1. Fundamentos Algebraicos

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Por José Manuel Manrique Arreola

1.1 SISTEMAS DE NÚMEROS REALESNúmeros Reales

Números Racionales

Enteros

Naturales

Cero

Negativos

Fracciones (No Enteros)

Números Irracionales

Positivos

Negativos

1.1.1 NÚMEROS NATURALES• Empieza en 1 y se extiende hacia el infinito.

• Son aquellos que utilizamos para contar.

• En notación de conjuntos, se representa con N.

• Definición: A cada dos números naturales podemos asociarle un número natural por medio de una operación llamada suma en N, la cual tiene las siguientes propiedades:

1.1.1.1 AXIOMAS DE N1. Esta afirmación nos dice que N por lo menos posee un elemento; es decir, que .

2. Si , lo cual se representa como: Sig(n).

3. , lo cual nos indica que 1 es el primer elemento del conjunto N; en otras palabras, no existe ningún elemento antes que 1.

4. . Esta afirmación nos indica que no hay dos números naturales diferentes que tengan el mismo siguiente.

5. Si tiene las siguientes propiedades:

1.1.1.2 PROPIEDAD ASOCIATIVA DE N• , lo que se lee: “Para toda n, m, s Elementos del Conjunto N (de los números naturales),

tenemos que ”.

1.1.1.2 PROPIEDAD CONMUTATIVA DE N• , lo que se lee: “Para toda n, m Elementos del Conjunto N (de los números naturales),

tenemos que ”; dicho de otra forma, el orden de los sumandos no altera la suma.

• , lo que se lee: “Para toda n, m Elementos del Conjunto N (de los números naturales), tenemos que ”; dicho de otra forma, el orden de los factores no altera el producto.

1.1.1.3 CONJUNTO DEL NÚMERO 0 (CERO)• Sea

• Este conjunto tiene como único elemento al número 0.

• Se utiliza para expresar la ausencia de valor.

1.1.1.4 CONJUNTO DE LOS NÚMERO POSITIVOS• Dado , la unión del conjunto del número 0 con el conjunto de los número naturales forma

un nuevo conjunto al que llamaremos P, o Conjunto de los Números Positivos, que se define como:

1.1.1.5 ELEMENTO IDENTIDAD PARA LA SUMA• Definido el conjunto P –de los número positivos-, es posible demostrar que ; es decir, 0

es el elemento identidad para la suma.

1.1.1.5 ELEMENTO IDENTIDAD PARA EL PRODUCTO

• Definido el conjunto P –de los número positivos-, es posible demostrar que ; es decir, 1 es el elemento identidad para el producto.

1.1.1.6 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NEGATIVOS

• Con los elementos proporcionados hasta el momento, podemos definir la operación de la suma, que consiste en agregar a uno de los elementos del conjunto P, otro elemento de P, lo que da lugar un nuevo valor que también es elemento de P, como se muestra a continuación:

• Dado lo anterior, se hace necesario encontrar un valor tal que sumado a un elemento de P realice el efecto contrario; es decir, que -en lugar de agregar-, quite al elemento de P.

• Para lograr esto, necesitamos un nuevo conjunto, formado por elementos que complementen a P, de manera que podamos definir la operación de la sustracción. A este nuevo conjunto -que contiene elementos que complementan a P-, le denominaremos P’, o conjunto de los números negativos y se define como a continuación se muestra:

1.1.1.7 INVERSO ADITIVO

• Definido el conjunto de los números negativos es posible establecer que si , entonces x’ se conoce como el inverso aditivo de x.

• Es decir, el inverso aditivo de un número es el complemento de dicho número y podemos demostrarlo si, al sumar un número más su complemento, obtenemos 0 (cero).

1.1.1.7 INVERSO MULTIPLICATIVO O RECÍPROCO

• , entonces se conoce como el inverso multiplicativo, o recíproco de x.

• Es decir, el inverso aditivo de un número es aquel número que multiplicado por el primero da como producto 1.

1.1.1.8 CONJUNTO DE LOS NÚMERO ENTEROS• Definidos P y P’, es posible formar a partir de la unión de estos conjuntos un conjunto

que los englobe a todos, conocido como el conjunto de los números Enteros, definido por E, como se expresa a continuación:

1.1.1.9 OTROS CONJUNTOS• Conjunto de los números pares, formado por aquellos elementos que son múltiplos de 2,

como se describe a continuación: .

• Conjunto de los número impares, que es el complemento del conjunto anterior y que se forma por todos aquellos números que no son múltiplos de 2, como se describe a continuación: .

1.1.1.10 OPERACIÓN PRODUCTO EN N• Dados dos números naturales, podemos asociarles un número natural por medio de una

operación llamada producto en N.

a) n X Sig(m) = nm + n (cuando nm está definida).

1.1.1.11 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA• , lo que se lee como:

“El producto de una suma por un factor es igual a la suma de los productos de los sumandos multiplicados por dicho factor”.

1.1.1.12 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES• .

• Esto nos permite comprobar que, como en la suma, podemos observar que para algunos naturales a y b no existe una , por lo que necesitamos un conjunto (Q), que permita la definición de una nueva clase de números que se produzcan a partir de la operación contraria al producto, que es la división.

1.1.1.13 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES• .

• Con lo que podemos definir un nuevo conjunto de números x que se obtienen a partir de una operación denominada raíz y que queda determinada por teoremas tales como el teorema de Pitágoras y la relación que existe entre la magnitud del diámetro y de un círculo y la longitud de su circunferencia, conocida como .

1.1.1.14 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES• La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números

irracionales da como resultado un nuevo conjunto denominado como el conjunto de los números reales, que se define como: