GUÍA N° 1_ANALISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL

CICLO: SETIEMBRE – DICIEMBRE 2006-IIII Pág. Nº01

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN

CENTRO PRE UNIVERSITARIO

FÍSICA

GUÍA Nº 01

DOCENTE: EDWARD RIVERA BLANCO

ANALISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL

ANALISIS DIMENSIONAL

MAGNITUD Se denomina magnitud a cualquier propiedad de un cuerpo susceptible a ser medida. Las leyes físicas establecen relaciones entre magnitudes. Para poder medir una magnitud, se precisa disponer de una magnitud de medida. TIPOS DE MAGNITUD DEBIDO A SU ORIGEN: 1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES:

Aquellas consideradas convencionalmente como base de comparación para las demás cantidades, el sistema fundamental vigente es el S.I. que consta de 7 unidades fundamentales y 2 auxiliares.

CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLO

LONGITUD (L) Metro m

MASA (M) Kilogramo kg

TIEMPO (T) Segundo s

TEMPERATURA (θ) Kelvin K

INTENSIDAD DE CORRIENTE (I)

Ampere A

INTENSIDAD LUMINOSA (J)

Candela cd

CANTIDAD DE SUSTANCIA (N)

mol mol

MAGNITUDES AUXILIARES:

ANGULO PLANO

radián rad

ANGULO SÓLIDO

estereorradián sr

2. MAGNITUDES DERIVADAS:

Son aquellas que resultan de combinar las cantidades fundamentales, Ej.: velocidad, trabajo, fuerza, presión, etc.

TIPOS DE MAGNITUDES POR SU NATURALEZA: 1. MAGNITUDES ESCALARES:

Aquellas que quedan claramente definidas con su valor numérico y su unidad respectiva.

2. MAGNITUDES VECTORIALES: Aquellas que para quedar plenamente definidas, además del valor numérico y su unidad; se necesita su dirección. Estas pueden ser: la fuerza, velocidad, etc.

ECUACIONES DIMENSIONALES Son aquellas que expresan la relación existente entre la magnitud derivada y las magnitudes fundamentales. Son de la forma:

gfedcba NJITMLCantidad

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES:

Las constantes matemáticas (números) son aquellas que carecen de unidades; luego: la ecuación dimensional de un número es la unidad.

Las ecuaciones dimensionales se expresan generalmente en función de L, M y T, pero también pueden expresarse en función de θ, I, J y N.

Principio de Homogeneidad: En una ecuación dimensionalmente correcta cada término tiene la misma ecuación dimensional. Sea la ecuación

homogénea: EDCBAS .

Luego: EDCBAS .

Solamente se pueden sumar o restar cantidades que tienen las mismas unidades.

La ecuación dimensional de una suma es igual a la ecuación dimensional de cada sumando.

3232 CBACBA

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CICLO: SETIEMBRE-DICIEMBRE 2006-III Pág. Nº02

ANALISIS VECTORIAL VECTOR: Ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientada. Se utiliza para representar las magnitudes vectoriales.

ELEMENTOS BASICOS NOTACIONES

I) Módulo II) Dirección III) sentido

I) A

: VECTOR “A”

II) AAA

:

Módulo del vector “A”.

θ: Dirección del vector.

REPRESENTACION ANALITICA DE UN VECTOR:

Un vector se representa fijando su origen (A) y extremo(B), luego el vector será:

ABV

VECTOR UNITARIO

El vector unitario representa la dirección del vector generatriz.

Todo vector dispone de un vector unitario, esto hace ver que en todas las direcciones hay vectores unitarios.

El vector unitario se halla con: B

BB

En las direcciones x, y, z los vectores unitarios reciben nombres especiales, estos son

kji

,, .

SUMA GEOMÉTRICA DE VECTORES 1. METODO DEL PARALELOGRAMO: La suma o resta de dos vectores depende del ángulo

que estos forman.

Sean BA

, y θ el ángulo que forman:

Vectorialmente se cumple: BAR

Para determinar el módulo de la resultante tenemos:

ABCosBABAR 22222

2. METODO DEL TRIÁNGULO:

También se emplea para sumar dos vectores los cuales son ordenados secuencialmente:

Sean los vectores BA

, :

Saeta

Dirección (Línea de acción)

Origen

M

θ

A Módulo

A

V

y

x

B

0

B

A

θ

R

B

A

A

B

A

B

x 0

y

V

B

V

1



El vector resultante R

es aquel que une el primer

origen con el último extremo.

Cuando este método se aplica análogamente a tres o más vectores se denomina MÉTODO DEL POLÍGONO.

Donde: CBAR

3. VECTORES PARALELOS:

La relación entre dos vectores paralelos es directamente proporcional a sus módulos.

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. DESCOMPOSICION RECTANGULAR:

Consiste en representar un vector en función de dos vectores componentes mutuamente perpendiculares.

2. DESCOMPOSICION POLIGONAL:

Consiste en representar un vector en función de varios vectores consecutivos.

Por ejemplo: dado un vector A

la descomposición se efectúa partiendo desde su origen hasta su extremo:

PRODUCTO ESCALAR:

Sean los vectores 321 ;; aaaA

, 321 ;; bbbB

a) cos . BABA

b) 332211 . A bababaB

PRODUCTO VECTORIAL: Es otro vector perpendicular a los vectores a multiplicar, donde su dirección se obtiene por regla de la mano derecha.

a) B

xAR b) A x BB x A

c) senABB x A

d) Areah.bh.AsenABBxA

e) BxA Área del Paralelogramo = 2

EJERCICIOS

R

A

B

BAR

C

B

A

R

C

B

A

B

A

B

B

A

A

B

B

A

A

y

0

θ

x

V VSen θ

VCosθ

222

YX RRR

P

A

O

N

M

E

B

A

R

A

B



01. Hallar la ecuación dimensional de f en la siguiente ecuación:

u

F

L2

1f

Donde : L = longitud F = Fuerza

u = masa / longitud a) T b) T2 c) LT d) LT-1 e) T-1

02. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente

correcta; indicar:

/x b .

2. 1btx Ae sen a

Donde: A = Longitud t = Tiempo e = Constante numérica

a) 2LT b) L c) LT

d) 2 2L T e) 2 1L T 03. En la siguiente ecuación encontrar las dimensiones

de p

m g x = pv1x1+ pv2x2+........... pvmxn

Donde:

xi = distancias m = masa Vi = volúmenes g = aceleración

a) LMT b) LM-1T2 c) LMT2

d) L-1MT e) L-2MT-2

04. De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta,

determinar las dimensiones de “m”.

2y bn mn

Donde: b = velocidad y = Longitud

a) L b) LT c) 1LT d) 2LT e) 2L T

05. La ecuación:

23

)2,0(2622.0 hhbgQ

Se usa para determinar la cantidad de agua que pasa por un vertedero de ancho b cuando la altura del agua por encima del vertedero es h, siendo g la aceleración de la gravedad. Hallar las dimensiones de Q. a) LT b) L3T-1 c) LT2

d) L3T e) LT-2

06. Un estudiante del curso de física desea diseñar una

formula para calcular el alargamiento total ( ) de una barra de acero donde P y Q son fuerzas, A sección recta, E módulo de elasticidad expresado en Kg/cm2.

AE

bQPal )(2

Calcular a, b. a) a = F ; b = L b) a = F ; b = L2 c) a = F2 ; b = L-1 d) a = F-1 ; b = L-2 e) a = F2 ; b = L3

07. Determinar la magnitud física que se requiere

representar en la siguiente expresión.

3

1 tm

k

ek

w

Donde: K = FL-1T w = peso m = masa t = tiempo e = base de los logaritmos neperianos a) Velocidad b) Trabajo c) Presión d) Caudal e) Fuerza

08. Hallar el exponente al cual debe estar elevado el tiempo t para que la siguiente ecuación sea correcta:



a

b

x

b

2 3.

xl at Moe v

g sen F

Donde: E = espacio v = velocidad l = longitud F = fuerza Mo =Momento de Fuerza a, g =aceleraciones

a) 2 b) 3 c) 4 d) 10 e) 12

09. Siendo BH = 4 , calcular el módulo del vector resultante en el sistema mostrado.

a) 20

b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

10. La figura determina un cuadrado. Escribir el vector X

en función de los vectores a y b.

11.Las bases del trapecio miden 2 y 4 Siendo M punto medio, calcular el módulo del vector resultante.

a) 7 b) 6 c) 12 d) 8 e) 3

12. En el paralelogramo ABCD mostrado, M y N son puntos medios de sus respectivos lados. Hallar el vector (X+Y) en función de los vectores a y b.

13.Dos vectores poseen como resultante máxima y mínima: 10cm y 2cm respectivamente; si cuando forman

un ángulo " " su resultante es de 8cm. Hallar el ángulo que forma ésta resultante con el vector de mayor módulo a) cos(0,825)arc

b) cos(0,805)arc

c) cos(0,815)arc

d) cos(0,865)arc

e) cos(0,875)arc

14.Determinar el módulo del vector resultante de a

y

b

3)

5a x y a b

3)

4b x y a b

3)

2c x y a b

3)

7d x y a b

3)

8e x y a b

B

H

3)

2a x a b

2)

2b x a b

2)

3c x a b

[2

)3

d x a bù= + úû

[2

)2

e x a bù= - úû

rr r

x

a

B

A

C

D

M

N

y

b

a

M

2 7cm

30º 60º

a

b



a) 4 cm. b) 5 cm. c) 6 cm. d) 7 cm. e) 8 cm.

15.Los vectores que se muestran tienen resultante nula; si

2 20 3C a cm . ¿Cuál es el módulo de b

?

a) 20cm b) 30cm c) 40cm

d) 50cm e) 60cm

16.¿Qué ángulo forma la resultante de los vectores con el eje “y”? a) 1º b) 3º c) 5º d) 7º e) 9º

DOMICILIARIA

01. Un estudiante desea calcular experimentalmente la aceleración de la gravedad. El equipo con el cual a trabajado le permitió hallar la siguiente ecuación:

2 2

2

4 ( )cos;

.

L L pg

T

g = aceleración de la gravedad L, P = longitudes T = Período Qué dimensiones tiene “α” a) L b) L2 c) LT d) LT-1 e) LT2

02. Determinar las dimensiones de α en la siguiente ecuación:

1

2 2

2( ) ..

( )

gV a

A a

V = velocidad , 1 = densidad A; a = áreas g = aceleración a) L b) T c) L-1

d) T-1 e) L-2

03. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente

homogénea, indique las dimensiones de “y”

cos( )y A t

Donde: A = Longitud t = Tiempo

a) LT b) L c) T

d) 2 1L T e)

2L 04. Si la ecuación mostrada es dimensionalmente

correcta; indique las unidades de " " en el sistema

internacional de unidades (SI)

.F V

A y

Donde: F = Fuerza A = Superficie V = Velocidad y = Longitud a) m . s b) kg . s c) kg / m . s d) m . kg / s e) s 05. Deducir mediante el análisis dimensional una

expresión que relacione la presión de un fluido con su densidad y la velocidad del movimiento del mismo.

( .k Cte numérica )

a) P k V b) 2P k V

c) 2P k V d) /P k V

e) 2P k V

06. Si la resultante máxima de dos vectores es igual a

20 y, cuando forman 120º su resultante es

10 ; ¿Cuál será el valor de la resultante cuando

éstos tienen el mismo origen y forman 74º?

(x)

(Y)

10cm 8cm

6cm

67º

(Y)

(x)

c

a

b



a) 12 b) 16 c) 20

d) 24 e) 30

07. El Triángulo mostrado es equilátero “M” es punto

medio, 3PC AP y se pide determinar

x AN

en función de a AB y b AC

a) 3

a b

b) 3

a b

c) 2

a b

d) 2

a b

e) 5

a b

08. De la figura expresar al vector x MN

en función

de los vectores a AB y b CB

(“M” es punto

medio)

a) 3a b

b) 3

2

a b

c) 3

4

a b

d) 3

8

a b

e) 3

2

a b

09. Determinar el módulo del vector resultante

a) 2 2

b) 3 3

c) 6 5

d) 5 6

e) 2 5

10. Indique el módulo del vector resultante de los

vectores mostrados (en cm.) Dato:

10 5

20

a cm

b cm

a) 5 5 b) 10 5 c) 15 5

d) 20 5 e) 10

P A

B

M

C

N x

a

b

B

A C

M

N

30º

x

b

a

x x

x

x

a

b

37º

3

4

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