Cálculo diferencial (arq)
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Cálculo diferencial (arq)
Regla de la cadena
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REGLA DE LA CADENA
Regla generalizada de la potencia
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¿Cómo se puede derivar la siguiente función?23 )3( xy
Naturalmente, se puede efectuar el cuadrado del binomio…. y derivar la función resultante
96 36 xxy
Pero ahora, ¿cómo haríamos para derivar ????)3( 203 xy
Por supuesto, el problema no pasa por elevar el binomio a la potencia 20.
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Con el fin de hallar una regla para estos casos, analicemos el primer ejemplo. Podríamos conjeturar que la derivada de la función es23 )3( xy
)1(...............)3(2' 3 xy
Es decir, estamos considerando la función interior como si fuera una variable (u)
Calculando la derivada de la expresión desarrollada se obtiene96 36 xxy
)3(6
3)3(2
186'
32
23
25
xx
xx
xxy
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Se observa, que derivar con la regla de potencias no es suficiente cuando se tiene la potencia de una función, faltó el factor que es justamente la derivada de dicha función.
23x
Regla generalizada de la potenciaSuponga que g(x) es una función de x. Luego, para cualquier número real k,
)()]([)]([ 1 xgdxd
xgkxgdxd kk
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Ahora, se va a derivar . Hay tres pasos a seguir.
203 )3( xy
203 )3( x 1. Se bloquea la función )3( 3 xu
2. Se deriva la función externa 20)(u193
19
)3(20
)(20
x
u
3. Se multiplica por la derivada de la función interna u.
2193 3)3(20 xx 1932 )3(60 xx
El paso 3 por lo general se omite. OJO!!!!...no olvidarlo
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Ejemplo 1:Derivar 2/13)1()( xxf
3
2
12
3:Rptax
x
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Ejemplo 2:Derivar 2232 )1()1( xxy
)13)(1(2 :Rpta 22 xxx
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Ejemplo 3:Derivar 104 )7()5()( xxxf
)739()7()5(2 :Rpta 93 xxx
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Ejemplo 4:Derivar 4
13)(
xxxf
2)1(1
1-x3x :Rpta
4/3
x
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Regla de la cadenaCuando analizamos el ejemplo inicial, pudimos, a partir de , plantear:23 )3( xy
2
3
entonces
3
uy
xu
Esta última expresión se puede derivar respecto a u.
ududy 2
Pero nosotros deseamos hallar por lo que escribimos dx
dy
dxdu
dudy
dxdy
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Lo cual es cierto desde el punto de vista de las fracciones algebraicas, pero una derivada es el límite de una razón de cambio, no una fracción. Sin embargo, apliquemos la última expresión a nuestro problema.
)3(6
6
32entonces
32
32
2
2
2
xx
xudxdy
xudxdu
dudy
xdxduu
dudy
Y esto es correcto según la diapositiva 4
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Regla de la cadenaPor lo tanto, podemos generalizar la regla de la cadena para derivadas
etc....
entonces)})]({([ Sea
dxdk
dkdh
dhdg
dgdf
dxdy
xkhgfy
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Ejemplo 5:Derivar 12 3 xy
Solución: Hacemos
uuf
xxu
2)(
1)( 3
entonces )(ufy
escribimos
22/121 3xu
dxdu
dudf
dxdy
reemplazando u
12
33
2
x
xdxdy Rpta
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Tarea de Conciencia
• Ejercicios 3.5 (pág. 221)• 7; 9; 11; 13; 21; 23; 41; 47; 51; 57.