Ecuaciones de las cónicas y de sus elementos
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LA CIRCUNFERENCIA Forma canónica + = Forma ordinaria ( − ) + ( − ) = Forma General + + + + = Los coeficientes de deben ser “iguales” (− 2 ; − 2 ) = 1 2 . √ 2 + 2 − 4 Si: 2 + 2 – 4> 0, representa una circunferencia. Si: 2 + 2 – 4 = 0, representa un punto. Si: 2 + 2 – 4 < 0, representa un conjunto vacío. PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN (, ) HORIZONTAL VERTICAL Ecuación estándar = = Abre ℎ ℎ Coordenadas del foco (, 0) (0, ) Ecuación de la directriz = − = − Eje Longitud focal Longitud del lado recto |4| |4| Excentricidad = () () =1 = () () =1
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LA CIRCUNFERENCIA
Forma canónica
𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝒓𝟐 Forma ordinaria
(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐
Forma General
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Los coeficientes de 𝒙𝟐 𝒚 𝒚𝟐 deben ser “iguales”
𝐶 (−𝐷
2 ; −
𝐸
2) 𝑟 =
1
2 . √𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
Si: 𝐷2 + 𝐸2 – 4𝐹 > 0, representa una circunferencia.
Si: 𝐷2 + 𝐸2 – 4𝐹 = 0, representa un punto.
Si: 𝐷2 + 𝐸2 – 4𝐹 < 0, representa un conjunto vacío.
PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎)
HORIZONTAL VERTICAL
Ecuación estándar 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙
𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚
Abre 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Coordenadas del foco (𝑝, 0)
(0, 𝑝)
Ecuación de la directriz 𝑥 = −𝑝
𝑦 = −𝑝
Eje 𝑒𝑗𝑒 𝑥
𝑒𝑗𝑒 𝑦
Longitud focal 𝑝
𝑝
Longitud del lado recto |4𝑝|
|4𝑝|
Excentricidad 𝑒 =
𝑑(𝑃𝐹)
𝑑(𝑃𝑙)= 1
𝑒 =𝑑(𝑃𝐹)
𝑑(𝑃𝑙)= 1
PARÁBOLA CON VÉRTICE (𝒉, 𝒌)
HORIZONTAL VERTICAL
Ecuación estándar (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)
(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)
Abre 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Coordenadas del foco (ℎ + 𝑝, 𝑘)
(ℎ, 𝑘 + 𝑝)
Ecuación de la directriz 𝑥 = ℎ − 𝑝
𝑦 = 𝑘 − 𝑝
Ecuación del eje 𝑦 = 𝑘
𝑥 = ℎ
Longitud focal
𝑝
𝑝
Longitud del lado recto
|4𝑝|
|4𝑝|
Longitud del radio vector
|𝑥1 − ℎ + 𝑝|
|𝑦1 − 𝑘 + 𝑝|
Excentricidad
𝑒 =𝑑(𝑃𝐹)
𝑑(𝑃𝑙)= 1
𝑒 =𝑑(𝑃𝐹)
𝑑(𝑃𝑙)= 1
Ecuación General
𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
𝑩 ≠ 𝟎 ; 𝑫 ≠ 𝟎
𝑨𝒙𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
𝑨 ≠ 𝟎 ; 𝑬 ≠ 𝟎
ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎)
HORIZONTAL VERTICAL
Forma canónica
𝒙𝟐
𝒂𝟐+
𝒚𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
𝒙𝟐
𝒃𝟐+
𝒚𝟐
𝒂𝟐= 𝟏
Eje focal
𝑒𝑗𝑒 𝑥
𝑒𝑗𝑒 𝑦
Focos
(±𝑐, 0)
(0, ±𝑐)
Vértices
(±𝑎, 0)
(0, ±𝑎)
Semieje mayor
𝑎
𝑎
Semieje menor
𝑏
𝑏
Relación pitagórica
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2
Excentricidad
𝑒 =𝑐
𝑎=
√𝑎2 − 𝑏2
𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1
𝑒 = 0, representa una circunferencia
𝑒 =𝑐
𝑎=
√𝑎2 − 𝑏2
𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1
𝑒 = 0, representa una circunferencia
Longitud del lado recto
2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Longitud de los radios vectores
𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1 𝑟2 = 𝑎 + 𝑒𝑥1
𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑦1 𝑟2 = 𝑎 + 𝑒𝑦1
Suma de radios vectores 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎
ELIPSE CON CENTRO (𝒉, 𝒌)
HORIZONTAL VERTICAL
Forma ordinaria (𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐+
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒃𝟐+
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒂𝟐= 𝟏
Eje focal 𝑦 = 𝑘
𝑥 = ℎ
Focos
(ℎ ± 𝑐, 𝑘)
(ℎ, 𝑘 ± 𝑐)
Vértices
(ℎ ± 𝑎, 𝑘)
(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)
Semieje mayor
𝑎
𝑎
Semieje menor
𝑏
𝑏
Directrices
𝑥 = ℎ ±𝑎2
𝑐
𝑦 = 𝑘 ±𝑎2
𝑐
Relación pitagórica
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2
Excentricidad
𝑒 =𝑐
𝑎=
√𝑎2 − 𝑏2
𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1
𝑒 = 0, representa una circunferencia
𝑒 =𝑐
𝑎=
√𝑎2 − 𝑏2
𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1
𝑒 = 0, representa una circunferencia
Longitud del lado recto 2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Longitud de los radios vectores
𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1 𝑟1 = 𝑎 + 𝑒𝑥1
𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1 𝑟1 = 𝑎 + 𝑒𝑥1
Suma de radios vectores
𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎
𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎
Ecuación General
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
A y B son de igual signo.
𝐴 < 𝐵
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
A y B son de igual signo.
𝐴 > 𝐵
HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎)
HORIZONTAL VERTICAL
Forma canónica
𝒙𝟐
𝒂𝟐−
𝒚𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
𝒚𝟐
𝒂𝟐−
𝒙𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
Eje focal
𝑒𝑗𝑒 𝑥
𝑒𝑗𝑒 𝑦
Vértices
(±𝑎, 0)
(0, ±𝑎)
Focos
(±𝑐, 0)
(0, ±𝑐)
Longitud del eje transverso 2𝑎
2𝑎
Longitud del eje conjugado
2𝑏
2𝑏
Excentricidad
𝑒 =𝑐
𝑎=
√𝑎2 + 𝑏2
𝑎 ; 𝑒 > 1
𝑒 =𝑐
𝑎=
√𝑎2 + 𝑏2
𝑎 ; 𝑒 > 1
Longitud del lado recto
2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Relación pitagórica
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Asíntotas 𝑏𝑥 ± 𝑎𝑦 = 0 ⟺ 𝑦 = ±𝑏
𝑎𝑥
𝑏𝑦 ± 𝑎𝑥 = 0 ⟺ 𝑦 = ±𝑎
𝑏𝑥
HIPÉRBOLA CON CENTRO (𝒉, 𝒌)
HORIZONTAL VERTICAL
Forma ordinaria
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐−
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒂𝟐−
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
Eje focal
𝑦 = 𝑘 𝑥 = ℎ
Centro
𝐶(ℎ, 𝑘) 𝐶(ℎ, 𝑘)
Vértices
(ℎ ± 𝑎, 𝑘)
(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)
Focos
(ℎ ± 𝑐, 𝑘)
(ℎ, 𝑘 ± 𝑐)
Extremo del eje conjugado
𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏)
𝐵(ℎ ± 𝑏, 𝑘)
Longitud del eje transverso
2𝑎
2𝑎
Longitud del eje conjugado
2𝑏
2𝑏
Excentricidad
𝑒 =𝑐
𝑎=
√𝑎2 + 𝑏2
𝑎 ; 𝑒 > 1
𝑒 =𝑐
𝑎=
√𝑎2 + 𝑏2
𝑎 ; 𝑒 > 1
Longitud del lado recto
2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Relación pitagórica
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Asíntotas
(𝑦 − 𝑘) = ±𝑏
𝑎(𝑥 − ℎ)
(𝑦 − 𝑘) = ±𝑎
𝑏(𝑥 − ℎ)
Directrices
𝑥 = ℎ ±𝑎
𝑒
𝑦 = 𝑘 ±𝑎
𝑒
Ecuación General
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
A y B tienen signo
opuesto.
A es positivo y B es negativo.
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
A y B tienen signo
opuesto.
A es negativo y B es positivo.
