El método del lugar de las raíces

Tema 2.5: Análisis basado en el

método del Lugar de las Raíces

1. Lugar de las Raíces2. Trazado de la gráfica3. Lugar de las raíces generalizado4. Diseño de controladores

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

1. El lugar de las raíces

Objetivo: análisis del efecto de un parámetro en los polos del sistema en B.C para:

Analizar como varía el comportamiento del sistema (ej: estabilidad)Diseñar controladores en base a un parámetro conforme a unas especificaciones

Método del lugar de las raíces: (W. R. Evans, 1948)Ceros de GBC -> Ceros de GBA

Polos de GBC -> Ceros de (1+GBA)

Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+R E U Y

Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+

Controlador

G(s)G(s)C(s)K

Sistema-

+R E U Y


1. Lugar de las raícesCaracterización

• Analíticamente: imposible para orden alto

• Gráficamente: Curva parametrizada en K

Criterio del argumento

Criterio de módulo


Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+R E U Y

Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+

Controlador

G(s)G(s)C(s)K

Sistema-

+R E U Y

Los polos del sistema realimentado son:

K=0

-2 -1

K=1 K>1

x

x

xK<0

xx x x

Lugar de las Raíces

1. Lugar de las raícesCaracterización


Trazado se realiza de forma aproximada y carácter cualitativo.Se parte del problema canónico de la forma:

LR del sistema, son los lugares de los polos en BC, al variar la ganancia desde 0 a ∞

Para K=0, las raíces son los polos de GBA(s) (D(s)=0)Para K-> ∞, las raíces son los ceros de GBA(s) (N(s)=0)

2. Trazado de la gráfica


El LR parte de los polos de GBA(s) -> existen tantas ramas como polos en BA (n)El LR (ramas) tienden:

m ramas tienden a los ceros GBA(s) (m ) n-m ramas tienden al infinito de forma asintótica

2. Trazado de la gráficaPaso 1: Ubicar polos y ceros de GBA(s)

x → poloo → cero

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

yA

xis


so ∈ LR si el Nº de ceros y polos reales a su derecha es impar

(K>0)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

2. Trazado de la gráfica Paso 2: Determinar el LR sobre el eje real


Cálculo del ángulo de las asíntotas:Se elige un punto de prueba s muy alejado del origen y se calcula el límite de G(s) cuando s→∞.

Intersección con eje real (centroide): Todas las asíntotas interceptan en el mismo punto al eje real.

m ramas tienden a los cerosn-m ramas tienden asintóticamente al infiniton ramas

2. Trazado de la gráficaPaso 3: Cálculo de asíntotas


Ejemplo

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

yA

xis



Los puntos de ruptura son polos DOBLES que:Anulan el denominador

Anulan la derivada del denominador

2. Trazado de la gráficaPaso 4: Puntos de ruptura de entrada y salida al eje real hacia el plano complejo


Reglas:Si pertenece al LR un trozo de eje real, limitado por dos polos adyacentes, punto de ruptura de salidaSi pertenece al LR un trozo de eje real, limitado por dos ceros adyacentes, punto de ruptura de entrada (incluido el -∞)Salida y entrada con 90º


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

Punto de salida

Punto de entrada


Ejemplo

Raíces

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6 Root Locus

Real Axis

Imag

inar

yA

xis



Ángulo salida de un polo

Ángulo entrada en un cero

o x

x

x

2. Trazado de la gráficaPaso 5: Ángulo de salida (entrada) de polos (ceros) complejos

• Se toma un punto de prueba en la cercanía del polo o cero conjugado y aplicar la condición del ángulo: ±180(2r+1)=suma de ceros –resta de polos


Ejemplo

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

2. Trazado de la gráficaPaso 5: Ángulo de salida (entrada) de polos (ceros) complejos


Método de Routh-Hurwitz

Factor par de orden 2

2. Trazado de la gráficaPaso 6: Calcular los puntos de corte con el eje imaginario


Ejemplo

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

Factor par de orden 2

Ecuación subsidiaria

2. Trazado de la gráficaPaso 6: Calcular los puntos de corte con el eje imaginario


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

yA

xis

2. Trazado de la gráficaResultado


1. Representar polos y ceros y determinar ramass=0, s=-1, s=-2n-m=3 (3 ramas terminan en infinito -> 3 asíntotas)

2. Lugar de las raíces sobre eje real3. Determinar asíntotas

Ángulos

Corte con eje real (centroide)

2. Trazado de la gráficaEjemplo 2: LR y K/ δ=0.5 de un par de polos complejos conjugados en BC


4. Puntos de rupturaPunto de ruptura de salida (2 polos adyacentes)Cálculo analítico

5. Ángulos de salida (entrada) de polos (ceros) complejos. No existen.6. Puntos de corte con eje imaginario (1) Routh-Hurwitz, (2) s=jw




SISTEMA SUBAMORTIGUADO

Valor de K?Cond. de módulo

El tercer polo se encuentra en s3=-2.3326(resolver ec.característica)

K=1.0383K=1.0383

K→∞

K→∞

K=6

s3

Corte:


2.1 Lugar de las raíces para K<0

Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+R E U Y

Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+

Controlador

G(s)G(s)C(s)K

Sistema-

+R E U Y

K<0

En algunos casos sin embargo nos interesa K<0

• Acción inversa:Si ↑u ↓y, entonces ↑e ↓ u

(Ganancia del controlador negativa)


Criterio del argumento (no cambia)

Criterio de módulo




1- Ubicar polos y ceros

2- Lugar sobre el eje real

3- Asíntotas y centroide

4.- Puntos de ruptura

5- Ángulos de salida y llegada a polos (ceros) complejos

6.- Puntos de corte con eje imaginario

s0 ∈ LR si deja a la derecha un número par de polos y ceros reales.


-1

-1.5+j

-1.5-j

2.1 Lugar de las raíces para K<0Ejemplo

1. Representar polos y ceros y determinar ramasc1=-1, p1=-1.5+j, p2=-1.5-jn-m=1 (1 rama termina en infinito -> 1 asíntota)

2. Lugar de las raíces sobre eje real s Є [-1,∞)

3. Determinar asíntotaÁngulos



4. Puntos de ruptura

5. Ángulos de salida (entrada) de polos (ceros) complejos.

116.6º

90º

-1.5+j

-1.5-j

1

-1

-1.5+j

-1.5-j

0.12

26.6º



6. Corte con eje imaginario (Routh-Hurwitz)

Ecuación subsidiaria K=-3

Ecuación subsidiaria K=-3.25

-1

-1.5+j

-1.5-j

0.12

0.5j

26.6º



3. Lugar de las raíces generalizado

Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+R E U Y

Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+

Controlador

G(s)G(s)C(s)K

Sistema-

+R E U Y

Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+R E U Y

Controlador

G(s)C(s)

Sistema-

+

Controlador

G(s)G(s)C(s)C(s)

Sistema-

+R E U Y

Ejemplo: C(s) = PD, PI, PID...

Lugar de las raíces

Lugar de las raíces generalizado : Parámetros diferentes de K


3. Lugar de las raíces generalizado

El sistema realimentado depende de un parámetro α de forma que

La misma estructura que hemos estudiado:

Problema canónico con

Podemos usar las mismas herramientas


+R E U Y

-

Estudiar la influencia del parámetro T en los polos del sistema en BC

1) Calculamos la ecuación característica

2) Determinar

T>0

3. Lugar de las raíces generalizadoEjemplo



1. Representar polos y ceros y determinar ramasc1=0, p1=-0.5+0.866j, p2=-0.5-0.866j, p3=-1n-m=2 (2 ramas terminan en infinito -> 2 asíntotas)

2. Lugar de las raíces sobre eje real s Є [-1,0]

3. Determinar asíntotasÁngulos


-1270º

90º

-0.5+0.866j

-0.5-0.866j



4. Puntos de ruptura

5. Ángulos de salida (entrada) de polos (ceros) complejos.

120º

90º

-0.5+0.866j

-0.5-0.866j

0-1

60º-1

-0.5+0.866j

-0.5-0.866j0

150º


Cambio de signo (corte con eje imagianario)

T = -3/2

El lugar de las raíces de T>0 no corta el eje imaginario.

6. Corte con eje imaginario (Routh-Hurwitz)

-1

-0.5+0.866j

-0.5-0.866j0

150º

Matlab: rlocus(sys)



Ejemplos propuestos sobre el LR

Ejemplo 1



Ejemplo 2



Ejemplo 3 +R

-


4. Diseño de controladores basado en el LR4.1 Controlador P

G(s)C(s)-

+R E U YG(s)C(s)

-

+ G(s)G(s)C(s)Kp-

+R E U Y

Controlador Sistema

Diseñar un controlador P que garantice SO≤20% y sea lo más rápido posibleSistema de 2 orden -> Usamos ecuaciones respuesta temporal



-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

Root Locus Editor (C)

xx62.87º

A1. Cálculo de punto A

2. Cálculo de Kp2.1 Condición de módulo)

2. Sustituyendo en ec. Carácter.



G(s)C(s)-

+R E U YG(s)C(s)

-

+ G(s)G(s)C(s)Kp-

+R E U Y

Controlador Sistema

Para Kp=1.38, calcular SO y tsCalculamos raíces de GBC -> S1,2=-1.5±2.57jHallamos ángulo

Aplicamos fórmulas


4. Diseño de controladores basado en el LR4.2 Consideraciones preliminares de diseño

Como se ha visto anteriormente, solamente con el ajuste de la ganancia (Kp), a veces no se puede satisfacer especificaciones, es decir, no podemos modificar la localización de los polos/ceros.

Por ello, recurriremos a un compensador más sofisticado

Si conocemos los efectos de la adición de polos y/o ceros en el LR, se puede determinar fácilmente las ubicaciones de los polos/ceros del compensador para modificar la respuesta en la forma deseada.

Tipos de compensadores Red PDRed PIRed de adelanto o avanceRed de atraso o retardoRed mixta (atraso-adelanto)


4. Diseño de controladores basado en el LR4.2 Consideraciones preliminares de diseño

Efecto de añadir un polo a la función de transferencia en BAMueve el LR hacia la derechaTiende a:

Disminuir la estabilidad relativaAumentar el tiempo de establecimientoRecordemos que un control integral mejora el permanente, pero empeora el transitorio, pudiéndolo llegar a la inestabilidad

Efecto de añadir un cero a la función de transferencia en BAMueve el LR hacia la izquierdaTiende a:

Aumentar la estabilidad relativaDisminuir el tiempo de establecimientoRecordemos que un control derivativo mejora el transitorio.


Diseñar un controlador tal que cumpla unas especificaciones o que los polos dominantes, sean unos dados:

Se traduce en un valor de δ y wnEjemplo:

El sistema en BC debe tener los polos dominantes en:

4. Diseño de controladores basado en el LR4.2 Red PD. Ejemplo

Rex

-5x x

x

-0.05

A

Im


Dibujamos ramas con punto de ruptura y corte con eje imaginario

El sistema sin compensar no pasa por el punto deseadoEl controlador P no es suficiente


Rex

-5x x

x

-0.05

A

Im

Se añade un cero para que A pertenezca al LRCero: Condición de argumentoGanancia: Condición de módulo



Rex

-5x x

x

-0.05

A

ImCondición de Ángulo

o-c



El LR del sistema compensadoGanancia

Condición de módulo

Controlador PD

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