BREVE ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA

Definición._Llamadas también ecuaciones CUADRÁTICAS son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma general:

......(1) ;

donde a , b y c son llamados coeficientes y que pueden ser reales o complejos 1

El coeficiente “a” se llama coeficiente cuadrático o de segundo grado.El coeficiente “b” se llama coeficiente lineal o de primer grado. yEl coeficiente “c” se llama término lineal.Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero,la ecuación de segundo grado se llama completa y si b ó c o ambos, son ceros, la ecuación de segundo grado se llama incompleta.Así dado: a , b y c ≠ 0 entonces : ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación de segundo grado

completa.Toda ecuación de segundo grado presenta dos raíces o soluciones ,llamémoslas, x1 y x2

Estas raíces se pueden obtener mediante dos métodos:

a) Método de la fórmula general :De la ecuación se deduce que :

(Fórmula de Carnot)

siendo: ......(2)

.....(3)

Se define la cantidad subradical : b2 – 4ac como el discriminante (invariante Característico) de la ecuación cuadrática y se le denota por :”Δ”, luego:

.....(4)

b) Método de factorización : Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado : ax2 + bx + c = 0 siempre y cuando se pueda. Los pasos de este método son los siguientes: * se trasladan todos los términos a un sólo miembro dejando el otro miembro igual a cero. * Se factoriza este miembro por el método del aspa simple. * Para obtener las raíces de la ecuación , se iguala cada factor a cero.

Discusión de las raíces de una ecuación de segundo grado ._

Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a≠0 dependen de la discriminante Δ dado por (4) así: Primer caso: Si Δ > 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales y desiguales. Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones:

a) si Δ es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son racionales. b) si Δ no es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son irracionales conjugadas. Segundo caso: Si Δ = 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales e iguales (raíces dobles) donde:

....(5)

Tercer caso: Si Δ < 0 entonces las raíces x1 y x2 son complejos y conjugados.

Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado ._Sea la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a≠0 y sus raíces x1 y x2

tendremosLas siguientes propiedades:

a) Suma de raíces :

.....(6)

b) Producto de raíces :

.....(7)

c) Diferencia de raíces :

.....(8)

d) Suma de cuadrados de las raíces:

e) Identidad de Legendre aplicada a las raíces :

....(10)

Construcción de una ecuación de segundo grado conociendo sus raíces ._Conociendo las dos raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado ,esta se construye empleando la suma y el producto de dichas raíces.Luego la ecuación que dió origen a x1 y x2 es :

.....(11)

llamada también : forma canónica de la ecuación de segundo grado. O bien :

siendo : y

Propiedades adicionales de las raíces ._* La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, a≠0 tiene raíces simétricas (raíces de igual valor pero de signo contrario) si y solo si : de allí que : entonces .....(12) * La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, a≠0 tiene raíces recíprocas (una de las raíces es la inversa de la otra) si y solo si:

de allí que : entonces .....

(13)

Raíz nula ._Dada la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a≠0 ,si esta presenta una raíz nula (x=0) entonces : .....(14)

Raíz Unidad ._Dada la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a≠0 ,si esta presenta una raíz unidad (x=1) entonces : .....(15)

Teorema de las ecuaciones cuadráticas equivalentes ._Sean las ecuaciones cuadráticas (o de segundo grado) : ;

y ;

Si estas ecuaciones tienen las mismas raíces se dice que dichas ecuaciones son EQUIVALENTES y se cumple que :

......(16) ;

Es decir que los coeficientes de cada término semejante son proporcionales entre si.

Teorema de la raíz común ._Sean las siguientes ecuaciones cuadráticas :

;

;

Admiten una raíz común, luego se cumplirá la siguiente relación :

.....(17)

Mas información

PARABOLA Y ECUACIONES DE 2do. GRADO

Lo que vamos a presentar ahora es otra forma de hallar las raíces de una ecuación de 2do.grado completa, y su relación con la gráfica que la representa. (La Parábola)

Dada: (1)

Ecuación general de 2do.grado, sabemos que para hallar sus raíces se utiliza la siguiente fórmula:

La ecuación de la parábola en base a su vértice y parámetro es:

siendo p la distancia entre el foco y la directriz, llamada

parámetro de la parábola y el Punto llamado vértice. La parábola tiene su eje paralelo al eje x (de abscisas). La distancia entre el vértice y el foco es p/2.

La parábola cuyo eje es paralelo al eje y (de ordenadas) tiene como ecuación, la siguiente:

Con vértice =

Bien partiendo de esta última función, desarrollamos y despejamos la variable

Invertimos los miembros de la ecuación:

Ordenamos los términos:

Ahora si hacemos y=0 y comparamos con la ecuación general del 2do. Grado, en (1), de donde tenemos:

de la primera tenemos:

reemplazando en la segunda igualdad, tenemos:

(2)

Reemplazando y despejando de la tercera igualdad:

(3)

Con las igualdades (2) y (3) podemos calcular las coordenadas del vértice de una parábola, por ejemplo dada la siguiente función:

Para hallar el vértice de esta parábola, tomamos la ecuación (2) y calculamos:

Por lo tanto las coordenadas del vértice son:

También y seguramente mas sencillo (para no recordar la fórmula) podemos reemplazar el valor x0 en la función y hallamos la ordenada al vértice, como sigue:

Bien, ahora vayamos al cálculo de las raíces de esta ecuación, que es por donde corta la parábola al eje x (en caso de que tenga soluciones reales).

Sacamos por la fórmula general:

por lo tanto tenemos: (4)

pero, por (2): y por (3):

Reemplazando en (4), obtenemos:

que quedaría: (5)

Fórmula sencilla para resolver la ecuación de 2do.Grado, tomando los valores del

vértice de la parábola y el coeficiente del término de 2do.Grado (a).

Por ejemplo para resolver la ecuación del ejemplo anterior, donde hallamos las coordenadas del vértice, podemos aplicarla y tenemos:

que son las raíces de la ecuación planteada.

Otro ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación de 2do.Grado y graficar:

1º Paso: Hallamos el valor de la abscisa del vértice, mediante (2)

2º Paso: Hallamos el valor de la ordenada del vértice, reemplazando x0 en la ecuación.

3º Paso: Con los valores del vértice , ahora resolvemos aplicando la

fórmula (5)

que son las soluciones de la ecuación planteada.

La ventaja de esta manera de solución de la ecuación, es que ahora se nos hace más fácil para representar la función, ya que tenemos los valores del vértice, los valores de

las raíces y podemos hallar fácilmente el valor del parámetro, mediante

De esto tenemos: , que nos permite graficar

Bien, como vemos, hallamos la mayoría de los valores que necesitamos para hacer un gráfico, con lo que se completa el ejercicio presentado.

Propiedad de las raíces

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, tenemos:

Multiplicando miembro a miembro, las dos primeras igualdades, tenemos:

Igualdades que nos dan la posibilidad de resolver en forma sencilla los problemas que siguen sin reconstruir la ecuación de 2do. Grado, Ejemplo:

Problema: Hallar dos números cuya suma es igual a 3 y su producto es igual a 2.

Solución:

Aplicando las últimas fórmulas, tenemos:

Y ahora reemplazando en la fórmula hallada para la solución de la ecuación, tenemos:

Por lo que vemos lo sencillo que resulta su solución y sin necesidad de rearmar la ecuación de 2do. Grado.

Si llamamos discriminante ahora a , tenemos de acuerdo a la suma y al

producto las siguientes sencillas fórmulas para resolver el problema anterior:

(6) y (7)

y la fórmula (5) se transforma en:

(8) datos que obtenemos fácilmente del problema planteado.

Ejemplo 2: Calcular las dimensiones de un rectángulo tal que su superficie es de 3m² y su perímetro de 7m.

Según el planteo, tenemos:

Sup.rectángulo: b.h=3m² y Per.rect: 2(b+h) = 7m o sea b+h=7/2mAplicando las formulas anteriormente vistas, y llamando x1 a b (base) y x2 a h (altura)

De (6) De (7)

Aplicando la formula (8):

Por lo tanto las medidas del rectángulo que proponía el problema, son uno de los lados mide 2m y el otro 1,5m.

Nótese que además de la fórmula (5) sacamos la conclusión que la ordenada al vértice y el coeficiente de 2do.Grado (a) deben tener signo distinto para que la ecuación tenga soluciones reales, y es también de forma inductiva que podemos sacarlo. Por ejemplo, sea la ordenada del vértice positiva, para que la parábola corte al eje de las abscisas debe ir las ramas hacia abajo o sea debe tener a su vértice como punto máximo, por lo tanto a (coeficiente de 2º Grado) debe ser negativo.De igual manera se deduce para la ordenada al vértice negativa.

En síntesis:

raíces reales y distintas

una única solución

Conclusiones:

Este es un trabajo que realicé a partir de relacionar la gráfica de una parábola con la resolución de una ecuación de 2do.Grado. Creo que tiene algunas ventajas con respecto a la solución ya conocida y ampliamente estudiada.Las ventajas que veo son, en primer lugar que a pesar de constar de más pasos (pero averiguamos más datos) tenemos una fórmula más fácil de recordar y aplicar, y otra es que obliga (en cierta manera) a relacionar al alumno los valores de la gráfica con la ecuación.