

7 9

8 3

9 3

a) Calcula el tanto por ciento de jóvenes que tarda en ducharse un tiempo por encima de la media.

b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes.

61

62

63

64

Medidas de centralización

Calcula la media aritmética en cada caso.

a) Peso de tres personas: 55 kg, 60 kg y 64 kg.

b) Salario por hora de cuatro electricistas: 24 €, 25 €, 28 € y 32 €.

Halla la marca de clase de los intervalos de la tabla y calcula la media aritmética de las alturas.

Altura (cm) fi

[100, 120) 3

[120, 140) 5

[140, 160) 2

Se ha encuestado a 200 personas para saber el tipo de transporte que utilizan en vacaciones.

Indica la moda de esta variable estadística y calcula el porcentaje de personas que emplea cada medio de transporte.

Los alumnos de 3.º de ESO de un centro escolar, en la primera evaluación, han obtenido los sobresalientes indicados en la tabla.

Sobresalientes 0 1 2 3 4

N.° de alumnos 55 55 20 15 10

Halla las medidas de centralización.

Calcula la media aritmética y la mediana de los números impares desde el 1 hasta el 99.

En una familia trabajan el padre, la madre y la hija mayor. Tienen unos ingresos de 1 800 €, 1 900 € y 1 200 €, respectivamente.

Pablo, el hijo pequeño, ha empezado a trabajar y quiere que su sueldo ascienda, al menos, a una cantidad tal que haga que la media aritmética de los sueldos de su familia sea de 1 600 €.

Calcula el sueldo mínimo deseado por Pablo.

55

56

57

58

59

60

} Elena y Manuel han calculado la media aritmética y la desviación típica de sus calificaciones de Inglés.

xElena = 6,9 σElena = 2,55

xManuel = 6,75 σManuel = 2,35

¿Quién ha tenido mayor variabilidad en sus notas?

Solución

Comparamos sus coeficientes de variación.

CVElena =σx

=2,55

6,9= 0,3696 → 36,96%

CVManuel =σx

=2,35

6,75= 0,3481→ 34,81%

Las notas de Manuel tienen menor coeficiente de variación; por tanto, sus notas están más concentradas.

Las notas de Elena, por el contrario, presentan mayor dispersión.

EJERCICIO RESUELTO

425

13Estadística


58 Los alumnos de 3.º de ESO de un centro escolar, en la primera evaluación, han obtenido los sobresalientes indicados en la tabla.

Sobresalientes 0 1 2 3 4

N.º de alumnos 55 55 20 15 10

Halla las medidas de centralización.

x =0 ⋅55 + 1⋅55 + 2 ⋅ 20 + 3 ⋅15 + 4 ⋅10

155=

180

155= 1,16

Mo: es bimodal de modas 0 y 1 sobresaliente. Me = 5559 Calcula la media aritmética y la mediana de los números impares desde el 1 hasta el 99.

Los números impares son una progresión aritmética de diferencia d = 1.

La suma desde el 1 hasta el 99 es: S50 =(1+ 99)

2⋅50 = 2500

La mediana es la media aritmética de los dos datos centrales: Me =49 + 51

2= 50

60 En una familia trabajan el padre, la madre y la hija mayor. Tienen unos ingresos de 1 800 €, 1 900 € y 1 200 €, respectiva-mente. Pablo, el hijo pequeño, ha empezado a trabajar y quiere que su sueldo ascienda, al menos, a una cantidad tal que haga que la media aritmética de los sueldos de su familia sea de 1 600 €.

Calcula el sueldo mínimo deseado por Pablo.

Si p es el sueldo mínimo deseado por Pablo → x =1800 + 1900 + 1200 + p

4= 1600

Por tanto: 9 = 1 600 ⋅ 4 − (1 800 + 1 900 + 1 200) = 6 400 − 4 900 = 1 500 €61 Fíjate en los siguientes diagramas. Calcula los cuartiles e interpreta la distribución de los datos.

a) c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b)

1 2 3 4 5 6 7 8

a) Q1 = 5, Q2 = 8, Q3 = 11. Los datos se concentran en la parte inferior, los comprendidos entre el 25 % y el 50 % están igual de concentrados que los comprendidos entre el 50 % y el 75 %. El bigote derecho es igual que el izquierdo por tanto la distribución de datos es simétrica.

b) Q1 = 2, Q2 = 3, Q3 = 7. Los datos comprendidos entre el 25 % y el 50 % están mucho más concentrados que los com-prendidos entre el 50 % y el 75 %. El bigote izquierdo es igual que el derecho, por tanto el 25 % de los datos más pequeños están igual de dispersos que el 25 % de los datos mayores. Es asimétrica.

c) Q1 = 3, Q2 = 6, Q3 = 11. Los datos comprendidos entre el 25 % y el 50 % están más concentrados que los comprendi-dos entre el 50 % y el 75 %. El bigote izquierdo es mayor que el derecho, por tanto el 25 % de los datos más pequeños están más dispersos que el 25 % de los datos mayores. Es asimétrica.

62 La tabla muestra el número de trabajos realizados para la asignatura de Inglés por un grupo de alumnos de 3.º de ESO durante el curso.

Halla las medidas de posición e interprétalas.

xi fi Fi hi Hi

1 3 3 0,15 0,15

2 3 6 0,15 0,30

3 4 10 0,20 0,50

4 6 16 0,30 0,80

5 4 20 0,20 1

Completamos la tabla con las frecuencias relativas.

Q1 = 2

Q2 = Me = 3 + 4

2= 3,5

Q3 = 4

La distribución es simétrica. El 25 % de los alumnos ha realizado 1 o 2 trabajos y el 75 %, hasta 4 trabajos.

13 Estadística


63 Calcula la mediana y los cuartiles de la distribución dada por la tabla.

Clases xi fi Fi hi Hi

[0, 10) 5 11 11 0,19 0,19

[10, 20) 15 17 28 0,30 0,49

[20, 30) 25 18 46 0,32 0,81

[30, 40) 35 10 56 0,18 1

64 Al preguntar a 50 jóvenes por el tiempo, en minutos, que tardan en ducharse, se obtiene la información que se recoge en la tabla.

Tiempo (min) fi

4 2

5 10

6 23

7 9

8 3

9 3

a) Calcula el tanto por ciento de jóvenes que tarda en ducharse un tiempo por encima de la media.

b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes.

a) x =4 ⋅ 2 + 5 ⋅10 + 6 ⋅ 23 + 7 ⋅ 9 + 8 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3

50=

320

50= 6,4 min

Hay 15 jóvenes que tardan en ducharse más tiempo de la media, esto es el 30 %.b) Tiempo (min) fi Fi hi Hi

Q1 = 6

Q2 = Me = 6

Q3 = 74 2 2 0,04 0,04

5 10 12 0,20 0,24

6 23 35 0,46 0,70

7 9 44 0,18 0.88

8 3 47 0.06 0,94

9 3 50 0.06 1

4 5 8

Q¹= Q² Q³

96 7

65 En la tabla aparecen las temperaturas máximas que se registraron durante el mes de abril en cierta localidad. Calcula la varianza y la desviación típica de la variable estadística.


2 ⋅ fi15 7 105 225 1 575

16 9 144 256 2 304

17 7 119 289 2 023

18 5 90 324 1 620

19 2 38 361 722

Total 30 496 1 455 8 244

66 ¿Qué varianza corresponde a una variable estadística en la que todos los valores coinciden con la media?

Si todos los valores de una variable coinciden con la media es que todos los valores son iguales, por tanto, la varianza será 0.

Completamos la tabla con las frecuencias relativas.

Q1 = 15

Q2 = Me = 25

Q3 = 25

Completamos la tabla con los productos necesarios.

x =496

30= 16,53

σ2 =8 244

30− (16,53)2 = 274,8− 273,24 = 1,56

σ = 1,56 = 1,24

427

13Estadística


67 La tabla muestra los diferentes precios, en euros, de un teléfono móvil en varias tiendas.

Precio (€) N.º de tiendas

[140, 160) 2

[160, 180) 3

[180, 200) 5

[200, 220) 1

Calcula:

a) El precio medio de venta del teléfono. c) La varianza y la desviación típica.

b) El intervalo mediano y el intervalo modal. d) El coeficiente de variación.

Realizamos la siguiente tabla.

Precio (€) xi fi xi ⋅ fi xi2 xi

2 ⋅ fi[140, 160) 150 2 300 22 500 45 000

[160, 180) 170 3 510 28 900 86 700

[180, 200) 190 5 950 36 100 180 500

[200, 220) 210 1 210 44 100 44 100

Total 11 1970 356 300

a) x =1970

11= 179,09 €

b) Intervalo mediano = [180, 200) Intervalo modal = [180, 200)

c) σ2 =356 300

11− (179,09)2 = 32 390,9− 32 073,22 = 317,68 σ = 317,68 = 17,82

CV =17,82

179,09= 0,09 → 9%

68 Un estadio de fútbol acogió un total de entre 12 000 y 16 000 espectadores en 4 partidos, entre 16 000 y 20 000 en 6 par-tidos, entre 20 000 y 24 000 en 5 partidos y entre 24 000 y 28 000 en 15 partidos.

a) Construye una tabla, calculando las marcas de clase y las frecuencias.

b) ¿Cuál es el rango?

c) Halla la varianza y la desviación típica.

d) Calcula el coeficiente de variación.a) Espectadores xi fi xi ⋅ fi xi

2 xi2 ⋅ fi

[12 000, 16 000) 14 000 4 56 000 196 000 000 784 000 000

[16 000, 20 000) 18 000 6 108 000 324 000 000 1 944 000 000

[20 000, 24 000) 22 000 5 110 000 484 000 000 2 420 000 000

[24 000, 28 000) 26 000 15 390 000 676 000 000 1 0140 000 000

Total 30 664 000 15 288 000 000

b) R = 28 000 − 12 000 = 16 000 espectadores

c) x =664 000

30= 22 133,3

σ2 =

15 288 000 000

30− (22133,3)2 = 509 600 000− 489 882 968,9 = 19 717 031,1

σ = 19 717 031,1 = 4 440,38

d) CV =4 440,38

22 133,3= 0,20 → 20 %

13 Estadística


69 Observa los estudios estadísticos representados.

a) Halla la media aritmética de cada uno y piensa en cuál de los gráficos es más representativa.

b) Calcula la desviación típica de ambos estudios.

c) Compara los coeficientes de variación de los dos estudios.

Creamos una tabla para cada estudio.

A: xi fi xi ⋅ fi xi2 xi

2 ⋅ fi B: xi fi xi ⋅ fi xi2 xi

2 ⋅ fi1 1 1 1 1 1 5 5 1 5

2 4 8 4 16 2 4 8 4 16

3 5 15 9 45 3 2 6 9 18

4 4 16 16 64 4 4 16 16 64

5 1 5 25 25 5 5 25 25 125

Total 15 45 151 Total 20 60 228

a) Estudio A: xA =45

15= 3 Estudio B: xB =

60

20= 3

b) σA2 =

151

15− 32 = 10,06− 9 = 1,06 σA = 1,06 = 1,02 CVA =

1,02

3= 0,34 → 34 %

σB2 =

228

15− 32 = 15,2− 9 = 6,2 σB = 6,2 = 2,48 CVB =

2,48

3= 0,82 → 82 %

En el Estudio B hay mayor variabilidad entre los datos.70 El peso medio de los perros de la raza golden retriever es de 25 kg, y la desviación típica es de 2,5 kg. Por otro lado, los

ponis tienen un peso medio de 122 kg y una desviación típica de 10 kg. Calcula el coeficiente de variación y explica en cuál de las dos especies presenta el peso una mayor variabilidad.

CVgolden =2,5

25= 0,1→ 10 %

CVponis =

10

122= 0,081→ 8,1%

Los perros de la raza golden retriever presentan mayor variabilidad entre sus pesos. 71 Los siguientes datos muestran las alturas, en centímetros, de las componentes de dos equipos de baloncesto femenino.

Equipo 1: Equipo 2:160 165 165 168 168 168 168 170 170 172170 170 172 172 180 172 175 175 180 180

a) Halla la media y la desviación típica de cada equipo.

b) Indica cuál manifiesta una mayor variabilidad.

a) Equipo 1 Equipo 2


2 ⋅ fi xi fi xi ⋅ fi xi2 xi

2 ⋅ fi160 1 160 25 600 25 600 168 2 336 28 224 56 448

165 2 330 27 225 54 450 170 2 340 28 900 57 800

168 2 336 28 224 56 448 172 2 344 29 584 59 168

170 2 340 28 900 57 800 175 2 350 30 625 61 250

172 2 344 29 584 59 168 180 2 360 32 400 64 800

180 1 180 32 400 32 400 Total 10 1 730 299 466

Total 10 1 690 285 866

0

1

2

3

4

5

6

54321

429

13Estadística


x1 =1690

10= 169 cm σ2

1 =285 866

10−1692 = 25,6 → σ1 = 25,6 = 5,05

x2 =1730

10= 173 cm σ2

2 =299 466

10−1732 = 17,6 → σ2 = 17,6 = 4,19

b) CV1 =5,05

169= 0,029 → 2,9 %

CV2 =4,19

173= 0,024 → 2,4 %

El equipo 1 presenta mayor variabilidad.72 Se ha realizado un estudio sobre la velocidad a la que circulan los coches en una autovía y en una carretera secundaria.

Autovía Carretera secundaria

Velocidad (km/h) 90 100 110 120 130 Velocidad (km/h) 40 50 60 70 80

N.º de coches 1 1 2 5 1 N.º de coches 1 3 4 1 1

a) Calcula el rango de las velocidades. c) Estudia dónde se observa menor dispersión.

b) Halla la desviación típica de ambas.

a) RAutovía = 130 − 90 = 40 km/h RCarretera secundaria = 80 − 40 = 40 km/h

a) xi fi xi ⋅ fi xi2 xi

2 ⋅ fi xi fi xi ⋅ fi xi2 xi

2 ⋅ fi40 1 40 1 600 1 600 90 1 90 8 100 8 100

50 3 150 2 500 7 500 100 1 100 10 000 10 000

60 4 240 3 600 14 400 110 2 220 12 100 24 200

70 1 70 4 900 4 900 120 5 600 14 400 72 000

80 1 80 6 400 6 400 130 1 130 16 900 16 900

Total 10 580 34 800 Total 10 1 140 131 200

xAutovía =1140

10= 114 km/h σ2

Autovía =131200

10−1142 = 124 → σAutovía = 124 = 11,13

xCarretera secundaria =580

10= 58 km/h σ2

Carretera secundaria =34 800

10−582 = 116 → σCarretera secundaria = 116 = 10,77

c) CVAutovía =11,13

114= 0,097 → 9,7 % CVCarretera secundaria =

10,77

58= 0,18 → 18 %

En autovía hay menor dispersión.

13 Estadística


Matemáticas vivas

Obras públicasSugerencias didácticas

En esta sección se les presenta a los alumnos una situación real, es necesario conocer el tráfico que soporta un puente que hay que reparar para decidir si es necesario incluir otras alternativas no previstas en las obras de reparación.

Se pretende que los alumnos sean capaces de analizar e investigar, interpretar, tomar decisiones y comunicar matemáticamen-te los diversos problemas con los que se van a encontrar.

En las actividades de comprensión deberán analizar la tabla de frecuencias que se les proporciona, serán capaces de encontrar similitudes con los conceptos aprendidos en la unidad y así comprender la tabla presentada.

En las actividades de relación los alumnos reconocerán los diagramas, valorarán este tipo de información y comunicarán infor-mación resumida y relevante sobre la variable estadística analizada.

Para terminar, en las actividades de reflexión se plantea que el alumno desarrolle un presupuesto final de acuerdo a unos condicionantes. En este nivel de complejidad será necesario identificar conocimientos matemáticos de media aritmética, moda y mediana.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Argumenta, Piensa y razona, Resuelve Utiliza el lenguaje matemático o Comunica.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Cooperación guiada o estructurada, de O’Donnell y Dansereau.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos prepararán un presupuesto para restaurar un puente según unas condiciones dadas. Antes de realizar la tarea, los alumnos se agruparán por parejas e irán pautando la lectura del texto cerciorándose de que han comprendido correctamente la información.

13 MATEMÁTICAS VIVAS

274 275

13Obras públicas

COMPRENDE

Los datos recogidos en el estudio estadístico se muestran en esta tabla.

Tipo de vehículo Peso (kg) N.º de vehículos

Camión / autobús [10 000, 20 000) 18

Furgoneta / minibús [2 000, 10 000) 244

Coche [1 300, 2 000) 168

Carro de tracción animal [1 000, 1 300) 64

Motocicleta [300, 1 000) 36

Ciclomotor / bicicleta [20, 300) 130

Responde a estas preguntas.

a. ¿Qué datos se tendrán en cuenta a la hora de cerrar el presupuesto?

b. ¿Crees que habría que incluir en el estudio otros datos relativos a los vehículos? En caso afirmativo, indica cuáles y explica cómo influirían.

c. ¿Por qué se agrupan los distintos tipos de vehículos entre un peso mínimo y un peso máximo?

1

La Consejería de Obras Públicas de cierta comunidad autónoma se propone arreglar el puente que comunica un pueblo con la autovía principal. En una primera inspección de los desperfectos, la estimación del coste asciende a 100 000 €.

Para cerrar el presupuesto, obtienen una muestra de los vehículos que circulan por el puente durante el mes de noviembre. Es necesario conocer el tráfico que soporta el puente habitualmente para decidir si hay que incluir otras alternativas previstas en las obras de reparación.

ARGUMENTA

RELACIONA

Los datos se pasan al Departamento Técnico de la Consejería acompañados de estos gráficos.

N.º de vehículos

Peso 20

0255075

100125150175200225250

20 00010 0002 0001 3001 000300

Ciclomotor

MotocicletaCarro

Coche

Furgoneta

Camión9º

133º

71º

20º

35º

92º

a. ¿Qué ventajas añaden los gráficos que representan los datos del estudio estadístico?

b. ¿Qué tipo de vehículo es el más utilizado para transportar pasajeros y mercancías entre los habitantes?

2

PIENSA Y RAZONA

REFLEXIONA

Para complementar la propuesta que se hace al Departamento de la Consejería de Obras Públicas, hay que obtener algunos datos más.

a. Calcula la media del número de vehículos que atraviesan el puente a diario en ambos sentidos. Si el resultado es superior a 20 vehículos diarios deben colocarse algunas señales informativas, con un coste adicional de 700 €.

b. Determina el peso medio soportado por el puente durante el mes de noviembre. En el caso de sobrepasar los 3 000 kg, habrán de colocarse unos refuerzos metálicos que supondrán una inversión de 20 000 € más con respecto al coste estimado inicialmente. Finalmente, si el peso medio sobrepasa los 6 000 kg, la propuesta será derribar el puente y levantar en su lugar uno nuevo, lo que supone una inversión total de 1 500 000 €.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. Ordena los datos de la tabla de menor a mayor según el peso de los vehículos que atraviesan el puente y determina el que representa la mediana. Si esta tiene un valor inferior a los 1 000 kg se empleará un asfalto especial antideslizante con un coste adicional de 6 000 € sobre el presupuesto inicial.

Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala.

ConceptoIncluido (sí/ no)

Importe

Presupuesto inicial O 100 000 €

Señales informativas O 700 €

Refuerzos metálicos O 20 000 €

Asfalto antideslizante O 6 000 €

--------------------------- ----------- -----------------------

Puente nuevo O 1 500 000 €

--------------------------- ----------- -----------------------

Presupuesto definitivo Total O

Elabora el presupuesto final de la obra.

COMUNICA

3

4TRABAJOCOOPERATIVO

Calcula la media del número de vehículos que atraviesan el puente a diario en ambos sentidos. Si el resultado es

RESUELVE

431

13Estadística


Soluciones de las actividades

La Consejería de Obras Públicas de cierta comunidad autónoma se propone arreglar el puente que comunica un pueblo con la autovía principal. En una primera inspección de los desperfectos, la estimación del coste asciende a 100 000 €.

Para cerrar el presupuesto, obtienen una muestra de los vehículos que circulan por el puente durante el mes de noviembre. Es necesario conocer el tráfico que soporta el puente habitualmente para decidir si hay que incluir otras alternativas previstas en las obras de reparación.

Comprende

Los datos recogidos en el estudio estadístico se muestran en esta tabla.

Tipo de vehículo Peso (kg) N.º de vehículos

Camión / autobús [10 000, 20 000) 18

Furgoneta / minibús [2 000, 10 000) 244

Coche [1 300, 2 000) 168

Carro de tracción animal [1 000, 1 300) 64

Motocicleta [300, 1 000) 36

Ciclomotor / bicicleta [20, 300) 130

1 Responde a estas preguntas.

a) ¿Qué datos se tendrán en cuenta a la hora de cerrar el presupuesto?

b) ¿Crees que habría que incluir en el estudio otros datos relativos a los vehículos? En caso afirmativo, indica cuáles y explica cómo influirían.

c) ¿Por qué se agrupan los distintos tipos de vehículos entre un peso mínimo y un peso máximo?

a) El peso medio soportado por el puente durante la prueba y el número de vehículos que atraviesan el puente diaria-mente.

b) Para los daños que afectan a la estructura no son necesarios otros datos.

c) Se agrupan vehículos entre un peso mínimo y un peso máximo para que la muestra sea manejable, si no lo hiciéramos tendríamos un peso por cada vehículo que atraviesa el puente y obtendríamos una tabla con 660 datos.

Relaciona2 Los datos se pasan al Departamento Técnico de la Consejería acompañados de estos gráficos.

N.º de vehículos

Peso 20

0255075

100125150175200225250

20 00010 0002 0001 3001 000300

Ciclomotor

MotocicletaCarro

Coche

Furgoneta

Camión9º

133º

71º

20º

35º

92º

a) ¿Qué ventajas añaden los gráficos donde se han representado los datos del estudio estadístico?

b) ¿Qué tipo de vehículo es el más utilizado para transportar pasajeros y mercancías entre los habitantes del pueblo?

a) Añaden claridad y sencillez en la interpretación de los datos.

b) Furgoneta/Minibus, marca de clase 6 000 kg, es la moda de la distribución de datos.

13 Estadística


Reflexiona3 Para complementar la propuesta que se hace al Departamento de la Consejería de Obras Públicas, hay que obtener algu-

nos datos más.

a) Calcula la media del número de vehículos que atraviesan el puente a diario en ambos sentidos. Si el resultado es supe-rior a 20 vehículos diarios deben colocarse algunas señales informativas, con un coste adicional de 700 €.

b) Determina el peso medio soportado por el puente durante el mes de noviembre. En el caso de sobrepasar los 3 000 kg, habrán de colocarse unos refuerzos metálicos que supondrán una inversión de 20 000 € más con respecto al coste esti-mado inicialmente. Finalmente, si el peso medio sobrepasa los 6 000 kg, la propuesta será derribar el puente y levantar en su lugar uno nuevo, lo que supone una inversión total de 1 500 000 €.

c) Ordena los datos de la tabla de menor a mayor según el peso de los vehículos que atraviesan el puente y determina el peso que representa la mediana. Si esta tiene un valor inferior a los 1 000 kg se empleará un asfalto especial antidesli-zante con un coste adicional de 6 000 € sobre el presupuesto inicial.

a) La media de vehículos que atraviesan diariamente el puente en ambos sentidos es: 660

30= 22 vehículos/día

b) Vehículo Marca de clase (kg) N.º de vehículos Peso total (kg)

Camión 15 000 18 270 000

Furgoneta 6 000 244 1 464 000

Coche 1 650 168 277 200

Carro 1 150 64 73 600

Motocicleta 650 36 23 400

Ciclomotor 160 130 20 800

Total 60 2 129 000

b) El peso medio soportado por el puente durante la prueba es: 2 129 000

660= 3 225,76 kg

c) Vehículo Marca de clase (kg) N.º de vehículos

Ciclomotor 160 130

Motocicleta 650 36

Carro 1 150 64

Coche 1 650 168

Furgoneta 6 000 244

Camión 15 000 18

Total 660

La mediana es 1 650 kg, la media de los datos que ocupan el lugar 330 y 331 una vez ordenados.4 Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala.

Concepto Incluido (sí/ no) Importe

Presupuesto inicial 100 000 €

Señales informativas 700 €

Refuerzos metálicos 20 000 €

Asfalto antideslizante 6 000 €

--------------------------- ----------- -----------------------

Puente nuevo 1 500 000 €

--------------------------- ----------- -----------------------

Presupuesto definitivo Total

433

13Estadística


Elabora el presupuesto final de la obra.

Concepto Incluido (sí/ no) Importe

Presupuesto inicial sí 100 000 €

Señales informativas sí 700 €

Refuerzos metálicos sí 20 000 €

Asfalto antideslizante no 6 000 €

--------------------------- ----------- -----------------------

Puente nuevo no 1 500 000 €

--------------------------- ----------- -----------------------

Presupuesto definitivo Total 120 700 €

Presupuesto final de la obra:

Concepto Motivo Importe

Presupuesto inicial Estimación previa 100 000 €

Señales informativas Media de vehículos diarios > 20 700 €

Refuerzos metálicos Peso medio > 3 000 kg 20 000 €

Presupuesto definitivo Total 120 700 €

Trabajo cooperativo

El presupuesto en este caso es de 1 500 000 €, ya que la media aritmética del peso soportado por el puente al paso de los vehículos de la muestra es superior a 6 000 kg, tendrán que derribar el puente y levantar en su lugar uno nuevo.

13 Estadística


13 Estadística

276

AVANZA Desviación media

En el cálculo de la varianza de una variable estadística se hallan los cuadrados de las diferencias entre la media y cada uno de los datos para evitar que aquellos que son menores resulten valores negativos.

Otra forma de estudiar la distancia entre los datos y su media es determinar la desviación media: es la media de los valores absolutos de las diferencias entre la media y los datos.

DM =x1 − x f1 + x2 − x f2 + ... + xn − x fn

N

Fíjate en las siguientes puntuaciones de un test de aptitud:

70 74 82 79 83 80

La media de los datos es: x = 78

Y la desviación media: DM =70−78 + 74−78 + 79−78 + 80−78 + 82−78 + 83−78

6= 4

A1. Calcula el rango y la desviación media de:

a) Las edades de tres hermanos: 14, 16 y 21 años.

b) El salario mensual de cuatro miembros de una familia: 1 000 €, 1 200 €, 1 800 € y 2 000 €.

A2. Un médico de familia atiende en una mañana a diez pacientes cuyas edades son:

68 38 40 20 2235 85 22 35 55

Calcula el rango y la desviación media.

ESTADÍSTICA EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓNEl Instituto Nacional de Estadística (INE) estudia la evolución de la población en España. En los siguientes gráficos se muestra cómo ha evolucionado la población de nuestro país a lo largo del siglo XX.

0-45-9

10-1415-1920-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-6465-6970-7475-7980-84+85

0-45-9

10-1415-1920-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-6465-6970-7475-7980-84+85

01234560123456 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6Datos en porcentaje

Según las previsiones, debido al descenso de la natalidad, España podría perder un 10 % de su población en un plazo de 40 años, y el 34 % de sus habitantes tendrá 64 años en 2052. Por otro lado, en 2018 se prevé que las muertes superen por primera vez a los nacimientos. Además, se estima que en la próxima década emigrarán más de 5 millones de personas. En 2052, por cada persona en edad de trabajar se prevé que habrá otra inactiva.

E1. Investiga en Internet qué es una pirámide de población, cómo se interpreta y qué aplicaciones tiene su estudio.

E2. Elabora una comparación entre los dos gráfi cos anteriores, explicando las diferencias más importantes entre ambos.


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el con-cepto y el procedimiento del cálculo de la desviación media de los valores que toma una variable estadística. Conviene asegurarnos de que los alumnos calculan correctamente valores absolutos.

Es necesario explicar que la desviación media nos da in-formación de la distancia entre los datos de una variable estadística y su media aritmética.


A1. Calcula el rango y la desviación media de:

a) Las edades de tres hermanos: 14, 16 y 21 años.

b) El salario mensual de cuatro miembros de una fami-lia: 1 000 €, 1 200 €, 1 800 € y 2 000 €.

a) R = 21 − 14 = 7 años

x =14 + 16 + 21

3=

51

3= 17 años

DM =14−17 + 16−17 + 21−17

3=

=8

3= 2,6

años

b) R = 2 000 − 1 000 = 1 000 €

x =1000 + 1200 + 1800 + 2 000

4=

6 000

4= 1500 €

DM =1000−1500 + 1200−1500 + 1800−1500 + 2 000−1500

4=

1600

4= 400 €

A2. Un médico de familia atiende en una mañana a diez pacientes cuyas edades son:

68 38 40 20 22 35 85 22 35 55

Calcula el rango y la desviación media.

R = 85 − 20 = 65 años

xi fi xi ⋅ fi xi − x xi − x ⋅ fi

20 1 20 20 20

22 2 44 18 36

35 3 105 5 15

38 1 38 2 2

40 1 40 0 0

68 1 68 28 28

85 1 85 45 45

Total 10 400 146

x =400

10= 40 años

DM =146

10= 14,6 años

Avanza. Desviación media

435

13Estadística


Estadística en los medios de comunicaciónSugerencias didácticas

En esta sección los alumnos analizarán e interpretarán la información estadística que aparece en los medios de comunicación, valorando su representatividad.

Se propone que los alumnos lean el texto, analicen los datos que les proporciona el INE y creen un debate en clase argumen-tando ordenadamente sus conclusiones.

A continuación, cada alumno deberá buscar información sobre qué son las pirámides de población.

Para cerrar la actividad se propone que observen los dos gráficos, que saquen conclusiones y que las comuniquen a sus com-pañeros.

Es muy importante transmitir a los alumnos las ganas de buscar, argumentar y generalizar un problema del mundo real.


E1. Investiga en Internet qué es una pirámide de población, cómo se interpreta y qué aplicaciones tiene su estudio.

Respuesta abierta.

E2. Elabora una comparación entre los dos gráficos anteriores, explicando las diferencias más importantes entre ambos.

En el año 1900 la pirámide de población estaba bien estructurada, sustentada sobre la base de una población joven y activa, con un elevado índice de natalidad.

En el año 2001 las generaciones entre 25 y 29 años eran las más numerosas mientras que en 1900 eran las generaciones de entre 0 a 4 años.

En 1900 nacieron más mujeres que hombres, en 2001 fue al contrario.

Se observa en ambos gráficos que el número de mujeres es ligeramente mayor que el de hombres y a partir de los 60 años esta diferencia se hace más notable.

13 Estadística


1. Clasifica las variables siguientes:

a) Peso de los melones en una frutería. c) Consumo de luz, en kw/h, de los hogares en edificio de viviendas.

b) Equipo de futbol preferido por los alumnos. d) Número de pantalones que tienen los chicos y chicas de 15 años.

a) Cuantitativa continua b) Cualitativa c) Cuantitativa continua d) Cuantitativa discreta

2. Haz un recuento de los siguientes datos, represéntalos mediante un diagrama de barras y razona si es posible dibujar el polígono de fre-cuencias.

a b c a c c d c d b d a d a b b c c a a b a b d

No es posible dibujar el polígono de frecuencias ya que la variable es cualitativa.

3. Dibuja un diagrama de sectores, indicando el ángulo de cada sector para los datos del ejercicio anterior.

105º90º90º75º

a

bc

d

4. Las temperaturas máximas alcanzadas, durante 10 días, en un pueblo de Huesca han sido:

7 5 3 7 2 7 4 5 7 3

Completa la tabla y calcula las medidas de centralización y las de dispersión correspondientes.

xi fi xi ⋅ fi xi − x fi xi − x xi − x( )2 fi ⋅ xi − x( )2

2 1 2 −3 3 9 9

3 2 6 −2 4 4 8

4 1 4 −1 1 1 1

5 2 10 −0 0 0 0

7 4 28 −2 8 4 16

Total 10 50 16 34

5. Un profesor dispone de la media aritmética y la desviación típica de tres exámenes realizados por sus alumnos. Ayúdale a investigar en qué examen las notas fueron más dispersas.

x s

Examen 1 7 3,5

Examen 2 6 3

Examen 3 5 3

Los coeficientes de variación son: CVExamen 1 = 0,5 CVExamen 2 = 0,2 CVExamen 3 = 0,6

Por tanto, las notas del Examen 3 son más dispersas.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

10

0

2

4

6 6 65

78

a b c d

x = 5

Mo = 7

Me = 5

Rango = 5

DM = 3,2

s 2 = 0,68

s = 0,82

CV = 0,164

437

13Estadística


1. Se ha preguntado a 60 jóvenes por el tiempo, en minutos, que tardan en llegar desde su casa al colegio y los resultados han sido.

13 14 14 13 16 16 15 16 13 14 13 14 15 16 14 13 13 14 13 15

9 10 11 12 10 11 11 11 12 10 10 11 9 9 10 11 12 12 9 10

5 6 7 6 8 8 6 8 8 7 7 7 8 8 8 2 1 2 4 3

Haz un recuento de los datos, agrúpalos en cinco clases y represéntalos mediante un histograma.

Min xi fi[1,5) 3 5

[5, 9) 7 15

[9, 13) 11 20

[13, 17) 15 20

Total 60

2. Dibuja un diagrama de sectores, indicando el ángulo de cada sector para los datos del ejercicio anterior.

[1, 5)[5, 9)[9, 13)[13, 17)

30º

90º

120º

120º

3. Calcula la media y la desviación típica de los datos del ejercicio 1. ¿Qué tanto por ciento de jóvenes tarda más de 5 minutos en llegar al colegio?

xi fi xi ⋅ fi xi − x( )2 fi ⋅ xi − x( )2

3 5 15 57,76 288,8

7 15 105 12,96 194,4

11 20 220 0,16 3,2

15 20 300 19,36 387,2

Total 60 640 873,6

4. Calcula los cuartiles, dibuja el diagrama de cajas e interpreta la distribución para los datos del ejercicio 1.

1 12

Q¹ 10,5 Q³

164 8 13

El 75 % de jóvenes tardan menos de 13 min en llegar. El 25 % tarda menos de 8 min.

El 50 % tardan entre 8 y 13 minutos.

5. Una alumna ha obtenido en diversos exámenes de la asignatura de francés las siguientes notas: 4, 8, 9, 7, y 10.

La nota final se calcula teniendo en cuenta que los exámenes puntúan un 60 % del total y el 40 % restante será la nota de una exposición oral.

Halla la nota mínima que debe obtener en la exposición oral para aprobar la asignatura.

La nota mínima es 1.

x = 5 s 2 = 82,41 s = 9,07

Más de 5 min: 15 + 20 + 20 = 55 jóvenes, representa el 91,6 %.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

25

20

15

10

5

01 5 9 13 17

13 Estadística 13 - IES LA BASÍLICA MATEMÁTICAS · aparecen datos agrupados en clases, la marca...

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