Obje En aque

Ie

e

g

g

sd

3

ctius

esta quinze

Identificar equació.

Reconèixerequivalents

Resoldre eqgrau.

Resoldre eqgrau comp

Resoldre alsenzilles dedos.

Utilitzar el i les equaciproblemes.

ena aprendr

les solucion

r i obtenir es.

quacions de

quacions deletes i inco

lgunes eque grau supe

llenguatge ions per res.

ràs a:

ns d’una

equacions

e primer

e segon mpletes.

acions erior a

algebraic soldre

MAT

Abans d

1.Expre Ident Soluc 2.Equac Defin Mètod Resol 3.Equac Defin Resol Resol Resol Suma Discr Equac Resol

4.Equac Equac Equac Exercic

Per sab

Resum

Autoava

Activita

Equ

TEMÀTIQUES Ori

de començ

essions algtitat i equació d’una e

cions de pició de de resolució de pr

cions de sició. Tipuslució de axlució de axlució de axa i productiminant d’ció (x-a)·(lució de pr

cions de gcions factocions biqu

is per prac

ber-ne més

aluació

ats per env

uacion

entades als Ensen

çar.

gebraiquesació equació

rimer grau

olució roblemes

egon graus x²+bx=0 x²+c=0 x²+bx+c=te de les a’una equac(x-b)=0 roblemes

rau superoritzades adrades

cticar

s

viar al tuto

ns de s

nyaments Acadèm

s ………………

u………………

u ………………

=0 arrels ció

rior a dos …

or

segon

mics 3r ESO 1

… pàg. 4

… pàg. 6

… pàg. 8

… pàg. 11

n grau

1

2 MATEMÀT

TIQUES Orientadees als Ensenyameents Acadèmics 3rr ESO

QràUm2

Quant àdio?

Un quamés un21euro

MAT

Equ

et va

art, mn sisè,os va s

TEMÀTIQUES Ori

Ab

uacion

Anomen

x x4 515x60

7 x

costa

és un menyser la

entades als Ensen

bans d

ns de s

nem x a la q

x x 215 6

12 x 1060 6

1260 x

ar aqu

cinquèys meita

nyaments Acadèm

de com

segon

quantitat b

x2

0 x 12600 60

180

uesta

è,

at

mics 3r ESO 3

mençar

n grau

buscada:

30 x60

3

4 MATEMÀT

1. Igua

IdentitatUna iguaexpression(=).

Qde Sde

Solució

El valor des'anomena Resoldre solucions. Dues o mésolucions s Una equacno té soluc

Equac

Per obtdada s’

TIQUES Orientade

altats a

t i Equacaltat algebns algebraiq

Quan la igules lletres s

Si la igualtales lletres s

d’una eq

e la lletra qa solució d

una equac

és equacions'anomene

ció diem qució, diem q

cions

tenir una e’utilitzen les

Si sumem d’una equaalgebraica, equivalent

Si multiplmembres expressió equació equ

es als Ensenyame

algebra

ció braica estques separ

altat és cers'anomena at és certa ps'anomena

quació

ue fa que lde l'equació

ió és troba

ns que tenen equivale

ue és compue és inco

de se

equació equ regles segü

o restem aació la ma s’obté a la donada

iquem o dd’una equa

algebraica,uivalent a la

ents Acadèmics 3r

iques

tà formadrades per e

rta per a al equació.per a quals identitat.

a igualtat eó.

r la solució

en les mateents.

patible si téompatible.

egon g

uivalent a ents.

als dos memateixa expre

una equ.

dividim els ació la mat, s’obté

a donada.

r ESO

a per dueel signe igu

gun valor

sevol valor

es verifiqui

ó o

eixes

é solució. S

grau

una

bres essió uació

dos teixa una

es al

Si

Ide

Obs

qua xxx

EquObs

x=1 xx

x comx=3 x comx=3 Lesequ

2xincnomneg

Equx x x 2xper 2(x

entitat: 2(

erva que e

lsevol valor de

0; 2(0 1)1; 2(1 1)2; 2(2 1)

uació: x

erva que es

1

1; 1 1 22; 2 1 3

5 8 émpatible, té3

1 4 és mpatible, té3

dues uivalents.

1 és ompatible,

mbre elevat gatiu.

uacions equiv5 8

7 10 s’ob5 2 8

10 16 s’ 2

x 5) 2·8

(x 1) 2x

es verifica

e x:

2 2(0)4 2(1) 26 2(2)

1 2 verifica nomé

23#2

és una eqé com única

s una eqé com única

equacions

una eq no té soluc al quadrat

valents a

bté sumant 22 x 7

’obté multip

2x 10

2

per a

222

és per a

quació solució

quació solució

són

quació ció, cap pot ser

2 10

licant

16

MATEMÁTICAS Orientades als Ensenyaments Acadèmics 3ºESO 5

Equacions de segon grau

EXERCICIS resolts

1. Classifica la següent expressió algebraica:6(7x 1) 3x 4x 76 , en identitat o

equació. Sol: És una equació,6(7x 1) 3x 42x 6 3x 45x 6#4x 76

2. Classifica la següents expressió algebraica:7(5x 1) 5x 40x 7 , en identitat o

equació. Sol: És una identitat, 7(5x 1) 5x 35x 7 5x 40x 7

3. Escriu una equació de la forma ax+b=c, una solució de la qual sigui x=4

Sol:3x 5 7

4. Escriu una equació de la forma ax =b que sigui equivalent a 5x 4 16

Sol: Restant 4 als dos membres de l’equació s’obté 5x 20

5. Escriu una equació de la forma x +b=c que sigui equivalent a 5x 20 15

Sol: Dividint per 5 als dos membres de l’equació s’obté 5x 4 3

6. Raona si x=2 és solució de l’equació: 5x 3(x 1) 13

Sol: Sí, és solució: 5(2) 3(2 1) 10 3·1 10 3 13

7. Raona si x=3 és solució de l’equació: 7x 3(x 2) 16

Sol: No és solució 7(3) 3(3 2) 21 3·1 24#16

8. Comprova que x=-1, és solució de l’equació 25x x 4

Sol: Sí, és solució 25( 1) ( 1) 5 1 4

9. Escriu una equació que sigui incompatible

Sol: 2(x 1) 4 , cap nombre elevat al quadrat és negatiu

6 MATEMÀT

2. Equ

DefiniciUna equaés una iguforma ax=El major e

Si a≠0 semés: x=b/a

Mètode

Per resoldaquests pa

S'ecalcmuaqu

Es S'a

sím Es

Resoluc

Per resolds'han de trde l'enunc

Comença pestiguis secalcular i l

Un cop l'eqproblema.

EXEMPLE 1entre els dd’ells?

Edat deEntre el

EXEMPLE 2barrejar-se amb un pre

Vi de 4€Vi de 2€Preu de

Equac

TIQUES Orientade

acions

ó

ció de primualtat algeb=b, essen

exponent de

mpre té sola

de resol

re una equassos.

eliminen elscula el mcm

ultipliquen euest nombrtreuen els grupen els

mbol "igual"redueixen

ció de pro

re un problraduir al lle

ciat, i despr

per llegir ategur de quees dades q

quació està

) L’edat d’udos sumen 7

el fill: x anysls dos 72 an

2) Quants l amb vi de 2

eu de 3 € el l

€/l: x litres €/l: 40-x litre la mescla 4

cions

es als Ensenyame

de prim

mer grau abraica que et a i b nome les x ha d

lució, i a m

lució

ació de prim

s denominam dels denoels dos memre. parèntesis. termes en" i els nombels termes

oblemes

lema mitjanenguatge arés resoldre

tentament e comprensue et propo

à resolta, s'

un pare és t72 anys, qui

s Edays 3x+x=

litres de vi2 € el litre, plitre.

Preu: 4x res Preu40·3 4x+

de se

ents Acadèmics 3r

mer gra

amb una ies pot expr

mbres reals,de ser 1.

és és única

mer grau s

dors. Per feominadors mbres de l'e

. x a un cos

bres a l'altr semblants

s

nçant una elgèbric les ce l'equació

l'enunciat, s bé el que orcionen.

'obté la sol

triple de la dina és l’edat

t del pare: 3=72

i de 4€ el per obtenir 4

u: 2(40-x) +2(40-x)=3·4

egon g

r ESO

au

incògnita ressar en la, amb a≠0

a, la solució

e segueixe

er-ho, es i es equació pe

stat del re. .

equació, condicions plantejada

fins que s'ha de

ució del

del seu fill. t de cadascu

3x anys

litre han d40 litres de

40

grau

a .

ó

n

r

.

Si un

de vi

EquaEs reEl fill EquaEs re S’hancada

2xes p

La s

Tre

Tre

AgrRed

Aïlla

ció: 3x+x=7sol: 4x=7 té 18 i el pa

ció: 4x+2(4sol: 4

2n de barreja preu.

9 15 Eqpot escriure

solució és:

3x 22

ure denomin3x2 22

3x 4(x

ure parèntes

3x 4xrupar: 3x 4duir: 7x 14

ar: 14x7

72 72 x=72are 54 anys

40-x)=3·40 4x+80-2x=12x=40 x=40ar 20 litres

quació de gracom 2x 6

6x 32

(x 1) 5

nadors:

(x 1) 2·

1) 10

sis: x 4 10 4x 10 4 4

2

2/4=18

20 0/2=20 de vi de

au 1,

·5

10.

11.

12.

Resol les e

a) 7x 57

b) 2x (x4

c) 3x 7(x6

d) 2x 53

e) 6x (x6

L’edat d’unquina és l’e

So

Quants litre50 litres de

Sol:

quacions se

9x 78

1) 5x 26

1) 2x3

2x 8 x7

8) 2x3

n pare és eledat de cad

ol:

es de vi dee vi amb un

EXER

egüents:

1 So

2 So

1 2 So

x So

17 x So

triple que dascun d’ell

5€ el litre n preu de 4

MAT

RCICIS

l:

7x 556

7

56x 40

l:

x 112

4

3x 3 10

l:

3x 7(x6

6

3x 7x 7

l: 2x 5

213

14x 35

l: 6x (x

66

5x 8 4

la del seu ls?

han de bar4€ el litre?

Equ

TEMÀTIQUES Ori

resolts

9x 756 5

8

63x 49 5

5x 212 3(

6

0x 4 7x

1) 2x 16

3

4x 2 12

2x 821 2

76x 24 21x

8) 2x 16

34x 34 6x

fill. Si entre

rrejar-se am

uacion

entades als Ensen

56·( 1) 8( 7

56 7x 47

(x 1) 2(5x

77 x

7

6·2 3x 7

8x 7

21x 7(2x 5

x 59 x

76x 6x

3x 42 x

e els dos su

mb vi de 3€

ns de s

nyaments Acadèm

x 5) 7(9x

47x

7

2)

1

7(x 1) 2(2x

7x

8

5) 3( 2x 8)

x 59

(x 8) 2( 2

14

umen 56 an

€ el litre pe

segon

mics 3r ESO 7

7) 56

1) 12

21x

x 17) 6x

nys,

er obtenir

n grau

7

8 MATEMÀT

3. Equ

DefiniciUna equauna igualtforma: axreals, amb

Si b#0 i b=0 o c=0

ResolucPer resoldn'hi ha proels dos fac

L'equació ax2+bx=0

ResolucPer resold"x2 " i s'ex

L'equació ax2+c=0,

diferents d

ResolucL'equació algebraicaax2+bx+c#0

Per obteni

Suma i Si x1 i x2 ax2+bx+c

Observa qpot escriurles arrels:

Equac

TIQUES Orientade

acions

ó. Tipus ció de segtat algebrax2 + bx + b a#0.

c#0, diem0, l'equació

ció de axdre aquestou amb trectors a zero

de segon0 té dues s

ció de axre aquest t

xtreu l'arrel

de segon, pot no te

de la forma

ció de axde segon que es c=0, essen

r les soluci

x

Productsón les arrc=0, acom

1 2x x

ue l'equacire en funció

x2

cions

es als Ensenyame

de seg

gon grau aaica que e c = 0, es

m que l'equ és incomp

x2+bx=0 t tipus d'eeure factor o.

n grau insolucions: x

x2+c=0 tipus d'equ quadrada.

n grau innir solució

: cxa

x2+bx+c=grau com

pot expnt a, b i c

ons utilitze

2b b2a

te de lesrels d'una pleixen les

2 ;b xa

ó de segonó de la sum

2 - sx + p

de se

ents Acadèmics 3r

gon gra

amb una ins pot exprsent a, b

uació és copleta.

equacions icomú a la

ncompletax1=0 i x2=

uació incom

ncompleta o tenir du

=0 mpleta és pressar denombres r

em la fórmu

4ac

arrels equació de propietats

1 2cx ·xa

n grau x2+bma s i el pro

= 0

egon g

r ESO

u

ncògnita éressar en i c nombre

ompleta.

incomplete "x" i iguala

a del tipu=-b/a

mpleta, s'aïl

a del tipuues solucion

una igualtae la formreals, amb

ula:

e segon gra següents:

bx+c=0 esoducte p de

grau

és la es

Si

s, ar

us

la

us ns

at ma a

au

s e

x(3x

x

Equcom a=3 Equinco a=3

Les

1

1

x

x ·x

23x

x 9) 0

2x 5

( 5) (

2

5 25 24

2

uació de segompleta: 23x

3 ; b=4 ; c=

uació de segoompleta: 3

3 ; b=0 ; c=

23x

2x x9

2x 5

arrels són x

2

2

x 2 3

x 2·3 6

9x 0

x 0

3x 9 0

5x 6 0 25) 4·1·6

2

4 5 1

2

on grau 2 4x 2

=2

on grau 23x 2 0

=2

9 0

x 9 3

5x 6 0

x=3 i x=2

( 5)51

61

x 3

6 32

4 22

0

3

Recorda

Com

Iden

Trad

Plan

Reso

Com

Per taligual adels fa

Λ

Λ

Té d

Té

a els passo

mprendre l’en

ntificar la inc

duir al llengu

tejar l’equac

oldre

mprovar les s

(x 7)·(x

que un proda zero, n’hi hactors sigui z

x 7 0x 9 0

5 4 2

5 4 3

Λ 6 4

22x 5x

ues arrels re

23x 5x

No té arre

2x 6x

dues arrels

s:

nunciat

cògnita

uatge algebra

ció

solucions

9) 0

ducte sigui ha prou que zero.

x 7x 9

3 49

6 37 0

1 9 0

3 0

eals diferent

6 0

ls reals.

9 0

reals iguals

aic

D

Sa

Es

E Pa

Pcu

R

Lmp

un

0

0

ts.

.

MAT

Discrimin

S'anomena ax2+bx+c=

El nombre igne del dis

S S S

Equació (

Per tal que almenys un

Per resoldreom la segü

un dels fact

Resolució

Les equaciomultitud dproblemes d

La suma d313. QuinsAnomenem Anomenem

L’equació és

Resolem: 2 2

2

2

2 4x

2·

x x 22x 2x2x 2x

La solució énatural).

Equ

TEMÀTIQUES Ori

nant

discriminan=0, a l'expr

de solucscriminant:

Si Δ>0 hi haSi Δ=0 hi haSi Δ<0 no h

(x-a)·(x-

el producte dels factor

e les equaüent: (x-a)ors i es res

x-ax-b

ó de Pro

ons de prim’ocasions de la vida r

dels quadras són els no x al menor x+1 al cons

s: 2x x

2496 2

2

x 1 3131 313312 0

és el nombre

uacion

entades als Ensen

nt d'una eqressió:

=b2-4ac

cions de

a dues arrea dues arrehi ha arrels

-b)=0

e de diversrs ha de ser

acions que )(x-b)=0, solen les eq

= 0 –> x=b = 0 –> x=

blemes

mer i segoen la reseal

ts de dos nombres? dels nombre

secutiu

21 313

2500

4

e 12, (-13 no

ns de s

nyaments Acadèm

quació de s

l'equació

els reals difels reals igu reals.

sos factors r zero.

estan fac s'igualen aquacions re

=a =b

on grau apsolució de

nombres na

es.

122 50

134

o val per no

segon

mics 3r ESO 9

segon grau

depèn del

ferents. uals.

sigui zero,

ctoritzades,a zero cadasultants.

areixen ene diversos

aturals és

3

ser

n grau

9

u

l

,

, a

n s

10 MATEMÀ

Equac

13. Res

a)

b)

c)

14. Res

a)

b)

c)

15. Res

a)

b)

c)

16. Esc

S

17. Res

a)

b)

ÀTIQUES Orienta

cions

sol les equa

2x 6x 0

2x 27x

23x 5x 0

sol les equa

2x 36 0

24x 9 0

2x 9 0

sol les equa

2x 7x 10

23x 17x

23x 5x 4

criu una eq

ol: S 1

P 1·4

sol les equa

(x 2)(x

(3x 1)(x

ades als Ensenyam

de se

acions segü

Sol: x(x

0 So

0 Sol: x(3x

acions segü

0 Sol: 2x

0 Sol: 2x

Sol: 2x

acions segü

0 0 So

20 0 So

4 0 So

uació de se

4 3x

4 4

acions segü

3) 0 So

5) 0 So

ments Acadèmics

egon g

EXERC

üents de se

6) 0

ol: x(x 27

x 5) 0

üents de se

36 x

9 x4

9 No h

üents de se

ol: 7x

ol: 17x

ol:

egon grau l

2x 3x 4

üents:

ol: x 2 0

ol: 3x 1

3r ESO

grau

ICIS re

egon grau i

x 0

x 6 0

x

7) 0x

x 0

3x 5 0

egon grau i

x36

x

x94

x

hay solución

egon grau c

49 402

7 289 26

es arrels d

0

0 x 2

10 x3

esolts

ncompletes

x 6

0

27 0

50 x3

ncompletes

6

6

32

32

n

completes:

7 9 72

40 176

e la qual si

; x 3 0

; x 5 0

s:

x 27

s:

532 2

49 176 6

guin x=-1,

x 3

0 x 5

537 7

6 4

x=4:

4d

E

HufaF

Fpaidm

E

PLin

Eo

A

MATEM

4. Equados

Equacion

Has vist queun producteactors i es

Farem el ma

Factoritzar eper resoldreaixò aquí dentitats nmètodes pe

Equacion

Per resoldreL'equació esncògnita t:

En aplicar obtenim due

Amb la qual

Equ

MÀTIQUES Orien

acions d

ns factor

e per resole igual a zes resolen lateix quan

el polinomie equacions

trauràs fnotables. Er descompo

ns biquad

e-les es fa es transform at2 +bt+

la fórmulaes solucion

l cosa

uacion

ntades als Enseny

de grau

itzades

dre les equero s’igualenes equaciohi hagi mé

i de l’equacs de grau sfactor comEl proper condre en fa

drades

el canvi t=xma en una c= 0

a de l'equs: t1 i t2.

i

ns de s

yaments Acadèmic

u super

uacions forn a zero caons que enés d’un prod

ció és un muperior a d

mú i utilicurs aprenactors un p

x2. de segon

uació de s

√

segon

cs 3r ESO 11

rior a

rmades perada un delsn resulten.ducte:

mètode útildos, per fertzaràs les

ndràs nousolinomi.

grau, amb

egon grau

n grau

1

r s

l r s s

b

u

12 MATEMÀ

18. Res

a)

b)

c)

19. Tre

equ

a) 4

b)

c) 1

20. Tre

a)

b)

21. Res

a) 3

a)

Equac

ÀTIQUES Orienta

sol les segü

3 2

2 6 3

7 3 4

eu factor couacions:

4 12

16 40

16 4

eu factor co 5 12 4

3 3 21 2

sol les segü

3 27

10

cions

ades als Ensenyam

üents equac

5 3 1

7 5

6 8

omú i aplica

9 0

25 0

0

omú i despr

32 3 0

30 0

üents equac

42 0

96 0

de se

ments Acadèmics

EXERCI

cions factor

1 0

10 0

0

a els identit

0

rés resol l’ e

cions biqua

egon g

3r ESO

27 √

10 √

ICIS re

ritzades:

Sol:

Sol: 3

Sol:

tats notable

4

Sol:

16

Sol:

4 4

Sol:

equació de

1

0

Sol: 0

3 7

3 0

Sol: 0

adrades:

→

Sol:

→

Sol:

grau

√27 4 426

√10 4 962

esolts

3, ,

3, ,

, ,

es per reso

12 9

0,

40 25

0,

1 0 → 4

0,

segon grau

2 32

12

0, 4,

7 30 0

7 3

0, 2,

→ 3 27

7 → 2 →

→ 10

16 →6 No h

27 √2256

10 √4842

2

8

ldre les seg

0 → 2

0 → 4

4 2 1

,

u:

0 32 0 8

0 30 0

5

42 0

√7 √2

96 0

4 hay solución

5 27 156

4 10 222

güents

3 0

5 0

2 1

72

166

0

0

1. Detealgeequ

a) 6

b) 3

c) (x

d) x

2. Indisegü

a) x

b) x

c) x

d) x

3. Indiequ

a) 3

b) (

c) 2

d) x

4. Escrsolu

a) x

b) x

c) x

5. Resoprim

a) 1

b) 2

c)

d) 3

Per prac

ermina si ebraiques acions:

6(x 1) 3x

3(x 1) 5

2 2x 1) x

x (2x 5)

ica el grüents:

2x 1 x 2

2 2x 1 x

3 3x 1 x

1 3x 2x

ica si x=acions segü

3(x 1) 5

2(x 1) 5

2(x 3) 5x

3x 60 x

riu una equció de la q

x=2

x=3

x=1

ol les eqmer grau:

10 x 3

2x 5 15

9 4x x

3x 10 50

cticar

les igualtsón ident

x 4x 6

3x 8

2x 1

3x 8

rau de la

2

x 2 2 2x

2

=4 és soüents:

3x 8

x

x x 2

uació de pual sigui:

quacions

0 x

tats següetitats o

as equaci

lució de

primer grau

següents

MATEM

ents són

ions

les

u la

de

Equ

MÀTIQUES Orien

6. Calcula

a) 3(x

b) 2 2

c) 2(x

d) 3x2

7. Obté següen

a) x 12

b) x 32

c) 2 2

d) 4(x2

8. Troba sumin 7

9. Troba useu trip

10. Quina éde 12 que ten

11. En JoaMaria, del triplel’edat q

12. A una fmarxesnoies qhi ha?

uacion

ntades als Enseny

el valor d

1) 2x x

2(x 3) 3(

3) 3(x 1

2(x 1) 1

la solució ts:

1 x 3 13

3 3(x 2)

2(x 3) x2 4

1) xx2

dos nomb71

un nombre ple sigui igu

és l’edat qanys tindr

nia fa 8 any

an té 12 dintre de 4e de l’edatque tenen a

festa assistessin 3 nois, ue de nois

ns de s

yaments Acadèmic

e x:

x 1

(x 3) 8

1) 24

12

de les

1

20

4 34

3 5 3(3

bres consec

tal que sumual a 100

que tinc arré el tripleys?

anys men4 anys la Mt d’en Joanara?

eixen 43 pe hi hauria

s. Quants n

segon

cs 3r ESO 13

equacions

(x 2)

cutius que

mat amb el

ra si dintree de l’edat

ys que laMaria tindràn, quina és

ersones. Siel triple denois i noies

n grau

3

s

e

l

e t

a à s

i e s

14 MATEMÀ

13. Resol

a) 2x

b) 2x

c) 2x

d) 2x

14. Resol

a) 2x

b) 2x

c) 2x

d) 2x

15. Resol

a) (x

b) (3x

c) x(x

d) (2x

16. Escriu arrels d

a) x=3

b) x=2

c) x=-

d) x=0

17. Resol

a) (x

b) (x

18. Calculaés solux2 - mx

19. La sumquadratracta?

Equac

ÀTIQUES Orienta

5x 0

3x 0

9 0

5 0

5x 6 0

3x 4 0

3x 10 0

6x 9 0

2)(x 3)

1)(x 5)

9) 0

8)(3x 9)

una equacde la qual s

3 i x=-5

2 i x=4 1 i x=-9 0 i x=-5

2)(x 3)

1)(x 5)

a el valor dució de l’eqx+27=0

ma d’un noat és 42. ?

cions

ades als Ensenyam

0

0

0

) 0

ció de segosiguin:

6

16

de m sabenquació de

ombre natuDe quin

de se

ments Acadèmics

on grau les

nt que x=3segon grau

ral i el seunombre es

egon g

3r ESO

s

3 u

u s

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

grau

La diagoncm. Trobacostat me

Troba dosdiferenciïnseu produ

Troba dossigui 10 i e

Un campode llargadàrea és ddimension

Tenim un de doblegrecte, de mquedin a 1

Esbrina el en l’eq

27x bx solucions s

La diagonCalcula lecostat pet

Reparteix de manerquadrats s

Troba doque es difproducte é

Un triangl24 metresigual a ¾dels seus

Troba dos18 unitats

al d’un reca les sevessura 2 cm m

s nombresn en 7 unitcte és 44.

nombres lel seu prod

o de futbol da que d’ae 7000 ms.

filferro de ar per tal qmanera que13 cm?.

valor dels uació dec 0 , per siguin 3 i -2

al d’un reces seves it mesura ¾

el nombrera que la sigui 202.

s nombreserencien enés 60.

le rectangls, i la long de l’altre.costats.

nombres s i el seu pr

ctangle mes dimensionmenys que

s positius tats, saben

la suma deducte, 24

mesura 30amplada i 2, troba le

17 cm. Coque formi ue els seus

coeficientse segon r tal que le2

ctangle té dimension

¾ del costa

e 20 en due suma de

s positius n 7 unitats

e té de pegitud d’un Troba la

sabent queroducte és 7

esura 10 ns si un e l’altre.

que es t que el

els quals

0 m més la seva

es seves

m l’hem un angle extrems

s a, b i c grau es seves

10 cm. s si el

at gran.

es parts els seus

sabent i el seu

erímetre catet és longitud

e sumen 77.

Congr

Diem si a i blos pe

S'escr

Una eqequac

Si p éssón p+

Si

Si ha

Si no

ruències

que a és cob donen el r m.

riu : a b

quació lineaió de la for

ax+

s una soluc+m, p+2m

M=mcd(a,m

M=mcd(a,m M solucion

M=mcd(a,m hi ha soluc

s lineals

ongruent mateix re

mod m

al de congrma: b 0 mo

ció de l'equm, p+3m,..

m)=1 hi ha

m)#1 i M éns.

m)#1 i M nció.

amb b mòdsidu en div

ruències és

od m

ació també..

a una soluci

s divisor de

o és diviso

MATEM

dul m vidir-

una

é ho

ió.

e b hi

or de b,

Equ

MÀTIQUES Orien

Per sa

1

Oed2 11

R mss

R mh xx

R md Oc

uacion

ntades als Enseny

aber-ne

17 12 mod

Observa qentre 5 dódividir 12 e2.

17 11 mod12 6 mod

Resoldre: 2

mcd(2,3)=1solució que són 2+3k

Resoldre: 2

mcd(2,4)=2hi ha dues s

x=0, tambéx=2, també

Resoldre: 2

mcd(2,4)=2de 4, no hi

Observa qucap senar é

ns de s

yaments Acadèmic

e més

d 5

ue en dióna residuentre 5 dón

d 2 3

2x-4 0 m

1 Hi ha és x=2, ta

2x-12 0

2 i 2 divisorsoluciones

é ho són 0+é ho són 2+

2x-1 0 m

2 i 2 no és ha solució.

e 2x-1 és sés múltiple

segon

cs 3r ESO 15

vidir 17 2 i en

na residu

mod 3

a una ambé ho

mod 4

r de 4, que són

+4k +4k

mod 4

divisor

senar, i de 4

n grau

5

16 MATEMÀ

Equac

Equació

Complete

• Si b2- • Si b2- • Si b2-

Incomple

ax• • •

axSo

IdentitIgualtat algebraiqqualsevo EquacióIgualtat algebraiqvalor de

EquacióSón equen la formTenen un

ÀTIQUES Orienta

Recorel mé

cions

ó de sego

es: ax2+bx

4ac>0 té 2 s4ac=0 té 1 s4ac<0 no té

etes: Si b=

x2+c=0

-c/a>0, du -c/a<0, no c=0, una s

x2+bx=0 olucions: x=

at entre

ques que ol valor de l

ó entre

ques que e les lletres

ó de primuacions quema ax=b ana única so

ades als Ensenyam

rda és impo

de se

on grau

x+c=0

solucions solució dobleé solución

0 o c=0

cxa

es solucions té solució solució doble

=0, x=-b/a

dues es verifles lletres

dues es verifica p

mer grau e es podeamb a#0. olució que é

ments Acadèmics

ortant

egon g

e

e, x=0

expressionfica per

expressionper a algu

n expressa és x=a/b

3r ESO

grau

SolÉs eigua EquÉs l EquÉs l EquDueles

EquSi Sprodescr

Prode La ssego

El pde s

ns a

ns un

ar

Equde

x

lució d’unel valor de altat.

uació Inc'equació qu

uació Com'equació qu

uacions ees equacionmateixes s

uació CanS és la sducte, l’equriure en la f

opietats dl’equaciósuma de leon grau és

producte dsegon grau

uacions grau supFactoritzadx-a=0 → xBiquadradeEs fa x2=tsegon grau

na equacila incògnita

ompatiblue no té so

mpatible ue té soluci

equivalenns són equivolucions.

nònica uma de leuació de seforma:

x2-Sx+P=

de les arreó de segoes solucions

1 2x xa

e les soluc és

1 2cx ·xa

erior a does: (x-a)(

x=a; x-b=0es: ax4+bxt i es resol u que en res

ió a que fa ce

le lució.

ió.

nts valents si t

es arrels egon grau

=0

els n grau s de l’equa

ba

cions de l’eq

ca

os (x-b)(x-c)0 → x=b;

x2+c=0 l’equacio dsulta.

rta la

tenen

i P el es pot

ació de

quació

=0 ...

e

1. Esx=

2. Re

3. Troco

4. Re

5. Re

6. Re

7. Re

8. Esi 1

9. El és

10. Re

MATEM

criu una equ=8

esol l’equació

oba un nomnsecutiu el r

esol l’equació

esol l’equació

esol l’equació

esol l’equació

criu una equ1

quadrat d’u 960. Quin é

esol sense ap

Equ

MÀTIQUES Orien

Au

uació de la fo

ó: xx 16

6

mbre sabentresultat és ig

ó: x 4 x

2

ó: 24x 7x

ó: 22x 8

ó: 2x 24x

uació de seg

un nombre pés aquest no

plicar la f: (x

uacion

ntades als Enseny

toaval

orma ax+b=

6 2(x 6)

t que si li gual a 755

7 13

x 0

0

108 0

on grau que

positiu més embre?

x+9)·(4x-8)·

ns de s

yaments Acadèmic

luació

=c que tingu

sumem sis

e tingui per s

el doble del

·(3x+15)=0

segon

cs 3r ESO 17

i per solució

vegades el

solucions 20

seu oposat

n grau

7

ó

l

0

t

18 MATEMÀ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Equac

SoluAUT1. -2

2. -8

3. 1

4. -4

5. 0

6. 2

7. 1

8. x

9. 3

10. -9

ÀTIQUES Orienta

1. a) equacc) identit

2. a) 2 b

3. a) si b

4. a) x 3 c) 3x 1

5. a) x=7 c) x=3

6. a) x=1 c) x=3

7. a) x=15 c) x=1

8. 35

9. 25

0. 18

1. En Joan 2

2. 13 nois i

3. a) x=0 c) x=0 solució

4. a) x=2 c) x=2

5. a) x=-2 c) x=0

cions

ucions TOAVALU2x+7=-9

8

07

4

i -7/4

i -2

8 y 6

2x 21x 20

2

9 , 2 i -5

ades als Ensenyam

Solucion

ió b) idtat d) e

b) 1 c) 2

) sí c) n

5 b) 22

b) x=10 d) x=30

b) x=5 d) x=4

b) x=5 d) x=6

2 i la Maria 1

30 noies

x=5 b) xx=-3 d) N

x=3 b) xx=-5 d) x

x=3 b) xx=-9 d) x

de se

UACIÓ

0 0

ments Acadèmics

ns dels e

dentitat equació

d) 1

no d) sí

2x 1 7

14 anys

x=3 x=-3 No hi ha

x=-1 x=4 x=3 x=3

x=-1/3 x=-5x=-4 x=3

egon g

3r ESO

exercicis

5

16. a

b

c

d

17. ac

18. 1

19. 6

20. 8

21. 1

22. 6

23. 1

24. Eext

25. b

26. 6

27. 1

28. 1

29. 6

30. 1

grau

s per pra

a) 2x 2x

b) 2x 6x

c) 2x 10x

d) 2x 5x

a) x=4 , x=-c) 2x 10x

12

6

8 i 6

11 i 4

6 i 4

100 i 70

El punt del drems

b=-7 c=-42

6 i 8

11 i 9

12 i 5

6,8 i 10

11 i 7

acticar

15 0 8 0 9 0

0

-3 b) x9 0 d)

oblec està a

2

x=7 , x=-3 2x 5x 0

a 12 i 5 cm d

dels