Ejes de Transmision

CAPTULO 7

DISEO DE RBOLES

7.1 INTRODUCCIN

7.1.1 rboles y ejes

Los rboles y ejes son elementos de mquinas, generalmente de seccin transversal circular, usados para

sostener piezas que giran solidariamente o entorno a ellos. Algunos elementos que se montan sobre

rboles y ejes son ruedas dentadas, poleas, piones para cadena, acoples y rotores. Los ejes no transmiten

potencia y pueden ser giratorios o fijos. Por otro lado, los rboles o flechas son elementos que giran

soportando pares de torsin y transmitiendo potencia. Las figuras 7.1 a 7.3 muestran transmisiones por

cadenas, por correas y por ruedas dentadas, respectivamente, en las cuales la transmisin de potencia se

lleva a cabo mediante rboles, poleas, correas, ruedas dentadas, estrellas y cadenas, entre otros elementos.

Figura 7.1 Transmisin por cadenas

n1 n2

Cadena

Estrella conducida

Estrella conductora

D2 D1

rbol rbol

2 CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS

Figura 7.2 Transmisin por correas

(a) Esquema de un reductor de velocidades horizontal de dos escalones cilndricos (b) Transmisin de tornillo sinfn

Figura 7.3 Transmisiones por ruedas dentadas

Los rboles estn sometidos a torsin, flexin, carga axial y fuerzas cortantes, y al menos alguna de estas

cargas es variable (en un rbol girando sometido a un momento flector constante, actan esfuerzos

normales variables). Como los esfuerzos en los rboles son combinados y variables, debe aplicarse la

teora de fatiga para esfuerzos combinados.

Sello Bastidor Rodamiento de bolas

Tornillo y rueda

dentada

rbol de salida

Caja

rbol de salida

rbol de entrada

Ruedas helicoidales

Ruedas de dientes

rectos

Rodamiento

n2 n1

Correa

D2

D1

Polea conductora

Polea conducida

rbol rbol

CAPTULO 7 DISEO DE RBOLES 3

7.1.2 Configuracin y accesorios de los rboles

Usualmente, los rboles son cilindros escalonados (figura 7.4.d), con el fin de que los hombros o resaltos

sirvan para ubicar axialmente los diferentes elementos. Adems, los hombros sirven para transmitir

cargas axiales. En los rboles se usan diferentes elementos para la transmisin de potencia o para

posicionar o fijar las piezas que se montan sobre stos. Algunos mtodos utilizados para transmitir pares

de torsin y potencia son las cuas o chavetas (figura 7.4.a), ejes estriados, espigas o pasadores (figura

7.4.c), ajustes a presin (captulo 10), ajustes ahusados (con superficies cnicas) y conectores ranurados.

Para evitar movimientos axiales de las piezas se usan, por ejemplo, hombros, tornillos de fijacin o

prisioneros (figura 7.4.b), anillos de retencin (figura 7.4.b), pasadores (figura 7.4.c), collarines de

fijacin, tornillos (figura 7.4.d) y manguitos (figura 7.4.d). Algunos mtodos sirven tanto para fijar

axialmente las piezas, como para transmitir par de torsin (por ejemplo, los pasadores). Las chavetas y

los pasadores actan como fusibles, es decir, son elementos dbiles (y baratos) que tienden a fallar en caso de una sobrecarga, protegiendo as las piezas caras.

Figura 7.4 Mtodos para transmitir par de torsin y para fijar piezas sobre rboles y ejes

Prisionero

Estrella (pin) rbol

Chaveta

Buje (manguito)

Chaveta

Rueda dentada

Escaln

Holgura axial

D

(a) Chaveta paralela (b) Anillo de retencin y tornillo de fijacin

Polea

Correa Chaveteros

Chaveta o cua

rbol

rbol

Rodamiento

Anillo de retencin

Polea ranurada

Tornillo de fijacin o prisionero

Anillo de retencin

Ranura para anillo de retencin

(c) Pasador (d) rbol escalonado con varios mtodos de fijacin

Pasador

rbol

Tornillo


7.1.3 Etapas del diseo de rboles

El diseo de rboles comprende bsicamente:

Seleccin del material

Diseo constructivo (configuracin geomtrica)

Verificacin de la resistencia: - esttica - a la fatiga - a las cargas dinmicas (por ejemplo cargas pico)

Verificacin de la rigidez del rbol: - deflexin por flexin y pendiente de la elstica - deformacin por torsin

Anlisis Modal (verificacin de las frecuencias naturales del rbol)

El material ms utilizado para rboles y ejes es el acero. Se recomienda seleccionar un acero de bajo o

medio carbono, de bajo costo. Si las condiciones de resistencia son ms exigentes que las de rigidez,

podra optarse por aceros de mayor resistencia. La seccin 7.4.2 lista algunos aceros comnmente usados

para rboles y ejes.

Es necesario hacer el diseo constructivo al inicio del proyecto, ya que para poder hacer las

verificaciones por resistencia, por rigidez y de las frecuencias crticas, se requieren algunos datos sobre la

geometra o dimensiones del rbol. Por ejemplo, para verificar la resistencia a la fatiga en una seccin

determinada es necesario tener informacin sobre los concentradores de esfuerzos que estarn presentes

en dicha seccin, as como algunas relaciones entre dimensiones.

El diseo constructivo consiste en la determinacin de las longitudes y dimetros de los diferentes tramos

o escalones, as como en la seleccin de los mtodos de fijacin de las piezas que se van a montar sobre el

rbol. En esta etapa se deben tener en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos:

Fcil montaje, desmontaje y mantenimiento. Los rboles deben ser compactos, para reducir material tanto en longitud como en dimetro

(recurdese que a mayores longitudes, mayores tendern a ser los esfuerzos debidos a flexin y, por

lo tanto, los dimetros).

Permitir fcil aseguramiento de las piezas sobre el rbol para evitar movimientos indeseables. Las medidas deben ser preferiblemente normalizadas. Evitar discontinuidades y cambios bruscos de seccin, especialmente en sitios de grandes esfuerzos. Generalmente los rboles se construyen escalonados para el mejor posicionamiento de las piezas. Generalmente los rboles se soportan slo en dos apoyos, con el fin de reducir problemas de

alineamiento de stos.

Ubicar las piezas cerca de los apoyos para reducir momentos flectores. Mantener bajos los costos de fabricacin. Basarse en rboles existentes o en la propia experiencia, para configurar el rbol (consultar catlogos

y analizar reductores y sistemas de transmisin de potencia).

Despus del diseo constructivo puede procederse a verificar la resistencia del rbol. Los rboles deben

tener la capacidad de soportar las cargas normales de trabajo y cargas eventuales mximas, durante la

vida esperada. Entonces, se debe verificar la resistencia del rbol a la fatiga y a las cargas dinmicas;

estas ltimas son generalmente las cargas producidas durante el arranque del equipo.

Debe hacerse tambin un anlisis de las frecuencias naturales (crticas) del rbol. Todo sistema tiende a

oscilar con una gran amplitud cuando se excita con determinadas frecuencias; esto se denomina


resonancia. Los rboles, junto con las piezas que se montan sobre ellos, tienden tambin a vibrar

excesivamente cuando giran a las velocidades crticas. El diseador debe asegurar que la velocidad de

rotacin del rbol sea bastante diferente de cualquier velocidad que produzca resonancia; de lo contrario,

las deflexiones o deformaciones del rbol tenderan a ser grandes y a producir la falla.

Finalmente, los rboles deben tener suficiente rigidez, con el objetivo de evitar que las deformaciones

excesivas perjudiquen el buen funcionamiento de las piezas que van montadas sobre stos. Por ejemplo,

deformaciones excesivas en los rboles pueden hacer que el engrane de un par de ruedas dentadas no sea

uniforme o no se extienda en toda la altura de trabajo del diente. Por otro lado, los cojinetes (de contacto

rodante o deslizante) se pueden ver afectados si las pendientes del rbol en los sitios de los cojinetes son

muy grandes. Como los aceros tienen esencialmente igual mdulo de elasticidad, la rigidez de los rboles

debe controlarse mediante decisiones geomtricas.

En conclusin, el buen funcionamiento de un rbol depende de muchos factores, entre los cuales podemos

mencionar una buena resistencia y rigidez, una correcta fijacin de las piezas, una adecuada alineacin y

lubricacin de los elementos que lo requieran.

En el resto de este captulo se ampliar lo discutido en esta introduccin. En la seccin 7.2 se analizan las

ecuaciones para el clculo o verificacin de la resistencia de los rboles. En la seccin 7.3 se estudian

algunas ecuaciones que rigen las deformaciones en los rboles. La seccin 7.4 presenta un procedimiento

de diseo de rboles, paso a paso. Finalmente, la seccin 7.5 resume este captulo.

7.2 RESISTENCIA DE LOS RBOLES

7.2.1 Esfuerzos en los rboles

Los elementos de transmisin de potencia como las ruedas dentadas, poleas y estrellas transmiten a los

rboles fuerzas radiales, axiales y tangenciales. Debido a estos tipos de carga, en el rbol se producen

generalmente esfuerzos por flexin, torsin, carga axial y cortante. La figura 7.5 muestra

esquemticamente un rbol en el cual est montado un engranaje cnico y una estrella. Se muestran las

fuerzas sobre el engranaje, las cuales producen los cuatro tipos de solicitacin mencionados.

Figura 7.5 Solicitaciones en los rboles: torsin, flexin, cortante y carga axial

Como se muestra en la figura 7.6, en cualquier seccin transversal de un rbol existe, en general, un par

de torsin, T, una carga axial, F, una fuerza cortante, V, y un momento flector, M. Estas cargas producen

los esfuerzos siguientes:

Las fuerzas radial, Fr, axial, Fa, y tangencial, Ft (saliendo del plano del papel), actan sobre el pin cnico produciendo, respectivamente:

Flexin y cortadura (Fr)

Carga axial (traccin o compresin) y flexin (Fa)

Flexin, torsin y cortadura (Ft)

Fr

Fa

Ft


Figura 7.6 Cargas internas en una seccin de un rbol

Esfuerzos cortantes producidos por el par de torsin. Si la seccin es circular slida, los puntos de mayor esfuerzo cortante son los ubicados en la periferia, y dicho esfuerzo, Ss, est dado por:

,16

3d

T

J

TcS s

(7.1)

donde T, c, J y d son el par de torsin, la distancia desde el eje neutro hasta los puntos de mayor

esfuerzo, el momento polar de inercia y el dimetro, respectivamente, de la seccin transversal que

se est analizando.

Esfuerzos normales por carga axial. El esfuerzo normal, SF, es constante en toda la seccin y est dado por:

,A

FSF (7.2)

donde F y A son la fuerza axial y el rea transversal, respectivamente, de la seccin de anlisis. El

signo + indica que el esfuerzo es de traccin y se toma si F es de traccin; el signo se toma si F es de compresin.

Cuando la carga es de compresin, la ecuacin anterior es vlida si no existe posibilidad de pandeo.

Si el rbol es esbelto1, una carga de compresin puede tratar de flexionarlo (pandearlo), producindose esfuerzos por carga axial y flexin combinadas. Como el esfuerzo mximo en una

columna esbelta es mayor que el dado por la ecuacin 7.2, debemos utilizar una ecuacin diferente.

Faires[1]

propone calcular un esfuerzo equivalente, SeF (que es diferente al esfuerzo real mximo)

para el caso de columnas:

,A

FS PeF (7.3)

donde P es un coeficiente mayor o igual a la unidad que tiene en cuenta el efecto de pandeo y se calcula de maneras diferentes de acuerdo con el tipo de columna (esbelta, corta, de esbeltez media)

2.

1 La esbeltez de una columna est dada por la relacin entre su longitud, L, y el radio de giro, k, de la seccin transversal; este

ltimo es igual a la raz cuadrada de la relacin entre el menor momento rectangular de inercia de la seccin y el rea: k = (I/A)1/2. 2 El coeficiente P est dado, por ejemplo, por:

Euler), deecuacin la (para )/(

o Johnson) de frmula la (para

4

)/(1

12

2

2

2 E

kLS

E

kLS

ey

ey

donde Le es la longitud libre efectiva de la columna.

F: Fuerza axial

T: Par de torsin

M: Momento flector

V: Fuerza cortante

V

F

T

M


Esfuerzos normales producidos por el momento flector. El esfuerzo normal, SM, es mximo en las fibras ms alejadas del eje neutro y est dado por:

,I

McSM (7.4)

donde M, c e I son el momento flector, la distancia desde el eje neutro hasta las fibras ms alejadas y

el momento rectangular de inercia, respectivamente, de la seccin de anlisis. El signo + se toma si el punto analizado est a traccin y el signo si est a compresin. En general, existirn dos valores de c, uno para los puntos a traccin y otro para los puntos a compresin.

Algunas veces se tienen dos componentes del momento flector, Mxy y Mxz, donde x es la direccin

axial y y y z son direcciones cartesianas paralelas a la seccin del rbol. Como generalmente interesa

el momento resultante, ste se puede obtener mediante:

.2/122 xzxyR MMM (7.5)

Ntese que las componentes Mxy y Mxz son perpendiculares entre s, por lo que el momento resultante

se obtiene utilizando el teorema de Pitgoras, dado por la ecuacin anterior.

Esfuerzos cortantes producidos por la fuerza cortante, V. Normalmente, estos esfuerzos son mucho ms pequeos que, por ejemplo, los esfuerzos normales debidos a flexin y tienden a actuar en puntos

donde otros esfuerzos son pequeos o son iguales a cero. Debido a esto, es prctica comn no tener

en cuenta el efecto de la fuerza cortante, aunque si sta se considera suficientemente grande, debe

tenerse en cuenta este efecto.

Adicionalmente, pueden existir esfuerzos de compresin transversales al rbol cuando existen ajustes de

interferencia, llamados tambin ajustes forzados (captulo 10). Aunque los esfuerzos de compresin

tienden a inhibir la fatiga, stos pueden provocar fluencia en el rbol cuando actan las cargas dinmicas

(cargas pico). Los esfuerzos producidos por ajustes de interferencia podran despreciarse en el diseo, si

las interferencias son pequeas.

Teniendo en cuenta lo estudiado en los captulos anteriores, se concluye que el punto o puntos crticos de

cualquier seccin transversal tienen estados de esfuerzo como el de la figura 7.7. Entonces, el estado de

esfuerzo es biaxial, donde uno de los esfuerzos normales es igual a cero.

Figura 7.7 Estado de esfuerzo usual de los puntos crticos de un rbol

S S

Ss

Ss


Para rboles de seccin circular slida, los esfuerzos S y Ss de la figura 7.7 estn dados por:

.324

32 d

M

d

F

I

Mc

A

FS PP

(7.6)

.16

3d

T

J

TcS s

(7.7)

El valor de P es igual a uno si la fuerza F es de traccin. Para otros tipos de secciones se deben usar las ecuaciones que correspondan de acuerdo con lo estudiado en el captulo 2.

La determinacin de la seccin o secciones crticas se basa parcialmente en estas ecuaciones. De acuerdo

con stas, la seccin es ms crtica si:

Su dimetro es pequeo. Las cargas PF, M y T son grandes. Adicionalmente, por el criterio de fatiga, una seccin es ms crtica en la medida en que tenga

discontinuidades, gran rugosidad superficial, etc..

Como generalmente no existe una seccin en la cual las propiedades seccionales sean menores y las

cargas sean mayores, etc., deben analizarse las secciones crticas de los diferentes tramos del rbol. No

necesariamente la seccin crtica es aquella en la cual alguna carga es mxima o alguna propiedad es

mnima, ya que alguna combinacin de propiedades y cargas sub-crticas podra ser la ms crtica. Debe

tenerse un cuidado similar al escoger los puntos crticos (de las secciones crticas), si no existe un punto

en el cual acten simultneamente los esfuerzos mximos por carga axial, flexin y torsin.

7.2.2 Anlisis esttico de rboles dctiles uniformes de seccin transversal circular slida

El anlisis esttico de un rbol consiste en verificar que ste no fallar inmediatamente despus de aplicar

ciertas cargas. Este anlisis podra efectuarse para:

(a) Comprobar su resistencia esttica a las cargas nominales3. Esto es poco usual ya que debe verificarse la resistencia a la fatiga de los rboles (las ecuaciones de fatiga dadas en el captulo 5

cubren tambin las fallas estticas). (b) Comprobar su resistencia esttica a las cargas dinmicas (cargas pico). Esta comprobacin s debe

hacerse ya que normalmente en los arranques o cuando hay sobrecargas, los rboles estn sometidos

a esfuerzos mayores a los nominales. Como se prev que estas cargas se repiten un nmero muy

pequeo de veces, stas no tenderan a producir falla por fatiga, siendo suficiente el anlisis de

diseo esttico.

En un diseo para cargas estticas, se aplica una teora de falla esttica adecuada al punto o puntos ms

crticos del rbol, los cuales tienen estados de esfuerzo como el de la figura 7.7 y esfuerzos dados por las

ecuaciones 7.6 y 7.7, si la seccin es circular slida.

Como en su gran mayora los rboles se fabrican con barras circulares de materiales dctiles y uniformes

(resistencia a la traccin igual a la de compresin), plantearemos las ecuaciones de diseo para rboles

con estas caractersticas. Para un rbol dctil y uniforme de seccin transversal circular slida, las

ecuaciones 7.6 y 7.7 se pueden expresar como:

3 Cargas nominales son las soportadas por el rbol bajo condiciones de trabajo normal, sin tener en cuenta cargas de arranque o

cargas pico. Las cargas pico son cargas altas que ocurren pocas veces durante el funcionamiento del rbol.


.16

y 324

332 d

TS

d

M

d

FS sP

(7.8)

Ntese que para S se toman, de la ecuacin 7.6, ya sea los dos signos positivos o los dos negativos; la

razn de esto es que el punto crtico de un rbol de seccin circular y material uniforme es aquel en el

cual acta el esfuerzo normal mximo, es decir, en donde se suman los esfuerzos por carga axial y por

flexin. No importa si el esfuerzo resultante es de traccin o de compresin, ya que la resistencia esttica

de un material uniforme es igual para estos dos tipos de esfuerzo.

A un material dctil se le aplica la Teora del Esfuerzo Cortante Mximo (TECM) o la teora de von

Mises-Hencky (teora de la energa de distorsin), la cual es equivalente a la Teora del Esfuerzo Cortante

Octadrico (TECO). Las ecuaciones de diseo de estas teoras, para el estado de esfuerzo de nuestro

punto crtico (figura 7.7), estn dadas por:

TECM

.5.0

5.0

12

2

2222

sy

y

s

y

SS

N

S

S

S

S

S

N (4.23

R)

TECO/von Mises

.577.0

577.0

12

2

2222

sy

y

s

y

SS

N

S

S

S

S

S

N (4.43

R)

Reemplazando las ecuaciones 7.8 (con P = 1) en las ecuaciones anteriores y organizando se obtiene:

Para la TECM

.64)8(4 2/1223 TECMe

yTFdM

dN

S

(7.9)

.0)(64)16()(4

22226

2

TMdMFdFd

N

S y (7.10)

Para la TECO/von Mises

.48)8(4

2/122

3 Misesvone

yTFdM

dN

S

(7.11)

.0)4864()16()(4

22226

2

TMdMFdFd

N

S y (7.12)

Ntese que los trminos intermedios en las ecuaciones 7.9 y 7.11 estn igualados a Sy/N; por lo tanto,

corresponden a los esfuerzos equivalentes de las teoras. Las ecuaciones 7.9 a 7.12 tienen, entre otras, las

siguientes condiciones:

El anlisis es de diseo esttico El material es dctil y uniforme El punto crtico no tiene esfuerzos producidos por cortante directo ni por ajustes de interferencia


La seccin a analizar es circular slida Si la seccin de anlisis est sometida a compresin, no existe posibilidad de pandeo en dicha

seccin. En caso de pandeo, el esfuerzo no es proporcional a la fuerza de compresin y los factores

de seguridad calculados con las ecuaciones no seran correctos (ntese que el trmino P de la ecuacin 7.8 se ha omitido en las ecuaciones de diseo).

Los signos de la ecuacin 7.8 no aparecen en las ecuaciones anteriores, debido a que el esfuerzo S est

elevado al cuadrado. Entonces, se debe tener en cuenta que los valores de M y F se toman siempre

positivos, independientemente de si producen traccin o compresin en el punto y, por supuesto, de si en

el diagrama de momento M es negativo o positivo4.

Si adems de las condiciones anteriores, no existe fuerza axial en la seccin de anlisis (F = 0), las

ecuaciones 7.9 a 7.12 se reducen a:

Para la TECM

.321 2/1223

TMSdN y

(7.13)

.323/1

2/122

TM

S

Nd

y (7.14)

Para la TECO/von Mises

.34161 2/1223

TMSdN y

(7.15)

.34163/1

2/122

TM

S

Nd

y (7.16)

Como se dijo anteriormente, las ecuaciones de diseo para cargas estticas se usan normalmente para la

verificacin de la resistencia a las cargas pico. En este caso, M, T y F seran las cargas pico mximas, y

no las cargas normales de trabajo. Si el factor de seguridad calculado con la ecuacin 7.9, 7.11, 7.13

7.15 es muy pequeo (menor que el admisible), debe redisearse el rbol calculando un nuevo dimetro

con la ecuacin 7.10, 7.12, 7.14 7.16. En el siguiente ejemplo se ilustra la aplicacin del anlisis

esttico de rboles.

EJEMPLO 7.1 El rbol escalonado de la figura transmite una potencia de 10 kW a 1200 r/min y est apoyado en dos

rodamientos de bolas A y C. La potencia es suministrada por un pin a la rueda helicoidal B, a

travs del punto de contacto indicado. La potencia sale por la polea D, la cual tiene dos ranuras en

V (transmisin por correas en V). La fuerza en el lado tenso de la correa, F1, es tres veces la del lado flojo, F2. Las componentes de la fuerza de contacto en el engrane B estn relacionadas as:

Fa = 0.2Ft y Fr = 0.27Ft. Los dimetros primitivos de la rueda y de la polea son DB = 132 mm y

DD = 162 mm, respectivamente. El rbol es de acero SAE 1045 laminado en fro. Determinar el

4 El signo del par flector en el diagrama de momento flector sirve, por ejemplo, para saber la direccin en la cual acta, pero sin

importar el signo, siempre existirn esfuerzos de traccin y esfuerzos de compresin en una seccin sometida a flexin.


dimetro mnimo que debe tener la seccin ms cargada del rbol (que no necesariamente es la ms

crtica), para que resista tanto las cargas nominales (al menos unas pocas veces antes de la falla por

fatiga) como las cargas pico. Suponer que estas ltimas son el doble de las cargas nominales. Usar

la TECO/von Mises con un factor de seguridad N = 1.5, tanto para las cargas nominales como para

las pico.

Figura 7.8 rbol de transmisin de potencia

Solucin: Debido a que las cargas nominales son variables, la falla ocurrira por fatiga; por lo tanto, el anlisis

por fatiga (seccin 7.2.3) es ms adecuado que el anlisis esttico para estas cargas (no se requiere

anlisis esttico para las cargas nominales). Como las cargas dinmicas (pico) son mayores que las

nominales, debe verificarse la resistencia del rbol a las cargas pico. Esto se hace mediante el

procedimiento de diseo esttico ya que las cargas pico no tienden a producir falla por fatiga si se

repiten muy pocas veces durante la vida til del rbol.

Para determinar la seccin que est sometida a las mayores cargas, deben construirse los diagramas

de par de torsin, momento flector y fuerza axial; pero antes se deben calcular todas las fuerzas

externas que actan sobre el sistema y las reacciones en los apoyos (rodamientos).

Diagrama de cuerpo libre: Al analizar un rbol, es conveniente hacer diagramas de cuerpo libre para las diferentes

solicitaciones, es decir, hacer un diagrama para los pares de torsin, uno para las fuerzas axiales y

otros dos para las cargas transversales y momentos flectores que actan en dos planos

perpendiculares. Sin embargo, para facilitar el entendimiento de este procedimiento, la figura 7.9

presenta el diagrama de cuerpo libre completo del rbol. La reaccin en cada apoyo podra tener

componentes en x, y y z. Sin embargo, en el montaje se tiene que decidir cul rodamiento soportar

carga axial, ya que cualquiera de los dos o ambos lo pueden hacer. Por facilidad de montaje, es

conveniente que el rodamiento C soporte la carga axial y que el otro quede libre axialmente. Si el rodamiento A soportara dicha carga, tendra que tener un ajuste a presin para evitar su movimiento.

Esto no ocurre con C, ya que el hombro soporta la fuerza y no se requiere un ajuste a presin

especial. Adems, de esta manera parte del rbol queda a compresin, lo cual inhibe la fatiga.

Ntese que los pequeos ngulos que las fuerzas F1 y F2 forman con el eje z se han despreciado.

50 mm 50 mm

A C

D

B

x

y

z

F1

F2

Polea D

Correas

z

y

30 mm

Fr

Fa

Ft

D


Figura 7.9 Diagrama de cuerpo libre del rbol de la figura 7.8

Clculo del par de torsin y diagrama de par de torsin: Como el sistema tiene una sola entrada y una sola salida de potencia, se requiere calcular un solo par

de torsin, T, el cual depende de la potencia, P, y de la frecuencia de giro, n, de acuerdo con

T = P/(2n) (ecuacin 3.16, captulo 3). Si la frecuencia de giro est en revoluciones por minuto y la potencia en watt, el par de torsin nominal TN, en Nm, est dado por la ecuacin 3.17 (captulo 3):

m.N 58.79mN)1200)(2(

)1010)(60(

2

60 3

n

PTN

El par de torsin pico es el doble del nominal, entonces T = 159.15 Nm.

De la figura 7.9 se deduce que las fuerzas que producen momentos con respecto al eje del rbol (eje

x) son Ft, F1 y F2. Por la rueda entra toda la potencia; entonces, el par de torsin producido por la

fuerza pico Ft debe ser igual a T (par pico). Similarmente, por la polea sale toda la potencia;

entonces, el par de torsin total producido por las fuerzas F1 y F2 es igual T.

Analizando las fuerzas de la figura 7.9, se concluye que los pares de torsin en B y D tienen sentidos

contrarios (ya que F1 > F2); por lo tanto, la suma de stos es igual a cero, como debe ser, ya que el

sistema est en equilibrio (cuando el rbol rota a velocidad constante).

La figura 7.10 muestra el diagrama de cuerpo libre de pares de torsin y el diagrama de par de

torsin del rbol. Ntese que los rodamientos en A y C no tienen reacciones, ya que ellos permiten

la rotacin libre del rbol. Segn la figura, en el tramo AB no hay par de torsin interno y el tramo

ms cargado a torsin es el BCD, con un par constante de 159.15 Nm.

y

z x

RAy

RCy

Fr Ft

F1

F2

RAz

RCz

Fa

RCx

A

B

C

D

DB/2

DD/2


Figura 7.10 Diagrama de cuerpo libre de pares de torsin y diagrama de par de torsin

Clculo de fuerzas externas: En la rueda dentada, la nica componente que produce torsin en el rbol es la fuerza tangencial, Ft.

El par de torsin producido por esta fuerza est dado por (figura 7.9):

,2

TD

F Bt (7.17)

de donde

N. 4.2411m 0.132

)mN 15.159)(2(2

B

tD

TF

De las expresiones dadas en el enunciado tenemos que:

En la polea ambas fuerzas, F1 y F2, producen pares de torsin. Dichos pares tienen sentidos

contrarios y, por lo tanto, se deben restar y multiplicar por el radio primitivo de la polea para calcular

el par de torsin. Entonces, el par de torsin resultante producido por las fuerzas en la polea est

dado por (figura 7.9):

Clculo de las reacciones: En la figura 7.10 se present el diagrama de cuerpo libre teniendo en cuenta slo los pares de torsin.

Los diagramas de cuerpo libre para las fuerzas axiales y las fuerzas transversales y momentos

flectores se dan en la figura 7.11.

N. 482.27N) 4.2411)(20.0( entonces ,20.0 ata FFF

N. 651.07N) 4.2411)(27.0( entonces ,27.0 rtr FFF

,2

)3( ,3 como ;2

)( 222121 TD

FFFFTD

FF DD

N. 2.2947y N 41.982m 0.162

)mN 15.159( donde de 12

F

D

TF

D

A B C D T

T

A B C D x

T T = 159.15 Nm x


(a) Fuerzas axiales (b) Plano xy (c) Plano xz

Figura 7.11 Diagramas de cuerpo libre de fuerzas axiales, fuerzas transversales y momentos flectores

Ntese que la fuerza Fa ha sido desplazada al eje del rbol en la figura 7.11.a, con lo cual se genera

un momento flector MFa = Fa (DB/2) que aparece en la figura 7.11.b. Adems, la fuerza Fa es

contrarrestada slo con el apoyo en C (el escaln permite que se transmita la fuerza axial del rbol al

rodamiento), ya que el apoyo en A no tiene la capacidad para hacerlo. Los pares producidos al

desplazar las fuerzas Ft, F1 y F2 al eje x son pares de torsin y ya se tuvieron en cuenta en la figura

7.10. Para la construccin de estos diagramas de cuerpo libre se despreci el pequeo ngulo que las

fuerzas F1 y F2 forman con el eje z.

Planteando las ecuaciones de equilibrio, es decir, sumatoria de fuerzas en las direcciones x, y y z, y la

sumatoria de momentos en los planos xy y xz, se tiene:

de donde

Diagramas de fuerza cortante, momento flector y carga axial: Con los resultados anteriores se construyen los diagramas de fuerza cortante, de momento flector y

de carga axial (figura 7.12). Como normalmente las fuerzas cortantes no se tienen en cuenta en el

diseo, los diagramas de fuerza cortante slo interesan para la construccin de los de momento

flector. Como interesa el momento total en las diferentes secciones (no sus componentes en xy y xz),

se construye, adems, un diagrama de momento flector resultante. En una seccin particular, la

magnitud del momento resultante est dada por la ecuacin 7.5.

,0 ;0 Cxax RFF

,0 ;0 rCyAyy FRRF

,0)( ;0 21 CzAztz RRFFFF

,005.00.1 ;0 FarCyAxy MFRM+

N. 2.6314y N 83.643 N, 27.482 N, 81.26 N, 24.7 CzCyCxAzAy RRRRR

,0)(13.005.00.1 ;0 21 FFFRM tCzAxz+

x x

y x

z

A B C D

RAy

Fr MFa

RCy

A B C D

RAz

Ft

RCz

F1 + F2

A B C D

Fa RCx

0.05 m 0.05 m 0.03 m 0.05 m 0.05 m 0.03 m


Figura 7.12 Diagramas de fuerza cortante, momento flector y carga axial

Clculo del dimetro en la seccin ms cargada: De los diagramas de la figuras 7.10 y 7.12

(analice slo los diagramas de carga axial,

para de torsin y momento flector resultante)

se concluye que la seccin ms cargada es la

C, ya que para esta seccin todas las cargas

son mximas. La seccin C est sometida a

un momento flector M = 117.89 Nm, un par

de torsin T = 159.15 Nm y una fuerza axial de compresin F = 482.275 N, tal como se

muestra en la figura 7.13.

En las secciones 7.2.1 y 7.22 se concluy que el punto crtico para este caso es como el mostrado en

la figura 7.7 y que las ecuaciones de diseo para la TECO/von Mises son la 7.11 y la 7.12. Para

calcular el dimetro de la seccin C utilizamos la ecuacin 7.12, donde, como se ha dicho, M, T y F

se toman positivos:

donde

A B C D x

Vy (N) 7.24

643.83

A B C D x

Vz (N)

26.81

2384.6

3929.6

A B C D x

Mxy (Nm)

0.362

32.19

A B C D x

Mxz (Nm) 1.34

117.89

(a) Diagrama de fuerza cortante en y (b) Diagrama de fuerza cortante en z

(c) Diagrama de momento flector en xy (d) Diagrama de momento flector en xz

A B C D x

F (N)

482.275

(e) Diagrama de momento flector resultante

A B C D x

MR (Nm)

1.39

32.22

117.89

(f) Diagrama de fuerza axial (en x)

,0)4864()16()(4

22226

2

TMdMFdFd

N

S y

Figura 7.13 Cargas en la seccin C del rbol

F

T

M


N = 1.5 Sy = 531 MPa, obtenido de la tabla A-3.2 (apndice 3) para el acero 1045 laminado en fro M = 117.89 Nm T = 159.15 Nm F = 482.275 N.

Como todo el ejemplo se ha resuelto partiendo del par de torsin pico, las cargas anteriores son

tambin cargas pico. Reemplazando estos datos en la ecuacin anterior se obtiene:

de donde, resolviendo, d = 0.0174 m = 17.4 mm.

Este dimetro es el mnimo que debe tener el escaln donde se aloja el rodamiento de bolas C. El

siguiente paso consiste en estandarizar este dimetro con base en los dimetros internos estndar de

rodamientos de bolas. Algunos dimetros, en mm, de rodamientos rgidos de bolas son: 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 12, 15, 17, 20, 25, 30, ....; entonces, el dimetro mnimo de la seccin C debe ser de 20 mm.

Como se ha dicho, el clculo de rboles implica muchos pasos de comprobacin, as que este clculo

podra considerarse como un paso inicial en el diseo del rbol.

7.2.3 Anlisis por fatiga de rboles dctiles

Introduccin

Como se dijo en la seccin 7.1, los rboles soportan cargas variables y, por lo tanto, debe comprobarse su

resistencia a la fatiga. Por ejemplo, unas cargas constantes T, M y F en un rbol, producen esfuerzos

normales variables, ya que el momento flector M es giratorio relativo a un observador parado en un punto

del rbol rotativo (figura 7.14). Eventualmente, en caso de no tener la suficiente informacin para

efectuar el diseo por fatiga, un anlisis de diseo esttico podra reemplazarlo, si se usa un factor de

seguridad bastante grande; sin embargo, este ltimo diseo no garantiza la duracin requerida del rbol.

Figura 7.14 Un par flector constante en magnitud y direccin produce esfuerzos variables, ya que el rbol gira

En este captulo nos limitaremos al anlisis de rboles cuyos puntos crticos tengan estados de esfuerzo

como el de la figura 7.15 (estado de esfuerzo biaxial con un solo esfuerzo normal y un esfuerzo cortante).

Este tipo de estado de esfuerzo se obtiene en las secciones de los rboles en las que no existan ajustes con

interferencia (o si existen, los esfuerzos son tan pequeos que no es necesario tenerlos en cuenta), y que

adems no existan (o sean despreciables) esfuerzos producidos por fuerzas cortantes. Esto ltimo no es

problema, ya que es prctica comn no tener en cuenta los esfuerzos producidos por estas fuerzas.

,0])15.159)(48()89.117)(64[()]275.482)(117.89 )(16[()275.482()5.1)(4(

10531 222262

6

ddd

M M M

t

S

t Sm = 0

Sa =

Sa

Mc

I


Figura 7.15 Estado de esfuerzo de los puntos crticos de un rbol, cuando no se tienen

en cuenta o no existen esfuerzos producidos por cortante directo y por ajustes forzados

En el captulo 5 (seccin 5.12) se presentaron ecuaciones generales para esfuerzos multiaxiales en

fatiga. Por lo tanto, estas ecuaciones podran usarse para cualquier caso de diseo de rboles,

en particular, cuando en algn punto crtico de un rbol se tienen ms esfuerzos que aquellos de la

figura 7.15.

A continuacin se presentan tres mtodos para el anlisis por fatiga de rboles con puntos crticos como el

mostrado en la figura 7.15. El mtodo von Mises (estudiado en el captulo 5), el mtodo adoptado por

Faires[1]

y el mtodo ASME.

Mtodo von Mises

Reemplazando las ecuaciones 5.84 y 5.85 (teniendo en cuenta que uno de los esfuerzos normales, XX o YY, es cero) en las ecuaciones 5.86 y 5.87, del captulo 5, se obtiene:

Soderberg) (usando 331

2222

n

aa

y

mm

SSN

(7.18)

),modificadaGoodman (usando 331

2222

n

aa

u

mm

SSN

(7.19)

donde los esfuerzos y pueden calcularse as:

,y )()( asTffamsTfmm SKSK (7.20)

.y )()()()()()()()( MaMffFaFffaMmMfmFmFfmm SKSKSKSK (7.21)

Los subndices (T), (F) y (M) para los factores Kfm y Kff indican que stos corresponden a torsin, carga

axial y flexin, respectivamente. Los esfuerzos Sm(F) y Sa(F) son las componentes media y alternativa del

esfuerzo producido por la fuerza axial, y los esfuerzos Sm(M) y Sa(M) son las componentes media y

alternativa del esfuerzo producido por flexin. Ntese que no es necesario verificar la condicin de

resistencia esttica de la ecuacin 5.87, si se verifica la resistencia del rbol a las cargas dinmicas.

Este mtodo puede utilizarse para el diseo de rboles que cumplan las siguientes condiciones en el punto

a analizar:

Material dctil o frgil.

S S

Ss

Ss


Los esfuerzos normal y cortante varan en fase y con la misma frecuencia (los esfuerzos alcanzan sus valores mximos al mismo tiempo, al igual que sus valores mnimos). Sin embargo, podra utilizarse

si esto no se cumple. Se espera que en la mayora de los casos los resultados sean conservadores.

El estado de esfuerzo es como el de la figura 7.15; para lo cual los esfuerzos debidos a ajustes de interferencia y a fuerzas cortantes, si los hay, son despreciables.

Si la seccin de anlisis est sometida a compresin, no existe posibilidad de pandeo del rbol en dicha seccin.

Mtodo adoptado por Faires

La ecuacin siguiente es una variante de la propuesta por Faires[1] 5

:

,0 si ;][1

2

)(

2

m

ns

asTff

ys

ms

nMF

aff

y

m SS

SK

S

S

S

SK

S

S

N (7.22.a)

,0 si ;][1

2

)(

2

m

ns

asTff

ys

ms

nMF

affS

S

SK

S

S

S

SK

N (7.22.b)

donde:

- Sys = 0.5Sy y Sns = 0.5SnMF, para la TECM

- Sys = 0.577Sy y Sns = 0.577SnMF, para la TECO/von Mises

- SnMF est dada, por ejemplo, por la ecuacin 5.50 o la correspondiente, segn el material y la vida esperada, excepto que no se incluye Kcar. Por ejemplo, para materiales que exhiben codo en 10

6

ciclos y nc > 106, SnMF = Ka Kb Kc Kd Ke Se

- Sm y Sms son los esfuerzos medios normal y cortante respectivamente

- Sas es el esfuerzo alternativo cortante

- )(

)()(

)(

)()(][

Mcar

MaMff

Fcar

FaFff

affK

SK

K

SKSK ; por lo tanto, )()(

)()(

7.0][ MaMff

FaFff

aff SKSK

SK

- Kff(F), Kff(M) y Kff(T) son los factores de concentracin de esfuerzos por fatiga para vida finita para carga axial, flexin y torsin respectivamente

- Sa(F) y Sa(M) son las componentes del esfuerzo alternativo aportadas por la carga axial y el momento flector respectivamente.

La ecuacin 7.22 es vlida para el diseo de rboles que cumplan las mismas condiciones dadas para el

mtodo von Mises, con la condicin adicional de que el rbol sea de material dctil.

Procedimiento propuesto por la ASME

Para el caso de rboles que cumplan las condiciones dadas para el mtodo anterior y, adems, que la

seccin de anlisis sea circular slida y est sometida slo a un par de torsin y a un momento flector

constantes, se puede utilizar la norma para el diseo de rboles de transmisin ANSI/ASME B106.1M-

1985 (ASME: American Society of Mechanical Engineers; ANSI: American National Standards

5 Faires[1] presenta slo la ecuacin para Sm 0.


Institute). Esta norma est basada en datos experimentales, por lo que constituye un mtodo de clculo

adecuado. Aunque este mtodo tiene algunas restricciones ms, muchos rboles las cumplen.

La norma establece que el dimetro, d, en la seccin de anlisis puede calcularse con:

,4

332

3/12/1

22

yn

fS

T

S

MK

Nd

(7.23)

de la cual podemos despejar el factor de seguridad:

,4

3

32

2/122

3

yn

fS

T

S

MK

dN

(7.24)

donde M y T son los pares de flexin y torsin, respectivamente, los cuales son constantes en la seccin

de anlisis, y Kf y Sn se calculan para la carga de flexin (Kf y Sn afectan al momento flector, que es el que

produce los esfuerzos variables).

Las condiciones de las ecuaciones 7.23 y 7.24 son:

- Par de torsin constante: T = Tm y Ta = 0, con lo que Sms = Tc/J y Sas = 0. - Flexin giratoria con momento constante: M = Mm y Ma = 0, pero Sm = 0 y Sa = Mc/I (ver figura 7.14). - Material dctil. - Seccin transversal circular slida. - No existe fuerza axial ni otro tipo de carga diferente de torsin y flexin.

Cuando se cumplen estas condiciones, las ecuaciones 7.23 y 7.24 son equivalentes a la 7.22.

A continuacin se hace la deduccin de la ecuacin de la ASME. La figura 7.16 muestra los resultados

tpicos que se obtienen al someter probetas dctiles a flexin giratoria y torsin esttica combinadas (los

primeros ensayos de este tipo fueron hechos en la dcada de 1930[2]

). Los puntos de ensayo siguen una

relacin elptica en un diagrama esfuerzo medio cortante, Sms, contra esfuerzo alternativo normal, Sa.

Figura 7.16 Tendencia tpica de los datos de ensayo a la fatiga de probetas

dctiles sometidas a una combinacin de flexin giratoria y torsin esttica

Sms

Sa

Se

Sys

Los puntos de falla siguen una tendencia como sta


El estndar de la ASME est basado en la lnea de falla mostrada en la figura 7.16, la cual tiene por

ecuacin:

.1

22

ys

ms

e

a

S

S

'S

S (7.25)

Si introducimos el factor de seguridad y los factores que modifican la resistencia a la fatiga, se obtiene

6:

.1

22

ys

ms

n

af

S

NS

S

SNK (7.26)

Los esfuerzos Sa y Sms para una seccin circular slida estn dados por:

,16

3d

T

J

TcSms

(7.27)

.32

3d

M

I

McSa

(7.28)

Recurdese que a pesar de que el momento flector es constante, el giro del rbol produce un esfuerzo

repetido invertido, y la componente alterna del esfuerzo se calcula con dicho par flector. Al reemplazar

las ecuaciones 7.27 y 7.28 en la 7.26 se obtiene:

.11632

2

3

2

3

ysn

f

Sd

TN

Sd

MNK

(7.29)

Factorizando algunos trminos y utilizando la relacin de la TECO/von Mises Sys = 0.577Sy = 3/yS

(ecuacin 4.35, captulo 4), se obtiene:

.12

332

222

3

yn

f

S

T

S

MK

d

N

(7.30)

Al despejar el dimetro de la ecuacin anterior se obtiene la ecuacin 7.23.

EJEMPLO 7.2 Determinar el dimetro mnimo que debe tener la seccin donde se aloja el rodamiento C del

ejemplo 7.1, con el fin de que la seccin del hombro donde se apoya dicho rodamiento resista las

cargas de fatiga. Tomar un factor de seguridad de N = 1.5. Los datos del problema, al igual que la

figura, se repiten aqu. El rbol transmite una potencia de 10 kW a 1200 r/min, y est apoyado en

dos rodamientos de bolas A y C. La potencia es suministrada por un pin a la rueda helicoidal B, a

6 Esta ecuacin es vlida, si el esfuerzo medio cortante y el alternativo normal mantienen siempre su proporcin al producirse una

sobrecarga.


travs del punto de contacto indicado. La potencia sale por la polea D, la cual tiene dos ranuras en

V (transmisin por correas en V). La fuerza en el lado tenso de la correa, F1, es tres veces la del lado flojo, F2. Las componentes de la fuerza de contacto en el engrane B estn relacionadas as:

Fa = 0.2Ft y Fr = 0.27Ft. Los dimetros primitivos de la rueda y de la polea son DB = 132 mm y

DD = 162 mm, respectivamente. El rbol es de acero SAE 1045 laminado en fro.

Figura 7.17 rbol de transmisin de potencia

Solucin: En el ejemplo 7.1 se hizo un diseo para las cargas dinmicas utilizando un procedimiento de diseo

esttico. En este ejemplo debe hacerse el diseo por fatiga, utilizando las cargas nominales, no las

cargas pico. Utilizaremos los resultados del ejemplo 7.1, pero teniendo en cuenta que todas las

cargas nominales son la mitad de las pico.

Clculo del par de torsin y diagrama de par de torsin: En el ejemplo 7.1 se calcul el par de torsin nominal (denominado all TN):

m.N 58.79mN)1200)(2(

)1010)(60(

2

60 3

n

PT

El diagrama de cuerpo libre de pares de torsin y el diagrama de par de torsin son similares a los de

la figura 7.10, excepto que se toman los pares nominales.

Figura 7.18 Diagrama de cuerpo libre de pares de torsin y diagrama de par de torsin

A B C D T

T

A B C D x

T T = 79.58 Nm

50 mm 50 mm

A C

D

B

x

y

z

F1

F2

Polea D

Correas

z

y

30 mm

Fr

Fa

Ft

D


Fuerzas en el rbol: Las fuerzas nominales (fuerzas externas y reacciones) son la mitad de las fuerzas pico. Las fuerzas

externas son iguales a:

N. 21.491y N 6.1473 N, 54.325 N, 14.241 N, 7.1205 21 FFFFF rat

Los diagramas de cuerpo libre son los mismos de la figura 7.11:

(a) Fuerzas axiales (b) Plano xy (c) Plano xz

Figura 7.19 Diagramas de cuerpo libre de fuerzas axiales, fuerzas transversales y momentos flectores

Las reacciones en los apoyos son:

N. 1.3157y N 92.321 N, 14.241 N, 41.13 N, 62.3 CzCyCxAzAy RRRRR

Diagrama de momento flector resultante y diagrama de carga axial:

Estos diagramas son iguales a los de la figura 7.12, excepto que todos los valores deben dividirse por

dos.

Figura 7.20 Diagramas de momento flector resultante y carga axial

Esfuerzos nominales en la seccin de anlisis: De acuerdo con el enunciado, la seccin que se debe analizar es el cambio de seccin donde se apoya

el rodamiento C (esta seccin no necesariamente es la ms crtica). Las cargas en esta seccin son:

un momento flector M 58.95 Nm, un par de torsin T = 79.58 Nm y una fuerza axial de compresin F = 241.14 N, tal como se muestra en la figura 7.21. Ntese que el momento flector en

el hombro es un poco menor que aquel en la seccin C. Como no se conoce la dimensin del

rodamiento, se asumir el valor de M dado arriba.

A B C D x

F (N)

241.14

(a) Diagrama de momento flector resultante

A B C D x

MR (Nm)

0.70

16.11

58.95

(b) Diagrama de fuerza axial (en x)

x x

y x

z

A B C D

RAy

Fr MFa

RCy

A B C D

RAz

Ft

RCz

F1 + F2

A B C D

Fa RCx

0.05 m 0.05 m 0.03 m 0.05 m 0.05 m 0.03 m


Figura 7.21 Cargas en la seccin de anlisis y distribuciones de esfuerzos

La figura muestra tambin las distribuciones de los esfuerzos producidos por las tres cargas. La

fuerza F produce un esfuerzo uniforme de compresin, el momento flector M produce una

distribucin lineal de esfuerzos, con los esfuerzos mximos en los puntos A y B, y el par de torsin T

produce esfuerzos cortantes, los cuales son mximos en la periferia. Cualquier punto de la periferia

de la seccin C es igualmente crtico, ya que el punto gira pasando por todos los estados de esfuerzo

alrededor de la circunferencia.

La figura 7.22 muestra los diagramas de las tres cargas con respecto al tiempo; todas las cargas son

constantes. La figura 7.23 muestra la forma en que varan los esfuerzos. El nico esfuerzo variable

es el producido por flexin, ya que cualquier punto de la seccin pasa por el punto A (compresin),

por el punto B (traccin), por el eje neutro, etc., debido al giro del rbol.

Figura 7.22 Diagramas T-t, F-t y M-t. Todas las cargas son constantes

Figura 7.23 Diagramas esfuerzo-tiempo. El par de torsin y la fuerza de compresin producen esfuerzos

constantes, mientras que el giro del rbol produce un esfuerzo totalmente alternante por flexin

Los esfuerzos cortantes estn dados por:

333

mN 58.79161616

dd

T

d

TS mms

y .0

163

d

TS aas

F

T

M

SF

SM

Ss A

B

t

T T = 79.58 Nm t

F

F = 241.14 N t

M M = 58.95 Nm

t

Ss t SF

t

SM


Para determinar los esfuerzos normales, calcularemos la componente media y la componente

alternativa del esfuerzo producido por la fuerza axial, y la componente media y la alternativa del

esfuerzo de flexin:

22)(

N 14.24144

dd

F

A

FS mmFm

y .0)(

A

FS aFa

0)( MmS y .mN 95.583232

33)( dd

M

I

McS Ma

Ntese que la componente media del esfuerzo normal es debida slo a la fuerza, y que la

componente alternativa es debida slo al momento flector.

Ecuaciones de diseo: Podemos utilizar, por ejemplo, la ecuacin 7.18 y la 7.22.b, ya que la seccin de anlisis cumple las

condiciones de stas:

Soderberg) usando Mises, von (mtodo 331

2222

n

aa

y

mm

SSN

(7.18R)

Faires), (mtodo 0 si ;][1

2

)(

2

m

ns

asTff

ys

ms

nMF

affS

S

SK

S

S

S

SK

N (7.22.b

R)

Sin embargo, Sas = 0 y, por lo tanto, a = 0.

Propiedades del material: - Sy = 531 MPa y Su = 627 MPa, para el acero 1045 laminado en fro (tabla A-3.2, apndice 3)

- Sys = 0.577Sy = 0.577531 MPa = 306 MPa (usando la TECO/von Mises, ecuacin 4.35, captulo 4)

- Se = 0.5Su = 0.5627 MPa = 313.5 MPa (ecuacin 5.2, captulo 5)

Factores que reducen la resistencia a la fatiga: En este problema, la nica carga que produce esfuerzos variables es el momento flector. Al analizar

detenidamente las ecuaciones de diseo, se concluye que los siguientes factores deben calcularse

para flexin; esto quedar evidenciado al reemplazar dichos factores en algunas ecuaciones.

- Ka = 0.77, acero con Su = 627 MPa = 91 ksi; asumiendo rbol mecanizado (figura 5.11) - Kb = 0.889, de la ecuacin 5.21 para flexin, asumiendo d = 20 mm, que es el dimetro

escogido en el ejemplo 7.1, con de = d (flexin giratoria, ecuacin 5.23.a)

- Kc = 0.753, trabajando con una confiabilidad de 99.9% (tabla 5.2) - Kd = 1, la temperatura en el rbol es menor de 450 C (ecuacin 5.26) - Ke = 1, no se prev corrosin ni otros factores adicionales que reduzcan la resistencia - Kcar = 1, flexin

- K = (0.77)(0.889)(0.753)(1)(1)(1) = 0.516

Con este factor podemos calcular la resistencia a la fatiga corregida:

- Sn = KSe = 0.516313.5 MPa = 161.8 MPa (ecuacin 5.50)


Factores de concentracin de esfuerzos:

- Kt(T) 1.95, Kt(M) 2.45 y Kt(F) 2.6 (extrapolacin). El punto crtico pertenece a una seccin con un hombro. Estos coeficientes se calculan asumiendo el radio de redondeo y el dimetro

mayor del escaln, de la figura A-5.10, para torsin, A-5.11, para flexin, y A-5.12, para carga

axial, con r/d = (0.5 mm)/(20 mm) = 0.025 y D/d = (25 mm)/(20 mm) = 1.25.

- ,mm 346.0 0.5)()( MF aa ,mm 277.00.5

)( Ta acero con Su = 627 MPa (tabla 5.3)

- 671.0mm 5.0/mm 346.011/11 0.5)()()( raqq MMF (ecuacin 5.31)

- 719.0mm 5.0/mm 277.011/11 0.5)()( raq TT (ecuacin 5.31)

- 97.1)145.2(671.01)1(1 )()()( MtMMf KqK (ecuacin 5.30)

- Kff(M) = Kf(M) = 1.97, para vida infinita (ecuacin 5.34)

- 07.2)16.2(671.01)1(1 )()()( FtFFf KqK (ecuacin 5.30)

- 68.1)195.1(719.01)1(1 )()()( TtTTf KqK (ecuacin 5.30)

- Se toma 07.2)()( FfFfm KK y 68.1)()( TfTfm KK (ecuaciones 5.32 y 5.33)

Clculo del dimetro por el mtodo von Mises: Los esfuerzos estn dados por las ecuaciones 7.20 y 7.21:

- 0a

- 33)(

mN 9.680mN 58.791668.1

ddSK msTfmm

- 22)()()()(

mN 5.635N 14.241407.2

ddSKSK MmMfmFmFfmm

- 33)()()()(

mN 1183mN 95.583297.1

ddSKSK MaMffFaFffa

Reemplazando los datos en la ecuacin de von Mises se obtiene:

,

108.161

]m[

1183

10531

]m[

9.6803

]m[

5.635

5.1

16

2

3

6

2

3

2

2

ddd

de donde se obtiene que d = 24.3 mm. Este dimetro es el mnimo que debe tener el escaln donde

se aloja el rodamiento de bolas C. Dicho dimetro result ser mayor que el valor obtenido en el

ejemplo 7.1, donde se analiz la resistencia a las cargas dinmicas. Se estandariza con base en los

dimetros internos estndar de rodamientos de bolas (, 17, 20, 25, 30,); entonces, el dimetro mnimo de la seccin C debe ser de 25 mm.

Como Kb fue asumido con d = 20 mm, se calculan nuevamente los parmetros necesarios: Kb =

0.870, K = 0.505, Sn = 158.2 MPa, d = 24.4 mm, el cual es menor que el dimetro estndar

seleccionado. Por lo tanto:

d = 25 mm.


Clculo del dimetro por el mtodo Faires: Los trminos [Kff Sa] y SnMF estn dados por:

- 33)()()()(

)()( mN 1183mN 95.583297.1

7.0][

ddSKSK

SKSK MaMffMaMff

FaFff

aff

- SnMF = Ka Kb Kc Kd Ke Se = (0.77)(0.870)(0.753)(1)(1)313.5 MPa = 158.2 MPa. Como se dijo, no se incluye Kcar. Adems, se toma el valor de Kb calculado con d = 25 mm.

Reemplazando los datos en la ecuacin de Faires:

, Pa) 10306(

mN 58.7916

Pa) 102.158(

mN 1183

5.1

12

36

2

36

dd

de donde

mm. 5.22)N/m 10306(

mN 58.7916

N/m 102.158

mN 11835.1

3/12

26

2

26

d

Este dimetro es menor que el obtenido con el mtodo von Mises (24.4 mm); por lo tanto, el mtodo

Faires result ser menos conservador para esta seccin de anlisis. Sin embargo, al estandarizar se

obtiene nuevamente

d = 25 mm.

Este clculo por fatiga arroj un dimetro mayor que aquel obtenido en el clculo por cargas

dinmicas. El dimetro definitivo del rbol depender tambin de las condiciones de rigidez, las

cuales son normalmente ms exigentes.

7.3 RIGIDEZ DE LOS RBOLES

7.3.1 Introduccin

Las cargas aplicadas sobre los rboles producen diferentes tipos de deformaciones. Es necesario que

stas sean suficientemente pequeas, de lo contrario pueden producir efectos indeseables como golpeteos,

vibraciones excesivas, imprecisin en la transmisin del movimiento, desgastes inadmisibles en los

elementos acoplados, como ruedas dentadas y rodamientos. Comnmente, el criterio de rigidez es ms

exigente que el de fatiga o el de resistencia a las cargas pico; el rbol quedara con una resistencia

mecnica por encima de la requerida; por lo tanto, es importante efectuar la comprobacin de los rboles

a la rigidez. Esta comprobacin consiste en el clculo de las diferentes deformaciones del rbol,

asegurando que stas sean menores o iguales a los valores admisibles.

7.3.2 ngulo de torsin

Un par de torsin actuando sobre un tramo de rbol produce una deformacin angular: una de las caras

del tramo gira respecto a la otra, como se muestra en la figura 7.24. Esta desviacin, denominada ngulo

de torsin, puede producir, por ejemplo, imprecisin en la transmisin del movimiento, la cual puede

afectar mquinas y dispositivos de precisin como centros de mecanizado, mquinas de control numrico

y barras de torsin.


Figura 7.24 ngulo de torsin de un rbol

El ngulo de torsin, , en radianes, producido por un par de torsin T sobre un tramo de rbol de longitud L, mdulo polar de inercia J y material con mdulo de rigidez G, debe ser menor o igual al valor

admisible [ ]:

. JG

TL (7.31)

La tabla 7.1 suministra algunos valores para el ngulo de torsin admisible para cuatro aplicaciones.

Tabla 7.1 Deformaciones permisibles de rboles. Fuente: Ivanov

[3].

Deformacin Aplicacin Deformacin permisible*

Deflexin

(debida a

flexin)

y

Deflexin mxima en rboles que

soportan ruedas dentadas

[y] = (0.0002...0.0003)L, donde L es la

distancia entre apoyos

En el sitio de asiento de ruedas dentadas

cilndricas

[y] = (0.01...0.03)m, donde m es el

mdulo de la transmisin

En el sitio de asiento de ruedas dentadas

cnicas e hipoidales

[y] = (0.005...0.007)m, donde m es el

mdulo de la transmisin

Deflexin mxima en los rboles de los

motores asncronos

[y] = 0.1h, donde h es la holgura entre el

rotor y el estator

Deflexin mxima en rboles de

ventiladores

[y] = (0.0003...0.0005)D, donde D es el

dimetro del rotor

Deflexin

angular

(debida a

flexin)

En el sitio de asiento de ruedas dentadas [] = 0.001 rad En un cojinete [] = 0.001 rad En el asiento de rodamientos de bolas [] = 0.01 rad En el asiento de rodamientos de rodillos

cilndricos [] = 0.0025 rad

En el asiento de rodamientos cnicos [] = 0.0016 rad En el asiento de rodamientos esfricos [] = 0.05 rad

ngulo de

torsin

(por unidad

de longitud)

/ L

Gras desplazables y porttiles [ / L] = 0.0045...0.006 rad/m Husillos de tornos y taladros [ / L] = 0.00175 rad/m rboles medios de destinacin general [ / L] = 0.009 rad/m rboles de cardanes de vehculos

(d = 30...50 mm) [ / L] = 0.005...0.007 rad/m

* Otras recomendaciones[4] indican que: y 0.005 in en los asientos de ruedas dentadas; 1 + 2 < 0.03, donde 1 y 2 son las deflexiones angulares de un par de ruedas dentadas engranando; y que y en cojinetes de contacto deslizante debe ser menor que el espesor de la pelcula de aceite.

* El mdulo, m, de una transmisin por ruedas dentadas es un parmetro que define el tamao de los dientes.

7.3.3 Deflexiones

Los momentos flectores sobre los rboles producen deflexiones, las cuales son de dos tipos; las

deflexiones, y, que consisten en la desviacin (desplazamiento) de los puntos de la elstica, y las

deflexiones angulares, , que consisten en el cambio de la pendiente de la elstica. Las deflexiones

T

T


excesivas son muy perjudiciales, ya que pueden provocar gran vibracin y sobrecargas en cojinetes,

ruedas dentadas y otros elementos acoplados, que en definitiva producen grandes aumentos de los

esfuerzos, pudindose dar la falla del rbol (figura 7.25). En la tabla 7.1 se presentan valores admisibles

para las deflexiones de rboles.

Figura 7.25 Deflexiones en un rbol. Las deflexiones se muestran exageradas. Se muestran dos tipos de

cojinetes: de contacto rodante y de contacto deslizante; en general, un rbol tiene uno solo de estos tipos

Las deflexiones de los rboles (o vigas en general) pueden calcularse con diferentes mtodos, como el

mtodo de integracin, el de energa, el de rea-momento y el de superposicin. Estos mtodos se

estudian en libros y cursos de resistencia de materiales y no hacen parte de nuestro estudio.

7.3.4 Deformacin axial

Las deformaciones axiales en rboles podran tambin ser perjudiciales. La deformacin total producida por una fuerza axial F sobre un tramo de rbol de longitud L, rea de la seccin transversal A y

material con mdulo de elasticidad E, debe ser menor o igual que la admisible, []:

. AE

FL (7.32)

7.4 DISEO DE RBOLES

7.4.1 Pasos en el diseo de rboles

Como se mencion en la seccin 7.1, el diseo de rboles consta de varios pasos. De acuerdo con el

procedimiento de diseo propuesto por Romero et al.[5]

, primero se debe efectuar un diseo previo o

preliminar, ya que son muchas las variables desconocidas; despus de ste, se hacen comprobaciones de

resistencia dinmica y a la fatiga, rigidez, vibraciones, etc..

Prdida parcial del engrane y engrane no

uniforme debido a las deflexiones y2 y 2, lo que produce sobrecarga y desgaste excesivos en las puntas de los dientes

1

Sobrecarga del cojinete de contacto rodante (rodamiento) debido a la

deflexin angular 1, lo que causa reduccin de su vida til

Sobrecarga del cojinete de contacto deslizante

(buje) debido a 3, lo que produce desgaste excesivo y no uniforme

Centro de gravedad del sistema excntrico, debido a y2, produciendo vibracin autoexitada y aumento de los esfuerzos

3

2

y2


7.4.2 Diseo previo o de proyecto

Cuando se inicia el diseo de un rbol, normalmente se conoce la potencia a transmitir y la frecuencia de

giro, con los cuales se calcula el par de torsin (o pares de torsin, si hay varias entradas o salidas de

potencia). Tambin puede tenerse un conjunto de datos sobre los elementos que se montan sobre el rbol.

Sin embargo, las caractersticas constructivas de ste, sus dimetros y las longitudes de apoyo de las

piezas no se conocen. Tomando las decisiones constructivas y de montaje durante el clculo o diseo

previo, se obtienen las longitudes y dimetros de todos los tramos:

1) Se selecciona el material de rbol, el cual, segn recomendaciones[5,6], puede ser de acero al carbono SAE 1020 a 1050 (por ejemplo, 1035, 1040 1045), los cuales son de bajo costo. Cuando los

criterios de resistencia resulten dominantes sobre aquellos de las deformaciones, puede seleccionarse

un acero de mayor resistencia como los aceros aleados SAE 3140, 4140 4340 (tambin 3150, 5140,

1340, 1350 y 8650[6]

). Para aplicaciones en las cuales un rbol y alguna o algunas piezas como

engranes se fabrican de una sola pieza, se puede utilizar hierro fundido o hierro nodular, por facilidad

de construccin[2]

. Para aplicaciones marinas o con ambientes corrosivos se podra utilizar bronce o

acero inoxidable.

2) Se calcula el dimetro del extremo saliente del rbol (por ejemplo, donde est ubicada la polea, la rueda dentada o el acople) o el dimetro del tramo donde se ubican las ruedas dentadas, para el caso

de un rbol intermedio de un reductor de velocidades. Como no se conoce el momento flector

mximo, ya que ste depende de las longitudes de los diferentes tramos, dicho dimetro se calcula

con base en el par de torsin mximo nominal, usando un factor de seguridad grande (ya que los

efectos de flexin, carga axial y cortante no se tienen en cuenta en este paso). Para una seccin

circular maciza, el esfuerzo cortante mximo, Ss, producido por el par de torsin nominal mximo, T,

est dado por:

,16

3d

T

J

TcS s

(7.33)

donde J, c y d son el momento polar de inercia, el radio y el dimetro, respectivamente, de la seccin

transversal escogida.

El par de torsin se calcula con la potencia, P (en el tramo de inters, si hay varias entradas o salidas

de potencia) y la velocidad angular, :

,

PT (7.34)

donde est en radianes por unidad de tiempo. Normalmente, se maneja frecuencia de giro, n, en vez de velocidad angular. Si P est dada en watt y n en r/min, el par de torsin, T, en Nm, est dado por:

,]r/min[2

]W[60]mN[

n

PT

(7.35)

donde 2 y 60 aparecen debido a la conversin de unidades, revoluciones a radianes y minutos a segundos respectivamente. Similarmente:


.]r/min[

]hp[63000]in lbf[

n

PT (7.36)

El esfuerzo cortante de la ecuacin 7.33 debe ser menor o igual al esfuerzo cortante de diseo o

esfuerzo admisible, Ssd, el cual es igual a la resistencia del material sobre un factor de seguridad

grande. Se recomienda que:[5]

(a) Si el dimetro que se est calculando es el de entrada de potencia (o el del extremo saliente del rbol)

Ssd = (20...25) MPa, (7.37.a)

(b) Si el dimetro que se est calculando es donde se ubican las ruedas dentadas en un rbol intermedio de la transmisin

Ssd = (10...20) MPa. (7.37.b)

Despejando el dimetro d de la ecuacin 7.33 y teniendo en cuenta que el esfuerzo debe ser menor o

igual al admisible, se obtiene que:

.16

3/1

sdS

Td

(7.38)

El dimetro d se aproxima al valor estndar ms cercano.

3) Los dimetros de los escalones restantes se van determinando sumndole o restndole a los dimetros obtenidos de 2 a 5 mm. Debe tenerse en cuenta que la relacin entre dos dimetros

adyacentes no debe ser mayor de 1.2, con el fin de evitar una elevada concentracin de esfuerzos.

Los dimetros calculados se normalizan.

Durante la normalizacin de los dimetros de los escalones se deben tener en cuenta las medidas

preferidas, las medidas de los rodamientos y de los otros elementos que se van a montar en el rbol.

Particularmente, los puestos de los rodamientos deben tener dimetros que coincidan con los de los

agujeros de stos; adems, la diferencia entre el dimetro donde se aloja un rodamiento y el dimetro del

escaln siguiente, debe ser tal que el redondeo del rodamiento no impida un correcto apoyo de ste sobre

la pared del escaln (los catlogos de rodamientos suministran informacin acerca de las diferencias

mnimas entre los dos dimetros en los que se apoyan stos).

7.4.3 Revisin de la resistencia esttica

Como se mencion en la seccin 7.2.2, la revisin de la resistencia esttica no es necesaria si se efecta la

revisin de la resistencia a la fatiga. Sin embargo, si se quiere efectuar este clculo, se pueden utilizar las

ecuaciones adecuadas de la seccin 7.2.2. El procedimiento para la revisin de los dimetros del rbol a

la resistencia esttica consiste en:

1) Determinar las fuerzas tangenciales, radiales y axiales que aparecen en las ruedas dentadas, poleas, rotores, etc.. Dichas fuerzas se calculan con las dimensiones y caractersticas de los elementos que se

montan sobre el rbol y con el par o pares de torsin.

2) Construir cuatro diagramas de cuerpo libre: (i) de pares de torsin, (ii) de fuerzas axiales y (iii) dos diagramas de fuerzas transversales y momentos flectores, correspondientes a dos planos ortogonales

(estos dos planos contienen el eje axial).


3) Determinar las reacciones en los apoyos (cojinetes).

4) Construir diagramas de (i) momento de torsin, (ii) fuerza axial y (iii) momento flector en los planos ortogonales.

5) Trazar el diagrama de momento flector resultante. En cualquier seccin del rbol, el momento flector resultante MR est dado por:

.2/122 xzxyR MMM (7.39)

donde Mxy y Mxz son los momentos flectores en los dos planos ortogonales, de la seccin de inters.

6) Determinar el factor de seguridad de las secciones crticas del rbol mediante la ecuacin 7.9, 7.11, 7.13 7.15 (siempre que se cumplan las condiciones de la ecuacin utilizada). Si el factor de

seguridad para alguna seccin es muy pequeo (menor que el admisible), debe redisearse el rbol

calculando un nuevo dimetro con la ecuacin 7.10, 7.12, 7.14 7.16 (siempre que se cumplan las

condiciones de la ecuacin utilizada).

7.4.4 Revisin de la resistencia a la fatiga

Debe verificarse que el rbol resiste las cargas variables indefinidamente o durante el tiempo requerido.

Al igual que la revisin de la resistencia esttica, se verifica que los factores de seguridad sean mayores a

los admisibles, para las diferentes secciones del rbol. De acuerdo con Ivanov[3]

, el factor de seguridad,

N, para el diseo general de mquinas puede ser del orden de 1.3 a 1.5 (para la fluencia); sin embargo

deben utilizarse factores de seguridad ms grandes en la medida en que existan mayores incertidumbres.

El procedimiento de revisin de resistencia a la fatiga es similar al descrito en la seccin 7.4.3, teniendo

en cuenta como varan, con el tiempo, los diagramas de momento flector, de par de torsin y de carga

axial. Tambin se tienen en cuenta los factores de concentracin de esfuerzos por fatiga. Para el clculo

de los factores de seguridad se usa la ecuacin 7.18, 7.19, 7.22 7.24.

7.4.5 Revisin de la resistencia a las cargas dinmicas

Esta revisin tambin se denomina clculo de limitacin de las deformaciones plsticas. Con este clculo

se pretende verificar que el rbol no fallar plsticamente debido a las cargas pico (de arranque o por

sobrecargas), las cuales siempre ocurren. En los arranques el par de torsin es normalmente mayor que el

nominal. Si a esto se le suma el hecho de que las holguras en los diferentes elementos de la transmisin

(por ejemplo, backlash en las ruedas dentadas) generan impactos durante el arranque, las cargas son significativamente ms grandes que las de trabajo normal. Los valores mximos de las diferentes cargas

sobre el rbol superan el doble de los nominales[5]

.

Para la revisin de la resistencia a las cargas dinmicas se utiliza el procedimiento de diseo esttico,

previendo que el nmero de veces que se repiten las cargas pico no es lo suficientemente grande como

para producir falla por fatiga. Entonces, este clculo es similar al descrito en la seccin 7.4.3, pero los

valores de las fuerzas y de los momentos son mayores. El factor de seguridad para cargas dinmicas es

del orden de 1.3 a 1.5 (para la fluencia) [5]

.

7.4.6 Revisin del rbol a la rigidez

Los rboles deben ser los suficientemente rgidos para garantizar el correcto funcionamiento de las ruedas

dentadas, cojinetes, rotores y dems elementos que se monten sobre ellos. Las deformaciones excesivas

dan lugar a sobrecargas, vibraciones y deficiencias en el contacto entre dos elementos (por ejemplo, los

dientes de dos ruedas dentadas), lo cual produce desgastes prematuros y reduccin de la vida til de los


elementos. Como se vio en la seccin 7.3, existen cuatro tipos de deformacin (axial, por torsin,

deflexin y deflexin angular), las cuales deben controlarse.

La revisin de la rigidez del rbol consiste en verificar que las diferentes deformaciones, calculadas con

las ecuaciones 7.31 y 7.32, entre otras, sean menores que las admisibles. La tabla 7.1 present algunos

valores recomendados de deformaciones permisibles.

Aunque las deformaciones pueden calcularse con las frmulas de resistencia de materiales, cuando el

rbol es escalonado (con tramos de dimetros diferentes a lo largo de su longitud) puede determinarse un

dimetro equivalente dE mediante la expresin:

,)/(

1

2/1

1

4

n

i ii

maxE dd

(7.40)

donde dmax es el dimetro mximo del rbol, n es el nmero de tramos, i = Li / L y i = di / dmax; en estas ltimas, L es la longitud total del rbol (L = Li) y Li y di son la longitud y el dimetro, respectivamente, del tramo nmero i. Ntese que las piezas que se montan en el rbol a presin se tienen en cuenta como

parte del rbol y que el dimetro di se toma igual al dimetro de la manzana; en tramos estriados di se

toma igual al dimetro medio de las estras[5]

.

Al utilizar la ecuacin 7.40, los clculos se simplifican y la exactitud obtenida es normalmente suficiente.

7.4.7 Revisin del rbol a las vibraciones

Todo sistema tiende a vibrar con amplitudes excesivas cuando la frecuencia de excitacin es similar a

alguna de las frecuencias crticas (o frecuencias naturales); cuando son aplicadas al sistema, ste entra

en resonancia. Cuando hay resonancia el sistema tiende a vibrar excesivamente, lo cual puede llegar a

producir su falla. Los rboles, en unin con elementos que sobre ellos se montan, tambin tienen sus

frecuencias naturales (en los modos de flexin y torsin); por lo tanto, la frecuencia de giro del rbol debe

estar bastante alejada de las frecuencias naturales.

Las revoluciones crticas ncr(M) en el modo de flexin pueden calcularse por la frmula de Rayleigh:

,946]r/min[

2/1

22

22

2

11

2211)(

nn

nnMcr

yWyWyW

yWyWyWn (7.41)

donde Wi es el peso de cada masa sobre el rbol y yi la deflexin esttica, en mm, debida a la carga Wi

para el caso sencillo en que la carga acta en medio de los apoyos. Las revoluciones crticas pueden

obtenerse tambin de la frmula de Dunkerley (de exactitud aceptable):

1/ ncr(M)2 = (1/ n1

2 + 1/ n2

2 + + 1/ nn

2), (7.42)

donde ni son las revoluciones crticas calculadas para cada masa concentrada individual: ni = 946/yi0.5

.

Las revoluciones crticas ncr(T) en el modo de torsin, si el rbol tiene una sola entrada y una sola salida de

potencia, estn dadas por:


,60

2/1

)(

mT

TcrIL

GJn

(7.43)

donde G es el mdulo de rigidez, LT es la longitud sometida a torsin, J (momento polar de inercia) =

dE4/32, e Im es el momento de inercia msico del rbol, Im = ma dE

2/4, donde ma es la masa del rbol.

Para evitar el peligro de resonancia, se debe cumplir que n


Figura 7.26 Accionamiento de un transportador de banda

(a) Reductor de velocidades de dos escalones (b) rbol intermedio del reductor

Figura 7.27 Representacin esquemtica del reductor de velocidades y del rbol intermedio

Solucin: Para el diseo del rbol se seguir el procedimiento propuesto en la seccin 7.4.

Seleccin del material: Siguiendo las recomendaciones dadas en la seccin 7.4.2, se escoge el acero SAE 1045 laminado en

fro. Este es un acero de maquinaria de medio contenido de carbono y de costo relativamente bajo.

De la tabla A-3.2 (apndice 3) se obtienen sus propiedades: Sy = 531 MPa, Su = 627 MPa, elongacin

(en 2 in) de 12%, dureza de 179 HB.

y z x

Motor elctrico Reductor de velocidades horizontal de dos escalones

Transmisin por cadena Transportador

de banda Acople flexible

Direccin del movimiento

Tambor de mando

Tambor tensor

rbol de salida de potencia

rbol de entrada de potencia

rbol intermedio Apoyo

Estrella

Acople

50 mm 50 mm 50 mm

x

30 20 30 20 30 20 30 (mm)

y

z

A

B

C D


Clculo del par de torsin: En el rbol intermedio del reductor hay una sola entrada de potencia (a travs de la rueda helicoidal)

y una sola salida (a travs del pin de dientes rectos). Por lo tanto, hay un solo valor de par de

torsin a calcular. Este par se determina mediante la ecuacin 7.35:

,]r/min[2

]W[60]mN[

n

PT

entonces

,mN 0.191600

6002

1200060

NT

donde TN es el par nominal. La potencia usada en esta ecuacin es 12 kW, que es la potencia

nominal del motor, siendo un poco ms grande que la potencia que se requiere en el transportador de

banda. De hecho, la potencia a transmitir por el rbol intermedio es igual a la potencia que demanda

la mquina movida (transportador) ms las prdidas en los engranajes de dientes rectos, en la

transmisin por cadena y en algunos rodamientos. El par de arranque es tres veces el nominal;

entonces:

TP = 3TN = 573.0 Nm.

Clculo de los dimetros: Teniendo en cuenta las recomendaciones de la seccin 7.4.2, para un rbol intermedio de un reductor

de velocidades se calcula el dimetro de los tramos donde se ubican las ruedas dentadas, mediante la

expresin:

,16

3/1

sdS

Td

donde T = TN = 191.0 Nm y Ssd = (1020) MPa (ecuacin 7.37). Tomando Ssd = 15 MPa se tiene que:

mm. 2.40m 0402.01015

0.191163/1

6

d

Este dimetro se normaliza con base en las dimensiones preferidas (por ejemplo, series Renard)

dadas en el apndice 6. Entonces se toma d = 40 mm.

Este es el dimetro donde van montadas las ruedas dentadas. Los dimetros de los otros escalones se

seleccionan sumando o restando 2 a 5 mm al dimetro del escaln adyacente. Se deben tener en

cuenta las dimensiones preferidas (apndice 6) y los dimetros de rodamientos de bolas. Los

dimetros interiores de las pistas internas de los rodamientos FAG[7]

(equivalentes al dimetro del

rbol), en mm, son7:

7 Para seleccionar otro tipo de rodamiento debe recurrirse al catlogo respectivo.


Rodamientos rgidos de bolas con una hilera: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 17, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180,

190, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500, 530, 560,

600, 670, 750, 850.

Rodamientos de rodillos cilndricos con una hilera: 15, 17, 20, 22.1, 25, 26.5, 30, 31.5, 35, 37.5, 40, 42, 44, 45, 47, 49.5, 50, 52.5, 54.5, 55, 57.5, 59.5, 60, 64.5, 65, 66, 69.5, 70, 72, 74.5,

75, 78.5, 80, 83.5, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 220,

240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440, 460, 480, 500, 560, 630, 670, 710, 800.

De acuerdo con esto, el dimetro del tramo intermedio, el cual sirve de apoyo lateral de las ruedas

dentadas, se toma de 45 mm y el dimetro de los tramos donde se montan los rodamientos se toma

de 35 mm.

Determinacin de las fuerzas en las ruedas dentadas: Como se mencion en la seccin 7.4.3, para la revisin de la resistencia del rbol es necesario

determinar las fuerzas sobre las ruedas dentadas y las reacciones en los apoyos. Se deben construir

los diagramas de cuerpo libre y los diagramas de par de torsin, fuerza axial y momento flector.

La figura 7.28.a muestra la fuerza normal, FC, que acta en los dientes del pin C (de dientes

rectos)8. Esta fuerza forma un ngulo con la direccin tangencial igual al ngulo de presin

pC = 20 y puede descomponerse en una fuerza tangencial, FCt, y una radial, FCr, como se muestra en la figura 7.28.b.

(a) Fuerza normal sobre el diente (b) Componentes radial y tangencial

Figura 7.28 Fuerzas en el diente de un engrane cilndrico de dientes rectos

La fuerza FCr no genera par con respecto al eje del rbol. El par de torsin T, calculado

anteriormente, es producido slo por la fuerza FCt, la cual acta a una distancia DC/2 del eje del

rbol. Entonces, FCt est dada por (vase la ecuacin 7.17):

N. 4244m 090.0

mN 0.19122

C

CtD

TF

De la figura 7.28.b:

N. 154520tanN 4244tan pCCtCr FF

8 Ntese que la fuerza de friccin es despreciable si los engranajes operan con una adecuada lubricacin.

FCt

FCr FC

pC (ngulo de presin)

Circunferencia primitiva

DC (dimetro primitivo)

pC


En el caso de la rueda helicoidal B, la fuerza normal, FB, tiene una componente adicional, la fuerza

axial, FBa. La figura 7.29 muestra las tres componentes de la fuerza normal. Nuevamente, la nica

componente que produce par de torsin es la tangencial. Por lo tanto:

N. 2728m 140.0

mN 0.19122

B

BtD

TF

Figura 7.29 Fuerzas en el diente de un engrane cilndrico de dientes helicoidales

De la figura 7.29, las componentes radial y axial estn dadas por:

N, 0.99320tanN 2728tan pBtBBr FF

N. 1.48110tanN 2728tan dBtBBa FF

Las direcciones de las fuerzas sobre las ruedas dentadas se determinan teniendo en cuenta dnde

ocurre el engrane entre los dientes y la direccin de rotacin del rbol. La figura 7.30 muestra las

direcciones de las fuerzas y los puntos donde stas actan. El pin del rbol de entrada engrana con

la rueda B en su parte superior. La fuerza tangencial FBt acta en la direccin positiva de z con el fin

de producir la rotacin del rbol en la direccin mostrada. El pin C engrana en su punto inferior

con la rueda del rbol de salida. La fuerza FCt tambin acta en la direccin positiva de z, ya que la

rueda del rbol de salida opone resistencia al movimiento. Ntese que los pares de torsin

producidos por las fuerzas tangenciales se contrarrestan para garantizar el equilibrio (el rbol gira a

velocidad constante).

pB

dB

pnB

FBt

FBa

FBr


Figura 7.30 Diagrama de cuerpo libre del rbol intermedio con sus engranajes

Clculo de las reacciones: El diagrama de cuerpo libre del rbol se muestra en la figura 7.30. Ntese que se ha omitido la

reaccin axial en el apoyo A. Esto se debe a que normalmente el rbol se disea para que la fuerza

axial sea soportada por un solo rodamiento. El otro rodamiento se monta con holgura axial (vase el

rodamiento A en la figura 7.27.b) con el fin de evitar que los rodamientos se sobrecarguen

axialmente durante el montaje o debido a las dilataciones de los elementos. El engrane B produce

una fuerza axial en la direccin positiva de x; dicha fuerza empuja el engrane contra el hombro, el

cual a su vez transmite la fuerza hasta el rodamiento D. En un rbol, el rodamiento que debe

soportar la fuerza axial es aquel que la pueda transmitir a travs del hombro. En este rbol, el

rodamiento que puede efectuar una fuerza en x es D.

Este diagrama de cuerpo libre se divide en diagramas de cuerpo libre de pares de torsin, de fuerzas

axiales y de fuerzas transversales y momentos flectores. Estos diagramas se muestran en la figura

7.31. El momento flector MFBa es producido por la fuerza FBa y est dado por:

m.N 68.332

m 1400N 1.481

2

.DFM BBaFBa

y

z x

FBr

FBt FBa

DB/2

FCt

FCr

DC/2

Sentido de giro

RDy

RDz

RDx

RAy

RAz


(a) Pares de torsin (b) Fuerzas axiales

(c) Fuerzas transversales y momentos en xy (d) Fuerzas transversales y momentos en xz

Figura 7.31 Diagramas de cuerpo libre del rbol

Se plantean las ecuaciones de equilibrio:

de donde

N. 3739y N 5.474 N, 1.481 N, 3233 N, 5.77 DzDyDxAzAy RRRRR

Diagramas de par de torsin, fuerza cortante, momento flector y carga axial: En la figura 7.32 se muestran los diagramas de par de torsin, fuerza cortante, momento flector y

carga axial. El diagrama de momento flector resultante se obtiene utilizando la ecuacin 7.39.

Ntese que estos diagramas, as como las fuerzas calculadas anteriormente, son vlidos para las

condiciones nominales. Los valores en el arranque son el triple de los valores nominales.

,0 ;0 DxBax RFF

,0 ;0 BrDyCrAyy FRFRF

,0 ;0 DzAzCtBtz RRFFF

,00.151.005.0 ;0 FBaDyCrBrAxy MRFFM+

,00.151.005.0 ;0 DzCtBtAxz RFFM+

x x

A B C D

FBa RDx

A B C D T

T

x y

x z

A B C D

RAy

FBr MFBa

RDy FCr

A B C D

RAz

FBt

RDz

FCt

0.05 m 0.05 m 0.05 m 0.05 m 0.05 m 0.05

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