estadística espacial arivera - UNAM · 2019-11-29 · 21 Análisis Cuadrático (AC) Prueba...

1

Estadística Espacial

José Antonio Rivera Colmenero

2

Descriptores del patrón puntual Tendencia central

1. Media central (Media espacial)2. Media central ponderada3. Mediana central (mediana espacial) – no se

utiliza ampliamente por su ambigüedad

Considere n puntos nnii yxyxyx ,,,,,,, 11

3

Tendencia central–Media Central (media espacial)

Las dos medias de las coordenadas definenla localización de la media central.

n

y

n

xyx

n

ii

n

ii

mcmc11 ,),(

4

Tendencia central–Media Central Ponderada

Las dos medias de las coordenadas definenla localización de la media central o centromedio

Donde es el peso del punto i

,1

1

1

1 ,),(

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

wmcwmc

w

yw

w

xwyx

iw

5

Descriptores del modelo puntual Dispersión y Orientación

1. Distancia estándar2. Distancia estándar ponderada3. Elipse de desviación estándar

6

Dispersión y Orientación –Distancia estándar

¿Qué puntos se desvían de la media central? Recordemos que la desviación estándar de

la población es:

es la media central,

n

yyxxSD

n

imci

n

imci

1

2

1

2 )()(

),( mcmc yxn

xn

ii

1

2)(

7

Dispersión y Orientación –Distancia Estándar Ponderada

Los puntos pueden tener diferentes valores de los atributos que reflejan su importancia relativa

es la media central ponderada,

n

ii

n

iwmcii

n

iwmcii

w

w

yywxxwSD

1

1

2

1

2 )()(

),( wmcwmc yx

8

Dispersión y Orientación –Elipse de la Desviación estándar

La distancia estándar es una buena medida de la dispersión de los incidentes alrededor de la media central pero no refleja ningun sesgo direccional.

La elipse de la desviación estándar da la dispersiónen dos dimensiones y se define por tres parámetros: Ángulo de rotación Dispersión a lo largo del eje mayor Dispersion a lo largo del eje menor.

9

Dispersión y Orientación –Elipse de la Desviación

estándar

TABLA 5 CÁLCULO DE LA ELIPSE DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Localidad

1 4.50 22.00 0.45 0.79 0.2025 0.6173 0.3536

2 6.00 23.00 1.05 0.21 1.1025 0.0459 0.2250

3 4.50 22.50 0.45 0.29 0.2025 0.0816 0.1286

4 4.70 23.10 0.25 0.31 0.0625 0.0988 0.0786

5 4.00 11.00 0.95 11.79 0.9025 138.9031 11.1964

6 5.00 23.00 0.05 0.21 0.0025 0.0459 0.0107

7 5.00 21.00 0.05 1.79 0.0025 3.1888 0.0893

8 3.00 24.00 1.95 1.21 3.8025 1.4745 2.3679

9 6.00 22.00 1.05 0.79 1.1025 0.6173 0.8250

10 5.00 25.00 0.05 2.21 0.0025 4.9031 0.1107

11 6.00 22.00 1.05 0.79 1.1025 0.6173 0.8250

12 6.50 21.50 1.55 1.29 2.4025 1.6531 1.9929

13 6.00 24.00 1.05 1.21 1.1025 1.4745 1.2750

14 4.00 26.00 0.95 3.21 0.9025 10.3316 3.0536

15 4.00 24.00 0.95 1.21 0.9025 1.4745 1.1536

16 4.70 23.90 0.25 1.11 0.0625 1.2416 0.2786

17 4.50 22.50 0.45 0.29 0.2025 0.0816 0.1286

18 4.00 22.00 0.95 0.79 0.9025 0.6173 0.7464

19 4.00 25.00 0.95 2.21 0.9025 4.9031 2.1036

20 7.00 23.00 2.05 0.21 4.2025 0.0459 0.4393

21 5.00 21.00 0.05 1.79 0.0025 3.1888 0.0893

22 3.00 25.00 1.95 2.21 3.8025 4.9031 4.3179

23 5.00 22.00 0.05 0.79 0.0025 0.6173 0.0393

24 6.00 22.50 1.05 0.29 1.1025 0.0816 0.3000

25 1.50 25.50 3.45 2.71 11.9025 7.3673 9.3643

26 5.00 22.50 0.05 0.29 0.0025 0.0816 0.0143

27 5.50 25.00 0.55 2.21 0.3025 4.9031 1.2179

28 4.00 23.00 0.95 0.21 0.9025 0.0459 0.2036

29 5.00 21.00 0.05 1.79 0.0025 3.1888 0.0893

30 6.50 23.50 1.55 0.71 2.4025 0.5102 1.1071

31 3.00 25.50 1.95 2.71 3.8025 7.3673 5.2929

32 8.00 19.00 3.05 3.79 9.3025 14.3316 11.5464

33 5.00 23.00 0.05 0.21 0.0025 0.0459 0.0107

34 7.00 22.00 2.05 0.79 4.2025 0.6173 1.6107

35 6.00 25.00 1.05 2.21 1.1025 4.9031 2.3250

36 5.00 22.00 0.05 0.79 0.0025 0.6173 0.0393

37 3.00 24.00 1.95 1.21 3.8025 1.4745 2.3679

38 7.00 21.00 2.05 1.79 4.2025 3.1888 3.6607

39 3.00 25.00 1.95 2.21 3.8025 4.9031 4.3179

40 4.00 23.00 0.95 0.21 0.9025 0.0459 0.2036

41 8.00 22.00 3.05 0.79 9.3025 0.6173 2.3964

42 4.00 24.00 0.95 1.21 0.9025 1.4745 1.1536

Suma 207.90 957.00 0.00 0.00 81.8250 236.8914 40.5000

Media 4.95 22.79

Coordenadas de las localizaciones de viviendas cerca del cauce de un río.

Se utilizan las coordenadas cartesianas para facilidad del ejemplo.

Pero debería utilizarse las coordenada de longitud y la latitud terrestres.

x y 'x 'y 2'x 2'y '' yx

10


EstándarDETERMINACIÓN DE

LA MEDIA CENTRAL o PUNTO MEDIO o

CENTRO DE GRAVEDAD

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

)79.22,95.4(),( yxy

x1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

)79.22,95.4(),( yxyy

xx

El conjunto de estaslocalizaciones forma una nube depuntos alargada y con unadirección noroeste-sureste.

Observe el punto atípico en laparte inferior de la gráfica (xz, yz)

(xz = 4, yz = 11) en la fila número cinco de la Tabla anterior)

11


EstándarTRASLACIÓN DE LOS EJES AL CENTRO DE

GRAVEDAD O MEDIA CENTRAL

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

'x

'y

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

'x

'y

)','( yx

Conocidas las coordenadas medias, se procede al cálculo de las coordenadas centradas:

.

12


EstándarCÁLCULO DEL ÁNGULO

DE ROTACIÓN DEL EJE

.

'y

245.081881.19

)5.40( 2)5.40(4)8914.236825.81()8914.236825.81(

'' 2

'' 4'''' tan

22

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

yxyxyx

O77.13245.0 tan ang

O23.7677.1390 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

'x

'y

''y

''x

O23.76

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

'x

'y

''y

''x

O23.76

13

Dispersión y Orientación –Elipse de la Desviación Estándar

CÁLCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR

EN E

.

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

''y

''x

'' x'' y

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

''y

''x

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

''y

''x

'' x'' y

''x ''y

.

42.242

89.24542

)94.0)(8914.236()23.0)(5.40(2)056.0)(825.81(

sen ' cos sen '' 2 cos '

''

2

1

2

1

2

1

2

n

yyxx

x

n

ii

n

i

n

ii

.61.142

81.10842

)056.0)(8914.236()23.0)(5.40(2)94.0)(825.81(

cos ' cos sen '' 2 sen '

''

2

1

2

1

2

1

2

n

yyxx

y

n

ii

n

i

n

ii

14

Dispersión y Orientación –Elipse de la Desviación Estándar

CÁLCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR

SIN CONSIDERAR EL PUNTO “z”

.

.

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

'x

'y

''y

''x

O24.41

Elipse sin considerar el punto “z”.

95.0'' ; 84.1'' 07.23 ; 97.4

yx

yx

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

( xz, yz )

'x

'y

''y

''x

O24.41


95.0'' ; 84.1'' 07.23 ; 97.4

yx

yx


95.0'' ; 84.1'' 07.23 ; 97.4

yx

yx

Se observa que al no considerar el punto atípico «z» cambia elángulo de rotación y por consecuencia la orientación de la elipse de desviación estándar.

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Métodos estadísticos en SIG (Sistema de Información Geográfica)

1. Punto:• Información de la localización únicamente

2. Line:• Localización + información de atributos

3. Polígono:• Localización + información de atributos

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ANALIZADORES DEL PATRÓN DE PUNTOS

Los dos principales enfoques

1. Análisis cuadrático– Se basa en la distribución de frecuencias o

densidad de puntos dentro de un conjunto de rejillas o mallas

2. Análisis del vecino más cercano– Se basa en las distancias de los puntos

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Análisis Cuadrático(AC) Enfoque de la Densidad de puntos

La densidad medida por el análisis cuadrático (AC) se compara con un modelo aleatorio (Pruebas de Kolmogorov-Smirnov y Chi-cuadrada)

UNIFORME/DISPERSO

CONGLOMERADOALEATORIO

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Análisis Cuadrático (AC)Multiples formas de crear cuadrantes:Los cuadrantes no tienen que sercuadrados y su tamaño tiene gran influencia

Censoexhaustivo

Muestreoaleatorio

19

Análisis Cuadrático (AC) Prueba Chi-Cuadrada

Prueba de Chi-cuadradaPARA OBSERVACIONES PUNTUALES

La prueba de la Chi-cuadrada aplicado aobservaciones puntuales tiene por objetocomparar las frecuencias observadas deestos puntos con las frecuencias esperadas.Comentaremos su realización mediante unejemplo.

2

La Figura de la siguientediapositiva muestra la localizaciónen una región de los focos, deincendios que han tenido lugar en elúltimo año. La prueba de la Chi-Cuadrada nos permite determinar siel emplazamiento de estos focosobedece al azar o si han intervenidootros factores en su localización(proximidad al área de esparcimiento,cercanía a carreteras, tipo devegetación presente en la zona, etc.).

20


Focos de incendios en una región

cn /

621)97( c

5.262/155

Los pasos para la elaboración de la prueba sonlos siguientes:

PASO 1. Se superpone a la distribución de puntosuna malla de cuadrículas del mismo tamaño. Secuenta el número de puntos “n”, el número decuadrículas “c”, y se obtiene el cociente de ambos,

Dado que se han considerado 155 puntosinsertos en un total de:

cuadrículas, entonces:

.

21


.

PASO 2. Si se mantiene la hipótesis H0 de que la distribución de los focos de incendio es unadistribución aleatoria , entonces es de esperar que el número de puntos inserto en cada cuadrículasea el mismo en todas ellas. Por ello se compara la distribución observada con la distribuciónaleatoria de Poisson. Esta señala que la probabilidad de que existan «c» cuadrículas con «m»puntos es:

)( 0H

donde: Pr : Probabilidad de que existan “c” cuadrículas con “m” puntos. :e Base de los logaritmos neperianos: 2.71828. :n Número de puntos en la malla de cuadrículas del mismo tamaño. :c Número de cuadrículas consideradas. :m número de cuadrículas con determinada cantidad de puntos.

: cn /

22


.

PASO 3. Se realiza una distribución de frecuencias contando el número de cuadrículas con un punto, dos, tres, etc. (Columna 6 de la Tabla 1)

En la columna 7 se comparan estos valores con elnúmero de celdas observadas con “m” puntos, presente enla columna anterior. El valor de chi-cuadrada consiste enla sumatoria de esta columna

23


.

.42.89)( 22

Celdas EEO

Finalmente, se analiza el grado de desviación de este último dato respecto al queproporcionaría una distribución aleatoria. Para ello se consulta una tabla de valores críticos de

2 (Tabla A), siendo los grados de libertad 602622 c y utilizando un nivel de significación de 0.05. Puesto que el valor de la sumatoria (89.42) supera al resultado de latabla (79.08), nos indica que la disposición de los puntos se debe a algún factor externo y noes el producto del azar.

24


.

.42.89)( 22

Celdas EEO

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