Geometria analitica, UCMM. j.M. Nicolás Bonilla

GEOMETRIA ANALITICAPLANA

COLECCION "TEXTOS"

Di rector: Dani 10 de los Santos

DERECHOS RESERVADOS

Departamento de Publ icacionesUniversidad Catól ica Madre y MaestraSantiago, República Dominicana,,1982

JOSE MANUEL NICOLAS BONILLA

GEOMETRIA ANALITICAPLANA

UCMM

PRÓLOGO

El prólogo de un libro es siempre o casi siempre el lugar máspropicio para explicar los propósitos del texto. Este fue escritopara ofrecer a los estudiantes una guía metodológica diáfana y com-prensib1e en las materias de Geometría Analítica y Cálculo.

En el primer capítulo, se expone un repaso sucinto de Geome-tría Plana, Algebra y Trigonometría, por considerar que muchos es-tudiantes llegan a las disciplinas de la Geometría Analítica y elCálculo con grado de preparación inadecuado o al menos, con ciertasinseguridades básicas que es preciso solucionar antes de continuaren el estudio matemático. En los siguientes capítulos se nace én-

•fasis en seis conceptos básicos: línea recta, circunferencia, pa-rábo1a, elipse e hipérbola y en el apéndice de la obra se detallantres programas relativos a las cónicas centrales creados por el au-toro

Hay una gran va -.edadde ejercicio; algunos sobre demostraciónde teorema, otros para que el estudiante fije los conceptos más bás!cos y otros, finalmente, para que el educando pueda constatar la a-plicación inmediata de la Geometría Analítica en la práctica. Elcuerpo de ejercicio se presenta al final de cada capítulo y cada unoha sido seleccionado de manera que un estudiante promedio pueda re-solverlos con o sin la ayuda del profesor.

El prólogo es además el lugar donde el autor deja constanciade sus agradecimientos. En este caso, tendríamos que comenzar por

.~ .

el doctor Eduardo Luna Ramia, pue~ sin su atenta lectura crítica y-sugerencias este libro no hubiera sido jamás una realidad. ReconQ

cimiento también, al licenciado Carios Fernández-Rocha que hizo lassiempre necesarias correcciones de estilo. Y por último, a los es-tudiantes Sonia Ventura P., José Santos, Luis Domíngue~ y Carmen Liriano quienes de una manera u otra han colaborado estrechamente conel autor.

El autor vería con beneplácito, que los usuarios futuros deeste texto, sepan apreciar este esfuerzo como un paso decidido, sin

cero y objetivo hacia la comprensi6n·más plena de las ciencias y eninterés de dominicanizar nuestros libros de consulta universitaria.

J. M. N. B.

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(~.::._- ."_.....,...i¿~;-.':.j ,,;--:::-i' ~¿i:{~~,~..t:"''''~. ;;'.__ ;. 4.:_ : ;.

CONTENIDO

CAPITULO 1

1.- Areas de superficies poliédricas1a.- Area lateral y total de un prisma recto.1b.- Area lateral y total de una pirámide regular.1c.- Area lateral y tot-a-lde un tronco de pirámide.2. - Area lateral, área total y volumen de un

cilindro circular recto.

23

4

3.- Area lateral, área total y volumen de un conocircular recto.

4.- Area y volumen de una esfera.5.- Valor absoluto de un número real.6.- Polinomios.7.- Ecuación polinomial.8.- Raices racionales de una ecuación polinómica

con coeficientes enteros.9.- Determinante de segundo orden

10. -1 1 • -·12. -13. -14. -1S. -

16. -17. -18. -19. -2Q.-21. -

4

S

S

6

6

Determinante de tercer orden.Teorema del binomio.Factorización de polinomios.Racionalización.Logaritmos.Angu10.Identidades trigonométricas.Función par.Función impar.Ley de los senos.Ley de los cosenosEcuaciónes"trigonomitricas.

688

9

9

9

1 O101212

131 3

131 3

CAPITULO 111.- Geometría Analítica.

~-.

22

2.- Distancias dirigidas3.- Coordenadas rectangulares.4.- Proyecciones. Longitud de un segmento de

recta paralelo a un eje coordenado.5.- Fórmula de la distancia.6.- Punto de división de un segmento de recta.7.- Fórmula del punto medio de un seg~ento.

2225

28 .

29

3336

CAPITULO 111

1.- Lugar geométrico de una ecuación.2.- Angulo de inclinación y pendiente de una recta.3.- Pendiente de una recta en términos de las

coordenadas de dos puntos.4:- Rectas paralelas.5.- Rectas perpendiculares ..6.- Ecuación de un lugar geométricó.7.- La línea recta.8.- Ecuación de la línea recta.8a.- Forma punto-pendiente.8b. - Forma

4446

8c.- Forma8d.- Forma

pendiente-intersecto.de los dos puntos.de los intersectos o forma simétrica.

49515153565657585860619.- Ecuación general de primer grado.

10.- Distancia desde un punto P, (x1 ' Y,) a unarecta 'Ax + By + C = o. 63

CAPITULO IV

1.- La circunferencia.2.- Ecuación de una circunferencia.3.~ Forma general.4.- Circunferencia que satisface tres condiciones.5.- Ecuaci6n de la tangente a una circunferencia

en un punto dado.

69697373

77

Secciones c6nicas.Traslación ~e ejes.Rotaci6n de ejes. ~La parábola.Construcci6n gráfica de la parábola.~cuaci6n de una parábola.Abertura de una parábOia.Ecuaci6n de la directriz.Forma general.Aplicaciones de la parábola.La elipse.Construcci6n gráfica de la e~ipse.Ecuaci6n de una el~pse.Directrices de una elipse.Ecuaciones de las directrices~Forma general ..Aplicaciones de la elipse.La hipérbola.Construcci6n gr~fica de la hip~rbola.Ecuación de la hipérbola.Directrices de una hipérbola Y' sus' ecuaci.ones.Asíntotas de una hipérbola.Ecuaciones de las' asíntota-s' de una- hipérbola.Forma general. '.Ecuación de la rect~ tangente de una cónicaen un punto dado.

26.- Aplicaciones de la hipérbola.

1.-2.-3. -

4·C5. -6. -7. -8.-9.-

10. -1 1 • -12. -1'3.-14.-15. -',.6.-17. -18. -19.-20.-21 • -22.-23.-24. -.25.-

CAPiTULO V

84

85899495

, 97

100100107110111114116125127129130130133135138138141147

149

!

APENDICE

Programa de la parábola.Programa de la elipse.Programa. de la hipérb.o1a.

160165172

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Pág.

Respuestas a los del Capítulo 1. 180" " " " " 11. 184" " " " " 111. 186" " " " " IV. 189" " " " " V. 192

-1 -

CAPITULO 1

REPASO DE GEOMETRIA PLANA, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA.1.~ Areas de superficies planas.

La porción de un plano limitado por una curva plana cerradala llamaremos superficie plana. El número de cuadrados unitarioscontenidos en dicha superficie lo llamaremos área. A continuaciónpresentamos las fórmulas que nos permiten calcular el área de al-gunas superficies planas.

i) Triángulo: b x h2

ii) Paralelogramo: b x h

iii) Cuadrado: L2

eb1 + b2) . hiv) Trapecio: 2v) Rombo:

d1 x d22

vi) Polígono regular: p x a2

v i i ) Círculo: 'ítr2

viii) Sector circular: r x s2

donde:L = ladob = baseh = altura.b1 = base mayorb2 = base menord1 = diagonal mayordZ = diagonal menorp = perímetroa = apotemar = radios = longitud de arco de circunferencia

1a.- Area lateral y total de un prisma recto.

-2-

Por área lateral de un prisma recto Fig. (1), se entiende hallar lasuma de las áreas de las caras laterales (paralelogramos) de este sólido.

donde: Fig. (1'

Al = área lateralh = altura del prismap = P1 + Pz + P3 + P4 = perímetro de la baseB = área de la base del prismaAt = área total

lb.- Area lateral y total de una pirámide regular.

Por área lateral de una pirámide regular Fig. (Z), se entiende hallarla suma de las'áreas' de sus' caras laterales (triángulos) de este sólido.

_ 1Al -zp·xh.

At = Al + B

h

Fig. (21

.; '" .

- 3'-

donde:~ = área lateralh = al tura de cada una de las carasp = perímetro de la baseB = ~rea de la base de la pirámideAt = área total

lc.- Area lateral y total de un tronco de pirámide.Por área lateral de un tronco de pirámide Fig. (3), se entiende ha-

llar la suma de las áreas laterales (trapecios) de este sólido.1~ = 2 (Pl + P2) x h

At = ~ + B1 + B2

donde: Fig. (3)

Pl = perímetro de la base mayorP2 = perímetro de la base menorB1 = área de la base mayorB.z = área de la base menorAl = área lateral~ = ~rea total

_-4-

2.~ Area lateral 1 are a total y volumen de un cilindro circular recto.Para hallar el área lateral de un cilindro circular recto Fig. (4),

basta imaginar la superficie cilíndrica cortada a 10 largo de su alturay luegó extenderla .en un plano, resultando así un rectángulo.

A¡ = 2ír rh

." = A + 21l- r21. G"'IJ 2V =1. r h

.r:

,. ,.. .¡

donde:

~ = área lateral

At = ár~ totalV = vohmen -

r- = radio de la base del cilindroh = altura del cilindro

2'il' r

r i «, {4]

3.-Area lateral, área total y volumen de un cono circular recto.Para hallar el área lateral de un cono circular recto Fig. (S}, basta

imaginar la superficie c6nica cortada a 10 largo de la generatriz y luegoextenderla en un pl~o, resultando un sector circular.

Al = en' rgA =A +B't . I-

V = . L -rr r2h3

-5-

l· r ·1donde: Fi t;I. ( S)

Ar= ~ lateralareaA = área totaltV = volumenr = radio de la base del conog = generatriz del conoB = área de la-base 'IIr 2=

4.- Area l volumen de t:ma esfera.A 4'i1 r2=

V 4 3= 3 'TI r

5. - Valor absoluto de illl número real.

Fig_(6)

El valor absoluto de un número real x se define de la siguiente manera:x si x '> O

O si x = O-x si x < O

-6",

se podría definir también cano sigue:'

,1 x '1 = ~ xi

6.- Polinomios'.

Toda expresión algebraica de la forma:

p (x) = ao ¡:t + a1~-1 + aZ ~-Z + a3 ~-3 + ••• + an-1 x + an (1)

donde las " a. " son constantes (nüaeros reales o canplejos) y n tul en-tero positivo1o cero, se llama polinanio de grado n (sobre los números'reales o canplejos),si ao F o.7. - BcuacIén poI inomialsohre los' números Te~fle,s o complejos.

-~Una ecuaci6n polinomial es una proposici6n abierta. de la fonna:

p (x) = Q (x)

donde P (x) y Q (x) son polinomios

8.- Raíces racionales de una ecuaci6n polinómica con coeficientes enteros.

Todo valor de x que satisfaga la expresi6n P (x) = O, donde P (x) estádada por (1) se llama rafz de la ecuaci6n. Existe tul método sencillo parahallar las rarees racionales de una ecuación P ("X) = O, el cual se fundamenta en el siguiente teorema: -

" Si P(x): ao ¡:t + al ¡:t-1 + aZ xn-Z + • • • + an = O, donde los coeficientesai"son enteros, y si p(q, es una raíz racional (simplificada) de P ex) = O,entonces p es un factor de a y q es un factor de a .n o

Bjemp'lo:

Hallar las raíces racionales je 6x3 - 7xZ + 1 = Q

Solución.

P = ! 1 + 1 + Z, +- 3, +- 6; q = - ,

-7-

Utilizando división sintética

6 -7 O 1 LL3 -2 -1

6 -4 -2 O

6 -4 -2 LL-2 t

6 -6 O

6 -6 1

66 O

1 1 y ...1 son las raíces racionales de 3 2 ~ O •. Luego - "2 ' 3 6x - 7x + 1

El estudiante ha de recordar que toda ecuaci6n polinámica de grado n,tiene exactamente n raíces en el sistema 'pe los números complejos. Unaimportante ecuaci6n del tipo anterior es la ecuación cuadrática:

a x2 + b x + c = O, donde a -1= O. Las dos 'raíces están dadas por la f6nnu-la cuadrática:

- b ! ~b2 - 4ac

2a.X =

Si a, b, Y e son números reales, entonces estas raíces son:

Reales y diferentes si el discriminante b2 - 4ac > OReales e iguales si el discriminante b2 - 4ac = OComplejas y conjugadas. si el discriminante b2 - 4ac <: O

Comoilustraci6n consideremos la ecuación x2 + x + 1 = O. Entonces,b2 - 4ac = 12 ",:_.4: el) ,.(1) = - 3 < O. PO! 10 tanto, las raíces son comple-jas y conjugadas'.

~8-

9. - Detenninante de segl.Dldoorden.

Sea

(

al

a1una matriz 1 ~ 2 , donde ,al' aZ, b1 y bl son nñmeros reales. siae-

tenninante de esta matriz denotado por

se def'íne:

10.- Determinante' de tercer orden.

Seab1

bl clb3 e. 3

,una matriz 3 x 3, donde al" al' a3, b1, bZ' by cl' cl' y c3 son nü-.meros reales. El determinante. de esta matriz denotado por

a1 b1 clal bl cl

a3 b3 c3

al .b1 clal bl c2a3 b3 c3·

se define:

F al b2 c3 + aZ b3 c1 + a3 b1 cl - a1 b~ eZ --. aZ bl c3 - a3 bZ 'cl

-,9-

11.- Teorema del binomio.

Sea n -( N donde

= an + an-1 b + n (n - 1)2!

N = {números naturales} . Entonces, (a + b)n =n-2 2 n-3 3a b + n (n-l) . (n-2) a b + + bn =

3!

12. - Factorización de polinomios .sobre los números reales o complej os.

Factorizar un polinomio es el proceso de descomponer un polinomio ensus factores. A continuaci6n presentamos algunos casos típicos:

i) Diferencia de dos cuadrados:2 2x - y = (x + y) • (x - y)

ii) Suma o diferencia de dos cUbos:

2 2(x : y) . (x -+ xy + y )

iii) Trinomio general:

acx2 + .(ad t bc) • xy + bdy2 = (ax + by) • (cx + dy)

13.- Racional ización.Ejemplo 1Racionalización del denominador

x

: ~-) =

= Vx + a donde x 1: O y a)- O

-10-

Ejemplo 2Racionalizaci6n· del numerador

3 3 3

~ ~(x + a)Z ~a ~~x+a -\Ja ~x + a - + (x + a) +=

~(x + a)2 ~a ~a2x x (x + a)+ +

1=

~(x + ~a ~a)2 + (x + a) + donde x ~ O

14.- Logaritmos.Definición

ii)iii)iv)

vi)

i)

loga x = b , si y sólo si, ab = x, donde a>0, a ; 1 Y x>O.Propiedades: -

110gb a = log ba

10gb M N = 10gb M + 10gb N10gb M/N = 10gb M - 10gb Nlogb-Mf· = a. 10gb M10gb ~ = 10gb M l/a = !

10g10 M10gb M = 1 bog10

v)

15.- Angulo.

En trigonometría,un ángulo plano es generalmente'la figura geométricaformada por la rotación de un rayo en un plano alrededor de su origen o po-lo. Este punto se llama vértice del ángulo. La posición inicial del rayose llama lado inicial del ángulo y la posici6n terminal lado terminal, comose indica en la Fig. (7).

-11-

Lado Inicial

Fig. (7)

La uní.dad J!lás cam.mmenteusada para medir tul ángulo es. el grado sexa-~e$imal que es la noyenta aya parte de un ángulo recto. La aedidaeun ángulo cen t.r ad es ·UD. radi.án si la longitud del arco de cir-

cunf'er-enc í a inters'ectado por el á¿gulo es igual a la Long í.tud delradio.

F/g.,(8}

La relación entre estos sistemas de unidades se obtiene ODO sigue:36Q1 rad = ---zctr = 57.296 grados

1 grado = 3~ = Q.Q17453 radianes

Si e es el número de radianes' que mide W1 ángulo central en tul cir-·culo de radio r , que suBtiende un arco de longitud s, entonces

sg.=-r

Conociendo dos cualesquiera de Las cantidades que aparecen en la re la-ci6n anterior, puede hal.Iarse tácilmente la tercera.' .

_ 12 '_

16.- Identidades trigonométricas fundamentales.

i) sen2A + cos2A = 1

ii) sec2A = tg2A + 1

iii) 2 cot2A 1csc A = +

iv) , CA + B) A, cos B. + A Bsen - ;: sen cos senv) CA + B) A cos B + A Bcos = cos - sen sen

.v í ) tg A sen A= cos Atg ,A + Bvii) CA + B) - tg'tg = -1 + tg A . tg B

viii) sen 2A = 2 senA cos Aix) cos 2A = cos2A sen2Ax') cos,2A = 1 2 sen2A

x í.) cos 2A = 2 cos2A - 1

x í í )

A !V 1 - cos Asen ¿ =

xiii) A + v-1 + cos Acos = -2 2

xiv) A =v ~ - cos Atg 2 + cos A

xv) sen·A. B 1 CA + B) CA B)cos = 2 sen + sen

, xv í ). A. sen B 1 CA + B) + CA B)s~n - 2 -cos cos

xvi i ) A. B 1 CA + B) + CA B)cos cos = ¿ cos cos -

17.- Función par.Es aquella funci6n -que satisface la condici6n fC-x) = f(x) .

para todo x en el dominio de f.

-13-

Ejemplo de funciones pares son las funciones trigonométricas coseno ysecante.18.- Funci6n impa.r.

Es.aquella función que satisface la condición fe-x) = - f ex) pa-ra todo x en el dominio de f

Ejemplos de funciones impares son las funciones trigonométricas seno,cosecante, tangente y cotangente.

19.- Ley de los Senos.

La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la razónde las longitudes de dos lados cualesquiera, es la misma que la razónde los senos de los ángulos opuestos a esos lados. De esta manera,enla Fig. (9), la razón de a y b es la misma que la de sen A y sen B. LaLey de los senos se escribe en la forma

a b---:---- = ---=--sen A sen B = esen C

20.- Ley de los Cosenos.

La ley de los cosenos establece que el cuadrado de la longitud de cual-quier lado de un triángulo,es igual a la suma de los cuadrados de los otrosdos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo incluido.De este modo Fig. (9)

2 b2 2 2bc cos Aa = + cb~ 2 2 2ac B e= a + c cos2 a2·+ b2 2ab Ce = cos

e

rt». (9)

2J. - Ecuaciónes trigonométricas.

Una ecuación es trigonométrica, si y sólo si,la var iable aparece. en razo-nes trigonométricas. Como ilustrición, considérense las siguientes

ecuaciones:

-14-

i)"- 3 cos 5x - -4 = tg x

ii) 2 sen x + 3 cos x - 4 = °iii) esc x - cot x = x

Iv) sen x = 12v) 5 sen 2x

2- x - x

4 cos 2x = - 3

De acuerdo con la definición que henos dado~ las ecuaciones' i), ii)y. v) son ecuaciones trigonanétricas y las iii) Y Iv) no lo son.

Los siguientes conjuntos son ilustraciones de conjuntos soluciones deecuaciones trigonanétricas.

a) {x"1 sen x

{x I cos x{x I tg x

b)

c)

x e [o, 2Jx E[O, 2J

e.se.se.s

= r .sr,l 6 '

=f 3q(}" 2

= {'iT4 '

-15'-

E .1 E R e 1 C lOS

1.- En cada caso indicado hallar el área total:. '

a) Rombo de diagonales 10 y 20 cms respectivamente.b) 'Decágono regular de lado 10 cms y apotema 4 cms ,e) Prisma recto de 30 cms de altura y cuya base es un octágono ~e 8cms

de lado., 'd) Pirámide regular de altura (no de la cara) 20 cms y cuya base es un

pentágono de 12 cms de lado.eJ Cilindro circular recto de 25 cms de altura y diámetro de 4 cms.f) Cono circular recto de 25 tms de altura (no la generatriz) y radio

de la base 15 cms.g) Esfera de lO cms-de diámetro.

2.- Demostrar que:

a) Ix I < J ~Ix + 1 < 2x - 2- l x - 2 I 1,=91X2 - 4'1 <b) < 5

3.- Grafiquense las siguientes relaciones:

·h) ~ x - Ixl - y = o. {IX - 31 si xe) y = ,

, 5 si X' = 3:f 3

4.- Determine las raices racionales de las siguientes ecuaciones polinómicasaplicando el método de la división sintética:

a) 3 3x2 - 'x + 3 = Ox -

b) x3 + 2x2 - 5x - 6 = O

el x3 _ 8x - 8 = O

-16-

d) 2x3 - 3x2 + Sx - 2 = O

e) 32'8fi - 14x + 2x + 3 = O

f) 10x3 - 14x} + 3x + 9 = O

S. - Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, usando detenninantes.

a) 2x - y = 9. c) 3x - 2y - z = 8x - y = 7 x + y + Sz = 2

b) x y = 1 2x + 4y + 3z = 64x + 7y = S

d) 2x - 6y + z = 7

x - 2y + 2z + 63x + y + Sz + 1

6.- ~mostrar que:

x1 Y, 1 Xl Y1 Xl Y, x2 Y2x2 Y2 1 = +, x2 Y2 x3 Y3 x3 Y3x.. Y3.)

7.- Utilizando la Fig. (9) Y recordando la fónnula del área de un trapecio,demuéstrese que el area H del triángulo A B e en función de las'coor-_denadas de sus vértices es:

'f

) .

o oFig. t io :

E F

-1 7-

Xl )'1 1

H = área A D E e + área e E F B - área A D F B = 1 X2 Y2 "

X3 Y3 1

8.- Factorice las siguientes expresiones:

a)

b)

x4 _ (x - zy) 4

64 (x - y)2 - 36

25 (2x - 3y)2 - '16Z2c)

d) 1 6 664 - x y

e) ex _ y)3 + y3

8 x90.001 - y12

x6 - 7x3 - 8

f)

g)

2 2h), 6x + 13xy + 6y

9.- Racionalice el nume rado r :

b) {;- ~ 2x - y

~ 3x + ~ y"'

1/2

~x-y

-18-

d) ~2 (x + y) - 3 ~ ~ 2x - 3

2y

e) ~ (x + y) 2 - 1 - ~ x2 - 1

y .

f) ~x + 3 _.~

10. -

a)

b)

e)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

x

Desarrolle utilizando el teorema del binomio y simplifique:

(x _ y) 4

(x + 2y)5

(2 _ xy)6

(2p + q2) 4

(x1/2 + y1/2)3(x2y-l .+ x-ly2)4

(lx-l + l x)53 2

.:.

-1'9-

11 - Utilizando logaritmos calcule:

i) -26.452 x 10( 6.232 x 10-1) (5.328 x 10-4 )

íi) J 82.74( 0.8324)3

12.- Resolver cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales y 10-garí micas.

i) 53x - 1 = 2 x + 2

ii) 10g2 (x + 1) = 2 logz (x + 2)

iii) Y = loge (x ! ~xz - 1) ; v x~ 1

(1 + i)x - 1iv) s =1

13.- Usando la definición de radián, hallar el radio de una circunferen-cia si un ángulo de 18°12' 13" subtiende un arco de longitud 4 mts.

14.- Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

tg2A = sec2A - 1

A = cscA - cot Atg 2"A sen Atg 2" = 1 + cos A

tg 2A =

sen A + cos Asec A + csc A

sen A= -se-c-A":'""

csc A =sec A] + cot A1 + tg A

- 20 -

g) A cos A sen Asen 2 =2 2

h) - cos 2A = tg Asen 2A

i) cos 2A - cot 2A = tg A

j ) 2 tg A 2A= sen1 + tg2A

k) sen A - sen B tg A - B=cos A + cos A 2

15. - Dibujar una figura mostrando un ángulo A. Dibujar tam-bién e.i ángulo - A Y demostrar que:

3) sen (-A) = sen· Ah)

;;-cos e-A) = cos A

16. - , Resuélvanse los sIgu iente s triángulos, dados:

i) a = S cms b _' 7 cms c'= 1 O cmsii) a = 40 cms A = 60° B = 45°

iii) a = 1 1 cms b = 1 O cms e = 133 °

:17.- En cada uno de los siguientes ejercicios determinar el con-_ junto solución de la ecuaClon trigonométrica dada, entendiéndose que el universo de la variable es el conjunto de losnúmeros reales.

a) 2 1sen x = 4

b) t"g 2 1 +cos x x + .sen x' = sen x

,_ 2'1 _'

/

e) ,tg x cse2 ~ ~ 2 tg x ,= Od) sec x _ tg,x _ ese x _ eat x = O

4 42 Ceos x + 1 ~ sen x), = 3e)

-.

-22-

CAPITULO 11

INTROOOCCION....

1 • Geometría Analítica ..Las ideas fundamentales de Geometría Analítica se atribuyen al mate-

mático y fi16sofo francés René Descartes C1596-1650), en honor al cualtambién' se conoce esta materia, como Geometría Cartesiana.

En Geometría Analítica los métodos del algeóra se combinan con aque-llos de la Geometría Euclidiana para la soluci6n de los problemas geométri-co-analíticos. Mediante una combinaci6n de estos métodos se solucionanproblemas que no podrían ser resueltos por las técnicas de la GeometríaEuclidiana por sí sola.

Actualmente estos métodos. intervienen principalmente en las aplica-ciones teóricas ,y prácticas de la matemática.

2. Distancias dirigidas'.

Sean A Y B dos puntos SObre una recta Fig. ('11), y supongamos que ladistancia entre ellos es de 2 unidades.

Fig. (11)

Si deseamos, podemos decir que la dí.stancra desde A a B es t 2 Y quela distancia desde B a A es' -,2 e o viceversa}. De esta manera, cuandoacordamos medir segmentos en una direcci6n como positivos y aquellos endirección ,contraria como negativos, llamamos a la recta sobre la cual semiden estos segmentos rectas dirigidas y a las distancias, distancias dirigidas. Denotaremos la distancia desde A a B por A B Y la dí.stancia de B aA por B A. Entonces para el caso anterior A B = + 2 Y B A = - 2.

El valor absoluto de ABó EA e IA B I = lEAl), se llamadistancia no dirigida. Cuando se trabaja con distancias no dirigidas, lanotación se simplifica escribiendo: A B = B A.

-23-

_ Una propiedad fundamental de una recta dirigida, es 9ue si A, BY Cson.' tres puntos cualesquiera sobre e11~, entonces

AC = AB + BC

Demostraci6n:

De acuerdo- a las posiciones que ocupan los puntos A, B Y C sobre larecta dada se presentan solamente tres casos, los cuales se muestran enla siguiente Fig. (12).

A 8 e1er Caso:

8 r A2elo Caso: 1, 1,

e A B3er Caso:

-,.

Flg. (12)'

(11)Tanemoscomo direcci6n positiva la que se indica' en la siguiente Fig.

r

Flg_(IJ)

En, el primer caso: A B == A B, B C = B C A C = A C., ,

Pero la SUDa ordenada de estos segmentos nos indica que

AB+BC=ACde donde

AB+BC=AC

En el$égUndó caso: - 'A B. = B A, B Cr= B e, - A C = CA.

-,24 -

Como en el caso anterior, la suna ordenada de los _segmentos Fig. (13)es

B C +. C A = B A

de dondeAB+BC= AC

En el tercer caso: A B = A B, - B C = C B - A C = CA.. ,

De nuevo, la·suma ordenada de los segmentó s Fig. (13) es

C A + ,A B = C B

- A C + A B·= - B Cde donde

.AB+BC=AC

De esta manera, queda demostrado el teorema. Dejamos cano ejercicio·al lector' demostrar que el teorema anterior es válido si se considera ladirección contraria como positiva.

Simí.Iarmente, para cuatro puntos cualesquiera A,'B, C, y D es'verda-dera la proposición

A D = AB + B C + C Dy así sucesivamente. Esta propiedad tiene como consecuencia el si-

guiente teorema: Si A Y B son dos puntos sobre una recta dirigida, y siO es.un punto de referencia (origen) sobre la recta, entonces Fig. (1A).

A B = '0 B - O A

·0 + •·A B A B

Flg. (14)

-25-

cuando asociamos los números reales con los puntos de una recta comoen la Fig. (15), podemosconsiderar esta recta 'dirigida sobre la cual lasdistancias que -se miden desde izquierda a derecha, son positivas. Esta rec-ta se llama generalmente eje de números reales, y el número asociado concada punto se llama coordenada de ese punto. Esta coordenada es la dis-tancia dirigida desde el origen al punto, De esta manera D tiene coordenada - 3 ( O D = - 3) , y L tiene coordenada 4 ( O L = 4 ) , obsérvese que

o o L.

o 3 4 5 6-4 -3 -2 -f

FIg. (15)

O'D = 4 - (-3 ) = 7

y LD=OD - OL =-3-4=- 7

Es verdadero que,si P1 y P2 son dos puntos sobre un eje con coordena-das Xl y x2· respectiv;;unente, entonces

3. Coordenadas rectangulares.

Sean X X' YYy' Fig. (16) dos ejes de números reales con un ori-gen común, los cuales se intersectan en ángulo recto. A estos ejes losdesignamos por ejes de coordenadas rectangulares, siendo X X' el eje delas x y Yy' el eje de las y.

6 7x' x

·2-3

-4y'Fig.(16)

-26-

. .Por convención de signos, consideramos la direcci6n 'positiva sobre el

eje de las x hacia la derecha y sobre el eje de las y hacia arriba, ambasa partir 001 origen de coordenadas, que es el punto de Intersecc.íén dedichos ejes.

.Sea P cualquier punto en el plano de los ejes. Su distancia dirigi-da desde el eje y se llama coordenada x o abscisa. Esta distancia esigual al segmento dirigido O .A Fíg. ('16). Similannente, su distancia diri-gida desde el eje X, se llama coordenada y u ordenada. Esta distancia esigual al segmento dirigido ~ Fig. (16). ~La abscisa y ordenada juntas sellaman coordenadas rectangulares de P. Cuando escribimos las coordenadasrectangulaJ,"es de un punto, las separamos por una CCJDa y las encerramos en-tre paréntesis colocando la coordenada x de primero o sea que, las repre-sentamos mediante un par ordenado. De este modo, las coordenadas de P Y QFig. (17) 'se' escriben P (2, 4) Y Q (- 1, -2)

y

-2 -1. , O 2 3 JC-4I -¡I1

Q~-- -2

-3

FIg.O';

El proceso de localizar y marcar un punto cuyas coordenadas son cono-cidas se llama' plotear un punto, El ptoteo de los puntos. se hace mucho másfácil con el uso de un papel llamado -pa~el de coordenadas rectáJigúlares quees un papel- dividido en pequeños cuadra os, cano se .muestra con algunos -ejemplos de ploteo de puntos en la Fig. (18).

-27-

r

-

(-3,3)

B- (2,2) -

A(-2,0) (2,01 (4,0) X

-- -- --

._h~,·2

-- ._--(-3,0)

(-4,-4)

. -

ri« (18 J

Aunqueel uso de este papel no es absolutamente necesario en el estu-dio de la GeometríaAnalítica, una figura exacta cano la proporcionada coneste papel es de gran ayuda comouna verificación de los cálculos algebrai-cos. De todos modos, el estudiante deberá desarrollar el hábito de dibujarfiguras aproximadamenteexactas, con o sin el uso del papel de coordenadasrec tangulares .

De la gráfica de los puntos ploteados anterionnente, podemos.observarque existe una'correspondencia un~ a uno entre los pares ordenados de núme-ros reales y los puntos del plano de c~rdenadas rectangulares o ~ea que,acada par ordenado de númerosreales (x,y) le.corresponde un punto único delplano, y a cada punto del plano le corresponde un único par ordenado de nú-meros reales (~,y).

Los ejes de coordenadas dividen 'el plano en cuatro partes llamadas cua .drantes , los cuales se denominanpr imero, segundo, tercero y cuarto cuadrante respectivamente.

La Fig. (19) muestra cada uno de los cuadrantes e indica el signo delas coordenadas'en cada uno de los mismos.

-28-

(-,+) (+,+'

x

II I

(-,-) (+,-)

ia IJl

Fíg. (19)

4. Proyecciones. Longitud de un segmento de recta paralelo a un eje coor-denado.

La proyección de un punto sobre una recta es el pie de la perpendiculardibujada desde el punto a la recta. En la Fig. (20) la proyección del puntoA sobre la recta r es el punto A' ; la proyecci6n de B es B' .La proyección del segmento A B es el segmento A' B' •

y

. ¡ x

Fig. (20) rt« (21)

En la Fig. (2J) los segmentos MJ M2 Y NJ NZ son las proyeccionesde p] Pz sobre los ejes'X y Y respectivamente. Las longitudes de estasproyecclones son

y ONJ = YZ-Yl

-29-

Estas f6nnulas son válidas para todas las posiciones de. De este modo~la longitud de la proyecci6n de A B Fig.

eJe X es 2 - (- 2) = 4.

r'J '( P 2 •(18) sobre el

Es conveniente'considerar como direcci6n positiva de cualquier seg-mento que es paralelo a un eje de coordenadas, la misma que la del eje enconsideraci6n. La longítud de tal segmento es entonces la misma que lade su proyección sobre el eje. Así,en la Fig. (22) la longitud P, P2es

Fig. (22)

P'(X,IY,)

Similannente: .

P3 P4 = N3 N4 = O N4S. Fórmula de la distancia.

o x

Para determinar la fórmula de la distancia errtredos puntos_P, (x" Y,) y P2 (x2, YZ), trácese una paralela al eje X por P, y otraparalela al eje Y por P2, como se muestra en la Fig. (23)~ las cualesse intersectan en un punto M cuyas coordenadas ~on (xZ' Y,) (¿ por qué?·;•Del triángulo rectángulo P1 PZ M que se forma Y aplicando el teorema dePitágoras, tenemos

·30-

yIII112 .. '1,

\. ....' t~, I- ----- -'-"M

X2- X,

1I..---- --------

N x, - x2

x

I1II

'12 -Y,IJ

Pero: Fig. (2~)

'P ~ =1

M Pz = Yz - Yl

Sustituyendo en la expresión (1), se obtieneZ Z Z(P1 PZ) = (:XZ-xl) + (yZ - Yl).

Y si designamos por ~ la distancia no dirigida entre P1 Y PZ,entonces

I d= V (xZ - x11Z + (yZ - Yj)Z I (Z)

Esta fórmula es también verdadera independientemente de los cuadrantesen que se hallen los puntos localizados y del orden en que ellos sean cons~der~os. Por ejemplo, la distancia positiva N Pl = Xl - Xz = - (feZ- Xl) Yla distancia positiva N Pz = Y2 - Yl' ya que estas distancias se miden enlas direcciones positivas de los ejes. Pero (:Xl- xz)z = [- (xZ - Xl)] 2.=

= (xZ - Xl)Z con 10 que la fórmula expresada por (Z) permanece igual.

Ejemplo 1

Encontrar la distancia entre los puntos (~, - 3) Y (- S, lZ)

-31-

So1uci6nConsiderando los puntos en el orden dado, tenemos

d= V-c - 5 - 4) 2 + (+ 2 + 3) 2 = {306 = 3 y;;Considerando los puntos en el orden inverso,

d= ve4 + 5) 2 + (- 3 - 12) 2 = ~ =

Ejemplo 2

Las vértices de un triángulo son A (1,1), B (3,1 + 2 ~ Y C (5,1),Demostrar que el triángulo es equilátero

Soluci6nDe la Fig. (24)

V (3 -AB= 1) 2 + C( 1 + 2 {3)- 1J 2 = 4

AC= V(5 - 1)2 + ( 1 _ 1) 2 = 4

B C = Ve3 - 5) 2 + [e 1 + 2 '13)- 1J 2 = 4

Como A B = A C = B C queda demostrado que el triángulo A B C es equi-látero.

y

o x

rt«. (24)

-32-

E.jemplo 3

. Hallar el punto de abscisa 3 cuya distancia al'punto ( - 3, 6) es10 unidades. -Solución.El punto. cuya ordenada se pide, se·halla sobre la vertical A B Fig. (25).

Usando un compás y con centro en e (-3,6); tracemos 1m arco de circunferenciade radio 10 unidades, el cUal corta a la vertical A B en dos puntos D Y E. .Entonces,puede observarse.que existen dos puntos que satisfacen la soluci6n .del problema. ¡' A

e (-3,6,,---;-III1II

Fig. (25)

Aplicando la fórmula "de la distancia, tenemos

36 + y2 12 Y + 36 100=

2 12 Y - 28 o.y =

(y 14) (y + 2) = O

. . Yl '= 14 Y Y2 = - 2

Luego, la solucí.ón pedida son los dos puntos de coordenadas C.3,- 2)Y (3, 14).

Ejemplo 4.Demostrar que los puntos A ( - ¡,-4) , B (.o, - 1) y e (3, 3) se

hallan sobre misma recta o sea que, son col ineales .

-33-

SoluciónDe la Fig. (26)

x

Fig.(26)

AB V (- 9 0)2 + (-4+1)2 15= 4" - = --4

B e = V( o - 3)2 + (- 1 _ 3)2 = 5

A e = V (- t - 3)2 + (- 4 _ 3)2 35= -4-

Como A e = A B + B e queda demostrado que los tres puntos A, B Y Cson colineales.

6. Punto de división de un segmento de recta.

Sea r una recta que no es paralela a los ejes de coordenadas.rectlíngu-lares, y sea Pi (xl' Yl) y P2 (x2' Y2) dos puntos cualesquiera sobre r.Deseamos hallar las coordenadas (x, y) de un punto P~ divida al segmento

P, Pde recta dirigido P, P2 en una razón dada k = __ Para ello

P Phabría que considerar ocho casos diferentes según 2 las posiciones quetengan los puntos P, y P2 sobre el plano X Y. Estos casos son:

ler Caso:2do Caso:

3.er Caso: ' xl > x2f , Yl < Y2,

4to Case: xl > x2 , Yl > Y2

Sto Caso: xl =x , Yl < !226to Caso: xl = x2 , Y, > Y2

7mo,Caso: x1'< x2 , Y'1 = YZ

avo Caso: x,. > XZ, , Yl = Y2

De estos casos s'Olo consideraranos el primero Fig. (27) Y los res-tantes se le dejan como ejer~icio al lector.

v

p(~,y)I .IIIII

I

Pa(XuYa)IIIIII1IIIIJI

Pi ,-- - -,--- --- -----

p. --------

o P.'I P' P'. t x

Flg. (27/

Consideremos las respect.í vas proyecciones de los. segmentos dirigidosPjP y, P ~2 sobre los eJes' coordenados, las cuales son: Pj- p,. 'Y P' Pisobre ~1 eje X Y Py pu Y P" Pz sobre el eje Y. Aplicando el teoremade Tales de la GeOOletría elemental, las tres rectas paralelas P1 Pi ' P P'Y P2 Pi' 'ínterceptan ~~&mentosproporc.íonal.es sobre las dos transversal.esP, P2.',,y 'P1 Pi· Entonces,podemos escribir

--35-

PI' PI'1 (3)= y =

P" P"Z

Pero Pi P = x - Xl , pe. Pi = Xz - x , Pi'P" = y -:Yl ' P" Pz =

= Yz - y, y =. k. Sustituyendo estos valores en (3), te-

n~osx ~ x 1k =--_...:...Xz -- X

despejando a x y .a y, obtenernos

xl + Xz ~J\ = 1 + k Y- y -

Yl + YZ k1 +-k

entonces, el punto P tiene por coordenadas·c = xl" Xz k. x 1 + k _ - , y = Yl + YZ k )1 + k (4)

Ejemplo 1 .

Hallar las coOrdenadas de~ punto P sobre la recta r que pasa por lospuntos Pl (2-, -3) 'y Pz (5, 9) Y que divide al segmento de recta P, Pz en

--P1 Puna razón k = = 2

P P2

Solución

Aplicando la fórmula (4)

.X = 2 + 5 (2)1 +- 2 =·4 -y y = 3 + 9 (2)

, + Z = 7

Ejenw1o:2

Encontrar las coordenadas del punto P sobre una recta r que pasa porlos puntos ~l -(1, 9) y P2 (- 2, ~) y que divide al segmento de recta P, P2

-36-

en tma raz6n k·= = - 4

Solución

Aplicando _la f6rmu1a-(4), resulta

( i +. e - Z) ~t- A)·. - 4 ?

Este punto p y los. dados9 + 3 (- 4)) = e -5, 1)- 4

están dibujados en la Fig • .(28) • .N6teseque el punto P está fuera del segmento.·P1 PZ' porque la razón. k es negativa

y

I

II-- - -+._--,I

o x

.Fig. (28)

7... Fónnula del plDltomedí.o. :

Las c.oorde~adas ex'- y) del punto medio ~e un segmento de recta detenni"-·nado.por los p~tos. P, (xl' Yl) Y Pz (xZ ' YZ),están dadas por las siguientes expres.íones;

y

Estas ·eXpresiones se obtienen'sustitUyendo en (4) a k por! ya que ¡asdi$tan~ias P P1 Y Pz P so~ iguales.

-37-

Ejemplo 1

Sea (Z,4) el punto de un segmento de recta j (6,10) las coor-denadas de un extremo de dicho segmento I1allar las coordenadasdel otro extremo.

Solución

Denotemos por P el punto medio, por P1 el extremo conocido y por Pzel otro extremo Fig. (Z9),cuyas coordenadas (xZ ' yZ) se han de hallar.Usando la fórmula del punto medio, resulta

Z =6 + Xz

Z y10 + yz

4 = -- --Z

de donde'= - 2 y Yz = - Z

yP(6,IO)II

I. III1IIIII(I

x

Fig. (29)Ejemplo Z

Un diámetro de una circunferencia es el segmento de recta que une lospuntos A (- 2 , S) Y B (6 , 1). Determinar analíticamente si la circun-ferencia·pasa por el origen de coordena~s.

SoluciónComó el segmento de recta A B Fig. (30), es un diámetro de la C1T-

cunferencia, entonces el ptmto medio es el centro de ella. La?

-'38-

coordenadas de este centro .se determínan usando la f6nnu1a del punto medio,las cuales son:

-X = - 2 + 62 = .2 y y = 5 + 1

2 = 3

y

A(-2,5) _IIIIII

: -- -- ---- 18(6,1)

o ' x

Flg. (30)

Para que la circl.IDferenciapase por el origen de coordenadas, la dis-tanci~ del 'centro a dicho origen debe ser ,igual,a,la distancia del centroa.uno de los puntos A o B. Ap1icarldo la .fórmula de la distancia y desig~do por e al centro de la circunferencia, tenemos ' -

o e ,= V (2, -' O)2 + (3 O)2

V (2 +' 2) 2 + (3 - 5) 2

=f13=¡;AC=

Por 16 tanto, como O e 1 A e la circlDlferencia no pasa por el ori-gen.de coordenadas.

Ejemplo 3-,

Encontrar las'coordenadas del cuarto vértice D de un par~e10gramoteníendo a A (- 3 , - 11 B C:- 5 ,5) Y C (4 , 8) 'COlOO tres-de susvértices'.

- 39-

Soluci6n .

:El punto cuyas coordenadas se piden se halla sobre una paralela E Fal lado A B del paralelogramo A BCD Fig. (31) '.

E

B(-5,5) .

IIIIII

Ir(

xFlg. (.JI)

. Utilizando un compás y con centro en e (4 , 8), tracemos un arco decí.rcunferenc'ía de radio igua.la. la longitud del segmentoA B, el cualcorta a E F-en los puntos D y'D'. Entonces,se ·oóservará que hay dos pun-tos que satisfacen la solución del problema: . -,

Por una propiedád del paralelogramo ( los lados opuestos son con-guentes), las dístancías A B Y D e $011 iguales y tambieÍ1las dístancíasA e . y B D. Aplicando la fónnula de las distancia

=2(y - 8) (1 )

, y también

V (4 + 3) 2 + (~ + 1) 2 = v (x + S) ~ + (y ,- 5) 2 (.2)

De (1) Y (2):'

40 = 2.- 8x + 36 + Y2 16 Y + 64x -

130 = 2 + 18x + 2S + y2 -10 Y .+ 2Sx

(3)

(4)

-40-

Restando (3) de (4),' resulta

y = 20 - 3x (5)

Sustituyendo (5) en (3), obtenemos

40 = x2 - 8x + ] 6 + (20 - 3x) 2 - 16 [20 - 3x) + 64

O = x2 - 8x + 12

= 6 y x2 = 2

Sustituyendo estos valores de x en (S), tenemos

= 2 y x2 = 14

Luego, la soluci6n pedida son los dos puntos de coordenadas (6 ,2) Y(2 , 14). . .

-4.1 -

E J'E'Re'I e lOS

lo En .cada uno de los siguientes casos, encontrar las coordenadas delpunto P.que ,divide al segmento de' recta A B según una raz6n k.

a) A (2 , - 4) B (8 12) , k ::: 34

b) A (",3 , 6) B (7 - 8) k = 1, 3'

c) A .( - 9 , - 6) B (1 4) k = 1'5

"d) A (8 , 6) B (O - 2) - k= 5, 6, 2e) A (_' 4 , 6) B (11 , 1) k= !

f) A (O , 7) B (7 , - 2) k = 3'1

2. En 'cada uno de los siguientes -casos.encont rar las coordenadas de I pun-to medio del segmento de',recta A B. Dibuje el segmento de recta' dado ymuestre el punto pedido.

a) A (- 8 , 2) B (- 2 , O)b) A (O , 4) . B (4 2)t, ,c) A (- 4 , - 6) B (- 2 - 4)

d) 'A (O O) B (- 4 8)e) A (4 , O) B ,(O , 6)

3. 'Encontrar,las coordenadas de los puntos que dividen el segmentoA (- 6 , - 3). , 'B (3 , ,1) en tres par,tes iguales.

4. Dibujar .eI triángulo A (- 3 , - 4),,' R (6 , - 2), e (3 , ~). Bncon-trar las coordenadas del punto sobre cada mediana. (recta 'que pasa por unvértice y el punto medio del lado opuesto a éste) ~e está a dos terciosdesde él vértice, al punto medio de su lado opuesto.

-42-

'~!i~' Demostrar, que el triángu1(y de,'vértices, (1 , 3) , (3 , - 1) y(- ,S' , -.5)., es, un triángulo rectángulo. ,

6;, -DemoS,trar,queel triángulo de vértices. ,C- 1 " O) ,(7, - 8) ,Y( -' 2 , - 9) e?' isQsce'les. '

.7.-, Demostrar que e (O , - 3) es e.1 centro .de ,la ciramferencia uno de'cuyos diánietros es 'el segmento de 'recta determinadopor los puntosA :':(- ~3 , -' 3) ,;' B (3 , - 3).. '. ,

8~ -Dos vér táces de un triángulo equilátero son A (O ,,6), _Y -B (10, 4),encontrar las coordenadas -del tercer vértice. '

,9.' Enoueritre las coordenadas del' punto sobre el eje x que equidista de,P -(- 4 "Q),:y 'Q e 14 , -,2).

10. Las dos coordenadas de un punto son iguales, Y el punto equidista deA, (- 6 ~ 4) y. B '-e2 ,- 8). -,,¿Cuáles son esas' coordenadas? . '- ,

11~ La' ordenada deúnpuntoP es dos veces la aascisa, .Bste punto P, equidista ,d~ ,_A (-, 3 , 1"), Y B (8 , - 2).., Hallar sus coordenadas.

12., : ¿CuáleS de, los ságuíentes .puntos equidistan de Ios puntos A (- 1 " '31,y"B (2, ; O)? • ' ,

a)

'b)

.e):

, d)

,el-

',e - 2 ",-' 1),1' 3e 2"' 2 ,)

( 3, " 3)• oo.

e _7 , 9)

e 13" 1,4)

:1.3\' ¿Son los .tres puntos A e - 4 " -6}, B e 1 " Ol , C (.11 , 12)cofíneates? ' ' " ' ,

14. Hallar, el', número, real K de modo que los' puntos-A ,(fl,. Ol,. B: (K,j-Q) yC,;(.P:-~"'-6Lsean-1os vért.íces 'de un triánguJ.o rectángul.c.con ángulo recto','en "C. ' ,

- 43 -

15;- El segment o de recta que une A (3, - 3) Y B (':'3 , 5) seextiende hacia cada extremo de una longitud igual a sulongitud original. Halle las coordenada~ de 1ós ..nuevosextremos.

16.->- Los puntos medios de' los lados de un triángulo son (2, O),(4, 1) y '(3 , 4). Halle las coordenadas de los vértices.Sugerencia :'La recta que une los puntos medios de dos lados de un.triángulo b í sec t a la',medida del tercer lado.

17.- Demostrar que las diagonales de un paralelogramo sebisecan.

18.~ Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son los -pun t os e3, 2), e4, -3),y- c: - 2, O) o

19. -, ·En ~1 triángulo r'ect.ángulo cuyos "\lérticesson (2, - 2) ,(-8, 4) Y (~, 3}, demostrar ,que el punto medio de la hipo-tenusa eq_uidista de los tres vértices o,

2Q. - Sean A (3' 5) 'H. L-~, 6) C (1 , - 4) los ... , <. de, ,.- " y vertlces untriángulo. Si P es. el punto medio de,A C y Q es. el punto.medio de B. C, verifi.car que P Q = A B

. 2

-44-

CAPITULO 111

LA LINEA RECI'A

1.- Lugar geométrico de una ecuación.Uno de los problemas principales de la Geometría Analítica es dada

una ecuación, hallar la representación gráfica de dicha ecuación. Supon-gamos que se nos da una ecuación. en dos varia.bles, de la forma

f (x, y) = O (1) .

Existen infinitos puntos o pare.s ordenados de números rea-les que satisfacen esta ecuación. La proposición anterior con-duce a la siguiente definición:

DefiniciónEl conjunto de todos los puntos que satisfagan una ecuación ( 1 ) ,

se llama lugar geométrico o gráfica de la ecuación.El procedimiento para hallar el lugar geométrico de una ecuación de

la forma (1) es:1) Construir una tabla de valores x, y, dando valores arbitrarios

a x ,y calculando las correspondientes y

2) Dibujar los puntos (x, y) obtenidos en el paso 1 en un sis-tema de coordenadas cartesianas.

3) Unir cuando sea posible, los puntos obtenidos en el paso 2, me-diante un trazo suave y continuo.

Ejemplo]Hallar el lugar geométrico de la ecuación x + y 2 = OSoluciónDando valores arbitrarios a x, y calculando las correspondientes

de_r, se obtienen los pares ordenados (puntos) que figuran en la tablasiguiente

x 1-: 1-: 1: 1; 1: I-~y

-45-

Díbujemos estos pares ordenados sobre un sistema de coordenadascartesianas y·unámoslos mediante un trazo suave y continuo tal comose muestra en la Fig. (32)

y

o . x

Fig, (32)

Como se podrá observar el lugar geométrico. es uná línea rectaEjemplo 2

Hallar el lugar'geométrico de la ecuación y = x2 - 1.SoluciónProcediendo de la misma manera que en el ejemplo anterior, tenernos

x 1-21t l' 12

y 3 o -, O 3y

)(

Fig, (J.1)

La Fig. (33) representa una parábola.

-46-

2.- Angulo de·inclinación y pendiente de una recta.

Def'ínící.ón.

Si r y r2 son dos rectas que se intersectan, el ángulo des-de r1 a r2 es él ángvlo de menor medida positiva teniendo su'lado ini-cial sobre r1 y su lado tenninal sobre r2 . En e1 caso de que r1 y r2sean paralelas, el ángulo desde r1 a r2 se define' como el ángulo de me-dida cero o nula.

En realidad, hay dos ángulos desde r1 a r2 que satisfacen ladefinición anterior, los cuales son el ye2 Fig. (34). Semejantemente,hay dos ángulos desde r2 a r1 que son 01 y O2,

Fig. (34)

Ya que el = e2 y .0] = O2 ' podemos considerar a el o 82,como el ángulo de r] a r2 y 01 o 02 como el ángulo de r2 a "i

De la definición se sigue que, el ángulo desde cualquier lí-nea recta a ~tra es o O~ o un ángulo positivo de medida menor que '80°.Nótese también que si r1 y rZ no son paralelas, la suma de las medidasde los ángulos desde r1- a r2 y desde rZ a,r, es 180° (En la Fig. (34),81 + 01 = 180°)

DefiniciónEl ángulo desde la parte positiva del eje de las x a la recta

r Fig. (35 ), se llama ángulo de inclinación de la recta r.

-47-

Obsérveseque, si Xi e~una recta paralela al eje X, el ángulo des-de XI a r es también el ángulo de inclinación de r ,

y y

x'

x'

Definición. FI,. (35)

La pendiente m de una línea recta r es la tangente de su ángulo deinclinación e

m = tg 9

<bsérvese que si 9 = 90.°la recta r es paralela al eje Y y comolatangente 'de un ángulo de 90.°- no existe; se dice que dicha recta no tienependiente, Si la recta r ' es' paralela al eje X, entonces su pendiente esnula acero: Nótese también ~e si el ángulo de -íncl.ínacíén 9 €(o,1t'2),entonces.,mes un númeropesat ívo.y si 9 E (~,'Tf), entonces m es unrnme-ro negatIvo.

La de finí.cién anterior de pendiente implica que' dos rectas con un .mismoángulo de inclinaci6n, tienen la mismapendiente y viceversa, osea 'que: 91 = 92 < >, 'mj = m2

Ejemplo1

Dibujar la línea recta que pasa por el punto p, (4, 3 ) Y tienependiente 2

'3

-48-

Solución

Solamente es necesario mover 3 unidades a la derecha de P y Iuego2 unidades hacia arriba para obtener el punto Q (7, S ) Fig. ( 36 )

La recta pedida es entonces, la que pasa por los puntos P y Q.

y

x

Fig. (36)

Ejemplo 2Dibujar la línea recta que pasa por el punto P ( 3 , 2 ) Y tiene

d· 3pen lente - "2 •

SoluciónMover 2 unidades a la izquierda de P y luego 3 unidades hacia arriba

para obtener el punto R ( 1 , S) Fig. (37). La recta pedida es laque pasa por los puntos P r R.

y

- R( 1,5)I

loI~1_.J_-+ _ P(3,2)I 11 I

1o x

Fig. (.J?)

:'49-

3.- Pendiente de' lIDa recta en términos de las coordenadas de dos¡?tmtos.

Teoremá.Si P1

quiera sobre unala pendiente de

( x1 ' Y1) Y Pz (xZ' YZ) son dos puntos cuales-recta r no perpendicular al eje de las x~ entoncesr es

m =

Demostrac ión:

Consideremos la recta r pasando por los puntos P, (x1,Y,)y Pz ,( xz ' YZ) tal como se muestra en la Fig. (38') y sea e elángulo formado por dicha recta con la dirección positiva del eje de las x.

Supongamos que yz ~ Yl , o sea que P está encima de p2 1

Por PJ tracemos unos nuevos ejes X' y' . Las c co r dc nn d a ~ dePz con relación a estos nuevos ejes son (P 1 Q s . P',-H) .

y

r

ttIII

R~- -

9

.1 XII

_______1------_Q x'

Fig. (38)

-50-

De este modoP, .Q

m = tg e =P, R

ya que P1 Q = x2 - x, Y Pl R -. Y2 - 'Yl

entonces, tg e Y2 - Ylm = = x2 - x1

Supongamos ahora que y2 ( Y 1 ' siguiendo lID. procedimiento seme-jante al anterior, se demostraría que

y, - Y2Xl -. x2

m = tg e =

pero:

=

Luego, la fónnula para la pendiente de una recta 'en ténninos de lascoordenadas de dos puntos Pl y P2, es independiente de las posiciones re-lativas de e~tos puntos o sea que,la fórmula es válida para todas lasposiciones de Pl Y P2, teniendo en consideración que Xl F x2.

Ejemplo 1

Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3, - 2 )Y e s, - 1 )

Solución

m = -2-(-1)= 13 - 5 "2

Ejemplo 2Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa

por los puntos' C.3 , 2) Y e 4, 7 )

::51 -,

Soluci6n

m = 7 - 24 - 3. = 5

Luego e = tg - 1 5 = 78. 69°·

4.-, Rectas paralelas ..

Teorema.Dos rectas son paralelas si y s610 si sus pendientes son

las mismas.

Demostraci6n:La demostrací.ón de este teorema es trivial Sl se aplica la defi - .

nici6n de pendiente a cada una de las rectas.

5.- Rectas perpendicúlares

Teorema.Dos rectas: son perpendiculares si y s610 si la pendiente

de una es la recíproca de la otra con signo contrario (o si son paral.e-las al eje X y al eje Y, respectivamente ).

Demostraci6n:

Sean m] y mZ las pendientes de las rectas r] y rZ éomose ~es-tra en la Fig. C. .39} Y el y e2 sus ángulos de inc1inaci6n. De la fi-gura:

y

x

Fig. (39)

-52-

e = e + 90°2 1-

tg 92, ~ tg ( 81 + 90°) ,

Sen ( 81 + ~OO)tg ez =' ,-cos ( ~1 +, 90°)

sen '81 cos 90°+ ~os 81 sen 90°tg 82 == cos 81' cos 90°- sen 81' 'sen 90°

cos 81sen 9,1tg e -,2 = .,: cot ,8

1

1= - ,~-:::-tg 8,

1

o ='_ 1

Ejemplo'l

, Demostrar utiLi zando el concepto de pendierite que lospunt os A. (8,,5) , ',B (5",1) y C (4,8)" son los vértices de untriángulo rectángulo.

Solución Fig. 140).' y

I1I

----:...-1III

, J_____ L

,1

_,Dibújense 10~puntos A, B, C

mAR 5 r- r 4~ =8 - 5, ·3

m A.C -= 5 - 8' = - 3,8 - 4 4"

o x.. .. m,._!_. =. . ',' \ AB

1 . -Fig. (40), 'mXC

La expTesió~ anterior ,demuestra que los lados AB y AC' son perpen~ddculares-y por lo tanto, el triángulo ABCes rectángulo.

-53-

6.- Ecuación de un lugar geométrico.

Al empezar este capítulo consideramos el problema de determinar lagráfica de una ecuación dada. A veces es necesario considerar el problemarecíproco, el cual constituye el segundo problema fundamental de la Geome-tría Analítica: dada una curva, definida por ciertas condiciones geomé -tricas,. encontrar su ecuación.' .

Definición

Se llama ecuación de un lugar geométrico plano, a una ecuación de laforma

f ( x..y ) = O , .donde f es una función en dos varia-hles con las siguiente~ dos condiciones:

1) Si P ( x, y ) es un punto del lugar geométrico, entonces ( x, y ) sa-tisface la e~uación de dicho lugar geométrico.

2) Si ( x, y ) satisface la ecuación del lugar geométrico,entoncesP ( x, y ) es un punto del lugar geométrico.

El procedimiento para hallar la ecuación de un lugar geométrico es:1) .Supon~r que P ( x, y ) es un punto cualquiera del plano que satisfa-ce las condiciones geométricas dadas.2) Expresar algebraicamente la condición o condiciones geométricas da-das mediante una ecuación en las variables x e y..-'

3) Reducir a su mínima expresión la ecuación obtenida en el paso 2.

Ejemplo. 1

Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P ( x , y )del plano que equidistrul de los puntos A ( 1 , 1 ) Y B ( 6 , 3 )

SoluciónSea P ( x , y ) cualquier punto en el plano Fig. (41') que equidis-

ta de los dos puntos dados y sean d1 y d2 las distancias AP y PB res -pectivamente. Expresaremos la condi.ción geométrica dada mediante una

-54-

y

8(6.3 )

x

Fig.(4t)

ecuación, la cual es

v c. x - 1 )"Z.+ ( y - 1 ) Z

<I, = dZ -------------------= V( x

xZ - Zx + 1 + yZ_ Zy + 1 = xZ 1Zx + 36 + y2 - 6y + 9

10x + 4y -. 43 = O

Ejemplo2

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P ( x, y )del plano cuya distancia al punto e (Z,3) es 5.

Soluci6n Fig. (42).

I

I1I\

. \\

y ....-- -- ..." "" "

/ 'I \

--~(,.'I,C"(2.3) J

I /I

p e = 5

I

x

V(X-2)2+(Y-3)2rs«. (42)

= 522 2(x - 2) + e y - 3 ) = 25

-55-

Ejemplo 3

Determinar la ecuación del lugar geométrico de m punto P (x , y)del plano' que se mueve' de manera tal que, las dtstancías desde .díchopun-to a-ola recta fija .x ;z: - 1 Y' al punte fijo F (1 ,. O), son .i~les.

Fil. (43)

PF IN

V(X+lj2 + (y_y)2Ve. x ~ 1 ) 2 + e y - d ) 2

x2 _ 2x + 1_+ y2

y2

y2 _ 4x

=

= . x2 + 2x + 1

= 4x

= o

Ejemplo 4Encontrar la ecuación del lugar geanétrico de los puntos P (x , y )

del plano tales que , la suna de sus distancias a Ios puntos F C 5 , O ) Y•

P'·. e-s , o ) es 12 ..

'Solución Fig. (44)

pp. + pp' = 12

v'C..x + S ) 2 + e y - o ) 2

ve x + S ) 2 + y2 = 12

+ VCX-.5.)2 + Cy .. O)2 = 12

V C. x - 5 ) 2 i' y2

-56-

y

F(S, O) xo

Flg.(441

( x + 5 )2 + y2 = 144 _ 24 V ( x-S ).2+ y2 + ( x-s )~ + y2

X~ + 10x + 25 = 144 - 24 V( ~ - 5 )2 .+ y2 + x2 ..1Ox ~ 25

V . 2; 2( x-S) + y =24 144 - 20x

576 [ 2 2](x-S) +y + 20736 - 5760x + 40Ox2

576x2 - 5760x + 14400 + 576y2.= 20736 - 5760x + 40Ox2

176x2 + 576y2 - 6336 = O

7.- 'La línea recta.

DefiJW:i6n

La línea recta es el lugar geanétrico de todos los puntos del.planotales que, la pendiente del segmento de recta detenninado por dos cuales-quiera de sus puntos es siempre la misma. .

8~- Ecuación de la línea recta.La ecuación de tma linea recta r es una ecuación en x e y con las

.siguientes dos propiedades:1) Si el punto P (x,y) está sobre r,entonces P (x,y) satisface la ecua-ción de r.2) Si P (x,y) satisface la ecuación de r,entonces el pmto P (x,y) estásobre r.·

Ba.- Foma PlDlto - pe~diente~.

Supóngase que conocemos la pendiente m de cualquier segmento de rec-ta determínado por dos puntos sobre la recta y un punto sobre eHa de coor-denadas (x1 ' y1). Se désea encontrar una ecuaci6n 'e.n.x e y, que sea sat.í sfecha solamente por Las coordenadas (x,y) de cada punto sobre la recta. Seprocede de la manera siguiente Fig. (4S).

Si P (x,y) ,es cualquier punto ~n el plano y sobre la recta, entoncesla pendiente del segmento de recta que une a, P con el punto ,(x1 ' y1) esy - Y1x _ x .' la cual es igual al.nÚDero dado m. La ec_uaci6n deseada es. 1

y - Yl = mx - x1o y - Y1 = m (x - -x )1

La cual cumple con las· condiciones 1) y 2) de_la secci6n 8 anterior( ¿Por qué?). '

o

'1- '11

l'-X,

y

Fig.(45/

Ejemp19

. De'ternrínar la ecuaci6n de la recta que pasa por el punto (2,1) Ycuya pendiente es 2.

'Soluci6n

y. - 1 = 2 (x - 2)Y - 1 - 2x - 4

O = 2x - y - 3-

-58-

8b. - Fonna pendiente - intersecto.

_. . Si una recta intersecta el eje Y en (O,b) comoen la Fig. ( 46 ),entonces b se llama y - intersecto de la recta... .

.. La ecuación de la recta en ténninos de su pendiente m y su y - ·in-t;rsecto se obtiene. sustituyendo el punto (O,b) por el (xl' Yl) en la -fonnula punto - pendiente. El resultado es

y - b = m (x-O)

y=mx+bJy

Luego

y=mx + b

o x

Fig. (46)

Ejemplo

Hallar la ecuaci6n de la recta cuyo y- intersecto es -4 y dependiente:' 2/3.

Soluci6n

2 + C. -4 ,)Y = - IX_ - 2x - 12Y = 3

3y =, - .2x - 12,O = 2x + 3y + 12·

8c.- Formade los dos puntos.

Si la recta es·tá detenninada por dos puntos sobre ella de coordena-

-59'::

das ~(X1 ' '11) y (xz ' Yz), se.puede hallar, su pendiente ( si x1 ~ Xz )por la f61'Dlllla

m =

La ecuación' que se. pide .~de .obtenerse usando uno de 1QS puntosdados. y la pendiente determinada por la f6I111u1a anterior Fig. (47) •El resultado es'

y - Y,= YZ - ·Y1

x - s.¡ Xz - xJ

o también

.Y - YZ YZ .-. Y1= y.

x - Xz Xz - x. 1,·

o

EjemploFig. (47)

Hallar la ecuación de. la recta que pasa por los puntos (3,4) .Y~,n I

Solución

y - 4

x - 37 - 4 .=.....---5 - 3

-60-

y -::: 4 3=x - 3 2

2y - 8 = 3x 9

O = 3x·- 2y - 1

o tamb Ién

'y - 7 7 - 4=x - 5 5 -- 3

Y - 7 3= -x - 5 2

2y - 14 = 3x - 15

Q_==.3x- 2y - 1

8d.- Forma de los intersectos o forma simétrica.

La Fig. (48 ) muestra una recta intersectando el eje X en (a,O)Ye1 eje Y en (O,b).

Los núneros a y b .se llaman x e y - mtersectos de la recta respec-ti vamente. Si ninguno de estos nrmeros a y b es ce~o, se puede detenninarla ecuaci6n de la recta como s~gue;

b - O b a 1 Om :: =O - a a

Uti í izando la forma punto - pendiente, resulta-

Q b a )y "' = - - ( x -a. .

ay = - bx + ba

bx + ay = ba

Dividiendo los tres ténninos de la expresi6n anterior por ba, se ob-tiene

I ~ + t 1 a # O , b , O

...6t-

y

x

EjemploFI,. (411)

.Hallar la ecuación de la recta que corta el eje Xen x = 7 Y al ejeYeny=-.2 .

Soluci6n

x + r. = 1:¡ - 2

- 2x + 7y = - 14

o = 2x - 7 Y 14

9.- Ecuaci6n ~imeral de priméf grado.

Una ecuación de primer grado en las variables x ·e y , es-una ecuaci6n de la forma

Ax+By+C - Odonde A, B Y e son números reales •

. 'De 10 expuesto en la secctérr 8 anterior, podemosobservar que la ecua-ci6n-de cada linea recta puede escribirse comouna ecuaci6n de primer gradoen x e y; pero aún no está claro que cada ecuaci6n de primer grado repre-senta una linea recta. Procederemos a probar "esto. Consideraremos los dossiguientes casqs posibles:

1 • - SupongamosB = O. Entonces A no es cero, porque si .10' fuera, la ecua-"cióti no sería de primer grado.- Por 10 tanto, la ecuac~ónpuede escribirseen la forma

x =

-62-

eo sea que para todo y: x = - A' El lugar geométrico de la ecuacióneanterior es una recta paralela al eje Y, cuyo x - intersecto es - A.

2. - Supongamos B f: o. Entonces resolviendo para y, obtenemos

y = A e(- B) x + (- B)

Pero la fOrma pendiente - intersecto del inciso Sb. de la sección 8anterior·nos enseña que esta ecuación representa una recta cuya pendiente

A . ees - B Y cuyo Y - mtersecto es - B·

Luego, .podemos concluir que para cualquiera de los dos casos, laecuación representa una línea recta.

Ejemplo 1

Especificar el lugar geométrico que corresponde a la ecuacián 3x - 6 =Soluci6n

3x - 6 = O

x = 2

El lugar geométrico es una recta paralela al eje Y, localizada a 2 uni-dades hacia la derecha del origen de coordenadas. .

Ejemplo 2

Hallar el conjunto soluci6n de la ecuaci6n 3x - 4y + 5 = O Y especi-ficar su lugar geométrico.

Solución

3x - 4y +.5 = O

4y = - 3x - 5

4y = 3x +.5

y = ~~ + *

-63-

El conjunto solucién pedido es {(X, y) 1 y = ~ xlugar geanétrico es una recta con y - intersecto i34· Podemosobservar que, la ecuación de la recta y =

+¡1y ely pendiente

3 5'4x + 4

es una ecuaci6n de primer grado o lineal en las variables x e y.

10. - Distancia desde tm ptmto P1 (xl' Y1) a una recta Ax + By + e = O.

Teorema.

La longitud d : de la perpendicular dibujada desde un puntoP (~l'Yl) .a una recta Ax + By + e = O viene dada por la f6rmula

d' .= IAx1 + By1 + elV A2 + B2

Demostración: Fig. (49).

Sea r una recta cuya ecuación es Ax + By + e = O. Por elpunto P (~1 ' Y1) dado, trácese una recta r I paralela a r. Sean O Q1 y,O Q2 los intersectos de las dos rectas r y r '. Den6tese por ~ a la

distancia del punto P a la recta r , Por el origen de coordenadas dibúj e-se una perpendicular O PI a la recta r I y supóngase que A ;. O, entonces

d = M P = M' P" .: M' N Icos el= Ql Q2 leos ·el= lo Q2 - O Q1I leos el (1)

»-: yM

x

F.lg. (49)

-64-

De la ecuación de la recta r: el x Intersecto es (si A 1: O)

e= - A (Z)

Para determinar el otro x - intersecto O QZ ' se debe observar quela recta r ' es paralela a la r , por 10 tanto su pendiente es - ~ y suecuación Ax + By + K = O, donde K se detenninará por el hecho de queel punto (x1'Y1) está sobre esta recta. De esta manera, Ax1 + BY1 + K=·0=> K = - Ax1 - By1 . Entonces

K Ax1 + By1O QZ = (3)- - A A

Sustituyendo (2) y (3) en (1)

Ax,. + BY1 e } I I eld = ( - A cosA

Ax1 + BY1 + e I cos 91= (4)A

Para determinar el cos 9, se observará que la pendiente de la rectar es ~ ~ y la de la recta que pasa por el origen y el punto M' es i,por ser estas .~ectas perpendiculares.

A Luego,e B . u1omo m = tg e = A' res ta que

la fórmula ~~ra la longitud deseada es

I cos e I =

d =IAx1 + By1 + el

V AZ + B2A , o

Ejemplo 1

Hallar la distancia desde el punto (4,3) a la recta 4x - 3y - 2 = O

Solución

d = I 4 (4) - 3 (3) - z] = lli = 1V 4Z + (- 3) 2 V25

-65'-

Ejemplo 2 -

,'-Hallar' la dís tancíá entre las rectas parale las 3x + 2y - 4 =, OY 3x + 2y - 8 ::: O

Soluci6n

Dibújense las' gráficas de las ecuaciones dadas. Há.Hense los mter-sectos hacíendo x = O e y = O en dichas ecuaciones, obteniéndose de es-ta manera los puntos (0, 4), (8/3, O), (0,2) Y (4/3, O). Unanse estos pwjtos mediante lD1 trazo -contrinuo cano se muestra en la Fig. (50).

x

Fi9. (50)

-Elíjase un punto arbitrario que se encuéntre sobre una de las rectas,

camo'por ejemplo el (2,1) sobre la recta 3x + 2y - 8 = OY fina~ente há-llese la distancia- d desde este punto a la otra recta que es 3x .;:'o/ - 4 = O.

La solución pedida es

13 (2) + 2 (1) - 41 _ 4

V 32 + 22' VT3d =

, EJercicio:

,La fórmula de la distancia requiere que A ~ O.. ¿C6mo secalcularia la distancia de un punto a una recta cuando A = O?

-66-

EJERCICIOS

1•- Diga el ángulo de inclinaci6n y la pendiente de cada una de las si-guientes rectas dirigidas.

a) El eje X

b) El eje Yc) Recta paralela al eje Xd) Recta paralela al eje Ye) Recta bisectando el 1 y 111 cuadrante de lID sistema de coordenadas

cartesianasf) Recta bisectando el 11 y IV cuadrante de un sistema de coordenadas

cartesianas

2.'- Dibuje la recta de pendiente - 1 y que pasa por el punto (3,0)

3.- Halle la pendiente y el ángulo de inclinaci6n de la recta que pasapor los puntos (1,1) Y (7,5)

4.- Encuentre las pendientes de los lados del triángulo cuyos vérticesson A ( -1,2) , B (3, -4) Y C (1 ,6)

5.- Encuentre las pendientes de las medianas del triángulo del ejerci-cio 4.

6. - Encuentre las pendientes de las alturas del triángulo del ejercicio4.

7.- Usandopendiente demostrar que los puntos C1 ,1), (3,2) Y (7,4) soncolineales.

8. - Hallar' el lugar geométrico de las siguientes ecuaciones:

a)b)c)d),e)

x = OY = Ox-2y+5=0y = x2

2,y = 2x' - 3x - 2

9.- Hallar la ecuaci6n del lugar geométrico de todos los puntos tales que,se encuentren a una distanefa de 2 unidades desde el punto (-2, 2).

-67-

10. - Encontrar la ecuación del Iugar geanétrico de los puntos que equi-distan del eje x y el punto (3, 4).

11. - Detenninar la ecuación del lugar geomét'rí.co de los púntos tales que,el producto de las pendientes de las rectas que pasan por los puntosP y (4, 1), Y por P y. (5, O) es igual a 4.

12. - Hallar la ecuación del lugar geailétrico de. los puntos tales que, .Ladistancia desde el Ios al origen de coordenadas es igual a 2.

13. - Encontrar la ecuación del lugar geaflétrico de los puntos tales que,la sumade las distancias desde ellos á los dos puntos fijos (-3,0)y (3,0). es igual a 4.

14. - Detenninar la ecuaci6n de la recta que pasa por el origen de coorde-nadas.y cuyo ángulo de inclinaci6n es de 1200•

15.- Hallar la ecuación de la recta paralela al eje r y localizada a 2unidades hacia la derecha del origen de coordenadas.

16. - Usandopendiente, demostrar que ,el punto (7,9) se halla sobre la per-pendicular bisectriz del segmentode recta detenninado por los puntos(- 2 , 1) Y (6 , - 3) •

17.- Los vértices consecutivos de un cuadrilátero son A (-2, -4), B (-3, 4),C (10, 20) Y D (5, O). Demostrar que las diagonales del cuadriláteroson perpendiculares.

18. - Detennine la ecuaci6n de cada una de las siguientes rectas:

a) Pasa por (-4, 3) Y (2, 5)b) Con.pendiente t y y - intersecto 2.e) Pasa por (-1,·3) Y con pendiente - ~ .d) Conx - }ntersecto 4 y. y - mtersecto - 2.e) -, Pasa por (2, 4) Y ángulo de inclinación 1350•f) Conx - intersecto - 4 Y no Y - intersecto •

. 19. - Hallar las ecuaciones de 10$ lados del tr~ángu1o"cuyos yértices SOL.(O, 4) , (--1 , -1) y (3, -2).

20. - Sáhiendc que el ángulo entre" dos rectas A1x"+ B1y + Cl = ° .y

A¡x ...Rzi + C2 =" Oviene determinado por la expresi6n tg e =

hallar la ecuaci6n de la recta que pasa r (2, -4)

A,Az. + B1B2

Y fonna un ángulo de 60°con la recta que pasa por (-1, 2) Y (3, 4).

-68-

Z1.- Hallar Ia.ecuacíón de la recta que pasa por (2,3) y es paralela ala recta 3-x - 2y + 1 = O•

.2.z•.., Hallar La ecuación de la recta qué pasa por (S, -1) Y es perpen-dicular a la recta x + y - 4 = o.

23. - Hallar la ecuacíén de fa recta que pasa por el punto (3, -2) Y porel punto de intersección de las rectas 3x + 2y - 1 = O Y (x + y - 4 == O). -

24·..: Hallar la distancia desde el origen a la recta pedida en el ejercicio22. .

25.- Los vértices de un trjángulo is6sceles son (1, 1) , f7, 1) Y (4, 5),hallar: a) la distancia desde el punto (7, S) a la recta que pasapor (7,.'1) y (4,5), b) la altura del triángulo y e) el áreadel triángulo.

26:- La distancia desde el punto (S, -2) a la recta R es 4, y R es parale-la a la recta 3x - 4y + 7 = O, hallar la ecuaci6n de la recta R (dossoluciones)

27.- Hallar los ángulos del triángulo detenninado por las rectas cuyas.ecuaciones son 2x - y + 1 = O, x + 3y - 2 ,= O Y 3x - ,2y + 4 = o.

28.~ Un punto P de abscisa 4 está sobre la recta de pendiente 2 y pasa.por el punto (1, - 1) '. hal~ar la ordenada del punto P.

29." . Una recta intersecta el eje X en A y el eje Y en B, y (3, 4) es elpunto medio'de AB, hallar la ecuación de la recta. -

30~- ·Las rectas 4x - 3y - 8 = O, 3x - 4y - 6 = 0, y (x - y - 2 =. O), pa-san por el punto e2,' O). Probar que la tercera ~recta b ísecta el án-gulo fonnado por las dos primeras. .

31~- Determinar el valor de a de modoque las tres rectas Zx - 3y - 1 = O,'Sx - y - S = O, . Y 3x + ay + 8 = O se encuentren en un punto,

32.- Dadalas· dos rectas paralelas 2x - 61 + 6 = O Y 2x - 6y - 8 = 0,hallar la ecuación de la recta que se encuentra en el medio de ellas.

-69-'"

'CAPITULO .IV

¡.. "1

LA. CIRCUNFERENCIA., ,

1.~ La C¡rcunferencia~

-~finici6n " " ""_', .

z . ':.,. Una: c~rcWetenc~a sedef'íne coino el 'lugar g~trico: de, todos aque-o ~¡os 'puntos 'del plana que -están a' una mismadistancia, de 1:lÍl purito fjjo.,'E1_puIJ,t<f fijo se H~ centro y la distancia ,'se llama- radio de la ci!cUnfe~encia. -

, '

.2.... Ecuaci6n,d_e'mtaciretmferencia.,,'

C, ,',Para'detenn:i,Dar'la .ecuacdén de -unacfrcunferencí.a , 'se procederá canoságue:

"sea,' C (h, k) él centro y r el .radío de la ciramferecia Fig. (51 ) .Entonces,sL P (x, y) es un punto cuafquiera sobre la circunferencia,

ladistancia entre Ios puntosP Y',,-Ces '

o tambi~n' ' ,"'~,,'

,>1 iZ=. ,tx ~ h)2' '+ (y ~ k)zl (l}

"

F'lg.(51)

,,'::LF.',~c\;JáciÓIi~ll):es la' de, una c.írcunférencía-con centro C 01, kl Y·;,raaiti r'~_' ,', ," " - -,

, ".: .~

Éjemp10 1:-,"; '.

jIaiia;', Iaecuacídn de lacíh:unferencia cuyo, centro es el origen de

-70-

coordenadas y de radio r.

Solución.

Gamoel centro es el origen de c00rdenadas,entonces h = O Y k = O.Sustituyendo estos valeres, en la ecuación (1), se obtiene

2= r·de donde

x2 + y2 = .r2es la ecuaci6n pedida.

Ejemplo 2Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto

( 2 ·1 ) ~~.:. 3.3 ' - 3· y cuyo HIU~O es .' .

Soluci6n

(x _ ~.)2 + (y; ~ )2 = 32

2 4x - ~ x3422 1

+ 9" + y + 3Y + 9 = 9

9.x2 - 12 x + 4 + 9 y2 + 6 y + 1 = 81

9 x2 + 9 y2 - 12 x + 6.y - 75 = O

De este ejeinplo se puede observar, que la ecuación de una circunferen-cia es de segundogrado, que tiene coeficientes iguales y del mismosignoen las variables· x2 )y y2 Yque no contiene término en xy, Igual conc'lusi6n obtenemossi desarrollamos y s:irnplificamoslaecuaci6n (1).·

Ejemplo 3Hallar los puntos de intersecci6n de la recta x + y - 1 = O Y la

circunferencia x2 + y2 - 13 = O

Soluci6n

Despejando (y) en la ecuaci6n lineal, resulta

y = 1 _.x (2)

-71-

Susotituyendo (2) en la ecuaci6n de la circunferencia dada, tenemos

x2 + (1 2 - 13 O- x) =

x2 + 1 - 2 x + x2 - 13 O=

2 x2 2x 12 O=

2 6 °0x - x - =

(x - 3) . (x + 2) = O

. . xl = 3 } (3)

Y x = -22

Reemplazando (3). en (7), obtenemos

= 1 3 = -2y y2 = 1 ( - 2) = 3

Ltiego,los puntos deointersecci6n pedidos son (3, -2) Y (-2,3).

Ejemplo 4

Hallar la ecuaci6n de la circtmferencia 000 de cuyos diámetros es elsegmento de recta que une los puntos (-3, 2) Y (S, -6)

Soluci6n Fig. (52). ,o

Las coordenadas del centro e (1, -2) de la circunferencia se deter-minan aplicando la fórmul.a del punto medio de tul segmento de recta,y elradio r = vr:3:2 aplicando la fórmula de· la qistancia entre el centro yuno de' los puntos dados. Sustituyendo en la ecuaci6n de la' circunferen-c1a, resulta '

(x _ 1)2 + (y + 2)2 = ( V32) 2

x2 - 2 x + 1 + y2 + 4 Y + 4 = 32de. donde

x2 + y2 _ 2 x + 4'y - 28 = O es la ecuación pedida.

-72-

y

(-3,2) -----

IIIIIIII,I

1(5,_6)

x

Fi,. (52)Ejemplo S

¿~ curva es representada por la ecuaci6n 2 x2 + 2 y2 + 4x - 5y + 2 = O?

Soluci6n

Dividiendo la ecuacíón por 2, agrupando ténninos en X.Y en y, comple-tando cuadrados y agrupando los términos constantes, tenemos -

x2 +'y2 +2x S + t O- Zy =

( x2 + 2x + 1 ) - 1 + ( y2 S + 25 )- 25-zy lO ro + 1 ::: o

( x2 + 2x + 1 ) + (y2 _ S + 25 ) 25IY l6 = 'iD

ex + 1)2 (y -. S 2 (i )2+ 4) ==

Luego,la ecuaci6n dada representa una circunferencia de centro( -1, t) y radio t·· ¿Qué suceder-ía si el ténnino constante en el ejem-plo anter-ior en-lugar de 1, hubiese sido - j¿ ""o si hubiese sido 4? .La respuesta es que el miembrode la derecha de la ecuación final se hu-biera reducido a cero o hubiera sido negativo respectivamente. En elprimer caso el único punto que hubiese satisfecho la ecuaci6n hubiera si-, S .do ( -1, ~) y en el segun.~ caso ninguno, ya que la SUDa de los cuadrados

-73-

, .·de dos.mmeros reales no es lDlnúmero real negativo. Podemos,afinnar queuna ecuaci6n de.este tipo representa una cfrcunferencí.a, un punto o hin-gún lugar, 'geanétrico de acuerdo a que el término constante del miembro dela derecha después de completar cuadrados, sea positivo, cero o negativo.

3. - Fo.nna General.

Toda ecuacíén de segundo grado. en dos yariab1es '!.,_x. y sin .térmínoen x Y,. representa lUla .cir~lDlferencia si los ~beficientes de l~s varia-bles·· al cuadrado son d í s t í nt.o s de ce ro e 19ua1es;, r educ í éndos e ala forma: '~~ ~ ~

"'1 x2 + y2 _+ Dx + Ey + F = 0'1 . (4)

Agrupando términos en (x1. y -en 00, conptetando cuadrados y agrupandolos términos constantes de (4), se obtiene '

( x + ~) 2 + (y + ~) = } (D2 + El ,.., 4 F ),

$i canparamos esta ecuacion con la (1),. podemos notar que, el centrode -Ia cí.rcunferencí.a dada por' la expres.íén (4) es C ( -~, 1) y e l. ra- 'dio

1r = 2'

Ejem~lo

Hallar el centro y radio de la ciramferencia del ejemplo S anterior, 'utilizando la forma general.

Solución

,-D -E SC (2" 2" ) ~ C (-1, '4)

r ,= 1 'v 4: ~S - 4 =' ¡4.- Circtmferencias, que satisfacen .tres condiciones.

" Tanto Ia forma normal y la forma general de la' ecuac íén de una cí.rcun-ferencía, contienen tres constantes, Estas. sonh, k Y r en la forma normal, y D, .By F en .Ia "forma general.

-74-

Si, se dan ~res,condiciones las cuales determinan una,circunferencia,entonces sepuede hallar .su ecuacíén resolviendo simultáneamente un sis-tema de' ecuac.ienes lineales .en h, k Y r o en D, :.E y F'.

En la mayoría de los casos se puede usar cualquier forma, pero depen-dienda de las condiciones :geaootricas dadas \IDa forma puede ser más venta-josa que la otra. ' '

··'Ejemplo.-'

Hallar' la ecuactén de' la cdrcúnferencía que pasa por (2, 4), (- 3, ,t)y (1, 3)' ,

Solución

,,La. forma general es

x2 + y2 + Dx + Ey + F ::. O ( 4)

Sustituyendo las coordenadas de cada uno de los puntos dados en -la ecua-ci6n (4), obtenemos '

20 + 2 D + 4 E + F = O (5)10 - 3 D + E + F = O (6)10 + 3 D + E + F = O (7)

Restando (~) de (7), resulta D = O y- el sistema anterior se reduce a

20 + 4 E + F = O (~)10 + E + F = O (~)

, .Restando (9) de (8), tenemos

10 + 3 E = O10

E = - ~

,Susti tuyendo los valores D y E en (.7), resulta

·10 - 10 + F O3" =

F 20= - 3"

'F~lmente!sustituyen~ los valo!es de D, E Y F en (~), se obtienela ecuacíén pedida de la cí.rcunferenci.a

-75-

2 + y2 + Q 1O 20 -_ O'x x-3Y-3

(j también

3 x2 + 3 y2 - 10 Y - 20 = O

Ejemplo 2

Hallar la ecuaci6n de la circt.mferencia que pasa por (2, 4), con lSJJcentro sobre 1a·recta Y'= x y tangente al eje de las .x.

Soluci6n Fig. (53)

Sustituyendo las coordenadas del punto (2, 4) en la forma genera1,se .obtiene

20 + 2 D + 4 E + F =/.0 (1 O)

Comoel centro. está sobre la recta y = x, se cumple que h = k Y por lotanto

D= - '2 (11)

y

x

Fig. (53)

Cano la cí.rcunferencí.a es tangente al ej e x , la coordenada y = - ~

de este centro es' ~gual al radio r de ella (~por qué?).

LuegoE-¿ 1= 1 (12)

-76-

Simplificando las tres ecuaciones anteriores (10), (11) Y(12), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones equivalente:

20 + 2 D + 4 E + F = O ( 13)

E = D (14)

E = - VD2 + E2 4 F (15)

Si se reemplaza (14) en (13) Y en (15) , obtenemos

D = - V 2 D2 - 4 F (17)

De (16)

20 + 6 D + F = O (16 )

F = - 20 - 6 D (18)

De .(17) Y (18), tenemos

D = - 0 D2 4 (-20 - 6 D)

D = - V2 D2 + 24 D + 80

D2= 2 n2 + 24 D + 80

O = n2 + 24 D + 80

o = (D + 4) (D + 20)

Luego D1 = - 4 Y DZ = - 20

Sustituyendo estos valores de D en (14), obtenemosEl = - 4 Y E2 = - 20

Reemplazando los valores de D20 - 8 - 16 + F1 = O Y

de dondeF1 = 4 Y FZ = 100

Y E en (13), tenemosZO - 40 - 80 + F2 = O

-77-

Finalmente, sustit¡uyendo los valores de D, E Y F en la ~ci6Jt gene-ral de una ciramferencia,se obtienen Ias siguientes ecuaciones buscadas:

x2 + y2 _ 4x - 4y + 4 = o.y

x2 + y2 _ 20.x - 20y + 100 = o.

5. - Ecuaci6n de la tangente a tma circmferencia en un punto dado.

Sean x~ +' X2 = r~ y (x, l' y1) la ecuación de 1atirClDlferencia y elpunto dado sobre la misma,cano 'se muestra en la Fig. ( 54). El radio deesta circtmferencia tiene una pendiente igual a y1 Y comoel radio es per-

xpendicular a la recta tangente en su punto de tang~ncia, la pendiente de iarecta tangente es xl. ConsIderando tul punto P (x , y) cualquiera sobre

- ~ ~la' recta tangente y.aplicando 'la fonna punto - pendiente de la ecuación deuna recta, tenemos

=y - 11x - Xl

x

x Xl + Y Yl

2= Yl - Y Yl

2 2= Xl + Yl

Fig. (~4J

(19) .

Cano el punto (x, 'Yl) está sobre la cirClDlferencia, entonces222

Xl + Yl' = r

-78-

Sustituyendo en (19), la ecuaci6n pedida es

1 x xl + y Y1 = r2 IDe una manera semejante se puede encontrar la ecuaci6n de la recta

tangente a la circunferencia

x2 + y2 + D x + E Y + F = OFig. (SS )

Flg, (55)La pendiente de la recta que contiene el r ad í.c es :

de modoque la pendiente de .Ia recta tangente es

Dm ' Xl + 2'2 == - --=-_ __::_

Considerando tul punto cualquiera P (x , y) sobre la recta tangente,la ~cuaci6n resultante es:

Xl + D Y - Y12 =Yl

+ E x - x2 1

"

-79-

=- E

(Y1 + 2"}

, + 2 D D 2 E Ex xl xl' -, 2 x + 2 xl =, y y1 - Y1 + 2" y - 2" y1

, 2' - 2 ti E ' 11 Exl +- Yl + 2" xl +- '2 Yl :;: x xl + y Yl' + 2 x + '2 y

Sumando + F a cada m1eJbbro de la expresión ante-D2 x'l +

-tior .se obtiene

- " 2 '2' D -' E ',D E D,xl '+,Y1' + "2 xl +, '2 y1 + 2 xl + '2.Yl + F = x xl + y y1 + '2 x +

E, "D E+ ,2 y +, 2" xl ,+ --2 Y 1 + F

-2 ' 2 D EX,l' +-'Yl +_Dx1 + E'Y1 + F - xX1 +YY1 + Z(x+x'l) +2(Y+Y1) +

+, F (20))

Coin6 'el punto (~l Ylr,:~stásQbre ia cirClJllferenci~ x2 + .12 + D x ,+ .':" E y + ,F,= 0" la satisface: Por lo tantP, el primer miembro de (20)

• cero, o -sea

l· x,x,· + y Y.l + ~ ex _+ xl) +" ~. ey + Xl) + F = ·0::Jj

que es la ecuacíón dé la recta tangente-buscada. Una forma de recordar esta~:~ci611'consaste en sustfturr en lª ecuación deLa cí.rcunferencfa dada, a --,

2Y

x

por y Yl

por' },(x + xl)

1 ' -por '2 (y + Y1.)'y

,Ejeptplo 1"- 2', 2Hallar' la eCuación de ,la recta tarigente a la ciretmferencia x ~ y =

, '

~,- 25-

-s.o ~,

'en el punto (-3,,2)., . .'

2')CX ,+ 'y 'y', _' ,= 1,',1 ' l' .." - - .

:'- ,3 x .« 2 .y,: ,= 25. "., ..._,.

,0:= 3 x .:,:'2' y _.+ ~s

'Hallar 1.~ eeuac.ién de --la.recta zangenteeri.La ~ira.mfe1'encia

'i;,xl ,+":2 ;'2" "!: '~4x +' s ,Y: "- 2= O en, el ptmtO(2; 1)

" k. 1 ., 1 ,~'~)~1,;,+,:~yYl':'+ "2 D. (x + ,?Cl} ,+ "2 E. ( .Y + .y1) ,+ F == O

" ". ";, . ' " , ' ' 1 ' _., ..,.~Z~~"_+', r: +. \2,4 (x + ,2),., + .' 2' 5,' (y +}l ~~",';"O

. . -: . ,,-

8 ",O-..-

-81-

É J' E k ~. 1 e lOS

1.- Hallar los puntos de intersecci6n de la recta 2 x - 3 Y + 4 = O Yla circunferencia 3 x2 + 3 y2 + x - y - 16 = O.

2. - En cada WlO de los siguientes casos encuentre la ecuación de la cir-cunferencia con centro e y radio r.a) e (O, O)

b) e (-3, 5)

r = 4'

r = s3. - En cada WlO de los 'casos indicados determine el centro y radí.o de la

circunferencia representada por la ecuacióh. " Dibuje el lugar geomé-trico si·existe. '

al' x2 + y2 - 8 x + 10 Y - 12 = O

bl, 2. 2 - 8 x - 7 Y =, Ox + y.c) 2 x2 + 2 y2 - x = O

d) 3 x2 + 3 '12 - x - y + 6 = O

4. - Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

. (4, S) ; (3 ;-2) ; (1 ,-4).

5.- Determinar 'la ecuaci6n de la circunferencia de centro (-2 ,3) Ytangente a la recta 20 x - 21 Y - 42 = O,

6. - Encontrar la .ecuacíón de la circunferencia que pasa por C. 11 , 2) Yes tangente a la recta 2 x + 3 Y - 18 =., O en ~1 punto {3, 4)~. '

7.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el segmento de rec-ta A (-2 , -4) , B (6 , 4)' .como dí.áme tro .

8.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia2 ' 2 '. . ..x_ + y -' 1~'x ~ 6 Y + 29 = O.

9.- Hallar la ecuaci6n. de Ia circunferencia que pasa por CO, O) , (2, O)Y por ~1 punto de inter~etción ~e las rectas y - 4,= O Y ,Y ~ 2x - J

.:

-82- .

'10. - Bncontrar las ecuaciones de las tangentes a .Ias cí.rcunferencdas2 2"x + y 8 x- 4 y = O

x2 +. y2 + 6 x - 2 Y = O

en \IDO de sus puntos de intersección y detennine el ángulo de como. ellas se Intersectan..

11. - rada las ecuaciones del ejercicio 10, halle la ecuación de la rec-, 'ta que une sus centros.

'12. - Demostrar. que' la longi tud de la tangente desde un punto (Xl '.Y 1). a la circun:ferencia

_x2 + y2 + D.x.+ E y + F = ·0 es

1', V " 2 2Li =. ·.xl + y1 . + D Xl + E Y1 + F

13> Utilizando 'la f6nnula-del ~jercicio l~, halle la Iongí.tud de la tan-.gente desde - (1, 2) a la cí.rcunferencia 2 x2 + 2 y2 - x + 3 y-s = O

',14.- Dadas las 'cí.rcisnferencí.as

X2. + y2' - 6 Y = O

x2 + y2 _ 12 x - 12 Y + 36 ~ O

pruebe q~ Las dos ciramfere~ias son .tangentes al eje x.:

15·. - Los vért íces de un triáI).gulo son A (O , O) , B (6 , -8) Y e (21 , 38)determine el radio .de la circunferencia circunscrita. .

, .

16.- Hallar la ecuación·de la circunferencia cuyo centro está sobre el ejey y que' pasa por A (O ,-2) Y por B (3 -, 7) ,

17. - Encontrar la ecuaci6n de la circunferencia que pasa por los puntos(-1 , -·3) , (-1" 11y radio 2.

18. - El centro de una cirttmferencia tangente a los ejes coordenados en elprimer cuadrante está sobre la recta 2 x-s y'+ 21 = O. ¿Cuál essu ecuacdén? ' .

, _.19.- Hallar la ecuación de la circtmferencia cuyo centro está en la recta

'x - y = O, pasa por el punto (2, 2) Y de radio v:-s-.

-83-

20. - Detenninar la ecuaci6n de la circunferencia cuyo centro está sobrey :;: ....2 x J. es tangente a la recta y =. 1 - x y pasa por el pun-to.(2 J -1).

LAS SECClOOES·COOICAS

1• - Secciones Cónicas.

-84~

CAPITULOV

las secciones c6nicas son curvas llamadas así porque pueden ser obteni-··das cano secciones planas de una superficie. c6nica cí.rcular , Según la incli-haci6n del plano secante resulta uno u ot ro tipo de curva. Fig. (56)

Circunferencia

El ipseParábola . Hipérbola

Fig.(56)

En casos especiales puede obtenerse también una circunferencia, unpunto,.dos rectas o una recta. Todosestos casos se. resimen a continuaci6n:

Corta lU1 manto de la super-ficie cónica, sin pasar porel vértice· ---------~---- Elipse

Corta los dós .mantos de lasuperficie c6nicar sin pa-sar por el v,értice_

. Posici6n Plano Secante

a} . Paralelo a una generatri zf

_b)

0,.

c)

Intersecci6n con La SuperficieCónica

-----------~--:iParábola

Casos Generales

Hípérbola

d) Perpendicular al eje del cono,sin pasar por el vértice

e-) Perpendicular al eje del cono,pasando por el vértice

f) Contiene el eje del conog) Contiene a la generatriz

2.- Traslaci6n de ejes.

-----:..----Cir.cunferenCi1

----------Punto Casos::::::::': "" nietas J Especiales

El proceso d~ escoger en el plano nuevos ejes paralelos a losejes coordenados de manera que el origen tome nueva posición se lla-ma traslaci6n de ejes o' t.rasí ac í ón del origen de coordenadas.

Para simplificar l~s ecuaciones de una c6nica mediante uni traslaci6n de l~~ ejes coordenados, USaTemos el siguiente teorema:

Teorema.Si se trasladan dos ejes coordenados a un nuevo sistemade ejes con origeri O' eh, k) y si las coordenadas decualquier punto P antes y después de la traslación sonex, y) y ex', y'), respectivamente; las ecuaciones detransformación del sistema X O Y al nuevo sistema decoordenadas X' O' y' son:

x = x' + hy = y' + k

y las ecuaciortes de transformación del sistema:X' O' y'al sistema original X O Y son:

x'= x - hy'= y - k

E roo - - - ~ ~ - - .- - -~ _. - - - - - .,. - - - - -,fII y'

x ' :

y' ~

TD O'(h,k) :c

k

.. h

lB~-----------x------------~I0(0,0) A.

rt «. (57)

Ianostración:

-86-

Sean (h, k) Y (x, y) las coordenadas del nuevo origen y las de un pun-to P con referencia al sistema original X O Y respectivamente. Denotemospor (x" , y') las coordenadas del punto P con relaci6n al nuevo sistema X' O' Y',tal comose muestra en la Fig. (57). Utilizando la relaci6n fundamental parasegmentos rectilíneos dirigidos, tenemos:

x = OB =. OA + AA \::: CA + O'C = h + x"

y = DE = OD + PE = CID + P C = k + y'

Ejemplo 1

Transfonnar la ecuación x + y - 2 = O, trasladando los ejes de coorde-nadas a uri nuevo sistema de ejes con origen (2, 3). Trazar los dos sistemasde ejes y la curva correspondiente.

Soluci6n

Por el teorema anterior las. ecuaciones de transfonnaci6n son:

x = x' + 2 ; Y = y' + 3Susti tuyendo estas expresiones en x + y 2 = O, obtenemos

(x' + 2) + (y' + 3)

Luego, la ecuación de transformaci6n pedida es2 .= O

x' + y' + 3 = OLa gráfica correspondiente está. trazada en la Fig. (58)

y y'

o

xo' (2.3)

x

FI {l. (58)

-87-

Ejemplo 2

Transfonnar la ecuación x2 + y2 2x - 4y - 11 = O, si el origende coordenadas, se traslada al punto (1, -2). Trazar el lugar geo-métrico y los dos sistemas de ejes.

Soluci6n

Las ecuaciones de transfonnaci6n sonx = x' + 1 Y Y = y' - 2

Sustituyendo estas expresáones en la ecuación dada, se obtiene. (x" + 1)2 + (y' - 2)2 2 (x' + 1) + 4· (y'. - 2) 11 = O

de dondex,2 + 2 x' + 1 + y,2 - 4 y' + 4 - 2 x' - 2 + 4 y' - 8 - 11 = O

Agrupando términos semejantes y simplificando, obtenemos_la ecuaciónbuscada

(x' )2 + (y' )~ 16 = Oo también

Fig.El lugar geométrico es una circunferencia y está trazada en la siguiente(59) •

y V'

x

x'

rt«. (59)

-88-

Ejemplo3

Un lugar geométrico tiene comoecuación x2 = 4y con referencia alos ejes coordenados X Y. Hallar la ecuaci6n de este lugar geométricosi el origen se traslada al punto (1, -3). Trazar la gráfica y los sis-.temas de ejes coordenadós ,

Soluci6n

Las ecuaciones de transfQnnaci6n son,

x:=x +1 ,,

y = y - 3

Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuaci6n dada, se ob-tiene

(x' + 1) 2 = 4 (y' - 3)

dedoilde.2' • •

x + 2x - 4y + 13 = O

o también

La.gráfica es una parábola y está dibujada en la ságuiente Fig. (6Q.). .

y y'

---¿¡.

-3 -·2 -1 o 2 5 X-,-2

-s o' (1, -3)· )('

rt». (6'0)

-89-

Ejemplo 4

Mediante una translaci6~ de ejes simplificar la ecuación 9x2 + 2sy2 -- 36x + 150y + 36 = O,

Soluci6n,

,Consideremos el origen de coordenadas trasladado al punto O (h, k).Las ecuaciones de transfonnaci6n son '

,x = x + h . ',

,y = y + k

Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuaci6n dada, se obtie-ne

9 (x' + h)2 + 25 (y'.+ k)2 - 16 (x' + h) + 150 (y' + k) + 36 = Oque puede escribirse en la forma

,2 ,29 x + 2Sy + (18h - 36)

- 36h + 150k + 36 = O (1)x' + (50k + 150) y' + 9h2 + 25k2 - -

Podemos observar en la ecuaci6n anterior, que el coeficiente que acom-pafia a x' puede hacerse cero siempre que escojamos a h de manera que 18h - 36 == O o sea h = 2. De un modo sanejante el coeficiente que acanpaña a y', se-rá cero si 50k + 150 = O o sea k = - 3. Para estos valores de h Y k, laecuaci6n (1) se reduce a la foraa

3. - Rotación de ejes.

El proceso de escoger en el plano nuevos ejes mediante una rotaci6n delos ejes originales alrededor de un origen CallÚIl _a ambos s ístemas de ejes,en sentido lev6giro y conservando la ortogonal ídad se llama rotaci6n, de ejes.

Para' simplificar las ecuaciones de una cónica mediante una rotaci6n delos ejes 'coordenados, usaremos el siguiente teorema: '

Teorema.

Si los' ejes de coordenadas giran en un ángulo e en' torno a suorigen comocentro de -rotací.én, y las coordenadas de un punto P

-90-

cualquiera antes y después de la rotaci6n son (x , y) y ex' , y'),- respectivamente., las ecuaciones de transforaacten del sistema ori-nal X Q y al nuevo sistema de coordenadas X' O y, están dadas por

x = x' cos e - y' sen 9

y = x' sen 9 + y' cos 9Resolviendo simultáneamente el sistema anterior, obtenemos las

ectiaciones de transf6rmaci6n del sistema X' O-Y' al. X O Y:

x' = x cos 9 + Y sen 9y' = Y cos 9 - x _ sen 9

II1II1M

rt». (61)

Demostración : Fig. (61)

Sean (fe, y) y (x", _y:') -Ias coordenadas' del punto P con relación alsistema original X OY Y al nuevo sistema X' O Y' respectivamente. Denote-mos por 9 el ángulo de rotación de los ejes, por r a la distancia O Py por 0 al ángulo -P OQ. Por trigonometría, tenemos

x = r cos .(9 + .0) = r (cos 9 cos 0 - sen 9 sen 0) =.'= r .cos 9 cos 0 - r sen 9 sen 0 (~l

-91-

y=r sen (9 + 0) = r (sen 9 cos 0 + cos 9 sen 0) =r sen 9 cos 0 +

+ r coso 9 sen 0 (3)

pero:x' = r cos 0 (4)y' = r sen 0 (5)

Sustá tuyendo (4) y (5) en (2), resulta

x = x' cos 9 - y. sen 9Sustituyendo (4). y (5) en (3), resulta

y = x' sen 9 + y' cos 9De. esta manera queda demostrado el teorema.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación correspondiente al lugar geométrico x2 + 4y + y2 ;.12cuando los ejes coordenados se giran en un ángulo de 45°.

SoluciónLas ecuaciones de transformación sonx = x' cos 45° - yi sen 45° = xt - y'

Vfx! + y'Vf

SUsti tuyendo las ecuaciones anteriores en x2 + 4xy y2 = 12, se obtiere

y = xt sen 45° - y' cos 45° =

~ (;, - y') 2 + 2 (x' - yt) (x~ + y') + i(x' + yt) 2 = 12

Miltiplicando por 2 la expresión anterior, tenemos-

(x' - y,)2 + 4 (x' - y') (x' + y') + (x' + y,)2 = 24que puede escribirse en la forma

(~,)2 ~ 2x'y' + (y,)2 + 4 (~,)2 _ 4 (y,)2 + (x,)2 + 2x'y' + (y,)2 - 24 = O

-92-

de donde, la ecuaci6n de transfonnaci6n pedida es

6 (x,)2 - 2 (y,)2 - 24 ~ O

Ejemplo 2

Transformar la ecuación 4y - 3x = 10 rotando los ejes coordenados enun ángulo e e (O, 1) cuya tangente es ~ . -Trazar la: g-ráfica dela pueva ecuaci6n.

Solución

Como tg e (O 4ÍJ )'---z- '4S

entonces

3 -sen e = 4 Y cos 9 =

Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones de transfonnaci6n, te-nemos

?' =-~ x' 3 r : 4x' - 3y'~ SY = S

Y - 3 , 4 3x' + 4y'- -x + S y' =5 S

Sustdtuyendo las ecuaciones .antezíores en' _4y - 3x = 10, obtenemos

4 3x' -+ 4 y'S

4x' - 3y'- 3 -5 = 10

la cual puede escribirse enla forma

12x' + 16y' - -12x' + 9y' = 5O

de donde

25y' = SO-o también

y' = 2La gráfica de esta ecuacáén es una línea-rect~ paralela al. eje O X' Y

estl trazada en la siguiente Fig. (62).

-93-

y

4 X

F i g. (62)

Ejemplo 3Demostrar que para cualquier ángulo de rotación e la ecuación de la cir-

1: • 2 2 2S f ,2,2 2Scun~erencla x +. y = se trans orma en x + y =SoluciónS· dI' de f ., 2 2ustltuyen o as ecuaclones trans ormaClon en x + y = 2S, se obtiene

(x! cos 9 - y'que puede escribirse en la

(x,)2 cos2 9

2sen 9) + (x'forma2x'y' sen 9 cos 9 + (y,)2 sen2 e + (x,)2 sen2 e +

sen e + y' 2cos 9) = 25

+ 2x'y' sen e cos e +2cos e = 2S

-94.;.

de donde

(x,)2 (cos2 9 + sen2 9) + (y,)2 (sen2 9 + cos2 9) _. 2S

o también ..

.(x") 2 + 'éy,).2 = 25

10 que' demuestra el teorema. Canopodemosobservar este' teoreaa nosenseña qué una cí.rcunférencda esdnvardante por rotacíén cuando su centrocoincide 'con el centro de la rQtaci6n.

4. - La ,Parábola.

Una parábola es el lugar gecnétrfco de todos los puntos del plano que'equidistan de Un punto fije;>Y' una' recta fija. be esta manera, .5,i un puntoP 'Píg , (63) se mueve de modotal que las distancias F P Y MP sean .siempre iguales, entonces dicho punto descríbtrá uaa parábola. El punto,f.ijo-F se llama foco ,1 la recta fija dire-ctriz de la parábola. .

- ,

La, recta que pasa por F perpendicular a la directriz, es una recta desimetría de 1á parábola,y se llama éje, transversal o eje de la parábola.

o eie de Jo 1>orob.~iia'

,N

u

di recfritQ

Fig. (63)

..'_, . I?SA~Vi~nté'de 'acuerdo a' la definiciÓIí de la parábola, queel punto.medioV del .segmerrto rect:iJíneo D F, se hal la sobre la parábola.

-95-'

Este punto se llama vértice de la parábola. La distancia n'v desde elvértice a la directriz se denota por (p) . Comoesta distancia es igual envalor absoluto a la distancia V F desde el vértice al foco, entonces V F =

! p 1La cuerda L R ' perpendicular al eje de la parábola pasando por S1,1 fo-

co, se llama lado recto de la parábola y demostraremosa continuación quesu longitud es 14p! Estos ténninos y expresiones se usarán repetidas ve-ces, ,de modoque es necesario que el estudiante se familiarice con ellos.

Teorema.

Demostrarque la longitud del lado recto de una parábola es

14p I

Demostración:

De acuerdo a la'definición de la parábola,la dtstancta L N ; pero L N,= DF = 12p I= IZPl De un: modosemejante; F R = Q R

Luego, L R = L F + F R = !4PlDe esta manera queda demost.radoel teorema.

la distancia L F es igual aPor 10 tanto, L N = L F= D F = .l2p1

5.- Construcción gráfica de la parábola.

Primer Método.

Se traza una paralela a la directriz a una distancia cualquiera d, y conradio igual a d, haciendo centro en el foco, se corta esta parale~a Fig. (64)Los puntos P y P' pertenecen a la parábola.

N.;:-oCD..,;

I·1III1II*,p'

F ig. (64)

Segundo ~todo

-96-

Valiéndonos de la propiedad característica, colocamos una regla fijasobre la directriz, tal que tD10de sus bordes coincida con esta Fig. (65 ).'Tomamos_tD1cartab6n A B- C y un hilo dé longitud A B.. Se fija un extremodel hilo en A en el cartabón, y el otro en el foco F. Cuandoel lado B Cde l cartabón describe la directriz estando el hilo tenso, con una punta delID 1apiz o una tiza, etc., en M (un punto entre A y B), este punto describeuna parábola. En efecto: '

BM + MA = BA

FM + MA = BA

luego-

BM + MA = FM+MA

de dondeBM = ·FM

..Tercer Método

e

·A

F

o

Fig.(65)

Se traza una circunferencia cuyo centro est~en el eje X que pase portD1punto A tal que OA = I4p I y de .radí.o r>" T Fig. (66) . .

Las perpendiculares P B Y P C ~ los ejes coordenados determinan elptD1toP de la parábola.

En efecto: .'.(AO+OB1)2=(AC1)2+(B1C1)2=(AO)2+(OC1)2+(OB1)2+(B1P1)2'

-97 :."

.9- tamb í.én '

(2p+ x1)2 =de donde- '2 . -'~l- = 4px1

·2 2, 2(2p) + Yl + xl +

y

'x

-La expresi6n anterior representa la ecuací ón de una parábola,

como se muestra a,continuaci6n:-

6.- Ecuaci.6n de tma Parábola ..

'(A) ,Teorema.

La forma nonna1 de la ecuación de una parábola con vértice en el'origen de" coordenadas y cuyo eje de simetría es el eje X es

I y2 = '4PX' f. (6)

,Demostrací.ón:

. Sea'M el 'pie. .de la perpendicular t.razada desde el punto móvil P a la di ~:-rect.rí.z Fig. '(,67). t~o_' n', V,_:, '=, 'V' F' =, P', entonces i~ :;coordenadas del'p~tQ' F:-son .(p_"O) 'y 1adél punto M (-p'; y). La re Iací.ón que def ine la pará-bola es·F~ P '~.~,:~M,:P.Pero: ..

, , \. /, , ,"', 2' " " 2 " ,,:F P = V(~~-PY: -t: (y -f' O) ":",

. .~ '. ' ~

-98-

y-----~ P(x,y)

I

L JII

M(.p,~)

N ---

N'a:-u11)..o x

p p

FiU. (67)

o sea que<,

(~ _ p)2 + y2 =2 2 2x ._ 2px + p + y

ex + p)2 + 02.= X2 + 2px + p2

por 10 tanto2r ::;4px

De este modoqueda demostrado el teorema. El lector deberá notar que eneste caso pes positivo.

Teorema. O~)

La forma normal de la ecuación de imi.parábola de vértice en elorigen de coordenadas y cuyo eje·~~;.simetrla es el eje Y es- :.

Demostración:(7)

La demostraGi6n se le deja al lector.

-99-

Teorema. CC)

La forma nonnal de la ecuaci6n de' una parábola de vérticeV (h, k) y- cuyo eje de simetría es paralelo al eje X es

rey - k) 2 = 4p (x - h) (8)

Demostración:

La ecuación relativa a los ejes X' y' Fig. (68) es de acuerdo al teo-rema CA). .

2y' =4px'

Utilizando las ecuaciones de transformación para traslación de ejes

x' = x - 11

y' = y - k

en la expresión anterior, obtenemos2 .

(y - k) = 4p (x - h)~ es ta manera queda demostrado e1 teorema.

y

y .. x'•

x'

Fig.(6(J)

-100-

Teorema. eD)

La fonna nonnal de la ecuación de una parábola de vérticeV (h, k) Y c~o eje de simetría es paralelo al eje Y es

[ (x - h) 2 = 4P. (y - k) I. ,Demostración:La demostración se· le deja al lector.

7.- Abertura de una Parábola.

Despejando a y de la ecuación y2 = 4px, obtenemos

De acuerdo a esta expresión,(p)y(x)deben ser del mismosigno para que(y) sea real y diferente de cero. ~ueg~, consideremos dos cosas:

p>O y p<O

Si'p >. O, entonces x > OY se deben excluir todos les x negativos,encontrándose la gráfica de la ecuación a la derecha del eje Y. En este casose dice que la parábola abre hacia la derecha. De la mismamanera si se con-sidera p < O, entonces x < OY la grafica se halla toda a la izquierda deleje Y, diciéndose que la parábola abre hacia la izquierda. Un ~rQcedimientoanálogo al anterior puede hacerse despejando x de la ecuación x = 4py Y de-cir que la parábola abre hacia arriba si p > O Yhacia abajo si p < O.

"

8. - Ecuaci6n de la directriz.

Teorema. (A):

La ecuación de la directriz de una parábola con vértice en el ori-gen de coordenadas y cuyo eje de simetría es el eje de las x es

I) x = -p si la parábola abre hací.a la derechaii) x = p si la parábola abre hacia la izquierda

Demostración:

La demostración es'trivial si observamos la Fig. (67).

Teorema. (B):

La ecuación de la directriz de una parábola con vértice en el ori-gen de coordenadas y cuyo eje de simetría es el eje de las y es

-101 -

i) Y = -p si la parábola abre hacia arribaii) y = P si la parábola abre hacia abajo

Demostración:

La demostración se le deja al lector.

Teorema.(el:La ecuaci6n de la directriz de una parábola de vértice V (h, k)Y cuyo eje de simetría es paralelo al eje X es

i) (x - Oh) = -p si la parábola abre hacia la derechaii) (x - h) = P si la parábola abre hacia la izquierda

~mostración:

La ecuación relativa a los ejes Xt y, es de acuerdo al teorema (A)

x' =-1' 6 x! = p

Sustituyendó la ecuacián de transformación para tras1aci6.n de ejesx! = x - h en la expresi6n anterior, queda demostrado el teorema.

Teorema. (D):

La ecuaci6n de la directriz de una parábola de vértice V (h, k)Y cuyo eje de simetría es paralelo al eje Y es'

i) (y - k) = -p si la parábola abre hacia arribaii) (y - k) = P si la parábola abre hacia abajo

Demostración:

La demostración 'se le ~ja al lector.

Ejemplo 1

El vértice de una parábola está en el origen de coordenadas, su eje desimetría coincide con el eje X y además la parábola pasa por el punto (4, -6).Hallar su ecuación,' las coordenadas del foco, la ecuación de ladirectriz y la longitud del,ladb recto.

Solución Fig. (69 )

Por el teorema (A), la ecuación es

y2 = 4px

4

_9/4 V F(e/.,O) I .,(,IIIIIII-6

(4-6)

Fig.(69)

¡!I..X

-102-'

Como la parábola pasa por el punto (4, -6), entonces' este punto satisfa-ce la ecuación anterior, por 10 tanto

,C -6) 2_ 4p (4)

4p ::; .9

P = 9"4, ,

luego" la ecuacíén pedida es2 ·9Y = 4.x

'O también

Como el foco Y' la directriz están a una misma distancia Cplde1 vértice,errtonces Laacoordenadas de1 foco SQn e t ,O) Y 1~ ecuac.íén 'de la dí.rectr iz'es x = - ¡...L~ longitud ~1' lado recto es 14i>I = 9

-103-

.Ejemplo 2Hallar la ecuaci6n de la parábo1á determinada por las siguientes con-

diciones: Foco (O, -3) Y directriz y = 3.Soluci6n:De acuerdo al teorema O~), la ecuación es

2x = 4py

De la Fig. (70) podemos observar que los valores de y son todos nega-tivos, por 10 tanto, p = - 3.

Luego, la ecuaci6n buscada esx2 = - 12y

o tambiénx2 + 12y = O

'-6 -5-4

3 y: :3'

6

r t«. (TO)

Ejemp1Q 3Hallar la ecuaci6n de la parábola cuyo vértice es el punto(~, 5), las

coordenadas de su foco (6, 5) Y su eje paralelo al de las x.

Soluci6n

-104-

De acuerdo al teorema (C), la ecuaci6n es

. 2(y - k) = 4p (x - h)

De la Fig. (71) podemosobservar que los valores de x son positivos,Luego, p = 2. Por 10 tanto, la ecuaci6n pedida es

(y - 5)2 = 8 (x - 4)

o también

y2 _1 O Y - 8x +. 57 = O

y y'

54 ' F(6,5) x·

I

3I,

2 IIII

o X

Flg. (7')

Ejemplo 4

Hallar la ecuación de la parábola detenninada por las siguientes condi-ciones: Lado recto = 8 ,pasa por (O, 1) Y (2, 3), y su eje de simetría es pa-ralelo al eje Y. .

Solución' Fig. (72)

Por el teorema (P), la ecuaci6~'e~

. 2(~ - h)· = 4p (y - k) (6)

-105-

Sustituyendo las condiciones dadas en la ecuaci6n anterior, se obtiene

2(O - h) = 8 (1 - k)

(2 ., h) 2 = 8 (3 - k)

Resolviendo este sistema de ecuaciones, resulta

h·= - 3 Y 1k = - 8"

Sustituyendo en (6), obtenemos la ecuación buscada

2(x + 3) = 8 (y + 1)8

o también

x2 + 6x - 8y + 8 = O

y' y

2F{-3,'5/8 -- _

o (O,O)

V (-3 ,-'/sl x' x

2 y e -'ra

r r «. (72)

re los cuatro ej emplos anteriores podemosobservar que la ecuación deuna parábola cuya directriz es paralela (o coincide con) uno de los ejes coor-denados es de segundo grado, que no contiene ténnino en ~ y que contieneel cuadrado de una de las variables y sólo la primera potencia de la otra.Igual conclusión obtendríamos si simplificarnos cualquiera de las ecuaciones(6), (.7), (8) ó' C.9) .

-106-

Ejemplo S

Hállar la longitud del lado recto, las coordenadas del vértice, las coor-denadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola.

4i2 - 48y + 12x - 12 = OSolución

Dividiendo por 4 la ecuaci6n dada, tenemos

x2 - 12y + 3x - 3 = OCompletandocqadrado para x, obtenemos

2 . .x + 3x + 9 = 12y + 12de donde

2 .(~ + 3) = 12 (y + 1)

Por 10 tanto, la longitud del lado recto es 12, Y las coordenadas delvértice son (-3, -1).

Si graficamos estos datos Fig. (73) Y sabiendo que el eje de la parábo-la es paralelo al de las y aporqué?) ,se obtienen fácilmente las coordenadasdel foco y la ecuaci6n de la directriz, las cuales son: Foco (-3, 2) Y direc-triz y = - 4.

y' y

-3 ~2 X

V(-3 ,-1) x'

·1

-2Y:-4

-3Fig.( '73)

-107-

9. - Fonna General.

Toda ecuación de segundo grado de la forma Ax2 + Dx + Ey + F = O(A ~ Ol o Cy2 + Dx + Ey + F ~ a CC~ O) representa una parábola, sitomanos en consider~ción las ecuaciones (8) y (9) de las páginas99 y 100.

En el primer caso el eje de simetría es paralelo a (o coincide con) eleje _Y y en el segundo caso paralelo a (o coincide con) el eje X (¿ porquér l.

Las ecuaciones anteriores pueden reducirse a la fonna normal agrupandotérminos en ex) o en (y), canpletando cuadrados y agrupando los ténninosconstantes. .

Teorema.

Una ecuaci.6n de segundo grado con dos variables, y con ténninoen x y', de la forma

Ax.2 + Bxy + ey2 +' Dx + Ey + F = O

representa una parábola si B2 - 4 AC = O

Demostración:

Consideremos una rotaci6n de los ejes coordenados en tul cierto ángulo 9y sustituyamos las coordenadas de transfonnación

x = x' cos 9 - y' sen 9, Y = x' sen 9 + y' cos 9

en la ecuación dada, .con 10 que obtendremos.

A(' l"\ 'se'nf"'l)2 B(' e ' e);x: cos: 'O - r 'O. + ;x: cos - y sen .

. (x ' sen e + y' cos 9 ) + C (x ' sen e + y' cos 9) 2 +

+ D (x ' coso9 y-' sen 91 + E (x' sen 9 +y' cose) + F = 'O

la cual puede. escribirse en la forma

CA cos?e + B cos e sen 9+ C sen2e) x,2 + [2 (C - A) cos e sen e +

+ B (~os29. - sen29 1 x'y ' + (A sen29 - B cos e sen 9 + C sen2e) y.2 +

+ [D cos e + E sen e ] x ' + [E cos e - D sen 9 ] y' + F = O (7)

-108-

Si en la expres i6n anterior, -hacemosI

A' = A cos2g + B cos 9 sen 9 + C sen2 9Bt. = 2 CC- A) cos 9 sen 9 + B (cos29 - sen2e)

C' = A sen2e - B cose sen· e + C senJ. eD' = Deos 9 + E sen 9

E' = Ecos g.- D sen e

F' = F

Entonces, la ecuación (7) se transfonna en

(8)

A' x,2 + B' x'y' + C' y,2 + D'x' + E'y' + F' = O (9)Escojamos el ángulo de rotaci6n 9 de manera que B' = O (¿porqué?).

Luego, de las expresiones dadas en (8), tenemos

CC 2 2(cos 9 - sen e) = OA) cos e sen e + Bde donde

CC- A) sen 2 e + B cos 2 e = Opor 10 tanto

sen 2 e = -cos 2 eB

e - A

o también

tg 2 9 = Be - A

o sea que el ángulo de rotaci6n lo escogeremos de manera que1 -1 Be = "2 tg (- e -A)De esta manera La ecuaci6n (9) puede escribirse en la forma

A'x,2 + C'y,2 + D'x' + E'y' + F' = O (10)

A continuacipn demostraremos que B,2 - 4 A'e' = B2 - 4 A e

Sustituyendo las ecuaciones dadas· en (8) en B,2 - 4 A'C', obtenemos

-109-

B,2_ 4 A'C' = [2 (C - A) sen 9 cos 9 + B (cos29 - Sen29)]-4 [ A cos29 + B sen 9 cos 9 + e sen29] [A sen29 -

B sen 9 cos 9 + C COS29] = 4 (C2 - 2 AC + A2)sen29 cos29 + 4·CB sen 9 cos39 - 4 AB sen 9 cos39 +

4 AB sen39. cos 9 + B2 cos49 - 2 B2 cos29 sen29 +

B2 sen49 - 4 A2 sen29. cos29 - 4 AB sen39 cos e -

+

+

4 AL sen49 + 4 B2 sen29 cos2e + 4 BC sen39 cos 9 -

4 AC cos4e 4 BC sen 9 cos39 4C2 sen29 cos29de donde,B,2 - 4 A'e = B2 (cos49 + sen49)

+ 2222 B coso9 sen 9 =

= B.2(cos49 + 2 cos29 sen29 + sen49) - 4 AC (cos49 +

2 2··· 4+ 2 sen 9 cos 9 + sen 9) =

B2 (cos29 sen29)2 - 4 AC 222= + (cos 9 + sen 9)

= B2 4 ACDe este modo queda demostrado que B,2 - 4 A'C' = B2 - 4 AC.Por hip6tesis B2 - 4AC = O Y además hemos seleccionado 9 de

manera tal que B~ = O. Por tanto, - 4A'C' = O. Luego, A' = O 6C' = O.. En consecuencia, la ecuación (9) representa una parábolacuyo eje de simetría es paralelo a uno de los ej e.s coordenados delsistema X' O Y'.

Nota:.

De la demostraci6n del teorema anterior podernosdeducir que se puedeeliminar el término en ~ en una ~cuaci6n:de segundo grado por unarotación de los ejes coordenados. .

Ejemplo 1Determinar cuales de las siguientes ecuaciones de segundo grado represen-

tan parábolas.(a) y = x2 + 3x + 5

-110-

(b) x2 + 3x 4 = y2

(c) 2+ Y 3x 4y =

Soluci6n (a)

B2 4 AC 2- 4 (1) (O) O- = O - =

2+ 3x '+ 5 representa una parábolay = x

Soluci6n (h)

~2 - 4 AC = 02 - 4 (1) (-1) = 4 t: O

2 + 3x 4 2 no representa una parábolax - = y

Solución (e)

B2 4 AC = (O) 2 - 4 (O) (1) = O

2Y + Y - 3x'= 4 representa una parábola

10.- Aplicaciones de la Parábola.

La parábola se usa frecuentemente en la práctica. De susdiversas apli~iones mencionaremos algunas. Reflectores parab6 _;licos se usan en los autom6viles, trenes, torres de estadios, fa-ros, etc. Ar'cos de puentes, son generalmente hechos en la formade un arco parab61ico. En los puentes colgantes, cada cable quecuelga de sus soportes tiene la forma de una parábola si la cargaes uniformemente distribuida a 10 largo de la cubierta del mismo.Una pelota o un proyectil al lanzarse al aire, describe en su re-corrido una parábola. La trayectoria de un cometa puede conside-rarse como una paribola con el sol en su foco. Telescopios dereflexión parabólicos se usan para observar el espacio intereste-lar.

11..- Va elipse.

-111-

Una .e Lí.pse es el lugar geomé tr í co de los purrto s rdeI plano t a-.'les, 'q\:iEi,la suma -de ' sus, d í s-t anc í.as a .dos puntos fijos es una cons -tant e mayor que la distancia entre los puntos fij os.

De esta manera, s í r un punto P Fig. (74) se mueve tal que', lasuma, de las d í s tanc rasT P y F' P es LguaI a lá distancia V V', en-tonces describe una, e l í.pse , Los puntos F y F' se' llaman focos dela elipse. El segment o de recta ..V V' cuya longitud se denota por(2a) ,-se llama eje mayor. ' S,i con' un .radio igual a C V trazamos ar-cos dé cir~(mferencia haciendo centro en ,F y F'; obtenemos dos pun-tos ,B:...Y_B 'qtl'~ per tenee en a la ,elipse ya que :s F + B F' = 2a. Ade-más, B,B' es perpendicular a V V', porque se encuentra sobre la me~d í at r í.z de 'éste último segmento. Al segmento de recta ifBT cuyaLong.ftud se -de sLgna por (2b) 'se llama ele menor de la elipse. Elpunto.C de intersec_ci6n de \os ejes anteriores;.se llama centro dela eIdpse . El segnent o de recta F1fT cuya 10ng1tud se denot a rpor:(2c), ,se llama distancia focal. Los puntos V~ V', B Y B' donde losejes mayor y menor cortan la elip~e,se llaman v6rtices de la elipse.Lps 5pco~ y ,los vértices son puntds que equidistan del centro de laelipse. De este modQ,·lainterprE:?taci6n geom~trica de las constan-tes 'a, b Y e es: .

á= dis~ancia'del centr9 al extremo, del eje mayor = CV = CV'b= " " "c= " ""

v·

" " menor = CB = CB'" "", foco = CF = CF'

B

,/,

/'

e' v

B'

Fig. (74)\

-) , 2-

Las cuerdas L R Y r-R' perpendiculares al eje mayor en losfocos se denominan lados rectos de la elipse.

La excentricidad de una elipse denotada por (e), es la raz6nentre la distancia focal (2c) y la distancia entre los vérticessobre el eje mayor (2a) o sea e = c .a

La excentricidad puede considerarse como una medida de la for-ma de la elipse pues es ,evidente que, si las distancias FF' y VV'variaran de una manera tal que su razón (e) permaneciera siempreconstante, entonces se obtuvieran .eLí.pses de una misma forma y dediferentes tamaños. Si una de las distancias FF' o VV' variara osi ambas variaran sin que permaneciera (e) constante, entonces seobtuvieran elipses de diferentes formas.' La elipse .puede v.ariar deforma, desde una circunferencia ( obtenida al coincidir F y F' ha-ciendo c = o) a una alargada e~ipse que apenas podria distinguirsedel segmento rectilíneo V V', si se manti~nen fijos sus vérticesV y V'.

En cualquier elipse o ~'e<, ya que o~ e < a y su valor li-mite e = 1 (c = a), nos daría el segmento rectilineo mencionadoan~eriormente en lugar de una elipse propiamente. A continfiaci6nse demostrará un importante teorema, de donde se puede obtener laexpresi6n fundamental que relaciona las c~nstantes a, b y c de unaelipse. Esta re1aci6n se usar~ luego para determinar la ecuaciónde una elipse (secci6n 13 ~e este capítulo).

Teorema.\

La circunferencia que pasa por los vértices del r~ctánguLo que tí.ene por lados las longitudes del eje menory la distancia focál, pasa por los vértices sobre eleje mayor de la elipse.

Demostración:Por definici6n los vértices y los focos de la elipse equidis-

tan del centro. Por lo tanto, los puntos D, , D, , DZ y Di Fig.(75) tienen coordenadas (c, b), (c, -b) , (-c, b) y (-c, -b) res-

. '/ 2 2pec tivamente. Luego ,e D, = e D,' = C Dz = e D2 t = V b + e . Su~tituyendo las coordenadas de ~ualquiera de.uno de los puntos ante-riores en la circunferencia x + y2 = rZ, se ~btiene

2= r (10)

Por geometria sabemos que el triángulo V' D, V es rectánguloen D. Luego,

= ( 11)

':113-

Pero:

,(VV') 2 = : (la) 2C.V'D1)2 (c +

'2 (b o) 2 c2 2ac + a2,+ b2= a) + = +

yC.YD,) 2 Cc a) 2 + (b o) 2 2' 2ac + a2 + b2= - - = e

taReempl~zando la tres expresi~nes anteriores en (11), resul-

C.2a),2 = ( e2 + 2ae ... a2 + b 2) + (c2 - 2ae + a2 + b 2.)"

de dondeI (12)

b YLa ecuaci6n anterior ,es la que relaciona las constantes a,

C' de la ,elipse. Sustituyendo (12) en ,('O), se ob.tí.e nea2 = r2

ótambiéna = T

lo -que demue stra el t.eorema . 'y

V'C-a,o)

...- ;';'

r '/'/

'/

'".F e x

Flg. (75)

-114-

12.- Consirucci6n gráfica de la elipse.Primer métodoValiéndonos de la prop í ddad característica, tomamos una

cuerda cuya longitud es igual. al eje mayor, y fijamos.los extre-mos en los focos F Y F'. Después' con una punta de una lápiz, deuna tiza, etc. colocada en P y quedando siempre tensa la cuerda,trazamos la elipse con un movimiento continuo Fig. (76).

F'

Segundo métodoSe divide el eje mayor por puntos cualesquiera, N1 ' NZ '

N3, N4, .etc, Haciendo centro en F y con radios Lgua Les a AN1,AN2, AN3, AN4, etc. s'e trazan arcos'. Del mismo .modo, haciendocentro en F' y con radios iguales a A'N1, A'N2, A'N3, A'N4, etc.se trazan otros arcos que cortan a los primeros en P1, P2, P3,P4, etc. Los punt~s P1' P2, P3, P4, etc. pertenecen a la elipseFig. (77) (¿Porqué,?).

F' , N3

·N· N2 I

F A

rt« rrr)

Tercer método

-115-

Se toma un segmento de recta de longitud a + b, siendoa y b los semiejes. Se m1!eve este segmento de modo que sus ex-tremos A y B queden en los ejes. El lugar geométrico del pu~to P es una elipse. Fig. (78). En efecto, en este punto,' tenemos

x = a e os e

y = b sen ex2 2 2

~= a cos2 b2 2 ey .= sen2 2x = éos 9'2a¿

= sen2 9b2

2 2 2 s'en2-9x + ;Z 9 + 12 = co.s =a

y

B

I

I

I

IyI

III

o A X

La expresión anterior representa la ecuac í.ón de una elipse ,~omo se muestra a continuación.

Fíg. (78)

-116-

13.- Ecuación de una elipse.Teorema. (A)

La forma normal de la ecuación de una elipse concentro en el origen de .coordenadas y eje,'mayor'sobre ~l eje X.esx2 Z

+LZ=la2 b

(13)

Desmostraci6n:De acuerdo a las,definiciones- y propiedades de la elipse

(secci6n 11), las coorde~adas de los puntos B, B', C, F, F',V Y V' son las que Se,muestran en la siguiente fig. (79).

B(o,b)

//"

/"/" x

B'(o,-b)

Fig,(79)

Por definición de elipse, el punto P satisface la condici6ngeométrica

FP + F'P = VV' (14)Aplicando la fór.mula de la·distancia entre dos puntos, tene-

mos

:'11 7-

F P = Vex e) 2 + y2V~e-x-+-c-j-~-+-y-2

V x2 2cx + 'C2 + Y2=

V 2 , 2 2= x + 2cx + e + yF'P =y

VV' = 2a

taSustitu~endo estas expresiones en lá ecuación (14), resul-

2cx + c2 + y2 + V x 2 + 2cx + e2 + Y 2 = 2a ( 1 5)

Para simplificar la ecuaCl0n (15), pasamos el primer radi·-cal al segundo miembro, elevamos el cu'adrado'y agrupamos términossemejante~. E~to nos 4a

a2 - ex = a V x2 - 2cx + e2 + y2 ( 1 6,)

Elevando al cuadrado otra vez, obtenemos. 2 2 22a cx + c x 2 2a x

de donde(1 7)

Si' "l '; 2 2' b 2 b id d 1sustituimos a expresion a - c = o ,teni a e aecuación (12) en la ecuación (17), resulta

b2 2 2 2 2b2x + a y = a2 2Y dividiendo por a b , se obtiene finalmente

2 2~ + L, = 1a2 b2

De esta manera queda demostradQ el teorema,

Teorema. (B)La forma normal de la ecuaCl0n de una elipsecon cen-tro en el origen de coordenadas y eje mayor: sobre eleje y es

2 2L X2,+ 2a b

1 ( 18)

-11,8-

La demostraci6n se le deja al Lec t or ,

Te o'rema , (e)

La forma normal de la ~cuación de una elipse con cen-tro (h,'k) Y eje mayor paralelo al eje X es

y

= '1 (19)

v'

. x'

o x

Flg. {BOJ _

Demostración:La ecuación relativa a los eje~ X' yI Fig. (~O) es ae acuer-

do con él teorema (A).

= 1+ (20)

Sustituyendo, las ecuaciones de tránsformaci6n para traslaciónde ejes ,ett-1a'expresión anterior (20), se obtiene

-119-

(x ' h)·22 +a

= 1

De este modo queda demostrado el teorema.

Teorema'. (D)

La forma normal de la ecuaci6n de una elipse con cen-tro (h,k)y eje mayor paralelo al eje Y es

(y - k)2 (x - h) 2 1 (21)2 +b2 =

aLa demostraci6n se le deja al 1e.ctor.Un hecho muy importante que se desprende de las ecuaciones

correspondientes a los cuatro 'teoremas antetiores es que, el ejemayor de una elipse coincide con el eje X o e~ paralelo a esteeje, si la constante (a) acompafia:al término de la ecuación aela elipse que contiene la va:riáb1e (x) y coincide con el eje Yo es par-a Le Io a este eje, si la constante (a) acompafia al tér-mino de la ecuaci6n de la elipse que contiene la variable (y).Bste importante hecho nos; ay.udará a resolver problemas de laelipse en los cuales, nos dan determinadas condiciones geométri~cas para hallar su ecuaci6n.

, A continuación determinaremos la longitud de cada uno' delos lados 'rectos de la e1ip~e.

Coniid~rand~ la ecuaci6n dada por e1\teore~a (A),y sabien-do que el punto (c, y). la satisface, entonces la longitud de ca-da lado recto se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto(c , y) en la ecuaci6n (13). Esto nos da

+ = 1

que puede· escribirse en la forma2. a2b2 - b2c? b2 (a2 - c2)y' ,= 2 =

a2a,

o también

b4 (¿Porqué?).;:r

.~.'

-120-

de donde

y = +

. 2ba

Luego, la longitud de cada lado recto de la elipse es

.L R = 1 2y I = --a

Ejemplo 1

Dada la ecuaci6n de la elipse 9x2 + 2Sy2 = 225, hallar lascoordenadas del centro, vértices, focos, longitud de los ladosrectos y la excentricidad. Dibújese la elipse correspondiente.

Soluci6nDividiendo por 225 la ecuación dada, tenemos

+ ¿ = 19

Como 25 > 9, entonces2a = 25

b2 = 9

a = Sb = 3

c = 4

Como no hay traslación de ejes, entonces las coordenadasdel centro son C (O, O), las coordenadas de los vértices sobreel eje mayor son V·(S, O) y V' (-S, O), las coordenadas de losvértices sobre el eje menor son B (O, 3) Y B' (O, -3), las coor-denadas de los fo~os s6n F (4, O) Y F' (-4, O), la longitud deca-

2b2 18da lado recto es LR = --- = -- y'la excentricidad tiene un_ c 4 a S

valor de e - a = S'

La gráfica está dada en la Fig. (81), en donde las longitu-des de los ~jes mayor y menor de la elipse están indicadas porlos segmentos rectilíneos V V' Y B B' respectivamente.

y

B(O,3)

.....-.-" ,..

\.." \"

C(O O)

-121-

y' (-S .,0)

S'(O,-3)

FI g.(81)

Y (5, O) x

Ejemplo 2Dada la ecuación de la elipse 4x2 + y2 + 16x - 10y + 37 = O,

hallar las coordenadas del centro, vertices, focos, la longitudde cada lado recto y la excentricidad. Dlbfijese la elipse corres-pondiente.

Solución

Reduciremos la ecuaci6n dada a la forma normal. Completan-do cuadr ado s., obtenemos

4 (x2 + 4x + 4) - 16 + (y2 - 10y + 25) - 25 + 37 = Ode donde

4 (x + 2)2'+ (y - 5)2 = 4de modo que la forma normal es

(x + 2)2 +]

(1 - 5) 2 = 14

Como 4 > 1, entonces

a = 2b = 1

-122-

Como se trata de una traslación de ejes, las coordenadasdel centro son C (-2, 5), las coordenadas de los vértices sobreel eje mayor son V (-2, 5 .+ 2) Y V' (-2, 5 - 2) o V (-2, 7) YV' (-2, 3), las coordenadas de los vértices sobre el eje menorson B (-2 '+ 1,5) Y B' (-2 - 1,5) o B (-1, 5) Y B' (-3,5),las coordenadas de los focos son F (-2, 5 + vf3) y F' (-2,5 -v!3),

2b2la longitud de cada lado recto es LR = --- = 1 Y la excentrici-e = V3 adad vale e = a 2 .

La gráfica está trazada en la Fig. (82)

v -!Íf\I,

s' I 8"e x'\

\ ..~ ~ Jy'

• 2

y y'

- 2 -1 x

Fig. (82)

0(0,0)

Ejemplo 3Una elipse tiene su centro en e (0, O), uno de sus focos en

F (6, O) Y su excentricidad es e = ~ Hallar las coordenadasdel otro fo.coF', Las Long itudes del eje mayor 2a y menor 2b, yla ecuación de la elipse. Dijújese la elipse correspondiente.

-123-"

SoluciónDibuje~os el centro y el foco dados Fig. (8~

y

e(o,O) -. I 2 5 4 5 ·F(6,0)

e

Fig.(83)

D~ la figura anterior podem~s determinar el valor de la se-midistancia focal c = ~, valor este que al sustituirse ~n e = c =a'·3= 5' res.ulta

6a = 3

"5de donde

comoa = lO2 " -,2 2

b, =., 'a - e , ent once s

b2 == 100 - 36.::=64 ;. b = 8Luego, Las coordenadas del foco son P' . c-6, O), la longitud

'de) eje-mayor es 2a =.2 (10) = 20, la'longitud del eje menor esub~',= 2 ·(8).;:16 .Y .la forma normal de la ecuación de la elipse

, .esx2, 2100 + h = : 1

-~q~e,-t.amb i én puede escribirse en la .f'órma

La gráfica es la c~rrespondie~te a la Fig. (84)

-124-

xV'(-IO,O} e (O,O) F( 6, O} vuo, O}

S'{O,-S)

Fig.(84)

Ejemplo 4Hallar la ecuaci6n de la elipse cuyos vértices sobre el eje

mayor son 10~ ~untos V (-2, 6) Y V' (-2, -2) Y la longitud de ca-da 1ad6 recto es LR = 2

Soluci6nDihujemos los vértices somo se muestra en la Fig. (8S)

y

o (e.e)·1 x

•,o ..

l

2

Fi e. (85)

-125-

De la figura anterior es evidente que las coordenadas delcentro de la elipse son e (~2, 2) ya que es el punto medio delsegmento recti1íne~ VV'. Además, la longitud del semieje ma-yor es a = 4 ~ a = 16, Y como la longitud de cada lado rec-to es LR = 2, resulta

-- =a 2

o taJ)lbién

Sustituyendo' los valores de a2 b2 en la ecuacióny .(y - 15.)2 (x - h)2 1, obtenemos forma normal de+ = la la ecua-2 b2ación pedida, la .cua1 es

(y _ 2)2 +16

(x + 2) _4 - 1

que también puede escribirse en la forma

16x2 + 4y2 + 32x - By + 16 = O

14.- Directrices de una elipse.

Retornemos a la ecuación (16) .de la seCC10n 13 de este ca-pi t.u lo. Esta ecuación a2 - ex = a V x2 - 2cx + c2 + y2 puedeescribirse en la forma2a - cx = a ( FP) Ve r Fi g. ( 79)

~ividiendo por(a)la expresión anterior y usando la relacióne = c tenemosa'

a - ex = FP (22)

que nos da una fórmula útil para hallar la longitud del radiofocal (FP), cuando el centro de la elipse es el origen de coor-denadas. De las ecuaciones (14)'y (22), obtenemos

(F'P) = a + ex (23)

-126-

La expres í.ón anter.íor represen.ta la longitud del otro radioF'P. Si dividimos la ~cuación (22) por e, resulta

\F P·a-e x = --e . (24)

Ahora, busquem~s una interpretación geométrica para el pri-mer miemb.ro de la expresión anterior. Si se dibuja una rectaperpendicular al eje que pasa por los focos, localizada a..( : )unidades ~ la derecha del centro de la elipse, entonces el cocien-teF:p representa la distancia desde el punto P a esta recta lla-

---e:-mada directriz Fig. (86). Dbsérvese que para cualquier elip-se e < 1, luego (:) es'una cantidad mayor que (a). Por 10tanto, ia directriz se encuentra situada fuera de la eLí.pse .

y

x

Flg.(86)

~----~h--------~

Además, hay o-tra directriz como se muestra en la figura an-ter~or,. la cual hace el mismo papel con el otro foco F'.. -S'í, M es el pie de la perpendicular desde P a la directriz,la ecuación (24) se transforma en

F P =e·M P .

-127-

o también

F PM P = e (25)

La ecuaCl0n anterior llamada relación de Boscovich se in-terpreta de la sigueinte manera: La razó~ entre la distanciadesde un punto sobre la elipse a uno de sus focos y la distan-cia desde dicho punto a la directriz es constante, e igual ala excentricidad.

La analogia de la directriz de una elipse con la directrizde una parábola es evidente, pues podemos notar que haciendoe = 1 (10 cual es imposible para una elipse) convertiria la ex-presión (25) en la ecuación de una parábola teniendo el mismofoco y la misma directriz.

De es-te modo, la pa r ábo la es la forma límite de una elipsecuando se mantienen fijos un foco y la directriz correspondien-te, aproximando la excentricidad a la unidad.

15.- Ecuaciones de las directrices.

Teorema. (A)

Las ecuaciones de las directrices de una elipse concentro en e~ origen de coordenadas y eje mayor sobreel'eje de las x son

x = + ae

Demostraci6n:La demostración es trivial si observamos la Fig. (86)

Teorema. (_B)

Las ecuaciones de las directrices de una elipse concentro en el origen de coordenadas y eje mayor sobreel eje de las x son

y = + ae


-128-

Teorema. (C)

Las ecuaciones de las directrices de una elipse concentro (h, k) Y eje may_or paralelo al ej e de las xson

(x - h) = + ae

Demostración:Como se trata de una traslaci6~ del origen de coordenadas,

entonces las ecuaciones relativas a los ejes X'Y' sonx' = + a

e

Susti tuyendo en la e-xpresi6n an t.e r í or las ecuaciones detransformaci6n para traslaci6n de ejes, obtenemos la ecuaciónpedida

(x - -h) = + ae

De esta manera queda demostrado el teorema.

Teorema. (D)Las ecuaciones de las directrices de una elipse concentro -eh, ~) Y eje mayor paralelo al eje de las xson

(y k) = + ae


Ej emplo 1Determlnar las ecuaciones de las directrices y las longit~-

des de los 'radios focales en el puntq de abcisa 1 de la elipsedel ejemplo 1 de la sección 13. Fig. (81).

SoluciónLas ecuaciones de las directrices son

+ a + 5x = - = 4" =eS

+ 254""

-129-'

Las longitudes de los radios focales son (ver ecuacionese22), ( 23) )

F-P S 4 (1) 21= a - ex = - S = Sy

F'P = a + ex = S + 4 (1) 29S = 5

EjemE10 2

Hallar las ecuaciones de las ~irectrices y las longitudes.de los radios focales en el punto de abscisa - 3 de la elipsedel ejemplo 2 de la secci6n ·13 Fig. (82).

Soluci6nLas ecuaciones de lªs directrices son

(y - S) = +2 = +

4

Las longitudes de los radios focales no se determinan apli-cando las ecuaciones (22) y (23) (¿Porqué?). Aplicando Pitágo-ras en el. triángulo B C F Píg > e82), resulta

,B' F = B F 2

16.- Forma general.Toda ecuación de'segundo grado de ,la forma Ax2 + Cy2 + Dx +

+ Ey'+ F = O '(A 1- O,.y C 1- O) representa una elipse, cuyos ejesson paralelos a los eJes coordenados, si los coeficientes de lasvariables al cuadrado son numéricamente distintos y de igual signo.

La ecu~ci6n anterior puede reducirse a la forma normal agrppando términos en ex)'y en (y), completando cuadrados y agrupandolós términos constantes.

Te orema ,

Uri'aecuaci6n.de segundo grado en dos variables !.L_Yy con términos en ~, de la forma

Ax2 B Cy.z. + xy + + Dx + Ey + F = O, representa unaelipse si A 1- C y B2 4AC < O

-130.-

Demos·tración:

Mediante una rotación de los ejes coordenados X Y, la ecua-ción Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F =-0; puede transformarse enotra A'x,2 + C'y,2 + D'x' + E'y' + F' = o. de manera que carezcade término en ~ y donde B2 - 4AC = - 4A'C' (ver demostracióndel teorema de la sección 9).

Por hipótesis A :f C y B2 - 4AC < o. ~- 4 A'C' < O =;:>(A'> o. y C'> 0.) o (A' < o. y C' < 0.). Como po demos obser -var, lo? coeficientes A' y C' de la ecuación A'x,2 + C'y,2 +

+ D'x' + E'y' + F' = o. son numéricamente distintos y de igualsigno, y P9r lo tanto representa una elipse.

EjemploDeterminar la naturaleza de la ecuaci6n 3x2 + Sy2 - 4x = o.

SoluciónB2 - 4AC = 0.2 - 4 (3)eS) = - 60. <'0.

Luego, la ecuación 3x2 + Sy2 - 4x representa una elipse.

17.- Aplicaciones de la elipse.La elipse, lo mismo que la parábola tiene diversas aplica-

ciones. Mencionaremos brevemente algunas de ellas. Engranajeselípticos se usan con bastante regularidad en cierta clase demaquinarias. Arcos semi-elípticos, se utilizan en construccionesde'puentes. Orbitas elípticas son las recorridas por los cohetesespaciales. Las trayectorias de cada planeta incluyendo la tie-rra, es una elipse con el sol en uno de sus focos.

]8.- La hipérbola.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del pla-nod tales que, ~~ valor abs.oLut;ode la d í Eerenc ía de sus. di.st anc iasla os puntOs..~l]OS es una constante menor que la distanci~'entre .os puntos flJOS.

De esta manera s~ un p~nto P Fig. (87) se mueve tal que,la diferencia de las dlstanclas F P Y F'P es igual a la distanciaVV', entonces describe una hipérbola. Los puntos F y F' se lla-

- f31 -

man'focos de la hipérbola. El segmento de recta V V' cuya longitud'se denota por (2a), se llama eje tré:lnsversal. -Si con,un radio radioigual ;:l C F trazamos arcos de circunferencia haciendo centr.o en V yV'" obtenemos dos puntos B'y B' que no pertenecen a la hipérbola yaque B F - B F' = o F 2a. Además, B B' es perpendicular aV V', porque se encuentra sobre la mediatriz de éste último segmen-mento. ~'Al segment;o de recta BlfT cuya longitud se designa por (2b),se llama eje -conjugado de la hipérbola. El punt o C de intersecciónde los, ejes anteriores, se llama centro de la hipérbola. El segmen-tó de recta F F " cuya longitud se de no t a por (2c), se llama dis tan-cia focal. Los punmos V y V' donde el eje transversal corta la hi-pérbola, se llaman vértices de la hipérbola. 'Los focos, los vérti-ces y los puntos B y-B' eguidistan del cent~o de la hipérbola. Deeste ,modo, la interpretación geométrica de las constantes a, b y ces:

b = "a ~ distancia del centro al'extremo del eje transversal = CV = CV'

"" " "c = " foco" " "

" conjugado = CB = CB'"= CF = CF'

Las cuerdas L R y L R' perpendiculares al eje que pasa por los fo-cos en estos puntos, se,denominan lados rectos de la hipérbola.

/B »>

1M - - - -. - ~ - . -"7 - - ~- -,»> :

I

1

O',

,C

J_ ..- - -- ... -~- - - - - - - - - - -s'

-132-

. La excentricidad de una'hipérbola denotada por (e), es larazón entre la distancia focal (2c) y la distanc~a entre los~értice~ sobte el eje transversal· (2~) o sea e = ~. Esta ra-zón puede considerárse como una medida de la forma de la hipér-bola y siempre es una cantidad mayor que la unidad (¿porqué?).

Como en la elipse se demostrará un importante teorema, dedonde se puede obtener la expresión fundamental que relacionalas.constantes a, b y c de la hipérbola. Esta relación seráusada para determinar la ecuación d~ una hipérbola (sección 20de esté capítulo).

Teorema.La circunferenciatángulo que tieneeje transversal ypor sus focos.

Demos tratión: . Fig. (88)

que pasa por los vértices del.rec-por lados las longitudes delconjugado de una hipérbola, pasa

Por definición los vértices V,V'y los puntos B y B' de lahipérbola equidistan del ~entro. For 10 tanto, l~s puntos D1,_ D'l'y'DZ y D'Z tienen coordenadas (a,b), (a,:-b), (-a,b)y (-a,-b) respe~tivamente. Luego, C D1 = C D1' = e D2 = C D2' = \/aZ + b2 . Sus-tituyendo las coor~enada~ de ~ua1quiera ~e uno de los nuntos ante-riores en la ecuac16n de la clrcunferencla xZ + y2 = r~, se obtie-ne

(Z 6)

Por.geometría se sabe que el triángulo F' D F es rectánguloen D. Luego,

(F' F)2 = (F' D) 2 + (F D)2 (27)pero,

(F' F)2 = (Zc)2(F' D)2 (a + c)2 (b _-o)2 2 + Zac + Z _+ bZ= + = a c

y(F D)2 (a e)2 + (b 0)2 Z Zac + Z

+ bZ= - - = a - c

Reemplazando las tres expresiones anteriores -en (Z7), resul-·ta

-133'-

dé donde,C2 2 b2= a +

y

x

Flg. (88)

La ecuaci6n anterior (28) es la que relaciona las cons-tantes a, b y c de lq hipérbola.

Sustituyendq (28) en (26), se obtiene2 2c = r

o tambi-én-

lo que demuestra-el teorema.De lo expuesto anteriormente, el lector-podrá notar l~ es-

trecha analogía que existe entre la elipse y la hipérbola.I

19.- Construcci6n gráfica de la hipérbola.Primer métodoValiéndonos de la propied-ad ca racterí stica, fijamos en uno

de. los foco~. una regla que pueda girar alrededor de este foco;

-134-

f{jamos en el extremo Q de la regla y en el otro foco un hilo cu-ya longitud es la de la regla disminuida de la cantidad (2a).Con una punta de lápiz, de tiza, etc. en P y quedando tenso elhil~ se desctibe la hipérbola Fig. (89).

Q

Flg (89)

-Segundo.método'Se to~a desde' el punto O, mitad de FF', la distancia OV= OV' =

= a. Desde puntos cualesquiera M, pero no comprendidos entre los

focos, con radios iguales a MV y MV'y haciendo centro eJ1.F y F', sedescriben arcos que se cortan en los puntos P Fig. (90J.

v' o v

r/». (90)

-135-

ZO. - Ecuaci.6n de unq hiijérbo1a.Teorema. CA)

La forma normal de la ecuación de una hipérbola c~ncentro sobre el origen de coordenadas y eje transver-sal sobre el eje X es

= 1 (Z9)

.:

Demostraci6n:~e acuerdo a las detiniciones y propiedades de la hipérbo-

la (secci6n 18)., las coo-rdenadas de los puntos B, B', C, F, F',V Y V" son los que se mues·tran en la siguiente Fig. (91)

. 8(0.," / /-r--- --,..¿"-, .r:

I ~ /

"(-e,O) ,Vi (_ •• O)

I-L _

x

n«. (91)

Por de f í ní.cí.én de hipérho1a., el punto P sat í.sEace la condi-ción g_eomét-ricaIFP·' - FP I~ VV' (30),.-

:Aplicándo la f6rmu1a de la distancia entre dos puntos, te-nemos

F'P = = \ /xZ' - ZV + Zcx + c + yZ

-136-

F P = "V (x - c) 2 + Y 2 = V x 2 "~ 2ex + c 2 + Y 2

y

v V' = 2a

Sustituyendo las tres expresiones anteriores en la ecuaci6n(30), resulta

v x 2 - 2cx + C2 + Y 2 = 2a

Procediendo de la misma manera que en el teorema (A) de laelipse (secci6n 12 de este capítulo), se obtiene

2 2(a - e ) = (31)

Sustituyendo la expresión a2 c2 =_b2 obtenida de laecuación (28) en la ecuación (31), resulta

2 2 2 2- b x + a y =y div Ldiendo por

2x2a

lo que demuestra

- a2b2, se obtiene finalmente¿

2"b

= 1

el teorema.i\ota:

Si sustituimos las coordenadas del punto P (e, y) en la ecua-ci6n anteri9r, obtenemos la longitud de cada lado recto 2b2a-.Teorema. (B)

La forma normal de la ecuaci6n de una hipérbola concentro sobre el origen de coordenadas y eje transver-s~l sobre el eje Y es

2'xb2

= 1 (32)


Teorema. (e)

-137,.

La forma normal de la ecuac i ón de' 'una hipérbola concentro. (h, k) - Y ej e tr.an sve.r s a l para1e 10 al e j e Xes-

(x - h) 22a

= . 1 (33) .

Demostraci6n:

La ecuac+ón. re1a.tiva a los ejes X'Y' Fig. (92) es de acuer-do con eL teorema (A)

, 2x7 = 1 (34)

Uti1iza.ndo· Las ecuac i.ones de t r ans Formac í ón de ejes en laexp re s íón anterior fJ4) , se ob t í ene

..

ex - h) 2 (y - k) 21

a2 +b2 =

y y'

x'

r -

o vÓ, x

Fig.(92), -

De esta manera ..queda demostrado el teorema.

-138-

Teorema. (D)La forma normal de la ecuac i on de una hipérbola concentro (h, k) Y eje transversal paralelo al eje Y,es

1 (35)

La demostración se le deja al lector.Como en la elipse, un hecho muy importante que se desprende

de las ecuací.ones correspondientes a los cuátro teoremas anterio-res, es que el eje transversal coincide con el eje X o es parale-lo.a.este eje, si el signo positivo acompaña al término de la eCl}a

.ci6n de la hipérbola .que contiene la variable (x) y coincide conel eje Y o es paralelo a 'est~ eje,·si el signo positivo acompañaal término d~ la ecuacj6n de la hipérbola que contiepe ;a variable(y) . Nó t'ese que la constante Ca) se halla co í nc í denc í aImente enel término que contiene el signo posí t ívo; pero esto no significa,que esta constante'(a) pueda usarse .en vez del signo positivo paradeterminar la coincidencia o el paralelismo del eje transversal

,con respecto, a uno de los ejes' coordenados, ya que (a) puede sermayor, menor 'o -í guaI que eb) en la hipérbola. Si a = b , la hipér-bola se llama equilltera.

21 . - Directrices- de ·una hipérbo'la X sus ecuac·ion.~s.Como en el caso de la elipse, es fácil demostrar que se ob-

tienen resultados semejantes a los de las secciones 14 y 15, exc~pto que las lon~ltudes de los radios focales de la hipérbola tie~nen ,.porecuac í ones F P- (ex á) y . F' P = (ex + a) las¿~ales el lecto~ puede probar.

22. -'. Asíntotas de una h.ipé'rbo la.DefiniciónUna asíntota de tinacurva es'una ,línea recta tal que, la

distan~ia 4esde un punto sobre la c~rva a la línea'recta, se.anroxima a cero a medida que el punto s'e.aLej a indefinidamente al? Largo de la ~urva. Conside:~mos' un pun~o P (x, y) sobre =una .hlpérbola>que tlene por ecuaClon _x~ _ ~ =. 1., que puede trans-

, + b \, / 2 2 a bEormarse a y ~.~ - V ,x - a '.,Si 1a.scoordena~as x, y de .este pun-to'son 10 suflcleRtemente grande como para declr que el punto P seha-l!a,muy,distante del,centro de r La-h ípé rboLa; entonces La iecuac i.ónanterior se .reduce a la Eo.rma

y =. ! b'W (¿Porqué?)a .

-139-

o también+y - - b x

a

de donde

y Q_ xao= y =

Ecuaciones que representan dos líneas rectas quebel orige~ de coordenadas y cuyas pendientes son a y

, x2Estas rectas-se llaman asíntotas de la hipérbola 2aFig. (93). .

Fig. (93)

pasanb

~b2

x

por

1

Las ecuaciones anteriores de las asíntotas pueden llevarse ala forma

bx·+ ay·= O . o bx - ay = O

-140-

La distancia d desde un punto P (Xl ' Yl) de la hipér-bola en consideracióñ a. una de estas rectas, por ejemplo a la'hx' ay-. O es

bX1 - aY1 bX1 a~ld = =J- 2 + -2 e. b a

(36)

Como el' puntó Pl (xl' Yl) está sobre la hipérbola, entoncessa't i s face su ecuación, luego

-2 2xl Yl

1,'-y- .,.b2 =

aque puede escribirse en la forma

2' 2b x, 1 "

2 2a Yl =

2 2a b

o tambié.n

(. .bx + ay ) (' bx 1 - ay 1 ). - a-.2b 2, l' 1 '( 39)

. Sustit~jendo (36) en {37), se obtiene

=de donde

d = 2b2a

Es evidente que si en la expresi6n anterio~~. e 1 crecensin' límite"entonces d se aproxima a cero, 'de modo que las rec-tas y = + ':% x son verdader~mente asíntotas ·de la hipérbola2

"X2a .

las ecuaciones' de2x .....- =¿

bse

(¿ Po rqué j j , 'Para deter~inar2

, Las, -asíntotas de 'una hipérbola_- de ecuación -~a..

p r oce.der á de .un modo seme j arite al anterior.

Las diagonalesdelr'ect&ngulo formado por líneas verticales

-141 -

que pasan por los'vértices y líneas horizontales que pasan porlos puntos (O , b) Y (O , -b) Fig. , 93) representan las asín-

I 2 2totas de la hipérbola x L 1 • Las asíntotas de cua1-2" =

b2aquier 'hipérbola deben siempre dibuj a.rse como una ayuda a su grá-fica.

l3'.- Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola.,

Teorema. (A)Las e~ua¿iones de las asíntot~s de una hipérbola concentro ~obre el origen de coordenadas y eje transver-sal sobre el eje X son

y = + - xba

Demostración:\

La .demostración 'está dada en la s-ección anterior 21.

-Teo r-ema.. (B)

Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola concen.tro sobre el or í gen de 'coordenadas y eje transver-sal sobre el eje Y son

,Y + ab x

La demostración s~ le deja al lector.

Teorema. (C),1

Las ecuaciones de las asíntotas de Una hipérbo1á concen tro .(h, k) .Y eje t ran sversaI paralelo al eje Xson

(y k), = + b (x - h)-a

Demostración:Las ecuaciones reLa t ivas 'a los ejes X'Y' Fig. (94) son

v ". = 'b+ x'a, (38)

-142-

Sus-tituye ndo las ecuaciones de transformación pa r a trasla-ción de ej~s en (38), resulta

(y'- k) ':: + ba h)(x:

10 que demuestra el teorema.

y

Xl

x'

rt«. (94)

Teorema. ;(D) "

Las ecuaciones de las asíntotas de una hipé rbo l a concentro (h~ k) Y eje tran~versal p~ialelo al ej~, Yson

(y',- k) a "+ -b (x h)=

La demostra¿ión se' le deja ~I lector.

Ej emplo ] "

.Dada, la ecu~ción de' la hipérb9la, T6x2 9y2 '+ '144 = O ha-llar las .coorden ada s del centro, ,v,ért'ices, ,focos, la longi tud deca da lado recto, la ex cen t.r-í c í dad , l,i;lS ec uac iones de las di r ec-t.rí.ces iy de las asIn tota s . D'i.büj es é" la hipérbola correspondien-te. '

-143-

SQluci6nDividiendo por 144 la ecuación dada y llevando al término cons~

tante 'al segundo miembro, tenemos2 2

x L = - 19'" ]6o también ¿

16

De la expresión anterior, obtenemos2 16 =,4a = a

b2 = 9 . b = 3,2 2 b2 25 5e = a + = c ,,='

Como no hay traslación deson C (O', O)" las de los f oco slos vértice~ V (O, 4) Y V' (O,

2b2 18 9to es LR = -- = =a 4 2

las e~uacíones directrices sonasíntotas son y = + a

b x

ej es, las coo rden adas del cen troson F ( O, '5) y F I (O, - 5), 1as de-4), la longitud de cada lado rec-

e 5la excentricidad es e = a = 4y 4="!: : = + ~ y, las de las

+ '3 x.=

La gráfica está dada en la Fig. (9S) '.

rt«. (95)

-144-

Ejemplo 2Dad~ la ecuación de la hipérbola x2 y2 + 4x + By - 11 = O,

hallar las coordenadas ~e1 centro, vértices, focos, la longitudde cada lado recto, la excentricidad, las ecuaciones de las direc-trices y las ecuaciones de las asíntotas. Dibújese la hipérbolacorrespondiente.

SoluciónReduzca la ecuación a la forma normal completando los cuadra-

-de s' de la siguiente manera:

(x2 + 4x + 4) 4 (y2 _ Bx + 1 6) + 16 - 11 = O

de donde2(y - 4) = O

de la ecuación anterior, obtenemos2 1 1a = a =

b2 = 1 b = 12 2 + h2 2· =Vze = a = e

Se trata pues de una hipérbola equilátera. Las coordenadasdel centro son c (-2, 4), las de los vértices V (-2, 5) Y V' (-2,3),las de los focos F (-2, 4 +Vz) Y F' (~2, 4 -Vz), la longitudde cada lado recto es LR 2h2 2, la excentricidad es= -- =ae e = Vz, las ecuaCl0nes de las directrices son y - 4 == -a= + 1 Y las de las asíntotas son y 4 = + (x + 2).:.

La gráfica eitá trazada en la Fig. (96), en donde las longi-tudes de los ejes transversal y conjugado de la hipérbola están i~dicadas por los segmentos rectilíneos V V' Y B B' respectivamen-ue. Obsérvese que se t~ata de una hipérbola equilátera.

-145-

EJemplo 3l!na lrí.pé rbo la .pasa por el punto "(3Vs, 4),Y sus vértices

son los puntos ( !.6, O}" haliar su ecuación.

v' y

X'

-2 . o-1 X

F t«, (96

Soluci6nDibujemo~ los puntos dados como se mriestra en la siguiente

Fig·•. (97). '

y

4- - - - ----- ---~(3ve,· 4))

2I

t I

_. -s -4 -J -2, -t t 2 ) .. 5 .• :

v' (- S 1O ) o V (S,O) x

Fil. (97)

':'146,.

De la .f í gur a anterior ,. se deduce 10 s Lgu í.errte :

_i) el éentro de la hipérbola coincide con el origen de coor-denadas.

ii) el eje t r ans versa I coincide con el eje x.iii) Ca) igual 'a 6. -:la constante es 2 2iv) la .ecuac i ón de 'la hipérbola es de la forina x ;-= 12

_.a b

Susti tuyendo las' coordenadas del punt o dado ( 3...J5.; 4) Yel valor de a = 6 e~'la ecuaci6n de la hipérbola, se obtiene

.__ 42- ¡- . 2

b= . ,1

que puede esc r Ib í r se en la forma

. 4S30-

de donde

16b2 = 1 .

b2 = 64 .:. .

Luego, la forma normal de la ecuaci6I1 pedida es

·2x~6

2L64 = 1

que también puede esc r í bi r se enla forma

16x2 _ 9y.2 576 = O

Ejemplo 4

Bá11ar la ecuac i ón. de la hipérbola determinada por las si-guientes condiciones: Cent r o T (4, 21, uno de sus focos F' (4, 7)

tr í • d d 5Y excen r1C1 a e= ~.

Soluci6n

Dí.bujemos eL,:ce~tr,o' Y. el ,foco dados como se muestra" en laFig e ' (98) .'

-147-

a x

,y

7 ·------~F(4.7)•

e4

I

2 - --- ----~ C(4,2)

I

ri«. (98)

'De la -f í.gur a anterior, se deduce 10 s iguien te:

i)ii)ií'i)

el eje transversal de la hipérbola es paralelo al eje Yla constante (~) 'es igua1'a 5la ecuación de la hipérbola es

ex - h) 2 _ 1, 2 -corno ~ = eaTambién b2 = c2 - a2 = 25

de la forma '(1 - k) 2-2a

entonces 53

s'-~a ' a = 3 = 9.

9 = 16.

Luego, la forma no rma I de la ecuación pedida es

(y _ 4}29

ex - 2) 216 = 1

que tamb í én puede escribirse en la forma

1~x2 - gy2h 128x + 36y + 364 ~ O

, .24. - Forma General.

Toda ecuacf6nde segundo grado de la forma Ax2 - Cy2 ++ Dx + Ey + F·O CA p O Y e, O) representa una hipérbola,

-148-

cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados, si los coeficien-tes ue las variables al cuadrado son distintos (¿Porqué?).

La ecuación anterior puede reducirse a la forma normal a-grupando términos en (x) y en (y), completando cuadrados y agru-pando los términos constantes.

Si además A = - C, la ecuación se transforma enA ex2 y2) + Dx + Ey + F Ú- =

y la hípé r bo La correspondiente es equilátera.

Teorema.Una ecuación de segundo grado en dos variables ~y con término en ~ , de la forma

A 2 B Cy2 D E F Ox + xy + + x + y + =hipérbola si B2 - 4AC > O

representa una

Demostración:Mediante una rotación de los ejes coordenados X Y, la ecua-

2 2ción Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = O, puede transformarse enotra de la forma A'x,2 + C'y,2 + D'x' + E'y' + F' = O de maneraque carezca .de término en x'y'·y donde B2 - 4AC = - 4A'C' (verdemostración del teorema de la sección 9).

Por hipótesis B2 - 4AC > O~ - 4 A'C' > O --9 (A)O y C'<O)o (A'< O Y C' > O). Como podemos observar, los coeficientesA' y C' de la ecuación A'x,2 + C'y,2 + D'x' + E'y' + F! = Oson de distintos signos, por lo tanto representa una hipérbola.

EjemploDeterminar la naturaleza de la ecuación xy - 6 = OSolución

B 2 - 4AC = 12 - 4 eO) (O) = 1 > OLuego, la ecuación xy - 6 = O representa una hipérbola.

-149-

25. -Ecuación, ,de la', recta- t,angente a una cónica' en ~n puntodado.

, . 2 . '2 ( )Sean Ax +'Cy +'Dx + By + F = O y, Pl xl' Y1) la ecua-c í.ón de la cén i.ca y eI punto dado sobr-e la _misma', como se mues-tra 'en la ¡:ig. (99)

.,cua Lquier aBs c o j amos u~ punto QJ CXj + p, Y1 + q) sobr e la

", .._ .. '..~sea' la pendiente de rectfl secante pasa p(Yconlca y. m que por

Ql .'(11 + q 1 Y1 q

.Luegn , .m.. =eX1 + p 1 xl P

Cómo los puntos Pl y Q1 s atís Eace n la ecuación de la cón í ca ,

+ e 2 + D' + E + F o. y. 1 ' ,xl Y'l = (39)~

y' t,ambíén

ACx1- + p)2 + C (Yl + q)2 ,¡.- D (x , + p) + E (Y1 + q) +

+ F = o (40)

-150-

Restando (39) de (40), se obtiene

(41)

Dividiendo por E y sustituyendo m = -- g_ en (41), resu1tap

2Ax1 + Ap + 2CYlm + Cqm + D + Em·= Ode donde

2Ax,1 + Ap + Dm = (42)

+ Cq + ELa ecuación anterior representa la pendiente de la secante

P1 Q1· Imaginemos ahora al punto P1 como punto fijo y movamos alpunto Q1 a 10 largo de la curva hacia P1; esto es, Q1 se acerca aP1. Esto es equivalente a establecer que E y g_ tienden a cero. Sila recta secante tiene una posición límite, esta posici6n es la re~

.ta tangente a 1a~c6nica en el punto P1. Denotemos por m la pendiente de ,la recta tang~nte. Luego, el límite de la pendiente m de larecta secante P1 Ql' es la pendiente m' de la recta tangente, .cuandoE y g_ tienden a ciro. Tomando en consideraración 10 anterior y tam-bi~n la ecuación (42), obtenemos

=DE

La ecuación de la recta tangente es2Ax1 + D

'( - Yj = (X - X )2eY1 + E 1

2CY1Y + Ey 2Cy 2 - Ey 2Ax1x + 2Ax12

- 'Dx + DX1- = -1 ' 1que pu~de escribirse en la forma

2Ax1x + 2CY1Y + Dx + Ey = 2(Ax12 + CY12.)+ DX1 + EY1

De "La ecuación (39),~se obtiene2 2Ax1 +CY1' =-Dxl EY1 F

-(43)

. -151-

Susti tuyendo la expres.i6n anterior en (43), tenemos

Dx - Ey - 2F1 1

Dividiendo por dos e igualando a cero la ecuaci6n anterior,obtenemos

.Ax1x + Cy1y +

de donde

D' D E E2" x·+ 2" Xl + 2 Y + 2" Y1 + F = o

D2" (x + x1) + E2 (y + Y1) + F = oes la ecuac í.ón de' la recta tangent e a la' cón í ca :

Ax2 + Cy2 +. Dx ~ 'By .~ F;= O, en el punto Pi (x , ' Y1). Comoen la circunferencia.', una forma de recordar esta ecuación consis-te en sustituir en la ecuación de la c6nica a·

2x por .. x Xl " .

2Y por Y Y1

1 (x + Xl)x por '2y por 1 (y + y 1)'2

Si la ecuaci6n de l~ cónica dada contiene término'en xy, ade-más de las sustituciones 'ante'riores, se hará la siguiente:

xy por

Ejemplo 1'2Hallar la ecuaci6n de la rec~a tangente a la parábola y = 4x

en el punto 0, -2)

Soluci6n

y Yl = 2 (x ..+ x·)_.1 '.

2y = 2 (x + 1)

O = x ... y + 1

·-1:-52'"

EJemp19: 2

Encontrar' Lavecuací.ónvde la t ang en te i a la hípérbola x y = 6en' el punt o (2,' 3)

.SoluciÓn

:f. '2 (x 1 y + x y 1) =' 6

. 1 (2-y + 3x)'2 =

0" - 3x ,+' 2y

6

1 2

·Ejemplo·3r

Det.erm ina r la .ecuací.órr de la tang en te a la' elipse .de} e jem-pLo 2' de. la seccí ón ,12) en el punto '(-z', 7)

S(jl~cí6n

.4xx 1 + YY 1 +. 8 (x ,:+ Xl) - 5 (y + Y 1} +. 3 7 = _OBx +, 7Y , ,+. 8 ( x '- 2 ) .S ( Y+.7 ) + - 37 .- O

O =" 2.Y . - 1 4"

26. - Ap.1icaciones ,,~e la. hipérbola.

" . Ilria :d,~, l~s ap Lí.cac í enes más impoTtante de la hipérbola es'en ccn t r a'r .rec or r ido.s ' o a.l can ce s. .Supo ng amos. que se -di s.pa r a unarma cuyo sonido á l canza a dos e s t a c í one s escucha F y 1=' .La di.fe.renci a :de tiempo GOp. .que dicho so n í do llega a las dos' e s t ac í o-'nes muLt ip.Lí cada ipó rt l a velocidad' de éste n os -da la di Ecrcn c i ade' las distancias de l -r evó l vér ·a- los pun ro s F y P", di f c r enc i aésta que' ,~:s'a'mos denotar por (2a) .... El 'arma e s tri sobr c.i unu h i - ''p:éf,b~ia' que 't íene sus focos en F y F.', I~a"rama de la_ hipérbo 1a .sobr-e la c~al, se halla- el' a.rrna se co noc e ya que todo depende decua l es t ac íón .e s cucha .rec í b e pr í me.ro el s on ido. ,Usando una,' te,r-ce r a est áe.i ón F,j. con, una cua l qui er a F. o P', podemos conoco r la,r ama _ (de ,la' .nueva h i'pé r bo l a que. se ~óbti:ene) sobre la cual 'seh~lla-el arma" "Finalmente un punto de intersección 'de estas 'ra-mas 1)05 dá <La pos ic í ón . del 'a'Tma,'

1 • -

2. -

153-

E J E R e 1 e lOS

En cada uno se los sí.gu í enteg, casos dibuje,la gráfica de laecuación'dada y el puntó dado A. Entonces dibuje los ejesX' y y' pasando por A paralelos a los ejes originales X yY., Encuentre la ecúación de transformación con respecto alos

a)

nuevos ejes.

2x 3y + 4 = O A (1 , -2)Y = 3x 1 A (-2, 1)

l. + x = ] A (4, 4)-2, "3y = x2 x - 6 A (O, 3)

1 2 + 4x O A (-2, 5)Y - 2' x =

b)

c)

d)

é)

En cada uno de los siguientes casos dibuje la gráfica de laecuación dada, rotando los ejes en'ún ángulo 9. Encuentrela ecuación de transformación ~esp~cto ~ los nuevos ejes.

a) 2x - y - 2 = o' e = - 45°b) 3x '+ 2y = 1 tg e = 2c) =V3

2 3Y x m = 4"

d) 1 e 45°y =, - =x

3. - ¿ Cuál es la naturaleza de la ecuaci6n del ejercicio 1. e?2 2Demostrar que la ecuación 5x + 4xy + By = 9 se transforma

en'9x,2 + 4y,2 = 9 cuando los ejes se rotan en un ángu~~ cu-··yatangente es,2.

4. -

Para·cada una de las siguientes cónicas representadas porlas ecuaciones dadas, hallar las condiciones geométricasapropiadas.

S. -

a) x2 = By

b) 2 12xy =

c) 2+ Y = Ox

-154-

d) y2 = -4x

e) 2 8x 6y + 17 OY - =

I.f) x2 = 6, (2x + y)

g) 2y 2 3x + 4y + Z O. - =

h) 2 + 16x 16 OY

i) 25x 2 + 16y' 2 4QO=

j) 2 +. 25y~ 25 O'x - =k) 2y 2 2-

8+ 8x =~) 16x2 + 36y-2 = 576

m) 2x2 + :2 + 2y -. '1 OY =

n) 2y 2 + 2 .+ .4y· + 6x +,7 Ox =

Ol 4x2- + 2 4x 6y 34 O91'_ ... - =

p) '4y 2 + 3x2 6x + 8y 5 O- - =

q) y2 x2 - O

r) 25x2 -, 144y-2 =,360Q

.s) 4x 2 2 12 O3y- - =

t) 3y2 - 5 '.= 2x2

v) 4x-Z 9y 2 24x 18y 9 O- - - - =

w) 4y 2 -- x 2 + 8y + 6x 9 O- =

x) 2 4y 2 + 12y 5 Ox - - =

y) 16x 2 2 O- 9y , -' 32x· - .128 =

6..- . En cada uno- 'de los~iguiéntes_ ej erc Ic í os=ha Lfar la ecuación _de la cónica determinada por las condiciones geométricasdadas a continuación:

a) . Par áboLa: F (4, O) ; ecuac í.ón directriz x = - 4-

b) .' Par&bola: V (O, O) ., pasa por (3, 6) eje = eje X

c)

d)

e)

f)

g}

h) .

i)jlk) .

1)

m)n)

o)

-155-

Parábola: V (.o, O) · directriz y = 3,Parábola: V (O, O) · directriz x =. -4 abre hacia, ,la derecha, foco sQbre el eje X.Parábola: V -(3, 4) ; pasa por' (6, 7) Y eje el de las Y

Parábola: V (-1 , -1) . directriz x = - 2,Parñbo'La : V ( 1, O .1; PO , 2)Parábola P .[4 ,. 1) · directriz x = 2,Elipse: e ca Q) · F C6 O) . excentricidad e ·3= .'S"- , , - , ,E.lipse: Vé·rtices (O, + 4) . lado recto = 5- ,Elip.se:: ..Excentricidad e = 3 e (O, .0) . focos4 , ,sobre el eje X distancia del vértice al foco más.,cercano Z:Elipse: 'Elipse:

Focos (O, .~ ViO ) ., pasa por e2, 3). e = 53.,Focos (O, 1) y (_6, 1)

Elipse:Elipse:

12"Vértices (1,.1) (1, -1)y ., e =

e (-1,2) F (-1', -2) ., extremo eje.,menor C2t 2) ..Elipse: V'· (-2, -1) ., V (4, -1) ; extremo ejemenor ('1. , 1).

Vértices (O + 6) . excentricidad . ~. , - ,

e (O, O) . F (4, '0) . excentrici'dad e = 2, ,Asrntota.s (y2 - 9x2 = O)

q.) Hípé rbo l ac

r) Hipérbola:s) ·Hipérbola:t)

v)

Hipérbola: Focos (! '5·,O)'.

3te 4"

., asíntotas con pendien-

......

Hipérb.ola: (- 2, 1) ., F (-2, 4)( - 2, 3)V' v

-156-

w) Hip~r1?ola: V' (1, 1) ; V el, 9) 3e = 2"

x) Hipérbola: e (4 2) F (4, 7) 5e = 3"

y) Hip~r.bo1a: Cuyos focos y v~rtices son respectivamen-te, los vért.icesy focos de la elipse cu-

·'6' 9 2 25 2 36 150ya ecuaC1 n es x + y - x + y +

+ 36 = O

7.- Hallar las ecuaciones' de las tangentes a las cónicas de losejercicios 5f; 5m y 5w. , en el punto de coordenadas(-2~ 3).

8.- La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focosestá el solo Sabiendo 'que el semieje mayor de la elipse es148.5 millones de Kms. y que la excentricidad vale 00 017,hallar la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol.

9.- El cable de un·puente colgante entre dos de sus torre~ tieneforma parab6lica. La distancia del punto más bajo del cablea la carratera es 10 Mtso, la distancia entre las torres esde 200 Mts., la distancia del punt o- más'alto de la torre ala carretera es de 35 Mts., hallar la distancia horizontalde un punto sobre el cable al punto medio de las torrés talque la distanc~a vertical de dicho punto a la carretera seade 14 Mts.

10.- Tres estaciones escucha están localizadas en los puntos-21 25.-A (O, O) ,'B (O, T) y e CT,O)_s1endo la unidad 1 Km.

En estos puntos se hallan localizados micr6fonos, q~e de-muestran que un revólver está ~ de Km. más cerca~o de A que

7de e y 4 Km. más cercano de B que de A. Localizar la posi-ción del rev61ver. '(Lea ap li caciones de la h ípé rbol.a),

11.,- Hallar las ecuaciones de las directrices de cada una de las.siguientes cónicas

a) x2 = - 8yb) ex + 3) 2 (y - 3) 2

+ = 14 16 .,c) ex - 3)'2 = -8 (y - 4)

-157 .,: .

..

.+...J)2 .312 2d). Cx + (l . ..) = 1.4' 1

2 " .2 .e}' L x 116 =

9

12. - -Bncont.r a r la e cuac Lón de la c6nica en cada. caso indicado.

,.t~'.~ Bncont r an el 'v:alor de los' radi.os foca l es de la elipse x2 + 9y2 :;::

, =. i8 en lbs purrt o.s de' absc í sa comGn(- 2)

14. -. De'te.rmInar ·.el va Lo rvde Los radios focales de. la hí.pérbo l a2 . 2 - .. -4x,,:, +9y = 36 e-n .Lo s puntos de .o'r denada común (2).

1 S ~ - -Hal.1ar las .ecuácd.ones de las asintotas de la hipérbola del

e j eap lo unt.e r í.or.,

1'6. - -Lcs extremos. de los . lados rectos de una hipérbol.a son, los. _ .

. vé'·rt.ices. de un. re'ctángulo' cuyos Lados .par.a l e l.os al e je. conj u-, "garlo ·~s. ·;..de. los,' lados. p'aralelo$ al eje -t ransver sa l . Hallar. ,l~ ~xcontricidad de la hip€rbola.

j7.~Un~ re~ta 'paralela al eje_~onjugado de ·uria 'hipérb~la intersec-.ta .en Los rpun tos ,P y P "'. s í V· y V', son los vértices, demos-

- ' .

t rar que, P V es pe rpend.í cul.ar a 'P'V' y qué P'V es pe rpend'í cu-laraPV'.

18'.'-.·U~-.arco par~b6li'C,~: 'tiene las d ímens í.ones mostradas en la 'si-'gui~nte", r..~,g. .(_l DO)

,6•.00m

I.OO~

-158-

y

x·

I.OOm ,1 .OOmFlg. flOOJ

a) Encontrar la ecuación de la parábola con respecto'a losej es dibuj ados en la fig. '._b) Calcular los valores de y,. en los puntos donde x =" 2, 5 Y 7.

19. - Un arco 'sem:ie1íptico de un puente de hormigón armado t í.eneuna luz de 20 metros y una altur a de 6 metros, como se mues-tra en la siguiente Fig. oot).

y

x

FIg. t rot!

I

Se necesitan saber las alturas a las distancias 2,4, ·6rY .8 .ae-tros desde el centro de los ejes dibujados en la figura.

20..- Determinar las ecuac í.ones .de las tangentes en cada caso indi-cado.

a)·

b)

.,• 1 •, .

-1 59--

e) (x _ 'Z) Z c.y + 4)Z = 1 . (-3, -4)Z5 4 .,

d) Zx Z + yZ 1Zx ·0 • (Z, 4)- =. ,

eJ Zx 2 + 2 + x 3y.- 2 O; (1, 2- v'3)- xy y - =

APENDICE.

:-160-

La siguiente. exposici6n, contiene breves descripciones yexpllcaciones de los programas creados por el autor de este li-bro, sobre la parábola~ la elipse y la hipérbola. Estos programas fueron aceptados por la ·Sociedad Internacional de Programa-dores Profesionales PPX - Texas Instrume~ts de los EstadosUnidos y deben ser procesados en una calculadora TI-59 con osin el uso d~l PRINTER.

El estudiante como el profesional encontrarán el uso con-veniente de ~stos programas, ya que con suma rapidez -se calcu-lan las condiciones geométricas de las c6nicas centrales.

Programa de la parábola.

LOC Icon J TEC LOC I C~D I TEC LOC 1con 1 TEC LOC -,COD t TEC0000011:IC1200:3004C!Ci5out.007oo s009010011Ci1201 :;:el14015ü i':':,017tJ 1::!.

·019'020021022024

lEl L8L11 A22 1t'~\tt:::6STFell o 142 STO01 1) 19'3 PPT

7':: LE',.L, .......

1 ¿:~ E:·;-2 STO02 02'39 PF.:T

"76 LBL1 -:'L __, e42 ::;TOo:::: 0399 PF.:T

76 LBL14 D42 :::TO04 04

02502602702:30290:300:310:32o::::::::0:340:350:'::60370::::8{J~:::I~0400410421).:1 ::::04404504604704:::04'3030

q q C;'e;> T_o., • 10. i

lE. LBL15 E·42 STO05 0599 PF:T1:: 1 R ...·t:·.. ' .... • o_1

lE. LBL16 Al,-f .-, I.~_-,TDii.f''::'

06 0699 F'RT91 R./::;

• -. S',·1. ...2'~ cp·4~1 F:CL02 0222 1t·~f./

El)_....t,(65 x4~: F:CLO~: 0:3c:'C"._'-_'5:3 (

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Loe I con TpC LOC' lcon' TEC LOC' con TEC LOC con TEC

1'031041,1) ::!1(11;.

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:::5 . +4:3 .RCL04 0455

¡24. 5:;:r .125. 02. 12E. E.5 )~.

43 RC·L02 (12

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1·-··..,..:,.:.1 :34iss1:361 .-. -".l .;, f

1'.38

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1:3'~ 75141) 43 ¡:;~C:L

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159 . '94 +.....-1E,Ci 42 :::TOiEll 12~ i·21 6 2 ~ :3t:~ P F:TlE,::: 131' R./~3164 o ?E· LE:L165· "10· E:! .166 ;:T7 I F'F )167 (Ji 01

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01.

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07

124

193 S5 + "i 94 4:3 RCL .195 11 11196 5519..7 04 419::: '35 =199 9.9PRT200 91 R./S201 76 L8L202 71 S8R20:3 43 RCL ·204 i o 10205 99 PRT206' 91 R/$2fJ?· ~~Et L8L

24 C:E::r? IFF209

. 21 (l211212

016i GTO4:;: RCL

01

2 i :~:09 09214 . 7~~· -215 4:::: F~CL216 11 11217 55

, 2 i E: 04 4.~~1i;t22'0

qc:.' ._'99.P~~T91 R/S

·222. .o-, .-. ....-~

¡_:_ Ca .:..

...,,. LBL... 1:' ,61 GTO4:3 F~CL

227 43 RCL22::: 12 12229 55230 04 42:~1 '35 =.--".- ..-.e: .:'1 .;,

99 PRT91, R.....S76 L8L25 I~LR43 F.:CL01 en

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I?CL;240' 06 OE,241 :;!3 ::-;:2

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25'? 76 LBL26C' :32 xr T2 iS1 4 s F:c~L.2E,:::~ 04 042 ~1 :3 :~;:~3 ;:< 2

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.::.i l_'271

~~:3 o~:C:L05 05

272 -:'l C'...t o_o

27::: Cf4 4~27~' E.5 )~275 4:3 ~:CL27E, CJ2 [12 .

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2:3(' '......•.•

2E!1 4:;: R:;;t_2!:j2 CJt,' ti':.

-162 -,

+.-:; .... .f·;'i ~:3.15

e¡c,...·._1 :325,:32E.

00

LOC I COD , TEC. Loe '¡'CODI TEC,. Loe 1 con I TEC 'LOC 1, COD '1 TEC283 95 - 294 65 x 305 43 RCL 316 91 R/S284 34 rx ,295 43 RCL 306 04 04 317 00 o

42 STO 2?6 02 02 307 54) 318 00 o95 = 308 94 +/- 319 00 o99 PRT 309 55 320 00 o

310 02 2 321 00 o65 x 322 00 oo

ooo

2':::,5

43 RCL04 04 300

91 F.:,/S76 LBL .-, 'i ~

.:,) .i. ¡

17 1 -;.'~ I

·-t,-,;.::. :? (

2:3i::-::-e;I ._.

·~I.f .-.,_,1 .~

4:3 F.:C:L(.2 C~2

.-,,-).-,.x c-: elc!oo

~2t3Ct2l~'12'32

)

55 4:3 .Ft:C:L17

':324(,-,.-:

1.- Procedim'iento.i) Escribir la ecuación de la parábola dada Ax2 + Dx + Ey + F = O,,,,..o By2 + Dx + By = O.

'i,i) EIitrar en la calculadora los coe f í.c i en te s A, B, D, E Y F dela ecuación de la 'parábo1a dada .y oprimir las teclas A, B,C, D y. É.

iii)_ Oprimir la tecla B t • Este valor representa la abscisa delvértice.

iv-) Oprimir la tecla C t • Este ,valor'representa la ordenada delvértice. '

v) " Oprimir la tecla D' . Este valor representa la longitud dellado recto LR.

vi) Oprimir la tecla E'. Este va l.or representa la abscis-a delfoco.

vii) Op.rimir las teclas GTOordenada del foco.

LN, RIS. Este· valor repre~ehta la

viii) Oprimir las teclas GTO CE RIS~ Este valor representa la~cuación de la directriz.

i~) Entrar el valor,de la iariab1e x, y oprimir la tecla At•

'~1,' Oprimlr, las teclas GTO CLR RIS. Este valor represerrtala ordenada. de la parábo1a,s'i eI eje de la parábola es para-lelo al eje Y.

-163-

xi) -Oprindr las teclas GTO x ~ tta la Qrdenada ~e la pa~ábolaparalelo al e)e X. .

R/S. Este valor represen-encima de su eje, si-este es

xii) 2Oprimir las teclas'GTO"x R/S. Este va Lor rep resen tala orde¿ida 'de la parábola debajo de su eje, si este esparalelo al eje X.

2.- Ejemplo, 2 'Dada-la ecuaci6n,de la parábola y - 6x - 6y + 15 = 0, hallar

las coordenadas del vér~ice, foco, longitud, lado recto, ecua-ci6n de'la directriz y dos ordenadas de la parábola para'un 'vaior d~ la variable x igual a 2.

Entrar- Oprimir Leyenda Comentarios ,tecla ,

!

.Coe f i c i errt e A0, '-A O

" B 1 " B.

-:-6 ..~ -6 " D

-6 _ D -6 " E., ,

F,15 E 15 "B' , 1 Abscisa del vértice

C' " 3 Ordenada del vértice, Df 6 Lade> recto LR

E' . 2.5 Abscisa del focoGTO LN R/S 3 Ordenada del foco" I

" CE tt -0.5 E~uati6n de la-directri z\ ' : ,

2 A' 2 Variable, x,- GTO x:t R/S 5.449489743' , Or de na da de la parábola por.

encima de su eje." xl " O • S,SOS 1O2S 7 2 O~denada de la parábola por

debajo de ,su eje . -

-1.64 -

Nota:

Los valores que. se le-asignen. a la variable x .deben per t ene-"cer al 'dominio de la función correspondiente a la.parábola.

Programa de la elipse.

-165-

07

LOC COD I TEC LOC T COD f TEC LOC COD TEC LOC COD TEC

1 ~. f,(14 :3 ~::5 >::IJ44 4:3 F.:l::LCi45 Ci:3 [1:::[¡4Et :3:3 >::2C14-7 ~::5 +C14:3 4:3 F.:C:L

05001 Oí•• 0 t:"::':: ,_1 ::<

0:::4 O1 010::;5 76 LE:L0:::6 60 DEG[l:::? t~'3 F'K:Tf:f ::: ~:: 9 1 ~:./ :30::;'3 76 LBL090 1'3 D' .091 4:3 F.:CL092 O:::: 03(193094

r:: t:"._1._,=; "":t'_'0_1 (

1""1 i_'1

c¡(! ;;: 2 :2 1f'~t,/IJ ~):3 ~::.ta :::T F'OCl.:Jo Ci J. (11005 4c~ ::;TOO C! i:: ¡J 1 O 1 'G07 '3'3 F'F.~T

:=.: ~ C.11.:.\••• •• ~._:;..' ~CO'3¡J i C'o 11 42 !3TDOi2 02.02'el 1 :::: .::.':.1 F' F: Tf) 14 ':.:1 f~:./~:;015 76 LBL

<! .-. .-.J.:. t_o

017 42 ~:;TO01::: 03 03019 '39 PPTo? (1 '3 1 F.: o/ ~:;

1~122 14 D['2:;: 42 :::TO-024 04 G4C25 l:¡ :':1 r"lC. 7

o'.' r 'o-, 19 i F.: ..... ::;7EI LE:Lis E

Cf2E:(i27

C1213, 42 ;~;TDiJ3C 05 05Ci:31 '3'3 F'F:Tel::; 2 '31 F.:./:;CI:3:;! 7E. LE!L

16 Al42 STa06 06

!J:;::3" 7E, LE:L040 17 B I .

(15 i· 4:3 RC:i_1)52 i]4 C~4(i :;~~: :? :3 ~:.;;::

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Ci57el 5 ;=; C! 1. !J i(1513 ;::5 ::{Ci El C; ::.¡, :;~ ~: e: Lc~ti 1 o 2 el~~

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-166-

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t.- Pro.¿edimiento."i) Escribir: la ecuac í ón 'de'la elipse dada (Ax2 + By2 + Dx +

+ EY ,+ F =. O) •

ii) Efectuar, la',reparti~i6n.iiij ~eet las tarjetas

,.

IV) Entrar en ~a calculado.ra les co.eficientes A, B~ D, -E Y ~de la ecuac íón de la elipse dada y oprimir' lás teclas A,B. e, D, y E.

v) Oprimir la tecla B'. :Este valor debe ser positivo. para"que haya lugar geométrico..

vi) Oprimir la tecla e' . Si este valor es posi t ivo el ej emayqr es paralelo. al eje X y si es negativo. paralelo. aleje, Y.

vii) ~pr~mir la tecla D'. ,Este valer representa las abscisasdel centro, vé rt í ces .,fecos cuando. el ej ejnayo r es p a-r a Ie Lo al ej e Y:

, 1,v íí í ) Oprimir .La tecla E'. Este va lor representa las ordenadas"del, cen tro , vé rt í ces y Focos , cuando el:e j e ma)'~r es pa ...,_ralelo a'Ieje X.

ix) Oprimir las teclas GTOel semieje mayor (a).

LN RIS. Este valor representa

,-,

i)

C¡o

-169-

x) Oprimir :las teclas GTO CE RIS. Este valor representael semie je-menor (b}.

xi) Oprimirlas teclas GTO CLR RIS. Este valor r.ep r es errt ala semidistancia focal (c) .

x i i ) Oprimir Las teclas GTO _. x: tRIS. Este valor repre--senta la abscisa del vértice' derecho sobre el eje mayor,si este eje es paralelo al eje X o la ordenada de I vé rt i+

'c'esuperior;' si el eje mayor _es paralelo al eje Y.Oprimir las teclas GTO x2 RIS.' .Este valor represen.tala abscisa del vértice izquíerdo sobre el eje mayor, sieste eje es para~elo al eje X o la orde~ada del vé~ticeinferior si'e1 eje mayor es 'paralelo al eje y;

xiii)

xiv) Oprimirlas teclas GTO ~ RIS., 'Este valor representa

\_' ..la abscisa del foco dere<;ho sobre el eje mayor, si ,esteej e "esparéile'10 al eje X, o,'la ordenada del foco .supe r í or ,si el eje mator es paralelo al eje Y.

xv} Oprimir las teclas GTO 1Ix RIS. Este va1:orI represen-ta ia abscisa del foco izquierdo sobre el eje mayor, si'este eje es paralelo al eje X o la ordenada del focoinferior, ,si el eje mayor es paralelo al eje Y.

xvi) Oprimir las teclas GTO STOta la ~xcentricidad (el.

RIS. Este valor represen-

xvii)' Oprimir las teclas GTO RCL RIS. Este valor repr~sen~ta la lOhgitud de ias lados r~ctos ~R.

xviii) Oprimir La s teclas, GTO yX RIS. Est e valor represen-'-ta -la ecuaci~n dé 1a'dir~ctriZ a la izquiérda-ó- debajo

del eje ~enor, ~i e~ eje mayor es paralelo al eje'X o aleje y respectivamente.-

x i.x) 'Entrat él valor de "la variable x, y opr ím í.r la, tecla A t •

- xx) Op'i·Im"i.r,-las,,teclas ero EE: RIS '.r- - Este "valor represent~,la ordenada de la eLíp se enc:lma del eje mayor o menor.

-170-

xxi} Oprimir las teclas GTO ( R¿S. Este valo.r representala ordenada de la elipse debajo del eje mayor o menor.

2.- -Ej.emplo. 2 2nada la ecuaci.6n de la elipse 49x + 24y + 490-x .:144y +

+ 265 = O hallar las coordenadas del centro, vértices,focos, semiej.es, s~midi.stancia focal, excentricidad, longi-tud de los lados rectos, ecuaciones de las directrices y

-dos ordenadas de-la elipse para un valor de la variable xiguai. a - 3.

Entrar Oprimir Leyenda Comen ta r i o stecla4 OP 17 C. 639.39 1 Repartición1 1 LectuTa tarjeta 1

-2 2 " It 2-'

3 3 " " 3,

49 A 49. Coeficiente A

'24 B, 24 It B.490 -~ 490 'c It D

-144 D -144 It E- -265 E '265 " F

B' 5531904 > O Hay lugar geométrico,cr -25 < O Eje inayor es paralelo al eje Y

~D' -5 Abscisas del centro, Vérticesy focos"

, E' 3 Ordenada del centroGTO LN R/S 7 Semieje mayor Ca)H CE . It 4 .898979'486 Semieje menor Cb)

. CLR ,H. It 5 Semicrístailciafocal Ce)-

, .~- , -::¡;~

-. " x ~ t " 10 Ordenada vértice superior•H -2 " -4 Or-denada vértice inferiorx

-" VX " 8 Orde-nada foco superior-

H l/-x " -~2 Ordenada -foco inferior~

" sto " 0.7142857143 Excentricidad Ce)- .' ~ <,

" RCL " 6.857142857' Lados rectos LR~

,~,~BUM" 12.8 -Ecuación directriz encima eje111p.no:r'

" Y,x 't -6.8 Ecuac_ión directriz debajo eje, menor ,

-3 -- «: Variable- ~3 x

GTO EE R/S I 9.3-90096504 Ordeflada -de la élipse encima• eje menor -~ ,

"

-,. ( 't, -3 .39:009 65 04 Ordenada de la elipse debajoeje menor

,-

Nota:LoS valore s que se' le as i gneria la variable x deben perteneceral dominio de la función correspondiente a la elipse.

Programa: de:' la h'ipé'rbola.

-172 ..

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17

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-55E·C:I:"-::'._I.~I ¡'

55855'3'5605E:1--562.·5E·:3-564SE,S 43 F.:CL

4::::RGL -566 oi 01'~12 12-. ~567 :3~! ~<;::_~:,..it ',.'. ": .' ,7"i=" .- t-' r t::" 9H•__.. '\ .._.t, t-;_ r::,i "_1 ......

••I~.l~ -F'F.:T: .' 5~.'3 . 4:3 F-~'::L:=.: j ~~,-':_S~ .57 iJ ·el2 C12·.7~Er·.L E!l:._ 5 ?~~ €~5 - >~- 5 '4' -~~.').. .,". :-:.5 7.2~' 4 :3 F.:e:L4:~; -J;:~Cl ~57:;;: 1)6 I~E.

5:31 .4:3 '.~:Cl=-C' .....-, '1"...:1 -- '1,4'

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04, 04'

2~3 R·C~~L·-o i ~(11 -7~\~·- .: '", ~

-574~575---S7t.

tt5 ~<4:;: P'CL-

65 :x:4:3 RC:L05 - 05:35 -+04 4

.,:",,:._, '.. 1-:.:.:,.;. l'l~

~_75 .: (14 - 4-65 >::A:3 FCL01" ni.

- o

.;5 x .idJ ;:;43 RCL ,60"902 02 610E,5::-:: E!114:3 RCL 6i2

5:::(1"5:31582584

54 )'35 ::99 PRT'31 F~·./!376 Lt:L

:==;-;~:5 03 03, 6-1:3 '30 LST~5:=:E. t.5){ El14 4:3 RCL

.•..•.~'..

r=. -:--::-._;;_1.t;: o el,_':_11_:

43 RCL06 06

E.1561 ;::,E,l?

. El 1 t:E: f:j62[1

::

" -. 1- r'-'C'¡' '-'

4:3 RC:L04 04-54 )C' C'"0_1,_1

:-t·-' ,....'_1':: .::

5Sit: 17 17 E,2:4 4:3 ~:C:L5=37 :::5 + E.25 (12 Cl2-5 ;-31i:! 4 :;: R C L - E,2 E: 54 )

........:

.1. - '-Pro"cedimiento .

F~CL01

42 ~3TD

S¡:"~0_0 .. ' _'

seo t:;¿¡,,'_0 ':

04 E,27·62;:;

'35 ==::;·3 F'~~T

602 C" t::'._I._!_

.,.; ~,'.

i~::.Escribit~~la e cuac í.én de 1"3;h ípé rbo La dada (- Ax2 + ~y2 + Dx +

+:-.-_Ey_,,+,. f':= _-o.) •- -

,i~.)·,~,_Efectual: ~La' repartici6n. o

l~íll!-.L~~r .1~S ta,rle;as. ~

.~:iv)/-_:,Hñtl'a.r,-:~~, loa c~.Jc~i~dora los coef í c.íerrte s A,' B, D, E Y F de:.La. ~'ü-'a~-i6n--'-:de'la pip~-rbola -d~da y o¡;ri~ir las 'teclas A, B,G-,''- D Y ~~

-"," " .~-

f-_-, r_, :-__: _ c.~"o::o~oo_'02604

6Ci5Co ,-. IP-,!_-L ..

)

...--E,:3C:6:31E,:~;2t,::;:3. t1:3.4

.....-,!::"',l:r , ;, ._,

00 O00 OOO. (100 O00 Oco 1]

.v),:-Op_rimir la t.e cLa R::·-. _Si_e,sté valor es'_positivo,el eje, t rans.. ~~rs.a:l- es-'_para~~'io :al e j e y ~y si es ne ga t í.ve .paralelo ai e je ~:J

-176~

.vi). Oprini í r 'La tecla C I •

vli). Oprimir la tecla DI.' Este'valor representa la abscisas~el centro;' vértices i focos, cuando el eje transversales paralelo al eje ,Y.

viii) Oprimir la tecla E'. Este valor representa las ordena-"das del centro, vértices y focos, cuando el eje trans -

versal es paralelo al eje X.ix)Oprimir las teclas GTO LN 'RIS; Este ~alor represen-

ta el semieje mayor (a).x) Opr im i r las teclas GTO CE RIS. Esté valor represen-

ta el s em i.e j e menor (b) e "

Oprimir las teclas GTO ·CLR RIS. Este valor represen-ta la .semidistancia focal (e) •

x i)

x.íí ) ." Oprim i.r Las teclas GTO x = t. Este valor representala abscisa del vértice a la derecha sobre el eje,trans-versal, si este eje es paralelo al eje- X. o la ordena-da del tértice superior, si el eje t~ansversil es para-.lelo al eje Y.

-xiii) Oprimir las teclas GTO 2x RIS. Este val~r represen-ta La+ absci sa del vé rt ice izquierdo sobre el eje t rans-ver.sal, si.este eje es paralelo al eje X o la ordena-da-del vértice inferior, si el eje transversal es para-lelo al eje Y.

xiv) Oprimir las teclas GTO Vx RIS. Este valor represen-. -ta la a~séisa del foco derecho sobre el eje tTansver~al,si el eje es paralelo al eje X o la ·oidehada d~l foco'superior, si el eje transversal es paralelo a~ eje Y.

'xv) ,-Oprimir las teclas GTO . ·1Ix RIS. E~te valor represen-.ta la'absci sa del foco izquierdo sobre eEr ej e t rarisversaL,

\5i ~ste eje e~ paral~lo al.eje X o l~ ordenada def foco...i~f~rio~,\si el eje transversal es paralelo al eje Y~

·xvi) ,,"oprimir las tec Las GTO' STO'~i~i~ exc~~tricidad (e).

+ - oo. • • • - •

RIS. Este va10r.Tepresen~

xvii) -'~,é:p,rim'ír'las' t.ec.l as iG'I'O RI:S. " Este valor represen-ta 1~ ,10ngi tud de 'cada 1ado r ect;o LR.

xviii) ,?pr.imir las teclas GTO SUM RIS. Este v.a10r represen~derecha o encima deles paralelo al eje

ta-la ecuación, de 1a'directriz a'laeje conjugado, si el eje transve~sal, -

X_o a1ej e Y r espec t Ivament.e .

x'ix) , .'Oprimir. las teclas' GTO yX RIS.' Este valor .repr-esen-ta fa ecuac í én de 1a directriz a la izquierda o debajo~el,eje conJugado, si el ejetransv:ersal es paralelo ale j e Y re spec t í.vamen te .

. .. ...xx) - .Qprimir 'las tecLas- GTO BE RIS., Este valor representa~- - ~

'1.a ordenad~ rle 'la· asíntota con' pendiente positiv-a.

c. RI$~ Este valor representa'l~"ordenada -de la a_s.intota con pendiente negativa.

. ,

,xxii) Entrar el'valor de la variable x, y oprimir la tecla ~'.

xxiii), ,:Oprimir las te eLas GTO ' )':l;a ordenada. de+La hipérbola~ • 't ,0 ,. - ..

,qe'l conj ug adoi

RIS. Este valor repreencima, del eje transver ,

xxiV) . .1;.'Qprimir· las' tec í.as GTO" LIST RlS. Este valor n n

", t.a la ordenada de. la hipérbola debajo del eje t r an 1~0~de1. conjugado.

2.7, =. ,E:j~'mplo'0· • :-

" .' 2 '2Dada 'la ecuac i én de la hipérbola 16x ' .. 9y - 128x - 54y +'

'*:,,31 ',= O; ha11ar 'lascoordenádas ..del cerrt ro. vértices"'foco~s,; semí.e] e mayor , semieje menor, ~semidistancia foca L,,.ei~e.ntricidad'- I'ong í t.ud- de los lados rectos, e .ruacLones- '':as~,ntotas y' dos Órd~nadas de lahip~~bo1a para 11Il'" valor~e:'~'Xa"var í.abLe ',X 1~ua1 -a, 9.

-178-

._"Entrar Oprimir Leyenda Comentariostecla4 OP 1 7 ( 639.39 ) Repartición1 1 Lectura tarj et a 12 2 " " 2

3 3 " " - 3-16 A -16 Coeficiente A- 9 B - 9· 11 B

-128 C -128 " D

-54 D -54 " E31 E 31 " F

B' -1"6 < O Eje transv. es paralelo al ejeX

e' 9

D' 4 Abscisa del centro1

E' -3 IOrdenadas centro, v~rtices y Ifocos

GTO LN R/S 3 Semieje mayor a" CE 11 .. 4 Semieje menor b" CLR " 5 Semidistancia focal Cc)" x ~ t " 7 Abscisa del vértice de r e c ho.2 ." x " 1 Abscisa del vértice izquierdo" Vx " 9 Abscisa del foco derecho" l/x " -1 Abscisa del foco izqu_ierdo" STO " 1.6666 ... Excentricidad Ce)" RCL " 10.666 .... Lados rectos LR" SUM " 5.8 .Ecuación de la directriz a la- derecha del eje conjugado" yx " 2.2 Ecuación de la directriz a la

izquierda del eje conjugado9 A' 9 Variable x

·1 79-

Ordenada asíntota pendienteGTO EE R/S 3.666 ... positiva

. Ordenada asíntota pendiente" ( " -·9.666 ... negativa-

2.333 ... Ordenada hipérbola encima eje" J "- transversal,

" 'LIST " -8.333 ... Ordenada hipérbola debajo e j etransversal

Nota:'Los valores' que se le asignen a la variable x deben pertene-cer al dominio de la función correspondiente a la hipérbola.

-180-

RESPUESTAS EJERCICIOS CAPI1ULO 1

la.- 100.00 cms2

lb.- 200.00 cms2

Jc.- 2538.04 cms2

ld.- 423.87 cms2

1e.-, 108~' .cms2

1f. - 865.80t:ff cms2~. 219.- 100" cms

2a.- Se le deja al lector2b.- Se le deja al lectqr

3a. -y

-t

-2

-l

. 1

- J 81·-

.3b. -

o x

y

3c.-

y ..

... _ .... _-...;.-- ...IJIJ111J1

I I1IJJI

·3 xo

4a. - -1 , 1 , 3-

4b.- -3 , -1 , 24c.- -24d. - 1/24e. - 3/4

4í. - NingunaSa. - x = 2 . y= -S,Sb.- 12 . 1x = rr , y = nSe. - x ;:::¡ 3 . y= 1.S z = -2,

Sd. - x = -4 . y= -2 z ;:::¡ 3,6.- Se le deja al lector7.- Se le deja al lector8a.- (_ZX2 -4 xy + 4y2) (~xy - 4y21

Bb. (Bx - 8y - 6) (~x - By t 6)

Se.- (JOx - lSy + 4z) (lOx - lSy - 4z)·1 33 1 33Bd.> C"8 - x -,y) e 8" + x y)

8e.- x (x2 + xy + y2)2x3Sí. -, (O. 1 - 4)y

8g. - (x3 - 8) ex3 + 1)

. 3 '6ro. 01 + 0.. 2 x + 4 ~ )y4 Y

8h. - (3x + 2y) c.~ ....3y)

9a.- ,5x - 2 • \16 x2 - 3!y - Yx+y

91>.- Zx + \/x2 _ y2

-183 -. .

9d. -

2 -4 J 1/22xy - 3y

2y

1

V2 (x + y), 3 + y2X - 3

ge. y (2x + y)v (x + y)2 - 1

9f. - 1

\3/ 2' \3/. \3[::-Vx. + 6x + 9 - y3x + 9 + V~

10a.- 'xS + Sx4y + 1o.x3y2 + Sxy4 + yS

1o.b.- 64 - 192xy + Z~üx2y2 ~ 16üx3y3 + So.x4y2 - 12xSy + x6y6

1re . - 1-'6p4 .+ 32pq ~ + Z4pZq4 + 8pq 6 + q8

11cL- x 3/2 ~ 3:x:y 1/2 +[ 3x 1/2y + Y 3/2.<

.11e. - 8 -4 S -1 2 2 -1 S -4 8x y . + 4 '.X y + 6 x y + 4 x y + x y

11f.-.- • 32 -5 40.. -3 + ~x. -J .+' J5 + - 135 3 + 243 5243 x. + 27 x .:> X 8 x .32 x

l Zai.i . -

12bi

.lZbii'.·-·

x = J 94 . .31

x ::: -0.37

x = o.~72-3 + v3i-x =

22y'e + ]

.J 2biii. x =2ey

12bi\r ,'7". "x = 1n (si + 1~1ñ Ci + 1

. 1'3-.- 12.59 m/rad,

·14> .

15. -,J 6i ..- - -

Se le deja al lectorSe le dej~ al ,lector'1 'A ~ 27.66°; R ~ 40..54° e = 11J. 80.°

'16ii. -

-184-

b = 32.69 ans .C = 44.61 cms . e = 750,16iii.- e = 19.26 ans ; A = 24.690 ;

s~ +2rfif,

B =' 22~.31o

7 tití + 2_,...)6 . . n\1 , 11orr + 2n'fF' 1 ;~ .16iv. - [ 1 + 2Ifit,

n=O , +-1 , + 2 , +- -+ 2n'tT} . n = O + 1 + 2 + •••, ,

+ 2tfiT' , st?tf + 2rttr , 7Off + 2rfil'.}4 . 4

16v.- {~ + 2Ittf,

16vi. - {1' + 2rf1(,

n=O, ~1·, ~2, + •••

-lóví i ,-{O + 2n'fi', 1+ 2nctr 1; 'n = O ,

16 ... {~. 2 av 5 ~ + 2----'1,V111.. - 6 + rrv , 6 U'1I

1a.-

lb. -

le. _

ld. -

le. -

1f.-

Son'6

3"tT'4

+ 1 + 2 +

70fÍ. 611c1J1'

6 + 2rfí1'}n = O , +_ 1 + 2 +, - , ...

RESPUESTAS EJERCICIOS CAPI1ULO I I

32x = 7 '

20y= I]

x = - 2"s

, y = '213

Y =-y_:2 "x -_-3, '48 26x = rr , y = 112 32

x = "7 , y = IZ1 43x = 10 , y = 10

Za. - x = - S Y = J

¡Zb. - x = 2 Y = 3

Ze. - x = - 3 Y = - S

Zd. - x = - Z y= 4

Ze • - x = 2· Y = 3

-185·-

24.- P (2, 3)

·5 •.~ Se le 'deja al lector. (Sugerencia:' Un triángulo es rectángulo si, el 'cuadradode su' hípotenuza es. igual a la suna de los cuadrados desuS.catetos).

y = - ~ ., Segundo punto x = O j. Y = - ~

y. ~----.,3.- Prime~punto x.= - 3

x

'f ,

,6·~- Se'· le. deja al lector ,

7. - -,Se le deja al lector '

8. -.'*, = 5! 5 ...rr

, ' 37·,;x·'-=.' ~". . -~'-;-:2

y;::: x·= ..~ 2

, y,= 1 + 5 V.: '

9 ...

10.. -

~ 29 5811.-, ,X,= r ' r= T

12. ,- . Nillguno.

13.-, '-lb':.~:

, (+V80 1+ 1..., "

" Y1 ::; ..3, YZ = -'3

, Y3 = S,

-186-

(

17. - Se le deja al lector

18. - A= 27 unidades cuadradas2

19. - Se le deja al lector

20.. - P Q. = jI;- AB = Vz6RESPUESTASEJERCICIOS CAPITULO fn

1.a.- e = 00 m ..., O,

l.b. - 9 = 90.0 ; m :- Indeterminada

1 .c .- 9 = 00 'j ro ;::¡ O

lod. - e ..., 90.0; m ..., :j:ndetePl}~da

l.e.- e = 450; m = 1 o e = 2250 ID = 1

1 .f.- e = 1350 ; m = -1 o e = 3150 ro = -1

2.y

-3 -2

-1

3. - 2 e ter -1 2m ::. 3" = .",

o .)

4. - mAB3 -S = 2- .- Z Ii13(-' ::: IDAC'J

-18 T- '

5.- = 1 8 indetenninadamABc "3 IIljw: = 3 mCAB =

6.- mABc 1 ' '1 2= S ~AC = - 2 nt = "3

7.-Se le deja al lector,8'.a. - Eje ',f

8.b. - Eje X

S.cy

• o

y

234 X-4 -3

2

-188-

S.e

x

,9.- .2 2 4x 4y 4 Ox + y + - + =

10.- 2 6x 8y + 2S Ox - - =

11.- 4x 2 2 36 + 81 O- Y =

12.- 2 + 2 4 Ox y =

"13.- 4x2 - 4y2 20 = O

14.- V3X + y = Q

15> x - 2 = O

16.- Se le.deja. al lector

~7,\- Se le deja al lector-1:lh~

Ix ~ ,3y + 13 = O

l:8~1>· Sx 4y + 8 = O,I

18.c x + 2y- S = O

1~~~'.; ~

'''ZX 4y 8 - O,

o,·

18.e x +:' ~y 6 = O

-189-

18.f x + 4 = O

19. - Sx - Y '= O ; 2x + 3y - 12 = n; 3x - 4y - 1 = O

20. - (2 V3 + 1) x + e \f"'"'J - Z-) y.. 9 = o21.- 3x -.2y;:; o22.- x - y - 6 = o23,.- 13x +, ·1Oy - '19 = o

25.a·

- 251'1>

25.c

12T,4

12,

26. - 3x - 4y - 3 ::; o ;, 3X - 4t + 43 ;:; o

-28,. -"" ..

\á9-" ~

3(}....

3l.-

32.-

8 .:.: 81.860 •r ',' ,

r = S,'

t~·.,1f?t,·'¡· ~4\' = o,

5e-1e':deja al lector

a :. " ,146- - -,.--- ';)

2lbt ~,,;.:.-6tly ... 13 ::; '0: ..

• *. ~ --

. P1 [~.- 1'~0983~ " .2~089398992)

2a.- x?' + i2 ~:: 16

21)~~-Ó: ~'. 2 ,~¡. + ~.(ft",: ,1~:rf~f~'!);·,.=' O::x~.+. y- .' " _' ":1!:.r '''',:::,''''

f.:..

-190-

3.a.- e (4, -5) ., r =

y y'

I 2 3 ..

3.b , - c. (4, t) ; r =} ·vm

y y~

x

x'

-1.9f-

'3. c·.- . 1 1e ( '4 _,.0) .: r.= '4y

o x

~··3d~-::.N(;l:exis;té-Iugar geométrico, porque el segundo miembro'resulta ser··uriá. cantidad negativa .

. 'z: 2 .x +~y .+. :~6x" . - 12y' + 121 = O

2+ 2-. 4xx .y + 6y 12. =0S·-·-.•

6. -

'~7" ,<... ~-

- .....

5x2 +- Sy2 118D <': 172p 459 = O

.x~ i:,.Yi' '.~~4i:;:-:· ,?'8 '= O

, 8,.':: x +, Sy +,2 . =, O

:l{}:-~~" Bste prob lema t íenedos- soíucíones . a) En el punto (O,:..O), 'las ecua-. cienes :son: -4x· - ir. =0 3x - y =.O Y su ángulo de intersección -

:., .,,' :..", o '. r.. 2 . 14 .:_,,'.-.... es: .' 45·.-. ~). ~ el ·p~to ..{ -:'5"' T) , las ecuaciones son: -.f±:.~:..: J 1x s:-ZY··:I- lO =. O '.';.··_.x -+.9y, - 20 = O Y su ángulo de intersección es:~~~0r_fX:~:,:~~:86,~~3{."..' , '. '." .~:::-. . ~'. ,(' ... ;~~.rl...·:._'\;~:~,:::~>~~~_,.~)Y+:l~ =:~. .. ; , .. ':"~':.~.~. "~ ....':: . -:',

¿-t~~.:r-'.:;:·'2~ ..l~ dej a. al' lector,i~:;,~t"~-\vi_.. ..,

-19.2 -

14. - ~ le deja ~l lector15. - 26.52

16.- 2 2 6y - 16 Ox + y - =

17. - x2 + y2 + 2x + 2y - 2 = O

18. - x2 + y2 - l4x - 14y + 49 = O

19..-. '2 28 OXi + Y - •

20.- xZ + y2 - 2x + 4y + 3 = O

la. -

1b.-

le. -

ld. -

le. -

2~. -

2b.-

le. -

2d. -

3. -

5~. -

-Sb , -

5c.-

5d. -

RESfUESfAS EJERCI eros CAPI1ULQ v

-f ,2x - 3y + 12 • O, t

3x - y - 8 = O"t "t

2x 3y - 14 = o, '2 tY - x +'r + 9 = O

I, *2 ,2y - x + 12x - 10 = O, ,

2 V23x + Y - = o, ,

V35x - 4y - = o16 V3 x'2. - 24 V3 x'y' + 9 v'3 y'2 '... 'lSx' - 2Oy' = O

'2 12 -- .x_-y -2=0

Una par:ibolaV (O, O)

V (O, O)

v (O, O)V (O, O)

· E. (0,2) . . lado recto = 8 ;.; ecuaci6n directriz y= - 2~ ,<' .

· F (3,0) lado recto = 12 . ecuación directriz x = - 3, ,

F (O, 1 lado recto = 1; ecuacián directriz 1· - 4) y =, 4"-F (-1, O ) . lado recto = 4; ecuación .directriz x= 1,

-193'-

Se. - V (1, 3) ; F (3, 3); lado recto = 8

5f.- V (6, -6),;

5g.- V (O, -1)

5h.•- V (16, O)

. 9F (6, 2)

3F (8' -1)

F (12, O)

lado recto = 8

lado recto, = flado recto = 16

ecuación directriz x = - 1

ecuación directriz y = - 1f'ón di' 3ecuaC1 rectr1Z x = - 8

ecuación directriz x = 20

5i.- a~ 5 ; b = 4 ; c = 3 ; e (O, O) ; Vértices (O,! 5) ; Focos (O,! 3);32 3lados rectos = 5 excentricidad = 5

5j •- a ::;5 ; b = 1 ; e = 4 V6 ; e (O, O) ; Vértices sobre el ej e mayor

lados rectos = ~(!5, O) ; Vértices sobre el eje menor ( O, ! 1 ) ; Focos (!2 yI6, O);

2V65; excentricidad =

Sk e-.;: a = 2 ; b = 1 ; e = V3 ; e (O, O) Vértices sobre el ej e mayor

(O,-! 2) ; Vértices sobre el eje menor (! 1, O) ; Focos (O, + Y3);

Lados rectos = 1 ; excentricidad = Vf51.-

-

a = 6 ; b = 4 ; e ,= 2 Vs ; e (0,- O) Vértices sobre el eje mayor

( : 6, O) V:é~ices sobre el eje menor (O,! 4) Focos ( ': 2 \1"5, O)

lados .rectos = '~ ;excentricioo'd = . 2 '[5. ¡;;- ,.. r:

5m. - a = Vi ; b ::¡ 1 ; e ;::;1 ; e (_O, -1 ) ; v (O, Y 2 - 1) ; y CO, -e V 2 '" 1);,

F (O, O) : F CO, - 2) ; lados rectos ::;2;,

B (_1" 01 ; B' [-1, O)

excentricidad = 15n.- a = 2; b = Vz ; c > Ji ; C C~·3,

B ( -3 {2 -1) ; B~' (-3, -:ft -1)

,1) ; V ( -1 , -1) ; V 'C~5, -1);

F (",3. + ~ - 1 )

F' (-3 .,. :¡r, - 1) '; lados rectos ::¡ 2 ; excentrdctdad e;:; Vf1>, = 2 c> {5 1 1 5 1 '7 r

,50 •.-' a = 3 . . C(-,2'3) VCZ' 3 ); V (- Z' ! »;' "e '_" 1 7 , 1 ~r ( vs-} t)B :::; .3') . B e - z - . F. '2' , ,

3, ,

( ..r.:- 1 1) 8".;, F t - ~ S - '2 ',3' ;' lados rectos, = 3' ; excent r í cí.dad e = S3

Sp , - a, = 2 . b, = '13; e,VI (-1, -1) . B =,F (1 + V7" -1) .,

; excentricidad e

= V7 ; e (1, -1') ; 'V (3, -1). ;

(1, V3 -1) ; B' (1, -'\{3 ~1)'

F • ( 1 - V7, - 1) ; la dos re et o s '= V"3V7= '2

Sq. - a = b = 2 ; e = 2 V2 ; e (O, O) ; Vértices sobre el eje 'trans-

versal (O, ~ 2) ;'Focos (O, ~ 2 Vfz) ; lados rectos = 4; excentricidad = ~ ; ecuaciones asíntotas (y - x) = O Y

(y + x) =' ,O

Sr.- a = 12 ; b = S ;,c =~; e (O, O) ; Vértices sobre el eje

transversal C. ~ 12, O) ; Focos ( + v'i19, O) ; lados, rectos = 25.6

excentr-ici.dad = ViIi .12 "ecuaciones asintotas (Sx -, 12y) = 'O' y,

(Sx + 12y) = O

,Ss.-a =0; b = 2; e = V7. G (O O) . Vértices sobre' el eje, " ,transversal ( ~V3: O); Focos (;. y:i, O)

= v21. ecuaciones asíntotas3 '

; 'lados rectos = \!-y3

, ,

(2x -yf3y ) = O Yexcentricidad

(2x + 'Y3y) = °St . ._ a - ViS . b = ViO ' . e = Vi14

- 3" 2' 6

el eje transversal (0, ~ ~) ; Focos ,0, +1 '

lados rectos V15; excent.r í.cí.dad = - V 171030 :

as í.nto tas e V3Y - VZx..) = O Y (V3y- + \íix ) ". O'

e (0, O) Vérti'ces

\fff4-" )6" '

sobre

ecuac iones

~v,. ." a = 3 ; b = 2 ; e = \!"f3 ; e (3, - 1) ; V (6, - 1) ; v I ( O, - 1) ;

;' ,F (3 +., \ff3 • -1) ; F' C.-3 + {j3 , -1); 'lados rectos ,= ~

-195-

excentricidad = V13 .3 ' ecuaciones asíntotas (2x + 3y - 3) = O

y (2x - 3y - 9) = O

5w. - a = 1 ; b = 2

F = (3, Vs -1 )

tricidad = VS+ x -1) = ()

e (3, -1)

Vs -1)

; V (3, O),

V (3, -2) ;,

; F (3, lados rectos = 8 ; excen-

ecuaciones as'intotas (2y - x + 5) = O Y (2y +

5x. - a=l b=2 e =Vs ; e (O, i), 3

F (O, 2" - vs)5

V (O, 2" ) v' (O, ~)

F = (O, f + \fS ) lados rectos = 8 ';excentricidad = vrs ecuaciones asintotas (x + 2y - 3) = O Y

(x - 2y + 3) = O

F = (6, O),

; F (-4, O) lados rectos 32= 3" ;

,V (-2, O)

excentricidad = ~;

5y.- a = 3 ; b = 4 ; c = 5 e (1, O) ; V (4, O)

; ecuaciones asfntotas (4x + 9y - 4) = O Y (4x - 9y - 4) = O

6a. - 2 = 16yx

6b. - 2 = 12xy

6c. - 2 = - l2xY

6d. - 2 16xy =

6e. - 2 3 (y - 4)(x - 3) =6f.- 2 4 (x + 1)(y + 1) =

6g. - 2 8y(x - 1) =6h. - 2 4 (x - 3)(y - 1) =

6i.- x2 _L- 1100 + 64-

2 x26j. - -f6+1O= 1

196-

x2 26k..- +~- 164 8·r:

2 x261.- L 118 +8=

( x - 3 )2 (y)2

án.- " 25- .+ = 1

( z + 3 )2 ( X12 1 )26n.- + = 116

(~)2 ( x ; 1 )260. - + = 1

( x 9 1 )2

( Y : 1 26p. - + ) = 1

6q. -' x2 1. - 4S =

x2 26r.- _ ..:L 14 12 =

6s.- -f x2 1-- =19

6t.- x2 --f- 116 =

6v.- 2 2(y - 2) - (x + 2) = 1

( Y - 5 )2 x - 1 2.fM'.- (20 ) = 116

( Y 9 2 )2 ( x16 2 )2 = 16x.- -( z + 3 )2 ( x 9 4 )

26y.- - = 116 -

7-5f.- 8x + 3y - 3 =. O

7-~.- 7x - 7y - 13 = O

7-5w.- 5x + 16y - 3 = O

8... ·Mfnima distancia 145.97559> x = + 40-

Máxima distancia 249.4755

-197-

10. - (3, 4)

11a. - y = 2

11b. - Y = 3 + -ª-v'3- 3

lle. - y = 6

l1.d x = -1 + 8 (3- "3

11e.- + 9r= - 5

(x + ~ )2

9(y-4)212a.- 9 116 48 =

_i_ 212.b x 1-"15 =10

12.e 2 = 8yx

13. - 26 1030· ,3ft

14. - ( f13 2 ) ( j13 + 2 )

15.- + 2Y = -x- 3'

16. -, 3

VS17. - Se le deja al lector

18a. 2 36 (y + 1)x = - T

18b.- 14 ]61 281-g - ""10 - ""30,

19. - 58.79' . 54.99 48 . 36, ,

20a. - 2x - 4y - 1 = O

20b.- x - 3 = O

20e.- x ¿- 3 = O

-198-

2Od.~ 3x + 4y - 2 = O20e. - ( 3 + V3 ) x - 2 {3Y + 3 Ji - 9 = O

" :.......

. :.

Geometria analitica, UCMM. j.M. Nicolás Bonilla

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