Capítulo 4. Las medidas de dispersión, de concentración

y de forma en una distribución de frecuencia

unidimensional

JOSÉ JAIME NOGUERA

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Introducción a la Estadística (ADE-Economía)

DE DISPERSIÓN (* no entran en Economía)

• Rango, recorrido o amplitud:

mayor valor –menor valor

• Coeficiente de apertura: 𝐶𝑎𝑝 =𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟

𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟

• Recorrido intercuartílico: 𝑅𝑖 = 𝑄3 − 𝑄1

• Rango entre percentiles: 𝑅𝑃 = 𝑃90 − 𝑃10

• Recorrido relativo(*): 𝑅𝑅 =𝑅

𝑥

• Recorrido semi-intercuartílico: 𝑅𝑠𝑖 =𝑄3−𝑄1

𝑄3+𝑄1

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DE DISPERSIÓN

• Desviación media (*):

𝐷𝑥 =𝑛1 𝑥1 − 𝑥 + 𝑛2 𝑥2 − 𝑥 + ⋯+ 𝑛𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥

𝑁

• Desviación mediana

𝐷𝑀𝑒=𝑛1 𝑥1 −𝑀𝑒 + 𝑛2 𝑥2 −𝑀𝑒 +⋯+ 𝑛𝑛 𝑥𝑛 −𝑀𝑒

𝑁

• Varianza: 𝜎2 =𝑛1 𝑥1−𝑥

2+𝑛2 𝑥2−𝑥 2+⋯+𝑛𝑛 𝑥𝑛−𝑥

2

𝑁

• Desviación típica: 𝜎 = 𝜎2

• Coeficiente de variación de Pearson γ =𝜎

𝑥

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Ejemplo

Sabiendo que :

𝑥 = 1.2; 𝑄1 = 1;𝑄2 = 1;𝑄3 = 2; 𝑃90 = 2; 𝑃10 = 0

• R=3-0=3;

• 𝐶𝑎𝑝 =3

1= 3

• 𝑅𝑖 =2-1=1

• 𝑅𝑃 =2-0

• 𝑅𝑅 =3

1,2= 2,5

• 𝑅𝑠𝑖 =2−1

2+1= 0,33

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Ejemplo

Sabiendo que :

𝑥 = 1.2; Me=1

• 𝐷𝑥 =5 0−1.2 +12 1−1.2 +6 2−1.2 +2 3−1.2

25 = 0,67

• 𝐷𝑀𝑒 =5 0−1 +12 1−1 +6 2−1 +2 3−1

25 = 0,6

• 𝜎2 =5 0−1.2 2+12 1−1.2 2+6 2−1.2 2+2 3−1.2 2

25= 0,72

• 𝜎 = 𝜎2 = 0.86 = 0,85

• 𝛾 =0.85

1.2= 0.6

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A tener en cuenta

• Si la distribución es agrupada por intervalos se calcula todo igual, ya que trabajamos con las marcas de clase.

• La cuasi-varianza es igual que la varianza pero dividida por N-1 en vez de por N (no entra en Economía)

• La cuasi-desviación típica es la raíz cuadrada de la cuasi-varianza.

• La varianza puede calcularse como:

𝜎2 = 𝑎2 − 𝑎12 =

𝑛𝑖 · 𝑥𝑖2

𝑁− 𝑥

𝑛

𝑖=1

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A tener en cuenta

• La media se ve afectada tanto por cambios de

origen como de escala Si 𝑥𝑖

∗ = 𝑥𝑖 + 𝑎 → 𝑥 ∗ = 𝑥 + 𝑎

Si 𝑥𝑖∗ = 𝑏𝑥𝑖 → 𝑥

∗ = 𝑏𝑥 • La desviación típica no se ve afectada por

cambios de origen pero sí por cambios de escala. Si 𝑥𝑖

∗ = 𝑥𝑖 + 𝑎 → σ∗ = σ

Si 𝑥𝑖∗ = 𝑏𝑥𝑖 → σ

∗ = 𝑏σ

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Teorema de Chebychev (Solo Economía)

• Al menos 1 −1

ℎ2 de los elementos de cualquier

conjunto de datos estarán a menos de h desviaciones típicas de separación respecto de la media (h>1)

IMAGEN: https://es.slideshare.net/vaneguz12/teorema-de-chebyshev-68586057

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9

Si la distribución es una campana de Gauss, los porcentajes se pueden ajustar más:

Coeficiente de variación de Pearson

• Se define como 𝛾 =𝜎

𝑥

• Es invariante ante cambios de escala pero sí cambia ante cambios de origen.

• Es adimensional y permite comparar poblaciones diferentes (a diferencia de la varianza)

• Nos indica si la la media es representativa: – 𝛾 = 0 Representatividad máxima – 𝛾 < 0.5 es representativa – 𝛾 > 0.5 poca representatividad – 𝛾 = 1 No hay representatrividad

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DE CONCENTRACIÓN

• ÍNDICE DE GINI: índice que nos informa si la variable está distribuida homogéneamente (=0) o no (=1).

Calcula el índice de GINI para

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Intervalos 𝒏𝒊

[0,10) 3

[10,20) 15

[20,30) 10

[30,40) 7

DE CONCENTRACIÓN

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𝒙𝒊 𝒏𝒊 𝑵𝒊 𝒏𝒊 · 𝒙𝒊 𝝁𝒊 = 𝒏𝒋 · 𝒙𝒋

𝒊

𝒋=𝟏

𝑷𝒊 =𝑵𝒊𝑵· 𝟏𝟎𝟎 𝒒𝒊 =

𝝁𝒊𝝁𝒏· 𝟏𝟎𝟎

5 3 3 15 15 8,57 3,29

10 15 18 150 165 51,42 36,26

15 10 28 150 315 80 69,23

20 7 35 140 455 100 100

N=35 𝜇𝑛 = 455

𝐼𝐺 = (𝑝𝑖−𝑞𝑖)𝑛−1𝑖=1

𝑝𝑖𝑛−1𝑖=1

=8,57−3,29 + 51,42−36,26 +(80−69,23)

139,99=31,21

139,99= 0,22

DE CONCENTRACIÓN: curva de Lorenz

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Imagen de: https://www.enciclopediafinanciera.com/diccionario/curva-de-Lorenz.html

MEDIDAS DE FORMA

Imagen: https://www.100cia.site/index.php/matematicas/item/3484-que-es-la-asimetria-en-estadistica

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• De asimetría de Pearson

𝐴𝑝 =3(𝑥 −𝑀𝑒)

𝜎 o bien 𝐴𝑝 =

3(𝑥 −𝑀𝑜)

𝜎

– 𝐴𝑝 = 0, es simétrica

– 𝐴𝑝 > 0, es asimétrica positiva o a la derecha

– 𝐴𝑝 < 0, es asimétrica negativa o a la izquierda

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• De asimetría de Fisher

𝑔1 =𝑚3𝜎3=

1𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥

3𝑛𝑖𝑘𝑖=1

1𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥

3𝑛𝑖𝑘𝑖=1

3

– 𝑔1 = 0 → simétrica

– 𝑔1 > 0 → asimétrica positiva

– 𝑔1 < 0 → asimétrica negativa

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• De Bowley (solo ADE)

𝐶𝑎 =𝑄3 + 𝑄1 − 2𝑀𝑒𝑄3 − 𝑄1

– 𝐶𝑎 = 0 → simétrica

– 𝐶𝑎 > 0 → asimétrica positiva

– 𝐶𝑎 < 0 → asimétrica negativa

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Medidas de apuntamiento o curtosis

• Coeficiente de Fisher

𝑔2 =𝑚4𝜎4− 3 =

1𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥

4𝑛𝑖𝑘𝑖=1

1𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥

2𝑛𝑖𝑘𝑖=1

2 − 3

– 𝑔2 = 0 → mesocúrtica o Normal

– 𝑔2 > 0 → leptocúrtica o más apuntada que la Normal

– 𝑔2 < 0 → platicúrtica o menos apuntada que la Normal

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Imagen: https://es.slideshare.net/alexandernunez/medidas-de-asimetrias-y-curtosis

EJERCICIO

Siguiendo los ejercicios anteriores, agrupa los datos en 6 intervalos (ya realizado) y calcula: 1. La desviación mediana, la desviación típica, el rango, el

recorrido intercuartílico y el coeficiente de variación de Pearson.

2. Índice de Gini e interpretación 3. Coeficiente de asimetría de Pearson

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