Dr. Ing. Diana Calderón Cahuana Ciclo 2013-1

Abril, 2013

Z

X XX

Z

Z

Tzx

Tzx

Tzx

TxzT

xz

Txz

0

A

Bc

TResultantes de

esfuerzos sobre ab

a)b)

ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

CÍRCULO DE MOHR

B

A

C

1

3

T

Dirección de 1

Dire

cc

ió

n d

e

3

(a)

REPRESENTACIÓN DE ESFUERZOS MEDIANTE EL

CÍRCULO DE MOHR

a) Estado de esfuerzos en un punto.

b) Diagrama de Mohr para el estado de esfuerzos en un punto.

Representación de los esfuerzos mediante el

círculo de Mohr.

22

cos)(

2cos22

cos

3131

31312

3

2

1

sensen

sen

El esfuerzo tangencial máximo en un punto, max es siempre igual

a (1-3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial máximo equivale al

radio del círculo de Mohr. Este esfuerzo tangencial máximo se

produce en planos que forman ± 45° con la dirección del esfuerzo

principal mayor.

Ejemplo

Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.

1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).

2. Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.

3. Se traza la línea AA’ por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual

actúa el esfuerzo (2,0).

4. La intersección de A’A’ con el círculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.

5. Se traza la línea B’B’ por Op, paralela a BB.

6. Se leen las coordenadas del punto X donde B’B’ corta al círculo de

Mohr.

1

0

-1

1 2 3 4

C´

A´A´

X

B´

B´

Op

C´

4

Respuesta

2.5 kg/cm2

2 kg/cm2

4 kg/cm2

0.87

Sobre BB = 2.5 kg/cm2

= -0.87 kg/cm2

Otra solución. Los pasos 1 y 2 igual que antes.

3. Traza´por el punto (4.0) la línea C’C’ paralela al plano sobre el que

actúa el esfuerzo (4.0). C’C’ es vertical.

4. C’C’ corta al círculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto

es el polo Op. Los pasos 5 y 6 análogos al caso anterior.

Solución por medio de las ecuaciones

2

2

2

3

2

1

/866.0602402

24

/5.260cos3240cos2

24

2

24

120/2/4

cmkgsensen

cmkg

cmkgcmkg

Pregunta para el alumno. ¿Por qué es =120?

¿El resultado habría sido diferente si = 300?)

Esfuerzos en un elemento bi-dimensional y el círculo de Mohr

Plano en el que actúan los esfuerzos principales

Una muestra de suelo (0.1mx0.1m) es sujeta a las

fuerzas mostradas en la Figura. Determine (a) σ1, σ3, y ψ (b) el máximo esfuerzo de corte; y (c) los esfuerzos en un plano orientado 30 grados en sentido antihorario del plano de esfuerzos principales mayores. Rpta.:

Ejercicio

𝜑 = 22.5° 𝜎1 = 541.4𝑘𝑁 𝜎3 = 258.6𝑘𝑁

𝜏𝑚á𝑥 = 141.4𝑘𝑃𝑎 𝜎𝜃 = 470.7𝑘𝑁 𝜏𝜃 = 122.5𝑘𝑁