4. Zapatas Aisladas Con Trabes de Liga
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Página 1 de 11 4 ZAPATAS AISLADAS CON TRABES DE LIGA 4.1 Introducción En este capítulo se efectúa la interacción suelo estructura de una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga, considerando la rigidez de la estructura de cimentación. 4.2 Interacción suelo estructura de cimentación 4.2.1 Ecuación matricial de flexibilidade s La figura 4.1 muestra una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga. Por conveniencia, se denotará a las zapatas de los extremos con las letras a y b; y a las zapatas intermedias con los números 1, 2, 3,…, n (Fig. 4.1 a). Fig. 4.1 Cimentación a base de zapatas aisl adas con tr abes de liga ; a) cimen tación real, b) condición R = 0 y c) condición Ri = 1. (c ) (b ) (a ) =1 R' i bi R ai R 1i ni ii 2i Ra0 Rb0 L i i n i 2 1 b a 1 n i 2 2 P i P n P b P Pa 1 P Pb Pn Pi P2 P1 a R R R R R Wa b n i 2 1 a P d d d d y x
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4 ZAPATAS AISLADAS CON TRABES DE LIGA
4.1 Introducción
En este capítulo se efectúa la interacción suelo estructura de una cimentación a base de
zapatas aisladas con trabes de liga, considerando la rigidez de la estructura de cimentación.
4.2 Interacción suelo estructura de cimentación
4.2.1 Ecuación matricial de flexibilidades
La figura 4.1 muestra una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga. Por
conveniencia, se denotará a las zapatas de los extremos con las letras a y b; y a las zapatas
intermedias con los números 1, 2, 3,…, n (Fig. 4.1 a).
Fig. 4.1 Cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga; a) cimentación real,
b) condición R = 0 y c) condición Ri = 1.
(c)
(b)
(a)
=1R' i biRaiR
1i ni
ii2i
Ra0 Rb0
L
ii
n
i21
ba 1 ni2
2P iP nP bPPa 1P
PbPnPiP2P1a
R R R R R
Wa
bni21a
P
ddd
d
y x
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La estructura de cimentación es hiperestática, por lo que para resolverla se utilizará el método de las
fuerzas, también llamado de flexibilidades o método de las deflexiones compatibles.
Para la utilización del método de las fuerzas, se suprimirán las zapatas intermedias, con lo que se
obtiene una estructura estáticamente determinada a la que se llama estructura primaria.
A la estructura primaria se aplican las cargas que actúan sobre la estructura de cimentación real, y se
calculan los desplazamientos ∆i, en cada uno de los puntos en donde se retiraron las zapatasintermedias (fig. 4.1 b).
Después a la estructura primaria se le aplica una fuerza unitaria R 1=1 en el punto 1 y se calculan las
deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,..., n, a esta condición se le llamaR 1=1. En seguida se aplica a la estructura primaria una carga unitaria R 2=1 en el punto 2 y se
calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,…, n, y se le llama
condición R 2=1. Se continua con este procedimiento hasta aplicar una carga unitaria R n=1 en el punto n.
Por compatibilidad de deformaciones para la condición R = 0 y las condiciones R 1=1, R 2=1,… yR n=1, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
F
nnnnnnn
F
nn
F
nn
Rd Rd Rd
Rd Rd Rd
Rd Rd Rd
δ
δ
δ
−∆=+++
−∆=+++
−∆=+++
...
...
...
2211
222222121
111212111
(4 .1)
donde:
.
.ReR
.0
1.
F
i
i
i
b ya zapataslasarespectoconi zapataladerelativoento Desplazami
i zapatalaenacción
Rcondiciónla parai puntoelenento Desplazami
Rcondiciónla para j puntoelenento Desplazamid i ji
=
=
==∆
==
δ
ba
n
F
A
n
n
i
F
A
i
i
2
F
A
2
2
1
1
A
F
1
Fig. 4.2 Descomposición del desplazamiento vertical de una cimentación
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El desplazamiento vertical de la cimentación puede descomponerse, (fig. 4.2) como:
F
i
A
ii δ δ δ += (4.2)
donde:
.
.
,
.
ncimentaciódeestructuraladedeflexión por i puntodelento Desplazami
rígidancimentacio
deestructuradoconsideranb ya zapataslasdetoasentamien por i puntodelento Desplazami
i zapataladeverticalento Desplazami
F
i
A
i
i
=
=
=
δ
δ
δ
Introduciendo la ecuación 4.2 en las ecuaciones 4.1 se tiene:
n
A
nnnnnnn
A
nn
A
nn
Rd Rd Rd
Rd Rd Rd
Rd Rd Rd
δ δ
δ δ
δ δ
−+∆=+++
−+∆=+++
−+∆=+++
...
...
...
2211
2222222121
1111212111
(4 .3)
El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse en forma matricial, como se muestra acontinuación:
n
A
n
A
A
nnnnnn
n
n
R
R
R
d d d
d d d
d d d
δ
δ
δ
δ
δ
δ
2
1
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
−+
∆
∆
∆
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
(4.4)
La ecuación matricial 4.4 relaciona las reacciones R 1, R 2,…, R n con los desplazamientos δ1, δ2,…, δn
de la estructura de cimentación, considerando la rigidez de la cimentación.
A la ecuación 4.4 se le llama Ecuación Matricial de Flexibilidades (EMFLE) y se escribe en forma
abreviada de la siguiente forma:
[ ]i
A
iii ji Rd δ δ −+∆= (4.5)
donde:
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.
.doconsideran
,
.0
.
.
verticalesentosdesplazamideVector
rígidancimentaciodeestructura
b yaapoyoslosdetoasentamien por entodesplazamiVector
Rcondiciónla parantodeplazamiedeVector
ncimentaciósuelocontactodereaccionesdeVector R
ades flexibilid de Matrizd
i
A
i
i
i
ji
=
=
==∆
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
δ
δ
4.2.2 Ecuación matricial de asentamientos
A partir de la ecuación 2.9 se obtiene la ecuación matricial de asentamientos (EMA), para la
cimentación a base de zapatas aisladas unidas con trabe de liga, como se ilustra en la figura 4.1 a); a
continuación se muestra la EMA:
b
n
a
b
n
a
bbbnbbba
nbnnnnna
bna
bna
abanaaaa
R
R
R
R
R
δ
δ
δ
δ
δ
δ δ δ δ δ
δ δ δ δ δ
δ δ δ δ δ
δ δ δ δ δ
δ δ δ δ δ
2
1
2
1
21
21
2222212
1112111
21
...
...
...
...
...
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
(4.6)
4.2.3 Ecuación matricial de interacción suelo estructura
Nótese que con las ecuaciones matriciales EMA y EMFLE se tienen 2n + 2 ecuaciones con 2n + 4incógnitas, por lo que las 2 ecuaciones restantes se obtienen con la sumatoria de momentos igual a
cero en las zapatas a y b, con lo que el sistema de ecuaciones puede resolverse y obtenerse R a, R 1,
R 2,…, R n, R b y δa, δ1, δ2,…, δn, δ b. A continuación se presenta un algoritmo para la solución de estos
sistemas de ecuaciones.
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La ecuación EMA tiene n + 2 ecuaciones; mientras que la EMFLE posee n ecuaciones, por lo que para poder trabajar con estas ecuaciones simultáneamente, se debe reducir la ecuación EMA a un
sistema de n ecuaciones:
Del primer y último renglón de EMA se obtiene:
babnanaaaaaa R R R R R δ δ δ δ δ δ +++++= ...2211 (4 .7)
bbbnbnbbabab R R R R R δ δ δ δ δ δ +++++= ...2211 (4 .8)
De los renglones 1 a n de EMA se tiene:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
bnbana
bbaa
bbaa
nnnnnn
n
n
R R
R R
R R
R
R
R
δ δ
δ δ
δ δ
δ
δ
δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
22
11
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
(4.9)
Despejando | δ i| de la ecuación anterior:
b
a
nbna
ba
ba
nnnnn
n
n
n
R
R
R
R
R
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ
δ
δ
22
11
2
1
21
22221
11211
2
1
...
...
...
(4.10)
Despejando el vector | δ i| de la ecuación (4.4):
nnnnn
n
n
A
n
A
A
nn R
R
R
d d d
d d d
d d d
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
2
1
...
...
...
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
∆
∆∆
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
(4.11)
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Igualando las ecuaciones 4.10 y 4.11 tenemos:
nnnnn
n
n
A
n
A
A
n
b
a
nbna
ba
ba
nnnnn
n
n
R
R
R
d d d
d d d
d d d
R
R
R
R
R
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
22
11
2
1
21
22221
11211
...
...
...
...
...
...
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
∆
∆
∆
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ
δ
δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
(4.12)
A
n
A
A
n
b
a
nbna
ba
ba
nnnnn
n
n
nnnn
n
n
R
R
R
R
R
d d d
d d d
d d d
δ
δ
δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
2
1
2
1
22
11
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
...
...
...
...
...
...
+
∆
∆
∆
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
(4.13)
A continuación se desarrollara cada uno de los siguientes términos:
b
a
nbna
ba
ba
R
R
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ δ
δ δ
δ δ
22
11
y
A
n
A
A
δ
δ
δ
2
1
Termino:
b
a
nbna
ba
ba
R
R
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ δ
δ δ
δ δ
22
11
(4.14)
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bni21a
RRRRR
R b0R a0
ba 1 ni2R
Fig. 4.3 Sistema equivalente para la obtención de las reacciones R a y R b.
De la figura 4.3 se obtiene:
)...( 22110 nnaa R R R R R ψ ψ ψ +++−= (4.15)
)...( 22110 nnbb R R R R R ξ ξ ξ +++−= (4.16)
donde:
L
i
i
x=ψ (4.17)
L
i
i
y=ξ (4.18)
Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.14 tenemos:
n
n
n
nbna
ba
ba
b
a
nbna
ba
ba
b
a
nbna
ba
ba
R
R
R
R
R
R
R2
1
21
21
22
11
0
0
22
11
22
11
...
...
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ξ ξ ξ
ψ ψ ψ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
(4.19)
Termino:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
A
n
A
A
δ
δ
δ
2
1
(4.20)
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Sustituyendo la ecuación 4.2 en la ecuación 4.20 obtenemos:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
bnan
ba
ba
A
n
A
A
δ ξ δ ψ
δ ξ δ ψ
δ ξ δ ψ
δ
δ
δ
22
11
2
1
(4.21)
b
a
nn
A
n
A
A
δ
δ
ξ ψ
ξ ψ
ξ ψ
δ
δ
δ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
22
11
2
1
(4.22)
Sustituyendo las ecuaciones 4.7 y 4.8 en la ecuación 4.22:
b
n
a
bbbnbbba
abanaaaa
nn
A
n
A
A
R
R
R
R
R
2
1
21
21
22
11
2
1
...
...
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=δ δ δ δ δ
δ δ δ δ δ
ξ ψ
ξ ψ
ξ ψ
δ
δ
δ
(4.23)
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⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
bnbb
anaa
b
a
bbba
abaa
nn
A
n
A
A
R
R
R
R
R2
1
21
21
22
11
2
1
...
...
δ δ δ
δ δ δ
δ δ
δ δ
ξ ψ
ξ ψ
ξ ψ
δ
δ
δ
(4.24)
Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.24 resulta:
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
n
n
bbba
abaa
b
a
bbba
abaa
nn
A
n
A
A
R
R
R
R
R2
1
21
21
0
0
22
11
2
1
...
...
ξ ξ ξ
ψ ψ ψ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
ξ ψ
ξ ψ
ξ ψ
δ
δ
δ
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
n
bnbb
anaa
R
R
R
2
1
21
21
...
...
δ δ δ
δ δ δ (4.25)
Sustituyendo las ecuaciones 4.19 y 4.25 en la ecuación 4.13 y reordenando términos resulta lo
siguiente:
nnnnnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
b
b
b
R
R
R
aaa
aaa
aaa
d d d
d d d
d d d
∆
∆
∆
+=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
...
...
...
...
...
...
......
......
......
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
(4.26)
donde:
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−
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
bnbb
anaa
nn
n
n
bbba
abaa
nnnnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
δ δ δ
δ δ δ
ξ ψ
ξ ψ
ξ ψ
ξ ξ ξ
ψ ψ ψ
δ δ
δ δ
ξ ψ
ξ ψ
ξ ψ
...
...
...
...
...
...
...
21
21
22
11
21
21
22
11
21
22221
11211
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
n
n
nbna
ba
ba
ξ ξ ξ
ψ ψ ψ
δ δ
δ δ
δ δ
...
...
21
21
22
11
(4.27)
0
0
22
11
22
11
2
1
b
a
nbna
ba
ba
bbba
abaa
nnn
R
R
b
b
b
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
ξ ψ
ξ ψ
ξ ψ
(4.28)
A la ecuación 4.26 se le llama “Ecuación Matricial de Interacción Suelo Estructura” (EMISE), y
puede simplificarse de la siguiente forma:
[ ] [ ] [ ] iii ji ji ji b Rad ∆+=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡++
δ (4.29)
La ecuación anterior puede escribirse de la siguiente manera:
ii ji V R M =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡(4.30)
5/17/2018 4. Zapatas Aisladas Con Trabes de Liga - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/4-zapatas-aisladas-con-trabes-de-liga-55b082c2c3d1b 11/11
Página 11 de 11
donde:
[ ] [ ] [ ] ji ji ji ji ad M ++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡δ (4.31)
iii bV ∆+= (4.32)
Entonces:
[ ]i jii V M R
1−= (4.33)
donde:
[ ] [ ] ji ji M deinversa Matriz M
1=
−
Con la ecuación matricial 4.33 se obtienen las reacciones R 1, R 2, …, R n. Por sumatoria de momentos
en las zapatas b y a se obtienen R a y R b, respectivamente; y de la ecuación matricial deasentamientos EMA se obtienen los desplazamientos δa, δ1, δ2, …, δn y δ b.
