INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL “CONTROL DE UN MOTOR ...

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACION Y DESARROLLO

DE TECNOLOGIA DIGITAL

MAESTRIA EN CIENCIAS EN SISTEMAS DIGITALES

“CONTROL DE UN MOTOR DE CORRIENTE DIRECTASIN ESCOBILLAS”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRIA EN CIENCIAS EN SISTEMAS DIGITALES

PRESENTA

ING. YAJAIRA SELENE QUEVEDO PILLADO

BAJO LA DIRECCION DE

DR. EDUARDO JAVIER MORENO VALENZUELA

DICIEMBRE 2013 TIJUANA, B.C., MEXICO

Control un motor de corriente

directa sin escobillas

Resumen

En este trabajo de tesis se presenta el desarrollo y diseno de controladores adapta-

bles para el seguimiento de trayectoria de un motor de corriente directa sin escobillas.

El funcionamiento de los esquemas de control comprendidos en este documento son com-

probados con la realizacion de simulaciones y experimentos. Ası mismo, se hace uso de

proyectores para mejorar las estimaciones de algunos parametros, y evitar que tomen

valores negativos.

Los controladores estudiados en este trabajo son un controlador por modelo exacto pa-

ra el seguimiento de trayectoria que requiere el conocimiento de todos los parametros del

motor, seguido de un controlador adaptable para seguimiento de trayectoria con la esti-

macion de 14 parametros del motor. Ademas, se expone una modificacion del controlador

adaptable logrado una reduccion del numero de parametros estimados a 9 y finalmente

se introduce un nuevo controlador adaptable para el seguimiento de trayectoria con la

estimacion de 7 parametros con su correspondiente analisis de estabilidad.

Ademas, se muestra el desarrollo de una plataforma experimental para el ensayo

de controladores en un motor de corriente directa sin escobillas, y la descripcion de

los componentes de la misma, la cual se utilizo para demostrar en forma practica los

controladores estudiados en este trabajo.

Palabras Clave: Motor de corriente directa sin escobillas, control adaptable, control

de motores, experimentos, inversor trifasico.

Brushless direct current motor

control

Abstract

This thesis presents the development and design of adaptive controllers for trajectory

tracking for brushless direct current motors. The performance of control schemes included

in this document is evaluated by executing numerical simulations and real-time experi-

ments. Two of the adaptive controller studied in this document incorporate projectors in

the adaptation laws.

The controllers involved in this work are an exact model controller for trajectory

tracking, adaptive controller for trajectory tracking with the adaptation of 14 parameters;

adaptive controller with the adaptation of 9 parameters; and finally, a new adaptive

controller for trajectory tracking with the adaptation of 7 parameters.

In addition, this document provides the description of an experimental platform

for the testing of controllers in a brushless direct current motor, which was used to

implement in real-time the studied controllers.

Keywords: Brushless direct current motor, adaptive controller, motor control, expe-

riments, three-phase inverter.

Dedicatoria

A los pilares de mi vida, Marıa de Jesus Pillado Cordero y Angel Rafael Quevedo

Camacho, por su incondicional apoyo, motivacion, confianza y carino. Por ser un ejemplo

de fortaleza, bondad y dedicacion.

A mis hermanos Charity, Corina y Kevin por estar siempre ha mi lado y por compartir

conmigo tantos buenos momentos.

Agradecimientos

A mi director de tesis, Dr. Eduardo Javier Moreno Valenzuela, quien con su

dedicacion, sus conocimientos, su experiencia y su motivacion, hizo posible lograr la

culminacion de este trabajo.

A mi comite tutorial, Dr. Roberto Sepulveda, Dr. Juan Jose Tapia, Dr. Luis A.

Gonzalez y M.C. David Saucedo, por enriquecer mi trabajo con sus diversos puntos de

vista y por dedicar parte de su tiempo en cada avance de tesis.

A mis companeros Regino Perez, Carlos Aguilar, Jorge Guzman, Octavio Garcıa,

Fatsin Cota, Daniel Gutierrez, Gerardo Diaz, Kenia Picos, Ulises Orozco, Leopoldo

Gaxiola y companeros de generaciones cercanas, por su amena compania durante en este

camino, por su linda amistad, ayuda y apoyo.

A mi companero y amigo Rafael Fernando quien siempre me motivo a seguir adelante

y me apoyo incondicionalmente.

Al Instituto Politecnico Nacional a traves del Centro de Investigacion y Desarrollo

de Tecnologıa Digital, CITEDI-IPN por abrirme las puertas para continuar con mi

preparacion profesional.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa, CONACYT por el apoyo economico

brindado.

Contenido

1. Introduccion 1

1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Organizacion del contenido por capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Preliminares 7

2.1. Control adaptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Teorıa de proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1. Proyectores para evitar valores negativos o cero en la estimacion de

los parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2. Proyectores para mantener el valor de la estimacion de parametros

en un rango de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Estabilidad en sentido de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Modelo del motor de corriente directa sin escobillas 15

3.1. Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas . . . . . . . . . . . 15

3.1.1. Parte mecanica del modelo trifasico del motor . . . . . . . . . . . . 15

3.1.2. Parte electrica del modelo trifasico del motor . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas . . . . . . . . . . . 19

4. Controladores no lineales para seguimiento de trayectoria con compara-

cion de desempeno 21

4.1. Controlador por modelo exacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1. Diseno del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

i

CONTENIDO ii

4.1.2. Simulaciones numericas para el CME . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2. Controlador adaptable simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


4.2.2. Simulaciones numericas para CAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3. Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion . . . . . . . 36


4.3.2. Experimentos para el controlador adaptable con reduccion de sobre-

parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4. Controlador adaptable propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4.1. Controlador adaptable de la parte electrica . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4.2. Controlador adaptable de la parte mecanica . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.3. Experimentos para el controlador adaptable propuesto . . . . . . . 56

4.5. Comparacion y desempeno de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5. Conclusiones y trabajo futuro 63

A. Publicaciones 66

B. Transformaciones matriciales de Clarke y Park 67

B.1. Transformada de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

B.2. Transformada de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

C. Modulacion por espacios vectoriales 70

D. Inversor trifasico para el motor de CD sin escobillas 77

E. Plataforma experimental 80

E.1. Computadora-PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

E.2. Tarjetas para la adquisicion de datos Sensorayr 626 . . . . . . . . . . . . . 81

E.3. Inversor trifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

E.4. Tarjeta para monitoreo de las corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

E.5. Tarjeta de filtro de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

E.6. Motor de cd sin escobillas con encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Indice de figuras

1.1. Diagrama de un motor trifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Diagrama a bloques del sistema de control para el motor de CD sin escobillas. 5

2.1. Diagrama de basico de un sistema adaptable. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Grafica de estimacion de un parametro con proyectores. . . . . . . . . . . . 9

2.3. Grafica de estimacion de un parametro con proyectores. . . . . . . . . . . . 10

2.4. Concepto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5. Nocion de estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1. Circuito equivalente del motor de CD sin escobillas. . . . . . . . . . . . . . 16

4.1. Diagrama a bloques del controlador por modelo exacto . . . . . . . . . . . 25

4.2. Seguimiento de posicion del controlador CME. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3. Seguimiento de velocidad del controlador CME. . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4. Seguimiento de las corrientes del controlador CME. . . . . . . . . . . . . . 27

4.5. Diagrama a bloques del control adaptable simple. . . . . . . . . . . . . . . 32

4.6. Seguimiento de posicion del controlador adaptable simple. . . . . . . . . . 34

4.7. Seguimiento de velocidad del controlador adaptable simple. . . . . . . . . . 34

4.8. Seguimiento de corrientes del controlador adaptable simple. . . . . . . . . . 35

4.9. Parametros estimados de la parte mecanica del controlador adaptable simple. 35

4.10. Parametros estimados de la parte electrica del controlador adaptable simple. 36

4.11. Diagrama a bloques del control con reduccion de sobre-parametrizacion. . . 41

4.12. Seguimiento de posicion del controlador con reduccion de sobre-

parametrizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.13. Seguimiento de velocidad del controlador con reduccion de sobre-


4.14. Seguimiento de corrientes del controlador con reduccion de sobre-


4.15. Estimacion de parametros parte mecanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iii

INDICE DE FIGURAS iv

4.16. Estimacion de parametros parte electrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46



4.19. Diagrama a bloques del controlador propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.20. Seguimiento de posicion del controlador propuesto. . . . . . . . . . . . . . 58

4.21. Seguimiento de velocidad del controlador propuesto. . . . . . . . . . . . . . 59

4.22. Seguimiento de corrientes del controlador propuesto. . . . . . . . . . . . . . 59

4.23. Estimacion de parametros parte mecanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60



B.1. Diagrama vectorial de Iabc y Iαβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

C.1. Inversor trifasico de dos niveles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

C.2. Estados de conmutacion de un inversor trifasico representado en forma de

vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

C.3. Diagrama vectorial obtenidos a partir de los estados de conmutacion trifasico. 72

C.4. Sector I del diagrama vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

C.5. Secuencia de conmutacion del sector I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

C.6. Secuencia de conmutacion de los vectores para los seis sectores. . . . . . . . 76

C.7. Modulacion de onda caracterizada por el interruptor S1. . . . . . . . . . . 76

D.1. Inversor trifasico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

D.2. Inversor trifasico con proteccion de sobre corriente tomado de [1]. . . . . . 79

E.1. Diagrama a bloques de la plataforma experimental . . . . . . . . . . . . . . 81

E.2. Fotografıa de la plataforma experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

E.3. Diagrama de conexiones tıpicas de tarjeta Sensoray 626. . . . . . . . . . . 83

E.4. Diagrama a bloques del inversor trifasico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

E.5. Diagrama de conexiones del circuito inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

E.6. Diagrama de conexiones del circuito inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

E.7. Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5. . . . . . . . . . . . . 87

E.8. Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5. . . . . . . . . . . . . 87

E.9. Filtros para corrientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

E.10.Motor de CD sin escobillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

E.11.Motor de CD sin escobillas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Indice de tablas

4.1. Valores de los parametros del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2. Ganancias de control para control por modelo exacto. . . . . . . . . . . . . 26

4.3. Indices de desempeno para la simulacion del controlador CME en las ecua-

ciones (4.19) y (4.23). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4. Ganancias de control para control adaptable simple. . . . . . . . . . . . . . 33

4.5. Ganancias de adaptacion para control adaptable simple. . . . . . . . . . . 33

4.6. Indices de desempeno para la simulacion del controlador CAS en las ecua-

ciones (4.41). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.7. Ganancias para el controlador con reduccion de sobre-parametrizacion. . . 41

4.8. Ganancias de adaptacion para control adaptable con reduccion de sobre-


4.9. Condiciones iniciales de los parametros estimados. . . . . . . . . . . . . . . 42

4.10. Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores. . . . . . . . . . . . . 43

4.11. Indices de desempeno para el controlador adaptable con reduccion de sobre-

parametrizacion en las ecuaciones (4.62)-(4.63). . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.12. Ganancias de control para el controlador propuesto en experimento. . . . . 57

4.13. Ganancias de adaptacio para control adaptable propuesto en experimento. 57

4.14. Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores. . . . . . . . . . . . . 58

4.15. Indices de desempeno del controlador adaptable propuesto en las ecuaciones

(4.91) y (4.92). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.16. Comparacion de desempeno de controladores adaptables CAR y CAP. . . 62

C.1. Tiempo de encendido de vectores para cada seccion. . . . . . . . . . . . . . 74

E.1. Componentes del circuito inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

E.2. Conexiones de terminales de encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1

Capıtulo 1

Introduccion

Avances a finales de los ochenta en sistemas roboticos, maquinas de control numerico,

maquinas de ensamble, y microprocesadores, permitieron el desarrollo de motores electri-

cos [2].

En la actualidad, los motores electricos son una parte integral de las plantas indus-

triales; no menos de 5 billones de motores son construidos en todo el mundo cada ano.

Debido a la creciente demanda por motores compactos y fiables se popularizo el motor

de corriente directa sin escobillas; esto no hubiera sido posible sin la evolucion de semi-

conductores de potencia de bajo costo y materiales de imanes permanentes. Actualmente,

estos motores estan presentes desde las mas sencillas aplicaciones del hogar, hasta en las

aplicaciones mas vanguardistas de la industria aeroespecial [3].

El motor de corriente directa sin escobillas, tambien conocido como BLDC (por sus

siglas en ingles, brushless direct current) son motores sıncronos trifasicos que cuentan con

dos componentes principales: un rotor de imanes permanentes y un estator con multiples

devanados. Estos motores eliminan las escobillas y los anillos de conmutacion utilizando

un iman permanente que reduce considerablemente la frecuencia del mantenimiento.

Debido a su diseno, el motor CD sin escobillas es tambien conocido por otros nombres

como BLDC, motor sıncrono de imanes permanentes (permanent magnet synchronous

motor, PMSM), motor sin escobillas de iman permanente o simplemente motor de ima-

nes permanentes. La vida util de los imanes que conforman el rotor se ve afectada por

temperaturas elevadas o por la presencia de un campo magnetico externo. El motor se

encuentra cubierto por una carcasa que lo protege contra el medio ambiente y la corrosion;

ademas, sobre la carcasa se montan los soportes del eje del rotor, dispositivos de medicion

de velocidad y otros elementos que brindan una correcta instalacion del mismo.

El movimiento de estos motores se realiza alimentando los devanados con una cierta

secuencia de corrientes, es decir, para lograr cualquier movimiento se debe realizar un

1

2

Figura 1.1: Diagrama de un motor trifasico

control de la corriente de los devanados. Otras caracterısticas destacables de los motores

de CD sin escobillas son la produccion de alto torque, la reduccion significativa de friccion,

tamano reducido (comparado con motores de propiedades similares), una menor inercia

en relacion con los motores de induccion, buena disipacion de calor, y la habilidad de

operar a altas velocidades [4].

Conceptualmente, el motor de CD sin escobillas tiene una estructura como la mostrada

en la figura 1.1. Aquı se muestra un motor de 2 polos y 3 fases; los devanados del estator

(a, b, c) son identicos pero separados entre si 120o (2π3

radianes), cada uno con Ns vueltas y

resistencia r. Los devanados del estator generan campos magneticos, estos se representan

como los ejes a, b y c y los ejes magneticos del rotor d y q [5]. La salida de corriente se

representa por cruces y la entrada por puntos.

El desplazamiento angular electrico es θe define la separacion entre el eje a y q. La ve-

locidad del campo magnetico giratorio es ωe. El motor se alimenta de los voltajes trifasicos

aplicados a los devanados del estator, estos voltajes generan un campo magnetico giratorio

con una velocidad angular ωe dada por:

ωe = 2πf, (1.1)

donde f es la frecuencia de los voltajes en Hertz (Hz). La velocidad angular ωe se relaciona

1.1 Antecedentes 3

con velocidad angular mecanica ωm con:

ωe = npωm, (1.2)

donde np es el numero de pares de polos. De la ecuacion (1.2) se puede decir que los

motores con pocos pares de polos se utilizan para velocidades elevadas y los que cuentan

con muchos pares de polos en aplicaciones de baja velocidad.

1.1. Antecedentes

Existen diversos precedentes en investigaciones en torno al motor de CD sin escobillas,

acerca de diversas clases de controladores, estudio de los modelos del motor y aplicaciones

especıficas. A continuacion se presenta una breve descripcion de la literatura relevante de

trabajos anteriores.

Dawson et al. [6] propone el diseno de tres controladores de seguimiento de trayectoria

para el motor de CD sin escobillas. El primero de ellos introduce el diseno del modelo d-q

del motor de CD sin escobillas junto con un controlador sencillo por modelo exacto para

seguimiento de trayectoria. El segundo es un control adaptable simple cuenta con una es-

timacion de 14 parametros adaptables. El tercer y ultimo controlador es una modificacion

del controlador adaptable simple, reduciendo la sobre-parametrizacion logrando la esti-

macion de 9 parametros adaptables. Estos controladores se exponen usando simulaciones

y experimentos.

Langarica [5] muestra aspectos generales del motor de CD sin escobillas. Establece

el modelo dinamico trifasico del sistema, el circuito equivalente del motor, una breve

introduccion de las transformaciones entre el modelo trifasico y el modelo d-q.

Salas [2] se presenta el modelo trifasico y el modelo d-q del motor de CD sin escobillas

junto a una breve descripcion de la transformada de Park y Clarke.

Campa et al. [7] se describe en primer lugar las principales caracterısticas y el modelo

electromecanico completo de un sistema de motor de CD sin escobillas, incluyendo 3

esquemas de control:

control de posicion PID,

control de posicion PI + Control de velocidad P, y

control de posicion P + Control de velocidad PI.

Ademas, este trabajo es complementado con resultados experimentales.

1.2 Objetivos 4

1.2. Objetivos

Los objetivos de este trabajo de investigacion se presentan por medio de un objetivo

general y un conjunto de objetivos especıficos que dejan en claro la finalidad de esta

investigacion y los cuales se muestran a continuacion.

1.2.1. Objetivo general

Estudio e implementacion de diferentes tecnicas de control para un motor de corriente

directa sin escobillas en tiempo real.

1.2.2. Objetivos especıficos

Estudio y analisis detallado del motor de CD sin escobillas.

Estudio del modelo matematico trifasico del motor de CD sin escobillas.

Estudio del modelo matematico transformado d− q del motor de CD sin escobillas.

Estudio y estimacion de parametros de un motor de CD sin escobillas.

Estudio y analisis de algoritmos de control y simulaciones numericas.

Construccion de driver inversor para el motor de CD sin escobillas.

Construccion de plataforma experimental.

Diseno, implementacion y evaluacion de controladores de controladores adaptables

para el seguimiento de trayectoria.

1.3. Motivacion

El motor de CD sin escobillas cuenta con un funcionamiento peculiar, ya que una de las

caracterısticas principales es el requerimiento de un controlador para su funcionamiento.

En la figura 1.2 se muestra el diagrama a bloques del sistema de control para el motor

trifasico, en donde se observa que ademas del controlador existen transformadas vectoria-

les para simplificar el diseno de control, un bloque de modulacion de senal denominado

SVM (por sus siglas en ingles vector space modulation) y un inversor trifasico, originando

conjuntamente un problema de control compuesto.

El presente tema de tesis considera estudiar y analizar un conjunto de controladores

adaptables que cuentan con la forma presentada en el la figura 1.2.

1.4 Aportaciones 5

Figura 1.2: Diagrama a bloques del sistema de control para el motor de CD sin escobillas.

1.4. Aportaciones

Las aportaciones del presente trabajo de tesis son

Diseno de un nuevo controlador adaptable de seguimiento de trayectoria para el

motor de CD sin escobillas.

Prueba de estabilidad del nuevo controlador adaptable.

Construccion de plataforma experimental para la prueba de controladores.

Comparacion por medio de experimentos del nuevo controlador adaptable con res-

pecto a un controlador ya reportado en la literatura.

Construccion de un inversor trifasico para el control de un motores.

1.5. Organizacion del contenido por capıtulo

La organizacion de este documento esta compuesta de la siguiente manera.

El capıtulo 2 presenta un conjunto de temas que sirven como preambulo para el desa-

rrollo de tesis, entre los cuales se encuentran conceptos de control adaptable, teorıa de

proyectores para estimacion de parametros en controladores adaptables y conceptos im-

portantes del la teorıa de estabilidad de Lyapunov.

1.5 Organizacion del contenido por capıtulo 6

En el capıtulo 3 se presentan 2 modelos matematicos del motor de CD sin escobi-

llas. El primero de ellos es el modelo trifasico abc, obtenido mediante la ecuacion que

describe el voltaje que pasa por los devanados del motor. Seguido a esto se proporciona

el modelo transformado d-q, obtenido con la aplicacion de dos transformaciones conoci-

das como transformada de Clarke y transformada de Park las cuales permiten pasar del

modelo trifasico abc a un modelo simplificado d-q, facilitando el diseno y aplicacion de

controladores para el motor de CD sin escobillas.

El capıtulo 4 es la parte mas relevante de este documento, aquı se muestran 4 diferen-

tes controladores para el motor de CD sin escobillas. El primero de ellos es un controlador

por modelo exacto para el seguimiento de trayectoria donde el controlador conoce cada

uno de los parametros con los que cuenta el motor. El segundo y tercero son controladores

adaptables para seguimiento de trayectoria con la estimacion de 14 y 9 parametros del

motor, respectivamente. El cuarto y ultimo es un controlador adaptable para seguimien-

to de trayectoria propuesto con la estimacion de 7 parametros del motor. Los 2 primeros

controladores se encuentra acompanados de simulaciones y los siguientes de experimentos.

Finalmente, se presenta una evaluacion de desempeno y comparacion entre los controla-

dores.

Por ultimo, en el capıtulo 5 se presentan las conclusiones de la investigacion y el

trabajo futuro que se puede realizar en torno a este tema.

Capıtulo 2

Preliminares

En este capıtulo, se presentan los conceptos fundamentales necesarios para comprender

con claridad el desarrollo y analisis de los controladores desarrollados en este trabajo de

investigacion.

2.1. Control adaptable

El control adaptable es una tecnica de diseno destinada para aplicaciones de alto

desempeno en control de sistemas dinamicos con incertidumbre, la cual se supone carac-

terizada por un conjunto de parametros constantes desconocidos. Aun ası, el diseno de los

controladores adaptables requiere del conocimiento preciso de la estructura del sistema a

controlar, sin embargo a diferencia del control robusto, el control adaptable no necesita

informacion sobre los lımites de estos parametros inciertos o variables en el tiempo [8].

Una ventaja de esta clase de control es que si los parametros de la planta cambian

durante el funcionamiento, el controlador se ajusta a estos cambios permitiendo con ello un

mejor desempeno del sistema. En un sistema no adaptable donde el controlador se disena

suponiendo los parametros de la planta constantes, los cambios en los parametros pueden

llegar afecta negativamente el desempeno de la planta y/o del controlador. Otra ventaja

de los sistemas de control adaptable es que no se requiere conocimiento de los parametros

exactos de la planta para el diseno del controlador. Es decir, el control adaptable incluye

un conjunto de tecnicas que permiten sistematicamente un ajuste automatico del control

en tiempo real, con la finalidad de lograr o mantener un nivel deseado de rendimiento

en el sistema de control cuando en el modelo dinamico los parametros de la planta se

desconoce y/o cambia en el tiempo.

Existen 2 posibles escenarios que se pueden presentar en un control adaptables:

7

2.1 Control adaptable 8

Figura 2.1: Diagrama de basico de un sistema adaptable.

En primer lugar, es cuando los parametros del modelo dinamico de la planta son

desconocidos pero constantes (por lo menos en una cierta region de la operacion).

En tales casos, aunque la estructura del controlador no dependera en general de los

valores particulares de los parametros del modelo, el ajuste correcto de la parametros

del controlador no se puede hacer sin el conocimiento de sus valores.

El segundo caso, es que los parametros del modelo dinamico de la planta cambian

imperceptiblemente en el tiempo. Estas situaciones se producen por cambios en el

medio ambiente o porque el modelo no lineal se ha simplificado a un modelo lineal.

Con el fin de alcanzar y mantener un nivel aceptable del rendimiento del sistema

de control cuando los cambios grandes y desconocidos en los parametros del modelo

se producen, un enfoque de control adaptable tiene que ser considerado. En tales

casos, la adaptacion operara la mayor parte del tiempo, razon por la cual tambien

es llamado adaptacion continua. En la figura 2.1 se muestra un diagrama basico de

control adaptable.

Un fundamento importante del control adaptable es la estimacion de parametros. Entre

los metodos comunes para la estimacion de parametros se encuentran: mınimos cuadrados

recursivos y gradiente descendente. Ambos metodos, proporcionan leyes de actualizacion

que se utilizan para modificar las estimaciones en tiempo real. La estabilidad de Lyapunov

se utiliza para derivar las leyes de actualizacion y el criterio de convergencia. La proyeccion

(matematica) y la normalizacion se utilizan comunmente para mejorar la robustes de los

algoritmos de estimacion [9].

2.2 Teorıa de proyectores 9

Figura 2.2: Grafica de estimacion de un parametro con proyectores.

2.2. Teorıa de proyectores

Debido a la convergencia de los parametros del motor, es posible implementar el uso

de proyectores, herramienta presentada en [10] y [11], que ayuda a que la convergencia de

los parametros sea mas rapida y se mantenga acotada en un rango de valores permisibles

o que ayuden a que la estimacion de los parametros no llegue a un valor negativo o cero,

evitando con ello singularidades.

2.2.1. Proyectores para evitar valores negativos o cero en la es-

timacion de los parametros

Para evitar que la estimacion de un parametro sea negativa o en un caso particular

llegue a ser cero, se implementa el uso de un proyector sencillo presentado en [11], el cual

consiste en limitar la estimacion del parametro a una cota minima, es decir, se determinan

las condiciones necesarias para que la solucion de un valor estimado θi no descienda de

un valor deseado, tal como se muestra a continuacion

˙θi = − ˙θi =

γiφi, si ai < θi,

−γiφi, si θi ≤ ai y φi ≤ 0,

γiφi, si θi < ai y φi > 0,

(2.1)

donde, ai es la cota inferior de los valores posibles a tomar por θi, γi es una ganancia de

adaptacion positiva, φi es la ley de adaptacion para calcular la estimacion del parametro

θi. En la figura 2.2 se ilustra la estimacion de un parametro con el uso de esta clase de

proyectores.

2.2 Teorıa de proyectores 10

Figura 2.3: Grafica de estimacion de un parametro con proyectores.

2.2.2. Proyectores para mantener el valor de la estimacion de

parametros en un rango de valores

Otra clase de proyectores son los presentados en [10], usados cuando se tiene nocion

de un rango de valores que debe de tener el parametro estimado. Basicamente la imple-

mentacion de los proyectores se hace en cada uno de los estados en que se calculan los

parametros, basados en la regla de la ley de adaptacion dada por

˙θi = [proj(θ, φ)]i =

γiiφi, si ai < θi < bi o

si θi ≥ bi < bi y φi ≤ 0 o

si θi ≤ ai y φi ≥ 0,

γii(1 + bi−θiδ

)φi, si θi ≥ bi y φi ≥ 0,

γii(1 + θi−aiδ

), si θi ≤ ai y φi ≤ 0,

(2.2)

donde γii es una ganancia positiva, θi es el parametro estimado, ai es la cota inferior de

los valores posibles a tomar por θi, bi es la cota superior de los posibles valores a tomar

por θi, δ > 0 es un numero suficientemente pequeno y φi es la ley de adaptacion para los

parametros.

Para los controladores adaptables las estimaciones algunas veces llegan a un valor

aceptable en un periodo corto de tiempo, por lo que la implementacion de proyectores no

es estrictamente necesaria, sin embargo para algunos otros, el uso de proyectores ayuda

significativamente a la adaptacion de los parametros. En la figura 2.3 se muestra una

grafica ejemplificado una estimacion de un parametro con sus limites inferior ai y superior

bi [9].

2.3 Estabilidad en sentido de Lyapunov 11

2.3. Estabilidad en sentido de Lyapunov

Uno de los conceptos primarios en control es la estabilidad. Sin la estabilidad, el resto

de especificaciones como: convergencia, rapidez del transitorio, oscilaciones reducidas,

rechazo de perturbaciones, robustes, carecerıan de sentido.

Para el caso de sistemas lineales el concepto de estabilidad es claro, es decir, es la

condicion necesaria y suficiente bien conocida, parte real negativa de todos los polos de

la funcion de transferencia o de los valores propios de la matriz de transicion de estados.

Ademas existen criterios sencillos que permiten analizarla, tales como los criterios de

Routh-Hurwitz y de Nyquist. Sin embargo cuando se tratan sistemas no lineales, estos

metodos no tienen validez [12].

La riqueza dinamica de los sistemas no lineales presenta ciertos fenomenos que no

se evidencian al estudiar los sistemas lineales. Uno de estos fenomenos es la existencia

de multiples puntos de equilibrio aislados. Un sistema lineal puede tener un solo punto

de equilibrio aislado, y por lo tanto un solo estado de regimen estacionario. En cambio,

los sistemas no lineales pueden tener varios puntos de equilibrio, y la convergencia a uno

estable depende del estado inicial. Debido a esto, resulta importante estudiar la estabilidad

de los diferentes puntos de equilibrio de los sistemas no lineales para comprender su

comportamiento.

Entre las teorıas que realizan el analisis de estabilidad de sistemas no lineales, se

encuentra la teorıa basada en Lyapunov, que tiene un lugar destacado por la riqueza en

la descripcion de los diversos conceptos y los metodos para el analisis de estabilidad que

establecen condiciones suficiente para un sistema conserve la estabilidad [13].

Para complementar la adecuadamente los conceptos de estabilidad, el resto de la pre-

sente seccion se basa en las referencias [13] y [14].

La teorıa de estabilidad de Lyapunov, tiene como principal objetivo estudiar el com-

portamiento de sistemas dinamicos descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias de la

forma.

xxx = fff(t,xxx), xxx ∈ IRn, t ∈ IR+, (2.3)

donde, xxx ∈ IRn corresponde al estado del sistema representado en la ecuacion (2.3). Entre

los conceptos basicos de la teorıa de estabilidad de Lyapunov destacan los siguientes:

Definicion 2.1 (Equilibrio) Un vector constante xe ∈ IRn es un equilibrio del sistema

(2.3) si:

f(t,xe) = 0, ∀t ≥ 0.

De la definicion anterior se tiene que si la condicion inicial x(t0) es un equilibrio, se tiene


Figura 2.4: Concepto de equilibrio.

que:

x(t) = xe, ∀ t ≥ t0 ≥ 0,

x(t) = 0, ∀ t ≥ t0 ≥ 0.

En la figura 2.4, se representa el caso de x(t0) ∈ IR2. El estado inicial x(t0) es precisamente

xe, ası la evolucion de la solucion x(t) corresponde exactamente al valor constante xe para

todo tiempo t ≥ t0.

Otra definicion importante es la estabilidad que es definida bajo las consideraciones

del equilibrio de ecuaciones diferenciales y no por las propias ecuaciones. Para introducir

esta definicion suponga que x = 0 es un equilibrio de (2.3).

Definicion 2.2 (Estabilidad) El origen es un equilibrio estable (en sentido de Lyapu-

nov) de la ecuacion (2.3), si para cada numero ε > 0 se puede encontrar un numero δ > 0

tal que:

‖ x(0) ‖< δ ⇒‖ x(t) ‖< ε, ∀ t ≥ 0, (2.4)

entonces el origen del espacio de estados es estable.

La definicion de estabilidad requiere la existencia de un δ > 0 para cada ε > 0 y no

para algun ε > 0. En la figura 2.5, se ilustra el concepto de estabilidad, la trayectoria

con un estado inicial x(t0) ∈ IRn de tal manera que el origen de estados x = 0 ∈ IRn es

un equilibro estable. Tambien se observa en la figura 2.4, donde ε y δ deben satisfacer la

condicion de la definicion de estabilidad, esto es, ‖x(t0)‖ < δ implica que ‖x(t)‖ < ε para

todo t ≥ t0 ≥ 0.

Definicion 2.3 (Estabilidad uniforme) El origen es un equilibro estable en sentido de

Lyapunov, si para cada numero ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que (2.4) se cumpla.


Figura 2.5: Nocion de estabilidad.

Definicion 2.4 (Estabilidad asintotica) El origen del espacio de estados es un equi-

librio asintoticamente estable del sistema (2.3) si:

1. El origen estable.

2. El origen es atractivo, es decir, existe un numero δ′ = δ′(t0) > 0 tal que:

‖ x(0) ‖< δ′ ⇒‖ x(t) ‖→ 0 cuando t→∞. (2.5)

Definicion 2.5 (Estabilidad asintotica uniforme) El origen del espacio de estados

es un equilibrio uniforme asintoticamente estable del sistema (2.3) si:

1. El origen es uniformemente estable.

2. El origen es uniformemente atractivo, esto es que existe un numero δ′ > 0 tal que

(2.5) se mantiene con una velocidad de convergencia independiente a t0.

Definicion 2.6 (Estabilidad asintotica global) El origen del espacio de estados es

un equilibrio global y asintoticamente estable del sistema (2.3) si:

1. El origen estable.

2. El origen es atractivo para todo x(0) ∈ IRn, es decir:

‖ x(t) ‖→ 0 cuando t→∞, ∀ x(t0) ∈ IRn, t0 ≥ 0.

Un equilibrio global asintoticamente estable implica que dicho equilibrio es tambien

asintoticamente estable, pero lo contrario, es falso.


Definicion 2.7 ( Estabilidad global asintotica uniforme) El origen de espacios de

estados es un equilibro global asintoticamente estable de la ecuacion (2.3) si:

1. El origen es uniformemente estable con δ(ε) en la definicion de estabilidad uniforme

que satisfaga δ(ε)→∞ cuando ε→∞ (uniformemente acotada) y

2. El origen del espacio de estados es globalmente atractivo, esto es para todo x(t0) ∈IRn y todo t0 ≥ 0

‖ x(t) ‖ cuando t→∞ (2.6)

con una velocidad de convergencia independiente a t0.

Definicion 2.8 ( Estabilidad exponencial global) El origen del sistema (2.3) es glo-

balmente exponencialmente estable, si existe una constante positiva α y β, independiente

de t0 tal que:

‖ x(t) ‖< α ‖ x(t0) ‖ e−β(t−t0), ∀t ≥ t0 ≥, ∀x(t0) ∈ IRn (2.7)

Capıtulo 3

Modelo del motor de corriente

directa sin escobillas

En este capıtulo, se presentan dos modelos matematicos del motor de CD sin escobillas,

el primero de ellos es el modelo trifasico tambien conocido como el modelo abc, que se

obtiene mediante el circuito equivalente del motor de CD sin escobillas, posteriormente

se describe el modelo transformado, popularmente llamado el modelo d-q.

El presente capıtulo esta inspirado de la referencias [5], [6] y [15].

3.1. Modelo abc del motor de corriente directa sin

escobillas

El modelo del motor de corriente directa sin escobillas se puede dividir en su parte

mecanica y electrica, presentado a continuacion.

3.1.1. Parte mecanica del modelo trifasico del motor

El modelo dinamico de la parte mecanica del motor con carga pendular, esta dado

por:

Mq +Bq +N sin(q) = τ, (3.1)

donde, M es una constante positiva relacionada a la inercia mecanica del sistema (incluida

la inercia del motor), N es una constante positiva relacionada con la masa de la carga y el

coeficiente de gravedad y B es un coeficiente positivo de la friccion viscosa y τ representa

el torque electromecanico.

15

3.1 Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas 16

Figura 3.1: Circuito equivalente del motor de CD sin escobillas.

3.1.2. Parte electrica del modelo trifasico del motor

En este apartado, se desarrollaran las ecuaciones del modelo matematico trifasico del

motor de CD sin escobillas. El circuito equivalente del motor se muestra en la figura

3.1. Por construccion los devanados tienen la misma resistencia representada por rs, las

corrientes de los devanados son dadas por ia, ib y ic y los voltajes para cada fase del

estator estan dados por Va, Vb y Vc, los subındices a, b y c se usa para referirse a cada uno

de los devanados. Las ecuaciones del motor se deducen bajo las siguientes suposiciones

segun [15]:

La distribucion espacial de los devanados por fase del estator se asume que es sinu-

soidal, por lo tanto, la fuerza magnetomotriz producida por el estator se considera

sinusoidal.

No existe ningun efecto termico sobre las resistencias del estator ni sobre el iman

permanente.

El material magnetico se supone lineal, es decir, que no existe efecto de saturacion.

No existen perdidas en el entre hierro de la maquina.

Con estas suposiciones es posible obtener las ecuaciones del voltaje para los devanados

del estator. En la representacion matricial de las ecuaciones, el subındice s hace referencia


al estator y la ecuacion de los voltajes trifasicos del motor es dada por

Vabcs = RsIabcs +d

dtλabcs, (3.2)

donde, el vector Vabcs es el voltaje del estator por fase, Rs es la matriz de resistencias de

las bobinas del estator, iabcs es el vector de corrientes por fase del estator, y λabcs es el

vector del flujo concatenado del estator, definidos explıcitamente como

Vabcs =

Va

Vb

Vc

, (3.3)

Rs =

rs 0 0

0 rs 0

0 0 rs

, (3.4)

iabcs =

ias

ibs

ics

, (3.5)

λabcs =

λas

λbs

λcs

. (3.6)

El flujo concatenado del estator es creado por el mismo flujo del estator y por el flujo de

los imanes permanentes del rotor, por este motivo existen dos subındices: r referente al

rotor y s al estator. El flujo concatenado creado por el estator se obtiene de la matriz de

inductancias de las bobinas del estator y el vector corriente del estator, ademas el flujo

concatenado creado por el rotor se obtiene de un vector que contempla el angulo electrico

del rotor (θr) y la amplitud del flujo vista desde el estator, que es creada por los imanes del

rotor. La ecuacion que define el flujo concatenado del motor esta dada por (3.7), definida

bajo la suma del flujo concatenado del estator y del rotor dados por las ecuaciones (3.8)

y (3.9), respectivamente. Esto es,

λabcs = λabcs(s) + λabcs(r), (3.7)


donde

λabcs(s) =

Laas Labs Lacs

Lbas Lbbs Lbcs

Lcas Lcbs Lccs

iabcs, (3.8)

λabcs(r) =

sin(θr)

sin(θr − 2π3

)

sin(θr + 2π3

)

. (3.9)

Por medio de las ecuaciones (3.10) se permite el calculo de las auto-inductancias e induc-

tancias de los devanados del estator y del rotor respectivamente, donde las inductancias

son dadas en funcion de la posicion del rotor o angulo electrico del rotor (θr).

Laas = Lls + LA − LB cos(2θr), (3.10)

Lbbs = Lls + LA − LB cos

(2θr +

2π

3

),

Lccs = Lls + LA − LB cos

(2θr −

2π

3

),

Labs = Lbas = −1

2LA − LB cos

(2θr −

2π

3

),

Lacs = Lcas = −1

2LA − LB cos

(2θr +

2π

3

),

Lbcs = Lcbs = −1

2LA − LB cos(2θr),

donde Lls es la inductancia de dispersion, es decir son las lıneas de flujo que se cierran

sin pasar por otro devanado, tambien consideradas perdidas de flujo. De manera similar

se realiza el mismo procedimiento para cada una de las tres fases del estator. La senal θr

es el angulo electrico del rotor o angulo mecanico, siempre y cuando el numero de polos

sea el mismo. Los terminos LA y LB son las inductancias de los devanados, dadas por

LA =

(Ns

2

)2

πµ0rlε1, (3.11)

LB =1

2

(Ns

2

)2

πµ0rlε2, (3.12)

3.2 Modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas 19

donde

ε1 =1

2

(1

gmin+

1

gmax

), (3.13)

ε2 =1

2

(1

gmin− 1

gmax

),

Ns es el numero de vueltas en las bobinas, r es el radio del devanado desde el centro hasta

la circunferencia interior del estator, l es la longitud axial del entre hierro del devanado,

µ0 corresponde a la permeabilidad del aire, gmin y gmax son el grosor maximo y mınimo

del entre hierro, respectivamente.

De acuerdo a (3.2) y sustituyendo los terminos correspondientes, se obtiene la siguiente

ecuacion matricial del modelo del motor: Va

Vb

Vc

=

Rs 0 0

0 Rs 0

0 0 Rs

Ia

Ib

Ic

+d

dt

Laas Labs Lacs

Lbas Lbbs Lbcs

Lbcs Lcbs Lccs

Ia

Ib

Ic

+ λm

sin(θr)

sin(θr − 2π3 )

sin(θr + 2π3 )

.

(3.14)

Sin embargo, este sistema cuenta con algunas dificultades para su uso como

el sistema de ecuaciones diferenciales es no lineal, y

existen terminos que dependen del angulo θr.

Para poder resolver estos problemas es posible transformar el sistema y obtener un modelo

del motor, que sera representado por ecuaciones mas sencillas de analizar y de tratar.

Para lograr el objetivo se requiere usar dos transformaciones matriciales de llamadas

transformada de Clark y transformada de Park, presentadas en el apendice B, obteniendo

como resultado el modelo de ecuaciones transformadas y simplificadas a 2 fases, conocido

como modelo d-q.

3.2. Modelo d-q del motor de corriente directa sin

escobillas

El modelo del motor de CD sin escobillas mostrado a continuacion fue propuesto por

[6], el cual asume que el circuito magnetico es lineal, los devanados del motor se encuentran

conectados en estrella, y el eje del motor se encuentra ensamblado a un brazo robotico de

un solo enlace. El modelo del motor de CD sin escobillas procedente de la simplificacion

del sistema de ecuaciones trifasicas abc dado en (3.1) y (3.14) es conocido como: modelo

transformado d-q, en donde se simplifica las 3 ecuaciones electricas del modelo trifasico

3.2 Modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas 20

abc, a un modelo compuesto por una ecuacion que representa la parte mecanica del motor

y dos mas que representan la parte electrica del motor.

El modelo d-q es representado por las siguientes ecuaciones, en donde con un abuso

de la notacion, el subındice ′′a′′ refiere a la fase ′′d′′ y el subıncice ′′b′′ refiere a la fase ′′q′′,

resultantes de las transformaciones de Park y Clarke. Especıficamente, el modelo d-q del

motor de corriente directa sin escobillas es dado por

Mq +Bq +N sin(q) = (KbIb + 1)Ia, (3.15)

LaIa = −RIa − npLbIbq −Kτ2q + Va, (3.16)

LbIb = −RIb + npLaIaq + Vb, (3.17)

donde Kτ2 y Kb son dos constantes positivas de transmision de torque, M es una constante

positiva relacionada a la inercial mecanica del sistema (incluida la inercia del motor), N

es una constante positiva relacionada con la masa de la carga y el coeficiente de gravedad

y B es un coeficiente positivo de la friccion viscosa. Los subındices a y b hacen referencia

a los ejes de cuadratura (o bien, a los ejes de cuadratura d-q). Los parametros y variables

del motor se definen de la siguiente manera: La y Lb representa las inductancias de los

devanados ya transformadas, R es una constante positiva de resistencia en los devanados,

np es el numero de pares de polos de imanes permanentes en el rotor, q(t), q(t) y q(t)

representan la posicion, velocidad y aceleracion respectivamente, Ia(t) e Ib(t) representan

las corrientes transformadas en los devanados. Finalmente, Va(t) y Vb(t) simbolizan los

voltajes en los devanados ya transformados.

El modelo simplificado d-q es el que se estara manejando para el desarrollo y analisis

de los controladores estudiados en este trabajo.

El apendice B describe las transformaciones de Clarke y Park, con las cuales el modelo

(3.14) se transforma en (3.15)-(3.17).

Capıtulo 4

Controladores no lineales para

seguimiento de trayectoria con

comparacion de desempeno

En este capıtulo se introduce la aportacion mas importante en este documento, com-

prendido por el desarrollo de 4 controladores para el motor de CD sin escobillas. Prime-

ramente se presenta un controlador por modelo exacto denominado por sus siglas como

CME, seguido por el desarrollo de tres controladores adaptables para el seguimiento de

trayectoria. El primero de ellos se denomina controlador adaptable simple, tambien de-

nominado por sus siglas como CAS, con una estimacion de 14 paraametros del motor.

El segundo controlador estudiado es una modificacion de este controlador conocido como

controlador adaptable con reduccion de sobre−parametrizacion, denominado por sus siglas

como CAR, el cual cuenta con una estimacion de 9 parametros del motor. Finalmente, se

presenta el controlador adaptable propuesto, conocido por sus siglas como CAP con una

estimacion de 7 parametros del motor.

Con la medicion de la posicion q(t), velocidad q(t) y las corrientes de las fases del

motor Ia(t) y Ib(t), el objetivo de control es lograr el seguimiento de trayectoria, es decir,

se pretende que el error de seguimiento entre una trayectoria deseada qd(t) y la trayectoria

del motor q(t) tienda a cero cuando el tiempo tiende a infinito, tal como se muestra en la

ecuacion

lımt→∞

e(t) = 0, (4.1)

donde el error de posicion esta dado por

e = qd − q. (4.2)

21

4.1 Controlador por modelo exacto 22

Para simplificar el diseno y analisis del control se define un error de seguimiento filtrado

dado por r(t) como

r = e+ αe, (4.3)

donde, α es una ganancia de control positiva, y e se refiere al error de velocidad, rescri-

biendo la ecuacion se tiene que la derivada del error filtrado es

r = (qd + αe)− q. (4.4)

4.1. Controlador por modelo exacto

El control por modelo exacto es una tecnica de diseno de control de sistemas. Este

controlador es presentado en la literatura por Dawson et al. [6], y en este trabajo este

controlador es denominado sus siglas como CME. Una caracterıstica importante de esta

tecnica es que se requiere del conocimiento preciso de la estructura del sistema a controlar

y de los parametros exactos del motor para su implementacion. Una desventaja de este

esquema de control es que pueden verse afectado facilmente cuando se presentan cambios

en los valores de los parametros, perjudicando directamente el funcionamiento de la planta.

4.1.1. Diseno del controlador

Basado en el objetivo de control mencionado anteriormente y conociendo la estructura

del sistema y los parametros del motor, se requiere disenar un controlador para el segui-

miento de trayectoria del sistema dinamico dado por las ecuaciones (3.15)-(3.17) reescritas

en terminos del estado[r ηa ηb

]∈ IR3 como

Mr = Wτθτ − Ida + ηa −KbIaIdb + 1 +KbIaηb, (4.5)

Laηa = LaIda +RIa + npLbIbq +Kτ2q − Va, (4.6)

Lbηb = LbIdb +RIb − npLaIaq − Vb, (4.7)

donde Wτ (q, q, t) ∈ IR1×3 es la matriz de regresion

Wτ =[qd + αe q sin(q)

], (4.8)

el vector de parametros θτ ∈ IR3 es

θτ =[M B N

]T, (4.9)


ηa y ηb representan el error de seguimiento en las corrientes de las fases transformadas del

motor dados por

ηa = Ida − Ia, (4.10)

ηb = Idb − Ib,

donde las trayectorias deseadas de la corriente a y b se disenan de forma que permitan el

seguimiento de la trayectoria deseada, y son representadas por Ida y Idb,

Ida = Wτθτ + ksr, (4.11)

Idb = 0,

y sus derivadas son

Ida = Wτθτ + ksr, (4.12)

Idb = 0,

donde, ks es una ganancia de control positiva y r es la derivada del error filtrado definido

en la ecuacion (4.4).

Sustituyendo las corrientes deseadas Ida y Idb en las ecuaciones de la dinamica de la

parte mecanica (4.5) se tiene

Mr = −ksr + ηa +KbIaηb. (4.13)

Ademas, sustituyendo la derivada de la matriz de regresion Wτ y la derivada del error

filtrado r en la ecuacion (4.12) se tiene

Ida = M (...q d + α(qd − q)) +Bq +Nq + ks(qd − q + αe), (4.14)

donde se cuenta con las senales medibles q y q, sin embargo, se requiere el termino de

la aceleracion q, el cual se obtiene de la ecuacion (3.15) y con ayuda de los parametros

conocidos M , N , B y Kb, es posible calcular q de la siguiente forma

q = − BMq − N

Msin(q) +

1

M(KbIb + 1) Ia, (4.15)


sustituyendo la aceleracion q dada por la ecuacion (4.15) en la ecuacion (4.14) se obtiene

Ida = M(...q d + αqd) +Nq cos(q) + ks(qd + αe) (4.16)

+(B −Mα− ks)(− BMq − N

Msin(q) +

1

M(KbIb + 1)Ia

).

Pasando al desarrollo de la parte electrica del controlador, se realiza la sustitucion de Ida

dada en la ecuacion (4.16) en la ecuacion (4.6)

Laηa = wa − Va, (4.17)

donde se utiliza la variable auxiliar wa(q, q, Ia, Ib, t) dada por

wa = La (M(...q d + αqd) +Nq cos(q) + ks(qd + αe)) (4.18)

+La(B −Mα− ks)(− BMq − N

Msin q +

1

M(KbIb + 1)Ia

)+RIa + npLbIbq +Kτ2q.

Por medio de la ecuacion (4.17) se puede disenar facilmente la entrada de control Va que

logre que ηa(t) tienda a cero,

Va = wa + k1ηa + r, (4.19)

donde k1 es una ganancia de control positiva. Sustituyendo el voltaje Va de la ecuacion

(4.19) en la ecuacion (4.17) se obtiene

Laηa = −k1ηa − r. (4.20)

De forma similar al procedimiento anterior, se hace lo mismo para la ecuacion (4.7), donde

se sustituye Idb dada por (4.11) en (4.7) obteniendo

Lbηb = wb − Vb, (4.21)

donde

wb = RIb − npLaIaq. (4.22)

Basados en (4.21) se disena la entrada de voltaje Vb para garantizar que el error ηb(t)

tienda a cero,

Vb = wb + k2ηb +KbIar, (4.23)

donde k2 es una ganancia de control positiva. Sustituyendo el voltaje Vb de la ecuacion


Figura 4.1: Diagrama a bloques del controlador por modelo exacto

(4.23) en la ecuacion (4.21) se obtiene

Lbηb = k2ηb −KbIar. (4.24)

En resumen la dinamica del sistema de lazo cerrado del control por modelo exacto esta da-

da por las ecuaciones (4.13), (4.20) y (4.24). El controlador por modelo exacto se des-

prende de las ecuaciones (4.11), (4.19) y (4.23), que representan las corrientes deseadas y

las entradas de control representadas por los voltajes de entrada del motor.

4.1.2. Simulaciones numericas para el CME

Para comprobar el funcionamiento del controlador por modelo exacto se realizaron si-

mulaciones numericas con ayuda de la herramienta de computoMATLABr y Simulinkr.

En la figura 4.1 se muestra el diagrama a bloques para las simulaciones del controlador

CME. Para simular el motor de CD sin escobillas real se utilizaron los parametros pro-

puestos mostrados en la tabla 4.1. Ademas, en la tabla 4.2 se presentan las ganancias de

control utilizadas.

La trayectoria deseada para este controlador es

qd = 2 sin(4t) + 1.5 [rad]. (4.25)

Como resultado de estas simulaciones se desprende la figura 4.2 que muestra el seguimiento

de la trayectoria de la posicion q(t). Ademas, en la figura 4.3 se ilustra el seguimiento de la

trayectoria de la velocidad q(t) y finalmente en la figura 4.4 se muestra el seguimiento de

las corrientes de cada fase Ia(t) e Ib(t). Como complemento de la informacion presentada

en la tabla 4.1.2 se muestra el valor RMS del error de posicion e(t), corrientes ηa(t) y ηb(t)

y el valor RMS de voltaje Va(t) y Vb(t) entregado en una ventana de tiempo de 20 [seg]


Parametro Descripcion Valor

Lb Inductancia devanado b 0.00465La Inductancia devanado a 0.00310R Resistencia en devanados 0.93220Kτ2 Constante de torque 0.50600Kb Constante de torque 0.02460M Inercia mecanica 0.02920N Masa de carga y coeficiente de gravedad 2.23870B Coeficiente de friccion viscosa 0.02980np Numero de pares polos 4.0

Tabla 4.1: Valores de los parametros del motor.

Ganancia de control Valor

α 2.0ks 0.7k1 0.5k2 0.5

Tabla 4.2: Ganancias de control para control por modelo exacto.

0 5 10 15 20 25−2

−1

0

1

2

3

4

5

[rad]

Tiempo [s]

Seguimiento de posicion q(t)

q(t) qd(t)

Figura 4.2: Seguimiento de posicion del controlador CME.


0 5 10 15 20 25−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

[rad/seg]

Tiempo [s]

Seguimiento de velocidad q(t)

q(t) qd(t)

Figura 4.3: Seguimiento de velocidad del controlador CME.

0 5 10 15 20 25−20

0

20

[Amp]

Corrientes

Ia(t) Ida(t)

0 5 10 15 20 25

−5

0

5

[Amp]

Tiempo [s]

Ib(t) Idb(t)

Figura 4.4: Seguimiento de las corrientes del controlador CME.

4.2 Controlador adaptable simple 28

Indice Valor Unidad

RMSe(t)∀20 ≤ t ≤ 25 0.01708 [rad]

RMS[ηa(t) ηb(t)

]T∀20 ≤ t ≤ 25 0.005416 [Amp]

RMS[Va(t) Vb(t)

]T∀20 ≤ t ≤ 25 3.2 [V olts]

Tabla 4.3: Indices de desempeno para la simulacion del controlador CME en las ecuaciones(4.19) y (4.23).

a 25 [seg].

Como se puede observar en las figuras anteriores, el seguimiento de posicion, velocidad

y corrientes se realiza adecuadamente. Un punto a resaltar en estas simulaciones es el valor

mınimo de los errores, esto debido a que este controlador usa los valores exactos de los

parametros del motor, lo cual permite una convergencia mas rapida del error.

4.2. Controlador adaptable simple

El segundo controlador que se presenta es el llamado control adaptable simple pro-

puesto en la literatura por Dawson et al. [6]. Denominado en este trabajo por sus siglas

como CAS. Este controlador no tiene conocimiento de los parametros con los que cuen-

ta el motor de CD sin escobillas, ası que se realiza la estimacion de dichos parametros

por medio de leyes de adaptacion. El denominado controlador adaptable simple estima 14

parametros del motor. Una ventaja de este controlador es que al presentarse cambios en

los parametros de motor, no se perjudica el funcionamiento del controlador.


Para el desarrollo del control adaptable simple, se tiene que la dinamica de sistema

esta dada por las ecuaciones (3.15), (3.16) y (3.17), donde se cuenta con incertidumbre en

los parametros del sistemas. La posicion q, la velocidad q y las corrientes de los devanados

Ia e Ib son los estados medibles. Para el desarrollo de este controlador, inicialmente se

disenan la trayectorias deseadas de las corrientes en los devanados, definidas como

Ida = Wτ θτ + ksr, (4.26)

Idb = 0,


donde Wτ ∈ IR1×3 es la matriz de regresion definida por la ecuacion (4.8), θτ ∈ IR3 es el

vector de parametros estimados dado por

θτ =[M B N

]T, (4.27)

que representa una aproximacion del vector de parametros definido en (4.9) y ks es una

ganancia de control positiva.

Los parametros estimados θτ son definidos por la ley de adaptacion

θτ =

∫ t

0

ΓτWTτ (σ)r(σ)dσ, (4.28)

donde Γτ ∈ IR3×3 es una matriz diagonal de ganancias adaptables, definida positiva.

Ademas, el error entre los parametros estimados θτ y los parametros reales θτ esta dado

por

θτ = θτ − θτ . (4.29)

La ley de adaptacion (4.28) puede ser escrita en terminos del error de parametros como

˙θτ = −ΓτWTτ r = − ˙

θ. (4.30)

Sustituyendo las ecuaciones de las corrientes deseadas de (4.26) en la dinamica de la-

zo abierto en terminos del error dada por la ecuacion (4.5), produce como resultado la

dinamica en lazo cerrado en terminos del error de la parte mecanica del sistema dada por

Mr = Wτθτ − ksr + ηa +KbIaηb. (4.31)

Ya finalizando el diseno de la dinamica en lazo cerrado de la parte mecanica, se procede

a complementar el diseno con la obtencion de los voltajes de entrada del motor, para esto

se obtienen las derivadas de las corrientes deseadas, de modo que Ida y Idb son dadas por

Ida = Wτ θτ +Wτ˙θτ + ksr, (4.32)

Idb = 0.

Sustituyendo los valores de la matriz de regresion dada por (4.8) y el error de seguimiento

filtrado dado por (4.4) en Ida de la ecuacion (4.32) tenemos

Ida = M( ...q d + α(qd − q)

)+ Bq + N q cos(q) +WτΓτW

Tτ r + ks(qd − q + αe), (4.33)


donde, M , B y N son los componentes escalares del vector θτ en (4.27).

Sustituyendo Ida en la ecuacion (4.6) se obtiene la dinamica en lazo cerrado de la parte

electrica a del motor en terminos del error como

Laηa = Waθa − Va, (4.34)

donde Wa(q, q, Ia, Ib, θ, t) ∈ IR1×8 es una matriz de regresion y el vector de parametros

desconocidos esta dado por θa ∈ IR8 y explıcitamente son definidos por

θa =[

La

MLaBM

LaNM

LaKb

MR Kτ2 Lb La

]T, (4.35)

y

Wa =[Wa1 Wa2 Wa3 Wa4 Wa5 Wa6 Wa7 Wa8

], (4.36)

con

Wa1 = (B − αM − ks)Ia,

Wa2 = −(B − αM − ks)q,

Wa3 = −(B − αM − ks) sin(q),

Wa4 = −(B − αM − ks)IaIb,

Wa5 = Ia,

Wa6 = q,

Wa7 = npIbq,

Wa8 = M(...q d + αqd) + N cos q + ks(qd + αe) +WτΓτW

Tτ r.

De forma similar, se utiliza la ecuacion (4.7) para obtener la dinamica del error de segui-

miento de la corriente ηb como

Lbηb = RIb − npLaIaq − Vb, (4.37)

que puede ser reescrita como

Lbηb = Wbθb − Vb −KbIar, (4.38)

donde, el termino KbIar se anadio y substrajo y Wb(q, q, Ia, Ib, t) ∈ IR1×3 es una matriz

de regresion dada por

Wb =[Wb1 Wb2 Wb3

]∈ IR1×3, (4.39)


con

Wb1 = Ib,

Wb2 = −npIaq,

Wb3 = Iar,

y θb ∈ IR3 es el vector de parametros dado por

θb =[R La Kb

]∈ IR3. (4.40)

Recordando que el parametro np representa el numero de pares de polos, el cual se asume

conocido. El segundo paso para el diseno del controlador comprende los voltajes Va y Vb,

para el sistema de lazo abierto dado por la estructura de las ecuaciones (4.31), (4.34) y

(4.38) se disena los voltajes de entrada como

Va = Waθa + k1ηa + r, (4.41)

Vb = Wbθb + k2ηb,

donde k1 y k2 son ganancias de control positivas, θa ∈ IR8 y θb ∈ IR3 son vectores de

parametros estimados, los cuales son calculados por las la siguientes leyes de adaptacion

θa =

∫ t

0

ΓaWTa (σ)ηa(σ)dσ, (4.42)

θb =

∫ t

0

ΓbWTb (σ)ηb(σ)dσ,

donde Γa ∈ IR8×8 y Γb ∈ IR3×3 son matrices diagonales de ganancias adaptables que son

definidas positivas. Los errores de los parametros son definidos por

θa = θa − θa, (4.43)

θb = θb − θb,

representando las leyes de adaptacion de la ecuacion (4.42) en terminos de los errores de

estimacion de los parametros se tiene

˙θa = −ΓaWTa ηa = − ˙

θa, (4.44)

˙θb = −ΓaWTa ηa = − ˙

θa.


Figura 4.5: Diagrama a bloques del control adaptable simple.

Ahora bien, sustituyendo los voltajes Va y Vb en la dinamica de lazo abierto mostrada en

las ecuaciones (4.34) y (4.38), se obtiene la dinamica en lazo cerrado en terminos de los

errores de corriente ηa y ηb como

Laηa = Waθa − k1ηa − r (4.45)

y

Lbηb = Wbθb − k2ηb −KbIar. (4.46)

En resumen, la dinamica del controlador adaptable simple de Dawson et al. [6] esta dada

por las ecuaciones (4.30), (4.31), (4.44),(4.45) y (4.46), las cuales representan el sistema

electromecanico en lazo cerrado y el control adaptable se compone por las ecuaciones

(4.26), (4.28), (4.41) y (4.42), por medio de las cuales se implementan los voltajes de

entrada del motor.

4.2.2. Simulaciones numericas para CAS

Para comprobar el adecuado funcionamiento del controlador adaptable simple se rea-

lizaron simulaciones numericas. En la figura 4.5 se muestra el diagrama a bloques del

controlador adaptable simple. Los parametros usados para las simular el modelo del mo-

tor de CD sin escobillas real se muestran en la tabla 4.1, ademas en la tabla 4.4 presentan

las ganancias de control y la tabla 4.5 presentan las ganancias de adaptacion para los

parametros del motor.

La trayectoria deseada para el seguimiento de trayectoria utilizada en el control adap-

table simple es

qd(t) = 2 sin(4t) + 1.5 [rad].

Las condiciones iniciales para todos los parametros de adaptacion para el controlador



α 10.0ks 0.3k1 1.5k2 1.5

Tabla 4.4: Ganancias de control para control adaptable simple.

Ganancia de Valor Ganancia de Valorcontrol control

Γτ1 0.002 Γa6 0.001Γτ2 0.0095 Γa7 0.001Γτ3 0.008 Γa8 0.001Γa1 0.001 Γb1 0.0001Γa2 0.05 Γb2 0.001Γa3 0.001 Γb3 0.001Γa5 0.001

Tabla 4.5: Ganancias de adaptacion para control adaptable simple.

adaptable simple son cero.

Los resultados obtenidos del controlador CAS en simulacion son los mostrados a con-

tinuacion. En la figura 4.6 se muestra el seguimiento de trayectoria de la posicion q(t), en

la figura 4.7 se ilustra el seguimiento de la trayectoria de la velocidad q(t), en figura 4.8

se muestra el seguimiento de las corrientes Ia(t) e Ib(t).

Ademas, en las figuras 4.9 y 4.10 se muestran los parametros estimados de la parte

mecanica del motor M(t), B(t) y N(t) y algunos de los parametros estimados de la parte

electrica del motor tales como La, Kb y R.

Para complementar la informacion presentada, en la tabla 4.6 se muestra los valores

RMS del error de posicion, corrientes y valor de RMS de voltaje entregado, capturados

en una ventana de tiempo de 20 [seg] a 25 [seg].

Indice Valor Unidad

RMSe(t)∀20 ≤ t ≤ 25 0.27 [rad]

RMS[ηa(t) ηb(t)

]T∀20 ≤ t ≤ 25 1.814 [Amp]

RMS[Va(t) Vb(t)

]T∀20 ≤ t ≤ 25 3.2 [V olts]

Tabla 4.6: Indices de desempeno para la simulacion del controlador CAS en las ecuaciones(4.41).


0 5 10 15 20 25−2

−1

0

1

2

3

4

5

[rad]

Tiempo [s]


q(t) qd(t)

Figura 4.6: Seguimiento de posicion del controlador adaptable simple.

0 5 10 15 20 25−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

[rad/seg]

Tiempo [s]


q(t) qd(t)

Figura 4.7: Seguimiento de velocidad del controlador adaptable simple.


0 5 10 15 20 25−20

0

20

[Amp]

Corrientes

Ia(t) Ida(t)

0 5 10 15 20 25

−5

0

5

[Amp]

Tiempo [s]

Ib(t) Idb(t)

Figura 4.8: Seguimiento de corrientes del controlador adaptable simple.

0 5 10 15 20 25−0.1

0

0.1

M(t)

Parametros estimados parte mecanica

0 5 10 15 20 250

0.5

B(t)

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

N(t)

Tiempo [s]

Figura 4.9: Parametros estimados de la parte mecanica del controlador adaptable simple.

4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 36

0 5 10 15 20 25−0.01

0

0.01

La(t)

Parametros estimados parte electrica

0 5 10 15 20 25−4

−2

0x 10

−4K

b(t)

0 5 10 15 20 25−1

−0.5

0x 10

−6

R(t)

Tiempo [s]

Figura 4.10: Parametros estimados de la parte electrica del controlador adaptable simple.

4.3. Controlador adaptable con reduccion de sobre-

parametrizacion

El control adaptable simple con reduccion de sobre-parametrizacion de Dawson et

al. [6], es denominado en este documento como controlador CAR, este controlador es una

modificacion del controlador adaptable simple el cual cuenta con una reduccion del numero

de parametros estimados. El controlador CAR es un controlador para el seguimiento de

trayectoria que realiza la estimacion de 9 parametros del motor de CD sin escobillas.


Comenzando con el desarrollo del controlador adaptable presentado en la literatura

por [6], el cual toma la dinamica del motor dado por las ecuaciones (3.15), (3.16) y (3.17),

donde se observa que existen 9 parametros desconocidos para el controlador, tomando en

cuenta que el numero de pares polos np es conocido. Para simplificar la formulacion del

control y el analisis de estabilidad, se define un error de seguimiento filtrado r(t) dado

por la ecuacion (4.4). Otra definicion de gran utilidad para el desarrollo del controlador

es el error de seguimiento de las corrientes representado por ηa(t) y ηb(t), dado por las

ecuaciones mostradas en (4.10).


El primer paso para el desarrollo del controlador CAR es disenar las trayectorias de

corrientes deseadas Ida y Idb

Ida = Wτ θτ + ksr, (4.47)

Idb = 0, (4.48)

donde Wτ ∈ IR1×3 es conocida como la matriz de regresion y esta dada por

Wτ =[qd + αe q sin(q)

], (4.49)

θτ ∈ IR3 es el vector de parametros dado por

θτ =[M B N

]T, (4.50)

y ks es una ganancia de control positiva. Un factor que sera de suma utilidad para la

presentacion de este controlador son las matrices de regresion Wa ∈ IR1×8 y Wb ∈ IR1×3

que se definen a continuacion como

Wa = [ Wa1 Wa2 Wa3 Wa4 Wa5 Wa6 Wa7 Wa8 ], (4.51)

con

Wa1 = (B − αM − ks)Ia,

Wa2 = −(B − αM − ks)q,

Wa3 = −(B − αM − ks) sin(q),

Wa4 = −(B − αM − ks)IaIb,

Wa5 = Ia,

Wa6 = q,

Wa7 = npIbq,

Wa8 = M(...q d + αqd) + N cos q + ks(qd + αe)

+WτΓτ (WTτ r + Y T

a ηa + Y Tb ηb),

y

Wb =[Wb1 Wb2 Wb3

], (4.52)


en donde

Wb1 = Ib,

Wb2 = −npIaq,

Wb3 = Iar.

El error de adaptacion θτ de la parte mecanica es dada en (4.29). La ley de adaptacion

para estimar el vector θτ ∈ IR3 ahora es definida como

˙θτ = Γτ [W

Tτ r + Y T

a ηaYTb ηb] = − ˙θτ , (4.53)

donde ηa y ηb son los errores de corriente definido en (4.10), y los vectores auxiliares Ya y

Yb son

Ya =[

0 Wa2 Wa3

]∈ IR1×3, (4.54)

Yb =[Wb2 0 0

]∈ IR1×3, (4.55)

donde Wa2 y Wa3 se encuentra previamente descritas en (4.51) y Wb2 en (4.52).

Para lograr el seguimiento de la parte electrica del motor, se procede a reescribir la

dinamica de los errores de seguimiento de corriente ηa y ηb de la siguiente manera

Laηa = Wa1b+ Ye1θe + bWa4θk + bYaθτ − Va, (4.56)

donde

b =LaM, (4.57)

θe =[La Lb R Kτ2

]T∈ IR4×1, (4.58)

θk = Kb, (4.59)

Ye1 =[Wa8 Wa7 Wa5 Wa6

]∈ IR4×1, (4.60)

Wa8, Wa7, Wa6 y Wa5 se encuentran definidas en (4.51). Para la corriente de la fase b, en

referencia al de error de corriente ηb, se describe la siguiente dinamica

Lbηb = Ye2θe + bYbθτ + bWb3θk − Vb − bKbIar, (4.61)

donde r esta definida en (4.4), Yb esta definida en (4.55), Wb3 es definida en (4.52), b, θe,


y θk son definidos en (4.57), (4.58) y (4.59), respectivamente, y finalmente Ye2 es

Ye2 =[

0 0 Wb1 0]∈ IR1×4.

Las entradas de voltajes de control para el motor de corriente directa sin escobillas estan

dadas por

Va = b[Yaθτ +Wa1 + r

]Ye1θe + k1ηa + bWa4θk, (4.62)

Vb = bYbθτ + Ye2θe + k2ηb + bWb3θk, (4.63)

donde k1 y k2 son ganancias de control positivas y b, θτ , θk y θe son las estimaciones

de los parametros de la dinamica del motor, que se obtienen con las siguientes leyes de

adaptacion

˙b = Γb( (Wa1 + r)ηa + Yaθτηa + Ybθτηb +Wa4θkηa +Wb3θkηb ) = − ˙b, (4.64)

˙θe = Γe(Y

Te1ηa + Y T

e2ηb) = − ˙θe, (4.65)˙θk = Γk(Wa4ηa +Wb3ηb) = − ˙θk, (4.66)˙θτ = Γτ [W

Tτ r + Y T

a ηaYTb ηb] = − ˙θτ , (4.67)

donde Γb > 0 y Γk 0 son ganancias de adaptacion positivas, y Γe ∈ IR4×4 y Γτ ∈ IR3×3son

matrices diagonales de ganancias de adaptacion definidas positivas.

Con las leyes de adaptacion definidas en (4.64), (4.65), (4.66) y (4.67) es posible obtener

las estimaciones de parametros del motor, definidos a continuacion

˙θτ1 =

d

dtM = Γτ1[W

Tτ1r + Y T

a1ηaYTb1ηb], (4.68)

˙θτ2 =

d

dtB = Γτ2[W

Tτ2r + Y T

a2ηaYTb2ηb],

˙θτ3 =

d

dtN = Γτ3[W

Tτ3r + Y T

a3ηaYTb3ηb],

˙θe1 =

d

dtLa = Γe1[Y

Te11ηa + Y T

e21ηb],

˙θe2 =

d

dtLb = Γe2[Y

Te12ηa + Y T

e22ηb],

˙θe3 =

d

dtR = Γe3[Y

Te13ηa + Y T

e23ηb],

˙θe4 =

d

dtKτ2 = Γe4[Y

Te14ηa + Y T

e24ηb],

˙θk =

d

dtKb = Γk[Wa4ηa +Wb3ηb].


Finalmente las ecuaciones de lazo cerrado del sistema estan dadas por

Mr = Wτ θτ − ks + ηa +KbIaηb, (4.69)

Mdηadt

=1

b

(−k1ηa + Ye1θe + (Wa1 + r)b+ bWa4θk + bYaθτ

)+Wa4θk + Yaθτ − r, (4.70)

Lbb

dηbdt

=1

b

(−k2ηb + Ye2θe + bYbθτ + bWb3θk

)+ Ybθτ

+Wb3θk −KbIar, (4.71)

d

dtθτ = −Γτ (W

Tτ r + Y T

a ηa + Y Tb ηb) = − ˙

θτ , (4.72)

d

dtθe = −Γe(Y

Te1ηa + Y T

e2ηb) = − ˙θe, (4.73)

d

dtb = −Γ((Wa1 + r)ηa + Yaθτηa + Ybθτηb +Wa4θkηa +Wb3θkηb) = − ˙

b, (4.74)

d

dtθk = −Γk(Wa4ηa +Wb3ηb) =

˙θk. (4.75)

Ahora, para establecer la estabilidad del sistema, Dawson et al. [6] proponen la funcion

de energıa

U =1

2Mr2 +

1

2Mη2a +

1

2b−1Lbη

2b +

1

2θTτ Γ−1τ θτ +

1

2bθTe Γ−1e θe (4.76)

+1

2bΓ−1b b2 +

1

2Γ−1k θ2k.

La derivada temporal de U en (4.76) a lo largo de las trayectorias del sistema de lazo

cerrado (4.69)-(4.75) dado por

U = −ksr2 −1

bk1η

2a −

1

bk2η

2b ,

la cual es semidefinida negativa. Invocando el lema de Barbalat [13] es posible asegurar

que el error filtrado r(t) tiende a cero, cuando el tiempo t tiende a infinito.

En resumen, usando las ecuaciones en lazo cerrado del sistema dadas por (4.69), (4.70)

y (4.71) y las leyes de adaptacion de los parametros dadas por las ecuaciones (4.68) es

posible garantizar que

lımt→∞

e(t) = 0. (4.77)


Figura 4.11: Diagrama a bloques del control con reduccion de sobre-parametrizacion.


α 6.0ks 1.5k1 0.1k2 0.7

Tabla 4.7: Ganancias para el controlador con reduccion de sobre-parametrizacion.

4.3.2. Experimentos para el controlador adaptable con reduc-

cion de sobre-parametrization

Para comprobar el funcionamiento del controlador adaptable con reduccion de sobre-

parametrizacion planteado teoricamente por las ecuaciones (4.62) y (4.63) se realizaron

experimentos. El diagrama a bloques que representa el sistema se muestra en la figura

4.11.

Para el desarrollo de los experimentos se hizo uso de las ganancias de control mostradas

en la tabla 4.7 y las ganancias de adaptacion presentadas en la tabla 4.8. Ademas tabla

4.9 muestra las condiciones iniciales de los parametros de adaptacion.

Ganancia de Valor Ganancia de Valorcontrol control

Γτ1 0.001 Γe3 0.002Γτ2 0.001 Γe4 0.001Γτ3 0.001 Γk 0.0065Γe1 0.001 Γb 0.007Γe2 0.005

Tabla 4.8: Ganancias de adaptacion para control adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion.


Parametro Condicion inicial

M 0.0009

B 0.45

N 0.045

La 0.000875

Lb 0.03

R 0.7

Kτ2 0.03

Kb 0.08

b 0.0972

Tabla 4.9: Condiciones iniciales de los parametros estimados.

La trayectoria deseada para el controlador con reduccion de sobre-parametrizacion es

qd(t) = 2 sin(4t) + 1.5 [rad]. (4.78)

Para la implementacion de forma experimental del controlador adaptable con reduccion

de sobre-parametrizacon, se hizo uso de proyectores, esto debido a que algunos parametros

estimados como Kb, Kτ2, La Lb, B y M llegan a ser menores a cero, es imprescindible

que el valor de estas estimaciones nunca sea menor a cero para mejorar el desempeno del

controlador en el calculo de los voltajes (4.62) y (4.63) y garantizar que el error de posicion

e(t) tienda a cero. Ası que es posible garantizar que las estimaciones de los parametros

θτ1 = M , θτ2 = B, θe1 = La, θe2 = Lb, θe4 = Kτ2 y θk = Kb permanezcan en el rango

deseado usando

˙θτ1 = − ˙θτ1 =

γτ1φτ1, si am < M,

−γτ1φτ1, si M ≤ am y φtau1 ≤ 0,

γτ1φτ1, si M < am y φtau1 > 0,

(4.79)

donde am es la cota inferior de los valores posibles a tomar por la estimacio θτ1(t) y θτ1

corresponde al primer elemento del vector definido en (4.53), asegurando que θτ1(t) > 0,

para todo t ≥ 0.

Analogamente se obtienen las condiciones a aplicar en la solucion de θτ1 = B, θe1 = La,

θe2 = Lb, θe4 = Ktau2 y θk = Kb

˙θτ2 = − ˙θτ2 =

γτ2φτ2, si ab < B,

−γτ2φτ2, si B ≤ ab y φtau2 ≤ 0,

γτ2φτ2, si B < ab y φtau2 > 0,

(4.80)


Cota inferior Valor

am 0.0001ab 0.45ala 0.000001alb 0.1akt2 0.03akb 0.00001

Tabla 4.10: Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores.

˙θe1 = − ˙θe1 =

γe1φe1, si ala < La,

−γe1φe1, si La ≤ ala y φe1 ≤ 0,

γe1φe1, si La < ala y φe1 > 0,

(4.81)

˙θe2 = − ˙θe2 =

γe2φe2, si alb < Lb,

−γe2φe2, si Lb ≤ alb y φe2 ≤ 0,

γe2φe2, si Lb < alb y φe2 > 0,

(4.82)

˙θe4 = − ˙θe4 =

γe4φe4, si akt2 < Kτ2,

−γe4φe4, si Kτ2 ≤ akt2 y φe4 ≤ 0,

γe4φe4, si Kτ2 < akt2 y φe4 > 0,

(4.83)

˙θk = − ˙θk =

γkφk, si akb < Kb,

−γkφk, si Kb ≤ akb y φk ≤ 0,

γkφk, si Kb < akb y φk > 0.

(4.84)

Las cotas inferiores para cada estimacion se muestran en la tabla 4.10.

Los resultados obtenidos con el controlador (4.62) y (4.63) son los mostrados en la

figura 4.12 que ilustra la evolucon temporal de la trayectoria actual del motor q(t) y

la trayectoria deseada qd(t), en la figura 4.13 se presenta la evolucion temporal de la

velocidad actual del motor q(t) y la velocidad deseada qd(t) y en la figura 4.14 se muestran

las corrientes Ia(t) e Ib(t), y las corrientes deseadas Ida(t) e Idb(t) .

Finalmente en las figuras 4.15, 4.16, 4.17 y 4.18 se muestra la estimacion de los parame-

tros del motor, obtenidos en forma experimental.

En la tabla 4.11 se muestra el valor RMS del error de posicion e(t), el vector de error

de corriente η(t) =[ηa(t) ηb(t)

]Ty el vector de voltajes V (t) =

[Va(t) Vb(t)

]Ten

una ventana de tiempo de 20 [s] a 25 [s].

Se puede observar que este controlador adaptable con reduccion de sobre-

parametrizacion logra el seguimiento de trayectoria adecuado. Ademas, los parametros


0 5 10 15 20 25−2

−1

0

1

2

3

4

5

[rad]

Tiempo [s]


q(t) qd(t)

Figura 4.12: Seguimiento de posicion del controlador con reduccion de sobre-parametrizacion.

0 5 10 15 20 25−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

[rad/seg]

Tiempo [s]


q(t) qd(t)

Figura 4.13: Seguimiento de velocidad del controlador con reduccion de sobre-parametrizacion.


0 5 10 15 20 25−20

0

20

[Amp]

Corrientes

Ia(t) Ida(t)

0 5 10 15 20 25

−5

0

5

[Amp]

Tiempo [s]

Ib(t) Idb(t)

Figura 4.14: Seguimiento de corrientes del controlador con reduccion de sobre-parametrizacion.

0 5 10 15 20 25−0.1

0

0.1

M(t)


0 5 10 15 20 250.2

0.4

B(t)

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

N(t)

Tiempo [s]

Figura 4.15: Estimacion de parametros parte mecanica.


0 5 10 15 20 25

0

0.1

0.2

La(t)


0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

Lb(t)

Tiempo [s]

Figura 4.16: Estimacion de parametros parte electrica.

0 5 10 15 20 250.5

0.6

0.7

0.8

R(t)


0 5 10 15 20 250

0.05

0.1

Kτ2(t)

Tiempo [s]



0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3K

b(t)


0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

b(t)

Tiempo [s]


Indice Valor UnidadRMSe(t)∀20 ≤ t ≤ 25 0.37 [rad]

RMS[ηa(t) ηb(t)

]T∀20 ≤ t ≤ 25 2.32 [Amp]

RMS[Va(t) Vb(t)

]T∀20 ≤ t ≤ 25 1.31 [V olts]

Tabla 4.11: Indices de desempeno para el controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion en las ecuaciones (4.62)-(4.63).

4.4 Controlador adaptable propuesto 48

del motor permanecen acotados.

4.4. Controlador adaptable propuesto

El control adaptable propuesto denominado por sus siglas como CAP, es un nuevo

controlador adaptable para el seguimiento de trayectorias de un motor de CD sin escobi-

llas. Este controlador realiza la estimacion de 7 parametros del motor y su desarrollo se

divide en la parte electrica y la parte mecanica.

4.4.1. Controlador adaptable de la parte electrica

Esta seccion se enfoca a la parte electrica de los devanados de la dinamica del motor,

designados por los subındices a y b.

La ecuacion 3.16 que describe la parte electrica a puede escribirse como

Weaθea = Va, (4.85)

donde, la matriz de regresion Wea ∈ IR1×4 y el vector de parametros desconocidos θea ∈IR4, son dados por

Wea =[Ia Ia npIbq q

], (4.86)

θea =[La R Lb Kτ2

]T. (4.87)

De forma similar la parte electrica b, en la ecuacion 3.17 puede ser reescrita como

Webθeb = Vb, (4.88)

donde, Web ∈ IR1×3 y el vector de parametros desconocidos θea ∈ IR3 que explıcitamente

se encuentran dados por

Web =[Ib Ib −npIaq

], (4.89)

θeb =[Lb R La

]T. (4.90)

Los voltajes propuestos para el control de motor de CD sin escobillas con carga gra-


vitacional descrito en (3.15)-(3.17) son definidos por

Va = W deaθea +Kpaηa +Kiaξa, (4.91)

Vb = W debθeb +Kpbηb +Kibξb, (4.92)

donde Va es el voltaje del devanado a, Vb es el voltaje del devanado b, W dea es dada por

W dea =

[Ida Ida npIbq Ida

]∈ IR1×4, (4.93)

θea ∈ IR4 es el vector de parametros estimados de la fase a, Kpa y Kpb son ganancias

proporcionales positivas, Kia y Kib son ganancias integrales positivas, W deb dada por

W deb =

[Idb Idb −npIbq

]∈ IR1×3, (4.94)

θeb ∈ IR3 es el vector de parametros estimados de la fase b y las senales ξa y ξb son

obtenidas de

ξa = ηa, (4.95)

ξb = ηb. (4.96)

Es posible reducir el numero de parametros de adaptacion de la fase b si se define la

corriente deseada de la fase b igual a cero, esto es,

Idb = 0, (4.97)

por lo tanto el voltaje Vb en la ecuacion (4.92) queda explıcitamente dado por

Vb = −npLaIaq +Kpbηb +Kibξb

= [−npIaq]La +Kpbηb +Kibξb

= W ∗ebθ∗eb +Kpbηb +Kibξb,

(4.98)

donde np, Ia y q son definidas en (3.15),

W ∗eb = −npIaq,

θ∗eb = La,

la cual se refiere a la estimacion de la inductancia de la fase a.


De momento se asumira que la corriente deseada de la fase a dada por Ida y su derivada

Ida son funciones suaves y son calculables usando las mediciones de posicion q(t), velocidad

q(t) y corrientes Ia(t) e Ib(t).

Los errores de los parametros de adaptacion de la parte electrica se definen como

θea = θea − θea, (4.99)

θ∗eb = θ∗eb − θeb. (4.100)

Notese que

θ∗ea = θea1 = La.

Sustituyendo el voltaje de la fase a dado en (4.91), en la ecuacion electrica de la fase

a del modelo del motor (3.16), se tiene

LaIa +RIa + npLbIbq +Kτ2q = W deaθea +Kpaηa +Kiaξa −Weaθea (4.101)

= IdaLa + IdaR + npLbIbq +Kτ2q

+Kpaηa +Kiaξa −W deaθea.

Simplificando la ecuacion (4.101) con el error de corriente ηa y su derivada ξa, se tiene

Laηa +Rηa +Kpaηa +Kiaξa −W deaθea = 0. (4.102)

De forma similar, para la fase b se usa el error de corriente ηb y su derivada ξb y se

tiene

LbIb +RIb − npLaIaq = W ∗ebθ∗eb +Kpbηb +Kibξb −W ∗

ebθ∗eb,

= −npIaqLa +Kpbηb +Kibξb −W ∗ebθ∗eb,

observandose que ηb = −Ib, por lo tanto

Lbηb +Rηb +Kpbηb +Kibξb −W ∗ebθ∗eb. (4.103)

Recuerdese que θ∗eb = θea1 = La.

Se propone la ley de adaptacion de modo que se pueda probar que los errores de

corriente ηa(t) y ηb(t) tienden a cero asintoticamente, por lo que plantean las siguientes

funciones de energıa

Ua =1

2Laη

2a +

1

2Kiaξ

2a +

1

2θTeaΓ

−1ea θea, (4.104)


donde Γea ∈ IR4×4 es una matriz diagonal definida positiva, cuya derivada temporal

esta dada por

Ua = Laηaηa +Kiaξaξa + θTeaΓ−1ea

˙θea. (4.105)

Sustituyendo la ecuacion de lazo cerrado (4.102), y usando (4.95), se obtiene

Ua = ηa[−(R +Kpa)ηa −Kiaξa +W deaθea]

+Kiaξaηa + θTeaΓ−1ea

˙θea

= −(R +Kpa)η2a + ηaW

deaθea + θTeaΓ

−1ea

˙θea

= −(R +Kpa)η2a + θTeaW

dTea ηa + θTeaΓ

−1ea

˙θea

= −(R +Kpa)η2a + θTea [W dT

ea ηa + Γ−1ea˙θea]︸︷︷︸

≤0

,

por lo que se propone la ley de adaptacion

˙θea = − ˙θea = −ΓeaW

Teaηa. (4.106)

Finalmente, se obtiene

Ua = −[R +Kpa]η2a, (4.107)

la cual es semidefinida negativa.

Para la fase b se propone la siguiente funcion de energıa

Ub =1

2Lbη

2b +

1

2Kibξ

2b +

1

2Γ−1eb θ

∗2eb , (4.108)

donde, Γeb ∈ IR3 es una matriz diagonal definida positiva, cuya derivada temporal es dada

por

Ub = Lbηbηb +Kiξbξb + Γ−1b θ∗eb˙θ∗eb. (4.109)

Sustituyendo la ecuacion (4.103) y la ecuacion (4.96), en la derivada temporal de funcion

energıa Ub, se tiene

Ub = ηb[−(R +Kpb)ηb] + ηbW∗ebθ∗eb + Γ−1b θ∗eb

˙θ∗eb,

donde θ∗eb es un escalar. Por lo tanto,

Ub = −(R +Kpb)η2b + θ∗eb [ηbW

∗eb + ηbW

∗eb

˙θ∗eb]︸︷︷︸≤0

.


Se propone la ley de adaptacion

˙θ∗eb = − ˙θ∗eb = −ΓebW

∗ebηb. (4.110)

y finalmente, Ub queda dada por

Ub = −[R +Kpb]η2b , (4.111)

la cual es semidefinida negativa. Dado que θ∗eb = θea1, es posible integrar la adaptacion de

θeb = La y θea1 = La de la siguiente manera

˙θea1 =

d

dtLa = Γa1[Idaηa − npIaq], (4.112)

mientras que los otros parametros son adaptados por

˙θea2 =

d

dtR = Γa2Idaηa, (4.113)

˙θea3 =

d

dtLb = Γa3npIbqηa, (4.114)

˙θea4 =

d

dtKb = Γa4qηa. (4.115)

Como anteriormente se establecio, las derivadas de las funciones de energıa Ua(t)

y Ub(t) dadas por las ecuaciones (4.107) y (4.111), respectivamente, son semidefinidas

negativas, por lo que es posible invocar el lema de Barbalat [13] para probar que

lımt→∞

[ηa(t)

ηb(t)

]=

[0

0

]. (4.116)

Por lo tanto, los errores de corrientes ηa(t) y ηb(t) tienden a cero cuando el tiempo incre-

menta.

Para tener un adecuado funcionamiento del controlador, se recomienda que las ganan-

cias Γa1, Γa2, Γa3 y Γa4 sean iguales.


4.4.2. Controlador adaptable de la parte mecanica

De las ecuaciones dadas en (4.10), se tiene Ib = −ηb e Ia = Ida−ηa, sustituyendo estas

expresiones en la ecuacion mecanica del modelo del motor dada por (3.15), se obtiene

Mq +Bq +N sin(q) = [−Kbηb + 1][Ida − ηa],

= Ida +Kbηbηa −KbIdaηb − ηa.

Es posible asumir que ηa(t) y ηb(t) tienden a cero muy rapido, dado que la dinami-

ca electrica puede hacerse mas rapida que la dinamica mecanica utilizando valores de

ganancias proporcional integral suficientemente grandes, ası que la ecuacion de la parte

mecanica se simplifica

Mq +Bq +N sin(q) = Ida. (4.117)

Se propone la corriente deseada para la fase a de la siguiente forma

Ida = M qd + Bqd + N sin qd +Kpe+Kdϑ, (4.118)

= Wτ θτ +Kpe+Kdϑ,

donde Wτ (qd, qd, qd) ∈ IR1×3 es la matriz de regresion dada por

Wτ =[qd qd sin(qd)

], (4.119)

el vector de parametros θτ ∈ IR3 es dado por

θτ =[M B N

]T, (4.120)

y ϑ se obtiene de˙ϑ = −Kf [ϑ− e], (4.121)

donde Kf > 0. Explıcitamente las estimaciones de la parte mecanica son

˙θτ1 =

d

dtM = Γτ1qd[e+ αe], (4.122)

˙θτ2 =

d

dtB = Γτ2qd[e+ αe], (4.123)

˙θτ3 =

d

dtN = Γτ3 sin(qd)[e+ αe]. (4.124)

De la ecuacion mostrada en (4.117), se sustituye el error de adaptacion de la parte


mecanica θτ = θτ − θτ y la corriente Ida,

Mq +Bq +N sin(q) = Wτ [θτ − θτ ] +Kpe+Kdϑ

= Wτθτ −Wτ θτ +Kpe+Kdϑ

= Mqd +Bqd +N sin(qd)

+Kpe+Kdϑ−Wτ θτ . (4.125)

Simplificando la ecuacion (4.125) y agrupando terminos, se tiene

Me+Be+N [sin(qd)− sin(q)] +Kpe+Kdϑ−Wτ θτ = 0. (4.126)

Se propone la siguiente funcion de energıa Uτ (t)

Uτ =1

2Me2 +

1

2Kpe

2 +1

2KdK

−1f ϑ+

1

2θTτ Γ−1τ θτ , (4.127)

donde Γτ ∈ IR3×3 es una matriz diagonal de ganancias positivas. Que puede ser reescrita

como

Uτ =1

2

[e

e

]T [Kp Mα

Mα M

][e

e

]+

1

2KdK

−1f ϑ2 +

1

2θTτ Γ−1τ θτ , (4.128)

la cual es positiva definida para KpM − α2M > 0 y α2 < Kp

M, con α > 0. La derivada

temporal de Uτ (t), es dada por

Uτ = Mee+Kpee+KdK−1f ϑ ˙ϑ+ θTτ Γ−1τ

˙θτ + αMe2 +Mαee

= e[−Be−N(sin(qd)− sin(q))−Kpe−Kdϑ

+Wτ θτ ] +Kpee+KdK−1f ϑ[−Kf ϑ+Kf e]

+θTτ Γ−1τ˙θTτ + αMe2 + αe[−Be−N [sin(qd)

− sin(q)]−Kpe−Kdϑ+Wτ θτ ]. (4.129)

Agrupando terminos comunes, se tiene

Uτ = −[B − αM ]e2 −N [sin(qd)− sin(q)]e

+Wτ θτ e−Kdϑ2 + θTτ Γ−1τ

˙θTτ − αN

[sin(qd)− sin(q)]e− αKpe2 − αKdeϑ

−αBee+ αWτ θτe. (4.130)


Se debe satisfacer

θTτ Γ−1τ θτ +Wτ θτ e+Wτ θαe ≤ 0, (4.131)

por lo que se propone la ley de adaptacion

˙θτ = − ˙θτ = −ΓτW

Tτ [e+ αe]. (4.132)

Usando el hecho de que | sin(qd)− sin(q) |≤ e se tiene que

Uτ ≤ −

| e || e || ϑ |

T Q11 Q12 Q13

Q21 Q22 Q23

Q31 Q32 Q33

︸︷︷︸

Q

| e || e || ϑ |

, (4.133)

donde los elementos de la matriz Q son

Q11 = αKp − αN,

Q12 = −1

2N,

Q13 = −1

2αKd,

Q21 = −1

2N,

Q22 = B − αM,

Q23 = 0,

Q31 = −1

2αKd,

Q32 = 0,

Q34 = Kd.

Usando el criterio de Sylvester [14] es posible demostrar que Q es definida positiva, y

en consecuencia, el lado derecho de (4.133) es una funcion semidefinida negativa. Ası,

invocando el lema de Barbalat [13], se demuestra que

lımt→∞

| e(t) || e(t) || ϑ(t) |

=

0

0

0

. (4.134)

Finalmente, las ecuaciones en lazo cerrado para el controlador adaptable propuesto


Figura 4.19: Diagrama a bloques del controlador propuesto.

son

Mde

dt= −Be−N [sin(qd)− sin(q)]−Kp −Kdϑ+Wτ θτ , (4.135)

Ladηadt

= −Rηa −Kpaηa +Kiξa +W deaθea, (4.136)

Lbdηbdt

= −Rηb −Kpbηb +W ∗ebθ∗eb, (4.137)

˙θτ1 = −Γτ1WTτ1[e+ αe], (4.138)

˙θea = −ΓeaWTeaηa, (4.139)

˙θeb = −ΓebWTebηb. (4.140)

4.4.3. Experimentos para el controlador adaptable propuesto

Se realizaron experimentos para comprobar el funcionamiento del controlador adapta-

ble propuesto dado por las ecuaciones (4.91) y (4.92), en donde se obtuvieron los resultados

siguientes. En la figura 4.19 se muestra el diagrama a bloques del controlador propuesto.

Para realizar los experimentos se utilizaron las ganancias de control mostradas en la

tabla 4.12 y la ganancias de adaptacion son las mostradas en la tabla 4.13. Las condiciones

iniciales de los parametros son las mismas que para el controlador adaptable con reduccion

de sobre-parametrizacion dadas en la tabla 4.9.

La trayectoria deseada para este controlador es

qd(t) = 2 sin(4t) + 1.5 [rad], (4.141)

y ademas para la implementacion de forma experimental del controlador adaptable pro-

puesto se hizo uso de proyectores, esto con el fin de que los parametros estimados como

M y La no sean menores a cero. La aplicacion de proyectores permite que las estimaciones



α 0.1kd 0.4kp 11.0kf 1000.0kDa 0.5kDb 0.5kIa 0.5kIb 0.5

Tabla 4.12: Ganancias de control para el controlador propuesto en experimento.


Γτ1 0.0006Γτ2 0.006Γτ3 0.006Γe1 0.0003Γe2 0.03Γe3 0.03Γe4 0.03

Tabla 4.13: Ganancias de adaptacio para control adaptable propuesto en experimento.

de los parametros θτ1 = M , y θea1 = La, se mantengan en un rango deseado de valores.

Especıficamente se uso

˙θτ1 = − ˙θτ1 =

γτ1φτ1, si am < M,

−γτ1φτ1, si M ≤ am y φtau1 ≤ 0,

γτ1φτ1, si M < am y φtau1 > 0,

(4.142)

donde am es la cota inferior de los valores posibles a tomar por la estimacion θτ1(t), con

lo que se asegura que θτ1(t) > 0 para todo t ≥ 0.

Analogamente, se obtienen las condiciones a aplicar en la estimacion de θea1 = La,

˙θea1 = − ˙θea1 =

γea1φea1, si ala < La,

−γea1φea1, si La ≤ ala y φea1 ≤ 0,

γea1φea1, si La < ala y φea1 > 0,

(4.143)

donde las cotas inferiores para cada proyector se muestran en la tabla 4.14.

Los resultados obtenidos se muestran en las figuras descritas a continuacion. La figura

4.20 se muestra la trayectoria de la posicion q(t) y la trayectoria deseada qd(t), en la figura

4.21 se ilustra la trayectoria de la velocidad q(t) y la trayectoria de la velocidad deseada


Cota inferior Valor

am 0.0001ala 0.000001

Tabla 4.14: Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores.

0 5 10 15 20 25−2

−1

0

1

2

3

4

5

[rad]

Tiempo [s]


q(t) qd(t)

Figura 4.20: Seguimiento de posicion del controlador propuesto.

qd(t) y finalmente en la figura 4.22 se muestra las corrientes de cada fase Ia(t) e Ib(t) y

las corrientes deseadas de cada fase Ida(t) e Idb(t).

Ademas, en las figuras 4.23, 4.24 y 4.25 se presentan las estimaciones de los parametros.

Complementando la informacion presentada, la tabla 4.15 muestra los valores RMS

del error de posicion e(t) y corrientes η(t) =[ηa(t) ηb(t)

]Ty el vector de voltajes

V (t) =[Va(t) Vb(t)

]Ten una ventana de tiempo de 20 [s] a 25 [s]. Como se observa

el controlador propuesto cuenta con un adecuado funcionamiento, logrando el seguimien-

to de la trayectoria en experimento en un tiempo pertinente. Ademas los parametros

permanecen acotados.


0 5 10 15 20 25−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

[rad/seg]

Tiempo [s]

Seguimiento de velocidad de q(t)

q(t) qd(t)

Figura 4.21: Seguimiento de velocidad del controlador propuesto.

0 5 10 15 20 25−20

0

20

[Amp]

Corrientes

Ia(t) Ida(t)

0 5 10 15 20 25

−5

0

5

[Amp]

Tiempo [s]

Ib(t) Idb(t)

Figura 4.22: Seguimiento de corrientes del controlador propuesto.


0 5 10 15 20 25−0.1

0

0.1

M(t)


0 5 10 15 20 250.2

0.4

B(t)

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

N(t)

Tiempo [s]

Figura 4.23: Estimacion de parametros parte mecanica.

0 5 10 15 20 25

0

0.1

0.2

La(t)


0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

Lb(t)

Tiempo [s]



0 5 10 15 20 250.5

0.6

0.7

0.8

R(t)


0 5 10 15 20 250

0.05

0.1

Kτ2(t)

Tiempo [s]


Indice Valor Unidad

RMSe(t)|∀20 ≤ t ≤ 25 0.0748 [rad]

RMS[ηa(t) ηb(t)

]T∀20 ≤ t ≤ 25 0.04782 [Amp]

RMS[Va(t) Vb(t)

]T∀20 ≤ t ≤ 25 1.31 [V olts]

Tabla 4.15: Indices de desempeno del controlador adaptable propuesto en las ecuaciones (4.91)y (4.92).

4.5 Comparacion y desempeno de controladores 62

Controlador Controlador

Indice CAR CAP Unidades

RMSe(t)∀ 20 ≤ t ≤ 25 [seg] 0.37 0.0748 [rad]

RMS[ηa(t) ηb(t)

]T∀ 20 ≤ t ≤ 25 [seg] 2.320 0.04782 [Amp]RMS

[Va(t) Vb(t)

]∀ 20 ≤ t ≤ 25 [seg] 1.310 1.310 [Volts]

Tabla 4.16: Comparacion de desempeno de controladores adaptables CAR y CAP.

4.5. Comparacion y desempeno de controladores

La comparacion de desempeno de controladores se llevo acabo con el controlador

adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion descrito en (4.62) y (4.63) y el control

adaptable propuesto expresado en (4.91) y (4.92), donde el valor RMS de los voltajes

de control dado por ambos controladores es igual con el fin de realizar una comparacıon

equitativa entre ambos controladores. En la tabla 4.16 se muestran los valores RMS del

vector de voltajes V (t) =[Va(t) Vb(t)

], error de posicion e(t) y vector de error de

corrientes η(t) =[ηa ηb

]en una ventana de tiempo de 20 [s] a 25 [s].

Capıtulo 5

Conclusiones y trabajo futuro

Como se menciono con anterioridad, este trabajo de tesis presenta un conjunto de

esquemas de control por modelo exacto y adaptables para la solucion del problema de

seguimiento de trayectoria en el motor de CD sin escobillas. Se destaca la inclusion de

un nuevo esquema de control que permite una convergencia aun mas rapida con respecto

a los controladores reportados en la literatura. Ademas, dicho controlador realiza una

estimacion menor de parametros del motor de CD sin escobillas. Ası mismo, el desem-

peno mostrado por simulaciones numericas ha sido verificado con la implementacion de

los controladores en forma experimental, presentando ası resultados favorables para el

seguimiento de las trayectorias deseadas y la disminucion del error en cada uno de los

controladores.

Otra de las principales aportaciones de la presente investigacion es la construccion

de un inversor trifasico que permite la implementacion de los controladores en forma

experimental, acondicionando la senal de control para su implementacion al motor, del

cual se habla a detalle en el apendice E. Para perfeccionar la parte experimental para

la demostracion del correcto funcionamiento de los controladores, se puede aumentar

el procesamiento del equipo de computo o realizar la implementacion de un procesador

digital que permitira el aumento de la velocidad en el proceso de calculo de las operaciones

numericas para el control del motor de CD sin escobillas.

A partir de esta investigacion se puede dar inicio al desarrollo de otros trabajos, como

son el uso de inversores trifasicos en motores de induccion, la aplicacion de otras tecnicas

de control en motores de CD sin escobillas, control de motores de CD sin escobillas con el

uso de procesadores digitales de senal, uso de motores de CD sin escobillas en los sistemas

aereos no tripulados (conocidos como VANT o drones), la implementacion de motores de

CD en robots, entre algunos otros que brindan una oportunidad de trabajo futuro.

63

Referencias

[1] J. Catt. 3-Phase Bridge Drive With Overcurrent Protection. International Rectifier,

2002.

[2] F. Salas. Modelado y control de motores de CD sin escobillas: evaluacion experimen-

tal. Tesis de maestrıa, Instituto Tecnologico de la Laguna, diciembre 2007.

[3] A. Paul y M. George. Brushless DC Motor Control Using Digital PWM Techniques.

En memorias del International Conference on Signal Processing, Communication,

Computing and Networking Technologies, pp. 733-738, 2011.

[4] X. Huangsheng y J. Yashvant. Understanding Sensorless Vector Control for Brushless

DC Motors. Renesas Technology America, Embedded Systems Conference, Silicon

Valley, 2008.

[5] D. Langarica. Control de un motor brushless para aplicacion a vehiculos electricos.

Tesis de maestrıa, Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico, octubre

2010.

[6] D. Dawson, J. Hu, y T. Burg. Nonlinear Control of Electric Machinery. Marcel

Dekker, New York, 1998.

[7] R. Campa, E. Torres, F. Salas, y V. Santibanez. On Modeling and Parameter Esti-

mation of Brushless DC Servoactuators for Position Control Tasks. En memorias del

Proceedings of the 17th World International Federation of Automatic Control, Julio,

2008.

[8] S. H. Zak. Systems and control. Oxford University Press, New York, 2003.

[9] I. Landau, R. Lozano, A. Karimi, y M. M’Saad. Adaptive Control Algorithms, Analy-

sis and Applications. Springer, New York, 2011.

64

REFERENCIAS 65

[10] K. W. Lee y H. K. Khalil. Adaptive output feedback control of robot manipulators

using high-gain observer. International Journal of Control, Vol. 67, No. 6, pp. 869-

886, 1997.

[11] S. Sastry y M. Bodson. Adaptive Control. Prentice-Hall, Berkeley, 1989.

[12] F. Gordillo. Estabilidad de sistemas no lineales basada en teorıa de Lyapunov. Revista

Iberoamericana de Automatica e Informatica Industrial, Vol. 2, pp. 5-16, 2013.

[13] H. Khalil. Nonlinear systems. Prentice-Hall, 1996.

[14] R. Kelly, V. Santibanez, y A. Loria. Control of robot manipulators in joint space.

Springer, 2005.

[15] P. Krause, O. Wasynczuk, y D. Scott. Analysis of electric machinery and drive

systems. John Wiley, 2002.

[16] J. Hidalgo. Diseno y simulacion de un inversor trifasico de 5.0kW aplicando la tecnica

de modulacion de ancho de pulso de vector espacial. Tesis de maestrıa, Pontificia

Universidad Catolica de Peru, 2011.

[17] V. Iribe, J. Perez, J. Beristain, y A. Alejandro. Implementacion de la Tecnica de

Modulacion de Vectores Espaciales utilizando un Controlador Digital de Senal ds-

PIC30F3010. RIEE&C, Revista de Ingenierıa Electria, Electronica y Computacion,,

Vol. 6, No.12, pp. 16-24., 2009.

[18] D. Novotny y T. Lipo. Vector control and dynamics of AC drives. Oxford, 1996.

[19] Inc. Sensoray Co. Sensoray Model 626 Instruction Manual. Sensoray Co., Inc., Julio

2004.

Apendice A

Publicaciones

C. Aguilar-Avelar, Y. Quevedo-Pillado, J. Guzman-Guemez y J. Moreno-Valenzuela.

Control por modelo de referencia adaptable para un motor de CD con carga pen-

dular. En memorias del XIV Congreso Mexicano de Robotica, 2012.

Y. Quevedo y J. Moreno-Valenzuela. Comparacion de controladores adaptables para

motores de corriente directa sin escobillas. En memorias del AMCA 2013, 2013.

66

Apendice B

Transformaciones matriciales de

Clarke y Park

Este apartado se presentan dos transformaciones de suma utilidad para la simplifi-

cacion del modelo trifasico del motor de CD sin escobillas. Basados en [5], [6] y [15] las

transformadas vectoriales para el motor de CD sin escobillas son descritas a continuacion.

B.1. Transformada de Clarke

El vector Is mostrado en la figura B.1 representa el vector de la corriente del estator,

el cual se encuentra conformado por 3 componentes sinusoidales, las cuales estan com-

prendidas dentro de un plano formado por los ejes a, b y c, los cuales no son ortogonales.

Con la finalidad de simplificar las ecuaciones del motor se realizan dos transformacio-

nes, la primera de ellas es llamada transformada de Clarke, que transforma un sitema no

ortogonal a un sistema ortogonal. En esta caso en particular se transforma el vector de

las corrientes del motor Iabc de tres componentes en un vector vector con componentes α

y β, con un valor numerico diferente a cero, puesto que la tercer componente es cero.

La transformada de Clarke se realiza utilizando las ecuaciones

I0 = Ia + Ib + Ic = 0, (B.1)

Iα =2

3

(Ia −

1

2Ib −

1

2Ic

),

Iβ =2

3

(√3

2Ib −

√2

2Ic

),

67

B.1 Transformada de Clarke 68

Figura B.1: Diagrama vectorial de Iabc y Iαβ

donde

I0 = 0, (B.2)

Iα = Ia,

Iβ =2Ib + Ia√

2,

que convierten las corrientes Iabc → Iαβ ya pertenecientes a un sistema ortogonal.

La transformacion de Clarke dada por las ecuaciones anteriores ha convertido un

sitema trifasico de 120 en un plano a un sistema trifasico ortogonal. Ademas, la transfor-

macion no modifica el modulo del vector y no elimina la dependencia del angulo de giro

del rotor dada por θr que presenta el modelo trifasico del motor de CD sin escobillas.

Para eliminar la dependencia de θr se hace girar el sistema de referencia α y β, con

el angulo θr. Para realizar esto se aplica una matriz de giro a los ejes de referencia α y β

dada por la ecuacion

ρ(θr) =

1 0 0

0 cos(θr) sin(θr)

0 − sin(θr) cos(θr)

. (B.3)

Se observa en la figura B.1 que a partir de aquı los ejes se manejar con el nombre de

d y q que son conocidos como los ejes magneticos del rotor, es decir cuando los ejes α y

β se mueven entorno a la matriz de giro pasa a denominarse d y q.

B.2 Transformada de Park 69

B.2. Transformada de Park

La transformada de Park es la combinacion de la transformada de Clarke y la apli-

cacion de la matriz de giro. Es decir, permite la transformacion de un sistema trifasico

en estado estacionario en un sistema ortogonal que gira en sincronıa con el giro del rotor

denotado por θr. Ademas esta transformacion se aplica a cualquier variable de voltaje (V )

o corriente (I). Las ecuaciones de la transformacion de Park se encuentran dadas por las

ecuaciones

Idq0 = Pθ−1r Iabc, (B.4)

Id

Iq

I0

=

√2

3

cos(θ) cos(θr − 2π3

) cos(θr + 2π3

)

sin(θ) sin(θr − 2π3

) sin(θr + 2π3

)1√2

1√2

1√2

Ia

Ib

Ic

. (B.5)

De forma similar, para transformar un voltaje trifasico a un voltaje d-q se usa la ecuacion

dada por (B.6), que especıficamente queda como Vd

Vq

V0

=

√2

3

cos(θ) cos(θr − 2π3

) cos(θr + 2π3

)

sin(θ) sin(θr − 2π3

) sin(θr + 2π3

)1√2

1√2

1√2

Va

Vb

Vc

. (B.6)

Aplicando estas transformaciones al modelo trifasico presentado en el capıtulo III por las

ecuaciones 3.3 se obtiene el modelo d-q del motor de CD con escobillas.

Apendice C

Modulacion por espacios vectoriales

En esta secccion se describe la tecnica de modulacion por espacios vectoriales aplicada

en el control del motor de CD sin escobillas.

La tecnica de modulacion por espacios vectoriales (por sus siglas en ingles SVM -

Space Vector Modulation) es un algoritmo para el control de modulacion por ancho de

pulso (PWM). Los motores trifasicos de CA accionado a diferentes velocidades de DC es

uno de sus principales usos.

La principal caracterıstica de la SVM es que sustituye todo el sistema trifasico por

un solo vector llamado vector de referencia, en el que la frecuencia queda reflejada en su

velocidad de giro con respecto al tiempo [16].

Para comprender mejor el concepto de SVM, en la figura D.1 se muestra un inversor

trifasico con 8 posibles estados de conmutacion, cada transistor S1, S2, S3, S4, S5 y S6 se

considera un interruptor que cuando esta abierto causa un estado logico de 0 (Sn = 0),

y cuando esta cerrado un 1 (Sn = 1), donde n = 1, 2, 3...6. Tomando como interruptores

principales a S1, S3 y S5 se encuentran 8 estados de conmutacion, donde cada una de las

combinaciones se puede representar en forma vectorial como ~Vx =(S1 S2 S3

), donde

x = 0, 1, 2, ..., 7. En la representacion vectorial de los estados de conmutacion existen

dos vectores denominados vectores nulos ~V0 y ~V7, donde los transistores S1, S3 y S5 se

encuentran todos abiertos ~V0 = (000) o todos cerrados ~V7 = (111), el resto de los vectores

son llamados vectores activos. La figura C.2 muestran explıcitamente los ocho estados de

conmutacion del inversor trifasico, que se representaran en su forma vectorial. A partir

de los vectores de conmutacion se traza un diagrama vectorial mostrado en la figura C.3,

donde se muestra las diferentes posiciones de los vectores sobre el plano α − β, donde

existe una separacion de 60 entre cada vector para cubrir un espacio de 360 en partes

iguales. Conforme al diagrama vectorial mostrado anteriormente, el vector de salida ~V (t)

70

71

Figura C.1: Inversor trifasico de dos niveles.

Figura C.2: Estados de conmutacion de un inversor trifasico representado en forma de vectores.

72

Figura C.3: Diagrama vectorial obtenidos a partir de los estados de conmutacion trifasico.

es la suma total de los vectores tal que

~V (t) =T0TS~V0 +

T1TS~V1 + ...+

T7TS~V7, (C.1)

donde, los tiempos de encendido de los vectores ~V0, ~V1, ..., ~V7, son T0, T1, ..., T7 ≥ 0 y∑7x=0 Tx = TS, donde TS es el periodo de conmutacion. Observando la ecuacion (C.1), el

vector ~V (t) tiene un numero infinito de representaciones usando los vectores ~V0, ~V1, ..., ~V7,

con el fin de reducir el numero de conmutaciones y obtener el voltaje maximo de linea en

la carga, se usa la tecnica de representar al vector ~V (t) usando 2 vectores adyacentes mas

cercanos y los 2 vectores nulos ~V0 y ~V7 en cualquier sector.

De forma demostrativa, considerando como ejemplo que el vector ~V (t) que se encuentra

en la seccion I del diagrama vectorial, en un intervalo de conmutacion el vector puede ser

expresado como

~V (t) =T1TS~V1 +

T2TS~V2 +

T7TS~V7 +

T0TS~V0, (C.2)

donde T7 = T0 = (TS − T1 − T2)/2 ≥ 0. La figura C.4 extraıda del diagrama vectorial de

los 8 vectores de conmutacion, donde aplicando la ley de los senos se calculan los tiempos

73

Figura C.4: Sector I del diagrama vectorial.

T1 y T2 tal queT2TS

1

sin γ=

m∗

sinσ=T1TS

1

sinϑ. (C.3)

Calculando los valores de los angulos σ y ϑ como

σ = π − π

3=

2π

3, (C.4)

ϑ = π − 2π

3− γ =

π

3− γ. (C.5)

Sustituyendo las ecuaciones (C.4) y (C.5) en la ecuacion (C.3) se obtiene la siguiente

ecuacionT2TS

1

sin γ=

m∗

sin(2π/3)=T1TS

1

sin(π/3− γ), (C.6)

despejando T1 y T2 se tiene

T1 =2√3m∗TS sin(

π

3− ωt) =

2√3m∗TS cos(ωt+

π

6), (C.7)

T2 =2√3m∗TS sin(ωt) =

2√3m∗TS cos(ωt+

3π

6), (C.8)

por lo tanto

T0 = T7 = (TS − T1 − T2)/2, (C.9)

donde

2πf ≤ ωt = γ ≤ 2πf + π/3,

m∗ = 3/4m,

74

Sector I Sector II Sector III(0 ≤ ωt ≤ π/3) (π/3 ≤ ωt ≤ 2π/3) (2π/3 ≤ ωt ≤ π)

T1 =√32mTS cos(ωt+ π/6) T2 =

√32mTS cos(ωt+ 11π/6) T3 =

√32mTS cos(ωt+ 3π/2)

T2 =√32mTS cos(ωt+ 3π/2) T3 =

√32mTS cos(ωt+ 7π/6) T4 =


T0 = T7 = (TS − T1 − T2)/2 T0 = T7 = (TS − T2 − T3)/2 T0 = T7 = (TS − T3 − T4)/2Sector IV Sector V Sector VI

(π ≤ ωt ≤ 4π/3) (4π/3 ≤ ωt ≤ 5π/3) (5π/3 ≤ ωt ≤ 2π)

T4 =√32mTS cos(ωt+ 7π/6) T5 =

√32mTS cos(ωt+ 5π/6) T6 =

√32mTS cos(ωt+ π/2)

T5 =√32mTS cos(ωt+ π/2) T6 =

√32mTS cos(ωt+ π/6) T1 =


T0 = T7 = (TS − T4 − T5)/2 T0 = T7 = (TS − T5 − T6)/2 T0 = T7 = (TS − T6 − T1)/2

Tabla C.1: Tiempo de encendido de vectores para cada seccion.

siendo m∗ el ındice de modulacion del vector V (t), m es el ındice de modulacion para

la region lineal representada por el circulo inscrito en el hexagono mostrado en la figura

C.3, definido de 0 a 1 y TS el perıodo de conmutacion. Para obtener los tiempos del resto

de los sectores se sigue el mismo procedimiento, los tiempos calculados se muestran en la

tabla C.1.

Retomando el ejemplo basado en el sector I, ya obtenidos los tiempos de encendido

T1, T2, T0 y T7 de los vectores ~V1 = 100, ~V2 = 110, ~V0 = 000 y ~V7 = 111, con base en los

interruptores S1, S3 y S5 la secuencia de conmutacion se muestra en la figura C.5. Con

base a los interruptores S1, S3 y S5, la figura C.6 presenta la secuencia de conmutacion

de los vectores ~V0, ~V1,..., ~V7 = 000 para cada uno de los 6 sectores.

El resultado de la modulacion por la tecnica SVM para el interruptor S1 es de la forma

presentada en la figura C.7 en base a esto se cuenta con lo la modulacion requerida para la

implementacion de la corrientes al inversor que alimentara el motor de CD sin escobillas

[17].

75

Figura C.5: Secuencia de conmutacion del sector I.

76

Figura C.6: Secuencia de conmutacion de los vectores para los seis sectores.

Figura C.7: Modulacion de onda caracterizada por el interruptor S1.

Apendice D

Inversor trifasico para el motor de

CD sin escobillas

En este apartado se se presenta la principal informacion del inversor trifasico utilizado

para la prueba de los controladores para el motor de CD sin escobillas.

El proceso de convertir una corriente directa (dc) a una corriente alterna (ac) es

llamada inversion y es el llamado inversor el que crea una frecuencia variable de la

una fuente de corriente directa que es usada para manejar motores de induccion con una

velocidad variable, sistemas de alimentacion interrumpida o variadores de frecuencia entre

otras aplicaciones [18]. Existen diversidad de inversores y en ella se encuentra los inversores

trifasicos que son utilizados para convertir la corriente directa en corriente alterna, con

una magnitud y frecuencia deseadas. El metodo de modulacion mas usados para realizar

el control del circuito inversor trifasico es la modulacion por ancho de pulso (PWM).

En aplicaciones de potencia baja e intermedia esta clase de inversores aceptan voltajes

de onda cuadrada o casi cuadrada, en cambio, para aplicaciones de alta potencia el voltaje

Figura D.1: Inversor trifasico.

77

78

debe ser sinusoidal y con poca distorsion.

Los dispositivos de conmutacion usados en estos circuitos comunmente son BJT, MOS-

FET, IGBT o GTO. Ademas para la generacion de senales de control utilizan generalmente

la modulacion por ancho de pulso (PWM) o modulacion por espacios vectoriales.

Para la construccion de un inversor trifasico existen dos configuraciones

Primero, se puede conectar tres puentes inversores monofasicos medios o completos

en paralelo para formar la configuracion de un inversor trifasico. Las senales de

control de los inversores monofasicos deben adelantarse o atrasarse 120 entre sı para

obtener voltajes trifasicos balaceados.

Segundo, se puede obtener una salida trifasica mediante la configuracion de tres

semi-puentes donde en cada uno de ellos se dispone de dos semiconductores de

potencia (teniendo un total de seis), como lo muestra la figura D.1. Se puede aplicar

dos clases de senales de control a estos semiconductores, conduccion de 180 o de

120 [16].

En referencia a la figura D.1, los numeros 1, 3 y 5 y 6 representan las entradas de

modulacion de los pulsos en alto y los numeros 2, 4, y 6 representan las entradas de

modulacion de los pulsos en bajo. a, b y c son las conexiones a las fases de la carga, para

la aplicacion del motor de CD sin escobillas, es la conexion a cada una de las fases del

motor, n se refiera a el neutro en la conexion de las fases y Vab, Vac y Vbc son los voltajes

diferenciales entre fases.

La base para el desarrollo del driver inversor se tomo del manual del circuito impreso

IR2130, mismo que se uso para la construccion del inversor y es presentado en [1], el cual

presenta el diseno de un circuito inversor ilustrado en la figura D.2.

79

Figura D.2: Inversor trifasico con proteccion de sobre corriente tomado de [1].

Apendice E

Plataforma experimental

En esta secccion se describe a detalle la plataforma experimental usada para el desa-

rrollo de experimentos de controladores para el motor de CD sin escobillas presentados

en este trabajo.

La figura E.1 muestra un diagrama general de la plataforma experimental ubicada en

el laboratorio de sistemas de control del Centro de Investigacion y Desarrollo de Tecno-

logıa Digital - CITEDI usada para realizar los experimentos presentados en este trabajo.

Ademas en la figura E.2 se ilustra una fotografıa de la la plataforma experimental.

A continuacion se presenta una descripcion mas detallada de cada uno de los elementos

que componen la plataforma experimental.

E.1. Computadora-PC

La computadora usada en la plataforma experimental cuenta con un sistema operativo

Windowsr XP y Matlabr 2007a, donde se hace uso de la herramienta Simulinkr para

simplificar la implementacion de los controladores en un sistema de computo, ademas que

permite la interaccion con la tarjeta de adquisicion de datos con ayuda de la librerıa ”Real

Time Windows Target”.

Otras caracterısticas de la computadora son

Procesador AMD Phenom II XL 965.

CPU 3.5 GHz.

Memoria RAM 3GB.

80

E.2 Tarjetas para la adquisicion de datos Sensorayr 626 81

Figura E.1: Diagrama a bloques de la plataforma experimental

E.2. Tarjetas para la adquisicion de datos Sensorayr

626

El modelo de la tarjeta de datos 626 es una tarjeta PCI. Cuenta con seis contado-

res versatiles de 24 bits que admiten encoders incrementales, ası como fuentes de re-

loj, 48 puertos bidireccional de entradas y salidas, salidas digitales, dieciseis entradas

analogicas diferenciales, cuatro salidas analogicas, y un temporizador watchdog. En la

figura E.3 se muestra un diagrama de las conexiones tıpicas de la tarjeta Sensorayr 626.

Codificadores y Contadores

Tres pares de contadores de 24 bits pueden ser configurados por seis encoders incremen-

tales, cada uno con 24 bits de resolucion, cada canal admite dos fases TTL o senales de

puerto RS-422, adicionalmente se usa una senal para rastrear la direccion encoder y el

desplazamiento. Cada entrada esta condicionada y sincronizada con el reloj interno del

la tarjeta 626. A diferencia de los contadores convencionales, los contadores de la 626 no

acumulan los errores cuando encoder cambia de direccion. Ademas cuenta con fuentes de

alimentacion de 5 volts para cada canal de encoder. Todos los contadores son programa-

bles y pueden generar opcionalmente interrupciones.

E.2 Tarjetas para la adquisicion de datos Sensorayr 626 82

Figura E.2: Fotografıa de la plataforma experimental

E.3 Inversor trifasico 83

Figura E.3: Diagrama de conexiones tıpicas de tarjeta Sensoray 626.

Entradas analogicas

16 canales de entradas diferenciales son multiplexadas a una muestra con una aproxima-

cion sucesiva A/D.Cada canal puede ser programado de ±5V o ±10V .

Salidas analogicas

Cuatro salidas de voltaje analogicas pueden ser programadas de ±10V .

Entradas y salidas digitales 48 lıneas digitales, cada lınea se programa por como

entrada o salida. Todas las salidas se desactivan al reiniciar el sistema [19].

E.3. Inversor trifasico

El circuito inversor usado en la plataforma experimental fue construido por alumnos del

centro, y basicamente en la figura E.4 se muestra el diagrama a bloques del circuito, donde,

las entradasH1,H2,H3 se refieren a los pulsos en estado alto provenientes de la modulacion

por espacios vectoriales, L1, L2, L3 son los pulsos en estado bajo de la modulacion por

espacios vectoriales, las salidas denominadas U , V y W son las conexiones a cada una de

las fases del motor de CD sin escobillas. El circuito inversor se alimenta de dos fuentes

de voltaje, la primera de ellas es de 5V que alimenta a los transistores del circuito y la

E.4 Tarjeta para monitoreo de las corrientes 84

Figura E.4: Diagrama a bloques del inversor trifasico.

segunda fuente de alimentacion es el voltaje de alimentacion para la conmutacion y su

correspondiente conexion de tierra (GND). Los componentes que constituyen el circuito

inversor se muestran en la tabla E.1. El diagrama del circuito inversor se muestra en la

figura E.5. Y finalmente, la tarjeta del circuito inversor se ilustra en la figura E.6.

E.4. Tarjeta para monitoreo de las corrientes

La tarjeta para monitorizar la corriente de cada una de las fases del motor se encuentra

constituida por tres sensores de corriente NT-5 de la marca F.W. BELL, el diagrama de

de conexion del sensor se muestra en la figura E.10, estos sensores se alimentan con una

fuente de corriente directa de±10 a±15 [V ] , cuentan con una salida de voltaje diferencial

para el monitoreo de corriente. En la figura E.8 se ilustra la tarjeta para monitorear la

corriente de cada uno de los devanados del motor de CD sin escobillas.

E.5. Tarjeta de filtro de corriente

Para asegurar la estabilidad del lazo de corriente, una inductancia de carga mınima es

esencial para el correcto funcionamiento de las unidades de PWM. La tarjeta de filtro de

corriente Filter se pueden utilizar para anadir inductancia al sistema motor o variador.

E.5 Tarjeta de filtro de corriente 85

Cantidad Componente Numero de parte o Fabricante Proveedordescripcion

1 IC Driver IR2130 International DigikeyRectifier

15 Diodos 1N4937 - Steren6 Transistores IRF640N International Steren

Rectifier9 Capacitores 0.1µF - Steren

ceramicos6 Resistencias 56Ω 1Watt - Steren6 Resistencias 100Ω 1/4Watt - Steren1 Resistencia 1KΩ 1/4Watt - Steren1 Led - - Steren3 Sensores de NT-5 FW-BELL Newark

corriente FW-BELL1 Zocalo 28 pins - Steren2 Zocalos 24 pins - Steren5 Terminal 3 posiciones - Steren

blocks - Frys5 Terminal 3 posiciones -

blocks 6 unidades - Frys

Tabla E.1: Componentes del circuito inversor.


Figura E.5: Diagrama de conexiones del circuito inversor.


Figura E.6: Diagrama de conexiones del circuito inversor.

Figura E.7: Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5.

Figura E.8: Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5.

E.6 Motor de cd sin escobillas con encoder 88

Figura E.9: Filtros para corrientes.

En el caso de esta plataforma los filtros inductivos se utilizan para reducir el ruido

PWM de conmutacion que se produce con los voltajes de alimentacion y los tramos largos

de cable. En la figura E.9 se muestra el filtro de corrientes implementado en la plataforma

experimental para el motor de CD sin escobillas.

E.6. Motor de cd sin escobillas con encoder

Para la plataforma experimental se hace uso de un motor de CD sin escobillas de

la marca Anaheim Automation con el modelo BLY172S-24V-4000, algunas de sus carac-

terısticas son:

Torque continuo de 21 oz-in.

Voltaje nominal de alimentacion de 24 volts de corriente directa.

Velocidad nominal de 4000 RPM.

Potencia de 55 W.

Torque pico 54 oz-in.

Una corriente pico de 11 Amp.

Resistencia de linea a linea de 0.8 ohms.

Torque constante de 5.0 oz-in/A.

Inercia del rotor de 0.00068 oz − in/seg2

Peso de 0.94 lbs.


Figura E.10: Motor de CD sin escobillas

PIN DESCRIPCION1 Tierra2 Canal A3 Canal -A4 5 VDC5 Canal B6 Canal -B

Tabla E.2: Conexiones de terminales de encoder

Longitud 2.4 in.

Este motor cuenta con una carga pendular tal como se muestra en la figura E.11.

El encoder usado con el motor es de la marca US-Digital y lleva el numero de parte

E8P-500-197-D-H-M-B, este encoder es un encoder optico incremental, es un encoder de

tamano pequeno que sigue la norma NEMA motores a pasos, se alimenta de 5 VDC y

cuenta con dos salidas de cuadratura TTL. Ademas genera 4000 pulsos por revolucion.

Las conexiones para este encoder se ilustran en la tabla E.2.


Figura E.11: Motor de CD sin escobillas.

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