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Primer parcial: evaluaciones

Ernesto Javier Espinosa Herrera

Ignacio Canals Navarrete

Manuel Meda Vidal

Carlos Antonio Ulín Jiménez

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Portal de Problemas de Matemáticas

Básicas UNIVERSIDADAUTONOMA

METROPOLITANA

Casa abierta al tiempo AzcapotzalcoDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Casa abierta al tiempo

Prefacio

El material de este trabajo es parte de un Proyectoaprobado por el Consejo Divisional de la UniversidadAutónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco, con

el nombre de Material de Apoyo para los Cursos deCálculo Diferencial e Integral y Ecuaciones

Diferenciales. Portal de Problemas. El materialcompleto del Proyecto, desarrollado por los autores del

presente Cuaderno, se encuentra en línea, en ladirección http:\\canek.azc.uam.mx.

El Proyecto, hoy conocido como Canek, nace con elobjetivo de proporcionar, a los alumnos de Ciencias

Básicas e Ingeniería, la solución y el desarrollodetallado de Evaluaciones Departamentales de las

Unidades de Enseñanza - Aprendizaje (UUEEAA),del Tronco Básico de las carreras de Ingeniería,

aplicadas por el Departamento de Ciencias Básicas, enfechas anteriores. En este Cuaderno, el lector

encontrará Evaluaciones del Primer Parcial de la UEACálculo Diferencial e Integral I; en otros cuadernos, se

irán publicando diferentes partes del materialdisponible en la red.

IX



Portal de Problemas de MatemáticasCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I


Este material fue aprobado para su publicación por elConsejo Editorial de la División de Ciencias Básicase Ingeniería de la Unidad Azcapotzalco de la UAM, ensu sesión del día 12 de julio del 2004.



Portal de Problemas de Matemáticas

Cálculo Diferencial e Integral I


Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)Ignacio Cañáis Navarrete

Manuel Meda VidalCarlos Antonio Ulm Jiménez

Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco2005



Universidad Autónoma Metropolitana

RECTOR

Mtro. Víctor Manuel Sosa Godínez

SECRETARIO

Mtro. Cristian Eduardo Leriche GuzmánDIRECTOR DE LA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICASMtro. José Ángel Rocha Martínez

JEFE DEL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

Dr. Juan Manuel Velázquez ArcosCOORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADÉMICO

Mtra. María Aguirre Tamez

COORDINADORA DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA

DCG Ma. Teresa Olalde Ramos

JEFA DE LA SECCIÓN DE PRODUCCIÓN Y DISTRIBUCIÓN EDITORIALESDCG Silvia Guzmán Bofill

UAM-Azcapotzalco© M. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera

Dr. Ignacio Canals NavarreteM. en C. Manuel Meda VidalDr. Carlos Antonio Ulín Jiménez

© Departamento de Ciencias BásicasDivisión de Ciencias Básicas e Ingeniería

Captura de datos:Jorge Ulises Ramírez GuerreroDiseño de portada:Lucila Montoya GarcíaPortada:Modesto Serrano RamírezCuidado editorial:Concepción Asuar

Sección de produccióny distribución editorialesTel. 5318-9222/9223Fax 5318-9222

Universidad Autónoma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoAv. San Pablo 180Col. Reynosa TamaulipasDelegación AzcapotzalcoC.P. 02200México, D.F.

Número de registro de obraISBN de la colección: 970-31-0372-3ISBN del volumen: 970-31-0329-4Primera edición 2005Impreso en México

Todo el material de este trabajo se encuentra en línea en la dirección:http://canek.azc.uam.mx



Primer parcial, evaluación 1

1. Si se lanza una pelota hacia arriba desde la azotea de un edificio que tiene 20 m de altura con una velocidadinicial de 5 m/seg., entonces la altura sobre el suelo t segundos después será

¿Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 10 m arriba del suelo?

• Ya que la altura de la pelota viene dada por la función h(t)y resolver la desigualdad

20 + 5í - 5¿2 > 10

es la respuesta a la pregunta del problema.

Se tiene:-5t2 + ht + 10 > 0 =» - 5 ( ¿ 2 -t-2)>0=>t2~t-2<0.

Para resolver esta desigualdad factorizamos el trinomio e igualamos a cero:

(t - 2){t + 1) = 0 => , las raíces son -1 y 2.

Graneamos la parábola y — t2 — t — 2:

y=t2-t-2

Aquí se ve que la solución de la última desigualdad es [—1,2].

Para este problema se tiene que t > 0, por lo tanto la solución definitiva es [0,2].

Y siendo así, la pelota estará 10 m arriba del suelo los primeros 2 segundos.

Observa que /i(0) = 20 y h(2) = 10.




La desigualdad 20 -f bt — bt2 > 10 también se puede resolver por otros procedimientos.

A partir de la factorización (t — 2)(t -f 1) < 0 para resolver esta desigualdad se consideran 2 casos:

(a) ¿ - 2 < 0 & £ - f l > 0

Tenemos t < 2 => t e (-oo, 2].

Además t > —1 => t e [—1, oo).

La solución en este caso es (—oo, 2] n i " ! ? °°) = [~̂ > <A-

(b) ¿ - 2 > 0 y ¿ + l < 0

Tenemos t > 2 => t e [2, oo).

Además t < — 1 =>£ (—oo, —1].

La solución en este caso es (—oo, —1] p|[2, oo) = 0 .

Asimismo, por otro método, a partir de:

20 + 5¿ - 5¿2 > 10 => bt - > -10 => ¿ - í2 > - 2 -> ¿2 - ¿ < 2 =>2 rv1

414

< ? *[ - 1 , 2 ] .

También, para resolver (í — 2)(t + 1) < 0, podemos usar la tabla:

Intervalo

t < -1(< 2)

- 1 < í < 2

t >2(> -1)

Signo de

t + 1

-

+

+

í ~ 2

-

-

+

(í + l)(í-2)

-

+

(t - 2){t + 1) < 0 sólo si t e [-1,2].

Posiblemente la forma más natural de resolver este ejercicio, aunque sin usar desigualdades, es teniendo encuenta que y = — bt2 4- 5¿ -f- 20 es una parábola que dirige su concavidad hacia abajo.

= _ 5 [ í 2 - t + J } + 2 0 + ^ = - 5 Í * - ; ) + ^ ;

la parábola tiene su vértice en V I - , — :




La parábola corta a la recta y = 10 cuando:

~5¿2 + 5í + 20 = 10 <=> -5£2 -f 5

<F> (t - 2)(í

luego, £ e [0,2] =» ~5¿2 + 5í + 20 > 10.

10 == 0 - 5 ( ¿ 2 - t - 2 ) ^ 0

= ~ l o bien t = 2;

2. Una caja con base y tapa cuadradas de lado x tiene una superficie total de 600 m2. Expresar el volumen V dela caja como función de x.

• La figura de la caja.

La superfice total de la caja es

Despejando y se tiene

yy

yy

yy

y' X

y

X yS

2x2 + 4xy - 600.

600 - 2x2

y =4x

El volumen de la caja viene dado por la expresión

V = x2y.




Sustituyendo la variable y despejada anteriormente se tiene

9 600-2a;2 600a; -2x3 300a; - a:3

Ésta es la expresión solicitada.

3. Dadas las funcionesf(x) = Vf^lc & g{x) = | 5 - 8x |

obtener el dominio de / , ( / o g){x) y el dominio de / o g.

Y El dominio de f(x) = Df viene dado por el conjunto de las x que satisfacen

Ju ^_ \J ^ r ( ¿ _ Jb — P i/> \ z ^ < - > J j I J .

Por otro lado:\J ° 9)\X) — J[9\X)\ — / U O ~ OX I j — y í ~ I O — OX |

Para calcular D/O 5, primero x £ Dg. Se ve de inmediato que Dg — R.

Segundo

g(x) e Df ^ g(x) € (-oo, 7 ] = > | 5 - 8 x | < 7 = > - 7 < 5 ~ 8 a : < 7

=> -12 < -8a; < 2 12 2 3 1— >x>--=>->x>--=>

Las dos condiciones anteriores nos dan

4. Considerando la función definida por:

I x + 1 si x < 0I x2 - 2x - 3 si x > 0

(a) realizar un bosquejo de la gráfica de la función /

T A la izquierda de x = 0 la gráfica coincide con la recta i/ = a; + l y , a partir de x = 0, con la parábolay = #2 — 2x — 3 = (x — I) 2 — 4 que pasa por los puntos (0, —3) y (3,0), por ejemplo.

f (X)




(b) Realizar un bosquejo de la gráfica de la función g(x) = f(x — 3) — 2

T Trasladamos primero la gráfica de f(x) horizontalmente hacia la derecha 3 unidades y después vertí-cálmente hacia abajo 2 unidades.

g(x)

-5

(c) Obtener dominio, rango y raíces de la función g

Y Dominio: todos los números reales. Dividido en dos pedazos: (—00, 3) y [3, 00).Rango: todos los números reales.Raíces: la función g(x) es:

í [ ( s - 3 ) + l ] - 2 s i z < 3

~~\[(x~ 3 ) 2 - 2(z - 3) - 3] - 2 si x > 3;

o sea,i x — 4 si x < 3

, x2 - Sx + 10 si x > 3;

x — 4 no tiene raíces para x < 3;

x2 — Sx -\~ 10 tiene una raíz 4 -f %/6 para £ > 3.

Observa que g(A + V6) = (4 + y^ ) 2 - 8(4 + VE) + 10 - 16 + 6 - 32 - 8V6 + 10 = 0.




1. La distancia de frenado d (en pies) de un automóvil que viaja a v millas/h se calcula mediante:

V2

d = í ; + 2 0 -

Encuentre aquellas velocidades que resultan para distancias de frenado no mayores que 75 pies.

• Se pide hallar v que cumplav2

multiplicando los dos miembros de la desigualdad por 20, para quitar el denominador, nos queda

20^ + v2 < 20 x 75 .

Luego tenemos que resolver

y factorizandov¿ + 20*; - 1500 < 0;

v2 + 20t> - 1500 = (v - 30)(v + 50).

Construyamos la tabla para la desigualdad:

Intervalo

v < -50(< 30)

-50 < v < 30

v > 30(> -50)

Signo de

ü + 50

-

++

Ü - 3 0

-

-

v2 + 20^ - 1500

+

+

Luego v2 + 20̂ ; — 1500 < 0 si v £ [—50,30] y considerando velocidades exclusivamente no negativas, entoncesve [0,30].

2. Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Expresar el perímetro P del rectángulo como una función de la longitudx de uno de sus lados.

• Si x y y son las longitudes de los lados del rectángulo, entonces el perímetro es

pero como el área

obtenemos

A = x x y = 16

16




y sustituyendo tenemos

P ( x ) = 2 i + - => P ( x ) = 2 x16

3. Sif(x) = \/9 — # & #(a;-) =

obtener, reduciendo a su mínima expresión, las funciones (/ o g)(x) & (g o

En cada caso, proporcionar el dominio de la función.

T Tenemos

(fog)(x) =X ó

hx2~21~l /9a?2-28a : 2 - 3

1

Ahora tenemos

y de inmediato

también

y como

tenemos

Dfo9 = {xeDg\ g(x) e Df }

D f = { x € a:<9} = (-oo, 9] ;

= {x e R\x2 -3

x2 -3 =

Dfog = | x e R - { ->/3,V3 9 | .

Resolvamos pues la desigualdad

x2-3< 9.

Supongamos que x2~-3>0=>x2>3=>\x\>>/3=>x>\/3o bien que x < —y/3.

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por x2 — 3, tenemos

1 < 9(z2 - 3) => 1 < 9x2 - 27 => 9x2 > 27 + 1 -> 9x2 > 28 => a;2 > — =>

/28 , A/28 \/28 ,

;2 >

/oo /o Si

pero como —— > \/3 ya que 28 > 9 x 3 = 27 y simétricamente < — \/3, tenemos que la desigualdad secumple si

x G - o o , —v/28 U A/28

,-f-oo = -oo , -2\/7 U ,+oo




-VI VI

Suponiendo ahora que x2 - 3 < 0 => x2 < 3 => \x\ < y/3 =>• — \/3 < x < A/3

y multiplicando a ambos miembros de la desigualdad —̂ ^ 9 P o r x 2 *~ 3»

tenemos1 > 9(x2 - 3) =» 1 > 9x2 - 27 =*> 9a;2 < 27 + 1 =» 9x2 < 28 => | 3x | < V28 =

pero como

en definitiva la desigualdad se cumple si

2 V73

Y, por liltimo, en cualquier caso la desigualdad1

x'2-3< 9 se cumple si

- o o , •28



10 Cálculo Diferencial e Integral I

De aquí concluimos que

= - o o , - -A/28

, +00 " .

4. Considere la función

\X + 1 SÍ O < £ < 1

I x2 - 2x + 3 si 1 < x < 3.

(a) Determinar dominio, raíces, gráfica e imagen o rango de /

• ¿? /= [0,3].

Raíces de / = 0.

* , = [1,6].

La gráfica de /(x):

f (X)

A

(b) A partir de la gráfica de / , construir la gráfica de g(x) = \ f(x)

T f(x) - | f(x) | pues f(x) > 0, luego f(x) - g(x).

(c) Granear la función h(x) = - / ( z - 1) + 1

• Para obtener la gráfica de h: la curva y = /(.T) se traslada 1 unidad a la derecha, luego se refleja enel eje x y finalmente se desplaza 1 unidad hacia arriba.



Primer parcial, evaluación 2 11

y = -f(x-l)+l

5. A partir de la gráfica de la función f(x)

f (x)

determine:

(a) Los intervalos donde f(x) > 0 y f(x) < 0 así como los valores donde f(x) = 0T /(x)>0en(-3,0)U(0,3)U(5,-foo).

/ (z )<0en(-oo , -3)U(3 ,5) .

f(x) = 0 en x = —3, x — 3 y x = 5.

(b) Los intervalos de monotonía de / , es decir, dónde es creciente y dónde es decreciente• f(x) es creciente en (—oo,0) |J(4, 6).

}{x) es decreciente en (0,4) |J(6, -f oo).




1. La gripe se está extendiendo en una escuela pequeña. Después de un tiempo £, medido en días, hay

E(t) = 20¿ - t2 enfermos.

(a) ¿A partir de qué día ya no hay enfermos de gripe?

T Ya no habrá enfermos de gripe con t > 0 cuando E(t) = 0, es decir, si

20t - t2 = 0 => ¿(20 - i) = 0;

esto es, cuando 20 — t = 0; o sea, cuando t = 20, luego a partir del vigésimo día no hay enfermos de gripe.

(b) Determine los intervalos de días en los cuales hay al menos 96 enfermos de gripeT Debemos determinar t de manera que

20¿ - t2 > 96 => t2 ~ 20t + 96 < 0;

comot2 ~ 20t + 96 = (t - 8)(¿ - 12) => t2 - 20t + 96 = 0 => t = 8 o bien t = 12 .

Veamos ahora cuál es el signo del trinomio en el complemento de esos números construyendo la tablasiguiente:

Intervalo

t < 8(< 12)

8<t < 12

t > 12(> 8)

t-8

-

+

+

t-12

-

-

(*

Signo

-8) ( í -

de

- 12) = t2 - 20Í + 96

+-

+

Luego, entre los 8 y 12 días hay al menos 96 enfermos de gripe en la escuela.

13




2. En el dibujo aparece una parte de la gráfica de la función / .

f (X)

1- • 6

-7 r'6 -5 -4 -3 -2 - 1

-5o

-10

r l 2 3" • x

(a) Complete la gráfica de / sabiendo que se trata de una función par y también determine su dominio, raícesy rango (imagen)• La gráfica completa es:

f (X)

Y así resulta que D¡ = [—7,7].3 3

Raíces: - 6 , - - , - y 6.

£ , = [-10,10].

(b) Determine las soluciones de las desigualdades f(x) > 0 y f(x) < 0

• /(x)>0siír€(-6>-|)u(¡.6);

/(*) < 0 si x e [-7, -6) U (~f, | ) U (6,7].

(c) Determine los intervalos donde / es

i. creciente• La función f(x) es creciente en (-7, -4) (J (0, 3) |J (3,4) ;




ii. decrecienteT La función f(x) es decreciente en (-4, -3) 1J (-3,0) U(4, 7).

3. Una pecera de 1.5 pies de altura ha de contener un volumen de 6 pies cúbicos. Si x es el largo de la base, y suancho es y.

(a) Determine y como función de x. Además, grafique esta función

• Como el volumen de un prisma recto rectangular es el área de la base por la altura, en el caso de lapecera tenemos que l.bxy — 6, entonces

Cuya gráfica es:

2/= 1.5a:4x

•í

: = z 3 z z i»r =

Su dominio son los reales positivos y su rango es el intervalo (0, +00).

(b) Hallar la cantidad en pies cuadrados de material necesario para construir la pecera en función de x

Y Ahora el área total del material que se requiere, puesto que la pecera no tiene tapa, es la suma de lasáreas de 5 rectángulos, el fondo que tiene por área xy y las 4 caras laterales que son iguales por parejas,2 de área 1.5a: y 2 con 1.5?/.




En totalA = 2(1.5x) + 2(1.5?/) + xy = 3x -f 3y + xy

Sustituyendo y por — obtenemos, por último:x

y ahora simplificando,

í | + 4 .

+ y) +

4, La siguiente es la gráfica de una función / : [0,10] ~>

f (x)

15

10

(a) Determine su fórmulaT En [0,4] la gráfica de / es el segmento de la recta y = — 2.En [4,10] la gráfica de / es el segmento de la recta que une los puntos (4, —2) y (10,15), es decir, quetiene de pendiente

1 5 - ( - 2 ) __ 15 + 2 _ 17

y*m — 10-4

Por pasar por el punto (4, —2) su ecuación es:6

Así:

tf + 2=^-(s-4).

17 17(2) n 17 34 + 6 17 406X 3 2 ~ 6* 3 " T * 3

y.entonces la fórmula para / será:

-2 si 0 < x < 4/(a?) H 17 40

(b) Considere la función g definida por

—ce si 4 < x < 10.6 3 ~ ~

-/(-a:) si - 10 < x < 0r(z) si 0 < x < 10.

Bosqueje la gráfica de g. Determine su dominio, imagen y raíces.• La gráfica de g{x) es:




g(x)

Dg = [—10,10], dominio de g.Rg — [—15,15], imagen o rango de g.v , c . 17 40 17 40R a i c e s : S l _ x _ _ = 0 = > y X = _

40x6 40x2 80 . , , . , 80

17^3 = ~vT = Tr Asi tambien x = ~Tr(c) Sea h(x) ~ g(x 4-1) — 2, a partir de la gráfica de g obtenga la de h

V A la curva y = g(x) se le traslada 1 unidad hacia la izquierda y luego 2 unidades hacia abajo.Resulta entonces la gráfica siguiente:

h(x)

5. Determinar el dominio de la función

f(x) = y/Tü - | 3 - Sx |

T Como el cuadrado de cualquier número real es no negativo, el radicando 10 — | 3 — 8a; | debe ser mayor oigual que cero,

10 - | 3 - Sx \ > 0 t=> 10 > | 3 - Sx | & | 3 - Sx \ < 10 <=> - 1 0 < 3 - Sx < 10 <^i o 7 7 1S

^ -13 < -Sx < 7 <=> — > x > — & - - < x < —,




es decir,

D,-\ 7




1. Si desde el suelo se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/seg. entonces la alturasobre el suelo t segundos después será

h(t) = 20í - bt2.

¿Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 15 m arriba del suelo?

• Estará 15 m arriba del suelo para los t tales que

Puesto que

20t - 5t2 > 15 => 5 r - 20t + 15 < 0 => r - 4t + 3 < 0.

t2 - 4t + 3 = (t - l)(t - 3) => t2 - 4t 4- 3 = 0 para t = 1 & para ¿ = 3.

Veamos el signo de t2 — At + 3 en los intervalos abiertos de R definidos por estos puntos, o sean (~CXD,1),(1,3)y (3,+oo).

Con ayuda de la siguiente tabla

Intervalo

t< 1(<3)

1 < t < 3

t > 3(> 1)

Signo de

t - l

-

+

+

i t - 3

-

-

+

( ¿ - l ) ( t - 3 ) = t 2 - 4 t + 3

+

+

tendremos que ¿2 - 4í + 3 < 0 si t e [1, 3], que es donde h(t) = 20í - 5t2 > 15.

2. Se va a contruir un tanque rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar 8 m3 de aceite. El materialpara construir la base y la tapa tiene un costo de $1 000.00 por m2 y el material para construir los lados tieneun costo de $500.00 por m2.

Obtener el costo de la construcción del tanque en función de la longitud x del lado de la base cuadrada.

T La figura del tanque corresponde a:

19




y

y

y

y

X

/

y

X yS

El área de la base cuadrada es x2, y el de la tapa también es x2, luego sus áreas sumadas son 2x2, y entoncesel costo por construirlas, en pesos, será de 2 000x2, estando x expresada en metros.

Una cara lateral del tanque constituye un rectángulo de base x y altura digamos h (expresada también enmetros), es decir, xh.

El volumen del tanque es el área de la base multiplicada por la altura, es decir, x2h, pero como tiene que sero

8 m3 tenemos que x2h — 8; luego despejando h tenemos que fe = — .xz

8 8 / 8 \ *}2El área de una cara lateral es x -r- — - y el área de las cuatro 4 ( - 1 = —.

x¿ x \xj x

Y su c o s t o — ( 5 0 0 ) - ^ ^ .X X

El costo total de construcción C como función del lado de la base cuadrada x será

3. Dadas las funcionesf(x) = V9 - 2x, g(x) = | 3x - 4 | & h(x) = x2 - 5

' f\ fobtener ( - ) (x), (/ o g)(x), así como los dominios de las funciones - & / o g.

\h J h• Calculamos

"' h(x) x* -

»g)(x)=/[9(x)] = / ( | 3 x - 4 | ) =

Tenemos que:

Df = [x e 9—oo, -

Dg = R y £>ft = E;




luego entonces

Por último:

Pero

sumando 4

Es decir,

Df. = {x e Df[)Dh\h(x) ¿0

n x2 - 5 ji 0 \ = - 0 0 , -

- 4 j

9 9 94 | < - e q u i v a l e a - - < 3 : r — 4 < - ,

9 94--<3x<-+4.

- 9

2

9 + 8 1_____ _ > .

2 2

17

y, multiplicando por - :

Entonces

17

D(1 17

4. Considerando la función definida por

f(x) =si - 5 < x < - 3

5 4- - s i 2 < a ; < 4 .2 ~ ~

(a) Bosquejar la gráfica de f(x)

T Vemos que en ( - 5 , —3) la función es constante, por lo que su gráfica es un segmento rectilíneo paraleloal eje de las x con altura —1, es decir, parte de la recta y = — 1.

En [—3, 2) la gráfica es parte de la parábola y = —x2 + 4.

En [2,4] es parte de la recta y — -x -f 5 de pendiente - y ordenada en el origen 5.

La gráfica de f(x) es:




f (x)

(b) Considerando la gráfica de / , especificar dominio, rango y raíces de la función / ; decir además, dónde lafunción es positiva y dónde es negativaT Vemos que

Raíces: x = -2 donde 4 - x2 = 0 & - 3 < x < 2.La función / es positiva en (—2,4] y negativa en (-5,-2).

(c) Considerando la gráfica de / , decir dónde la función es creciente y dónde es decreciente• La función / crece en (—3,0) y en (2,4); decrece en (0,2).

5. Considerando la siguiente como la gráfica de cierta función /

f (x)

-2 -1

-1

realizar un bosquejo de la gráfica de la función

g(x) = -2 / (1 - 1) + 3.

Especificar la nueva posición de los puntos A(—2, —1); B(—1,0); C(0,1) & D(l,0).




• La gráfica de y — g(x) se obtiene a partir de y = f(x), mediante los pasos siguientes:

Se obtiene y — f(x - 1), trasladando 1 unidad hacia la derecha la curva y = f{x).

Se obtiene y = 2f(x — 1), multiplicando por 2 las ordenadas de los puntos de y — f(x — 1).

Se obtiene y = —2f(x — 1), reflejando en el eje x la curva y = 2f(x — 1).

Se obtiene y = —2f(x — 1) + 3, trasladando 3 unidades hacia arriba la curva y — —2f(x — 1).

Obtenemos la gráfica siguiente:

-3

Veamos la nueva posición de los puntos A, B, C y D respectivamente:




1. Sea la función:

(a) Dibuje su gráfica• La gráfica de f(x) es

/(*) =

fx-hl si - 7 < £ < -2~x2 + 3 si - 2 < £ < 3

[4 si 3 < x < 6.

f (X)

(b) Determine su dominio y su rango; también encuentre sus raíces• Vernos que:

La función es cero solamente cuando

v.2 | Q-x2 x = ¿>/3,

que son sus raíces.

(c) A partir de la gráfica, encuentre los intervalos de crecimiento y decrecimiento• En [—7,0] la función es creciente y en [0,3] es decreciente.En (3,6] es no creciente y no decreciente (es constante).

(d) A partir de la gráfica, encuentre los intervalos donde la función es positiva y donde es negativa

25



26 Cálculo Diferencial e Integral 1

T Observamos que

f{x) > 0 si x e (-\/3, y/3) |J(3, 6];

f(x) < 0 si x € [-7, -y/3) \J(VS, 3].

2. Sean las funciones:

f(x) =*v ' x 2 - 9

encuentre g o / & / O Í / . Encuentre los dominios correspondientes.

• Calculamos

(s<

Ahora tenemos

o?<

-.-2X) =^ 2 Í ) 2 - 9

4 - 2x - 4 _ - 2 x

4 - 2x - 9 = - 5 - 2x '2x

x 2 - 4x2 - 9

= W 4 - :- 4

- 9

- 9) - 2(x2 - 4)x2 — 9

2z2 - 28x2-9 '

R | 2 > x } = (-oo,2]

V- 36 -

x2-9

y como

luego entonces tenemos

= (-oo? ~3) |J(-3,3) |J(3, +oo)

Dgof = {xeDf\ f(x) e Dg } = { x e (-oo, 2] I V^- 2x ¿ ±3

Calculamos cuando \/4 — 2x = ±3. Elevando al cuadrado esta igualdad, equivale a




Luego efectivamente

Por último tenemos que

Ahora

Dfog = {xe Dg\g(x) eDf} = \x¿±3

Resolvamos pues esta última desigualdad:

2 } .

- 4

Consideremos los siguientes casos:

Si

entonces

asi mismo

x2-9>0=>x2>9=>\x\>3=>x>3 o bien x < - 3

- 4 < 2(x2 - 9) => x2 - 4 < 2a:2 - 18 => 2x2 - x2 > 18 - 4 => x2 > 14 => | x \ > \ / Í4 ;

En resumidas cuentas,

> \/Í4 o bien x < — \/Í4.

- A / 1 4-3

V14

x £ (-oo, ~ V14] IJtVTi, +oo), pues ~

En el otro caso

x2 — 4x 4La desigualdad —g < 2 equivale a

x y

< - 3 y 3 < \/Í4 =>

x < - \ / 3 .

- 4

=> 2x2 - x2 < 18 - 4 => x2 < 14 =>

9) =* x2 - 4 > 2x2 - 18 =»

> x2 < 14 =

- \ / Í 4 < x




Por lo tantox€(-3,3).

Y en resumidas cuentasDfog = (-00, -\/Í4] |J(-3,3) \J[VÜ, +oo).

3. Se deja caer una piedra en un lago, que crea una ola circular la cual viaja hacia afuera a una velocidad de60 cm/seg.

(a) Exprese el radio de este círculo como función del tiempo t• La expresión de r (en centímetros) como función de t (en segundos) es

r = 60í

ya que, en un movimiento rectilíneo uniforme como es el que tiene todo punto del frente de la onda circular,el espacio recorrido es igual a la velocidad (constante) por el tiempo empleado (t).

(b) Si A es el área de este círculo como función del radio, encuentre Aove interprete esta composición• Sabemos que

A(r) = irr2.

Luego en resumidas cuentas

{A o r)(t) = A[r(t)] = A(60t) = TT(60Í)2 = 3 600TTÍ2 ,

que es el área del círculo (en cm2) como función del tiempo t (en segundos).

4, Una partícula A parte del origen según la ley de movimiento

S(t) = t3 - 12¿2 + 36í, t > 0.

Otra partícula B parte del origen al mismo tiempo, según la ley de movimiento

y(t) = 3í.

Determine los intervalos de tiempo en que la distancia al origen de la partícula A es mayor que la de la partículaB.

• Tenemos que resolver la desigualdad S(t) > y (i)

t3 - 12t2 -f 36í > 3¿ => t3 - 12t2 + 36£ - 3í > 0 =>

=> t3 - 12t2 + 33¿ > 0 =* t(t2 - 12t + 33) > 0.

Sabemos que

t(t2 - 12* + 33) = 0.

Tanto si t = 0

como si

132 V12

2>/3 / - / 7.73205086 ± ^ " 4.2679492.




Luegot3 — 12t2 4 33£ será ^ 0 fuera de esos tres puntos.

Veamos de hecho su signo en tales intervalos conforme a la tabla siguiente:

Intervalo

t < 0(< 6 - %/3 < 6 4 A/3)

0 < t < 6 - \/3(< 6 -I- y/3)

(0<)6-v/3<í<6+v/3

t > 6 4- \/3(> 6 - y/3 > 0)

Signo de

t

-

+

+

t-6+y/3

-

-

++

t - 6 - \ / 3

-

-

-

+

t3 - 12t2 4 33*

-

4

-

4

Luegot3 - 12t2 4 33¿ > 0 si t £ (0,6 - N/3) (J(6 4 >/3, 4oo)

que es cuando la partícula A dista del origen más que la partícula B.

5. Dada la gráfica de una función f(x):

f (x)

asocie cada una de las siguientes funciones f(x 4 3), —2f(x) y f(x) — 4 con su gráfica correspondiente.

(a) T Esta es la función f(x) — 4.




(b) • Ésta es la función f(x + 3).

- 7 6 -5/ '

/

- 4

A^—'TI

- 3

^ ^

-2 - 1

10

5

3

- 5

- 1 0

(c) T Ésta es la función -2/(x).

-20




1. Sea

/(*) =x2 + 2x + 1 si x < - 12x - 3 si x > - 1

obtenga la gráfica de h(x) — f(x — 3) — 1.

T Grafiquemos primero /(#), observando que:

f(x) - (x + I)2 si < -

f (x)

Se obtendrá h(x); trasladando la gráfica de /(#), 3 unidades a la derecha y deslizándola una unidad haciaabajo:

31




h(x)

í

-2

1X. 2 3

2. La figura que se muestra es la de un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles. Exprese el área del rectánguloen función de x.

\ V ( 1 , O )

T Vemos que la base del rectángulo mide 2x\ para calcular la altura h observemos que los dos triángulosrectángulos, los cuales tienen un vértice común en V y uno de sus catetos es h y el otro es OB respectivamente,son semejantes, luego

h 1 h 1 , ,1 — x 1 1 — x

Y por lo tanto, el área del rectángulo que se pide es

A = 2x(\-x).

3. Considerando las funciones

determine expresiones para las siguientes funciones:




(a) F(x) = ((g o / ) + h)(x); además, trace su gráfica• Tenemos, usando las definiciones correspondientes

F(x) = {g o f)(x) + h{x) = g[f(x)} + h(x) = g(l - x) + h(x) = 11 - x | + 2

cuya gráfica es

Obtenida observando que

F(x)

entoncesF(x) = \x~

Y su gráfica se obtiene a partir de la gráfica de p(x) = | x | trasladándola a la derecha 1 unidad ydeslizándola hacia arriba 2 unidades, o directamente observando que

F{x) = | l ~i ar ~ 1 + 2 s i ^ ~ l > 0

I -{x- l) + 2 si x - 1 < 0 .

Es decir:

F(x) =

(b) G(x) = ^(^(a: — 2) - 3); calcule su dominio• Tenemos que

I x -\~ 1 si x > 1

I -x + 3 si a; < 1.

{x - 2) - 3] = k(\ x - 2 | - 3) - VI x - 2 I " 3.

Para calcular el dominio, consideramos las x tales que g(x — 2) — 3 > 0 , pues

Dk = R + U { 0 }, por lo que

=> £ - 2 > 3 o bien z - 2 < - 3 = > : r > 5 o bien x < - 1 ;

es decir,




4. Sea / : definida por f(x) = (2x - 3)(x2 + 5a; + 2).

(a) ¿Para qué valores de x, la gráfica de / está encima del eje xl• Véase la respuesta en el inciso (c).

(b) ¿Para qué valores de a:, la gráfica de / interseca al eje xl• La gráfica de / interseca al eje x cuando f{x) — 0, es decir, cuando

O sea, cuando

2x - 3 = O o bien x2 + 5x + 2 = O => 2x = 3 o bien a; =

3

- 5 ±

o cuando

x =-5±VÍ7 _ í-0.4384471

~2 1 -4.5615528.

(c) ¿Para qué valores de x, la gráfica de / está por debajo del eje xl• Construyamos la tabla para conocer el signo de f{x) en los cuatro subintervalos de la recta que sondeterminados por los tres puntos donde la función vale cero:

Intervalo

x < -5-vT7 (^ -5+yTr ^ 3

-.

Signo de

x —

Luego

a \ n • Í-5-VÍ7 -5 + vT^

que es donde la gráfica de f(x) está encima del eje x.

Y ahora f(x) < 0 si x e ( —oo, Í7

4-

2 ' 2

que es donde la gráfica de f(x) está por debajo del eje x.




1. Resuelva la desigualdadO < I 5 - Sx i < 7.

• Como | 5 - Sx | > 0, entonces | 5 - Sx | ^ 0; luego, 6 - Sx y£ 0, 5 ̂ Sx, x

La desigualdad

equivale a las desigualdades

Y si les sumamos —5, tenemos

luego,

Y multiplicándolas por — , tendremos—8

1 2 - 8 2 3

! 5 - Sx | < 7

- 7 < 5 - Sx < 7.

- 7 - 5 < -Sx< 7 - 5 ;

-12 < -8.x < 2.

1 3

Agregando la consideración hecha al inicio de que x ^ —, tenemos por último que el conjunto solución de las8

desigualdades 0 < | 5 — Sx | < 7 es

1 3Podemos comprobar, por ejemplo, que — y - satisfacen las desigualdades

0 < 5 - Sx i < 7

puesto que

5 - 8 ( ~

- ( I ) = | 5 - ( 4 x 3 ) | = | 5 - 7|=7.

Sin embargo ni - ni 2 las satisfacen pues

5 - 8 ^ = 1 5 - 5 1 = 1 0 1 = 0

35




y, de la misma manera,| 5 - 8(2) | = | 5 - 16 | = | -111 = 11.

2. Resuelva la desigualdad15-f2x > x.

• Si x f 4 > 0 =̂> x > - 4 => x <E (~4, +oc)

— > x & 15 -f 2x > x(x + 4) 44> 15 + 2x > x2

x + 4 ~~ - \ j4x

<=> x2 4- 4x - 2x - 15 < O & x2 4- 2x - 15 < O <̂> (x f 5)(x - 3) < 0.

Elaboremos la tabla para la última desigualdad

Intervalo

x < -5(< 3)

- 5 < x < 3

x > 3(> -5)

Signo de

x + 5

-

x-3

-

-

x2 + 2x — 15

-

+

Luego x 6 [~5,3] satisface la desigualdad x2 + 2x — 15 < 0.

Pero, como además x G (-4, 4-oo), entonces x £ [-5, 3] fl(~4> +°°) 5es decir, x 6 (—4, 3] como se ve:

-5 -4

Si ahora x 4 - 4 < 0 = > x < —4 => x £ (—oo, —4), la desigualdad

——.r- > xX4-4 ~

equivale a

15 + 2x < x(x + 4) ^ 15 4- 2x < x2 + 4x <̂>

x2 -h 4x - 2x - 15 > 0 <& x2 + 2x - 15 > 0 O (x + 5)(x - 3) > 0.




Luego, de la tabla para la desigualdad (x + 5)(x - 3) < 0 recién elaborada, vemos que

x e { (-oo, -5] |J[3, oo) } f|(-oo, -4) - (-oo, -5].

Como podemos observar en el dibujo a continuación:

-4

Por lo que en resumidas cuentas, el conjunto solución de

- ~ ~ >xes (-00, -5] y (-4,3].

Podemos comprobar que x = — 5 y x = 3 satisfacen la desigualdad pues

15 + 2(-5) 1 5 - 1 0 _ 5

Pero que x — 4 no lo hace, ya que

- 5 - 1= —5

15 + 2 x 3 __ 15 + 6 _ 213 + 4 ~ 7 7

15 + 2 x 4 15 + 8 23

4 + 4 8

3. Sean

'a; + 4 si - 2 < x < 2

obtener ( / + g){x).

T Observemos primero que Df — IR & Dg = (—2, +00),

luego Df+g = Dff]Dg = Dg ya que ( -2 , +00) C R.

Como los valores de f(x) se calculan de manera diferente según x esté antes que —lo bien después y quelos valores de g(x) sean diferentes para x antes de 2 o bien después, dividiremos el dominio de / + g en 3subintervalos: ( - 2 , - 1 ) , [-1,2) y [2,+00).




Entonces2x H- 5 + y/x -f 4 si -2 < x < — 1

si x > 2.

4. (a) Grarique la función' - z 2 - 2 z + 2 si x < O

: - 2 | si O < z < 4,3 si x > 4.

T Como- x 2 - 2x + 2 - - ( z 2 + 2x + 1) + 2 + 1 = - ( z + I)2 + 3

resulta que y ~ - x 2 — 2x -f 2 es una parábola cuyo vértice es (—1,3), eje focal paralelo al eje y, la cualdirige su concavidad hacia abajo, por lo que para x < 0, la gráfica de f(x) es un segmento de tal parábola.

Entre x — Oyó; — 4 la gráfica de f(x) es igual a la de g(x) — | x ¡ trasladada hacia la derecha dos unidades

Por último, si x > 4, la gráfica es una paralela al eje de las x trazada a una altura de 3.Por lo tanto la gráfica es:

f (X)

Á

_ 1

(b) ¿Cuáles son el rango y las raíces de

Para hallar las raíces no positivas resolvamos la ecuación

-x2 - 2 x 4-2 = 00 x2-f-2x-2=:0

con lo que obtenemos- - i ± \ /3.

Luego x = — 1 — \/3 es la única raíz negativa que tiene la función.La única raíz positiva es x = 2, luego sus raíces son — 1 — \/3 y 2.




(c) ¿Cuáles son los intervalos de monotonía de /(#)?

T La función f(x) es creciente en (-00, —1] |J[2,4].La función f(x) es decreciente en [—1,2].La función f(x) no creciente y no decreciente en [4, -j-oo).

(d) ¿La función f(x) es par o impar? Justifique su respuesta• La función f(x) no es par pues, por ejemplo, / ( - I ) = 3 / 1 = / ( I ) .Y tampoco es impar pues /(—I) — 3^—1 — —/(I).

5. Sean2

determine / o g y su dominio.

x+2 x+2

X

Df = R - {-2} pues z + 2 - 0 si x = - 2 ;

D/o, = { a; G ̂ I (;(x) € Z)/ } - j x ¿ 0 | ~ - 2 ^ -2

a: 4 - 2 2p e r o = —2 si x -f- 2 = —2a: ==>3a: = — 2 = > x = .

x 3r 21 f 2]

L u e g o e n t o n c e s , D / o y = < x ^ 0 | x ^ — > = M - < 0 , — - > .I ^ J [ 3 J




1. Resolver9x -f 3 < 20x - 100 < 15a + 200.

T La desigualdad 9x + 3 < 20x — 100 equivale a

9x - 20x < -100 - 3 =» -\\x < -103 => x >-103-11

103 103__5

y la desigualdad 20x - 100 < 15x + 200 se cumple si y solamente si

20x - 15ar < 200 H-100 =^ 5x < 300 => a? <300

=>x < 6Q=> x e (-oo,60];

las anteriores se cumplen si

como se ve en la gráfica que sigue:

10311

60

2. Resolverx2 > 3\x\ + 4 .

41




• La desigualdad x2 > 3 | x | 4-4

se transforma en x2 > 3x + 4 si x > 0

así como en x2 > 3(—x) -f 4 => x2 > -3a: -f 4 si £ < 0.

Para resolverx2 > Sx + 4 => a;2 - Zx - 4 > 0 => (x - A)(x -f 1) > 0

construimos la siguiente tabla:

Intervalo

x < -1(< 4)

- 1 < x < 4

x > 4(> -1)

Signo de

x 4-1

-

++

x — 4

-

-

+

(x + l)(a?-4)

•f

-

Pero como x > 0, parte del conjunto solución es únicamente [4, -j-oo).

Para resolver

x2 > -3x -f- 4 y x < 0 => x2 + 3a; - 4 > 0 => (x + 4) (a - 1) > 0, con x < 0

elaboremos la tabla

Intervalo

x < -4 (< 0 < 1)

- 4 < x < 0(< 1)

x > 1(> 0 > -4)

Signo de

a; 4-4

-

++

x-1

-

(x + 4)(x-l)

4-

-

Solamente nos quedamos con (—oo, —4], pues x > 1 implica que x > 0 ya que 1 > 0 y entonces no cumple conla condición x < 0.

Entonces el conjunto solución de x2 > 31 x | + 4 es

(-oo,-4]|J[4,+oo)o R-(-4,4).

Notemos que —4 y 4 están en el conjunto solución de la desigualdad x2 > 3 | x \ -f 4, pues haciendo

a: = ±4 obtenemos 16 — 12 + 4.

3. Resolver—2

2 2 2• La desigualdad < 7 es la misma que —; r < 7 => < 7.

a : - 4 - ( x - 4 ) 4 - x




Si 4 - x > O => x < 4 => x € (—oo, 4), la desigualdad es equivalente a

2 < 7(4 - x) => 2 < 28 - 7z => 7x < 28 - 2 =» 7x < 26 =>

=>£ < f =>z<E (~oo, f ) .

Pero, como también x £ (—oo,4), entonces parte del conjunto solución es (--oo, Y) e n e s^e c a s 0 -

Ahora si 4 — x < O =̂> x £ (4, -f-oo), la desigualdad es equivalente a

2 > 7(4 - x) => 2 > 28 - 7x => 7x > 28 - 2 =̂> 7x > 26 ^

=>x> f ^xe (f ,+oo).

Luego x G (4, +oc) fi ( T ' +°°) = (^ + 0 0 ) e s parte del conjunto solución también.

Por lo que el conjunto solución de la desigualdadx — 4

< 7 es

Podemos comprobar, por ejemplo, que W- no satisface a la desigualdad

26 ~ 28-26 - " 27 7 7

4 — x< 7

4. Sea la función

(a) Obtener su gráficaT La gráfica es:

f(x) = Ix2 + l s i - 2 < x < 3

7 si 3 < x.

i (x)

(b) Determinar su dominio y contradominio

(c) Calcular / ( -4) , / ( -3) , / ( -2) , /(O), /(3), /(5) & /(1000)T / ( -4) = 3, / ( -3 ) = 1, / ( -2) = - 1 , /(O) = 1;/(3) - 10, /(5) = 7 y /(1000) = 7.




5. Sean las funciones

f(x) = Vx + 3 & g(x) = -;r2 - 5Calcular, obtener o determinar, según proceda:

(a) Dominios de / , g, f + g y fgy Calculamos

Dg =

Df ^ {x £ R | z + 3 > 0 } = { a ; € R \x > --3 } = [ -3 , +00);

E R I x2 - 5 7¿ O } = { x £ R I x2 ^ 5 } =

Di+g=t-3» +°°) n { M " { ± v / ^}} ^ i~3'+o°^ ~ { ± v / ^ } =

= [—3, —y/h) [J(—V^, \/5) [J(V^5, +00);

J9/^ = D/ p | Dg = D/ +^ = [-3, - V5) (J(~\/5, V5) (J(v^5, +00).

(b) /(p(-3)); (;(/(6)) y el dominio de g(f(x))• Tenemos que:

1

9 - 51 + 12 /T3 \/l3

3) - g(V9) =

= {a;GZ?/ | /(x)€J5í ?} =

= { x 6 [-3, +00) I a; + 3 5¿

= [-3,2)|J(2,+oo).

-3 ,+oo) |> / i + 3" =

^x £ [-3,+00) \x^2} =




1. Se desea construir una caja con tapa y base cuadrada de lado x. Se quiere que el lado x sea al menos de 0.20 my que la altura sea igual al doble del lado de la base. Determinar el intervalo de variación de x para que lasuperficie total de la caja no exceda los 2.5 m2.

• Dibujamos la caja

ss

y

y

X yS

Y observamos que

x cumple la condición x > 0.20 m => x e [0.2, -foo), ya que se pide que su longitud sea al menos de 0.20 m.

Vamos a calcular el área total de la caja. El área de cada tapa es de x2. Como son dos tapas tenemos que elárea de las tapas es 2x2.

El área de cada cara lateral es de x x 2x = 2x2 y, como son 4 caras, tenemos que el área de todas las caras esde 8z2 .

Entonces el área total de la caja es de 2x2 -f 8a;2 = 10x2.

Como se pide que esta superficie no exceda de 2.5 ni2, entonces tenemos la condición

lOz2 < 2.5 => x2 < 0.25 =H s | < >/cT25 = 0.5 =4> x £ [0,0.5].

(Recordemos que x es una longitud y por lo tanto x > 0.)

La condición que debe cumplir x es

x e [0.2,+oo)p|[0,0.5] - [0.2,0.5].

45




2. Sean las funciones g(x) — y/x -f 6 & h(x) = \x\. Obtener las siguientes funciones y sus respectivos dominios

x 2 4-2(g o h) (x) k f(x) = —~K— 5

T D g = { x \ x + 6 > Q } = { x \ x > - 6 } - [ - 6 , + o o ) .

Claramente D^ — E .

((; o h)(x) - ^[/i(x)] - p(| x |) = v ^ T T 6 .

Para que x G DgOh, x tiene que cumplir las condiciones siguientes:

(a) xeDh=R.

(b) /i(x) = | a; | £Dg = [-6,+oo).

Pero esta última condición siempre se cumple, ya que | x \ > 0 > — 6.

Por lo tanto concluimos que DgQh = R .

Por otro lado /(ce) =h(x) - 5 j a? | — 5

Para que x G D¡) x tiene que cumplir las condiciones siguientes:

(a) x GDg = [-6, +oo).

(b) x e D ^ l .

Por lo cual Df = [-6, +oo) - {-5,5} = [-6, -5) (J(-5, 5) |J(5, +oo).

3. Dada la función

9{t) =i 4 - ¿2 si - 3 < i < 1

I 3í si 1 < ¿ < 2.V

(a) Bosquejar la gráfica de la función g y determinar dominio, rango y raíces

T La gráfica de la función g{t) es

g ( t )




Dominio de g: Dg = [-3, 2) - { 1} = [-3,1) |J(1, 2).

Rango de g: Rg — [—5,6).

Raíces de g — { — 2 }.

(b) Obtener los intervalos en los que g(t) > 0 así como aquellos en donde g(t) < 0

• g(t) > 0 si t e [-2,2) - { 1} - [-2,1) U(l, 2);

g(t) < 0 si t e [-3,-2).

(c) A partir de la gráfica de g, bosquejar la gráfica de f(t) — 2g(t -f 2) — 3

• La gráfica que deseamos se obtiene de la original.

i. Al desplazarla 2 unidades a la izquierda, tendremos

g ( t + 2 )

-5

3

-2 - 1

ii. Si expandimos la gráfica anterior 2 unidades, obtendremos

2 g ( t + 2 )

iii. Al desplazarla 3 unidades hacia abajo, veremos




-5 -4

/

2 g ( t + 2 ) - 3

i- 2 - 1

-13

4. Un avión que vuela a una altitud de una milla y, con una velocidad constante de 350 millas/h, pasa por unaestación de radar en el instante t — 0.

(a) Expresar la distancia horizontal d recorrida por el avión (en millas) como función de £, para t > 0

• Puesto que tenemos una velocidad constante, d = 350£, d en millas y t en horas,

(b) Expresar la distancia s entre el avión y la estación de radar, como función de d

• Se expresa así s2 = I2 + d2 => s = y/l + d2.

(c) Expresar la distancia s entre el avión y la estación de radar, como función de t

• Sustituyendo, s - ^1 + (350t)2 = >/l •+• 350212 = Vi + 122 500*2.

5. La siguiente figura es parte de la gráfica de una función f(x):




f (X)

(a) Completar la gráfica sabiendo que es una función par• La gráfica es:

f (x)

-13

\ •

(b) Determinar dominio, raíces y rango

• Dominio de f(x): Df = [-7, 7].

Raíces: {—1,1}.

Rango de f(x): Rf = [-13,3] |J(5,9].

(c) Determinar los intervalos de monotonía• La función decrece en [—7, -3) y en [0,3].

La función crece en [-3,0] y en [3, 7].




1. Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide x cm.

Exprese el área del triángulo en función de x.

Y Construimos la siguiente figura:

Como la altura correspondiente a un vértice de un triángulo equilátero también es mediana, entonces, por elteorema de Pitágoras tenemos que la altura h es igual a

Por lo tanto, el área del triángulo será - de la base x por la altura h — —x\ esto es

A, \ l V3 \/3 2A(x) = -xx Ifx^-J-*

2. Encuentre el conjunto solución de la siguiente desigualdad

5 - -x

51

< 1.




• Esta desigualdad equivale al sistema de dos desigualdades

— 1 < 5 < 1; sumando —5 tenemosx

- 1 - 5 < 5 - - - 5 < 1 - 5 --=> -6 < — < -4;x x

y multiplicando por — 1 se obtiene

(a) Si x > O, multiplicando por x tenemos

6 > - > 4.x

6x > I > 4x => 6x > 1 => x > - k 1 > 4x => x < - .6 4

Luego, el conjunto solución de 5 - :- 1 para el caso de x > 0 es

y esta intersección es igual a1 16'4

(b) Si x < 0, multiplicando por x tenemos 6:r < 1 < 4x => 6x < 1 => x < -

Luego, el conjunto solución de 5 - -x

< 1 para x < 0 es

14"

(-oc,0)n(-oc,-

. 1 1Pero este conjunto es vacio pues - < - .

6 4

Por lo que el conjunto solución de o < 1 es únicamente

1 16'4

Podemos comprobar que x — - & x = - no satisfacen la desigualdad6 4

o

= | 5 - 6 | = | - l | = 5 - T = 1 5 - 4

< 1, pues

111 = 1;

para ambos casos




3. Encuentra el conjunto solución de la siguiente desigualdad

2x2 4- x <

• Esta desigualdad equivale a

2x2 f x - 6 < 0<4>2 (x 2 + - x - 3 ) < 0<^2(x4-2) ( x - - ) < 0 <=> {x -f 2)(2x - 3) < 0.

Construyamos la tabla para esta última desigualdad

Intervalo

z<-2(<§)

-2 < x < |

( - 2 < ) § < z

Signo de

x + 2

-

4-

4-

2 x - 3

-

-

4-

2x2 -f x - 6

4-

-

4-

Luego el conjunto solución de 2x2 4- x < 6 es únicamente í —2,

Podemos comprobar que x ~ —2 & x = - no satisfacen la desigualdad 2x2 + x < 6, pues,

2(~2)2 - 2 - 2 x 4 - 2 = 8 - 2 - 6

9 3 9 3 12

y para ambos casos,

4. Dada la siguiente función|x + 2| si x < - 2

/ 4 - x 2 si - 2 < x < 2

- 2 si x > 2.

Obtenga la gráfica de g y diga si es par, impar o ninguna de las dos. Dé su rango.

T Observemos que x < - 2 implica que x + 2 < 0, luego para este caso

z + 2 | = ~~(x 4-2)=»- |a? + 2 | = - [~(x + 2)] == x 4- 2;

además la gráfica de y — x 4- 2 es una recta de pendiente 1 y de ordenada en el origen 2.

Si hacemos p(x) — y, vemos que para — 2 < x < 2, tenemos que

y — \/4— x2 — 4 - x2 => x2 4- y2 — 4

que es una circunferencia de centro en el origen y radio 2, de manera que y — \Z4~^~x^ es la semicircunferenciasuperior;

y — x — 2 es una recta de pendiente 1 y ordenada en el origen —2, luego la gráfica de g(x) es:




g(x)

t

-4 -3 ,/-2

— 1

- 2

No es par ni impar; además /?p —

5. Si

-x

(a) Encuentre los dominios de / y de g

Y Df = IR y £>p = R - { 1 }.

(b) Dé las reglas de correspondencia así como los dominios de las siguientes funciones:

y ; 9 o f & f ° 9• Calculamos

Observemos que

luego

f)K ' f(x) ' x3 + 2' (x-l)(x3

Dff\Dg =R-{1}

y que f(x) — 0 si :c3 + 2 — 0, es decir, si #3 = —2 o bien x — \í-~2;

(x3 + 2) - 1 x3 + 13 + 1 '

= { a: € JO/ |

- { x e

= { a; | x3 + 2 \ x3 ¿ - 1

x~l8 -h 2(x3 - 3x2 + 3x - 1) 2x3 - 6x2 + 6x -f 6

2 -

; y también(x - I)3 (x - I)3

Dfog = {x G A,r U(x) G £ / } = | x ^ 1 - ^ G R J = R - {1},

pues x ^ 1 implica quex - 1




1. Resuelva la siguiente desigualdad6x - 5

• Si x ~ 2 > O, es decir si x > 2, la desigualdad dada equivale a

6x - 5 < 7{x - 2) => 6x - 5 < 7x - 14 =>=> - 5 -f 14 < 7a: - 6x => 9 < a: => a: G (9, +oo),

ya que x > 9 implica que a: > 2, una parte del conjunto solución es (9, -foo).

Si a: — 2 < 0 => a: < 2, la desigualdad dada equivale a

6a: - 5 > 7(x - 2) => 6x ~ 5 > 7x - 14 =̂ - 5 + 14 > 7x - 6.x=> 9 > x => a: G (-oo,9)

y la otra parte del conjunto solución será entonces

(-oo,2)f |(-co,9) = (-oo,2)

pues 2 < 9.

El conjunto solución será entonces

(-oo, 2) |J(9, -foo) o bien R - [2,9].

Podemos, por ejemplo, comprobar que x = O y que x = 1 satisfacen la desigualdad

x = 9no satisface la desigualdad, ya que

9 ^

2. Resuelva la siguiente desigualdad1 < |8cc + l | < 9.

T La desigualdad de la izquierda 1 < | Sx -f- 11 equivale a

1 < Sx + 1 o bien 8a; + 1 < - 1 ;

55




a su vez éstas equivalen a

y éstas equivalen a

Por lo que su conjunto solución es

0 < Sx o bien 8a: < - 2 ;

0 < x o bien x < — .4

Así mismo, la desigualdad de la derecha | Sx -f 11 < 9 equivale a

- 9 < Sx + 1 < 9;

y a su vez estas desigualdades, a

10-10 < Sx < 8 (restándoles 1) y dividiendo entre 8: — < x < 1;

es decir,

Y el conjunto solución de 1 < | Sx -f 1 | < 9 será por último

como se infiere de la gráfica siguiente

-i-1 -4

- 5 / 4

Ahora podemos comprobar, por ejemplo, que , — , 0 y 1 sí satisfacen las desigualdades4 4

1 < | Sx -f 11 < 9, ya que respectivamente:

1 < | -10 +

Pero, en cambio, ni —2, ni —-, ni 2 las satisfacen ya que8

1 < | -16 + 11 ¿ 9, 1 £ | -1 + 11 < 9, 1 < 116 + 11 ¿ 9.




3. Un pedazo de cable de 10 m se corta en 2 pedazos de longitudes x Se 10 — x. El primero se dobla en formacircular y el segundo en forma de cuadrado. Exprese la suma de las áreas del círculo y del cuadrado como unafunción de x.

• La longitud de la circunferencia es x — 2?rr, donde r es su radio =>- r

por lo que el área del círculo es

^nr2 = 7T—2 -

2?r

4?r '

10 — xEl perímetro del cuadrado es 10 — x — 4/, donde I = — - — es la longitud de su lado

y, entonces, el área del cuadrado es

Finalmente la suma de las áreas del círculo y del cuadrado será

Jb V.-*-^-' " ^ } iJ/ \^ /I I i-U Jb J

4?r 16 16TT

4. Hallar el dominio, graficar y determinar el rango de las funciones:

• Df = R . Y su gráfica:

-x2 si x < 0

1 si 0 < x < 1

x2 + 1 si 1 < x.

f (X)

t

= (-oo,0]U{l}U[2,+oo).

(b)2x

I x I -\- 2x'




• Tenemos que:

I x I + 2x =

Luego, | x | + 2x = 0 únicamente si

También

Cuya gráfica será:

con lo cual, R¡ = < ~,

x H~ 2x si x > 0 [ 3x si x > 0

-x + 2x si x < 0 [ x si x < 0.

r Df = R ~ { 0 } .

2x- s i x > 0 (_ s i a j > 0

2x— si x < 0 I 2 si x < 0.x

f (X)

to2




1. Resolver la desigualdad

X U

T Consideramos los siguientes casos:

(a) Si x - 5 > 0 => x > 5 => x € (5, +oo)

la desigualdad queda, después de multiplicarla por x — 5,

| 3z - 4 | < -2(x - 5) =» | 3a: - 4 | < -2a? 4-10;

misma que equivale al sistema2x - 10 < 3x - 4 < -2a; -f 10.

i. La desigualdad 2x — 10 < 3a: — 4 equivale a

-10 + 4 < 3a? — 2a?, y ésta a - 6 < a?, es decir, x € (-6, -f oo).

ii. La desigualdad 3 x - 4 < - 2 x + 10 equivale a14 / 14\

3x -f 2x < 10 + 4, y ésta a 5a; < 14, x < —, es decir, x e ~CXD, — .5 V 5 y

Luego entonces, el conjunto solución de la desigualdad | 3a? — 4 | < —2x + 10 es

(-6, +oo) f) (-oo, y ) = (-6, y ) = (-6,2.8)

pero, como a? > 5, el conjunto solución de < — 2 para a? > 5 es vacío.X O

(b) S i a ; - 5 < 0 = í > a : < 5 = > x € (—oo, 5)3a? — 4 I

la desigualdad < — 2 nos queda, después de multiplicarla por a? — 5, comox — 5

| 3a? - 4 | > -2 ( .T - 5) =¿> | 3a: - 4 | > -2a: + 10 =^

=> 3x - 4 > ~2a: -f 10 o bien 3a; - 4 < - ( -2a ; + 10), es decir, 3a? - 4 < 2a? - 10.

i. La desigualdad 3a? — 4 > —2a? -f 10 equivale a

14 /14 \3a? + 2a? > 10 + 4 =̂> 5a? > 14 =» a? > — => x G I —, 4-oo I .

5 \ 5 /

ii. La desigualdad 3a? — 4 < 2a? — 10 equivale a

3a? - 2a: < -10 + 4-=>x<-6=>xe (-oo, - 6 ) .

59




Por lo que el conjunto solución de | 3x — 4 | > —2x ~f 10 en este caso es

El conjunto solución total de

que es igual a

como se ve en la gráfica

x - 5— 2 será, considerando que x < 5,

(-oo,-6)(J 14

-6 14

14 I 3x — 41Para comprobar que ni —6 ni — ni tampoco 5, que ninguno, satisface la desigualdad < - 2

5 x — 514

debemos sustituir x = — 6 y x = — ; a l hacerlo tendremoso

118-41 2 ^ b ^ J < 2-6-5 -11

42-20

229 <̂ 9*

14< -2=>

2222

14-25< -2 ^ — T r < -2 => < -2 => -2 < -2 .

— 1 1 — 1 1

Las cuales son falsas, pues —2 ̂ —2.

Y además x =fi 5, pues x = 5 implica que x — 5 = 0, por lo cual no está definida

2. Sea

3a; - 41a ? - 5

x + 5 si x < - 5

/(re) = ^ \/25 - x2 si - 5 < x < 5

5 — x si x > 5.

Obtenga el rango, las raíces y esboce la gráfica de / . Diga si es par, impar o ni una cosa ni la otra.

• Tenemos




(a) Para x < —5, la gráfica de / es la recta y = x -f 5.

(b) Para x > 5, la gráfica de / es la recta y = 5 — x.

(c) Para — 5 < x < 5, si hacemos f(x) = y} vemos que f(x) = A/25 — x2]

nos queda y = v 25 — x2.

Elevando al cuadrado esta igualdad obtenemos

y2 = 25 - x2 => x2 4- y2 - 25

que representa a la circunferencia con centro en el origen y radio 5.

Luego y = \/25 — x2 representa la semicircunferencia superior

y la gráfica de f(x) entonces nos queda de la forma siguiente

-7 - 6 / \ 6 1

• \ !

Nótese que para x < —5, la gráfica es parte de la recta y = x + 5, de pendiente 1 y ordenada al origen 5. Yque para x > 5 la gráfica es parte de la recta y — — x ~\~ 5, de pendiente —1 y ordenada al origen también 5,

Ahora observamos claramente que Rf = (—oo,5], que las raíces son x = ±5 y que la función es par pues sugráfica es simétrica con respecto al eje de las y.

3. Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud x de uno de sus lados.

• Usaremos el siguiente dibujo

x/2




Como la altura de uno de sus vértices es también mediana tenemos, por el teorema de Pitagoras, que

h= \ x2

&-

3x^_ __ y/34 ~ '2 X-

Ax2 - x2

Y el área será entonces

Es decir,

. 1 x/3 \/3 2

2 ~2~ ~ ~T" '

A(X) =




1. El número de millas M(v) que cierto auto compacto puede recorrer depende de su velocidad v en millas/h,según la función

M(v) = - — v2 + -v donde 0 < v < 70.oU 2i

¿Para qué velocidades se recorren al menos 45 millas?

• Será para las velocidades v tales que

~~3QV + 2V ~

Es decir, siempre que1 2 5

multiplicamos por —30 para quitar el denominador

v2 — 75"u + 45 x 30 < 0; y ahora obtenemos

v2 - 7rov + 45 x 30 = (v - 30)(?; - 45).

Construyamos la siguiente tabla para resolver la desigualdad

Intervalo

v < 30(< 45)

30 < v < 45

v > 45(> 30)

Signo de

i?-30

-

4-

v -45

-

v2 - 7bv + 45 x 30

-

Luego la desigualdad se cumple si v G [30,45].

Podemos verificar, por ejemplo que M(30) = M(45) = 45 ya que

Af(30) = - ^ ( 3 0 ) 2 -f ^30 = -30 + 5 x 15 = -30 + 75 = 45;

5 4 5 x 4 5 5 x 4 5 _ 3 x 4 5 5 x 4 5 ( -3 + 5)45 2 x 4 5— 45.

2. Un envase cilindrico tiene una altura igual al triple del radio r.

(a) Determine la superficie del envase, considerando sus dos tapas, en función del radio

• Usaremos las siguientes figuras:

63




La superficie S del envase será el área lateral que claramente es el área de un rectángulo de altura 3r y debase la longitud de una circunferencia de radio r, 2?rr, esto es, 67rr2, más el área de las dos tapas, 2rrr2;en definitiva:

S(r) = 6nr2 + 2nr2 = 87rr2.

(b) Si se desean fabricar envases cuyos radios están entre 3 y 5 dm, ¿cuál es la respectiva variación de volumende los envases?

T Como el volumen del cilindro, V(r)y es el área de la base 7rr2, por la altura 3r, entonces V(r) -- 37rr3,y cuando r = 3 dm tenemos V(3) = 81TT dm3 y F(5) = 375?r dm3, por lo que V(r) G [81TT, 3757r].

3. Si

f(x) = A/4 - x y g(x) =x2 - 1

obtener, reduciendo a su mínima expresión, las funciones (/ • g){x) & (g o f)(x).

En cada caso proporcionar el dominio de la función.

T Tenemos que:

Como

y como

tenemos que

( y ^ i — X j — 1 T L X 1 O ' Jb

Df = {x e R | 4 - x > 0 } = {a:G R | a; < 4 } = (-00,4]

D9 = R - { - 1 , +1} , que es donde x2 - 1 / 0 ,

\ f(x) eDg}=--{x<4 | VI^~ ±1




y finalmente >/4 — x = ± l s i 4 — a; = l ; es decir, si x = 3, tenemos que

4. Considere la función# + 5 si - 8 < z < 0

\y/x si 0 < x < 6.

(a) Determinar dominio, raíces o puntos en donde la función vale cero, gráfica y rango o imagen de /

T La gráfica es:

-8 -6

f ( x )

V62

1

-3

2 3 4

Raíces : —5 & 0.

(b) A partir de la gráfica de / , construir la gráfica de h(x) ~ 1 — 2f(x -f 3).T Hacemos lo siguiente:

i. Desplazamos 3 unidades a la izquierdaf(x+3)

A* 5

2

-11 -9/^J -3 -1

ix -i

111

1 3




ii. Multiplicamos por -2

- 8 \

- 2 ] ¡ ( x + 3

-4

- 1 0 •

iii. Desplazamos 1 una unidad hacia arribal - 2 £ ( x + 3 )

- 1 1 -3\... -1

- 9

5. A partir de la gráfica de la función f(x):

f (X)

J i V--4

"A

, 1 / 2 3



Primer parcial, evaluación 13 6?

Determinar:

(a) Los intervalos en donde f(x) > 0 & f(x) < 0; así mismo, los valores en donde f(x) — 0

T La función f(x) > 0 si x € ( -4 , - 2 ) (J(~2, -1 ) |J(2, 7).

La función f(x) < 0 si x e (~co, -4 ) U ( - l , 2) U(7, +oo).La función f(x) = 0 si x — —4, — 1, 2, 7.

(b) Los intervalos de monotonía de / ; es decir, averiguar dónde es creciente y dónde es decreciente

T La función / es creciente en (•—oo, —2) y en (0.5, 5).

La función / es decreciente en (—2,0.5) y en (5, +oo).




1. Resuelva el sistema de estas dos desigualdades

3a:2 - x + 4 > 3a:2 + 2x>5.

¥ Comenzamos por hallar los conjuntos solución de

3x2 - x 4- 4 > 3x2 4- 2z

y de3x2 + 2x > 5,

Vamos a continuación a intersecarlos, es decir, a hallar los números que satisfacen simultáneamente a ambasdesigualdades.

Para resolver 3a:2 — a: 4-4 > 3a?2 4-2x, traspongamos términos poniendo en el segundo miembro de la desigualdadtodos los términos que tienen x de la forma siguiente:

44>3x=>x< --:

con lo anterior comprobamos que el conjunto solución es

- c o , •

La segunda desigualdad 3x2 4- 2x > 5 es equivalente a

2 52 a : - 5 > 0 < ^ 3 ( a : ^ 4 - - a : - ~ ) > O <;

ó O

3(x - 1) { x 4- - ) > 0 <̂> (x - l)(3x 4- 5) > 0.3 .

Construyamos pues ahora la tabla para esta desigualdad

Intervalo

*<-§(<!)-1 < x < 1

x >!(>-§)

Signo de

3x + 5

-

4-

x- 1

-

-

3x2 4- 2x - 5

4-

-

4-

Con ella tenemos3a:2-f 2 z - 5 > 0 si a: G í-oo, ~ | (J[l,4-oo);

69




por último, el s is tema de dos desigualdades 3x2 — x 4- 4 > 3a:2 -f 2x > 5 se cumple si

El d iagrama asociado a es ta operación es el que mostramos ahora

4 /3

1 I

—5 4Puedes comprobar, por ejemplo, que — , 1 y - sí satisfacen el s is tema de las dos desigualdades, mientras que

o o0 no cumple la segunda, Sx -f- 2x > 5, pues 0 2; 5.

2. Resuelva la desigualdad2 - 3 a :

• Sabemos que, 1 2 - 3x 1 2 - 3a; 1„> <̂ >- j> — o u i e n <s^ "

~ 4 a; + 3 ~ 4 x + 3 ~~ 42 — 3a; 1

Para resolver ;- > - multipliquemos ambos miembros de la desigualdad por A(x + 3) para quitar los

denominadores.

(a) Si x 4- 3 > 0, es decir, si x > —3, obtenemos

; - 1 2 a ; > a ; - f 3 = > 5 > 13x => x <13

por lo que parte del conjunto solución es el intervalo

- Í , 5 I .

(b) En cambio, si x + 3 < 0, es decir, si x < — 32 — 3x 1

la desigualdad > - se transforma enx + 3 4

i - 1 2 a ; < a ; - f 3 = > 5 < 13a; => a; >13

ya que se multiplica por un número < 05

pero, no existe un número x que sea menor que —3 y mayor que —, por lo cual en este caso, el conjunto-L o

solución es el conjunto vacío.




Por lo tanto el conjunto solución de 2 Qx 1> ~ es precisamente

~3'13 r

Puedes comprobar, por ejemplo, que — satisface la igualdadlo

2 — Sx 1Análogamente procedamos con — < — , multiplicando por 4(z -f 3).

x -f 3 4

(a) Si x + 3 > 0, x > —3, tenemos que

8 - 12z < - ( z 4- 3) =» 8 - 12z < - z - 3 => 11 < l l z => x > 1;

parte del conjunto solución es [1, +oo) pues si z > 1, también se cumple que x > —3.

Comprueba que 1 cumple2-3xx + 3

1pues

- 1

(b) Si x -|- 3 < 0, x < —3, la desigualdad se transforma en

118 - 12z > -x - 3 => 11 > l l z => x < — => x <l

por lo que parte del conjunto solución es (—oo, — 3) pues si x < —3, también cumple que x < 1 ya que

Luego entonces, el conjunto solución de la desigualdad es

< - - es (_oo,-3)lj[l,+oo).

Por último, el conjunto solución de

Ahora, su diagrama:

z + 3

2 ~3zz + 3~ ~ es

{-3}

- 3_ _13

Comprueba, por ejemplo, que x = — no cumple la desigualdad1«5

2-3x> - ya que

2

613

1813

+ 3

26

6

- 1 813+ 3913




3. El número de vibraciones (V) de una cuerda que vibra es directamente proporcional a la raíz cuadrada de latensión T de la cuerda. Una cuerda particular vibra a 864 vibraciones por segundo, sometida a una tensión de24 kg.

864 - fcV24

(a) Exprese el número de vibraciones de esta cuerda en términos de la tensión T

Y Ya que el V es directamente proporcional a VT , entonces existe una constante de proporcionalidadk tal que V — ky/T. Para la cuerda en consideración tendremos entonces que

por lo tanto

y por último que

864 864 V 24 ,— , r-k = ~p= - v - 36^24 = 36VÍX 6 = 72\/6;

\/24 24

^-72v/6v/T-72v/6T.

(b) Determine el número de vibraciones por segundo (V/seg.) cuando la cuerda esté sometida a una tensiónde 6 kg

• Si T — 6 tendremos que

V = 72\/6 x 6 = 72 x 6 = 432.

4. La función / es par, y para x e [2,10] tiene la gráfica de la figura siguiente así como el valor f(x) -- —4 six 6 (10, -foo).

f (x)

f

-2

-4

8\ 10

(a) Complete la gráfica de /

T La gráfica completa es:




f í x )

í r!\

\J2 4 6

(b) Obtenga su dominio, raíces y rango, y además determine a partir de la gráfica completada las solucionesde f(x) > 0 y de f(x) < 0• Su dominio: Df = (-oo, -2) |J(2, -boo).Raíces: x = - 8 , -4 , 4 & 8.Rango = {-4}|Jh2,4].La función f(x) > 0 ^ x G ( -8 , -4 ) | J ( -4 , -2 ) |J(2, 4) (J(4, 8).La función f(x) < 0 <t> x e (-oo, -8 ) IJ(8, -foo).

5. Considere las funciones

f(x) =

(a) Obtenga los dominios de / y g• Df - K - { a; E R | x4 - 16 = 0 }.Pero como

x4 - 16 - (x2 + 4)(x2 - 4) = (x2 + 4)(x -f 2)(x - 2 ) y x 2 + 4 > 0 ,

entonces,I ) / = R ~- ( -2 ,+2) ;Dp = { a ; E R | a ; - l > 0 } = [l, -f-oo).

(b) Obtenga fórmulas y dominios de las funciones / + g\ —; / o g\ g o fg

• Calculamos:

Df+9 = Dff]Dg = {R - {-2,+2}} f|[l,+oo) =

= { Df f]Dg } - { x e R | fl(a:) = 0 } --=




(f

1 1_. 16

x ~ 1 - 16 x - 17

D f o g = {xeD9\ g(x) eDf} = lxe[l, + o o ) I ( x - 1) 4 ^ ± 2

Y como (x - l ) í = ±2 => x - 1 = (±2)4 => x - 1 = 16 => x = 17, entonces

DfO9 - [1, +oo) - { 17 } = [1,17) | J (17, +oo);

1x4 - 16 - 1 6

i

Dgof =

l - x 4 + 16Vx4 - 16

xeDf\ f(x)

- 16

-{ - 2 , +2- 1 6

i. Si x4 - 16 > 0 =» x4 > 16 =» | x | > 2 => x > 2 o bien x < - 2 ;y multiplicando por x4 — 16

1 > 1 <& 1 > x4 - 16 <̂> x4 < 17 <=> I x I < 17ix4 - 16

es decir,

luego entonces,

x € 1-174,17^1 ;

aJ€[-174>174]f|{(2>+oo)U(-oo,-2)}= [-171, - 2 ) |J ^2,17i] .

ii. Ahora si x4 - 16 < O ̂ x4 < 16 => I x I < 2 =» x e (-2. 2); multiplicando — > 1 por x4 - 16,

tendremos que

1

~ 1 6

y entonces.

1 < x4 - 16 => x4 > 17 => x! > 174 => x > 174 o bien x < -174

G (-2, 2) f| i f-00, -17i] |J Íl74, +00) J - 0.

El conjunto solución de — > 1 es precisamentex4 — 16

[-17Í,-2)U(2,17Í

y como ±2 no están en el conjunto solución, nos queda

Dgaf= -174 , -2 M 2.171 .




1. Resolver la desigualdad

I 3x - 4 I - 1 > 4x.

• Ésta es equivalente a

y esto ocurre si

I 3x - 4 I > Ax + 1

3x — 4 > 4x + 1 o si ocurre 3x — 4 < — (4x + 1).

De la primera opción se infiere que-5 > x => x G (-oo, —5] ;

y de la segunda que

3x — 4 < —4x —

luego el conjunto solución es

3 / 31- =4> x <E ( - o o , - ;

-oo, -5] | J í -oo , - - I -oo, - , pues (-oo, -5] C í -oo, - .

3 3Verifiquemos que - sí satisface la desigualdad; poniendo en lugar de x, - nos queda:

y efectuando las operaciones indicadas

^ 12

9 - 2 8— 1 =

-19 . 19 1 9 - 7 12— 1 = 1 = —-— = — que electivamente

En cambio x = 1 no la satisface, pues | 3 — 4¡ — 1 -

2. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos adosados a dos de sus lados opuestos. Si elperímetro del terreno es de 800 m, hallar el área A del terreno en función de la longitud I de uno de los ladosdel rectángulo.

T Dibujemos primero el terreno.

75




Su perímetro de 800 m, es igual a

P = 800 = 2h + 2TT- = 2h + TTZ ;

su área esI2

A = Ih + n— .4

Si queremos expresar esta área en función exclusivamente de /, tenemos que sustituir el otro lado h en términosde I y esto lo podemos hacer pues como

Se sustituye este valor y

A

800 - ni800 = 2/i -H 7T¿, entonces h =

, 8 0 0 - T T / ni2 1600/ - 2TT¿2 + rd2 16001- ni2

esto es,

3. Dadas las funciones

y

f(x) =2x2 -5x-3 con x > -10

- 1 si x < 0

= ^ o si x = 0

1 si a; > 1

obtener fórmula y dominio de la función h o / .

T Tenemos que

luego,

Df - [-10, +00) yDh = (-00,0] ( J (1, +00);

= { x E D/ I / (x) E 2?fc } =

= {_r E [-10, +00) I 2a:2 - 5x - 3 < 0 o bien 2a?2 - 5a? - 3 > 1 } .




Resolvamos pues estas dos ultimas desigualdades: 2x2 — 5x - 3 < 0 equivale a

2 2

Como

2 5 3 A

5 4 / 2 ^ T 2 4 5 / 4 9 5 7

Luego a su vez la última desigualdad equivale a í x + - ) (x — 3) < 0.

Construyamos ahora la tabla

Intervalo

X <C 5 N '

- § < x < 3

Signo de

T 4- X

X T 2

-

+

+

X O

-

+

V ' 2 / v J

-V

-

Por lo que el conjunto solución es [— | , 3].

5Por último la desigualdad 2x2 — 5x — 3 > 1 equivale a 2x2 - hx — 4 > 0, y ésta a su vez a x2 - -x — 2 > 0.

zComo

x2 - -x - 2 - 0 =»

=> x -—4 2

5-V57

tenemos, ahora sí, que resolver í x 1 I x I > 0, para lo que construimos la tabla

V 4 ) V 4 /

Intervalo

5-V574

5W574

> VWf\4 J

Signo de

x —5-V57

4

-h

Por lo que el conjunto solución de la desigualdad propuesta 2x2 — 5x — 3 > 1 es

/ 5 -<s /57 \ i i A -



78 Cálculo Diferencial e Integral T

y por fin el Dhof es el conjunto de los puntos de [—10, +00) que están en

5 - A / 5 7 '—oo,

1 I i i

ho'3 U ^ ) + o o U ( - o o , 3 ) " ^ V 5 7

lo que quiere decir

-10, (-00,3

Podemos observar que « —0.637 y que ~ 3.137.

dibujamos la gráfica ahora.

rfs - 0 . 6 3 7 1 3 3,137

Se calcula entonces

(h o f)(x) - h[f(x)] = h(2x2 -— 1 si 2x2 — 5x — 3 < 0

- 3) = {O si 2x2 - 5x - 3 = 0

1 si 2x2 - 5x - 3 > 1

lo que convertimos en

(hof)(x)

-i

0 si x —

12 "

l— o bien x = 3

-oo,5 + >/5 ,— - 4 , -f-oo

4. Considerando que la figura siguiente es un bosquejo de la gráfica de cierta función / , obtenga el dominio, elrango, las raíces así como un bosquejo de la gráfica de la función g(x) = — 3/(x -f 5) -j- 2.




f (X)

V Df = [1, 8), Rf - (-oo, 4], raíz x = 4.

Para graficar g{x) tenemos que trasladar la gráfica de f(x) 5 unidades a la izquierda, "expandirla" 3 unidades,reflejarla con respecto al eje de las x y por último deslizaría hacia arriba 2 unidades.

Como Dg = [—4, 3) e igualmente, como

g(-4) = - 3 x / ( I ) + 2 = - 3 x 1 + 2 = - 3 + 2 = - 1 ;

+ 2 +2== | Z™g(-l) = - 3 x / ( 4 ) + 2 = - 3 x 0 + 2 = 0 + 2 - 2 ;

0 ( 0 ) - - 3 x / ( 5 ) + 2 = - 3 ( - l ) + 2 - 3 + 2 - 5 ;

= ~3x /(6T) 4-1

y como5;

g(3~) - -3/(8~) + 2 - -3"(-oo)" + 2 = " + oo" + 2 - " + oo",

encontramos que la gráfica de g{x) es

g(x)

-4 -2/

- - - 7

- 1 0




1. Si f(x) es una función par cuya gráfica para x > 1 es la que se indica en la figura

f (X)

1

- 3 - -

i \ *

! v / í1 2 3

\

• fe»

\j

completar la gráfica, indicar su dominio, sus raíces y su contradominio (rango).

• La gráfica completa es:

f (x)

2 o

\

-5 /4 -3 -2 -1

i /

-3

2 3 41 2 3 4 5

81




Raíces x — —4, x = — 2, x = 2 & x = 4.

2. Dada la función/(x) - V2Í 2 - x - 6

calcular su dominio, sus raíces, la paridad, contradominio (rango) y esbozo de su gráfica.

T Las raíces son los puntos x 6 Df tales que f(x) = 0; esto es y2x2 — x — 6 = 0 =>

=» 2x2 - x — 6 — 0, por lo que

1 ± VT+ 48 1 ± V49 1 ± 7

x = 2 y x — — son las relices y el Df — { x 6 IR | 2x2 — x — 6 > 0 };

í i 3 0 1D / = xG R | x = - - , x = 2 o bien 2x2 - x - 6 > 0 >.

Como 2x2 - x - 6 = 2(x - 2) I x H- - ), se cumplirá la desigualdad 2x2 — x — 6 > 0 si

x - 2 > 0 & x - h | > 0x> 2 & x > - |

x € (2,+oc)

o bien x ~ 2 < 0 & x - h | <o bien x < 2 & x < — | ;o bien x G (-oo, — | ) ;

(-oo,- |)U(2,+cx));

y por último, Df = (-oo, - | ] t j [2, H-oo).

La función / (x) no es par ni impar, de hecho ni siquiera su dominio es simétrico con respecto al origen; porejemplo — § € Df pero | 0 D / .

fl/ = [0,+oo).

f (X)

Tenemos que

f (— | ) = /(2) = 0 así como que /(—2) = 2; también que

/ ( - 3 ) = \ / l5 « 3.87; y además que / ( - 4 ) - \/30 « 5.48; /(3) = 3, /(4) = >/22 w 4.69;

/(5) = A/39 « 6.24, etcétera.




3. ResolverI 2 - 7x I < 4

T Esta desigualdad equivale al sistema

-(4-3a?) < 2 - 7 z < 4 - 3 z .

La primera desigualdad, — 4 -f- 3x < 2 — 7x, se cumple si

7x + 3x < 2 4- 4 <=> lOz < 6 <̂> x10 5

- 2 1La segunda desigualdad, 2 - 7x < 4 — 3x, se cumple si 4x > - 2 <=> x > — ^> x > —-.

1 3Luego, ambas se cumplen si — - < x < ~.

z o

r i 3 iEntonces el conjunto solución es — , - .

2 54. Sean

g(x) = \ / 9 ^

(a) Indicar dominio, contradominio y raíces de / y de g• Vemos que:

Dg-=

- - 8 = 0 } = - l R ~ - { x G E | x 2 = - 4 } -f 9 1 / 9 ]

0} = <xeR - > a; ^ = í - o o , --

Observemos que f(x) es par, que /(O) = — y que en [0, 2) y en (2, -f oo) f(x) es decreciente; efectivamente8

0 < xi < x2 < 2 => 0 < x\ < x\ < 4 =» 0 < 2x\ < 2x\ <

=> - 8 < 2x\ - 8 < 2^2 - 8 < 02x2-8 < 1

1

Y también que

0 < 2 < xi < x2 => 4 < x\ < x\ => 8 < 2xj < ^xí

0 < 2xf - 8 < => - 8 2x\ -- 8

' 2x\ - 8 2x\ - 8

Por último, para valores de x próximos a 2, 2x2 — 8 = 2(x2 — 4) = 2{x + 2)(x — 2) está así mismo muypróximo a 0 y

2x2 - 8 < si x < luego, entonces, f(x) se hace tan pequeña o tan grande como se quiera, por

lo que:

Rf =




Análogamente, g(x) es decreciente pues

x2 < ~ ^> - > "2X2 >

> y/9 ~ 2X2 = g(X2

-9 => 9 - 2

); también

9 - 2x2 > 0

Y si x toma valores muy pequeños (negativos), entonces 9 — 2x y \/9~^2a.' = <7(x) toma valores muygrandes; luego

Rg = [0, +00);

9f(x) no tiene raíces y la única raíz de g{x) es '-.

(b) Calcular (/ o g)(x), su dominio, contradominio y raíces• Calculamos:

(/ o 9){x) =

18 - 4a? - : 8 10 - 4x 2(5 - 2x)'

- < x 6 D

= < x9

2

5 \

g(x) E Df

9 - 2x ¿ 4 > =

- 0 0 , i-, i /9-2x T¿ ±2 > =

2a;

En -oo, - J y en/5 9]V2 ¿\

/ o g es creciente, pues

=» 2xi > - 2x2 > -5 => 5 - 2xi > 5 - 2x2 > O =

1 1

-2x9

O "— =>

"3 3; 2(5- 2;n) 2(1-

5 9- < xi < x2 < - ̂> -5 > - 2x, > - 2x2 > -9 => O > T: - 2xi > 5 ~ 2x2 =*

5 - 2x2

=>

5 - 5 _ 2x2

Nunca es cero / o g pero, si x toma valores muy pequeños (negativos), e>tonces 5 ~ 2x toma valores muygrandes y

3(/ ° 9){x) — ;—V e s t ^ t a n c e r c a ^ e ^ c o m o s e Quiera.

2(5 — 2xjPara valores de x próximos a | , 5 -- 2x está tan próximo a 0 coito queramos,




5 — 2x < si x < j? , luego, / o g se hace tan pequeña o tan grande como se desee.{>° l< f

Además (/ o g) ( | ) = 2(53_9) = —^ — - | . Y por último:

/ 3

(/ ° ^X^) n o tiene raíces.

5. En un bosque, un depredador se alimenta de su presa y para las primeras 15 semanas a partir del fin de latemporada de caza la población de depredadores es una función / de x) donde x es el número de presas en elbosque, la cual a su vez, es una función g de t, donde t es el número de semanas que han pasado desde el finde la temporada de caza.

Si f(x) = — x2 - 2x + 50 & g(t) = 4¿ -h 52, donde 0 < t < 15, haga lo siguiente:48

(a) Encuentre un modelo matemático que exprese la población de depredadores, como función del número desemanas a partir del fin de la temporada de cazaT Tenemos que:

/[*(«)] - f[9(t)} - /(4í + 52) = {~J-rf£ ~ 2(4í + 52) + 50 =

8 t 1 0 4 + 5 0

48 3t2 + 26t + 169 - 24¿ - 162 t2 + 2t + 7

(b) Determine la población de depredadores, 11 semanas después del cierre de la temporada de caza• Valuamos:




1. Sea la función:

(a) Dibuje la gráfica de la función• La gráfica es:

-6

3 si - 6 < x < - 2

x2 - 1 si - 2 < x < 2

™2x + 7 si 2 < x < 5.

f (X)

" ¡f~~¡\1 \1 \1 \

! \1 \

-2

. . . . .

1

\

\ .

_ -3

y

- 1

"""A\i> \

! \/ ' x

/ i K „/ 2 3 \ 4 5 ^

\¡ :\ ¡\ !\ i

X |

(b) Determine el dominio y el rango de la función; encuentre también sus raícesY Df = [-6,5], Rf =.[-3,3]; raíces x = ±1 , \.

Este último valor se obtiene al igualar a cero ~2x + 7, de donde x — | G (2, 5].

(c) A partir de la gráfica, encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento• f(x) crece en [0, 2] y decrece en [—2,0] y en [2, 5].

(d) A partir de la gráfica, encuentre los intervalos en donde la función es positiva y negativa

T La función f(x) > 0 si x € [—6, —1) |J (l, | ) .

La función f(x) < 0 si x G (-1,1) U (f > 5].

2. Sean las funciones:

Encuentre p o /

9{x) = x2 - 3 '

/ o g. Encuentre los dominios correspondientes.

87




• Calculamos:

(9 ° f)(x) - 9[f(x)] =- — ___ 6 - 3x -]- 7 __ - 3 x -f-13

X> ~ 6^3x^3 " ~3a-+~3"'

3x2 - 39

Dg=

= {xe ( ~ o o , 2] | 6 ~

Dfog = {xe Dg\g(x) eD

Resolvamos pues la siguiente desigualdad:

• - 3

x e (~oo, 2] | x / ^ l í í ^ db

= {ír€ (-oo, 2] | a; ± 1 } = (-oo, 1) | J (1, 2];

^ | ^ 2 } 'x2 -f 7—¿ < 2;x¿ - 3

(a) x 2 - 3 > 0 < ^Tenemos que

entonces.

o bien x < - V 3

x2 + 7 < 2(x2 - 3) <=> x2 + 7 < 2x2 - 6

x2 > 13 > O => | x | > \/l3 =>x> \/Í3 ó x < -A/Í3;

x e (-oo, - v7!̂ ) |J (V13,

Se dibuja la gráfica correspondiente.

-Vi 3' -V3* V3 \/l3

(b) x2 - 3 < O <^ x2 < 3 «=> | x | < >/3 <̂> ~V3 < x < \/3

Tenemos ahora que

x2 + 7 > 2x2 - 6 & x2 < 13 <̂> | x | < \ / l3 O - V Í 3 < x < VLuego, en resumidas cuentas

x2 -h7El conjunto solución de — < 2 es

x ó

xe (-

(-oo, -\/Í3) (J (-V3, V5) (J (>/Í3, +oo) = K - { [-^3, - V5] (J [>/3, \/Í3J }




Y de aquí que

Dfog - ix < 21 = (-oo, -VH») (J (-V3, \/3) 1J (VÍ3, +00) .

3. Un avión vuela a una velocidad de 350 millas/h, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre unaestación de radar en el instante t = 0,

(a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función del tiempo t

• d = 350t con t expresado en horas.

(b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d• Usamos la siguiente gráfica:

1

r"

milla

Estación d e

d ^ ^

^ ^ s

radar

Vemos entonces que

(c) Aplique la composición para expresar s como función de ty s = f o d donde f(x) = \/l + x2; así:

«(«) = (/o d)(í) = /[d(í)]=/(350í) =

4. Una partícula A parte del origen según la ley de movimiento

S(t) = t3 - 12í2 -f 36í con t > 0.

Otra partícula B parte del origen al mismo tiempo, según la ley de movimiento y(t) = 3t.

Determine los intervalos de tiempo en que la distancia al origen de la partícula B es mayor que la de la partículaA.

• Vamos pues a hallar las t tales que

3¿ > ¿3 - 12t2 + 36 =» í3 ~ 12í2 - 3í + 36 < 0 =̂>

=» Í2(t - 12) - 3(t - 12) < 0 => (í - 12)(¿2 - 3) < 0.

Entoncest - 12 < 0 & t2 - 3 > 0 o bien t - 12 > 0 & t2 - 3 < 0.

Es decir, esto va a ocurrir cuando

t < 12 & t2 > 3 o bien cuando £ > 12 & t2 < 3;í < 12 & I í I > ̂ 3 o bien cuando t > 12 & 111 < \/3;

¿ < 1 2 & £ > \ / 3 o bien £ < - V3 o bien cuando £ > 12 & - V̂3 < t < \%t € (v3,12) pues t > 0 o bien cuando t £ 0.

Luego, la distancia al origen de la partícula B es mayor que la de la partícula A para t € (\/3,12).




1. Resuelva la desigualdad siguiente2x2 - 3x < x2 < 2x2 - 4.

• Tenemos que resolver dos desigualdades

2x2 - 3.T < x2 & x2 < 2x2 - 4.

La primera equivale ax2 ~ 3x < 0 => x(x - 3) < 0.

Y esto ocurre siz < 0 & x - 3 > 0 o si z > 0 & £ - 3 < 0 ;x < 0 & a : > 3 o si x>0 8¿ x < 3;

x e 0 o si x G (0,3).

Luego, la primera desigualdad se cumple si x 6 (0,3).

La segunda, x2 < 2x2 — 4, equivale a

x2 - 4 > 0 => (x + 2)(x - 2) > 0.

Y se cumple si:x + 2<0 k x -2 <Q o si x - f 2 > 0 & x - 2 > 0 ;

x < - 2 & x < 2 o si x>-2kx>2;x e (~oo, -2] o si x e [2, +oo).

Luego esta desigualdad se cumple si x € (—oo, — 2] |J [2, +oo).

Y ambas se cumplen six e {(-oo, -2] | J [2, +cx))} H (0, 3) = [2,3).

Lo cual vemos en la figura siguiente.

91




Podemos comprobar, por ejemplo, que x = 2 satisface a las dos desigualdades pues haciendo x — 2 en2x2 -3x < x2 <2x2 -4 tenemos

2(2)2 - 3 x 2 = 2 x 4 - 6 = 8 - 6 =

y en cambio x ~ 3 no satisface a la primera pues

= 4 < 2(2)2 - 4 - 2 x 4 - 4 - 8 - 4 - 4 ;

2(3)2 - 3 x 3 = 2 x 9 - 9 - 18 - 9 = 9 ¿t 3 2 - 9.

2. Determine el dominio de la función

• El dominio de f(x) = \/¡T8 — 7x | + 3x - 5 es el subconjunto de los números reales tales que 118 - 7x \3x - 5 > 0; es decir, aquellos que cumplan que 118 — 7x \ > — (3x — 5) — 5 - 3ar, esto es, los que sí cumplen

o bien 18 -- 7x > 5 - 3x o bien 18 - 7x < - ( 5 - 3x) - 3x -- 5;Ax < 13

. 1 3x < —

~ 4

o bien

o bien

Se concluye que13] , , T23

T J U [lo-

lOs > 23;. 23

x -> —.""10

13 23

3. Se desea construir una caja, con base cuadrada y sin tapa de 250 clm3 de capacidad. El costo de la cara laterales de 0-35 pesos por dm2 y el de la base es de 0.40 pesos por dm2. Determine el costo de la caja como funciónde la longitud / de un lado de la base.

• Dibujemos la caja

..-•''' 1

h

El volumen de la caja es

El área de la base es

V - 250 dm3 - hl2 .

A = ¡ ; por lo tanto, su costo es 0.40/ .




(Observa que todas las longitudes las damos en dm.)

El área lateral de las 4 caras de la caja es 4Z/i, y su costo por tanto es 0.35 x Alh = 1.40Z/i.

De aquí que el costo total será C = 0.40Z2 + 1.40/ft, expresado en función de I y de h.

Si queremos tenerlo en función únicamente de Z, tenemos que expresar h en términos de Z, y esto lo podemoshacer a partir de la expresión del volumen 250 = W2, por lo que:

h =250

entonces

C(l) - 0.40Z2 + 1.40Z/i = 0.40Z2 + 1. - 0AQ12 + ^ - pesos

4. Considere la función / definida por

f(x) =x2 si x > 11 - 2x si x < 0.

(a) Grarique la función /

• La gráfica es:

f (x)

- • x

(b) Usando la gráfica de / , construir la gráfica de la función h(x) — 3 — 2f(2x + 1)

• Hay que trasladar la gráfica de f{x) — | unidad hacia la derecha, comprimirla horizontalmente dosveces, expandirla multiplicando por 2, reflejarla con respecto al eje x y deslizaría hacia arriba 3 unidades.




En efecto, como f(x) varía dependiendo si x < 0 o bien si x > 1, f(2x + 1), cambiará dependiendo si

2x -f- 1 < 0 o bien 2x + 1 > 1; esto es, si x < o bien x > 0.

Observemos que:

x < - - =>2x < - 1 => 2x -j- 1 < 0 =>

=> }{2x -f 1) = 1 - 2(2x' -h 1) - 1 - 4ar -- 2 = - 1 - áx;

/i(a:) = 3 - 2f(2x -f 1) = 3 - 2 ( - l - 4x) = 3 + 2 -f 8x =>

=> /i(^) = 5 -f 8a;;

n.

Por lo tanto,

x>0=^2x>0=>2x-f-l>l=¿- /(2x -f 1) = (2x + I)2 ;h{x) = 3 - 2/(2x + 1) = 3 - 2[(2x + I)2] = 3 - 8x2 - 8x - 2

=» h{x) = -8x2 - 8x + 1.

( r- 1

I 5 + 8x si x < — ^~ | _8x2 - 8x + 1 si x > 0.

5. Sean:

(a) Obtenga los dominios de / y g

• Vemos que:

Df = { - {xG E \x > -1} = [~l,+oo);Dg =




(b) Obtenga fórmulas y dominios de las funciones / + gy f/g, f o g, g o /• Tenemos:

\Dg = Df = [-l,+oo);

DL = | Df f]Dg \ - { x e Dg | g(x) = O} = £ > / - 0 = D/ = [-1, +00);

í 1 1 1Dfog = {xe Dg\ g(x) e Df } - i x G E ^ f - - 1 f = R P u e s ~¿2TV\ ^

Dgof ^ {xeDf\ f(x) eD9} - {xe [ - 1 , +00) | V x + í e R } = [ - 1 , + 0 0 ) ,

pues x G [—1, 4-oo) ^ > a : > - l = > x + l > 0 = > \ / x -(-• í G R .

X 2 + l1 =

1'

(g o f)(x) - 1 ) -




1. Una pista de 400 metros tiene lados paralelos y extremos semicirculares. Encuentre una expresión para el áreaA encerrada por la pista, en función del diámetro d de los semicírculos.

• Dibujamos la pista.

Vemos que:

Pero, el perímetro

y además,

d / 2

7 T ^

4

AA =

P-2¿>

400 - TI

= 400 por lo que b =400 - nd

nd2 S00d-nd2 d.— = — 1 = -(800 - nd).

2. (a) Encuentre una fórmula para la función / representada por la siguiente gráfica

f (X)

97




• Desde luego f(x) - 1 si x G [1, 3].Para x £ [3,61, la gráfica de f(x) es el segmento de recta que pasa por los puntos (3,1) y (6, 2), esto es,que tiene de pendiente

2 - 1 1m = - — - = - y por ecuación entonces, por pasar por (3,1) por ejemplo,

6 - 3 3

y - 1 = - (# - 3) => y - 1 - -x - 1 => y = -a;;

(efectivamente su ordenada en el origen es 0), y por último,

' l si re G [1,3]

f(x) =| x si x G [3, 6] .

[Observe que /(3) - 1]

(b) Elabore la gráfica de la función dada por: g(x) — 3f(2x — 2) 4- 2• Calculemos explícitamente #(£•).

3 5S i l < 2 a ; - 2 < 3 = » 3 < 2 a : < 5 = ^ - < í E < - , entonces_ _ _ £ - - 2

5f(a;) = 3/(2.x - 2 ) + 2 = 3 x 1 + 2 = 3 + 2 = 5.

Pero, s i 3 < 2 a : - 2 < 6 = > 5 < 2 a ; < 8 = > ~ < x < 4, entonces_ __ _ g -

Í/(X) = 3/(2x - 2) + 2 = 3-(2x - 2) + 2 = 2x - 2 + 2 = 2x; luego, tenemos que graficar

g(x) =

3 5--5~

[Observe que g ( - ) = 5]

2x si x G I - , i

g(x)

Í5

1

1

b. . _ _ . . i

3 5 4 " ^

3 . S e a n l a s f u n c i o n e s f , g , hf(t) = \/5 - í, 0(*) = U2 - 4

(a) Determine f o g y su dominio• Vemos que:

= í + 2.




Df = ( - 0 0 , 5] , Z ^ = R ;

D f o g = { t e Dg I g(t) e D f } = { t e R \ \ t 2 - 4 | < 5 } .

Esta última desigualdad equivale a

~5 < t2 ~ 4 < 5 <4> - 1 < t2 < 9.

Pero, siempre t2 > —1, pues t2 > 0 y 0 > - 1 .Luego, ambas desigualdades se cumplen si

De aquí se desprende que

Dfog = [-3,3] y (fog)(t) = f[g(t)} = / ( | í 2 - 4 | ) = ^ 5 - I í2 - 4 |

(b) Determine / o h y haga su gráfica• Calculamos:

- f(t + 2)

( f o h ) ( t )

A

< 3} = (~oo,3];

1

1

1

2

\\

3 ^

4. Una máquina está programada para producir placas metálicas rectangulares con longitud (/), una unidad mayorque dos veces su ancho (w). Cuando se introduce el valor de w = 2 cm, el diseño de la máquina sólo garantizaque el ancho quedará dentro de una tolerancia de un décimo con respecto a 2. Esto es:

2 - O . K w < 2 + 0.1

(a) ¿Dentro de qué tolerancia respecto a 5 cm queda la longitud?• Primero su dibujo.

(*)

1 = 2w+l




Multiplicando por 2 al sistema de desigualdades (*), tenemos

4 - 0.2 < 2w < 4 + 0.2 .

Ahora sumando 15 - 0.2 < 2w -f 1 < 5 -f 0.2;

y como / = 2w -f 1, tenemos5 - 0 . 2 < ¿ < 5 + 0.2.

Constatamos que la longitud queda dentro de una tolerancia de dos décimas con respecto a 5.

(b) Determine el intervalo de valores del áreaT El área es (2w -f l)w y como

5 - 0.2 < 2w + 1 < 5 + 0.2

y además w > 0

(5 - 0.2)w < (2w +• l)w < (5 + 0.2)w;

4.8w < (2w + l)w < 5.2IÜ,

de (*) tenemos que

1.9 <w <2.l.

Luego, multiplicando la primera desigualdad por 4.8 y la segunda por 5.2 obtenemos

(1.9)4.8 < 4.8w & 5.2w < (2.1)5.2;

9.12 < 4.8^ & B.2w < 10.92.

Por lo que. en resumidas cuentas tenemos finalmente:

9.12 < (2w + l)w< 10.92.




1. Un ranchero tiene 30 m de malla para cercar un terreno rectangular, ¿qué dimensiones deberá tener si serequiere que su área sea de cuando menos 50 m2?

• El dibujo nos representa visualmente el terreno.

El área del rectángulo esA — b x h.

Luego,b x h > 50.

El perímetro es

entonces,26 + 2/i = 30 -> 6 + ft - 15 => b = 15 - ft.

Sustituyendo en la desigualdad tenemos:

(15 - ft)ft > 50 •=> 15h - /i2 - 50 > 0 =» /i2 - 15/i 4- 50 < 0 =̂ (/i - 5)(/i - 10) < 0

esto es, la desigualdad se cumple si:

/ i - 5 > 0 & f t - l Q < 0 o bien ft-5<0&ft-10>0/ i > 5 & / i < 1 0 o bien h < 5 & h > 10

h € [5,10] o bien h e 0.

Luego, la desigualdad se cumple si /i 6 [5,10] y b = 15 — h.

2. La cantidad de cafeterías C(t), en la ciudad de Guadalajara, para el periodo 1990 — 2000 se pudo ajustar comola siguiente función del tiempo t (en años) a partir de 1990:

C(t) = s i O < í < 4(800(¿-7)2+480 s i4< t< 10.

101




(a) Bosqueje la gráfica de C(t)• La gráfica es:

C ( t )

768

10

(b) ¿En qué año hubo la mayor cantidad de cafeterías del periodo indicado? ¿En qué año hubo la menorcantidad?T En 2000 había 7680 cafeterías y en 1990 solamente 200, el mayor y el menor número de cafeteríasrespectivamente.

(c) Determine los periodos en los cuales la cantidad de cafeterías en Guadalajara fue menor a 800T Veamos primero

300¿ + 200 < 800 => 300í < 600 => i < 2.

Luego, entre 1990 y 1992 había menos de 800 cafeterías.También analicemos

8Q0(í - 7)2 + 480 < 800 => 800(t - 7)2 < 320 =>

I t ~ 7 ~ 0.63

=> -0.63 < t - 7 < 0.63 => 7 - 0.63 < t < 7.63 -> 6.37 < t < 7.63;

luego desde el final de abril de 1996 a finales de agosto de 1997 (aproximadamente) también había menos

de 800 cafeterías.

3. Se desea construir una caja rectangular sin tapa, a partir de un trozo rectangular de 12 x 20 cm al que se lerecortan cuadrados de longitud x en cada esquina, como se ilustra en la figura.

J12

20




Exprese el volumen de la caja en función de x.

• La base de la caja es un rectángulo de dimensiones 20 — 2x por 12 - 2x y de altura x, luego el volumen Ves el área de la base por la altura:

V = (20-2:r)(12-2z)£.

4. Sea / la función definida por

Íx + 1 si - 4 < x < -~2

x /4 -z 2 si - 2 < x < 23 si 2 < x < 4.

(a) Determinar su dominio, raíces, rango, intervalos de monotonía así como su gráfica• La gráfica primero:

f (X)

Raíz: x = - 2 .Rango: [-3,-1) |J [0,2](J{3}.La función f(x) es creciente en [—4,0] y es decreciente en [0,2).

(b) A partir de la gráfica de / , obtener la gráfica de g(x) = 2f(x -f 1)• Esta nueva gráfica es:

g(x)

6 L m




Observemos que la gráfica de g(x) se obtiene a partir de la de f(x) desplazándola 1 unidad a la izquierday dilantándola 2 unidades, es decir:

g(x) = 2f(x + l) =

2[(x-fl)-M] sí - 4 < x + l < - 22 x ^4-(x + I)2 si - 2 < x + K 2 =2 x 3 si 2 < i + l < 4

x + 4 si - 5 < x < -32\/3 - x2 - 2x si - 3 < x < 1

, 6 si 1 < x < 3.

Por lo que

</(-5)[= 2/(-4)] - -6 ;ff(-3-)[= 2/(-2-)] = -2 ;

5(-3)[= 2/(-2)] = 0;g(-l)[= 2/(0)] = 4;

[= 2/(2)] = 6;

g(3~)[= 2/(4-)] = 6.

5. Sean f(x) = \/x + 25 & g(x) = x2

Determine las fórmulas y dominio de las funciones siguientes:

• Calculamos:

9Df = [-25,oo) & Dg= R.

5(x) = 0 <^ x2 - lOx = x(x - 10) = 0 O x = 0 o bien x = 10.

Entonces,

luego,DL = [-25,+00)-{0,10}.

9

(b) f o gT Tenemos ahora:

(/ ° 9)(x) = f[g(x)} = f(x2 - 10o:) - Vx~2 - lOz + 25 = y/(x - 5)2 = | a; - 5

D/Op - { x e Dg | p(a;) e Df } = { x G R | x2 - 10x > -25 } .

Tenemos quex2 - lOx > -25 <^ x2 - lOx + 25 > 0 «» (x - 5)2 > 0,

pero esto lo cumple cualquier x £ R, pues el cuadrado de cualquier número es no negativo, por lo que




1. Se lanza una piedra hacia arriba, desde la orilla de la azotea de un edificio de 128 pies de alto. La altura de lapiedra con respecto al suelo, está dada por:

h(t) =~- -16£2 + 32í+128

en el instante ¿, medido en segundos. ¿Durante qué intervalo de tiempo la piedra estará entre 32 pies y elsuelo?

• Resolver el problema es equivalente a resolver las desigualdades:

0 < h(t) < 32.

Sustituyendo, tendremos

0 < ~16t2 + 32¿-hl28<32.

Resolvemos por separado las desigualdades e intersecamos las soluciones:

(a) 0 < ™16¿2 + 32¿ + 128.

Multiplicamos por — jg, con lo que cambia de sentido la desigualdad:

0 > t2 - 2í - 8.

Se calcula ahora fácilmente t2 - 2t - 8 = (t - 4)(¿ + 2).Para conocer dónde la cuadrática es negativa, usamos la tabla

Intervalo

t < -2(< 4)

- 2 < t < 4

t > 4(> ~2)

Signo de

í + 2

-

+-f

t-4

-

-

+

(í+ 2)(í-4)

+-

+

La solución es

Pero t > 0, por lo tanto

(b) -16t2 + 32í+128<32.

Tenemos que

a: €[-2,4].

a: €[0,4].

-16í2 + 32í + 128 - 32 < 0 => -16í2 + 32í + 96 < 0.

105




Multiplicamos la útima desigualdad por — JQ y cambia de sentido la desigualdad

t2 - 2¿ - 6 > 0.

Calculamos los ceros o raíces de la cuadrática

2ÍX/28J.

2dzy/4 + 22 x 1

_ 2 ±5.2215 _ í 3.64575~ 2 ~ [-1.64575.

Para conocer dónde la cuadrática es positiva, usamos la tabla

Intervalo

t < -1.64(< 3.64)

-1.64 < t < 3.64

t > 3.64(> -1.64)

Signo de

í + 1.64

-

+•f

t - 3.64

-

-

+

(t-f 1.64) ( t -3 .64 )

-

+Sólo consideramos la parte positiva; la solución es entonces

x G [3.64, -f-oo).

La solución final es la intersección de las soluciones anteriores, es decir,

[0,4]p|[3.64,+oo) = [3.64,4].

2. Una ventana inglesa tiene la forma de rectángulo coronado con un triángulo equilátero, como se muestra en lafigura. Si el perímetro de la ventana es de 30 m, exprese el área de la ventana en función de su ancho.

T Usamos la siguiente gráfica:




Calculamos el perímetro e igualamos con la restricción dada

P = 3x + 2/i - 30. (a)

El área total consta de dos partes:

( i) El área del rectángulo

AR — xh.

(ii) El área del triángulo superior

Para calcular este área usamos el teorema de Pitágoras para conocer la altura h:

fl\2 , (*\ __ 2 . (T\2 _ 2 _ ^ _ _ £ 2 . T __ Vf{ } \ 2 / ~ l ; ~ 4 ~" 4 2

El área del triángulo es entonces:1 /0 /o

. .. v3 V3 o

El área total es:

x . (b)4

Despejamos de (a) la variable h y obtenemos:

Sustituimos este valor en (b):

A = x(15 - -*) + — x 2 = 15a; - \x2 + ^-x2 = 15a:

Es ésta la función solicitada.

3. Sisi - 6 < x < - 4

s i - 4 < z < 0

si 0 < x < 4

encontrar:

(a) Un esbozo gráfico de la función

T La función consta de tres pedazos:

i. En [—6, —4), es un segmento de recta paralelo al eje x de altura 3.

ii. En [—4,0], es una parábola abierta hacia arriba. Para obtener mayor información, completamos elcuadrado:

x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = x2 + 2x + 1 - 4 == (x •+• I)2 - 4.

De aquí vemos que es una parábola cuyo vértice es (—1,-4) y que se obtiene de la canónica x2

desplazándola a la izquierda 1 unidad y hacia abajo 4 unidades.Otra información útil son los ceros de la cuadrática:

í-3




Desechamos 1, ya que no se encuentra dentro del intervalo considerado.Vamos a evaluar la función en los extremos del intervalo:

X

- 40

x2 + 2x - 31 6 - 8 - 3 - 5

- 3

iii. En (0, -4), es un segmento de recta de pendiente 2 y ordenada en el origen - 3 .3

Esta recta tiene como raíz: 2x — 3 = 0 =¿> £ — - = 1.5, la cual se encuentra dentro del intervalo,¿i

Vamos a evaluar la recta en los extremos del intervalo:X

04

2x - 3- 35

Con la información anterior, hacemos el esbozo de la gráfica:

f (x)

jo F

(b) Dominio, rango, raíces, paridad, monotonía e intervalos donde f(x) > 0y donde f(x) < 0T Dominio: Df = [-6,4).

Rango: Rf = [-4,5].Raíces: x = —3, x = 1.5.

No es par ni impar.La función decrece si x € [—4, —1].La función crece si x £ [—1,4).La función es positiva f(x) > 0 si x G (—6, —3) [J (1.5,4).La función es negativa f(x) < 0 si x G (—3,1.5).

(c) Un esbozo gráfico para la función g(x) — — f(x — l) + 2T Cada valor de la nueva gráfica se obtiene de la anterior desplazándola 1 unidad a la derecha, reflejándolacon respecto al eje x y subiéndola 2 unidades.




Vamos a obtener los valores de los puntos elegidos:

A(-6,3)-> (-5,3)-> (-5,-3) -» A'(-5,-1);£(-4,5) -> (-3,5) -> (-3,-5) -> B'i-3,-3);C(-4,3) -» (-3,3) -> (-3,-3) -»• C ' ( - 3 , - l ) ;

L>(-1, -4) - i (0, -4) -> (0,1)->D '(0,6);£?(0, -3) -> (1, -3) -»• (1,3) -> E'(l,5);

F(4,5) -)• (5,5) -» (5, -5) ->• F'(5, -3).

Que conste que esto lo podemos comprobar calculando directamente Dg = [—5,5) y; entonces,

<?(-5) = - / ( - 5 - 1) + 2 = - / ( - 6 ) + 2 = - 3 4- 2 = - 1 ;ff(-3-) = ~ / ( - 3 " - 1) + 2 = - / ( - 4 ~ ) + 2 = - 3 + 2 = - 1 ;

í?(-3) = - / ( - 3 - 1) + 2 = - / ( - 4 ) + 2 = - 5 + 2 = - 3 ;5(0) = - / ( 0 - 1) + 2 = - / ( - I ) + 2 = - / ( - 4 ) + 2 = 4 + 2 = 6;5(1) = - / ( I - 1) + 2 = - / (0) + 2 = - ( -3 ) +2 = 3 + 2 = 5;

ff(5-) = - / ( 5 ~ - 1) + 2 = - / (4" ) + 2 = - 5 + 2 = - 3 ;

por lo que los puntos (—5,-1), (—3"",—1), (0,6), (1,5), (5~,—3) € fg de hecho son respectivamente A',C',B',D',E',F'.Con la información anterior, hacemos el esbozo de la gráfica

g(x)

4. Si

f(x) = x/5 - |2-3o:¡? g(x) -x2~l

& h[x) = V$-2x

determinar:

(a) El dominio de f(x), g(x) y el de h(x)• Dominio de f(x):

Para que la raíz esté definida se debe cumplir

7<=> - 7 < -3a: < 3 <=> - > a; > - 1 .

3




Así

Dominio de g{x):

La función no está definida en los ceros del denominador

x2 - 1 = 0 & (x - l)(x + 1) - 0 <& x = - 1 , x = 1.

Así

Dominio de h(x):

Para que la raíz esté definida se debe cumplir

5 - 2x > 0 2x > - 5 <=> x < -2

Así

(b) (/ + y)(x) y su dominioT Calculamos:

Además

(c) (g o h) (x) y su dominio• Tenemos que:

x2+4x2-!

(g o h)(x) = g [h(x)] - g (V5T

Para calcular DgOh se requieren las condiciones:

i. x

ii. h

- 0 0 , - ;

a?) G £>p => ^ - 2 ^ G R - { - 1 , 1 } ;

5 - 2x es positivo, no puede ser igual a - 1

Con esto obtenemos

J>2




1. Se lanza una pelota hacia arriba desde la orilla de una azotea de un edificio de 18 m de alto. La altura de lapelota está dada por

h(t) = 18 + 9t - 2t2

el momento t medido en segimdos. ¿Durante qué intervalo de tiempo la pelota estará, cuando menos, 25 marriba del suelo?

T Resolver el problema es equivalente a resolver

h{t) > 25 =» 18 4- 9t - 2t2 > 25 => -2¿2 + 9t - 7 > 0 => 2t2 - 9t + 7 < 0.

Vamos a encontrar las raíces de la cuadrática 2t2 — 9í -f 7 = 0

t —9 ± v/81 - 56 9 ± V25 9 i 5 2

1.

Sabemos entonces que

Para saber dónde la cuadrática es negativa usamos la tabla

Intervalo

t< 1(< §)\<t< \

Signo de

£ - 1

- -

-

+

(Í-D(Í-I)

+

-

+

La solución es

2. Una caja rectangular sin tapa con volumen de 27 dm3, tiene su base 3 veces más larga que ancha. Exprese elárea superficial de la caja en función de su ancho.

• Usamos el siguiente dibujo.

111




El volumen de la caja es

V - 3x2h - 27. (i)

El área lateral de la caja es

El área de la base de la caja es

Y ahora ya el área total:

Despejamos h de (i)

Sustituimos en (ii)

Ésta es la expresión solicitada.

3. Sií l - 3x si - 3 < x < - 2

/ W ~ j x 2 - 2 x ~ 8 si - l < x < 5

encontrar:

(a) Un esbozo gráfico de la función• La gráfica de la función consta de dos partes:

i. Una recta de pendiente m = - 3 y ordenada en el origen b = 1 restringida al intervalo [-3, -2) .Evaluamos esta recta en los extremos del intervalo para tener puntos de referencia:

AT =

lxxh + 2x

AB = 3x

AB + AL =

h 2 ?h 3z2

X2

3xh =

2

9a-5"

= 3x2

--8xh.

Sxh.

72X

X

—3- 2

1 -3x107

ii. La parábola y = x2 - 2x — 8 restringida al intervalo [—1,5].

Puesto quex2 - 2x - 8 = x2 - 2x + 1 - 1 - 8 = (x - I)2 - 9,

vemos que tenemos una parábola con vértice (1, —9) y que se obtiene a partir de y = x2 desplazándola1 unidad a la derecha y 9 unidades hacia abajo.Para obtener más información sobre la cuadrática calculamos los ceros o raíces:

_ 2 ± V4 4- 32 _ 2±6 _ Í4X " 2" ~ ~ 2 ~ "" \ - 2 .

Evaluamos la cuadrática en algunos puntos

X

0- 15

X ¿¿X o

- 8- 57

Con la información anterior hacemos un esbozo de la gráfica




f (X)

7

/4

(b) Dominio, rango, raíces, paridad y monotonía. Intervalos donde f(x) > 0 y donde f(x) < 0T Dominio: Df = [-3, -2) (J [-1,5].Rango: Rf = [-9,10].Raíces: x = 4.Paridad: la función no es par ni impar.La función decrece s i x e [—3,2) y en [—1,1].La función crece si x G [1,5]./ (Z )>0SÍZE[ -3 , -2 )U(4 ,5 ] .

jf(z) <0si x € [-1,4).

(c) Un esbozo gráfico para la función g(x) = — / ( x 4-1) — 3

• Cada valor de la nueva gráfica se obtiene de la anterior desplazándola una unidad a la izquierda,

multiplicando el valor de la función por — y bajándola 3 unidades.

Vamos a obtener los valores de los puntos elegidos:

y los puntos x — —3, —2, —1,0,1,4 y 5 se transforman respectivamente eni = -4 , -3 , -2 , - l ) 0 ,3y4y:

0(-4) = ~^/ ( -4 + 1) - 3 - -^ / ( -3) - 3 = - i lO - 3 = -5 - 3 = -8;

í/(-3") = - ^ / ( - 3 - + l ) - 3 = - i / ( - 2 - ) - 3 = - Í 7 - 3 = - y ;

ff(-2) = - \f{~2 + 1) - 3 = - | / ( - l ) - 3 = -1( -5 ) - 3 = | - 3 = - | ;

(- l ) = ~ ^ / ( - l + 1) - 3 = -1 / (0 ) - 3 = - Í ( - 8 ) - 3 = 4 - 3 = 1;

»(0) = - | / ( 0 + 1) - 3 = - | / ( 1 ) - 3 = - | ( - 9 ) - 3 = | - 3 = | ;

9(3) = - | / ( 3 + 1) - 3 = - i / ( 4 ) - 3 = - Í 0 - 3 = 0 - 3 = - 3 ;




Por lo que los puntos ¿(-3,10), B(-2,7), C( - l , -5), D(0, -8), £7(1, -9), F(4,0), G(5,7) se transforman/ io\ / i\ / 3\

también respectivamente en ¿'(-4, -8), B' (-3, I, C" ( -2 ,— ), £>'(-!, 1), E' ( 0, - ,F'(3,-3),\ 2 / \ 2/ \ 2/

A(-3,10) ->• (-4,10) -» (-4, -5) -> yl ' ( -4, -8);

B(-2,7) -> (-3,7) -> ( - 3 , - 0 -»B' (-3-~

C(-l, -5) -̂ (-2, -5) -> (-2, 0 -> C (-2, - 0 ;0(0,-8) -4 (-1,-8) -> (-1,4) -> D'(-l.l);

l, -9) -,- (0, -9) -> (o, 0 -> E' (o, 0 ;

G(5,7) -> (4,7) -* ( 4 , - 0 -> G' (4, -

Con la información anterior, hacemos el esbozo de la gráfica:

g(x)

tD' 2

-4 -3 4É -1\ 3 4

\ !

4. Si f{x) = -y/1 3 — 4rc | — 4, p(x) = yfS^Zx y ft(a;) = -^ .

encontrar:

(a) El dominio de f(x)• La función f(x) está definida siempre y cuando el radicando sea no negativo

| 3 - 4 z | - 4 > 0 = » | 3 - 4 a ; ¡ > 4 .

Esta última desigualdad es equivalente a las siguientes

i. 3-4x>A=>-l>4x=>-->x- - 4 -o sea,

x e [ - 0 0 , ~ - I .




ii. 3 - 4 x < - 4 = > 7 < 4 x = > - - < x

o sea,

xe I?,+00

Por lo tanto,

(b) El dominio de g(x) y de h(x)

• De igual manera g(x) está definida si

por lo tanto

Se ve fácilmente que D^ = R — { —2, 2 } ya que x = — 2 y x = 2 son los ceros de x2 — 4.

(c) (/i op)(x) y su dominio• Calculamos:

- 4 - l - 2 x 2 x 4 - 1 '

x € Dh,Og si cumple dos condiciones:

ii. g{x) € Dh => y/3 - 2x e R - {-2, 2}.

Nos preguntamos para qué valores de x la raíz cuadrada es igual a —2 y a 2.Nunca es igual a —2 ya que es no negativa.

V3-2Z = 2 ^ 3 - 2 z = 4 ^ ~2x = 1 => x = - - .

Tenemos entonces que

Dhog= f - o o , - | -




1. Un clavadista se lanza desde un trampolín de 32 pies de altura y su posición en cualquier instante (segundo)t > 0 está dada por

h(t) = ~16t2 + 16t + 32 pies .

(a) ¿En qué instante llega al agua?T Llegará cuando

h(t) = 0& -16¿2 + 16* + 32 - 0 O t2 - t - 2 - 0 ̂ (t - 2){t + 1) = 0 «*^ > ¿ - 2 = 0o bien í + l = 0 ^ í = 2o bien t = - 1 .

Podemos ignorar este último resultado por considerar que pertenece al pasado, luego llega al agua a losdos segundos de lanzarse.

(b) ¿Durante qué intervalo de tiempo estará el clavadista al menos a 32 pies de la superficie del agua?• Debemos hallar t de forma que

-16í2 + 16í + 32 > 32 <=> -16t(t - 1) > 0 <=» t(t - 1) < 0.

Para t = 0y para t = 1 la desigualdad se cumple.Además

0 < í < l = > í > 0 & t - K 0 = > í ( t - l ) < 0 .

Luego, también se cumple la desigualdad. En cambio si

t>l(>Q)=>t> 0 & í - 1 > 0 => t(í — 1) > 0;

constatamos así que en el intervalo [0,1] el clavadista no está debajo del trampolín.

2. Dadas las funciones f(x) = y/x — 11 y g(x) = | 3a; — 11

Obtener:

(a) (g -f f)(x) y el dominio de g 4- /• C aculamos:

(9 + /)(*) = 9(x) + f(x) = I 3x - 1 I + y/x-lí;

Df = {x e R | a ; - l l > 0 } = {;r<E R | a; > 11 } = [11, +oo) ;

Dg = E => D / + 5 = # / p | ̂ s = ̂ / pues Df C Dg;

117




(/ o 9){x) y el dominio de / o gY Tenemos también:

Dfog = { x G Dg | <?(*) G £>,} = { ar 6 R | <?(*) > H } =

esta última desigualdad equivale a las dos desigualdades

3a; — 1 > 11 o bien 3a; - 1 < - 1 13x > 12 o bien 3a; < -10

12 , . . 1 0— o bien x <

x > 4

x e [4, -f oo);

o bien x G I —oo,10

entonces Dfog — ( -oo , ~ — U [4, -f oo) .

Podemos constatar, por ejemplo, que - — & 4 Go

de hecho

10- -v/l —10 — 11 — 11 =

(/ o (/)(z)(4) - T^T^11 - ii =il - ii = v̂ o = o.

- ii - - 1 1 =

(c) í — 1 (x) y el dominio de —

T Ahora:

13x - 1f(x) Ví^TI'

= (Dgf)Df)-{xeDf\ f(x) = 0 } =

= [R p j [11, -foo)] - { x € [11, +oo) | V^^Tl = 0 } =

- [11, +cx)) - { x e [11, +oo) |a? — 11 = 0 } =- [11, +oo) - { x £ [11, -feo) | x - 11 } - [11, +oo) - { 11 } = (11, +oo).

3. Dada la función

/(*) =1-x2 si - 2 < x < 13x — 5 si 1 < se < 3.




(a) Bosquejar su gráfica y determinar su dominio, rango y raíces

T La gráfica es:

f (x)

F (3 , 4)

Raíces

Pero, como 1 ^ [—2,1), que es donde f(x) = 1 — x2) x — 1 no es raíz:

- 5 = 0 = 5 «=> a; == - G (1,3) .

Luego, f(x) tiene dos raíces: x = — 1 & x = - .

o

(b) Obtener los intervalos donde /(x) > 0, /(x) < 0, / e s creciente y / es decreciente

/ ( a O < O s i z e ( - 2 , - i ) U ( i , « ) ;

/(x) es creciente en [—2,0] y en (1,3) ;

f(x) es decreciente en [0,1).

(c) A partir de la gráfica de / , bosquejar la gráfica de g(x) — 2 - f(x - 1)T Se trata de desplazar la gráfica de /(x) 1 unidad a la derecha, después reflejarla con respecto al eje xy por último desplazarla hacia arriba 2 unidades.

De esa forma los puntos A(—2, —3), B{~\) 0), C(0,1), D(l, 0), 2S(1, —2),F(3,4) pasan a ser sucesivamente:

' í -1 , -3 ) , #'(0,0), C'( l , l ) , D'(2,0), J5;(2,-2), F/(4,4).




f(x-l)

tB ' ( 0 , 0 )

C ( 1 , 1 )

D ' ( 2 , 0 )

F ' ( 4 , 4 )

/ - -3

A' ( - 1 , - 3 )

' ( 2 , - 2 )

£"(0,0), ,0), £"(2,2), F"(4,-4).

F " (4 , -4 )

i4'"(-l,5), J5'"(0,2), C'"(l,l), £""(2,2), ^'"(2,4), F'"(4,-2); por último,

g ( x ) = 2 - f ( x - l )

A ' ' ' ( - 1 . 5 )

« 5

E " ' ( 2 , 4 )

B ' " ( 0 . 2 )

C ' ' ( 1 , 1 )

2 8_ \

F ' ' ' ( 4 , - 2 )




Así el Df = [-2,1) |J (1, 3) se transforma en el Dg - [-1, 2) |J (2,4) y los puntos x - -2 , 1~ , 1 + , 3~ enx — — 1, 2~, 2+, 4" respectivamente y además

g(-l) - 2 - / ( - I - 1) - 2 - / ( -2) - 2 - (-3) = 2 + 3 = 5;

g(2~) - 2 - / (2 - - 1) = 2 - / ( I" ) - 2 - 0 = 2;

#(2+) - 2 - / (2 + - 1) = 2 - /(1 + ) - 2 - (-2) - 2 + 2 - 4 ;

0(4~) = 2 - / (4 - - 1) - 2 - /(3~) = 2 - 4 = -2;

y los puntos A(-2,-3) , £(-1,0), C(0,1), £>(l,0), £7(1,-2), -F(3,4) de la gráfica de / pasan a serrespectivamente ,4'"(-1,5), £'"(0,2), C""(l,l), £>"'(2,2), £'"(2,4), F'"(4,-2) de la gráfica de g.

4. Se va a fabricar una caja con base y tapa cuadradas que tenga un volumen de 2 m3. El costo de fabricaciónpara la base y la tapa es de $300.00 por m2 y para las caras laterales es de $200.00 por m2. Obtener el costode fabricación de la caja, en función de la longitud x del lado de la base cuadrada.

• Usamos el siguiente dibujo.

/y

s

s' X

y

X yS

Sabemos que el volumen de la caja es el área de la base por la altura, esto es, V ~ x2y, pero esta cantidaddebe de ser 2 m3, por lo que:

x2y = 2 => y - — .x¿

El costo de fabricar la base y la tapa es su área (en m2) multiplicado por $300.00:

2x2 x 300 = 600a;2.

Entonces, el costo de fabricar las cuatro caras laterales será

4xy x 200 - 800a;y.2

Para tenerla en función de x, sustituimos en lugar de y = -g-, con lo que tenemos que el costo, en función dex es: x

C{x) = 600a;2 + 800a; x \ = 600a;2 + — — .



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