Dinamica 2004

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Fundamentos Físicos de la Ingeniería Ing. Industrial - Curso 2003-04

Problemas: Dinámica de la partícula

Universidad Pontificia Comillas Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Departamentos: Ingeniería Mecánica / Electrotecnia y Sistemas

1.- Un dinamómetro A y una balanza romana B, de brazos de palanca iguales, se sujetan al techo de un ascensor y a ellos se atan, como se muestra, dos paquetes iguales. Sabiendo que cuando el ascensor desciende con una aceleración de 1,2 m/s2 el dinamómetro indica una carga de 62,7 N, hallar a) el peso de los paquetes, b) la carga indicada por el dinamómetro y la masa necesaria para equilibrar la balanza romana cuando el ascensor suba con una aceleración de 1,2 m/s2 . Solución: a) 71.25N b) 79.8N ; m=0 (se ha usado g = 10 m/s2).

2.- Un paquete de 20 kg se halla en reposo en un plano inclinado cuando se le aplica una fuerza P. Hallar el módulo de P si el paquete tarda 10 s en recorrer 5 m plano arriba. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el paquete y el plano son 0,4 y 0,3 respectivamente. Solución: 301 N.

3.- Las cajas A y B están inicialmente en reposo sobre una correa transportadora. Ésta se pone en marcha repentinamente hacia arriba por lo que se produce un deslizamiento entre la correa y las cajas. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento dinámico entre la correa y las cajas A y B son 0,3 y 0,32 , respectivamente, hallar la aceleración inicial de cada caja. Solución: aA= 0,304 m/s2 y aB = 0,493 m/s2 , ambas con sentido ascendente.

4.- Las masas de los bloques A y B son 40 kg y 9 kg, respectivamente. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre todas las superficies de contacto son 0,2 y 0,15, respectivamente. Si P = 40 N, hallar la aceleración de ambos bloques y la tensión en la cuerda. Solución: aA= 1,59 m/s2 aB= 1,59 m/s2 T= 63,64 N.

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5.- Una caja descansa sobre una correa transportadora inicialmente en reposo. Se arranca la correa y se mueve hacia la derecha durante 1,3 s con una aceleración constante de 2 m/s2 . A continuación la correa empieza a frenarse con una aceleración constante a y se detiene tras recorrer un total de 2,2 m. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre la caja y la correa son 0,35 y 0,25, respectivamente, hallar a) la aceleración a de la correa, b) el desplazamiento de la caja respecto a la correa cuando ésta se detiene. Solución: a) 6,63 m/s2 (hacia la izquierda) b) 0,321m (hacia la derecha).

6.- Para descargar de un camión una pila flejada de contrachapados el conductor inclina la plataforma del vehículo y acelera desde el reposo. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre la plancha de contrachapado del fondo y la plataforma son 0,40 y 0,30, respectivamente, hallar a) la menor aceleración del camión capaz de hacer deslizar la pila de contrachapados y b) la aceleración del camión para que el borde A de la pila llegue al borde de la plataforma en 0,9 s. Solución: a) 0,308 m/s2 b) 4,172 m/s2 . 7.- Hallar la máxima velocidad que puede adquirir un automóvil de 1225 kg tras recorrer una distancia de 400 metros si se considera la resistencia del aire. Se supone que el coeficiente de rozamiento estático entre las cubiertas de los neumáticos y la calzada es 0,70, que el vehículo es de tracción delantera, que las ruedas delanteras soportan el 62 % del peso del vehículo y que la resistencia aerodinámica D tiene un módulo D = 0,5745v2 , donde D y v se expresan en N y en m/s, respectivamente. Solución: 190 km/h. 8.- Un muelle de constante k está sujeto a un soporte A y a una corredera de masa m. La longitud natural del muelle es l. Sabiendo que la corredera se encuentra inicialmente en reposo en x0 y despreciando el rozamiento, hallar la velocidad de la corredera cuando pasa por C. Solución: (k/m)1/2 ( (xo2 + l2)1/2 - l )

9.- El bloque A de 25 kg soporta al bloque B de 15 kg, que está unido a una cuerda a la cual se aplica una fuerza horizontal de 225 N, como se muestra. Despreciando el rozamiento, hallar a) la aceleración del bloque A y b) la aceleración del bloque B respecto A. Solución: a) 2,80 m/s2 b) 8,32 m/s2 con θx = 155º .

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10.- En la figura se muestra un bloque B de masa 10 kg que descansa en la cara superior de una cuña de 22 kg. Sabiendo que el sistema se libera en reposo y despreciando el rozamiento, hallar a) la aceleración de B y b) la velocidad de B respecto de A en t = 0,5 s. Solución: a) 6,06 m/s2 , θx = -75.6 º b) 3.81 m/s, sentido descendente.

11.- Un bloque A de 220 N de peso descansa en un plano inclinado y el contrapeso B de 130 N de peso, está unido a un cable como se muestra. Despreciando el rozamiento, hallar la aceleración de A y la tensión en el cable inmediatamente después de que el sistema se libere en reposo. Solución: a) 0,051 m/s2 b) 121,5 N.

12.- Dos alambres AC y BC están sujetos en C a una esfera de 7 kg que describe la circunferencia que se indica a la velocidad constante v. Sabiendo que θ1=50º θ2=30º y que d = 1,4 m, determinar para qué intervalo de valores de v ambos alambres están tensos. Solución: 2,77 m/s < v < 4,36 m/s

13.- Como parte de una exhibición al aire libre, un globo terráqueo C, de 5,4 kg de masa, describe la circunferencia que se indica a la velocidad constante v sujeto a las cuerdas AC y BC. Determinar el intervalo del los valores permitidos de v para que ambas cuerdas estén siempre tensas sin que en ninguna de ellas la tensión exceda de 115 N.

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14.- El tramo de tobogán de la figura está contenido en un plano vertical. Las partes AB y CD tienen los radios de curvatura que se indican, y la BC es recta formando un ángulo de 20º con la horizontal. Sabiendo que le coeficiente de rozamiento cinético entre un trineo y la pista es 0,10 y que la velocidad del trineo en B es de 7,5 m/s, hallar la aceleración tangencial del trineo a) inmediatamente antes de llegar a B, b) inmediatamente después de pasar por C. Solución: a) 2,12 m/s2 , θx = -20 º b) 2,57 m/s2 , θx

= -20 º.

15.- Un pequeño bloque cilíndrico de 500 g descansa en el vértice de una superficie cilíndrica. Tras recibir una velocidad inicial de v0 hacia la derecha, se separa de la superficie en θ = 30º. Despreciando el rozamiento, hallar a) el valor de v0 y b) la fuerza que ejerce el bloque sobre la superficie justo después de empezar a moverse. Solución: a) 2,97 m/s b) 1,96N

16.- Un automóvil viaja por una carretera peraltada a una velocidad constante v. Determinar para qué valores de v no patina. Expresar el resultado en función del radio R de la curva, el ángulo de peralte θ y el coeficiente de rozamiento estático entre las ruedas y el pavimento. Solución: v2max = gR(senθ + µ cosθ) / (cosθ - µ senθ) ; v2

min = gR(senθ - µ cosθ) / (cosθ + µ senθ) 17.- Una ranura semicircular de 25 cm de radio está abierta en una placa plana que gira en torno a la vertical a la velocidad constante de 14 rad /s. Un pequeño bloque E de 400 g está diseñado para que deslice por la ranura a la vez que la placa gira. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 0,35 y 0,25, respectivamente, determinar si el bloque girará por la ranura si se suelta en la posición a) θ=80º, b) θ= 40º. Determinar también el módulo y la dirección de la fuerza de rozamiento que se ejerce sobre el bloque inmediatamente después de soltarlo. Solución: a) No desliza, f=9,36 N con θx = 100 º b) Desliza hacia abajo, f=5,51 N con θx = 140 º

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18.- Un bloque está apoyado sobre una plataforma giratoria horizontal que partiendo del reposo gira con aceleración angular constante α. Luego de un tiempo T se observa que el bloque comienza a deslizar sobre la plataforma. Sabiendo que el bloque se encuentra a una distancia R del eje de giro, calcular el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la plataforma. Solución: αR (α2 T4+1)1/2 / g .

19.- Un pequeño cursor de 200 g puede deslizar por una varilla semicircular que se hace girar en torno al eje vertical AB a la velocidad constante de 6 rad/s. Hallar el mínimo valor del coeficiente de rozamiento estático entre el cursor y la varilla si aquél no debe deslizar cuando a) θ = 90º, b) θ = 75º, c) θ = 45º. Indicar en cada caso el sentido del movimiento inminente. Solución: a) 0,454 ↓ , b) 0,1796 ↓ , c) 0,218 ↓ .

20.- El disco A gira en un plano horizontal alrededor de un eje vertical a la velocidad constante de 15 rad/s. El cursor B pesa 2,2 N y se mueve en la ranura lisa abierta en el disco. El cursor está unido a un muelle de constante 58 N/m, que está sin deformar cuando r = 0. Sabiendo que en cierto instante la aceleración del cursor respecto al disco es de d2r/dt2= –12 m/s2 y que la fuerza horizontal ejercida por el disco sobre el cursor es de 9 N, hallar en ese instante a) la distancia r y b) la componente de la velocidad del cursor. Solución: a) 0,31m b) dr/dt =1,36 m/s. 21.- Una partícula P de masa m es atraída constantemente por el origen de coordenadas cartesianas con una fuerza F = -kr, siendo r = OP . Su posición inicial es A(0,b) y su velocidad inicial v0 es paralela al eje OX. Calcula: a) ecuaciones paramétricas y trayectoria; b) cuál debe ser el valor de v0 para que la trayectoria sea una circunferencia; c) calcula la velocidad y la aceleración del movimiento en las condiciones de b). Solución: a) x = (v0/ω) sen(ωt) ; y = b cos(ωt) ; (ωx/v0)

2 + (y/b)2 = 1 (con ω2 = k/m) b) v0 = ωb c) v = ωb y a = ω2 b (movimiento circular uniforme) 22.- Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre los bloques A y C y las superficies horizontales son 0,24 y 0,20, respectivamente. Si mA = 5kg , mB = 10kg y mC = 10k, determínense: a)la tensión en la cuerda; b)la aceleración de cada bloque. Solución: a) 34,3 N b) aA = 4,8 m/s2 ; aB = 3,1 m/s2 ; aC = 1,4 m/s2 .

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23.- Una plataforma B, de masa mB e inicialmente en reposo, puede resbalar sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Un bloque A, de masa mA , se mueve sobre la plataforma con velocidad V0 . Entre A y B hay una fuerza de rozamiento de valor F. Entonces la velocidad de A va disminuyendo y B se pone en movimiento aumentando su velocidad hasta que ambos cuerpos se mueven con la misma velocidad V. Halla: a) las distancias recorridas por A y B, medidas respecto a la superficie horizontal, desde el instante inicial hasta que se igualan las velocidades y b) la variación de energía cinética del sistema. Solución: a) dA = (mAVo

2 / 2F) ( 1 - mA2 / ( mA + mB ) 2 ) dB = (mBVo

2 / 2F) (mA2 / ( mA + mB ) 2

). b) ∆EC = - F ( dA - dB )

Un bloque B de 6 kg descansa como se indica sobre una ménsula A de 10 kg. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque y la ménsula son 0,30 y 0,25, respectivamente y no hay rozamiento en la polea ni entre la ménsula y el suelo. Determinar: a) la máxima fuerza P que se puede ejercer sin que el bloque deslice sobre la ménsula; b) la aceleración correspondiente de la ménsula. Solución: a) 12,83 N ; b) 0,80 m/s2.

25.- Un bloque B de 15 kg está suspendido por una cuerda de 2,5 m sujeta a una carretilla A de 20 kg. Despreciando el rozamiento determínese, inmediatamente después de que el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada, a) la aceleración de la carretilla y b) la tensión de la cuerda. Solución: a) 6.52 m/s2 b) 108.65 N a) 2.53 m/s2 b) 119.89 N. 26.- Un tubo recto de longitud 2a gira en un plano horizontal con velocidad constante ω alrededor de uno de sus extremos. En el punto medio del tubo hay una bolita perfectamente lisa que, inicialmente, está en reposo respecto al tubo. Calcula: a) la velocidad relativa de la bolita cuando sale del tubo; c) la reacción que la bolita ejerce sobre el tubo durante el movimiento. Solución: a) ωa√3 u r b) 2√3 mω2a . 27.- Un bloque de masa M está en equilibrio apoyado sobre un resorte de constante k. Se coloca sobre él otro bloque de masa m de manera que lo toque suavemente y en esa posición se lo suelta. Determinar: a) la velocidad máxima alcanzada por los bloques ; b) la fuerza máxima ejercida por los bloques sobre el resorte. Solución: a) m g [k(m+M)]-1/2 b) (2m+M)g .

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28.- Un bloque de peso W se proyecta dentro de un circuito de retorno vertical con una velocidad vo. El bloque viaja sin rozamiento a lo largo de la circunferencia de radio r y se deposita sobre una superficie horizontal en C. Para cada uno de los dos circuitos aquí mostrados, determínense: a) la mínima velocidad vo para la cual el bloque alcanzará la superficie horizontal en C; b) la fuerza correspondiente que ejerce el circuito sobre el bloque cuando pasa por el punto B. Solución: a) vo

2 = 5gr b) N = 3W ; a) vo2 = 4gr b) N = 2W.

29.- Los dos bloques de la figura son iguales y parten del reposo. Despreciando las masas de las poleas y el efecto del rozamiento, hallar a) la velocidad del bloque B después de recorrer 2 m y b) la tensión en el cable. Solución: a) 3,69 m/s b) 10,19 N.

30.- El sistema de la figura, compuesto de una corredera A de 18 kg y un contrapeso B de 9 kg, está en reposo cuando se aplica una fuerza constante de 450 N a la corredera A. a) Hallar la velocidad de A justo antes de chocar con el tope C. b) Resolver el apartado anterior suponiendo que el contrapeso B se sustituye por una fuerza igual a su peso. Despreciar el rozamiento y las masas de las poleas. Solución: a) 3,16 m/s b) 5,47 m/s.

31.- Dos bloques A y B, de masas respectivas 4 kg y 5 kg, están unidos por una cuerda que pasa por una polea como se muestra. Sobre el bloque A se coloca un anillo de 3 kg y el sistema se deja en movimiento desde el reposo. Cuando lo bloques han recorrido 0,9 m, se retira el anillo C y los bloques siguen moviéndose. Hallar la velocidad del bloque A justo antes de chocar con el suelo. Solución: 1,19 m/s.

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32.- Un bloque de 4,5 kg está unido a un muelle no deformado de constante k = 2,10 kN/m. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque y el plano son 0,60 y 0,40, respectivamente. Si al bloque se le aplica lentamente una fuerza F hasta que la tensión en el muelle llega a 90 N y entonces se retira repentinamente, hallar a) la velocidad del bloque al retornar a su posición inicial, b) la velocidad máxima que alcanza el bloque, c) la distancia hacia la izquierda que recorrerá el bloque antes de detenerse. Determinar si después el bloque retrocederá hacia la derecha. Solución: a) 0,722 m/s b) 0,744 m/s c) 0,0259 m y volverá hacia la derecha. 33.- Un bloque de 3 kg descansa sobre el bloque de 2 kg colocado sobre un muelle de constante 40 N/m, pero no solidario de éste. El bloque de arriba se retira repentinamente. Hallar a) la velocidad máxima que alcanza el bloque de 2 kg y b) la altura máxima a la que el mismo llega. Solución: a) 3,35 m/s b) 1,56 m respecto a su posición inicial (se ha usado g=10 m/s2) 34.- Una corredera C de 4 kg desliza por una guía horizontal entre los muelles A y B. Si la corredera se empuja hacia la derecha hasta comprimir 50 mm el muelle B y se suelta, hallar la distancia que recorrerá la corredera suponiendo a) ausencia de rozamiento entre la corredera y la guía, b) un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,35.

35.- Una corredera C de 2,7 kg desliza por una guía vertical lisa. Se la empuja hasta la posición representada, comprimiendo en 5 cm el muelle superior, y se la suelta. Hallar a) la compresión máxima del muelle de abajo y b) la velocidad máxima de la corredera. Solución: a) 0,105 m b) 2,55 m/s .

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36.- Una pequeña esfera B de masa m se suelta desde el reposo en la posición indicada y oscila libremente en un plano vertical, primero en torno a O y luego en torno a la espiga A cuando el hilo entra en contacto con la misma. Hallar la tensión en el hilo a) justo antes de que el mismo entre en contacto con la espiga y b) justo después de entrar en contacto con la espiga. Solución: a) T=16,23 m ( m en kg y T en N). b) T=27,26 m ( m en kg y T en N).

37.- Un pequeño bloque desliza con una velocidad v = 2,4 m/s por una superficie horizontal a una altura h=0,9 m sobre el suelo. Hallar a) el ángulo θ de despegue de la superficie cilíndrica BCD y b) la distancia x a la que choca con el suelo. Se desprecian el rozamiento y la resistencia del aire. Solución: a) 27,9 º b) 1,1 m.

38.- Un bloque de 16 kg puede deslizar por una guía lisa y está unido a dos muelles de constantes k1 = 12 kN/m y k2 = 8 kN/m. Ambos muelles están inicialmente sin alargar cuando el bloque es empujado 0,3 m hacia la derecha y se suelta. Hallar a) la velocidad máxima del bloque y b) la velocidad de éste cuando está a 0,12 m de su posición inicial. Solución: a) 5,20 m/s b) 4,76 m/s.

39.- El bloque de 2,7 kg puede deslizar por una guía lisa y está unido a tres muelles de la misma longitud y constantes k1 = 890 N/m, k2 = 1780 N/m y k3 = 3560 N/m. Los tres muelles están inicialmente sin alargar cuando el bloque es empujado 0,046 m hacia la izquierda y se suelta. Hallar a) la velocidad máxima del bloque y b) la velocidad de éste cuando está a 0,018 m de su posición inicial. Solución: a) 2,21 m/s b) 2,03 m/s.

40.- Una corredera B de 4,5 kg puede deslizar por una guía horizontal lisa y está en equilibrio en A cuando recibe un desplazamiento de 0,125 m hacia la derecha y se suelta. Ambos muelles tienen una longitud natural de 0,3 m y una constante k = 280 N/m. Hallar a) la velocidad máxima de la corredera y b) su aceleración máxima. Solución: a) 1,01 m/s b) 8,34 m/s2 .

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41.- Una varilla circular delgada se mantiene inmóvil en un plano vertical merced a un soporte A. Unido a éste, y arrollado holgadamente alrededor de la varilla, hay un muelle de constante k = 44 N/m y longitud natural igual a la del arco AB. Un cursor C de 225 g , no unido al muelle, puede deslizar sin rozamiento por la varilla. Sabiendo que el cursor se suelta desde el reposo bajo un ángulo θ con la vertical, hallar a) el menor valor de θ para el que el cursor pasa por D y llega al punto A y b) la velocidad del cursor cuando llega a A. Solución: a) 43,5º b) 2,43 m/s.

42.- El sistema representado está en equilibrio cuando φ = 0º. Sabiendo que inicialmente φ = 90º y que el bloque C recibe un pequeño golpecito estando el sistema en esa posición, hallar la velocidad del bloque cuando pasa por la posición de equilibrio. Despreciar el peso de la varilla. Solución: 1,88 m/s.

43.- Sabiendo que los tres bloques de la figura tienen la misma masa y que se abandonan en reposo cuando θ = 0, hallar a) el valor máximo que alcanza el ángulo θ y b) la correspondiente tensión en la cuerda. Solución: a) 53,13º b) 4,9 N.

44.- Se desea diseñar un cable para la práctica del puenting desde una torre de 40 m de altura. Las especificaciones estipulan que la longitud natural del cable debe de ser de 25 m y que debe alargarse hasta los 30 m cuando se le sujete una masa de 300 kg y ésta se deje caer desde la torre. Hallar a) la constante elástica k que debe tener el cable y b) a que distancia del suelo se acercará un hombre de 80 kg que se lance desde la torre con ese cable. Solución: a) 7063 N/m b) 12,53 m. 45.- El bloque de 300 g se suelta desde el reposo tras haberse comprimido 160 mm el muelle de constante k = 600 N/m. Hallar la fuerza ejercida por el rizo ABCD sobre el bloque cuando este pasa por a) el punto A, b) el punto B, c) el punto C. Se supone que no hay rozamiento. Solución: a) 13,31 N b) 4,48 N c) 13,31 N.

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46.- Desde el punto A se lanza una partícula de masa m con una velocidad inicial v0 perpendicular a la recta OA y se mueve bajo una fuerza central F describiendo una trayectoria semicircular de diámetro OA. Observando que r = r0 cos θ, a) demostrar que la velocidad de la partícula es v = v0/cos2θ y b) hallar la componente tangencial de la fuerza central F según la tangente a la trayectoria para θ = 0 y θ = 45º. Solución: b) (2mv0

2senθ)/(r0(cosθ)5). 47.- Desde el punto A se lanza una partícula de masa m con una velocidad inicial v0 perpendicular a la recta OA y se mueve bajo la acción de una fuerza central F dirigida alejándose del centro de fuerza O. Sabiendo que la partícula sigue una trayectoria definida por r = r0 / (cos2θ)1/2 a) expresar las componentes radial y transversal de su velocidad v en función de θ, b) demostrar que la velocidad de la partícula y la fuerza central F son proporcionales a la distancia r desde la partícula al centro de fuerza O y c) demostrar que el radio de curvatura de la trayectoria es proporcional a r3. Solución: a) vθ = v0 (cos2θ)1/2 ; vr = v0 sen2θ /(cos2θ)1/2 48.- Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta de masa M. Los valores mínimo y máximo de la distancia r del satélite al centro del planeta son, respectivamente, r0 y r1. Mediante los principios de la conservación del a energía y de la conservación del momento angular, deducir la relación 1/r0+1/r1=2GM/h2, donde h es el momento angular por unidad de masa del satélite y G es la constante de gravitación universal. Solución: 49.- Una pelota de 0,2 kg resbala sobre una superficie horizontal sin rozamiento y está unida a un punto fijo O por medio de una cuerda elástica de constante k = 150 N/m, de longitud natural igual a 0,6 m. Se coloca la pelota en el punto A a 0,9 m de O y se le da una velocidad inicial vA en una dirección perpendicular a OA. Si la pelota pasa a una distancia mínima d = 0,1 m del punto O, determínese: a) la velocidad inicial vA ; b) su velocidad v después de que la cuerda está sin tensión. Solución: a) 0,918 m/s b) 8,267 m/s .

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