1

1

4. Técnica del Lugar de las Raíces

2

4. Técnica del Lugar de las Raíces4.1. Técnica del Lugar de las Raíces

4.1.1.Definición del lugar geométrico de las raíces4.1.2. Propiedades del lugar geométrico de las raíces4.1.3. Trazado del lugar geométrico de las raíces4.1.4. Diseño de la respuesta transitoria por medio del ajuste de ganancia

4.2. Diseño por el Lugar geométrico de las raices4.2.1. Diseño por medio del lugar geométrico de las raíces4.2.2. Mejoramiento de error en estado estable por medio de compensación en cascada4.2.3. Mejoramiento de la respuesta transitoria por medio de compensación en cascada4.2.4. Mejoramiento del error en estado estable y respuesta transitoria4.2.5. Construcción física de la compensación4.2.6. Utilización de Matlab para el diseño mediante el Lugar Geométrico de las Raíces

3

4.1. Técnica del Lugar de las Raíces

Capítulo 8Sistemas de Control para Ingeniería (3º Ed.)Norman Nise

4

4.1.1. Definición del lugar geométrico de las raíces

2

5

El Lugar Geométrico de las Raíces es una presentación gráfica de los polos en lazo cerrado cuando varía un parámetro de un sistema

• Da una descripción cualitativa del comportamiento de un sistema

• Es una herramienta que provee información cuantitativa para el análisis y diseño de sistemas

• Da una representación gráfica de la estabilidad de un sistema

• Puede aplicarse a sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior

6

Los polos de KG(s)H(s) son los polos de G(s) y de H(s)

Los polos de T(s)=KG(s)/[1+KG(s)H(s)] dependen de K, y para determinarlos se debe factorizar el denominador

El problema del sistema de control

7

( ) ( )( ) ( )sHsKG

sKGsT+

=1

( ) ( )( )sDsNsG

G

G= ( ) ( )( )sDsNsH

H

H=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sNsKNsDsD

sDsKNsTHGHG

HG

+=

Los ceros de T(s) son los polos de G(s) y los ceros de H(s)

Los polos de T(s) no se obtienen de inmediato, cambian con el valor de K

8(s+a) es un número complejo y puede ser representado por un

vector trazado desde el cero de la función al punto s

a. s = σ + jωRepresentación Vectorial de números complejos

d. F(s)=(s + 7)|s→5 + j2

b. La funciónF(s)=(s + a)

s = σ + jωF(s)=(σ + jω + a)F(s)=(σ + a) + jω

c. Representación alternativa Como

F(s)=(s + a) tiene un cero en –a, trasladamos F(s) hasta –a y el vector termina en σ + jω

3

9

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

a=1+1i b=2+1i

a*b=1+3i

a = 1+1i⏐a⏐ = 1.41∠a = 0.78

b = 2+1i⏐b⏐ = 2.23∠b = 0.46

a*b=1+3i⏐a*b⏐=3.1623∠a*b=1.2490

Producto de números complejosPlano s

⏐a*b⏐ = ⏐a⏐*⏐b⏐∠a*b = ∠a + ∠b

10

( )( )

1

1

1 factores_complejos_del_numeradorfactores_complejos_del_denominador( )

m

in

jj

mii

F ss p

s z=

=

∏= ∏= =

∏+

+

∏

( ) θ∠= MsF

( )

( )1

1

_ _ __ _ _

m

iin

jj

longitudes de los cerosM

longitudes de los polos

s z

s p

=

=

=

+=

+

∏∏∏

∏

( ) ( )1 1

_ _ _ _ _ _m n

i ji j

ángulos de los ceros ángulos de los polos

s z s p= =

θ = ∑ −∑

= ∠ + − ∠ +∑ ∑

Aplicando a F(s) más complejas

Tomando magnitud y fase

11

Los módulos y ángulo desde los polos y ceros a son

Para el cero en -1

Para el polo en el origen

Para el polo en -2

Aplicando la fórmula la función es

( ) ( )( )2

1++=

ssssF

43 js +−=

°∠ 6.11620

°∠ 9.1265

°∠ 0.10417

( ) ( )( ) ( )

3 4

1 20 116.6 126.9 104.0 0.217 114.32 5 17

s j

sF s M

s s=− +

⎛ ⎞+= = ∠θ = ∠ ° − ° − ° = ∠ − °⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

Ejemplo: Evaluación de una función compleja por medio de vectores

Dada la función

Encontrar F(s) en el punto

43 js +−=

12

DEFINICIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

Lugar Geométrico de las Raíces: Es la representación de la trayectoria de los polos en lazo cerrado cuando varía la ganancia k

Dado un sistema realimentado

Se puede reducir el modelo a uno de la forma

Donde k es una ganancia y los polos del sistema en lazo cerrado varían en función de ella (los del lazo abierto no cambian)

4

13

Para el sistema realimentado

Se puede obtener las raíces al variar k y construir una tabla

14

15

4.1.2. Propiedades del lugar geométrico de las raíces

16

PROPIEDADES DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

( ) ( )( ) ( )sHsKG

sKGsT+

=1

Existe un polo cuando el polinomio característico del denominador se hace cero

( ) ( ) 1=sHsKG ( ) ( ) ( ) °+=∠ 18012ksHsKG

( ) ( ) ( ) °+∠=−= 1801211 ksHsKG ,...3,2,1,0 ±±±=k

Si un valor de s se sustituye en KG(s)H(s), resulta un número complejo. Si el ángulo del número complejo es múltiplo impar de 180°, ese valor de s es un polo del sistema para algún k particular

El valor de s es un polo del sistema para k dado por:( ) ( )sHsG

K 1=

( ) ( )1 0KG s H s+ =

5

17

( ) ( ) ( )( )( )( )21

43++++=

ssssKsHsKG

( ) ( )( )( ) ( ) ( )KsKsK

ssKsT122731

432 +++++

++=

Ejemplo

18

°−=°−°−°+°=−−+ 55.7043.1089057.7131.564321 θθθθ

Sea el punto s=-2+j3 determinar si es un polo del sistema

No es un polo del sistema

Sea el punto

determinar si es un polo del sistema

222 js +−=

Los ángulos suman 180°.

El punto s es un polo del sistema para alguna ganancia

( ) ( ) ∏∏===

ceroslosdelongitudespoloslosdelongitudes

MsHsGK

______11 ( )

( )( ) 33.022.112.2

22.122

21

43 ===LLLLK

1 2 3 4 180θ + θ − θ − θ = °

19

4.1.3. Trazado del lugar geométrico de las raíces

20

1. Número de ramas. El número de ramas es igual al número de polos en lazo cerrado

Cada polo en lazo cerrado se mueve por cuando varía la ganancia generando una rama

EjemploEjemplo

6

21

2. Simetría. El lugar geométrico de las raíces es simétrico alrededor del eje real

Esto se debe a que los polinomios que se les saca las raíces son polinomios con coeficientes reales y las raíces se presentan siempre como complejas conjugadas. Si los polos no fueran complejos conjugados los polinomios tendrían en sus coeficiente números complejos.

Ejemplo

22

3. Segmentos del eje real. Sobre el eje real, para K > 0, el lugar geométrico de las raíces existe a la izquierda de un número impar de polos finitos en lazo abierto, sobre el eje real, y/o ceros finitos de lazo abierto

a. Para que exista una rama en el eje real la fase debe ser un múltiplo impar de 180º

b. Los ceros y polos complejos conjugados no aportan a la fase sobre el eje real ya que los ángulo se anulan.

c. Los ceros y polos que se encuentran a la izquierda debido a que la fase que aportan es cero no influye en la determinación

d. Para que la fase sea un múltiplo impar de 180º debe haber un número impar de polos y/o ceros a la derecha ya que cada uno aporta 180º

P1 → Si existeP2 → No existeP3 → Si existeP4 → No existe

23

Ejemplo

24

4. Puntos de inicio y fin. El lugar de las raíces empieza (K=0) en los polos finitos e infinitos de G(s)H(s) y termina (K=∞) en los ceros finitos e infinitos de G(s)H(s)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sNsKNsDsD

sDsKNsTHGHG

HG

+=

Cuando K se aproxima a cero

los polos del sistema en lazo cerrado se aproximan a los polos combinados de G(s) y H(s)

Cuando K tiende a infinito

los polos del sistema en lazo cerrado se aproximan a los ceros combinados de G(s) y H(s)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ε+

=sDsD

sDsKNsTHG

HG

( ) ( ) ( )( ) ( )sNsKN

sDsKNsTHG

HG

+≈

ε

( ) ( )( ) ( )sHsKG

sKGsT+

=1

( ) ( )( )sDsNsG

G

G=( ) ( )( )sDsNsH

H

H=

7

25

Ejemplo

26

5. Comportamiento en el infinito. El lugar geométrico de las raíces se aproxima a líneas rectas como asíntotas cuando el lugar geométrico de las raíces se aproxima al infinito. Además, la ecuación de las asíntotas está dada por la intersección del eje real, σa , y el ángulo, θa como sigue:

finitoscerosfinitospolosfinitoscerosfinitospolos

a _#_#__

−−

= ∑ ∑σ

( )2 1# _ # _a

kpolos finitos ceros finitos

+ πθ =

−

y el ángulo está en radianes con respecto a la porción positiva del eje real

Punto de cruce sobre el eje real

Ángulo de las asíntotas

27

( ) ( )34

143421 −=

−−−−−−=aσ

( )2 1# _ # _

3 para k=0 para k=1

5 3 para k=2

a

kpolos finitos ceros finitos

+ πθ =

−= π= π= π

Ejemplo

_ _# _ # _a

polos finitos ceros finitospolos finitos ceros finitos

−σ =

−∑ ∑

28

AFINACIÓN DEL TRAZO

Puntos de silla entrada y salida en el eje realCruce con el eje jωÁngulos de salida y llegada desde polos y ceros complejos

8

29

Puntos de silla entrada y salida en el eje real

Punto de silla de salida: Es el punto donde el lugar geométrico de las raíces sale del eje real

Punto de silla de entrada: Es el punto donde el lugar geométrico de las raíces regresa al eje real

En el punto silla de salida o en un punto silla de entrada, las ramas del lugar geométrico de las raíces forman un ángulo de 180°/n, donde n es el número de polos en lazo cerrado que llegan o salen del punto de silla individual de salida o entrada sobre el eje real

El punto silla de salida ocurre en un punto de máxima ganancia sobre el eje real entre dos polos de lazo abierto

El punto de silla de entrada ocurre en un punto de mínima ganancia sobre el eje real entre dos ceros de lazo abierto

30

El punto silla de salida ocurre en un punto de máxima ganancia sobre el eje real entre dos polos de lazo abierto

El punto de silla de entrada ocurre en un punto de mínima ganancia sobre el eje real entre dos ceros de lazo abierto

31

Métodos para hallar los puntos silla

Hay tres métodos para hallar los puntos sillaPor medio de derivación1. Punto de silla de salida y entrada por medio de derivación

Sin derivación2. Usando fórmula3. Por métodos numéricos

32

( ) ( )sHsGK 1−= ωσ js +=

Para el eje real: σ=s

( ) ( )σσ HGK 1−=

Se pueden encontrar los máximos y mínimos de K derivando K respecto de σ e igualando a cero

Primer método: Por método de derivación

Para que pertenezcan al lugar geométrico de las raíces se debe cumplir

9

33

Segundo método: Los puntos silla de salida y de entrada satisfacen la relación

donde z y p son el negativo de los valores de cero y polo respectivamente, de G(s)H(s)

∑ ∑= = +

=+

m

i

n

i ii pz1 1

11σσ

34

Tercer método: Emplear la relación

Dándole valores a σ se calculan los valores de K, se construye una tabla, y se determinan los valores de σ que producen los valores máximos y mínimos

( ) ( )σσ HGK 1−=

35

Cruce con el eje jω

Empleando el Criterio de Routh-Hurwitz: forzar un fila de ceros en la tabla de Routh producirá la ganancia K; regresando una fila a la ecuación de polinomio par y despejando las raíces, resulta la frecuencia en el cruce del eje imaginario ω

36

Ejemplo:( ) ( )

( ) KsKssssKsT

381473

234 ++++++=

0720652 =+−− KK

65.9=K

( ) 07.20235.802190 22 =+=+− sKsK59.1js ±=

El lugar de las raíces cruza el eje jω en a una ganancia k = 9.65

El sistema es estable para

59.1js ±=

65.90 ≤≤ K

La única fila que se puede hacer cero para un valor de K es la que corresponde a s1

Da el valor de ganancia

Reemplazando en la fila superior

Lo que da la frecuencia de corte

10

37

Ángulos de salida y llegada desde polos y ceros complejos

Si suponemos un punto ε sobre el lugar geométrico de las raícescercano a un polo o cero complejo, la suma de los ángulos trazados desde todos los polos y ceros finitos a este punto es un múltiplo impar de 180°.

Excepto para el polo o cero que está cerca del punto ε, suponemos que todos los ángulos trazados desde todos los otros polos y ceros se trazan directamente al polo o cero que está cerca del punto.

El único ángulo desconocido en la suma es el ángulo trazado desde el polo o cero que es ε cerca. Podemos despejar este ángulo desconocido, que es también el ángulo de salida del polo complejo o de llegada al cero complejo.

( ) ( )1 1

(2 1)180ºm n

i ji j

k s z s p= =

+ = ∠ + − ∠ +∑ ∑

38

Ejemplo:

Polos y ceros en lazo abierto y cálculo de:

a) Angulo de salida;

b) Ángulo de llegada.

1 2 3 4 5 6 (2 1)180ºk−θ + θ + θ − θ − θ + θ = +

1 2 3 4 5 6 (2 1)180ºkθ = θ + θ − θ − θ + θ − +

( ) ( )1 1

(2 1)180ºm n

i ji j

k s z s p= =

+ = ∠ + − ∠ +∑ ∑

1 2 3 4 5 6 (2 1)180ºk−θ + θ + θ − θ − θ + θ = +

2 1 3 4 5 6 (2 1)180ºkθ = −θ − θ + θ + θ − θ + +

39

Graficación y calibración del lugar geométrico de las raíces

Ejemplo: Determinar el punto exacto en el que el lugar de las raíces cruza la línea de factor de amortiguamiento relativo de 0.45 y la ganancia de ese punto

Se seleccionan varios punto de prueba a lo largo de la línea ζ=0.45 y se evalúa su suma angular y se localiza el punto donde los ángulos suman un múltiplo impar de 180°. En ese punto existe el lugar de las raíces. 40

71.1==B

EDCAK

El punto en el radio 0.747 está sobre el lugar de las raíces, ya que los ángulos suman -180°.

El valor de K se calcula como:

11

41

4.1.4. Diseño de la respuesta transitoria por medio del ajuste de ganancia

42

Repaso (Sistema de Segundo Órden): Relación entre la posición de los polos con las especificadiones de Tp, Ts, y %OS

dn

PTωπ

ξωπ =

−=

21

dnST

σξω44 ==

ξωξωθ ==

n

ncos

43

Las líneas horizontales sobre el plano s son líneas de valor imaginario constante, también son líneas de tiempo de pico constante

Las líneas verticales sobre el plano s son líneas de valor real constante, también son líneas de tiempo de asentamientoconstante

Como ζ=cosθ, las líneas radiales son líneas de ζ constante, por lo tanto de sobrepaso en porcentaje constante

44

dn

PTωπ

ξωπ =

−=

21

dnST

σξω44 ==

ξωξωθ ==

n

ncos

Ts2<Ts1

Tp2 <Tp1

%OS1<%OS2

12

45 46

Respuesta de sistema con polos adicionales

47

Diseño de la respuesta transitoria por medio del ajuste de la ganancia

Si la línea de factor de amortiguamiento 0.45 corta al lugar de las raíces de un sistema con mas de dos polos, no significa que el sistema responderá con 20.5% de sobrepaso.

Se debe verificar que el efecto de polos y ceros adicionales permitan aproximar al sistema a uno de segundo orden:

1. Los polos de orden superior están mucho más alejados en el semiplano izquierdo del plano s que el par de polos dominantes de segundo orden.

2. Los ceros en lazo cerrado cerca del par de polos en lazo cerrado de segundo orden son casi cancelados por la proximidad de polos en lazo cerrado de orden superior

3. Los ceros en lazo cerrado no cancelados por la proximidad de polos en lazo cerrado de orden superior están alejados del par de polos en lazo cerrado de segundo orden

48

Haciendo aproximaciones de segundo orden

13

49

Procedimiento de diseño para sistemas de orden superior:

1. Trace el lugar de las raíces para el sistema dado

2. Suponga que el sistema es un sistema de segundo orden sin ningún cero y luego encuentre la ganancia, para satisfacer la especificación de respuesta transitoria

3. Justifique la suposición de segundo orden al hallar la ubicación de todos los polos de orden superior y evaluar que están mucho más lejos del eje jω que el par de polos dominantes de segundo orden. También verifique que los ceros en lazo cerrado sean cancelados por polos de orden superior. Si los ceros en lazo cerrado no soncancelados por los polos de orden superior, asegúrese que el cero está lejos del par de polos dominantes de segundo orden

4. Si las suposiciones no se justifican, se debe simular para estarseguro que se satisface la especificación de respuesta transitoria. 50

Ejemplo

Diseñar el valor de ganancia, K, para obtener 1.52% de sobrepaso. También estime el tiempo de asentamiento, tiempo de pico y error en estado estable

51

( )( )100%ln

100%ln22 OSOS

+−=

πξ

Para %OS=1.52 el valor de ζ=0.8

Relación entre el factor de amortiguamiento y el sobre pico porcentual

52

nsT

ξω4=

21 ξωπ

−=

n

pT

nξω parte real del polo en lazo cerrado

21 ξω −n parte imaginaria del polo en lazo cerrado

( ) ( )( )( )101

5.10

KssGK líms

v ==→

Tiempo de asentamiento:

Tiempo de pico:

Error en estado estable:

14

53

Respuestas segundo- y tercer-orden:a. Caso 2;b. Caso 3

Determinación validez suposiciones segundo orden

54

Lugar geométrico de las raíces generalizado

Se puede determinar como cambian los polos de lazo cerrado en función de otro parámetro que no sea la ganancia K.

Ejemplo: Obtener el lugar geométrico de las raíces para variaciones de p1

55

( ) ( ) ( )( )1210

psssHsKG

++=

( ) ( )( ) ( ) ( ) 1022

101 11

2 ++++=

+=

pspssHsKGsKGsT

( ) ( )210210

12 ++++

=spss

sT

( ) ( )102

21

10210

21

2

++++

++=

ssspsssT

( ) ( ) ( )102

22

1

+++=ss

spsHsKG

56

Lugar de las raíces para sistemas con realimentación positiva

( ) ( ) ( )sHsKGKsT

−=

1

Existe un polo s cuando:

( ) ( ) °∠== 36011 ksHsKG ,...3,2,1;0 ±±±=k

15

57

Reglas de trazado que se modifican

Lugar de las raíces para sistemas con realimentación positiva

Segmentos del eje real: Sobre el eje real, el lugar geométrico de las raíces para sistemas con realimentación positiva existe a la izquierda de un número par del eje real, polos finitos en lazo abierto y/o ceros finitos en lazo abierto

58

Comportamiento en el infinito: El lugar geométrico de las raíces se aproxima a líneas rectas como asíntotas cuando el lugar geométrico se aproxima al infinito. Además, la ecuación de las asíntotas para sistemas con realimentación positiva está dada por el punto de intersección del eje real, σa , y el ángulo, θa , como sigue:

finitoscerosfinitospolosfinitoscerosfinitospolos

a _#_#__

−−

= ∑ ∑σ

finitoscerosfinitospolosk

a _#_#2−

= πθ ,...3,2,1;0 ±±±=k

y el ángulo está en radianes con respecto a la porción positiva del eje real

59

Uso de Matlab

60

Uso de funciones

Funciones básicasrlocus(GH)[K,p] = rlocfind(GH)sgrid(z,wn)

Uso de la GUI para el Diseño mediante el Lugar Geométrico de las Raíces

rltool

16

61

% Chapter 8: Root Locus Techniques%% (ch8p1) Ejemplo 8.7: El MATLAB permite que se puedan graficar lugares % geométricos de las raíces con el comando rlocus(GH), donde % G(s)H(s)= numgh/dengh y GH es un objeto de función de transferencia LTI. Los %puntos sobre el lugar geométrico de las raíces se pueden seleccionar en forma % interactiva usando el comando [K,p] = rlocfind(GH). El MATLAB entonces % proporciona la ganancia (K) en el punto así como todos los polos (p), que tienen esa % ganancia. Es posible agrandar o achicar el lugar geométrico de las raíces al cambiar % el intervalo de de valores de ejes con el comando axis([xmin,xmax,ymin,ymax]). El % lugar geométrico de las raíces se puede dibujar sobre una retícula con curvas de % factor de amortiguamiento constante (z) y frecuencia natoral no amortituada% constante (wn) al usar el comando sgrid(z,wn). Para graficar curvas múltiples z y wn% se usan los comandos z = zmin:zstep:zmax yd wn = wnmin:wnstep:wnmax para % especificar el intervalo de los valores.

'(ch8p1) Example 8.7' % Desplegar etiquetaclf % Borrar gráfica de la pantalla.numgh=[1 -4 20]; % Define numerador de G(s)H(s).dengh=poly([-2 -4]); % Define denominador de G(s)H(s).'G(s)H(s)' % Desplegar etiqueta.

62

GH=tf(numgh,dengh) % Crear G(s)H(s) y desplegar.rlocus(GH) % Dibujar el lugar geométrico de las raíces.z=0.2:0.05:0.5; % Define valores de factor de amortiguamiento: 0.2 a

% 0.5 en incrementos de 0.05.wn=0:1:10; % Define valores de frecuencia natural no

% amortiguada: 0 a 10 en incrementos de 1.sgrid(z,wn) % Genera las líneas de retícula de factor

% de amortiguamiento relativo y la frecuencia% natural no amortiguada para el lugar% geométrico de las raíces.

title('Root Locus') % Definir título para el lugar geométrico de las raíces.pauserlocus(GH) % Dibujar el acercamiento del lugar geométrico

% de las raícesaxis([-3 1 -4 4]) % Definir el intervalo de los ejes

% para la vista del acercamientotitle('Close-up') % Definir título para el acercamiento del lugar

% geométrico de las raícesz=0.45; % Definir la línea de factor de amortiguamiento

% relativo para sobreponer en el acercamiento del% lugar geométrico de las raíces.

63

wn=0; % Suprimir la sobreposición de las curvas de % frecuencia natural no amortiguada.

sgrid(z,wn) % Sobreponer la curva de factor de % amortiguamiento relativo en el acercamiento% del lugar geométrioco de las raíces.

for k=1:3 % El ciclo permite que se seleccionen 3% puntos para el ejemplo 8.7% (z=0.45, cruce con jw, punto de silla).

[K,p]=rlocfind(GH) % Genera ganancia, K, y los polos en lazo% cerrado, p, para el punto seleccionado en% forma interactiva para el lugar geométrico% de las raíces.

end % Fin del ciclo.

64

‘(ch8p1) Example 8.7' % Display label.clf % Clear graph on screen.numgh=[1 -4 20]; % Define numerator of G(s)H(s).dengh=poly([-2 -4]); % Define denominator of G(s)H(s).'G(s)H(s)' % Display label.GH=tf(numgh,dengh) % Create G(s)H(s) and display.rlocus(GH) % Draw root locus.pause

>> ch8p1

ans =

(ch8p1) Example 8.7

ans =

G(s)H(s)

Transfer function:s^2 - 4 s + 20--------------s^2 + 6 s + 8

17

65

‘(ch8p1) Example 8.7' % Display label.clf % Clear graph on screen.numgh=[1 -4 20]; % Define numerator of G(s)H(s).dengh=poly([-2 -4]); % Define denominator of G(s)H(s).'G(s)H(s)' % Display label.GH=tf(numgh,dengh) % Create G(s)H(s) and display.rlocus(GH) % Draw root locus.pause

>> ch8p1

ans =

(ch8p1) Example 8.7

ans =

G(s)H(s)

Transfer function:s^2 - 4 s + 20--------------s^2 + 6 s + 8

66

z=0.2:0.05:0.5; % Define damping ratio values: 0.2 to% 0.5in steps of 0.05.

wn=0:1:10; % Define natural frequency values: 0 % to 10 in steps of 1.

sgrid(z,wn) % Generate damping ratio and natural % frequency grid lines for root% locus.

title('Root Locus') % Define title for root locus.pause

67

rlocus(GH) % Draw close-up root locus.axis([-3 1 -4 4]) % Define range on axes for root locus view.title('Close-up') % Define title for close-up root locus.z=0.45; % Define damping ratio line for

% overlay on close-up root locus.wn=0; % Suppress natural frequency overlay

% curves.sgrid(z,wn) % Overlay damping ratio curve on

% close-up root locus.68

for k=1:3 % Loop allows 3 points to be selected % as per Example 8.7% (z=0.45, jw crossing, breakaway).

[K,p]=rlocfind(GH) % Generate gain, K, and closed-loop % poles, p, % for point selected interactively on% the root locus.

end % End loop.

Select a point in the graphics window

18

69

for k=1:3 % Loop allows 3 points to be selected % as per Example 8.7% (z=0.45, jw crossing, breakaway).

[K,p]=rlocfind(GH) % Generate gain, K, and closed-loop % poles, p, % for point selected interactively on% the root locus.

end % End loop.

(k=1)

selected_point =

-1.8009 + 2.7453i

K =

0.3124

p =

-1.8098 + 2.7534i-1.8098 - 2.7534i

Select a point in the graphics window

70

for k=1:3 % Loop allows 3 points to be selected % as per Example 8.7% (z=0.45, jw crossing, breakaway).

[K,p]=rlocfind(GH) % Generate gain, K, and closed-loop % poles, p, % for point selected interactively on% the root locus.

end % End loop.

(k=2)

selected_point =

-1.8768 + 1.2547i

K =

0.1002

p =

-2.5445 + 1.6182i-2.5445 - 1.6182i

Select a point in the graphics window

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for k=1:3 % Loop allows 3 points to be selected % as per Example 8.7% (z=0.45, jw crossing, breakaway).

[K,p]=rlocfind(GH) % Generate gain, K, and closed-loop % poles, p, % for point selected interactively on% the root locus.

end % End loop.

(k=3)

selected_point =

-3.1943 + 2.3727i

K =

0.1487

p =

-2.3526 + 2.0047i-2.3526 - 2.0047i

>>

72

Cuando está abierta la ventana se pueden sacar los valores de la ganacia, los polos, el factor de amortiguamiento, el sobrepico y la frecuencia natural

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Uso de la GUI para el Diseño mediante el Lugar Geométrico de las Raíces

1. Acceso a la GUI para el Diseño mediante el Lugar Geométrico de las Raíces: puede ingresar a la ventana Roots Locus Design (fig D.7) al escribir rltoolrltool en la ventana de comandos de MATLAB o ejecutar en un archivo-M

2. Creación de funciones de transferencia LTI: cree una función de transferencia para la cual usted quiera analizar las características en lazo cerrado o diseñar compensadores. Se pueden crear las funciones de transferencia en un archivo-M o en la ventana de comandos de MATLAB. Ejecute el archivo-M o las declaraciones en la ventana de comandos de MATLAB para situar las funciones de transferencia en el espacio de trabajo. Todos los objetos LTI en el espacio de trabajo de MATLAB SE PUEDEN EXPORTAR A LA gui PARA EL Diseño mediante el Lugar Geométrico de las Raíces. Por ejemplo, se puede correr el archivo-M y generar el objeto LTI para

( ) ( )( )[ ]2221 2 +++= ssssG76

3. Creación de un modelo en lazo cerrado par la GUI para Diseño mediante el Lugar Geométrico de las Raíces: elija Import Model bajo el menú File en la ventana de Root Locus Design para desplegar la ventana que se muestra en la figura D.8. Presio

Presione el botón de Other para rotar a través de una selección de estructuras de realimentación y seleccionar la configuración deseada. Una vez seleccionada la estructura, seleccione un objeto LTI del contenido en el espacio de trabajo y expórtelo a uno de los bloques de su sistema. Haga esto presionando el lado derecho de la siguiente flecha al bloque seleccionado (P, H o F) localizado en la sección de la venta etiquetada como Design Model. Su función de transferencia seleccionada ahora aparece en el espacio. Repita esto para otros bloques si es necesario. También usted puede escribir funciones de transferencia LTI, como tf(num,den), directamente en el espacio. Haga clic en OK y cierre la ventana

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4. Interacción con el lugar geométrico de las raíces: después de cerrar la ventana Import LTI Design Model, la ventana Root Locus Designcontiene ahora el lugar geométrico de las raíces para el sistema que se muestra en la figura D.9. Después se explicará como añadir líneas de factor de amortiguamiento relativo y tiempo de asentamiento constante que se muestran en la figura D.9. Por ahora, seleccione un tipo de gráfica en la parte inferior de la ventana al abrir la ventana de LTI Viewer RootLocus Design. El Visor LTI muestra la respuesta seleccionada para la posición actrual de los polos en lazo cerrado sobre el lugar geométrico de las raíces (que se muestran en cuadros pequeños en la figura D.9). Seleccione la flecha en el extremo izquierdo en la barra de menú de la ventana Root Locus Design para arrastrar los polos y los ceros. Posicione el apuntador arriba del polo en lazo cerrado deseado. El apuntador cambia a una mano. Presione el botón del ratón y arrastre los polos en lazo cerrado a lo largo del lugar geométrico de las raíces. A medida que se arrastrar los polos en lazo cerrado, usted puede leer en la Status Bar las coordenadas del polo que se esá arrastrando, su factor de amortiguamiento relativo y su frecuencia natural no amortiguada. La ganancia se puede leer en la caja Gain como se muestra en la figura D.9.

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Observe que la respuesta del visor LTI también cambia como reflejo del cambio de ubicación de los polos en lazo cerrado. Una lista de polos y ceros en lazo cerrado se puede obtener bajoel menú Tools en la figura D.9. Otra alternativa de análisis es escribir la ganancia en la caja Gain. Los polos en lazo cerrado se reubican para este valor de ganancia. Si se desea, se puede hacer un acercamiento y alejamiento de la gráfica del lugar geométrico de las raíces usando los botones de zoom. Estos botones están localizados en la parte inferior de la barra de menú como se muestra en la figura D.9. Deje que el apuntador del ratón descanse sbre cada uno de los botones para que aparezca una pequeña ventana que dice lo que hace el botón. Seleccione el boton de zoom deseado y entonces arrástrelo sobre el intervalo de la gráfica del lugar geométrico de las raíces que usted quier desplegar. Para alejamiento seleccione el botón con los binoculares.

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5. Adición de retículas y fronteras: se puede sobreponer y eliminar líneas de factor de amortiguamiento relativo y frecuencia natural no amortiguada haciendo clic en la ventana de verificación Grid. Se pueden adicionar líneas de frontera de factor de amortiguamiento relativo constante, tgiempo de asentamiento constante y frecuencia natural no amortiguada mediante la selección de AddGrid/Boundarybajo el menú Tools. La ventana de resultados Gain an ConstraintsOptions se miestra en la figura D.10. Escriba las restricciones deseadas, dé un clic en OK y regrese a la ventana Root Locus Design. Ahora usted verá sus fronteras como se muestra en la figura D.9 mediante la línea radial (ζ=0.3) y una línea vertical (Ts=8 segundos). Usted puede ahora arrastrar un polo en lazo cerrado a la intersección del lugar geométrico de las raíces y las dos línea y leer la ganancia requerida en la caja del Gain. Usted puede también posicionar el apuntador sobre un polo de orden superior y leer su ubicación. Cuando el apuntador cambie a una mano, dé un clic y se lee la ubicación del polo en la Status Bar.

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6. Adición de polos y ceros y diseño de un compensador: usted puede adicionar polos y ceros al plano s como se hace al diseñar un compensador. Para adicionar un polo o un cero, haga clic en la flecha apropiada sobre la barra de menú como se muestra en la figura D.7. Después posicione el apuntador, el cual ahora contiene un polo o un cero en su punta, sobre el plano s donde usted quiera ubicarlo. Dé un clic con el ratón y el polo o cero se adiciona. Hay un cambio inmediato en el lugar geométrico de las raíces y en la respuesta en la ventana del Visor LTI para el Root Locus Design. Los polos y ceros del compensador se despliegan en rojo, a diferencia de los polos y ceros de la planta que se despliegan en azul. Usted puede ahora agarrar los polos y ceros del compensador, mover su posición y ver de inmediato los cambios en el lugar geométrico de las raíces en el Visor LTI para el Root Locus Design. Usted también puede diseñar el compensador al mover los polos y ceros hasta que el lugar geométrico de las raíces y las fronteras de las características de diseño se intersecten. Por último, puede borrar los polos y ceros del compensador mediante un clic en el borrador localizado en la barra de herramientas de la ventana del RootLocus Design, posicionando el apuntador, el cual está ahora en el borrador, sobre un polo o un cero del compensador que usted quiera borrar y dé un clic.

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% Nise, N.S. % Control Systems Engineering, 3rd ed. % John Wiley & Sons, New York, NY, 10158-0012%% Control Systems Engineering Toolbox Version 3.0 Copyright © 2000 by% John Wiley & Sons, Inc.%'(apDrl) Example for Section D.6'

%Display label.'Root Locus Design GUI' %Display label.clear workspace %Clear all variables.G=tf(1,conv([1 2],[1 2 2])) %Create transferfunction

%1/[(s+2)(s^2+2s+2]).rltool %Call Root Locus DesignGUI.

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File->Import

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G

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OK

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VIEW

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SYSTEM DATA

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SHOW TRANSFER FUNCTION

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EDIT->ROOT LOCUS->ZOOM->X-Y

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EDIT->ROOT LOCUS->ZOOM->X-Y

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VIEW->CLOSED-LOOP POLES

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ANALYS->RESPONE TO STEP COMMAND

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BOTÓN DERECHO DEL MAUSE->GRID

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PINCHAR LOS POLOS Y MOVERLOS

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TOOL->DRAW SIMULINK DIAGRAM

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ROOT LOCUS->ADD POLE ZERO->REAL POLE(CLICK BOTÓN DERECHO)

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VIEW->CLOSED-LOOP POLES

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ANALYS->RESPONE TO STEP COMMAND

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VIEW->SYSTEM DATA

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Preguntas de repaso

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1. ¿Que es un lugar geométrico de las raíces?2. Describa dos formas de obtener el lugar geométrico de las raíces.3. Si KG(s)H(s)=5∠180º, ¿para qué el valor de ganancia es s un punto

sobre el lugar geométrico de las raíces?4. ¿Cambian los ceros de un sistema con un cambio en la ganancia?5. ¿Donde están los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado?6. ¿Cuáles son las dos formas de hallar en donde es que el lugar

geométrico de las raíces cruzan el eje imaginario?7. ¿Cómo se sabe, del lugar geométrico de las raíces, si un sistema es

inestable?8. ¿Cómo se sabe, del lugar geométrico de las raíces, si el tiempo de

asentamiento no cambia sobre una región de ganancia?9. ¿Como se sabe, del lugar geométrico de las raíces que la frecuencia

natural no cambia sobre una región de ganancia?10. ¿Como se determina si la gráfica de un lugar geométrico de las raíces

cruza o no cruza el eje real?11. Describa las condiciones que deben existir para todos los polos y ceros

en lazo cerrado para hacer una aproximación de segundo orden.12. ¿Que reglas para graficar el lugar geométrico de las raíces son iguales

si el sistema es con realimentación negativa o positiva?13. Brevemente describa la forma en que los ceros del sistema en lazo

abierto afectan al lugar geométrico de las raíces y a la respuesta transitoria.

108

FIN