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Universidad de Jan

AmpliAcin de mAtemticAs

MxiMo JiMnez Lpez

coleccin apuntes

Ampliacin de matemticas/ MxiMo JiMnez Lpez

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Indice(Apuntes de la asignatura)Introduccin.........................................................................................................................11

Estudio.de.la.asignatura.. .....................................................................................................12 .

Tema.1..Ecuaciones.en.diferencias........................................................................................14 1. Ecuacin en diferencias lineal con coeficientes constantes ...................................................16 1.1. Propiedades de la ecuacin en diferencias lineal de coeficientes constantes .............17 1.1.1.Unicidad de la solucin ........................................................................................ 17 1.1.2.El espacio vectorial de las soluciones de la ecuacin en diferencias lineal Homognea ..........................................................................................................18 2. Solucin de la ecuacin en diferencias lineal homognea de coeficientes constantes..........19 3. Solucin de la ecuacin en diferencias lineal completa de coeficientes constantes ..............21 4. Sistema lineal de ecuaciones en diferencias homogneo de orden 1 con coeficientes Constantes ........................................................................................................................... 21 5. Sistema lineal de ecuaciones en diferencias no homogneo de orden 1 con coeficientes Constantes ........................................................................................................................... 23 6. Bibliografa citada en el tema ................................................................................................. 24

Tema.2..Funciones.en.varias.variables..................................................................................25 1. Algunos tipos de funciones de varias variables segn el espacio inicial y final .....................26 1.1. Curvas parametrizadas ................................................................................................. 26 1.2. Funciones escalares ..................................................................................................... 27 1.3. Campos vectoriales ...................................................................................................... 28 2. Componentes de una funcin de varias variables ..................................................................29 3. Lmite de una funcin de varias variables ..............................................................................29 3.1. Clculo efectivo del lmite ............................................................................................ 31 3.2. Probar que no existe lmite ..........................................................................................32 4. Continuidad de una funcin de varias variables.....................................................................34 5. Ejercicios propuestos.............................................................................................................. 35 6. Bibliografa citada en el tema ................................................................................................. 35


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Tema.3..Diferenciacin.en.varias.variables............................................................................36 1. Derivadas parciales. ............................................................................................................... 37 1.1. Derivadas parciales de rdenes superiores..................................................................38 1.2. Matriz jacobiana........................................................................................................... 40 2. Funcin diferenciable ............................................................................................................. 40 2.1. Funcin diferenciable en una variable. Diferencial de una funcin .............................40 2.2. Funcin diferenciable en varias variables ....................................................................42 2.3. Diferencial de una funcin de varias variables .............................................................44 2.4. Diferencial de una funcin escalar ...............................................................................45 2.5. Algunas propiedades de la diferencial .........................................................................46 3. Regla de la cadena en funciones de varias variables ..............................................................46 3.1. Matriz jacobiana de la composicin de funciones en varias variables .........................47 3.2. Casos particulares de la regla de la cadena para funciones escalares .........................48 4. Diferenciales de orden superior de una funcin escalar ........................................................50 5. Diferencial de una funcin de varias variables con variables intermedias .............................52 5.1. Invariancia de la diferencial primera. ..........................................................................52 5.2. Diferencial segunda con cambio de variables ..............................................................53 6. Integrales dependientes de un parmetro .............................................................................54 7. Ejercicios propuestos.............................................................................................................. 57 8. Bibliografa citada en el tema ................................................................................................. 58

Tema.4..Extremos.en.funciones.de.varias.variables...............................................................59 1. Signo de una forma cuadrtica ............................................................................................... 60 1.1. Clculo prctico del signo de una forma cuadrtica.....................................................63 2. Trminos usados en el estudio de extremos ..........................................................................66 3. Polinomio de Taylor de una funcin de dos variables ............................................................68 4. Condicin necesaria de extremo local ...................................................................................71 5. Condicin suficiente de extremo local ...................................................................................72 6. Extremos locales condicionados ............................................................................................ 73 6.1. Mtodo de sustitucin ................................................................................................. 73 6.2. Mtodo de los multiplicadores de Lagrange ................................................................75 7. Mximos y mnimos absolutos ............................................................................................... 77 8. Ejercicios propuestos.............................................................................................................. 77 9. Bibliografa citada en el tema ................................................................................................. 78


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Tema.5..Integracin.en.varias.variables. ...............................................................................79 . 1. Concepto de integral doble .................................................................................................... 81 2. Condiciones suficientes de integrabilidad ..............................................................................83 3. Propiedades de la integral doble ............................................................................................ 84 4. Clculo efectivo de la integral doble ......................................................................................86 4.1. Teorema de Fubini........................................................................................................ 86 4.2. Integracin vertical....................................................................................................... 87 4.3. Integracin horizontal .................................................................................................. 88 5. Cambio de variable en la integral doble .................................................................................89 6. Cambio de variable a coordenadas polares ...........................................................................90 7. Integral triple .......................................................................................................................... 93 8. Propiedades de la integral triple ............................................................................................ 94 9. Clculo efectivo de la integral triple .......................................................................................96 10. Cambio de variable en la integral triple ............................................................................... 97 10.1. Cambio de variable a coordenadas cilndricas ............................................................ 98 10.2. Cambio de variable a coordenadas esfricas .............................................................. 98 11. Ejercicios propuestos ........................................................................................................... 99 12. Bibliografa citada en el tema ............................................................................................ 100 . Tema.6..Integral.de.lnea. ...................................................................................................101 1. Algunas nociones sobre curvas parametrizadas...................................................................102 2. Integral de lnea de una funcin real....................................................................................103 2.1. Propiedades de la integral de lnea de funciones escalares .......................................105 3. Integral de lnea de un campo vectorial ...............................................................................106 3.1. Otra forma de escribir la integral de lnea de un campo vectorial .............................109 3.2. Propiedades de la integral de lnea de campos vectoriales .......................................109 4. Teorema de Green ................................................................................................................ 110 5. Teorema Fundamental de la integral de lnea en 5.1. Campos vectoriales conservativos en 5.2. Regla de Barrow para la integral de lnea en 6. Teorema Fundamental de la integral de lnea en 6.2. Regla de Barrow para la integral de lnea en 2 ...........................................................111 2 .......................................................114 3 ...........................................................115 3 .......................................................117 2 ..................................................................112

6.1. Rotacional de un campo vectorial. .............................................................................116

7. Ejercicios propuestos............................................................................................................ 118 8. Bibliografa citada en el tema ............................................................................................... 119


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Tema.7..Integral.de.superficie.............................................................................................120 1. Algunas nociones sobre superficies parametrizadas............................................................120 2. Integral de superficie de una funcin escalar.......................................................................125 3. Propiedades de la integral de superficie de funciones escalares. ........................................127 4. Integral de superficie de un campo vectorial .......................................................................127 5. Propiedades de la integral de superficie de campos vectoriales..........................................130 6. Teorema de la divergencia.................................................................................................... 130 6.1. Divergencia de un campo vectorial ............................................................................131 7. Teorema de Stokes ............................................................................................................... 132 8. Ejercicios propuestos............................................................................................................ 134 9. Bibliografa ........................................................................................................................... 135 Tema.8..Introduccin.a.la.variable.compleja.......................................................................136 1. Nmeros complejos ............................................................................................................. 136 1.1. Representacin geomtrica de los nmeros complejos ............................................138 1.2. Conjugado de un nmero complejo ...........................................................................138 1.3. Mdulo de un nmero complejo ...............................................................................139 1.4. Argumento de un nmero complejo ..........................................................................140 2. La exponencial compleja ...................................................................................................... 142 3. Continuidad de una funcin compleja .................................................................................143 4. Diferenciabilidad de una funcin compleja ..........................................................................145 5. Ecuaciones de Cauchy-Riemann ...........................................................................................147 5.1. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma exponencial .............................................150 6. Derivada e integral de una funcin compleja de variable real .............................................151 7. Integral a lo largo de una curva de una funcin compleja ...................................................154 7.1. Propiedades de la integral de lnea compleja ............................................................155 8. Extensin del teorema fundamental del clculo ..................................................................156 9. Algunos teoremas importantes ............................................................................................158 10. Ejercicios propuestos ......................................................................................................... 160 11. Bibliografa citada .............................................................................................................. 161 Tema.9..Aproximacin.a.las.ecuaciones.en.derivadas.parciales...........................................163 1. Ecuaciones en derivadas parciales. Conceptos bsicos ........................................................163 2. Solucin general de una ecuacin en derivadas parciales ...................................................164 3. Condiciones de contorno y condiciones iniciales .................................................................166


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4. Ecuacin de Euler ................................................................................................................. 168 5. Ecuacin de ondas unidimensional ......................................................................................170 5.1. Solucin de DAlembert para la ecuacin de ondas unidimensional..........................171 6. Bibliografa citada. ................................................................................................................ 175


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Indice(Manual de prcticas)Prctica.1..Ecuaciones.en.diferencias................................................................................. 177 1. Conocimientos previos. ....................................................................................................... 177 1.1. Borrado de variables previamente definidas. ........................................................... 177 1.2. Cmo hacer referencia a un resultado anterior. ....................................................... 178 1.3. Resolucin de ecuaciones y sistemas. ....................................................................... 178 1.4. Cmo definir una funcin. ........................................................................................ 179 1.5. Sucesiones con el Mathematica. ............................................................................... 179 1.6. Desarrollo de los factores de un producto. ............................................................... 180 2. Ecuaciones en diferencias. .................................................................................................. 180 3. Solucin particular de una ecuacin en diferencias. ........................................................... 181 4. Ecuacin en diferencias lineal homognea con coeficientes constantes. ........................... 182 5. Ecuacin en diferencias lineal completa con coeficientes constantes. ............................... 184 6. Apndice. Solucin particular de la ecuacin en diferencias lineal completa de coeficientes constantes. Mtodo de variacin de constantes. ........................................... 184 7. Bibliografa. ......................................................................................................................... 187

Prctica.2..Sistema.de.ecuaciones.en.diferencias............................................................... 188 1. Conocimientos previos. ....................................................................................................... 188 1.1. Cmo generar una matriz. ........................................................................................ 188 1.2. Elevar una matriz a una potencia. ............................................................................. 189 1.3. Potencia ensima de una matriz. .............................................................................. 189 2. Sistema lineal de ecuaciones en diferencias homogneo de orden 1 con coeficientes constantes. .......................................................................................................................... 190 3. Sistema lineal de ecuaciones en diferencias no homogneo de orden 1 con coeficientes constantes....................................................................................................... 190 4. Resolucin de un sistema de ecuaciones en diferencias con el Mathematica. ................... 191 5. Apndice. Solucin particular del sistema lineal en diferencias con coeficientes constantes no homogneo de orden 1. .............................................................................. 192 6. Bibliografa. ......................................................................................................................... 193


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Prctica.3..Representacin.de.funciones.de.varias.variables.............................................. 194 1. Conocimientos previos. ....................................................................................................... 194 1.1. Dibujo de una funcin real de variable real. ............................................................. 194 1.2. Presentacin de varios grficos en un mismo dibujo. ............................................... 195 1.3. Dibujo de un punto con el Mathematica. ................................................................. 195 1.4. Colocar un texto en un lugar del plano o del espacio. .............................................. 196 2. Funciones escalares de . 2 --> 3. Campos vectoriales en 4. Campos vectoriales en ....................................................................................... 197

2. ................................................................................................. 198 3. ................................................................................................. 199

5. Representacin de un campo de vectores discreto............................................................. 200 6. Curvas parametrizadas en 7. Curvas parametrizadas en 2. ............................................................................................ 202 3. ............................................................................................ 203

8. Bibliografa. ......................................................................................................................... 204

Prctica.4..Estudio.general.de.las.curvas.parametrizadas................................................... 205 1. Conocimientos previos. ....................................................................................................... 205 1.1. Mdulo de un vector. ................................................................................................ 205 1.2. La orden FinRoot. ...................................................................................................... 205 2. Longitud de una curva parametrizada................................................................................. 206 3. Distintas parametrizaciones de una trayectoria. ................................................................. 207 4. Sentido de recorrido de una curva parametrizada. ............................................................. 208 5. Obtencin de una curva con sentido contrario a otra dada. ............................................... 209 6. Puntos dobles de una curva parametrizada. ....................................................................... 211 7. Bibliografa. ......................................................................................................................... 213

Prctica.5..Curvas.parametrizadas.por.el.parmetro.arco..Frmulas.de.Frenet................... 214 1. Conocimientos previos. ....................................................................................................... 214 1.1. Producto escalar. ....................................................................................................... 214 1.2. Producto vectorial. .................................................................................................... 215 1.3. Producto mixto.......................................................................................................... 215 2. Curva parametrizada por el parmetro arco. ...................................................................... 215 3. Vector tangente. .................................................................................................................. 217 4. Curvatura............................................................................................................................. 218


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5. Vector normal principal. ...................................................................................................... 219 6. Vector binormal................................................................................................................... 220 7. Plano osculador. .................................................................................................................. 221 8. Torsin. ................................................................................................................................ 221 9. Formulas de Frenet. ............................................................................................................ 222 10. Bibliografa. ....................................................................................................................... 223 Prctica.6..Triedro.de.Frenet.de.una.curva.no.parametrizada.por.el.arco........................... 224 1. Vector tangente, normal y binormal de una curva no parametrizada por el arco. ............. 224 1.1. Representacin grfica del triedro de Frenet............................................................ 226 2. Curvatura y torsin de una curva no parametrizada por el parmetro arco. ...................... 227 3. Bibliografa. ......................................................................................................................... 228 Prctica.7..Introduccin.al.estudio.de.superficies.parametrizadas...................................... 229 1. Conocimientos previos. ....................................................................................................... 229 1.1. ngulo de dos vectores. ............................................................................................ 229 1.2. Derivadas parciales con el Mathematica................................................................... 229 2. Superficies parametrizadas. ................................................................................................ 230 3. Vector normal en un punto de la superficie. ....................................................................... 231 4. Parametrizacin de una cara de la superficie. ..................................................................... 233 5. Dada una superficie parametrizada obtener la parametrizacin de la otra cara. ............... 235 6. rea de una superficie parametrizada. ............................................................................... 238 7. Bibliografa. ......................................................................................................................... 239 Prctica.8..Extremos.locales.de.funciones.de.varias.variables............................................ 240 1. Conocimientos previos. ....................................................................................................... 240 1.1. Regla de sustitucin. ................................................................................................... 240 1.2. Generar nmeros aleatorios. ...................................................................................... 241 1.3. Vector gradiente. ......................................................................................................... 241 1.4. Matriz hessiana. .......................................................................................................... 242 1.5. Extremos locales con el Mathematica. ........................................................................ 242 2. Signo de una forma cuadrtica. ........................................................................................... 243 3. Puntos crticos. .................................................................................................................... 245 4. Condicin suficiente de extremo local. ............................................................................... 245 5. Bibliografa. ......................................................................................................................... 246


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Prctica.9..Extremos.condicionados.y.absolutos.en.funciones.de.varias.variables.............. 247 1. Conocimientos previos. ....................................................................................................... 247 1.1. Polinomio de interpolacin. ........................................................................................ 247 2. Extremos locales condicionados. Mtodo de sustitucin. .................................................. 248 3. Extremos locales condicionados. Multiplicadores de Lagrange. ......................................... 250 4. Mximos y mnimos absolutos. ........................................................................................... 252 5. Bibliografa. ......................................................................................................................... 255

Prctica.10..Polinomio.de.Taylor.en.varias.variables.......................................................... 256 1. Conocimientos previos. ....................................................................................................... 256 1.1. Extraer un elemento de un vector. .............................................................................. 256 1.2. Rutinas con el Mathematica. La orden For. ................................................................. 257 1.3. Programar con el Mathematica. La orden Input. ........................................................ 258 2. Diferencial total de una funcin de varias variables............................................................ 259 3. Polinomio de Taylor de una funcin de dos variables. ........................................................ 259 4. Programa para obtener el polinomio de Taylor. .................................................................. 260 5. Bibliografa. ......................................................................................................................... 262


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IntroduccinEn el presente curso acadmico se ha estimado conveniente preparar esta gua didctica como un elemento de ayuda para la preparacin de la asignatura Ampliacin de Matemticas, situada en el segundo curso de las titulaciones de Ingeniera Tcnica Industrial de la Escuela Politcnica Superior de Linares de la Universidad de Jan. La asignatura presenta un contenido muy variado lo que dificulta enormemente el trabajo del alumno a la hora de preparar los temas correspondientes a la misma. No conozco ningn texto que abarque ntegramente todos los descriptores que se contemplan en esta asignatura. De esta forma, el alumno se ve obligado a consultar textos de muy variada naturaleza. Sin duda, el hecho de consultar distintos manuales supone para el alumno una dificultad aadida a la de la propia de la materia pero, por otra parte, entre los objetivos que se contemplan en la formacin del alumno est el estimular el trabajo autnomo y la capacitacin para leer cualquier texto matemtico que le permita resolver los problemas que puedan encontrarse en el desarrollo de las asignaturas especficas de la titulacin de Ingeniera Industrial. La presente gua trata de buscar un equilibrio entre estos dos aspectos. Estos apuntes no pretenden ser un libro ms de matemticas que trata unos determinados temas. Aspiran a ser una especie de tutor que facilite la compresin de la asignatura y, al mismo tiempo, anime al alumno sobre el uso diferentes textos que consideramos apropiados para los objetivos y niveles de conocimiento de los estudiantes de Ingeniera Tcnica Industrial. Y todo ello desde la experiencia que ofrece haber impartido la asignatura durante varios aos. En coherencia con el propsito de esta gua, se sacrificar el rigor matemtico en aras de una lectura ms amena y fcil de la asignatura. Evitaremos muchas demostraciones y slo nos detendremos en aquellas que puedan ayudar a la comprensin del concepto que se est tratando en ese momento. Por otra parte, sealaremos los textos ms apropiados donde se puedan encontrar las justificaciones y demostraciones que aqu no se hagan. Asimismo, al final de cada tema daremos una relacin de problemas totalmente desarrollados en textos de fcil acceso por parte del alumno. Los problemas de estas relaciones estn seleccionados por su contenido didctico en relacin con los conceptos que aqu se tratan.


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Estudio de la asignaturaPara superar esta asignatura, el alumno no debe limitarse slo al estudio de estos apuntes sino que, al menos, deber acudir a los textos que oportunamente remitimos. En dichos manuales se encontrarn el desarrollo de los temas con la necesaria precisin que requiere una asignatura de matemticas. La asignatura de Ampliacin de Matemticas consta de 6 crditos de los que 4.5 corresponde a la parte de teora y problemas y 1.5 a las prcticas con el ordenador. Para la realizacin de las prcticas utilizaremos el programa de clculo simblico Mathematica en su versin 6 o posterior. A fin de superar con xito la presente materia, estimamos conveniente que se sigan las consideraciones que exponemos a continuacin. Las prcticas realizadas con el ordenador estn ntimamente ligadas con los conceptos tericos de la asignatura. Por lo tanto, se aconseja su lectura en el momento que se indica en la presente gua. Bsicamente, el temario de Ampliacin de Matemticas consiste en extender a funciones de varias variables las nociones que previamente, en otras asignaturas, se habrn estudiado para funciones de una variable. Por ello, se aconseja que, antes de tratar directamente un determinado concepto en varias variables, se lea con especial atencin lo que ocurra en una variable tal y como aqu se hace. Para manejar con agilidad los contenidos que se recogen en la presente asignatura resulta necesario que, como mnimo, se realicen los ejercicios que se proponen al final de cada tema. Esto no excluye que el alumno pueda y deba acudir al uso de otros manuales dentro de la abundante bibliografa que existe en relacin con el temario de la asignatura. En la ficha de la asignatura que publica la Universidad de Jan, el alumno puede solucionar cualquier duda sobre el temario de la misma, criterios de evaluacin, etc. Tambin se puede consultar la pgina web de profesor de la asignatura: http://www4.ujaen.es/~mjimenez En especial resulta muy recomendable acudir a las tutoras, cuyo horario est recogido en la pgina web, para cualquier aclaracin sobre la materia de la asignatura o de cualquier otro tipo. El profesor: Mximo.Jimnez.Lpez

AMPLIACIN.DE.MATEMTICAS (Apuntes.de.la.asignatura)


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TEMA 1 ECUACIONES EN DIFERENCIASLas ecuaciones en diferencias surgen de forma espontnea cuando tratamos de modelizar matemticamente determinados sucesos que se hacen efectivos en intervalos regulares de tiempo.

El problema tpico que conduce a una ecuacin en diferencias se produce cuando estamos interesados en conocer la evolucin de un capital C, depositado en un banco que produce un inters i cada mes. Si llamamos entregado el capital C se tiene: 0 1 2 3 a la cuanta del depsito al n mes de haber 1 1 1

En definitiva, tenemos una sucesin : o, escrito de otra forma1:

1 1

cuyo trmino general es:

1

Observamos que, en esta sucesin, existe una relacin entre dos trminos consecutivos de la misma, en concreto: 1

esta ecuacin es un caso particular de lo que se denomina ecuaciones en diferencias. Una ecuacin en diferencias es una ecuacin que relaciona distintos trminos de una sucesin. Por lo tanto, la solucin de esta ecuacin ser una sucesin cuyos trminos verifica lo establecido en la misma.

1

Si el alumno no est familiarizado con el concepto de sucesin puede consultar la obra de QUESADA TERUEL et al, Anlisis y Mtodos Numricos, pg. 77 en adelante.


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El problema a resolver en las ecuaciones en diferencias es precisamente el contrario del que acabamos de describir. Es decir, dada una ecuacin en diferencias, por ejemplo: 1.1

lo que tenemos que calcular es la expresin del trmino general anterior para todo n.

que hace cierta la igualdad

En este caso concreto, despus de la introduccin realizada al principio, resulta claro que la solucin de la ecuacin en diferencias 1.1 1.1 es:

donde c es una constante genrica. Efectivamente, si damos valores a esta solucin observamos que se cumple la relacin dada por la ecuacin en diferencias para todo n: 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 0 1 2 3

1.1

En resumen, la solucin general de la ecuacin en diferencias: 1.1

ser:

que depende de una constante genrica c.

1.1

Adems, si a

le pedimos que tenga un valor determinado, por ejemplo 1000 ya es nica:

entonces la solucin del problema que consiste en resolver la ecuacin adems, verifique que 1.1 1000

1.1

y que,

1000,

El objetivo de este tema va a consistir en, para unos determinados tipos de ecuaciones y sistemas en diferencias, exponer distintos mtodos matemticos que nos permitan encontrar sus soluciones.


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Las aplicaciones ms importantes de las ecuaciones en diferencias se suelen asociar con el mundo de la economa, sin embargo, son muchos los campos de otras ciencias en donde aparecen importantes contribuciones de este tipo de ecuaciones2.

1. ECUACIN EN DIFERENCIAS LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Vamos a tratar un tipo particular de ecuaciones en diferencias, en concreto, las ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes de gran aplicacin en la prctica. Las soluciones y propiedades de este tipo de ecuaciones nos van a resultar muy familiares por su parecido con las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.

Una ecuacin en diferencias se llama lineal de coeficientes constantes si es de la forma: , 0

siendo

constante

; y por lo menos

Hay que hacer una serie de consideraciones sobre esta ecuacin: 0 la ecuacin en diferencias se llama homognea, en caso contrario, se dice 2 4 2 2 es una ecuacin de diferencias lineal 0 es homognea.

Si completa.

Por ejemplo, la ecuacin completa, mientras que

La constante k se denomina orden de la ecuacin en diferencias. As,

hay que prestar atencin a la forma en que pueda venir dada la ecuacin en diferencias. Por ejemplo, 1 2 1 no es una ecuacin de orden 3 2 1

2 es una ecuacin en diferencias lineal de orden 3. Sin embargo,

puesto que dicha ecuacin es totalmente equivalente a

1, por lo tanto, es una ecuacin en diferencias de orden 2.

A este respecto, en el libro de FERNNDEZ PREZ et al, Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Sistemas dinmicos, se puede consultar un nmero importante de ejemplos.

2


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1.1. Propiedades de la ecuacin en diferencias lineal de coeficientes constantes.

Veamos algunas propiedades de la ecuacin en diferencias lineal que nos permitir obtener fcilmente las soluciones de este tipo de ecuaciones.

1.1.1. Unicidad de la solucin.

Sea la ecuacin en diferencias lineal de coeficientes constantes:

el problema de encontrar una sucesin los k valores prefijados , ,,

tal que cumpla dicha ecuacin y que adems para

se verifique:

existe y es nica.

Explicacin.

Sirvindonos de un ejemplo vamos a indicar cmo se podra demostrar la existencia y unicidad de la solucin. Consideremos la ecuacin en diferencias de orden 2: 2 3 que verifica 1 3

primero calculamos 0):

que, al tener que cumplirse la ecuacin, deber verificar (tomando 2 2 3 9 1 4 0 0

de la misma manera se deduce que

trminos de la sucesin. Evidentemente no hay posibilidad de que la solucin sea otra sucesin distinta.

8 y sucesivamente iramos obteniendo los dems


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1.1.2. El espacio vectorial de las soluciones de la ecuacin en diferencias lineal homognea.

La clave para resolver las ecuaciones en diferencias lineales se basa en la estructura algebraica que presentan sus soluciones. Resulta fcil demostrar las siguientes propiedades3:

El conjunto de las soluciones de la ecuacin homognea de orden k 0

es un espacio vectorial de dimensin k.

Esta importante propiedad nos permitir obtener la solucin general de la ecuacin homognea si somos capaces de obtener k soluciones independientes de dicha ecuacin. La siguiente propiedad reconoce cuando un conjunto de k soluciones de la ecuacin en diferencias (hay que recordar que cada solucin es una sucesin) van a ser independientes. Sean k soluciones de la ecuacin en diferencias lineal homognea: , ,,

son independientes si se verifica: 0 1

Adems, se puede demostrar que si con los primeros k trminos de cada sucesin este determinante es distinto de cero, va a seguir siendo distinto de cero con cualesquiera k trminos consecutivos.

1

0 1

1

0 1

1

0

3

Para ver las demostraciones de estas propiedades se puede acudir, entre otros, al libro de ALCONCHEL PREZ y VIGNERON TENORIO, Ecuaciones Lineales en Diferencias, pgina 8 y siguientes.


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2. SOLUCIN DE LA ECUACIN EN DIFERENCIAS LINEAL HOMOGNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

Como consecuencia de las propiedades mencionadas en el apartado anterior, se deduce que para encontrar la solucin general de la ecuacin en diferencias: 0

bastar con encontrar una base del conjunto de soluciones de dicha ecuacin.

deducir que el valor de , que da lugar a las soluciones independientes, ha de verificar la siguiente ecuacin llamada ecuacin caracterstica4: 0 Resolviendo esta ecuacin se obtienen las distintitas soluciones que forman la base del conjunto de soluciones de la ecuacin en diferencias. Ahora bien, en caso de obtener soluciones repetidas o complejas se deben adoptar los siguientes criterios:

Si forzamos a que este conjunto de soluciones adopten la forma

se puede

A cada raz real

se le asocia la solucin:

A cada raz real mltiple

de multiplicidad m le asociamos las m soluciones:

A cada raz compleja simple aparecer su conjugada (como los son nmeros reales tambin deber

) le asociamos dos soluciones. Para calcular estas : | Arg |

soluciones calculamos el mdulo y argumento del nmero

La demostracin puede verse en ALCONCHEL PREZ y VIGNERON TENORIO, Ecuaciones Lineales en Diferencias, pgina 15.

4


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al que le asociamos las soluciones:

A cada raz compleja

de multiplicidad m (la conjugada aparecer tambin con la cos

sen

cos

misma multiplicidad), le asociaremos las siguientes soluciones: sen

sen

cos

sen

cos

sen Por ejemplo, para obtener la solucin general de la ecuacin en diferencias: 13 69 193 306 270 108 0 0

cos

en primer lugar calculamos las soluciones de la ecuacin: 2 simple; 13 3 mltiple de multiplicidad 3; 69 193 2 3 306 69 193 306

que son:

13

270 1

270 1

108

y

108 1

1

. Es decir:

Un conjunto de soluciones que forman base para esta ecuacin ser: 3 2 2

2

cos sin

3

3

4

4


21

y la solucin general de esta ecuacin en diferencias es: 2 3 3 3 2

donde los

son constantes cualesquiera.

cos

4

2

sin

4

3. SOLUCIN DE LA ECUACIN EN DIFERENCIAS LINEAL COMPLETA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

La solucin general de la ecuacin en diferencias lineal completa de coeficientes constantes:

es la suma de la solucin general de la homognea asociada ( 0) y una particular de la completa5.

La solucin general de la homognea asociada se ha comentado en el epgrafe anterior, slo quedara calcular una particular de la completa.

Existen diferentes mtodos para calcular la particular de la completa, por ejemplo, el mtodo de los coeficientes indeterminados que consiste en ensayar con una determinada sucesin cuya expresin viene dada por la de .

En la Prctica 1 de la asignatura indicamos el mtodo de variacin de constantes para obtener una solucin particular de la completa y a ella nos remetimos6.

4. SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS HOMOGNEO DE ORDEN 1 CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Supongamos ahora que hay ms de una sucesin desconocida, por ejemplo pero dichas sucesiones han de verificar conjuntamente el siguiente sistema:

e

,

Una demostracin de esta afirmacin puede verse en FERNNDEZ PREZ et al Ecuaciones diferenciales y en diferencias, pg. 471. 6 Tambin en RODRGUEZ RUZ et al Matemticas 2. Economa y Empresa. Teora, pg. 321 puede verse una explicacin detallada de este mtodo.

5


22

o puesto de otra manera:

4 4

3

0

0

3

En esta situacin, se dice que estamos ante un sistema de ecuaciones en diferencias lineal de coeficientes constantes y de orden 1 (slo hay un desplazamiento en la variable n).

Para calcular la solucin de este sistema es conveniente expresarlo en forma matricial:

si seguimos el siguiente razonamiento encontraremos fcilmente la solucin general de este sistema en diferencias: 1 4 1 4 1 4 1 4 3 0 3 0 3 0 3 0 4 3

1 3 4 0

por lo tanto, si se quiere resolver el sistema de ecuaciones en diferencias con las condiciones iniciales 1 4 la solucin ser necesariamente: 1 4 3 0 1 4

teniendo en cuenta que7 1 7

solucin del problema planteado es: 4 7 1

1 4

3 0

1

3

3

1 7

3

4 5 7

2

3 3

5

4

4 1

2

3

1 4 7

3 7

4

4 3 4

4

3

3

34

4

la

3

34

1 4

7

El clculo de la potencia ensima de una matriz se explica en la Prctica 2 de la asignatura.


23

o lo que es lo mismo:

1 7

4 5 7

2

3

5

2

1

3

A la vista de este razonamiento, podemos enunciar el siguiente resultado:

TEOREMA. Sea el sistema lineal homogneo de ecuaciones en diferencias: la solucin de dicho sistema es: siendo constantes genricas.

5. SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS NO HOMOGNEO DE ORDEN 1 CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Un sistema lineal de coeficientes constantes de orden 1 no homogneo tiene la siguiente forma: donde sucesiones son constantes, , ,, .

son funciones de n; y las incgnitas son, naturalmente, las

De manera anloga a lo que ocurra en ecuaciones lineales de orden k, se puede enunciar el siguiente teorema:


24

TEOREMA. La solucin general del sistema de ecuaciones en diferencias no homogneo se obtiene sumando una solucin particular del sistema y la solucin general del sistema homogneo asociado.

La solucin general del sistema homogneo asociado se ha tratado en el epgrafe anterior. Para calcular una solucin particular del sistema completo me remito a la Prctica 2 de esta asignatura.

6. BIBLIOGRAFA CITADA EN EL TEMA.

ALCONCHEL PREZ, A. y VIGNERON TENORIO, A.: Ecuaciones Lineales en Diferencias: aplicaciones a la empresa y la economa, Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cdiz, 2004. FERNNDEZ PREZ, C. VZQUEZ HERNNDEZ, F.J. VEGAS MONTANER, J.M.: Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Sistemas dinmicos, Editorial THOMSON, 2003. QUESADA TERUEL, J.M. SNCHEZ GMEZ, C. JDAR REYES, J. MARTNEZ MORENO, J.: Anlisis y Mtodos Numricos, Servicio de Publicaciones de la Universidad de Jan, 2004. RODRGUEZ RUIZ, J. PRIETO SEZ, E. HERNNDEZ MORALES, V. GMEZ TOLEDANO, M.P.: Matemticas 2. Economa y Empresa. Teora, Editorial Centro de Estudios Ramn Areces, 1996.


25

TEMA 2 FUNCIONES EN VARIAS VARIABLESUna funcin en varas variables es una aplicacin : le hace corresponder el punto tal que a cada punto

3 :

Nosotros, como en la mayora de los textos, cuando hablamos de funciones consideramos la estructura afn tanto de , , cos , como de . Es decir,

,

, cos

es una funcin de varias variables, concretamente, :

. Por ejemplo, la funcin

,

.

siguiendo con el ejemplo anterior, al punto 3 ,

le asociamos el punto

. Sin embargo, tambin se puede considerar la estructura vectorial le asociaramos el vector

de 3

,

y

, cos

, en cuyo caso, al vector .

Otras veces, incluso en la misma funcin, consideraremos distintas estructuras para el espacio inicial y final. De todos modos, esta cuestin no se prestar a equivocaciones como iremos viendo ms detalladamente a lo largo de la asignatura.

En los problemas de ingeniera son innumerables los ejemplos que aparecen funciones en varias variables. Veamos algunos:

La Ley de Coulomb dice que la fuerza de atraccin o repulsin entre dos cargaspuntuales es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Por lo tanto, se trata de una funcin de tres variables: , ,

La Ley de los gases ideales dice que la presin P de un gas depende del volumen V y la temperatura T segn la siguiente ecuacin: con constante ,

con

constante


26

La desviacin H del punto medio de una viga rectangular que soporta una carga uniforme y tiene como dimensiones , , (longitud, anchura y altura respectivamente) es: con constante , ,

Estos ejemplos vienen a mostrar la importancia del estudio de las funciones de varias variables.

1. ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SEGN EL ESPACIO INICIAL Y FINAL. El dominio de una funcin :

es el conjunto D del espacio inicial donde

la funcin toma valores. Salvo que se especifique lo contrario, el dominio de una funcin f es el conjunto de valores para los que la expresin que define a f tiene sentido. La Imagen de una funcin : ,,

para los que existe al menos un

,,

es el conjunto elementos tal que ,,

,,

.

Veamos los principales tipos de funciones en varias variables que pueden presentarse en funcin de su espacio inicial y final. De todos modos, en la parte prctica de la asignatura con ordenador estudiaremos con mayor profundidad estos tipos de funciones.

1.1. Curvas parametrizadas.

Una curva parametrizada es una funcin cuyo conjunto inicial es un intervalo de propio ) y el espacio final es o , es decir, : , con 2 3.

(o el


27

El esquema grfico de una curva parametrizada sera el siguiente:

y su expresin analtica puede venir dada en forma vectorial o bien en forma paramtrica con , . 2, 3 sen

,

con

,

,

Por ejemplo, la curva parametrizada 2 con 3 sen

4,4 , tendra la siguiente representacin grfica:

con

4,4 , o bien

1.2. Funciones escalares. Una funcin se dice escalar cuando el conjunto final es , es decir, : El esquema grfico de una funcin de este tipo sera:

.

Sin embargo, la representacin grfica de una funcin de este tipo se realiza en Para cada punto , del dominio se toma una altura igual a , .

.


Por ejemplo, sea una placa rectangular D tal que en cada punto tiene una temperatura igual a , 3

. Su representacin grfica sera:

,

28

de la misma

sera posible una representacin grfica :

Evidentemente, slo se puede representar grficamente las funciones : .

y no

1.3. Campos vectoriales. Un campo vectorial es una funcin : . , ,

que a cada punto de

le asocia un 2 y los

vector de

. En la prctica, los ms utilizados son los campos en

campos en

Por ejemplo, sea el campo vectorial es que a cada punto ,

cuya interpretacin

le asocia el vector que tiene las mismas coordenadas pero

normalizado (modulo 1)1, su esquema grfico sera:

1

En muchos textos, para incidir que se trata de un campo vectorial, se suele expresar .

,


29

sin embargo, la representacin grfica consiste en dibujar, sobre unos mismos ejes, el punto y el vector que le corresponde aplicado sobre el mismo de la siguiente manera:

2. COMPONENTES DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES.

Una funcin

y se escribe

:

componentes:

Por ejemplo, la funcin :

.

,,

:

tiene m componentes , ,, ,, , ,,

,

. Hay que sealar que cada

,,

,,

es una funcin escalar

,,

siendo:

definida por, , , cos 0

,

, cos , 0 tiene tres

Las componentes de una funcin desempean un importante papel en el estudio de las funciones de varias variables pues, en muchas ocasiones, el estudio de una determinada funcin , ,, se simplificar estudiando de forma separada cada una de sus

componentes .

3. LMITE DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES.

Se supone conocida la funcin distancia en1, ,

:1 1

,

1

,,


30

DEFINICIN. Sea :a ,,

, diremos que el lmite de,,

es igual a L y se escribe:

si

,,

0 existe un

entonces :

0 tal que si |

lim

,,

Por ejemplo, sea la funcin,

pues si

DEFINCIN. Sea : si 1, ,

,

se acerca al punto 2,0 su imagen diremos que lim1 ,, 1 ,,

lim

,

,,

1, ,

,, |

,, ,1, ,

cuando

,, ,,

tiende

con

,

sen

entonces: 3

tiende a 3.1, ,

con

1 ,,

lim

1, ,

1 ,,

1, ,

NOTA.

funciones componentes : ,,1, ,

Es decir, el lmite de una funcin : . Hay , que1, ,

se reduce a calcular los m lmites de sus

sealar

que,

en

estas

definiciones, ,, ,,

cuando

se

escribe

, lo que se dice es que

se acerca al punto

, pero, se da por supuesto que el punto

ha de estar dentro del dominio

de la funcin f. ,

tipo:

2,0 con puntos de la forma

, 0 , luego para el clculo del lim

Por ejemplo, la funcin

est definida, ,

, 0 . Es decir, podramos acercarnos con puntos del siguiente

no tiene sentido acercarme al punto

,

salvo en los puntos


31

pero no con estos otros:

3.1. Clculo efectivo del lmite. El lmite de una funcin : lim

, si existe, es nico2 y su clculo efectivo, en la

prctica, se determina usando las propiedades aritmticas de los mismos, que viene a decir que el lmite de una operacin es la operacin de los lmites respectivos. As:, ,

1

,

,

lim

lim

,

,

1

2

El problema, igual que ocurra con las funciones de una variable, se presenta cuando al utilizar el criterio anterior aparecen las indeterminaciones que, con la notacin habitual en el contexto de lmites, son fundamentalmente: 0 ; ; 0 ; 0 ; 0 ; ; 1

En estos casos, a diferencia de lo que ocurra en el caso de una variable, la deduccin del lmite lim,,

se,,

complica. Hay ,,

que tener en cuenta al punto ,,

que para el clculo del

me puedo acercar de muy diferentes

formas y, para afirmar la existencia del lmite, tengo que asegurar que por cualquier camino que me acerque al punto ,, existe dicho lmite y siempre es el mismo3.

As pues, en el caso de las indeterminaciones siempre podemos acudir a la definicin para probar la existencia o no del lmite lo que, sin duda, resulta bastante complicado en la mayora de los casos. No obstante, en el caso de funciones definidas en uso de coordenadas polares.Para estudiar la existencia y propiedades de los lmites de funciones en varias variables se puede consultar DE BURGOS ROMN, Clculo infinitesimal de varias variables, pg. 26 en adelante. 3 Por su puesto, he de acercarme al punto 1 , , con puntos ,, dentro del dominio de definicin de f.2

podemos acudir al


variable:

TEOREMA. Sea :

tratamos de calcular lim cos , sen .

entonces lim

si probamos que lim, ,

cambio a coordenadas polares, trasladamos el problema al clculo de: que al tratarse de una expresin que tiende a 0 () por otra que est acotada (cos globalmente a 0, luego:,

Por ejemplo, el lim

,,

cos sen

,

,

,

32

y realizamos el cambio de

, cualquiera que sea el valor de

0,2

,

,

es una indeterminacin del tipo . Si realizamos un lim cos 0

) tiende

lim

el cambio a coordenadas polares, el problema es equivalente a: que, evidentemente, depende de . lim cos sin cos sin

En cambio, se puede asegurar la no existencia del lim

,

0, ,

pues, realizando

3.2. Probar que no existe lmite. Nos centramos en la determinacin del lmite en el origen4 de funciones : .

,

aunque todo lo que se diga en este apartado es fcilmente generalizable a funciones :

El paso a coordenadas polares puede solucionar muchas indeterminaciones, pero tambin puede ocurrir que la expresin resultante despus del cambio a polares sea incluso ms complicada de resolver que la frmula original.En todos los ejemplos hemos supuesto que el punto donde se quiere calcular el lmite es el 0,0 . Pero, en realidad, esto no representa ninguna restriccin pues, por ejemplo, si se pretende calcular 1 , en primer lugar, se hace el cambio de variable lo que equivale a lim , , 24

trasladar nuestro problema al clculo del lim

,

,

, es decir, a evaluar un lmite en el origen.


33

En estos casos, se recomienda intentar probar que no existe lmite acercndonos al origen de distintas formas. Si llegamos a probar que, en funcin de cmo nos acerquemos, obtenemos lmites distintos se contradice la unicidad del lmite y, por tanto, no existira el lmite propuesto. Los mtodos ms usuales para acercarse al origen son:

con lo que trasladamos el problema del clculo del lim determinacin, en una variable, del lim ,

Lmites direccionales. Se trata de acercarse al origen por rectas de la forma, ,

. Si salieran lmites distintos en

,

a la

funcin del valor de m se habra demostrado la no existencia de lmite en la expresin original. Lmites por curvas. La idea es la misma que acabamos de mencionar pero, ahora, nos acercamos al origen por curvas. Suele ser muy normal aproximarse por curvas de la forma , o bien , u otro tipo de curva en funcin de la expresin de

. Si salieran lmites distintos en funcin del valor de k se habra demostrado la no

existencia del lmite.

Hay que sealar que si todos los lmites direccionales y por curvas nos conducen a un mismo lmite L tendremos un candidato a lmite (el nmero L), pero no podemos asegurar que efectivamente ese valor sea el verdadero lmite.

Otro mtodo muy usado para demostrar la no existencia del lmite consiste en tomar lmites reiterados. Los lmites reiterados (o sucesivos) se definen de la siguiente manera: lim lim Si lim lim , ,

podemos asegurar que no existe lmite. En cambio si fueran iguales

tenemos un candidato a lmite pero no podemos asegurar nada. Por ejemplo, para calcular lim, ,

podemos utilizar los lmites reiterados: lim 1 lim 0 1 0

por otra parte:

lim lim

lim lim


34,

NOTA. Aunque los clculos analticos de los lmites reiterados suelen ser simples, sin embargo, conceptualmente estamos usando un artificio bastante rebuscado para acercarnos al valor que debera tener el lmite de embargo existir lim, ,

por lo tanto se puede asegurar que no existe lim ,

,

.

lo que nos obliga a tener una cierta precaucin. En concreto, ,5.

puede ocurrir que no exista alguno de los lmites reiterados (o ninguno de los dos) y sin

4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES.

La nocin de funcin continua en funciones de varias variables es la misma que para funciones de una variable, viene a decir que a pequeos incrementos de corresponde pequeos incrementos de ,, . ,, le

No vamos a considerar los puntos aislados del dominio de f por su poco inters. En los DEFINICION. Una funcin :1 ,, 1 ,,

puntos aislados, por definicin, la funcin ser continua6.1, ,

existe lim

es continua en el punto1, , 1, ,

y

1, ,

,,

si existe

1, ,

;

Resulta fcil probar el siguiente teorema que nos facilitar la comprobacin de la continuidad de una funcin en un punto. componentes : TEOREMA. Una funcin : es continua en el punto,, ,,

si todas sus funciones

son continuas en

.

Sobre los importantes teoremas que involucran a las funciones continuas me remito a la bibliografa que aparece al final del tema.

A este respecto se puede consultar el libro de DE BURGOS ROMN, Clculo infinitesimal de varias variables, pgs. 36 a 39. 6 Un punto aislado es aqul tal que no existen puntos del dominio de f, distintos del propio punto aislado, que se acerquen a dicho punto. Por ejemplo, la funcin: si 1 1; 1 1 , 2,2 3 si , est definida en el rectngulo 1,1 1,1 junto con el punto 2,2 . El punto 2,2 es un punto aislado en la que la funcin , va a ser continua.

5


35

5. EJERCICIOS PROPUESTOS.

A continuacin, recomendamos una serie de ejercicios que nos parece adecuados para reforzar los conocimientos que se han adquirido en el presente tema.

Dentro de la abundante bibliografa que existe al respecto, hemos elegido unos textos que pueden estar fcilmente disponibles en cualquier biblioteca a la que el alumno pueda tener acceso.

Los problemas estn completamente desarrollados en los textos que se indican y han sido elegidos en funcin de su capacidad para aclarar los conceptos aqu planteados.

LARSON ROLAND E. HOSTETLER ROBERT P. EDWARDS BRUCE H.: Clculo. Volumen 2, quinta edicin, McGraw-Hill, 1995.Ejemplo 1 pgina 988 Ejemplo 3 pgina 1003 Ejemplo 1 pgina 1002 Ejemplo 5 pgina 1006 Ejemplo 2 pgina 1002

GARCA LPEZ, A. et al: Calculo II. Teora y problemas de funciones de varias variables, CLAGSA-MADRID, 1996.Problema 1 pgina 11 Problema 9 pgina 17 Problema 6 pgina 57 Problema 3 pgina 14 Problema 2 pgina 54 Problema 7 pgina 16 Problema 5 pgina 57

6. BIBLIOGRAFA CITADA EN EL TEMA.

DE BURGOS ROMN, J: Clculo infinitesimal de varias variables, segunda edicin, McGraw-Hill, 2008. GARCA LPEZ, A. et al: Calculo II. Teora y problemas de funciones de varias variables, CLAGSAMADRID, 1996. LARSON ROLAND E. HOSTETLER ROBERT P. EDWARDS BRUCE H.: Clculo. Volumen 2, quinta edicin, McGraw-Hill, 1995.


36

TEMA 3 DIFERENCIACIN EN VARIAS VARIABLESEn el presente tema tratamos de estudiar el comportamiento del cociente entre lo que se incrementa una funcin ,, cuando se incrementa el punto ,, en un valor

muy pequeo, mejor dicho, cuando los incrementos que se otorgan a cada

tienden a 0.

En funciones de una variable, lo que acabamos de decir es el concepto de derivada al que nos vamos a referir seguidamente a modo de introduccin de lo que sucede en el ambiente de varias variables. Sea una funcin :

definida en un intervalo que contiene al punto x

se define la derivada de f como la proporcin entre e cuando

lim

lim

se hace muy pequeo:

valores cada vez ms pequeos obtenemos el siguiente cuadro: 0.1 0.05 0.01 0.001 6.1 6.05 6.01 6.001 3

Por ejemplo, supongamos la funcin

y fijemos el punto

3, si damos a

lo que nos confirma el resultado esperado de que 3:

si evaluamos en el punto

3

lim

2 |

6

2

6, puesto que:


37

1. DERIVADAS PARCIALES. :

tiene sentido dividir por l. Pero s podemos fijar una variable y medir la proporcin entre el y lo que se incrementa la otra variable. Surge as, el concepto de derivada parcial. DEFINICIN. Sea : escribe al siguiente lmite: ,

incrementos, como pasaba en una variable, puesto que el denominador sera ,

Supongamos

, ahora no podemos calcular el cociente entre los dos y no

se define la derivada parcial de f respecto de la variable x y se ,

si evaluamos en un punto concreto ,,

lim,

lim

, , , ,

Anlogamente, se define la derivada parcial de f respecto de la variable y:

lim

,

Ejemplo, sea la funcin en todo punto. ,

,

0

si

si

0

0

calculemos las derivadas parciales

Sea el punto

con

0, para puntos cercanos a , , sen ,

,

la expresin de f es:

luego:

1

lim

lim

lim

lim

sen

sen cos

1

1

Utilizamos que sen cos y .

cos

cos

sen

sen

cos

lim

sen

sen

cos

sen

1

es equivalente a

cuando

0. Asimismo, cuando

0 son equivalentes


38

En realidad, las operaciones que acabamos de hacer no son necesarias puesto que la nocin de descansa en dejar la y fija e incrementar la variable x, lo que equivale a usar las

reglas usuales de derivacin respecto de x considerando la y como una constante. , 0 . En estos puntos la funcin f toma ,0

Supuesto distinto son los puntos de la forma

una expresin distinta a la que tiene en los puntos de su alrededor. Aqu tenemos que acudir necesariamente a la definicin para calcular la derivada parcial:, ,

luego:

anlogamente se comprueba que:

NOTA 2. Tampoco presenta dificultad extender la definicin de derivadas parciales a funciones : , cos realizando la derivacin parcial de cada componente. Por ejemplo, si , entonces , y sen ,0 . ,

extiende sin ninguna dificultad a funciones :

NOTA 1. El concepto de derivada parcial que hemos definido para funciones : .

y no existe si

cos

cos 0 si

0

lim

lim

0 si 0 0

,0

0 si 0

sen

se

NOTA 3. El hecho de que las derivadas parciales de f existan en un punto, respecto de todos sus argumentos, no garantiza que f tenga que ser continua en dicho punto2.

1.1. Derivadas parciales de rdenes superiores. Sea :

tal que existen las derivadas parciales ,

y

. Estas derivadas parciales

sern funciones de parciales de y

que a su vez podrn derivarse parcialmente. A las derivadas

se le llaman derivadas parciales segundas o de segundo orden y se notan

de la siguiente forma:Por ejemplo, ver la nota de KRASNOV, M. et al, Curso de matemticas superiores para Ingenieros, Vol. 1, pg. 623.2


39

o bien

o bien Por ejemplo, si . ,

o bien

o bien

2

, entonces

6

;

6

;

6

;

Observamos que, en este caso, las derivadas parciales cruzadas

y

son

iguales lo que suceder en la inmensa mayora de las ocasiones aunque no se puede asegurar siempre3. Nosotros, salvo que se especifique lo contrario, damos por supuesta la igualdad de las derivadas parciales cruzadas. De todas formas, enunciamos dos teoremas que nos proporcionan condiciones suficientes para asegurar la igualdad de las derivadas parciales cruzadas4. TEOREMA DE SCHWARTZ. Sea derivadas parciales y se verifica que TEOREMA DE BONET. Sea : . Si, ,

,

,,

y si,

:

tal que en un entorno de es continua en el punto, ,

,

, entonces existe

,

existen las

. , existen,

tal que en un entorno de son continuas en ,

,

,,

,

y .

entonces

En definitiva, la igualdad de las derivadas parciales cruzadas se puede asegurar con la existencia y continuidad de las distintas derivadas parciales de menor o igual orden. Adems, este resultado se extiende con facilidad a funciones : .

En KRASNOV, M. et al, Curso de matemticas superiores para Ingenieros, Vol. 1, pg. 645, puede verse un ejemplo en que no se da la igualdad de las derivadas parciales cruzadas. 4 La demostracin de estos teoremas puede verse en DE BURGOS ROMN, Clculo infinitesimal de varias variables, pg.102.

3


40

1.2. Matriz jacobiana. Sea : matriz jacobiana

de la que suponemos que existen todas las derivadas parciales,, ,,

. La

se define como la siguiente matriz: ,, ,,

,

Cuando la matriz anterior se evale en un punto concreto notar por,, ,, ,, ,,

o simplemente

NOTA: Cuando la matriz sea cuadrada, a su determinante se le denomina jacobiano.

,, ,,

se

.

2. FUNCIN DIFERENCIABLE. Muchas veces estamos interesados en calcular de forma fcil para pequeos

aunque sea de forma aproximada. Esto se consigue con la ayuda del concepto de diferenciabilidad. Veamos lo que ocurra en funciones de una variable para extenderlo despus a funciones de varias variables.

2.1. Funcin diferenciable en una variable. Diferencial de una funcin. La funcin :

general, depender de a pero no de ) tal que el siguiente lmite es nulo:

se dice diferenciable en el punto a si existe un nmero k (que, en lim 0


Ejemplo, que:

es diferenciable en cualquier punto a, pues existe lim

lim

lim

2

0

2

41

tal

Se puede demostrar de forma sencilla5 que f diferenciable en a equivale a decir que f es derivable en a, y que el nmero k de la definicin de diferenciablidad es precisamente .

Por lo tanto, las funciones diferenciables en a verifican:

diferencia es un infinitsimo de mayor orden (ms pequeo) que . Esta aproximacin de , DEFINICIN. Sea

Es decir, |

lim

0

se aproxima por

de tal forma que su

una funcin real diferenciable en el punto a, se define la | | como:

, se llama diferencial de f en el punto a.

diferencial de f en el punto a y se escribe

y, en general, para un punto genrico x:

dibujo es la recta tangente a la grfica de

Grficamente se puede ver la diferencia entre y en el punto

,

. La recta que aparece en el .

5

Ver pg. 352 de KRASNOV, M. et al, Curso de matemticas superiores para Ingenieros, Vol. 1.


|

Por ejemplo, dado.

y

|

para el punto .

.

sera: | | .

la diferencia es escasa, sin embargo,

.

|

2 |

es mucho ms fcil de calcular que |

|

3 y .

.

0.61 0.6

0.1 la diferencia entre

42

.

.

2.2. Funcin diferenciable en varias variables.

En el punto anterior, se repas la definicin de funcin diferenciable en una variable. Extendamos este concepto a funciones de varias variables. DEFINICIN. Una funcin : columnas): se dice diferenciable en ,

si existen

todas las derivadas parciales en un entorno de a y adems se verifica (trabajando por ,,

,,

lim

,

,

,, ,,

0

Es decir, f es diferenciable en a si existe una aplicacin lineal caracterizada por la matriz jacobiana tal que, en dicho punto a, la diferencia entre el incremento de la funcin y la aplicacin lineal aplicada al incremento de la variable es un infinitsimo mayor (ms pequeo) que el incremento de la variable. , , 1,

el punto 1,2 .

Por ejemplo, sea

, comprobemos que es diferenciable en

En primer lugar, calculamos la matriz jacobiana en dicho punto: , , 2 1 2 0 1 1

,

,

,

,

,


43

tomando lmites:

,

lim

,

1 2

1

2

1 1

, ,

lim

lim,

,

0

2 2 1

2 1 2 0 1 1

6

0

Comprobar que una determinada funcin es diferenciable es una condicin necesaria para poder aplicar muchos de los teoremas y resultados que veremos a lo largo de esta asignatura. Afortunadamente, para demostrar la diferenciabilidad de una funcin la mayora de las veces no tendremos que realizar un razonamiento como el que acabamos de hacer. Existen teoremas que, bajo unos sencillos supuestos, nos aseguran la diferenciabilidad de una funcin7. TEOREMA 1. Una funcin : funciones componentes TEOREMA 2. Sea : ,, . ,, las derivadas parciales ,,8.

es diferenciable si y solo si lo son cada una de sus

tal que en un entorno de

son continuas en dicho entorno

. Entonces f es diferenciable en

As pues, para demostrar la diferenciabilidad de la funcin

,

, ;

1, son

en el punto 1,2 tambin podramos razonar de la siguiente manera: continuas en un entorno del punto 1,2 , luego razonamiento se hace para 1,2 . , y , ,

es diferenciable en 1,2 . El mismo , es diferenciable en

lo que nos lleva a que

De la definicin de funcin diferenciable se deduce sin mucho esfuerzo las siguientes propiedades:Este lmite se puede calcular haciendo un cambio a polares. La demostracin de estos teoremas se pueden ver en DE BURGOS ROMN, Clculo infinitesimal de varias variables, pg. 89. 8 El recproco de este teorema no es cierto. Una funcin puede ser diferenciable en un punto y no tener derivadas parciales continuas en ese punto. Ver el ejemplo 3 de GARCA CASTRO y GUTIRREZ GMEZ, Clculo infinitesimal II, Vol. 1, pg. 109.7 6


1. Si una funcin f es diferenciable en el punto punto9.

,,

44

, entonces es continua en dicho

2. Si f y g son funciones diferenciables, tambin son diferenciables: 3. Si f y g son funciones escalares diferenciables, tambin son diferenciables: con

en los puntos donde no se anula la funcin g.

2.3. Diferencial de una funcin de varias variables. : , , ,, ,,

Sea

diferenciable en

, de la definicin de

diferenciablidad se tiene:

,,

lim

,,

DEFINICIN. Se llama diferencial de f en el punto a, y se denota por,, ,,

,

0 | , al trmino

y es una aproximacin de | de mayor orden (ms pequeo) que : | ,, ,,

Por ejemplo, sea |, , , . , .

,

,

, ln

, calculemos | 4 1 ln 2 1.324 0.1 0.19

: |, , , . , .

, ,

, . , .

y

1.1 2.2 1.1 2.2 ln 1.1 2.2

El recproco no es cierto, una funcin puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en dicho punto. Ver el ejemplo 4 de GARCA CASTRO y GUTIRREZ GMEZ, Clculo infinitesimal II, Vol. 1, pg. 111.

9


| e .

, ,

, . , .

observamos que

y esta aproximacin ser tanto mejor cuanto ms pequeos sean ,,

1

2

45

1

,

,

,

. , .

1.2 0.1 0.2

Para un punto genrico

la diferencial de la funcin f tiene la expresin: ,, ,,

Si

,,

es la variable independiente, por definicin, se suele notar: ,, ,,

en consecuencia, la expresin de la diferencial queda de la siguiente forma10:

2.4. Diferencial de una funcin escalar.

Por ejemplo, sea :

Si la funcin f es una funcin escalar, la diferencial de f adopta una forma ms cmoda. entonces:

Y evaluada en un punto concreto |,1, 2

,

,

:1, 2

En general, si :

,

1, 2

:

GALINDO SOTO et al, Gua prctica de Clculo Infinitesimal en varias variables, pg. 50, da una explicacin ms coherente para esta notacin. De todas formas, hay que sealar que si z no es una variable independiente entonces , en general, ser distinto de , en concreto, .

10


46

2.5. Algunas propiedades de la diferencial.

De la definicin de df se deducen fcilmente las siguientes propiedades: 0.

1. Si f es una funcin constante, entonces 2. Si f y g son funciones diferenciables: con

3. Si f y g son funciones escalares diferenciables:

en los puntos donde g no se anula.

3. REGLA DE LA CADENA EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Antes de estudiar la regla de la cadena en funciones de varias variables, vamos a comentar dicho resultado para funciones de una variable donde lo suponemos conocido.

Supongamos una funcin una funcin en la variable x. cos

con

, en definitiva, podemos decir que f es

Por ejemplo, cos

1 .

siendo

1. Entonces f es funcin de x definida por

La regla de la cadena para funciones de una variable dice:

hay que sealar que las expresiones de f que aparecen en ambos lados de la igualdad son distintas. As, en el lado izquierdo se entiende que: cos 1 sen sen 1 2

mientras que en el lado derecho:

cos


47

La igualdad de la regla de la cadena nos confirma que: sen sen 2 1 2

Si evaluamos en un punto concreto siguiente manera:

, la regla de la cadena ha de aplicarse de la

Por ejemplo, siguiendo con la misma funcin evaluamos la derivada en el punto sen 1 se tiene: 1 2 | 2 |

y utilizando la regla de la cadena:

2 sen 2

cos , con

1. Si

Extendamos la regla de la cadena a funciones de varias variables.

sen |

2 sen 2

3.1. Matriz jacobiana de la composicin de funciones en varias variables. : : :

Sean esquema:

y

entonces

segn el siguiente

Si suponemos que f es diferenciable en entonces es diferenciable en ,,

y la matriz jacobiana de la composicin es11:

,,

y g es diferenciable en

,,

11

La demostracin de este resultado puede consultarse en GARCA CASTRO y GUTIRREZ GMEZ, Clculo infinitesimal II, Vol.1, pg. 116.


,, ,,

48

,, ,,

,,

,, ,, ,,

,, ,,

,,

,,

Con otro enfoque, lo anterior tambin se puede expresar del siguiente modo:

Supongamos la funcin:

tal que cada

es a su vez funcin de

,,

,,

:

es decir: por lo tanto, : ,, ,,

y, aplicando la regla del jacobiano para la composicin de funciones,

,,

,,

,,

podemos afirmar:,, ,,

o de forma genrica:

,, ,,

,, ,,

,,

,, ,,

,,

,, ,,

,, ,,

,,

,,

3.2. Casos particulares de la regla de la cadena para funciones escalares.

En el apartado anterior hemos visto la regla de la cadena para el caso general. Sin embargo, lo usual es aplicar dicha regla slo para casos muy concretos con lo que la escritura de la misma se simplifica considerablemente. Veamos algunos de estos supuestos particulares. CASO 1. Sea Podemos decir que : , , pero las variables x e y dependen a su vez de t .

. Utilizando la regla de la cadena para este supuesto:


49

si evaluamos en un punto concreto,

se tiene:, , ,

Por ejemplo, sea la funcin

,

sen donde sen

si evaluamos en el punto

sen |

0

cos |,

2,

1

entonces:

,

,

|

cos

2 |

Para recordar las expresiones resultantes de utilizar la regla de la cadena se suelen utilizar los diagramas de rbol. A la derecha se ponen las variables de las que dependen las funciones situadas ms a la izquierda. Se trata de llegar, de izquierda a derecha, por todos los caminos posibles apareciendo tantos sumandos como caminos se puedan encontrar: f x y t t

CASO 2. Sea

,

con

, ,

.

El diagrama de rbol para este caso sera: u f v la regla de la cadena dice: x y x y


50

o lo que es lo mismo:

Evaluando en un punto concreto, , , , , ,

,

:, , , , , , , , , , , ,

,

,

,

,

,

,

CASO 3. Sea

, ,

, con

, ,

,

,

,

,

,

El diagrama de rbol sera: u f v w aplicando la regla de la cadena: x y x y x y

4. DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DE UNA FUNCIN ESCALAR. , ,

Sea (tambin de

una funcin diferenciable, la df, en general, depender de y

), y puede volver a ser diferenciable. A esta nueva diferencial la

llamaremos diferencial segunda.


DEFINICION. Se denomina diferencial total segunda de la funcin a: ,

,

51

y se denota por

TEOREMA. Sea

una funcin escalar de clase 212. Entonces df es diferenciable y: 2

Demostracin. ,

Al ser

de clase 2 podemos asegurar las operaciones que realizaremos a

continuacin as como la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.

13

2

Este resultado se suele expresar de forma simblica:

donde el significado simblico de la potencia se puede adivinar fcilmente. NOTA 1. Para funciones de clase r se puede deducir:

NOTA 2. Si :

es de clase r:

NOTA 3. Todo lo visto en este apartado se puede extender sin dificultad a funciones : mediante sus funciones componentes14.

Una funcin es de clase 2 si todas las derivadas parciales de segundo orden son continuas, lo que a su vez implica que tambin es de clase 1. El concepto de funcin de clase r puede verse en DE BURGOS ROMN, Clculo infinitesimal de varias variables, pg. 99. 13 0 puesto que ni ni dependen de , . Aplicamos que 14 Ver DE BURGOS ROMN, Clculo infinitesimal de varias variables, pg. 108.

12


52

5. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES CON VARIABLES INTERMEDIAS.

Estudiemos la expresin de la diferencial de una funcin cuando previamente hemos realizado un cambio de variable. Veamos con un ejemplo lo que pretendemos.

Sea la funcin:

por lo tanto derivadas parciales.

, y para calcular df habra que realizar las correspondientes

,

sen

Supongamos ahora que realizamos el cambio de variable expresin de la funcin f se simplifica: , sen

, la nueva

Si se pudiera asegurar que

, obtendramos una expresin fcil de

df, aunque fuera en funcin de las variables intermedias u y v.

Vamos a demostrar que la presuncin anterior es cierta para la diferencial primera pero no para las diferenciales de rdenes superiores.

5.1. Invariancia de la diferencial primera. , , ,

Sea , ,

, con

, en definitiva, f ser una funcin en las variables

independientes x e y. Adems, suponemos suficiente regularidad tanto de las funciones y como de la funcin f15, entonces:

15

Sera suficiente con exigir la continuidad a las derivadas parciales de u y v y la continuidad de

y

,

ver KRASNOV, M. et al, Curso de matemticas superiores para Ingenieros, Vol. 1, pg. 634.


53

Luego, la diferencial total adopta una expresin del mismo tipo, tanto si los argumentos son variables independientes como si stos son a su vez funciones de ciertas variables:

Por ejemplo, sea

,

sen

ahora sustituimos u y v por su valor as como , sen

cos

con

sen

obtendremos el mismo resultado que hubiramos obtenido directamente calculando la con la funcin .

2

;

y

5.2. Diferencial segunda con cambio de variables.

Con el mismo planteamiento que en el punto anterior, veamos que expresiones distintas segn que las variables sean dependientes o independientes.

tiene

En el apartado 4 de este tema demostramos que si x e y son variables independientes: 2

Sea ahora

,

, con

, ,

:


54

16

17

2

En resumen, con variables intermedias: 2 , sen

Sera un buen ejercicio comprobar para

con

la

igualdad de este ltimo resultado con el que se habra obtenido calculando directamente la diferencial segunda de , sen , donde hay que puntualizar lo siguiente: 2 2 2

6. INTEGRALES DEPENDIENTES DE UN PARMETRO.

Como aplicacin de la diferenciacin en varias variables vamos a comentar ligeramente el caso de las integrales dependientes de un parmetro18. , 2

Consideremos la funcin ejemplo:

donde a y b son constantes. Por 3

Utilizamos la invariancia de la diferencial primera. 0 puesto que depender, en general, de , y lo mismo ocurre con . Ahora, 18 Para un estudio mas detenido de este tema se puede consultar KRASNOV, M. et al, Curso de matemticas superiores para Ingenieros, Vol. 2, pg. 471 en adelante. O tambin, LOSADA RODRGUEZ, Anlisis Matemtico, pg. 624 en adelante.16 17


55

En principio, este tipo de funciones

definidas bajo el signo integral no deben

presentar problemas siempre que sea fcil resolver la integral. Sin embargo, todos sabemos que el clculo de integrales a menudo resultan complicados.

El objetivo de este apartado es dar tcnicas para calcular la derivada de una funcin definida bajo el signo integral, sin llegar a calcular dicha integral (o resolviendo otra ms sencilla). TEOREMA 1. Sea Entonces la funcin lim , , ,

una funcin continua en el rectngulo cerrado lim , es continua en , , . Es decir, si lim ,

,

.

:

Por ejemplo, si pretendemos calcular: lim

podramos calcular la integral, con lo que quedara una expresin en x, posteriormente tomaramos lmites cuando lim 2

podramos aplicar el teorema anterior con lo que tendramos: 1lim

0. Pero resolver esta integral no es nada sencillo, sin embargo, 2 1 3 2

2

1

TEOREMA 2. Sea

mismo rectngulo. Entonces para

,

continua en

,

,

: ,

,

tal que

es tambin continua en el

Por ejemplo, sea:

cos sera un intento baldo intentar primero realizar la integral para sin el signo de integracin, pudiramos derivarla. Pero aplicando cos sen cos 2 cos

si queremos calcular que, una vez expresada el teorema 2:


56

Veamos ahora un teorema que engloba al anterior. Es el caso en que , , es decir, los lmites de integracin tambin depende de x. , , donde , y son continuas en la regin D:

TEOREMA 3. Sea

entonces para

,

se tiene: , ,

Demostracin. , , ,

Consideremos la funcin de tres variables suponemos que siguiente rbol: b x x y

, si ahora

podramos aplicar la regla de la cadena segn el

a x

luego:

19 20

, , ,

,

19

Aplicamos el primer teorema fundamental del clculo (o segundo teorema fundamental del clculo para otros autores) que, bajo la condicin de continuidad de la funcin g, dice que si:

entonces20

Aplicamos el teorema 2.


57

Por ejemplo, sea:

cos .

y queremos calcular

Identificamos cada trmino: , cos cos 3 cos 2 cos

aplicando el teorema 3: cos

cos

7. EJERCICIOS PROPUESTOS.

A continuacin, recomendamos una serie de ejercicios que nos parece adecuados para reforzar los conocimientos que se han adquirido en el presente tema.

Dentro de la abundante bibliografa que existe al respecto, hemos elegido unos textos que pueden estar fcilmente disponibles en cualquier biblioteca a la que el alumno pueda tener acceso.

Los problemas estn completamente desarrollados en los textos que se indican y han sido elegidos en funcin de su capacidad para aclarar los conceptos aqu planteados.

LARSON ROLAND E. HOSTETLER ROBERT P. EDWARDS BRUCE H.: Clculo. Volumen 2, quinta edicin, McGraw-Hill, 1995.Ejemplo 1 pgina 1010 Ejemplo 5 pgina 1014 Ejemplo 1 pgina 1020 Ejemplo 5 pgina 1026 Ejemplo 3 pgina 1030 Ejemplo 2 pgina 1011 Ejemplo 6 pgina 1016 Ejemplo 3 pgina 1023 Ejemplo 1 pgina 1028 Ejemplo 4 pgina 1031 Ejemplo 4 pgina 1013 Ejemplo 7 pgina 1017 Ejemplo 4 pgina 1024 Ejemplo 2 pgina 1029 Ejemplo 5 pgina 1032


58

GARCA LPEZ, A. et al: Calculo II. Teora y problemas de funciones de varias variables, CLAGSA-MADRID, 1996.Problema 1 pgina 71 Problema 4 pgina 72 Problema 10 pgina 76 Problema 17 pgina 80 Problema 4 pgina 96 Problema 10 pgina 100 Problema 30 pgina 112 Problema 8 pgina 352 Problema 2 pgina 72 Problema 5 pgina 73 Problema 13 pgina 77 Problema 18 pgina 80 Problema 7 pgina 98 Problema 15 pgina 102 Problema 1 pgina 348 Problema 3 pgina 72 Problema 7 pgina 74 Problema 15 pgina 79 Problema 3 pgina 96 Problema 8 pgina 99 Problema 16 pgina 103 Problema

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