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DINÁMICA DE FLUIDOS Ahora enfoquemos nuestra atención a la dinámica de los fluidos, es decir, a fluidos en movimiento. En lugar de intentar estudiar el movimiento de cada partícula del fluido como una función del tiempo, describiremos las propiedades del fluido en cada punto como una función del tiempo. Características de flujo Cuando un fluido está en movimiento, su flujo puede ser laminar o turbulento. El flujo es estable o laminar si cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme, por lo que las trayectorias de diferentes partículas nunca se cruzan entre sí, como muestra la figura 1. En el flujo estable, la velocidad del fluido en cualquier punto se mantiene constante en el tiempo.

Figura 1

Arriba de cierta velocidad crítica, el flujo del fluido se vuelve no estable o turbulento. Éste es un flujo irregular caracterizado por pequeñas regiones similares a torbellinos, como se puede ver en la figura 2. El flujo del agua en una corriente se vuelve turbulento en regiones donde hay rocas y otras obstrucciones, formando a menudo remolinos.

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Figura. 2

En general, el término viscosidad se emplea en el flujo de fluidos para caracterizar el grado de fricción interna en el fluido. Esta fricción interna o fuerza viscosa se asocia a la resistencia que presentan dos capas adyacentes del fluido a moverse una respecto de la otra. Por causa de la viscosidad, parte de la energía cinética de un fluido se convierte en energía térmica. Esto es similar al mecanismo por el cual un objeto pierde energía cinética cuando se desliza sobre una superficie horizontal rugosa. Debido a que el movimiento de un fluido real es complicado, se hacen algunas suposiciones que simplifican su estudio. Muchas características de los fluidos reales en movimiento pueden entenderse considerando el comportamiento de un fluido ideal. En el presente modelo se hacen cuatro suposiciones:

• Fluido no viscoso. En un fluido no viscoso no se toma en cuenta la fricción interna. • Flujo estable. En el flujo estable se supone que la velocidad del fluido en cada punto permanece constante en el tiempo. • Fluido incompresible. La densidad de un fluido incompresible se considera que permanecerá constante en el tiempo. • Flujo irrotacional. No hay momento angular del fluido alrededor de algún punto. Si una pequeña rueda situada en cualquier lugar en el fluido no rota alrededor de su centro de masa, el flujo es irrotacional.

LÍNEAS DE CORRIENTE Y LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

La trayectoria tomada por una partícula de fluido bajo flujo estable se conoce como línea de corriente. La velocidad de una partícula del fluido siempre es tangente a la línea de corriente, como se indica en la figura 3. Dos líneas de corriente nunca se cruzan entre sí, pues si esto ocurriera, una partícula de fluido se movería por cualquier trayectoria en el punto de cruce y en este caso el flujo no sería estable. Un conjunto de líneas de corriente como las que se muestran en la figura 3 forman lo que se llama un tubo de flujo.

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Figura 3 Considere un fluido ideal que fluye por un tubo de tamaño no uniforme, como en la figura 4. La partícula en el fluido se mueve a lo largo de líneas de corriente en flujo estable.

Figura 4

En un pequeño intervalo de tiempo ∆t, el fluido en el extremo inferior del tubo se mueve una distancia ∆x1 = v1∆t. Si A1 es el área de la sección transversal en esta región, entonces la masa contenida en la región sombreada es ∆m1 = ρA1∆x1 = ρA1v1∆t. Asimismo, el fluido que se mueve a través del extremo superior del tubo en el tiempo t tiene una masa ∆m2 = ρA2v2∆t. Sin embargo, puesto que la masa se conserva y como el flujo es estable, la masa que cruza A1 en un tiempo ∆t debe ser igual a la masa que cruza A2 en el tiempo ∆t. Esto es, ∆m1 = ∆m2, o ρA1v1 = ρA2v2. Si la densidad es la misma en ambos lados de esta expresión, se tiene que 1 1 2 2A v = A v = constante (1.1)

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Esta expresión se conoce como ecuación de continuidad. Esta ecuación expresa que la velocidad es alta donde el tubo se estrecha y es baja donde es ancho. El producto Av, que tiene las dimensiones de volumen/tiempo, se denomina flujo de volumen o tasa de flujo. La condición Av = constante es equivalente al hecho de que la cantidad de fluido que entra por un extremo del tubo en un intervalo de tiempo determinado es igual a la cantidad que sale en el mismo intervalo de tiempo, suponiendo que no hay fugas. LA ECUACION DE BERNOULLI En 1738, el físico suizo Daniel Bernoulli dedujo por primera vez una expresión que relaciona la presión con la velocidad y elevación del fluido. Considérese el flujo de un fluido ideal por un tubo de área transversal no uniforme en un tiempo ∆t, como se ilustra en la figura 5.

Figura 5

La fuerza sobre el extremo inferior del fluido es P1A1 donde P1 es la presión en la sección I. El trabajo realizado por esta fuerza es W1 = F1∆x1 = P1A1∆x1 donde ∆V es el volumen de la sección 1. De manera similar, el trabajo realizado sobre el fluido en el extremo superior en el tiempo ∆t es W2 = -P2A2∆x2 = -P2∆V. (El volumen que pasa por la sección 1 en un tiempo ∆t es igual al volumen que pasa por la sección 2 en el mismo intervalo de tiempo.) Este trabajo es negativo porque la fuerza del fluido se opone al desplazamiento. Así, vemos que el trabajo neto hecho por estas fuerzas en el tiempo ∆t es

W = (P1 -P2) ∆V

Parte de este trabajo se utiliza para cambiar la energía cinética del fluido y otra parte para cambiar la energía potencial gravitacional. Si ∆m es la masa que pasa por el tubo en el tiempo ∆t, entonces el cambio en su energía cinética es

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2 22 1

1 1∆K = (∆m) v - (∆m)v2 2

El cambio en la energía potencial gravitacional es

2 1∆U = ∆mGy - ∆mgy

Aplicando el teorema del trabajo y la energía en la forma W = ∆K + ∆U al volumen de fluido, se obtiene lo siguiente

2 21 2 2 1 2 1

1 1(P -P ) ∆V = (∆m)v - (∆m)v + ∆mgy - ∆mgy2 2

Si se divide cada término entre ∆V y recordamos que ρ = ∆m/∆V, la expresión anterior se reduce a

2 21 2 2 1 2 1

1 1P -P = ρv - ρv + ρgy - ρgy2 2

Al reacomodar los términos, se obtiene la ecuación de Bernoulli

2 21 1 1 2 2 2

1 1P + ρv + ρgy = P + ρv + ρgy2 2

(1.2)

Cuando la ecuación de Bernoulli se aplica a un fluido ideal, a menudo se expresa como

21P + ρv + ρgy = constante2

(1.3)

La ecuación de Bernoulli Señala que la suma de la presión, (P), la energía cinética por unidad de volumen ( I /2ρv2) y la energía potencial gravitacional por unidad de volumen (ρgy) tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente. Cuando un fluido está en reposo, v1 = v2 = 0 y la ecuación 1.2 se vuelve

P1 – P2 = ρg( y2 -y1 ) = ρgh que concuerda con la ecuación P = P0 + ρgh, obtenida anteriormente. OTRAS APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Considere las líneas de corriente que fluyen alrededor del ala de un avión como se muestra en la figura 8. Supongamos que la corriente de aire se aproxima

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horizontalmente al ala desde la derecha con una velocidad v1. La inclinación del ala ocasiona que la corriente de aire se desvíe hacia abajo con una velocidad v2. Debido a que la corriente de aire es desviada por el ala, ésta debe ejercer una fuerza sobre la corriente de aire. De acuerdo con la tercera ley de Newton, la corriente de aire debe ejercer una fuerza F igual y opuesta sobre el ala. Esta fuerza tiene una componente vertical conocida como sustentación (o sustentación aerodinámica) y una componente horizontal denominada arrastre, La sustentación depende de varios factores, como la velocidad del avión, el área del ala, su curvatura y el ángulo entre el ala y la horizontal. A medida de que este ángulo aumenta, puede producirse flujo turbulento sobre el ala para reducir la sustentación.

Figura 8 La sustentación del ala es consistente con la ecuación de Bernoulli. La velocidad de la corriente de aire es mayor sobre el ala, de manera que la presión del aire sobre ella es menor que la presión debajo de la misma, con lo que se produce una fuerza neta hacia arriba. En general, un objeto experimenta sustentación mediante cualquier efecto que cause que el fluido cambie su dirección conforme circula por el objeto. Algunos factores que afectan la sustentación son la forma del objeto, su orientación respecto del flujo del fluido, el movimiento de giro (por ejemplo, una bola de béisbol girando) y la textura de la superficie del objeto. Varios dispositivos funcionan de la manera descrita en la figura 9. Una corriente de aire que pasa sobre un tubo abierto reduce la presión sobre el tubo. Esta reducción de la presión ocasiona que el líquido ascienda dentro de la corriente de aire. El líquido se dispersa entonces en un fino rocío de gotas. Usted podría recordar que este dispositivo, llamado atomizador, se utiliza en botellas de perfume y en pistolas para pintar. El mismo principio se usa en el carburador de un motor de gasolina. En este caso, la región de baja presión en el carburador se produce con aire introducido por el émbolo a través del filtro de aire. La gasolina se evapora, se mezcla con el aire y entra al cilindro del motor para quemarse.

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Figura 9 La ecuación de Bernoulli explica la llamada palpitación vascular, síntoma en una persona con arteriosclerosis avanzada. La arteria se estrecha como consecuencia de la acumulación de placa en sus paredes internas (Fig. 10) .Con el fin de mantener una tasa de flujo constante por la arteria reducida, la presión impulsora debe aumentar. Dicho aumento en la presión requiere un gran esfuerzo sobre el músculo cardiaco. Si la velocidad de la sangre es lo suficientemente alta en la región estrecha, la arteria puede colapsarse por la presión externa, causando una interrupción momentánea del flujo de sangre. En este punto no se aplica la ecuación de Bernoulli y el vaso vuelve a abrirse bajo la presión arterial. Conforme la sangre corre por la arteria reducida, la presión interna disminuye y la arteria se cierra de nuevo. Estas variaciones en el flujo sanguíneo pueden escucharse con un estetoscopio. Si la placa se desprende y termina en un vaso más pequeño que entrega sangre al corazón, la persona puede sufrir un ataque cardiaco.

Figura 10

LA ENERGÍA DEL VIENTO A pesar de que el viento es una gran fuente potencial de energía (alrededor de 5 kW por acre en estados Unidos), se ha aprovechado sólo en pequeña escala. Se ha calculado que ha escala mundial, los vientos podrían sumar una potencia disponible total de 2 x 1010 kw (casi tres veces el consumo actual de energía en el mundo) .En consecuencia, si sólo un pequeño porcentaje de la energía disponible pudiera aprovecharse la potencia del viento representaría una fracción importante

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de nuestras necesidades de energía. Como sucede con todos los recursos de energía indirectos los sistemas de potencia eólicos tienen algunas desventajas, lo cual en este caso surge principalmente de la variabilidad de las velocidades del viento. Se pueden usar algunas de las ideas desarrolladas en este capítulo para calcular la potencia del viento. Cualquier máquina que aproveche la energía del viento transforma la energía cinética del movimiento del aire en la energía mecánica de un objeto, usualmente por medio de un eje rotatorio. La energía cinética por unidad de volumen de una columna de aire en movimiento es

2EC 1 = ρvvolumen 2

Donde ρ es la densidad del aire y v es su velocidad. La tasa de flujo de aire a través de una columna de área transversal A es Av (Fig.11) .Esto puede considerarse como el volumen de aire que cruza un área de superficie determinada cada segundo. En la máquina que trabaja, A es el área de la sección transversal del sistema que capta el viento, en forma de un conjunto de aspas giratorias. Al multiplicar la energía cinética por unidad de volumen por la tasa de flujo, se obtiene la tasa a la cual se transfiere la energía o, en otras palabras, la potencia:

2 3EC volumen 1 1Potencia = x = ( ρv ) (Av) = ρv Avolumen tiempo 2 2

(1.4)

Figura 11 Por lo tanto, la potencia disponible por unidad de área es

3Potencial 1 = ρvA 2

(1.5)

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De acuerdo con este resultado, si la columna de aire en movimiento pudiera

Llevarse al reposo, se dispondría de una potencia de 31 ρv2

por cada metro

cuadrado interceptado. Por ejemplo, si se supone una velocidad moderada de 12 m/s (27mi/h) y se toma ρ = 1.3 kg/m3, se encuentre que

3 3 2 2Potencial 1 = (1.3kg/m ) (12m/s) 1 100W/m = 1.1 kW/mA 2

≈

Como la potencia por área unitaria varía con el cubo de la velocidad, su valor se duplica si v aumenta sólo en 26%. Inversamente, la salida de potencia se reduce a la mitad si la velocidad disminuye en 26%. Este cálculo se basa en condiciones ideales y supone que la totalidad de la energía cinética está disponible para la potencia. En realidad, la corriente de aire emerge del generador eólico con cierta velocidad residual, y cálculos más precisos indican que, en el mejor de los casos, se puede extraer sólo el 59.3% de esta cantidad. La expresión para la máxima potencia disponible por unidad de área para el generador eólico es

3potencial maxima 8 = ρvA 27

(1.6)

En un aerogenerador real, las pérdidas adicionales producto de la naturaleza no ideal del rotor, el engranaje y el generador reducen la potencia disponible total a casi 15% del valor establecido por la ecuación 1.5. Los dibujos de dos tipos de aerogeneradores se muestran en la figura 12

Figura 12

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VISCOSIDAD Un fluido no soporta esfuerzos de corte, sin embargo, los fluidos presentan cierto grado de resistencia al movimiento de corte. Esta resistencia es una forma de fricción interna llamada viscosidad. Ésta existe debido a una fuerza de fricción entre capas adyacentes del fluido conforme se deslizan una sobre la otra. El grado de viscosidad de un fluido puede comprenderse con el siguiente ejemplo. Si dos placas de vidrio están separadas por una capa de fluido, como el aceite, con una de las placas fija es fácil que una placa deslice sobre la otra (Fig. 13) .Sin embargo, si el fluido que separa las placas es brea, la tarea de deslizamiento de una placa sobre la otra se vuelve mucho más difícil. Así, concluimos que la brea tiene una viscosidad mayor que el aceite. Observe que en la figura 13 la velocidad de capas sucesivas de fluido aumenta linealmente desde 0 hasta v conforme se observa desde una capa adyacente a la placa fija a una capa adyacente a la placa móvil.

Figura 13

En un sólido, un esfuerzo de corte origina un desplazamiento entre las capas adyacentes. De un modo análogo, las capas adyacentes de un fluido bajo esfuerzo de corte se ponen en movimiento relativo entre ellas. También en este caso, considere dos placas paralelas, una fija y una moviéndose hacia la derecha bajo la acción de una fuerza externa F, como en la figura 13. Debido a este movimiento, una parte del fluido se distorsiona de su forma original, ABCD, en un instante a la forma AEFD, después de un corto intervalo de tiempo. Por definición, el esfuerzo de corte sobre el fluido es igual a la razón F/A, en tanto que la deformación de corte se define a partir de la razón ∆x/l :

FEsfuerzo de corte = A

∆xDefrormacion de corte = l

La placa superior se mueve con una velocidad v, y el fluido adyacente a esta placa tiene la misma velocidad. Así pues, en un tiempo ∆t el fluido en la placa móvil

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recorre una distancia ∆x = v∆t y podemos expresar la deformación de corte por unidad de tiempo como

deformacion del corte ∆x/ v= = ∆t ∆t

ll

Esta ecuación establece que la tasa de cambio de la deformación de corte es v/l . El coeficiente de viscosidad, η, para el fluido se define como la proporción entre el esfuerzo de corte y la tasa de cambio de la deformación de corte:

F/A Fη = v/ Av

ll

≡ (1.7)

La unidad del coeficiente de viscosidad en el SI es Ns/m2. El coeficiente de viscosidad para algunos fluidos está dado en la tabla 1. La expresión para η dada por la ecuación 1.7 sólo es válida si la velocidad fluido varía linealmente con la posición. En este caso, es común afirmar que el gradiente de velocidad, v/l , es uniforme. Si el gradiente de velocidad no es uniforme, debemos expresar η en la forma general

F/Aη dv/dy

≡ (1.8)

Donde el gradiente de velocidad dv/dy es el cambio en la velocidad con la posición medido perpendicular a la dirección de la velocidad.

TABLA 1. Coeficiente de viscosidad de diferentes fluidos

Fluido T ( °C ) ( N . s/m2 )

Agua 20 1.0 x 10-3

Agua 100 0.3 x 10-3 Sangre pura 37 2.7 x 10-3 Glicerina 20 830x 10-3 Aceite de motor (SAE 10) 30 250 x 10-3 aire 20 1.8 x 10-5 Bibliografía Estas notas están basadas en el libro: Physics de R. A. Serway. Fourth Edition