EVALUACION ECONOMICAEVALUACION ECONOMICADE PROYECTOS II.DE PROYECTOS II.

MEDIDAS DE EFICIENCIA MEDIDAS DE EFICIENCIA ECONOMICAECONOMICA

JUAN ANTONIO DEL VALLE FLORES

MEDIDAS DE EFECTIVIDAD MEDIDAS DE EFECTIVIDAD ECONOMICA.ECONOMICA.

Los conceptos antes analizados, Los conceptos antes analizados, contribuyen a estructurar un marco de contribuyen a estructurar un marco de referencia para obtener las medidas de referencia para obtener las medidas de efectividad económica de los proyectos. efectividad económica de los proyectos. Estas medidas de efectividad económica, Estas medidas de efectividad económica, constituyen indicadores de tipo constituyen indicadores de tipo cuantitativo para expresar la bondad cuantitativo para expresar la bondad económica de los proyectos de inversión,económica de los proyectos de inversión,Estas medidas son útiles tanto para Estas medidas son útiles tanto para comparar proyectos alternativos de la comparar proyectos alternativos de la misma naturaleza, o bien, alternativas misma naturaleza, o bien, alternativas técnicas o financieras de una misma idea técnicas o financieras de una misma idea de inversión.de inversión.

Tasas de Interés.Tasas de Interés.

En INTERES SIMPLE: En INTERES SIMPLE: no existe un existe un interés sobre el interés.interés sobre el interés.

Interés= Pn iInterés= Pn i

En INTERES COMPUESTO: En INTERES COMPUESTO: si existe un existe un interés sobre el interés.interés sobre el interés.

Factor de interés compuestoFactor de interés compuestoLa cantidad que se ha acumulado (F) La cantidad que se ha acumulado (F) después de n años de una inversión después de n años de una inversión única (P), cuando el interés es única (P), cuando el interés es capitalizado una vez por período.capitalizado una vez por período.Si una cantidad de dinero P se Si una cantidad de dinero P se invierte en un cierto tiempo t=0 la invierte en un cierto tiempo t=0 la cantidad de dinero que se acumula cantidad de dinero que se acumula en un período es:en un período es:

FF1 1 = P + Pi esto es = P + Pi esto es

FF1 1 = P(1+i)= P(1+i)

Al finalizar el segundo año, la cantidad Al finalizar el segundo año, la cantidad acumulada de dinero:acumulada de dinero:

FF2 2 = F= F1 1 iiFF2 2 = P(1+i) + P(1+i) i= P(1+i) + P(1+i) i

FF2 2 = P(1+i+i+i= P(1+i+i+i22) = P(1+2i+i) = P(1+2i+i22))

FF2 2 = P(1+i)= P(1+i)22

Por inducción matemática para n años:Por inducción matemática para n años:

FF = P(1+i)= P(1+i)n o n o PP = F/(1+i)= F/(1+i)n n

Todos los libros de evaluación Todos los libros de evaluación de proyectos o ingeniería de proyectos o ingeniería económica contienen un económica contienen un apéndice con tablas de interés apéndice con tablas de interés compuesto.compuesto.Primero se localiza el interés Primero se localiza el interés en la parte superior de la en la parte superior de la página.página.Segundo, se localiza el tiempo Segundo, se localiza el tiempo t en la columna de la t en la columna de la izquierda.izquierda.Tercero, se localiza el Tercero, se localiza el encabezado de la columna de encabezado de la columna de interés:interés:Por ejemplo P/F; se requiere Por ejemplo P/F; se requiere conocer P, dado que se conocer P, dado que se conoce F.conoce F.Finalmente en el cruce del Finalmente en el cruce del renglón de t y la columna de renglón de t y la columna de interés, se localiza el factor de interés, se localiza el factor de interés (P/F, i, n)interés (P/F, i, n)

Tipos de medidas de efectividad Tipos de medidas de efectividad económicaeconómica

Aquellas cuya unidad de medida es el Aquellas cuya unidad de medida es el dinero en términos absolutos y cuya dinero en términos absolutos y cuya metodología se basa en comparar el metodología se basa en comparar el dinero de ingresos y egresos dinero de ingresos y egresos correspondientes a un mismo período de correspondientes a un mismo período de tiempo, aplicando fundamentalmente el tiempo, aplicando fundamentalmente el concepto de valor del dinero en el tiempo. concepto de valor del dinero en el tiempo. Estas medidas se conocen con los Estas medidas se conocen con los nombres siguientesnombres siguientes

Valor presenteValor presenteValor anual.Valor anual.Valor futuro.Valor futuro.

Tipos de medidas de efectividad Tipos de medidas de efectividad económica 2económica 2

Modelos en los cuales la unidad de Modelos en los cuales la unidad de medida de efectividad económica es una medida de efectividad económica es una tasa de interés, siendo de particular tasa de interés, siendo de particular importancia la tasa importancia la tasa interna de retornointerna de retorno..

Medida que expresa la relación de los Medida que expresa la relación de los ingresos y los costos, en sus valores ingresos y los costos, en sus valores actualizados, siendo el nombre de la actualizados, siendo el nombre de la metodología el metodología el cociente beneficio-costocociente beneficio-costo..

METODO DEL VALOR PRESENTEMETODO DEL VALOR PRESENTE

Como se explicó, consiste en obtener un valor equivalente de los Como se explicó, consiste en obtener un valor equivalente de los flujos de cada alternativa en el año cero.flujos de cada alternativa en el año cero. El valor presente equivalente de todos los flujos de caja de la El valor presente equivalente de todos los flujos de caja de la alternativa j es:alternativa j es:

VPj(i)= VPj(i)= nnt=0t=0 AAjtjt (P/F,i%,t) (P/F,i%,t)

(1.a)(1.a)

O de otra forma:O de otra forma:

–

VPj(i)= VPj(i)= nnt=0t=0 AAjtjt /(1+i) /(1+i)tt (1.b) (1.b)

Donde:Donde: VPj(i)= Valor presente de la alternativa j usando una TMAR de 1% .VPj(i)= Valor presente de la alternativa j usando una TMAR de 1% . n= Períodos considerados en el horizonte de planeación.n= Períodos considerados en el horizonte de planeación. Ajt= Componente del flujo de caja para la alternativa j en el periodo t.Ajt= Componente del flujo de caja para la alternativa j en el periodo t. i= TMAR.i= TMAR. Al usar este método, la alternativa con el mayor valor presente será la Al usar este método, la alternativa con el mayor valor presente será la recomendada.recomendada.

METODO DEL VALOR ANUAL METODO DEL VALOR ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (VA).UNIFORME EQUIVALENTE (VA).

El VA de la alternativa j con una tasa mínima El VA de la alternativa j con una tasa mínima atractiva de rendimiento i, se calcula como sigue:atractiva de rendimiento i, se calcula como sigue:

VAj (i)= VAj (i)= nnt=0t=0 Ajt (P/F,i%,t) (A/P,i%,n) Ajt (P/F,i%,t) (A/P,i%,n)

(2.a)(2.a)

VAj (i)= VPj (i) (A/P,i%,n) VAj (i)= VPj (i) (A/P,i%,n) (2.b)(2.b) Donde:Donde: VAj (i)= Es el costo anual uniforme equivalente VAj (i)= Es el costo anual uniforme equivalente de la alternativa j a una tasa i.de la alternativa j a una tasa i. Con este método la alternativa que tiene el Con este método la alternativa que tiene el mayor valor anual uniforme durante el horizonte mayor valor anual uniforme durante el horizonte de planeación, es la recomendada. de planeación, es la recomendada.

El equivalente futuro de todos los flujos de caja El equivalente futuro de todos los flujos de caja de la alternativa j con una TMAR de i% en un de la alternativa j con una TMAR de i% en un horizonte de planeación de n períodos es:horizonte de planeación de n períodos es:

VFj (i)= VFj (i)= nnt=0t=0 Ajt (1+i)Ajt (1+i)n-tn-t (3.a) (3.a)

Es decir:Es decir: VFj (i)= VPj (i) (F/P,1%,n) (3.b)VFj (i)= VPj (i) (F/P,1%,n) (3.b) Este método es equivalente al del valor Este método es equivalente al del valor presente y al CAUE. La alternativa con el mayor presente y al CAUE. La alternativa con el mayor valor futuro es la preferida.valor futuro es la preferida.

METODO DEL VALOR FUTURO.

EjemploEjemplo

Determinar cual es la Determinar cual es la alternativa más alternativa más redituable del conjunto redituable del conjunto mostrado en la tabla. mostrado en la tabla. Considere una TMAR = Considere una TMAR = 100% anual, por los 100% anual, por los siguientes métodos:siguientes métodos: a). Valor presente.a). Valor presente. b). Valor anual.b). Valor anual. c). Valor futuro.c). Valor futuro.El flujo de caja El flujo de caja siguiente para cada siguiente para cada alternativa, en alternativa, en millones de pesos:millones de pesos:

AñoAño AA1t1t AA2t2t AA3t3t

00 -2-2 -5-5 -8-8

11 -1-1 44 88

22 88 1010 1212

33 88 1010 1212

44 88 1010 1212

Solución Valor Presente:Solución Valor Presente:

VP1(100%)=VP1(100%)=

-2-1/(1+1)+8/(1+1)2+8/(1+1)3+8/(1+1)4 = -2-1/(1+1)+8/(1+1)2+8/(1+1)3+8/(1+1)4 = 1.0001.000

VP2(100%)=VP2(100%)=

-5+4/(1+1)+10/(1+1)2+10/(1+1)3+10/ -5+4/(1+1)+10/(1+1)2+10/(1+1)3+10/ (1+1)4 =1.375(1+1)4 =1.375

VP3(100%)= VP3(100%)=

-8+8/(1+1)+12/(1+1)2+12/(1+1)3+12/ -8+8/(1+1)+12/(1+1)2+12/(1+1)3+12/ (1+1)4 = 1.250(1+1)4 = 1.250

Dado que la alternativa 2 tiene un valor Dado que la alternativa 2 tiene un valor presente mayor, este método recomienda presente mayor, este método recomienda invertir en la alternativa 2.invertir en la alternativa 2.

Solución Solución COSTO ANUAL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTEUNIFORME EQUIVALENTE

VA1 (100%)= VPj (100%) (A/P,100%,n) VA1 (100%)= VPj (100%) (A/P,100%,n) CAUE1 (100%)= 1(A/P,100%,4)= CAUE1 (100%)= 1(A/P,100%,4)= 1(1.0667)=1.06671(1.0667)=1.0667

VA2 (100%)= 1.375(1.0667)= 1.4667VA2 (100%)= 1.375(1.0667)= 1.4667

VA3 (100%)= 1.250(1.0667)= 1.3333VA3 (100%)= 1.250(1.0667)= 1.3333 Como la alternativa 2 tiene un VA Como la alternativa 2 tiene un VA mayor, se recomienda invertir en ella.mayor, se recomienda invertir en ella.

Solución (1)Solución (1) Valor Futuro Valor Futuro

VFj (100%)= VFj (100%)= 44t=0t=0 Ajt (1+i) Ajt (1+i)4-t4-t

VF1 (100%)= -2(2)41(2)3+8(2)2+8(2)+8= VF1 (100%)= -2(2)41(2)3+8(2)2+8(2)+8= 16.016.0

VF2 (100%)= -VF2 (100%)= -5(2)4+4(2)3+10(2)2+10(2)+10=22.05(2)4+4(2)3+10(2)2+10(2)+10=22.0

VF3 (100%)= -VF3 (100%)= -8(2)4+8(2)3+12(2)2+12(2)+12=20.08(2)4+8(2)3+12(2)2+12(2)+12=20.0

O también se puede calcular a partir del valor O también se puede calcular a partir del valor presente:presente:

Solución (2)Solución (2) Valor Futuro Valor Futuro VFj (100%)= VPj(100%)(F/P,100%,4)= VFj (100%)= VPj(100%)(F/P,100%,4)=

VPj(100%)(16) VPj(100%)(16) VF1 (100%)= 1.000 (16)= 16.0VF1 (100%)= 1.000 (16)= 16.0 VP2 (100%)= 1.375 (16)= 22.0VP2 (100%)= 1.375 (16)= 22.0 VP3 (100%)= 1.250 (16)= 20.0VP3 (100%)= 1.250 (16)= 20.0 El método del valor futuro da un mayor El método del valor futuro da un mayor valor a la alternativa No. 2 por lo que ésta valor a la alternativa No. 2 por lo que ésta es la recomendada.es la recomendada. Observaciones : Como se puede ver Observaciones : Como se puede ver estos métodos son equivalentes y todos estos métodos son equivalentes y todos ellos dan el mismo resultado, es decir, ellos dan el mismo resultado, es decir, todos recomiendan invertir en la todos recomiendan invertir en la alternativa No. 2.alternativa No. 2.

METODO DE LA TASA INTERNA METODO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO.DE RETORNO.

La tasa interna de retorno (TIR), se define como La tasa interna de retorno (TIR), se define como la tasa de interés que hace que el valor futuro (o la tasa de interés que hace que el valor futuro (o presente anual) equivalente de los flujos de caja presente anual) equivalente de los flujos de caja sea igual a cero.sea igual a cero. La tasa interna de retorno de la alternativa j es La tasa interna de retorno de la alternativa j es tal, que satisface la siguiente ecuación:tal, que satisface la siguiente ecuación:

00 = = nnt=0t=0 AAjtjt (1+i*j)(1+i*j)n-tn-t

(4) (4)

donde:donde: Ajt = es el flujo de efectivo de la alternativa j en el período t.Ajt = es el flujo de efectivo de la alternativa j en el período t. i*j = es la tasa interna de retorno de la alternativa j.i*j = es la tasa interna de retorno de la alternativa j. t = período de tiempo.t = período de tiempo. n = número de períodos en el horizonte de planeación.n = número de períodos en el horizonte de planeación.

Sea X=(1+i*j) y sustituyendo en la ecuación 4:Sea X=(1+i*j) y sustituyendo en la ecuación 4:

0 = 0 = nnt=0t=0 A Ajtjt X Xn-tn-t

Desarrollando la ecuación tenemos:Desarrollando la ecuación tenemos:

0 = A0 = Aj0j0 X Xnn+A+Aj1j1 X Xn-1n-1+A+Aj2j2 X Xn-2n-2+....+A+....+Ajn-1jn-1 X + X + AAjnjn

Ecuación que constituye un polinomio de grado Ecuación que constituye un polinomio de grado n, que puede tener n raíces distintas, sin n, que puede tener n raíces distintas, sin embargo, el número de raíces reales positivas de embargo, el número de raíces reales positivas de un polinomio de grado n con coeficientes reales, un polinomio de grado n con coeficientes reales, es menor o igual al número de cambios de signo es menor o igual al número de cambios de signo en los coeficientes Aj0, Aj1,....Ajn. Puesto que la en los coeficientes Aj0, Aj1,....Ajn. Puesto que la mayor parte de los flujos de caja empiezan con mayor parte de los flujos de caja empiezan con un flujo negativo, seguidos de flujos positivos, un flujo negativo, seguidos de flujos positivos, generalmente se presenta un solo cambio de generalmente se presenta un solo cambio de signo y por consiguiente una sola raíz.signo y por consiguiente una sola raíz.

Existen diversos métodos para obtener las Existen diversos métodos para obtener las raíces de un polinomio de enésimo grado, raíces de un polinomio de enésimo grado, sin embargo, existe un procedimiento sin embargo, existe un procedimiento práctico muy popular para obtener la TIR, práctico muy popular para obtener la TIR, el cual consiste en dibujar en los ejes el cual consiste en dibujar en los ejes cartesianos los valores futuros obtenidos cartesianos los valores futuros obtenidos (eje vertical) y las tasas de interés (eje vertical) y las tasas de interés utilizadas (eje horizontal) en forma utilizadas (eje horizontal) en forma correspondiente, al unir los puntos con correspondiente, al unir los puntos con una línea se observará el punto donde una línea se observará el punto donde ésta corta al eje horizontal, cumpliéndose ésta corta al eje horizontal, cumpliéndose entonces la condición del método.entonces la condición del método.

No siempre se puede…..No siempre se puede…..Es un hecho que no siempre es Es un hecho que no siempre es posible la aplicación del método de la posible la aplicación del método de la TIR ya que frecuentemente nos TIR ya que frecuentemente nos encontramos con raíces múltiples, en encontramos con raíces múltiples, en tales casos las alternativas son tales casos las alternativas son prescindir de este indicador prescindir de este indicador económico o intentar algunos otros económico o intentar algunos otros métodos auxiliares, con métodos auxiliares, con interpretaciones especiales fuera de interpretaciones especiales fuera de los alcances de estas notas.los alcances de estas notas.

Ejemplo TIREjemplo TIRSi invertimos 2,000 pesos ahora y se nos prometen 5,000 Si invertimos 2,000 pesos ahora y se nos prometen 5,000 en un año ¿ Cuál es el TIR de la inversión ?.en un año ¿ Cuál es el TIR de la inversión ?. Solución:Solución:

0 =0 = nnt=0t=0 AAjtjt (1+i*j)n-t(1+i*j)n-t

0 =0 = nnt=0t=0 AAjtjt (1+i*j)1-t(1+i*j)1-t

Sabemos que A10= -2,000 y A11= 5,000 entonces:Sabemos que A10= -2,000 y A11= 5,000 entonces: 0 = -2,000(1+ i*j)1+ 5,000(1+ i*j)00 = -2,000(1+ i*j)1+ 5,000(1+ i*j)0 0 = -2,000(1+ i*j) + 5,0000 = -2,000(1+ i*j) + 5,000Despejando i*j:Despejando i*j: 2,000(1+ i*j) = 5,0002,000(1+ i*j) = 5,000 Entonces la tasa interna de retorno de la inversión es del Entonces la tasa interna de retorno de la inversión es del 150% anual. Esto significa que se debe invertir en esta 150% anual. Esto significa que se debe invertir en esta alternativa si no tenemos otra con una tasa mayor.alternativa si no tenemos otra con una tasa mayor.

METODO RELACION BENEFICIO METODO RELACION BENEFICIO COSTO(B/C)COSTO(B/C)

Determina la relación existente entre el valor presente de los Determina la relación existente entre el valor presente de los beneficios y el valor presente de los costos. En una inversión se beneficios y el valor presente de los costos. En una inversión se espera que los beneficios superen a los costos, por lo que es espera que los beneficios superen a los costos, por lo que es deseable una relación B/C mayor que la unidad.deseable una relación B/C mayor que la unidad. Si consideramos los flujos de caja negativos como costos y los Si consideramos los flujos de caja negativos como costos y los flujos positivos como beneficios, entonces la relación B/C se define flujos positivos como beneficios, entonces la relación B/C se define como:como:

nnt=0t=0 BBjtjt (1+i) (1+i) -t-t

B/Cj (i%)B/Cj (i%) = = ──────────────────____________ ──────────────────____________

nnt=0t=0 CCjtjt (1+i) (1+i) -t-t

Donde:Donde: Bjt = es el flujo positivo de la alternativa j en el tiempo t.Bjt = es el flujo positivo de la alternativa j en el tiempo t. Cjt = es el flujo de caja negativo en el tiempo t.Cjt = es el flujo de caja negativo en el tiempo t.

Ejemplo Beneficio/CostoEjemplo Beneficio/Costo

Considérese el mismo caso del ejemplo 3 .4.3 Considérese el mismo caso del ejemplo 3 .4.3 donde se invierten 2,000 pesos ahora con la donde se invierten 2,000 pesos ahora con la promesa de recibir 5,000 pesos en un año. promesa de recibir 5,000 pesos en un año. Calcule la relación B/C para una tasa del 100% .Calcule la relación B/C para una tasa del 100% .

5,000(1+i)-1 2,5005,000(1+i)-1 2,500 B/C1(100%)= ────────── = ─────── = 1.25B/C1(100%)= ────────── = ─────── = 1.25 2,000(1+1)0 2,0002,000(1+1)0 2,000

Como la relación B/C es mayor que uno, se Como la relación B/C es mayor que uno, se concluye que la alternativa es económicamente concluye que la alternativa es económicamente deseable, es decir, se tienen mayores beneficios deseable, es decir, se tienen mayores beneficios que costos, cuando se utiliza la tasa mínima que costos, cuando se utiliza la tasa mínima atractiva de retorno.atractiva de retorno.