Investigacion de Progresiones Matematicas y Financieras
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PROGRESIONES MATEMATICAS Y FINANCIERAS Docente: Dodanim Castillo Aráuz Alumnos: David Josué Burgos Gamboa George Steven Ramos Howell Daniela Michelle Oviedo Oneyda Yanes Vanegas Rebeca Fecha de entrega: Martes, 10 de julio de 2012
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PROGRESIONES MATEMA TICAS Y FINANCIERAS
Docente:
Dodanim Castillo Aruz
Alumnos:
David Josu Burgos Gamboa
George Steven Ramos Howell
Daniela Michelle Oviedo
Oneyda Yanes Vanegas
Rebeca
Fecha de entrega:
Martes, 10 de julio de 2012
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Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
1
Contenido
Introduccin ........................................................................................................................................ 2
Objetivos ............................................................................................................................................. 3
7 1 Progresiones aritmticas e inters simple. ................................................................................ 4
Definiciones ..................................................................................................................................... 4
Progresiones aritmticas ............................................................................................................. 4
Inters simple .............................................................................................................................. 4
Ejemplos aplicados a la administracin .......................................................................................... 5
7 2 Progresiones geomtricas e inters compuesto ........................................................................ 8
Definiciones ..................................................................................................................................... 8
Progresiones geomtricas .......................................................................................................... 8
Inters compuesto ...................................................................................................................... 8
Ejemplos aplicados a la administracin .......................................................................................... 9
7 3 Matemticas financieras. ......................................................................................................... 11
Definiciones ................................................................................................................................... 11
Ejemplos aplicados a la administracin ........................................................................................ 11
7 4 Ecuaciones en diferencias. ....................................................................................................... 11
Definiciones ................................................................................................................................... 11
Ejemplos aplicados a la administracin ........................................................................................ 11
7 5 Notacin de sumatoria (Seccin opcional) ............................................................................... 11
Definiciones ................................................................................................................................... 11
Ejemplos aplicados a la administracin ........................................................................................ 11
Tabla de contenido
-
Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
2
Introduccin
-
Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
3
Objetivos
-
Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
4
7 1 Progresiones aritmticas e inters simple.
Definiciones
Progresiones aritmticas
Una sucesin se dice que es una progresin aritmtica PA si la diferencia entre cualquier
termino y es la misma a lo largo de toda la sucesin. La diferencia algebraica entre cada
trmino y el anterior se denomina diferencia comn y se denota por d.
Inters simple
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Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
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Ejemplos aplicados a la administracin
Ejemplo de progresiones aritmticas:
Supngase que el seor Martnez pide al banco la cantidad de $5000 a un inters del 1%
mensual. l esta de acuerdo en pagar $200 al capital cada mes, mas el inters en el
balance. Al final del primer mes, paga $200 ms el inters de los $5000 al 1% mensual,
que son $50. En consecuencia, el primer pago es de $250 y solo debe $4800 al banco. Al
trmino del segundo mes, paga $200 al capital ms los intereses sobre $4800, los cuales
son $48 al 1% mensual. Por lo tanto, su segundo pago es de $248. Continuando en esta
forma sus pagos sucesivos son: 250, 248, 246, 244. 202.
Solucin: Si a es el primer termino y d es la diferencia comn de PA, los trminos sucesivos
de la PA son:
a, a + d, a + 2d, a + 3d
Inters simple
Sea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de inters anual del R porciento. En un
ao, la tasa de inters ganada esta dada por:
I = P(R/100)
Si la inversin es a inters simple, entonces, en aos sucesivos el inters solo se paga
sobre el capital P y no sobre los montos de inters generados. As se agrega una cantidad
constante I a la inversin final de cada ao. Despus de 1 ao el valor total es de P + 2I,
despus de 2aos P + 2I, Y as sucesivamente. La sucesin de valores anuales a la
inversin.
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Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
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P, P + I, P + 2I, P + 3I (OJO ES UNA i NO UN 1)
Forman de esta manera una progresin aritmtica, cuyo primer termino es P y con
diferencia comn I. Despus de t aos el valor de P + tI.
Valor despus de t aos = P +tI , I = P(R/100).
Suma de n trminos de una PA.
Si a es el primer termino y d es la diferencia comn de PA, la sucesin es:
a, a + d, a + 2d, a + 3d .
Si la sucesin consta de n trminos y si I denota el ltimo trmino (esto es, n-simo
trmino),
t = a + (n - I)d
El penltimo termino ser I d, el antepenltimo termino ser I - 2d, etc. Sin denota la
suma de estos trminos,
Sn = a + (a + d) + (a +2d) + + (I + 2d) + (I + d) + I
Se puede escribir de forma inversa y la suma va a ser la misma.
Teorema 1
La suma de n trminos de una PA con primer termino a y diferencia comn d es dada por
Sn = (n/2)[2a + (n - I)d ]
Tambin podemos escribir esta formula como
Sn = (n/2)(a + I) es donde I = a + (n I)d
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Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
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Ejemplo:
Calcule la suma de los primeros 20 trminos de la progresin
2 + 5 + 8 + 11 + 14.
Solucin: La sucesin dada es una PA porque
5 2 = 8 5 = 11 8 = 14 11 = 3
As la diferencia comn de d = 3. Tambin a = 2 y n= 20, por lo tanto
Sn = (n/2)[2a + (n - I)d ]
Sn = (20/2)[2(2) + (20 - 1)3 ]= 10 (4 + 57) = 610 6
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Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
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7 2 Progresiones geomtricas e inters compuesto
Definiciones
Progresiones geomtricas
Una progresin geomtrica es una sucesin de nmeros en la que cada nmero es igual al
anterior multiplicado por una constante.
La principal diferencia prctica es que la progresin geomtrica crece mucho ms
rpidamente que la aritmtica.
Si a es el primer trmino y r es la razn comn, los trminos sucesivos de la PG son
a, ar, ar,ar,
En esta PG, observamos que la potencia de r en cualquier trmino es uno menos que el
nmero del trmino. As que el n-simo trmino est dado por
Inters compuesto
Tn = 1
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Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
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Ejemplos aplicados a la administracin
Determine los trminos quinto y n-simo de la sucesin 2, 6, 18, 54
Solucin:
La sucesin es una PG debido a que
1
1
En consecuencia, los trminos sucesivos tienen una razn constante de 3; esto es r = 3.
Asimismo, a = 2. Por tanto.
T5 = ( ) y tambin Tn = 1 1
En el mundo de la inversin es importante conocer la progresin geomtrica y su
velocidad de crecimiento. El denominado inters compuesto es una progresin
geomtrica.
Ejemplo 2.
Una mquina se compr en $10,000 y se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su
valor. Determine una expresin para el valor despus de n aos. Si el valor de desecho es
$3000, Cul es la vida efectiva de la mquina (i.e., el nmero de aos hasta que su valor
depreciado sea menor que su valor de desecho)?
Solucin.
Ya que el valor de la maquina se deprecia cada ao en un 20% de su valor al inicio del ao,
el valor de la mquina al trmino de cada ao es el 80% o cuatro quintos del valor inicial
de ese ao. As que, el valor (en dlares) de la mquina al trmino del primer ao es
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Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
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(
) (
)
Y al acabar el segundo ao es de
(
) (
)
De manera similar, el valor (en dlares) al trmino del tercer ao ser de 10,000( )3
Por tanto el valor en (en dlares ) de la mquina al trmino del primer ao, del segundo
ao, del tercer ao, etc.., es
(
) (
) (
)
Es claro que esta sucesin es una PG con primer trmino 10,000( ) y razn comn de
.
Por tanto, el n-simo trmino que da el valor de la mquina al trmino del n-simo ao es
Tn = 1 ( ) (
) 1
( )
Haciendo n igual a 1, 2, 3, obtenemos los valores de la tabla 1. En consecuencia,
observamos que despus de 5 aos el valor de la mquina es un poco ms grande que el
valor de desecho de $3,000, pero despus de 6 aos, su valor est por debajo del valor de
desecho. La vida til de la mquina es de 6 aos.
n 1 2 3 4 5 6
Tn 8000 6400 5120 4096 3276.8 2621.44
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Progresiones matemticas y financieras Capitulo 7
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7 3 Matemticas financieras.
Definiciones
Ejemplos aplicados a la administracin
7 4 Ecuaciones en diferencias.
Definiciones
Ejemplos aplicados a la administracin
7 5 Notacin de sumatoria (Seccin opcional)
Definiciones
Ejemplos aplicados a la administracin
