Guia3B Curvas Regiones Formula Euler
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Gua 3B - Curvas y Regiones en el Plano Complejo.Frmula de EulerDiego Vallejo, Melina Podest, Eva Almirn2do. Semestre 2015
Curvas y Regiones en el plano
Situacin ^Suponga que utilizamos el plano Complejo para representar el mapa
de un pas. Los ejes estn graduados en kilmetros. La ciudad CapitalBuenos Vientos est en B = 0. Mar del Platino est en M = 100 300i.Vuriloche est en V = 800 500i. Queremos hacer un viaje desde B,pasando por M, para llegar a V.
Responda grficamente. Adems realice un clculo analtico en losejercicios marcados con el signo [
]:
1. Grafique las tres ciudades en el plano C.
2. En la primera etapa B M, puede seguir la ruta de ecuacin En el plano xy, cmo es la ecuacin deuna recta paralela al eje x? y de una pa-ralela al eje y? y de una recta que pasapor dos puntos?
Re(z) = 0 ? Y la ruta cuya ecuacin es Re(z) = 2 Im(z)?
Podra responder cul es la ecuacin de la ruta recta que conectadichas dos ciudades? [
]
3. Grafic los puntos del plano que cumplen la condicin Im(z) =1. Ahora podras graficar la regin Im(z) > 1? En este viaje, esnecesario pasar por esa regin? Y por Re(z) 6 1/3 Im(z)?
4. De la tabla de la gua anterior cul propiedad de los nmeros com-plejos mide la distancia de z al origen, en este caso, la distancia a laciudad de Buenos Vientos?
[]Qu distancia hay entre B y M?
qu nombre recibe el conjunto de todos los puntos que estn adistancia 1 del origen? Cul es su n cartesiana xy en el plano R2?y a distancia r? Qu relacin tiene esto con la cantidad |z|?
5. Y si quisiramos saber la distancia entre Vuriloche y Mar del Pla-tino? Qu ventajas y desventajas tiene responder esta pregunta gr-ficamente vs. algebraicamente?
6. Cmo se calcula la distancia entre dos nmeros complejos v =v1 + iv2 y w = w1 + iw2 ? Deduzca una frmula que permita calcu-larla aprovechando lo trabajado en los ejercios anteriores.
7. Supongamos que en la primera etapa B M, recorremos 100 kil-metros en linea recta, a partir de la ciudad de Buenos Vientos, sin
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Matemtica III - 2 cuatrimestre 2015 Gua 3B - Curvas y Regiones en el Plano Complejo. Frmula de Euler
fijarnos hacia donde nos dirigimos. Grafique los lugares del planoz = x + iy en los cuales podramos estar. Qu condicin se cumpleall? Podra decir algo de su argumento? Y de su mdulo? Completela ecuacin del lugar geomtrico donde nos podemos hallar:
|z| = ...8. Continuamos nuestro viaje y determinamos mediante GPS que es-
tamos a 8 kilmetros de Mar del Platino. Dibuje la regin. Qurelacin tiene esto con la ecuacin
|zM| = 8
?
9. Calcule la longitud mnima que demanda todo el viaje en kilme-tros, suponiendo que viajamos en linea recta en cada etapa.
10. Nos dicen que el pas entero es una regin descripta por la si-guiente desigualdad
|z| 6 1000
[]la ciudad de Vuriloche queda dentro del pas?
11. Grafique la regin que est a una distancia de Buenos Vientosmayor que 2 kilmetros y menor o igual que 6 kilmetros.
12. Cul es la zona que cumple 100 < |z V| ? Descrbala en caste-llano.
13. Cul es la zona que verifica arg(z) = 3pi/4?
14. Cul es el argumento de V? [].
15. La ciudad de M est en la reginpi
26 arg(z) 6 3
2pi ?
16. Represente la regin dada en notacin de conjuntos por:
a) R1 = {2 6 |z| 6 4 3pi4 6 arg(z) 653pi}
b) R2 = {|z 1+ i| < 4 arg(z) = 56pi}
En resumen, la distancia entre dos nmeros complejos z y w estdada por d = |z w|
Ejercitacin
1. Describa mediante inecuaciones cada una de las siguientes zonas decolor blanco utilizando las propiedades de z: Re(z), Im(z), arg(z),|z|.
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Matemtica III - 2 cuatrimestre 2015 Gua 3B - Curvas y Regiones en el Plano Complejo. Frmula de Euler
Frmula de Euler
Recordemos que una funcin exponencial, es aquella proporcional
a su derivada: la funcin y = e
kx
verifica la ecuacin diferencial y
= ky
o (e
kx
)
= ke
kx
, donde k es un nmero real distinto de cero.
Qu ocurre si sostenemos la validez de la ecuacin anterior para
valores imaginarios de k? Por ejemplo, para k = i:
d
dt
e
it
= ie
it
Aqu la funcin depende de la variable t, que conviene, para lo que
sigue, identificar con el tiempo.
El carcter vectorial de los nmeros complejos nos permiti utilizar-
los para marcar posiciones en el mapa de un pas.
Ahora permitiremos que esos vectores posicin puedan depender
del tiempo. El movimiento de una partcula en un plano, puede descri-
birse por un nmero complejo z en funcin del tiempo t. Escribiremos
z(t) = x(t) + iy(t) a esa funcin. esto es anlogo a las curvas paramtricas
donde el vector se escriba~r(t)
Estudiemos el movimiento de una partcula dado por:
z(t) = e
it
[funcin posicin]
.
Notemos que la posicin inicial es z(0) = e
0t
= 1 en el eje real.
Podemos calcular la velocidad por derivacin:
v(t) = z
(t) = e
it
.i = iz
O sea que el vector velocidad es siempre perpendicular al vector posi-
cin, girado un cuarto de vuelta (pi/2) en sentido antihorario. Para la
aceleracin, anlogamente,
a(t) = v
(t) = ie
it
.i = i
2
z = z(t)
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La aceleracin es el vector opuesto al de posicin.Podemos escribir que z = z o z + z = 0. Esta es una ecuacin
diferencial que ya hemos estudiado para funciones de una variable.Recordemos que sus soluciones son senos y cosenos de la variable in-dependiente, t en este caso. Comenzamos con una funcin exponencialpara descubrir que contiene de algn modo a funciones trigonomtri-cas.
Qu caractersticas tiene este movimiento?Este se estudia en Fsica bsica. Se trata del movimiento circular de
radio a cuyas ecuaciones son x(t) = a cos t, y(t) = a sen tEl radio a = 1 ya que la posicin inicial es z(0) = 1.Por lo tanto hemos obtenido una nueva funcin vector posicin:
z(t) = x(t) + iy(t) = cos(t) + i sen(t). Igualndola con la [funcinposicin] obtenemos la
eit = cos(t) + i sen(t) [frmula de Euler]
donde t es cualquier nmero real.
Recordando que un nmero complejo z de mdulo |z| = y ar-gumento arg(z) = puede escribirse en forma trigonomtrica comoz = (cos + i sen ), reemplazando el parntesis por la frmula deEuler, queda escrito en forma exponencial:
z = ei
Esta frmula permite escribir de una manera intuitiva la regla paramultiplicar a un complejo z = rei por uno w = Rei:
z = reiRei = rRei(+)
Ejercitacin Responda primero grficamente y luego haga las cuentas:
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1. Grafique y pase a forma exponencial
a) A = 1 b) B = 1 i c) C = 02. Grafique y pase a forma binmica:
a) A = 4eipi b) B = 3ei5pi/3 c) C = 1ei0
Para los siguientes ejercicios resuelva grficamente y luego escriba enforma exponencial y haga las cuentas.
3. La ecuacin z2 = 1, tiene solucin? Hllela o hllelas si existen.Y qu pasa con z2 = 1?
4. Cuntas soluciones tiene z3 = 1? Hllelas. Idem z3 = i?
5. Idem z4 = 1. Qu opina que pasar con las soluciones de la ecua-cin zn = 1?
6. Por propiedades de la exponencial: (ei)2 = ei2 . Reemplace utili-zando la frmula de Euler y encuentre relaciones trigonomtricasentre cos , sen , cos 2 y sen 2. Podra repetir este procedimientopara (ei)n = ein con n N tan grande como se quiera?
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