. Para ~as ~a~ de alta velocidad de diseo se especifica una ~ferencIa m~x.~a de pendientes entre la de los bordes y la del eje de transIclOn, po~ razones de apariencia; para I; s "'1as

.. . .

s.d.

~ . ..... "

\ ~ .. MfNTO DE IIIlIOTfC,i- '

A partir de criterios netamente empmcos se llega a la conclusin de que las longitudes, para efectuar las transiciones

ur?anas d~ baja velocIdad este criterio se deja a un lado y se utiliza la fonnula anterior con los siguientes valores de f v de c: .

Velocidad de diseo f C k.p.h. m/s3

0.30 1.20 0.25 1.14 0.22 l.el7

0.195 1 . no 0.164 0.91

establecidas por medio de la Sor pueden ajustarse por la s \nadas con la comodidad, el

lfos carriles, sin y con ,

" mnimas de las espirales s est sujeta a las mismas con las de dos carriles. '~s de las espirales para

ser el doble de las seis carriles seran el adas, especialmente \ar la transicin del or medio de esta :n de acuerdo en

~ mayores a las no aceptan el 'l el ancho.

de los peraltes en carreteras con ms de dos carriles, deben ser:

En carreteras de tres carriles, 1.2 veces la longitud correspondiente a las obtenidas para dos carriles.

Carreteras de cuatro carriles sin separador central, 1.5 la longitud correspondiente a las obtenidas para dos carriles.

Carreteras de seis carriles sin separador central, 2.0 la longitud correspondiente a las obtenidas para dos carriles.

En el diseo debe prestarse especial atencin a la obtencin de perfiles suaves en los bordes y con el fin de evitar apariencias de distorsin puede ser conveniente el uso de longitudes superiores a las mnimas.

En carreteras con ms de dos carriles la longitud mnima de las espirales depende de la fonna como se asigne el peralte a las curvas con el fm de contrarrestar la fuerza centrfuga: utilizando el peralte, la friccin o ambas. En carreteras de ms de dos carriles con separadores centrales muy angostos y para el caso en el cual la variacin del peralte se realiza proporcionalmente al grado de curvatura (tambin al grado de friccin) las longitudes de las espirales debern incrementarse proporcionalmente al ancho total; las longitudes adicionales de las espirales sern poco significativas. Cualquier aumento en stas longitudes puede ignorarse si los separadores centrales tienen entre 1 y 5 metros de ancho.

En carreteras con separador central plano y en el caso de empezar a colocar el peralte cuando ya ha sido utilizada la

51

de las espirales debern obtenerse a partir de las mismas consideraciones tenidas en cuenta para carreteras sin separador central. Esta longitud es aplicable a carreteras con separadores centrales de hasta 5 metros. En carreteras de dos calzadas, cada una con dos carriles en una direccin y con separadores de 12 metros o ms de ancho debern obtenerse las longitudes de las espirales independientemente para cada calzada pues la distancia entre los bordes pasar de 40 metros. Las longitudes de las espirales para cada calzada en carreteras de seis carriles con separador se obtendrn multiplicando las longitudes obtenidas para carreteras de dos carriles sin separador por 1.2. Para las carreteras de direccin nica con separador centra~ en la obtencin de las longitudes de las espirales debern tenerse en cuenta los valores de las longitudes sugeridos para carreteras de dos carriles o para carreteras con ms de dos carriles, segn el caso.

En el caso de contrarrestar toda la fuerza centrfuga con el peralte e incrementando el valor de la friccin de ah en adelante proporcionalmente a la curvatura, en carreteras de cuatro carriles con separadores de 40 o ms metros de ancho, se aplican como longitudes de las espirales los valores obtenidos para carreteras de dos carriles. En carreteras de una direccin con seis carriles y con separador, las espirales deben tener longitudes un poco por encima de los valores anteriores. Para carreteras con separador inferior a 40 metros debern aplicarse las consideraciones descritas en el prrafo anterior.

En las carreteras con separador se justifica un mayor refinamiento en el diseo y una atencin mayor en lo relacionado con la apariencia ms que en las carreteras de dos carriles debido a que por ellas circulan volmenes de trfico muy grandes y porque el costo de los refinamientos comparado con los costos de construccin son insignificantes.

52

En consecuencia, debern hacerse ~sfuerzos queocro::=:nd: 1 tilizacin de espirales con longttudes muy P , . a u . rmente establecidos como m101mos. los valores anteno b ., de perfiles Igualmente deber hacerse nfasis en la o ~nC1on imilares a '. 1 s bordes del pavunento, s

suaves y caden~osos en o, d d diseo en la deflexin de las lneas obterudas meto ~s/ e varillaS. .r

Clculo

{ atos ini Para el

direccin de acuerdo a elementos:

de las espirales debern obtenerse a partir de las .,. d . ffilsmas

consl eraClOnes tenidas en cuenta para carreteras sin separador central. Esta longitud es aplicable a carreteras con separadores ce~trales de hasta 5 metros. En carreteras de dos calzadas ~: a ~a c~n dos carril~s en una direccin y con separadore~ l . etros o mas de ancho debern obtenerse las ongttudes de las espirales independientemente para cada calzada pues la ~stancia entre los bordes pasar de 40 metros. Las longttudes de las espirales para cada calzada en carre.te~as de seis carriles con separador se obtendrn multIplicando las longitu~p~ carriles sin st>"... .

.

'lara carreteras de dos lrreteras de direccin n de las longitudes \ los valores de las os carriles o para aso.

centrfuga con el \ . ,

~lon de ah en n carreteras de ns metros de les los valores teteras de una pirales deben

~s anteriores . \"os debern interior.

n mayor r en lo de dos trfico mentos .antes.

En consecuencia, debern hacerse esfuerzos que conduzcan a la utilizacin de espirales con longitudes muy por encima de los valores anterionnente establecidos como mnimos. Igualmente, deber hacerse nfasis en la obtencin de perfiles suaves y cadenciosos en los bordes del pavimento, similares a las lneas obtenidas por mtodos de diseo en la deflexin de varillas.

Clculo de los elementos de la espiral /.:0' t ... Ia os Inicia es

Para el clculo de la espiral de Euler en un cambio de direccin de una va se parte de la detenninacin previa, y de acuerdo a las especificaciones de la va, de los siguientes elementos:

A, ngulo de deflexin total a, ancho del carril Re, radio de la curva circular e, cuerda unitaria V, velocidad de diseo en km/h ec, peralte mximo en tanto por uno

Con estos valores y las expresiones anterionnente deducidas se obtienen:

La longitud nuruma que debe tener cada espiral y de acuerdo a los dems factores de diseo (topografia, movimiento de tierra, etc.) se detennina el valor ms conveniente para Le' longitud de la espiral

Con la longitud de la espiral y el radio de la curva circular correspondiente se calcula el parmetro K y el ngulo de deflexin, ge en radianes, correspondiente a cada espiral.

Deflexiones de las espirales y de la curva circular, grado de curvatura y longitud de la curva circular

De la Figura 2.8 se deduce que la deflexin total A correspondiente al cambio de direccin se compone de tres partes: deflexin de la espiral de entrada, deflexin de la curva circular y deflexin de la espiral de salida. Obtenidas las deflexiones de las espirales se deduce la deflexin Ac para la curva circular.

-- ~7~ --~ -- El el

,,, ,,

"

, ~.,.," . .~ .. ,., ..__..._ ...~. _ .__. .._ . . ..~.. TE PI

Figura 2.8

Para el caso asimtrico, las espirales a la entrada y a la salida de la curva circular son diferentes, debe cumplirse:

(2-23)

54

Casos especiales. 1: Si las espirales de entrada y de salida son' 7

. Con la lon~tud de la espiral y el radio de la curva circular corres~ondien te se calcula el parmetro K y el ngulo d deflenon 9 dian e

, e en ra es, correspondiente a cada espiral.

JlOeflexiones de las .-. .. y de la curvacircular, o~... V longitud de la

deflexin total A e compone de tres !flexin de la curva da. Obtenidas las

~n Ac para la

icin.

salida

.23)

Casos especiales. 1: S las espirales de entrada y de salida son iguales se tendr:

(2-24)

Corresponde este al caso simtrico, se tienen dos espirales o clotodes iguales; las espirales son arcos simtricos y estn constituidas por elementos iguales. A esta curva se le conoce con el nombre de espiral de vrtice, tambin como curva simtrica de transicin total, ya que el desarrollo de la curva est ocupado por ambas transiciones .

. 2: Este caso especial ocurre cuando Bt, + Bt2 > ~ o 2~ > ~, lo que significa un ngulo ~ negauvo para la curva circular, no habra curva circular y la espiral de entrada tennnaria despus del punto de iniciacin de la espiral de salida, o sea que el EC estara despus del CE. En este caso se toma ~=O y deber intentarse o con una curva espiralespiral simtrica en la que ee=~/2 o, en el caso de una espiral-espiral asimtrica, cambiar uno o ms parmetros iniciales de tal foona que :

(2-25)

En ninguno de estos casos se alcanzara el peralte de la curva circular y, con el En de no modificar la diferencia de pendientes entre el eje y los bordes de la va, el peralte en el EC llegara hasta un valor de:

(2-26)

y la transicin del peralte puede segwrse con las mlsmas especificaciones.

Obtenido Ac, se calcula el grado de curvatura G y la longitud de la curva circular Le'

jiCoordenadas cartesianas del EC y del CE Las coordenadas del EC se obtienen reemplazando los

valores de L y S por Le Y Se en las ecuaciones de ias coordenadas cartesianas:

::' YI

\ . .. ,.Be.t. y/,

' .EC --', ..

: ,

'TE . YEC

~ . o=-~- .... -XEC' ::::~: ::::~~::"=:': : '::'~;~ " ' -- --..--..--.2,'X

~.r ' - . jj ' :

YCE : ET~" ::___ '... __ __1 __ _ . -- ,_..~--' _ ... ,_..... __ -::::----=--_....::....:.. ""~ -' .. . - -- X CE - ---------.. "'.~

Figura 2.9 Coordenadas cartesianas del EC y del CE.

(2-27)

(2-28)

56

El origen de coordenadas se encuentra en el TE (EspiralTangente).

se obtienen operando en foanaLas coordenadas del CE este caso, el origen delsimilar pero teniendo en /' ~__L

sistema de cOIDrclenaC1lil~ Tangente).

( Coordenadas desplazados

y

E

Figura 2.10

y la transicin del peralte puede segwrse con las m1smas especificaciones.

El origen de coordenadas se encuentra en e! TE (EspilalTangente).

Obtenido t\:, se calcula el grado de curvatura G y la Las coordenadas de! CE se obtienen operando en forma longitud de la curva circular Le' similar pero teniendo en cuenta que, en este caso, e! origen del

sistema de coordenadas se encuentra en e! ET (Espilal/ Coordenadas cartesianas del EC y del CE Tangente).

Las coordenadas del Fr . --tenen reemplazando los valores de l. - - las ecuaciones de las ! Coordenadas cartesianas del PC y del PT

c~-

y ~.

~ ET .-. ~..~ "-_X CE _......... .~,,~

d CE.

\ (2-27)

(2-28)

desplazados - Justificacin de la espiral

y

-:S -

(2-29)

(2-30)

La distancia YPe es el desplazamiento de la curva hacia el interior y corresponde a la distancia que deber desplazarse el vehculo en esa direccin al pasar de la trayectoriarectilinea a la circular sin abandonar el eje de la va cuando el . trazado est espiralizado y es la razn por la cual la mayora de los vehculos que en tran a una curva circular sin transicin, tienen tendencia a seguir por la cuerda de la curva invadiendo el carril adyacente; a esta distancia se le conoce con los nombres de disloque, retranqueo o desplazamiento.

La transicin o cambio progresivo proporciona este desplazamiento hacia el interior de la parte de la curva circular conservada cuya magnitud est definida por la ecuacin (2-30) y es elemento esencial en la operacin de los vehculos entre los puntos TE y EC.

Se considera que se justifica la espiral cuando el valor del disloque, YPe' es superior a 9 centmetros. Esto significa que si el valor del disloque resulta inferior a 0.09 metros no se justifica colocar la espiral y se puede dejar la curva circular inicial ya que la diferencia de esta con la espiral no es significativa. Hasta los aos setenta se consider que la espiral no se justificaba si el disloque era inferior a 30 centmetros.

58

/ Desplazamiento mximo de la curva circular conservada

:.Y

Ypc

TE

Figura 2.11

x =x _D~f1pe tIC ~~n el (2-29)

R +1': -}':e pe lecose1= e R

e

. CosB,,) (2-30)

iento de la curva hacia el 'ue deber desplazarse el t trayectoria rectilinea a

cuando el . trazado est ~ la mayora de los " sin transicin, tienen 'a invadiendo el carril ',on los nombres de

t>roporciona este la curva circular ecuacin (2-30) vehculos en tre

o el valor del ~sto significa

metros no tvacircular ral no es , la espiral 'letros.

/' Desplazamiento mximo de la parte de la curva circular conservada

ET

Ypc

- -_ .l ..........

Ypc : n :;o "

L x

l . . ... :.>

PITE

Figura 2.11 Desplazamiento mximo de la curva circular

YpCCos/2=h

YpC h=-.....:....:::. (2-31)Cos/2

59

/ Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular despl'azada

x ce =x pe / /

;:i'Y r " .

8e1 u uu o::> EC

'TE ... ....... " .... .. " ' . -'. ~ .

--X Xcc=Xpc PC

Figura 2.12 Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular.

(2-32)

60

/ Tangente y externa de la curva espiral-circular-espira'l simtrica

~/ Tan 72 =

:/ 1",. - xpcR Y

".

/ Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular desplazada

..x ~X pe /

~1

Ee ... . . /

.7' -x

ro de la curva

(2-32)

Tangente y externa de la curva espira'l-circular-espiral simtrica

tll _ T:\ - X pe Tan 72 - R Y

e + pe

I:I =X pe + (Re + Ype )Tan % ET

,y PT'

u a. >+ u

.;.,a:: Y,TE E ~..".':"".... .....1- ' :::::::~-.-;:-e1--;X-:;:p c-_ . - _ 1 X-p=c=== , T-;- -- .."" H .... ... ...,_.. .. ..... Te 1- -- ..

(2-33)

\ ~ -X

.. --'-: ..: PI '

..~....

Figura 2.13 Tangente y externa de la curva espiral-circu1ar-cspiral simtrica.

(2-34)

61

angente larga y tangente corta de la espiral

(2-35)

\ \ \

\

/

Se1

Ee

. . ~c . Yec x

'TE .. _~~~_e1 ._. ~~..- - Tl

Xec- Tl \

Figura 2.14 Tangente larga y tangente corta de la espiral \ \J:c

Tan Be J = X - TI ec

TI = X _ J-:c (2-36)ec Tan{}

el

62

,/ t angente larga y tangente corta de la espiral

y SenO =.....!E.

ti T e

(2-35)

e

'ee x

d e la espiral

(2-36)

Tangentes de la curva espiral-circular-espiral asimtrica

Si la espiral de entrada es mayor que la espiral de salida, de la Figura 2.1 5 se obtiene:

d = -=yp:....-c_-_}j~p_t Senfl

de donde, para la espiral de entrada:

(2-37)

y

u C. >. u

cr

Ee .

PC' . . Ypt . TE c ........ "Ypci '::t::: - -: -_-:-~ ., . ~~

c..:... " ,=-, ..._ ...-:....."""'x=P(=~ ~ - t ~ r d I, : X.. . . ,.' .,. _.... - ..- .... - -Te' .... - .~ ,, ;_..,

''' '- IRc+YpclTan6t2- ' ~

Figura 2.15 Tangentes de la espiral asimtrica.

Para la espiral de salida: ype - Y,. (2 38)1'.2 == X p' + ( Re + Yp1 )Tan. /2 + Sen.

63

En el caso contrario, espiral de entrada menor que la espiral de salida:

Ypt - Ypc 7;1 = X pe + (Re + Ypc )Tana / 2 + Sena (2-39)

YpI - Ypc7;2 = X p1 + (Re + ~, )TanA /2 - SenIl (2-40)

.Cuerda larga y deflexin al EC y

Figura 2.16 Cuerda larga de la espiral y deflexin al EC.

(2-41)

7' -1 ~crAec =lan -X (2-42)

ec

Coordenadas cartesianas, cuerda y de'nexin a cualquier punto de la espiral

A partir de la distancia 1 de un punto, desde el TE o desde el ET, origen de la espiral, se calculan: el ngulo de deflexin 9p' las coordenadas cartesianas, la cuerda larga y la de flexin correspondientes a dicho punto. El orden de los clculos es el siguiente:

64

y

Figura 2.17

TE ,

:- ,:tr-~ """- ""

(2-43)

En el caso contrario, espiral de entrada menor que la espiral de salida:

y -y 7;. = X pe + (Re + Ype )TanlJ. /2+ ~: (2-39)

7;2 = X pI +(Re + ~, )Tan!J. /2 -y

pt -y

pe (2-40)SenlJ. Cuerda larga y deflexi6n al EC

y

ec ._-_._-_ ._._ ....;:..:::;;... X

'deflexin al EC.

(2-41)

(2-42)

I deflexi6n a

TE o desde 'p de deflexin Vla deflexin clculos es el

(2-43)

(2-44)

(2-45)

y

EC

TE ..... ,-.":-C:... ........................ Xp ................ ..... .....:.-.:..-i

Figura 2.17 Coordenadas, cuerda larga y deflexin a un punto cualquiera de la espiral.

(2-46)

(2-47)

Localizacin en el terreno

Para la localizacin de la curva espiralizada (espiral de entrada, curva circular y espiral de salida) en el terreno se pueden emplear varios mtodos, tres de los cuales se describen

65

se realiza, "" .....,.....~.. teodolitos o elaborando la

El mtodo casos, de un curva, p.e. A, punto al U4.l'AU' obtenerse sus de dicho eje, ngulo a la

~. A calculadas o

(2-49)ms adelante: el mtodo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexiones, el mtodo de abscisas y ordenadas o por coordenadas cartesianas, y el mtodo de ngulos y distancias o por medio de coordenadas topogrficas. Cualquiera que sea el mtodo empleado, primero deben ubicarse desde el PI, si es posible, los siguientes puntos (Figura 2.18) :

-TE - Tangente-espiral.

PIel = PI de la espiral 1.

EC = Espiral-curva.

-ET - Espiral-tangente.

-PIel - PI de la espiral 2.

CE -- Curva-espiral

Para la ubicacin del EC y del CE se calculan las distancias del PI a estos puntos, y los ngulos SI y S2:

ET .,i . ~ .

:TE 'pj'~, Yec ~, S1 ; . ;....:..::~_---= .......:::: .J....=~ .... ....... . ... .. ............. ... .... J. .. . . . . . ...... .. .. . ....'

PIL~:..-:.~.~ :.-.: :.::X~~ ~:: . . . ..:.! :.1..-....~.........:... __.. :::: ..... .. .. 0: -'

I .

Figura 2.18 Puntos necesarios para la localizacin de la curva

espitalizada.

(2-48)

66

J . ...

.st : ,_..-, T,e2

"

ms a~elante: el m~todo tradicional o por cuerdas unitarias y deflexJ.ones, el m.etodo de abscisas y ordenadas o por coorden~das carteslaOas, y el mtodo de ngulos y distancias o por ~edio de coordenadas topogrficas. Cualquiera que sea el met?do empleado, primero deben ubicarse desde el PI si es poslble, los gjguientes puntos (Figura 2.18) : '

'e-espiral. 'piral 1. tva. gente. \ra1. 2. 1.

'e calculan las 1,1 y S2:

'

-+ z

-

+ z

colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior.

Las cuerdas unitarias para las espirales sern iguales a las de la curva circular, es decir, de 5.00 metros para curvas circulares con radios inferiores a 67.47 metros y de 10.00 metros para curvas con radios mayores; la anterior recomendacin se hace con el f1l1 de evitar errores apreciables al asumir como aproximadamente iguales las longitudes del arco y de la cuerda de la espiral.

La curva circular se localiza desde el EC o desde el CE con las deflexiones correspondientes, referidas en este caso, a la lnea detenninada por el PIe correspondiente.

De este mtodo existen varias alternativas, algunas de ellas son: localizacin por deflexiones de las espirales desde el EC y desde el CE, deflexiones hacia adelante o hacia atrs desde un punto intermedio de la espiral o POE (Punto Obligado sobre la Espiral), etc., alternativas que no son prcticas y solo se utilizan en casos especiales.

Este mtodo est siendo reemplazado por el anterior, ngulos y distancias desde cualquier punto, debido a la mayor simplicidad en los clculos y en el campo de ste ltimo. La principal y nica razn para no usar el mtodo de ngulos y distancias es la de no disponer de un medidor electrnico de distancias o distancimetro.

Tercer mtodo: por abscisas y ordenadas (coordenadas cartesianas)

En forma idntica a los casos anteriores, primero se localizan los seis puntos bsicos desde el PI. Despus desde el TE se marcan las abscisas, coordenadas cartesianas o

70

valores de x para la espiral de entrada y a continuacin se estaciona en ~ada uno de estos puntos para levantar nonnald'es

. 1 di . Y u ordena as a la tangente y medir as stanClas . correspondientes para materia~arl?s. De JJll~ l - procede a ubicar la . el"~ \.

con los

y por m

el CE Y

como re

punto medio

Yce o cen

tangente); lo

o menores; p

ejemplo, se p

de sus re

de darle mayor

Lo anterior

adecuadas para

colocada en el teodolito menos la abscisa del punto inmediatamente anterior.

Las cuerdas unitarias para las espirales sern iguales a las de la curva circular, es decir, de 5.00 metros para curvas circulares con radios inferiores 2 &,.. '"Yletros y de 10.00 metros para ('11- - ~s; la anterior r,.,,- . ores apreciables

longitudes del

desde el CE 1 este caso, a

nas de ellas ~sde el EC l trS desde Obligado ...as y solo

terior, \ mayor o. La ~os y 'co de

as

se

de o

valores de x, para la espiral de entrada y a continuacin se estaciona en cada uno de estos puntos para levantar nonnales a la tangente y medir las distancias y. u ordenadas correspondientes para materializarlos. De Igual manera se procede a ubicar la espiral de salida, iniciando en el ET.

Este mtodo nunca se utiliza por la gran cantidad de trabajo de campo. Se menciona como una posibilidad.

Dibujo Despus del clculo de la curva espiralizada y a partir del

PI correspondiente, se ubican en el plano el TE Yel ~T con los valores de las tangentes T el Y Tel' A cononuaclOn, y por medio de las coordenadas cartesianas, se ubican: el EC, el CE y el centro de la curva circular. S~ traza la .curva circular con comps y las espirales con curvtgrafo, temen do como referencia, adems de los dos extremos de cada una, el punto medio del disloque (centro de la coordenada Yec o y ce o centro de la distancia entre el CE o EC y la tangente); lo anterior es suficiente para planos a escala 1:1000 o menores; para planos a escala ms grande, 1:500 p~r ejemplo, se pueden ubicar los puntos que se deseen por medio de sus respectivas coordenadas cartesianas x y y con el fin de darle mayor precisin al dibujo.

Lo anterior en el caso de no disponer de las plantillas adecuadas para el diseo y dibujo de las espirales.

7\

Parmetros de las

Ejemplo Disear una curva espiralizada para los datos que se

presentan a continuacin:

Velocidad de diseo en km/h : V = 40 km./h Angulo de deflexin total : .1 = 8815' Radio de la curva circular : R = 44.21 Cuerda unitaria : c = 5.00 Peralte mximo en tanto por uno : ee = 0.10 Dos carriles de 3.50 cada uno : a = 3.50 Abscisa del PI : K1 + 111.11

Longitud mnima de espiral De acuerdo a la variacin de la aceleracin:

V3 403 Le ~ 28R :. Le ~ 28x4421 :. L~ ~ 51.70

c

De acuerdo a la transicin del peralte:

Le ~ aec (15625V + 75):. Le ~ 35xO.lOx(15625x40+ 75) :.Le=48.12

Longitudes de las espirales de entrada y de salida

De acuerdo con los valores mnimos, y por ejercicio, se han elegido como longitudes las de 60 m para la espiral de entrada y de 50 m para la espiral de salida, ste ltimo valor no representa una diferencia apreciable con respecto al valor mnimo por variacin de la aceleracin centrfuga;

72

Angulos totales d

L;I .. Bel 5~ Bel = 2K2

el

L;2 ... Be2Bel = 2K2

e2

Bel =

Grado y longitu

os datos que se

: 40 km./h 8815' 44.21 5.00 0.10 3.50

-111.11

po

75) :. Le=48.12

lrada y de

ercicio, se han r al de entrada mo valor no ecto al valor

Le, =60.00' ; Le2 =50.00

Parmetros de las espirales

Ke, =~RcLe' Ke =.J442lx60 .. Ke, = 51503 Ke2 = ~RcLe2 . . Ke2 = .J4421x50 . . K2 =47.016 /

Angulos totales de deflexin

6'02 8 = L!, .. 8 - Be, =0.6786 radianes /5~ el 2K2 el - 2x515032

el

8 = L!2 . 502 /

.. e2 .. 0.,2 =05655 radianes e2 2K2 B =2x47.0162 e2

180 Be, = 0.6786x- Be, = 3852'51"

1t

() = 05655x 180 o B =3224'03"e2 e2

1t

. c = . - Be, - :. . C =8815'-3852'51"-3224'03"Be2

. c =165 8'06"

Grado y longitud de la curva circular

I e _1 5.00G=2Sen- G = 2Sen 2x44212R G = 629'00"

c. 5xI658' '06" cL = Lc = 13.086 c G . . Le = 629'00"

73

Coordenadas cartesianas del EC y del CE

4 6

e el elx =L (1- 8 / + 8 _ , 8 )

et: el 10 216 9360 2 4 6

X =60.0J1- 0.6786 + 0.6786 _ 0.6786 ) X =57295 ec ~ 10 216 9360 cc

= 48.425 /Xce

( ~I ~13 8el5 78e1 ) Yec = Lel 3 - 42 + 1320 - 75600

_ J 0.6786 0.67863 0.67865 0.67867 )

Yec =13.132 /Yec - 60.0~ 3 - 42 + 1320 - 75600

_ L ( 8e2 8e2 3 8e2 5 ~2 7 )

Yee - e2 3 - 42 + 1320 - 75600

_ j 05655 056553 056555 05655 7 ) = 9212Yce - 50.0~ 3 - 42 + 1320 - 75600 .. Yce

Coordenadas cartesianas del PC y del PT

desplazados

X pe - ReSen8el ... X pe =57295 - 4421xSen3852'51"=Xec c'\

xpe =29544

Xpi = Xee - ReSen~2 .. Xpi = 48.425 - 44.21xSen3224'03" xpt =24.736

74

Ype = Yet: - R~(I- Cos8el ) :. Y y pe =3.337

Ypt = Yce - Re{l- Cos8e2 Ypt =2.329

Coordenadas d desplazada

A partir del PC:

xcc=xpe :.

Ycc =Ype + Re

A partir del PT:

Tangentes de

T =29544 + (44.21el

= 74.652Tel

Te2 =24.736 + (442 = 70.883Te2

Coordenadas cartesianas del EC y del CE

Oel2 Oel4 Oel6 ) Xec = Lel ( 1-10+ 216 -9360

J 0.67862 0.67864 0.67866 ) X =57295 /!Xc =60.0U\. 1- 10 + 216 - 9360 ec

J.425 ;'

. =13.132 /

y"" =9212

~T

24'03"

y pe =Yec - R~(l- CosOel ) :. Ype =13.132 - 4421(1- Cos3852'51") :. Ype =3.337

YpI = y"" - Rc(l- CosOe2) :. YpI = 9212 - 4421(1- Cos3224'03") YpI =2329

Coordenadas del centro de la curva circular desplazada

A partir del PC:

xce = xpe x ex = 29544

Ycc=Ype+Rc Ycc=3337+4421 Ycc=47547

A partir del PT:

X CC = xpI X cc =24.736

YCX' =Ypl +Re Yee =2.329+4421 YCX' =46539

Tangentes de la curva espiral-circular-espiral

Ype - Ypl

~l = X pe + (Re + Ype )Tan/). /2 - Sen/).

3.337 - 2329 ~I =29544 + (4421 + 3.337)Tan4407'30"- Sen88015'

~I = 74.652

Ype - Ypl

~2 = X pl + (Re + Ypt )Tan/). /2 + -'---'-Sen/).

3.337 - 2329 ~2 = 24.736 + (4421 + 2.329) Tan4407'30"+ Sen88015'

~2 =70.883

75

Tang,entes cortas y largas de las espirales

Para la espiral de entrada:

T = 13.132

el :. Tel = 20.921 Sen3852'51"

-X Y.e :. T. =57295- 13.132T.1I - - T,l =41.009 Tan(}el /] Tan3852'51" ..

Para la espiral de salida:

T ~e T = 9212 e2 = SenB.2 .. e2 Sen32 0 24'03" :. 7;;1 = 17.192

T. =48.425 _ 9212 T,l = 33.910 1I Tan3224'03"

Cuerdas largas y deflexiones al EC y al CE

Para la espiral de entrada:

A. 7' -1 Y.e . fA 7' - 1 13.132 '1'. = 1 an - .. = 1 an :. ~ec =1254'33"

ee X.e ee 57.295

Para la espiral de salida:

eLe2 -- V'X2 ce +y2ce CLe2 =.J48.4252+ 9212 2 CLe2 = 49293 y

= Tan-I~ tA T, - 1 9212A. ~ce =1046'14"Y'ce X ce = an 48.42595 ce

76

Abscisas del TE, EC, CE y ET

Abscisa del TE = Abscisa del PI-T

e1 =Kl +111.110-74.652=Kl + 36.458

Abscisa del EC = Abscisa del TE+L

c1 =Kl + 36.458+60.000=Kl + 96.458

A bscisa del CE = /

Abscisa del

Abscisa del ET = Abscisa del

Coordenadas, c

K1+040

1= Kl +040.000 - K

2 _ 3542 -

(}40 - 2x515032

.J 0.00242 x40 =354~1- 10

Y40 ( 0.0024

=3.542 3 -

Tangentes cortas y largas de las espirales

Para la espiral de entrada:

. ....T = Yec el (1-- 7',;1= 20.921

\32

.. 7;1 = 41.009

'52'51"

i 17.192

v. .. 7;1 = 33.910

, al CE

CLel =58.781

A. =1254'33"'f'ee

".Le2 =49293

=1046'14"

Abscisas del TE, EC, CE y ET

Abscisa del TE = Abscisa del PI-Tel =K1 +111.110-74.652=K1 + 36.458

Abscisa del EC = Abscisa del TE+ Lel =K1 + 36.458+60.000=K1 + 96.458

Abscisa del CE = Abscisa del ECtL = K1 + 96.458+ 13.086=K1 + 109.544 c

Abscisa del ET = Abscisa del CE+Le_?= K1 +109.544+50.00=Kl +159.544

Coordenadas, cuerda y deflexin para la abscisa K1+040

1= K1 +040.000 - K1 +036.458 = 3.542

35422

040 = 2x515032 = 0.0024 rad.

,J 0.00242 0.00244 0.0024 6 )

x40 =354i1- 10 + 216 - 9360 = 3542

= (0.0024 _ 0.0024 3 0.0024 5 _ _ 0.0024 7 ) = 3

Y40 3.542 3 42 + 1320 75600 0.00

rP = Tan- I 0.003 =002'57"= .J35422 + 0.0032 = 3542CL40 40 3542

77

Coordenadas, cuerda y deflexin para la abscisa K1+110

1= Kl+159.544 - Kl+110.000 = 49.544

495442 ~IO =2x47.0162 =05552 rad. 2 4 69 44( 05552 05552 05552 )

x l10 =4 5 1- 10 + 216 - 9360 =48.038

3 5 7 =49544(05552 _ 05552 05552 _ 05552 ) _

YIIO 3 42 + 1320 75600 - 8.969

2 2. -) 8.969 .,"CL110 = .J48.038 + 8.969 = 48.868 ; ~40 = Tan 48.038 = 10 3433

Resumen de dalos y resultados A continuacin se presenta el contenido de datos y

resultados obtenidos por medio de un programa de computador. En dicho programa se ha trabajado teniendo en cuenta la diferencia ownrica entre la longitud de la cuerda de la espiral y su arco, obsrvense las diferencias con el clculo tradicional (cuerda y arco de espiral iguales); adems, se han calculado las coordenadas topogrficas de todos los puntos.

Las deflexiones para la espiral de entrada se han calculado a partir del TE Y las de la espiral de salida desde el ET.

78

Datos:

ABSCISA DEL PI RADIO CURVA CIRCULAR DEFLEXION (NEGATIVElzq), CUERDA UNITARIA,

LONG. DE LA ESPIRAL DE

ANCHO DE CADA CARRIL,

VELOCIDAD DE DISENO en

PERALTE MAXIMO en tanto

AZLMtIT DEL ET AL PI ,

COORDENADA NORTE DEL

COORDENADA ESTE DEL

Resultados:

ESPIRAL DE ENTRADA:

pARAMETRO DE LA ,.",.,KAU

DEFLEX. DE LA ESPIRAL,

DEFLEXlON TO AL

LONG. DE LA ESPIRAL DE ENTRADA.

DEFLEX. CURVA CIRCULAR DEFLEXlON AL E , GRADO CURVA CIRCULAR COORDENADAS CAR

TANGENTE TANGENTE LARGA r.'''' """L.' TANGENTE CORTA ... ,,"'KAI. CUERDA LARGA DE LONGITUD CURVA \"U"I..,.UL,~ ABSCISA DEL TE,

ESPIRAL DE SALIDA:

PARAMETRO DE LA ESPIRAL. DEFLEX. DE LA E prRAL, DEFLEXlON AL CE, COORDENADAS

(

K)+I11.IIO 44.210 ,

881~ 'OO~

Coordenadas, cuerda y deflexin para la abscisa K1+1,110

1= K1 +159.544 - K1 +110.000 = 49.544

49544 2 ~IO =2x47.0162 =05552 rad.

0555')2 605552 )(=49544 1-x110 - 9360 =48.038

i2 S 705552 )1- 75600 =8.969

8.969 =Tan- I =10"34'33"

48.038

,

lntenido de datos y un programa de '~bajado teniendo en

. tud de la cuerda de lcias con el clculo

); adems, se han dos los puntos.

han calculado a lET.

I

Datos:

ABSCISA DEL PI

RADIO CURVA CIRCULAR.

DEFLEXION (NEGATIV=lzq),

CUERDA UNITARIA,

LONG. DE LA ESPlRAL DE ENTRADA,

LONG. DE LA ESPlRAL DE SALIDA,

ANCHO DE CADA CARRIL.

VELOCIDAD DE DISENO en KrnIh,

PERALTE MAXIMO en tanto por uno.

AZIMUT DEL ET AL PI.

COORDENADA NORTE DEL PI

COORDENADA ESTE DEL PI

Resultados:

ESPIRAL DE ENTRADA:

PARAMETRO DE LA ESPIRAL.

DEFLEX DE LA ESPIRAL.

DEFLEXION OT AL,

DEFLEX CURVA IRCULAR.

DEFLEXION AL EC.

GRADO CURVA CIRCULAR.

COORDENADAS ARTESIANAS DEL EC,

COORDENADAS DEL PC DESPLAZADO,

CooRD. CENTRO CURVA CIRCULAR..

TANGENTE ES 1RAL-C1RC.-ESPIRAL,

TANGENTE LARGA - ESPIRAL,

TANGENTE CORTA - ESPlRAL

CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL.

LONGITUD CURVA CIRCULAR.

ABS ISA DEL TE,

ESPIRAL DE ALmA :

P RAMETRO DE LA ESPIRAL. DEFL DE LA ESPrRAL. DEFLEXI N AL CE, CO RDENADAS CARTESIANAS DEL CE.

OORDENADAS DEL PT D PLAZAOO.

COORD. CENTRO CURVA CIRCULAR,

TANGENTE ESPlRAL-CIRCESPIRAL. TANGENTE LARGA - ESPIRAL, TANGENTE CORTA - ESPIRAL, CUERDA LARGA DE LA ESPIRAL,

79

R.o 6. e Lo, L.2 8 V e

AL

KI+II \.110 44 .210 88 1.5'00" .; '

5.000 ..........

60.000 50.000

3 . .500 40.000

0.100

10000'00" 500.000 500.000

51 .503 38"52'41" 88" 15'00" 1658'14" \2"S4'3r

629 '00~ 57.295 13 . \32 3.338

29.545 29.545 47.548 74 .654 41.009 20.92 \ 58 .78\ 13.088 K\+ 36.456

47.0\6 2 S59~

10 46'14" 48 425

9.212 2.329

24 .736 24.736 46 .539 70 .884 33 .909 17.192 49.293

BASI

ABSCISA CUERDA DEFLEX

KI+ 36.456 0.000 0"00'00" 40.000 3S44 0"02 '43" 45 .000 s.ooo 0"15'46" 50.000 5.000 0"39'37" 55.000 5.000 114'16" 60.000 5.000 159'43" 65.000 5.000 2"55'58" 70.000 5.000 402'58" 75.000 5.000 S"2Q'43" 80.000 5.000 649'10" 85.000 5.000 8"28' 15" 90.000 5.000 10"07'5r 95.000 5.000 12"17'54

Kl+ 96.447 1.447 12"54'32

ABSCISA CUERDA DEFLEX

Kl+ 96.447 0.000 0"00'00' 100.000 3.553 2"18' 13" 1os.000 5.000 5"32'43"

KI+I09.534 4.534 8"29'07"

ABSCISA CUERDA DEFLEX.

KI+109.534 0.466 -10'34'19" 110.000 5.000 -10"34' 19" 115.000 5.000 - 8"33'08" 120.000 5.000 - 644'36" 125.000 5.000 - 5"08'50" 130.000 5.000 - 345'55" 135.000 5.000 - 2"35'54" 140.000 5.000 - 1"38'49" 145.000 5.000 - 0"54'42" 150.000 5.000 - 0"23'31 " 155.000 4.527 - O"OS' 19"

K1+159.527 0.000 0000'00"

ESPIRAL DE ENTRADA

LONG. oOOIlI",,"d.. ~

CUERDA DE lARGA ESPIRAL x

0.000 -0.000 0.000 3.S44 3.S44 3.S44

"&.S44 8.S44 8.S44

13.543 13.S44 13.542 18.S40 18.S44 18.536 23.533 23.S44 23519 28.515 28.545 28.477 33.478 33.54.5 33.395 38.412 38.546 38.245 43.301 43.547 42.994 48.124 48.549 47.599 52.859 53.551 52.007 57.473 58.553 56.155 58.781 59.991 57.295

CURVA ClRCULAR

CUERDA lARGA

0.000 3.554

8.S44

13.047

ESPIRAL DE SALIDA

LONG. coordenadas CUERDA DE lARGA ESPIRAL x

49.293 50.000 48.425 48.860 49.534 48.030 44.135 44.532 43.644 39.311 39.530 39.039 34.417 34.529 34.219 29.477 29.528 29.413 24.507 24.527 24.482 19.520 19.527 19.512 14.525 14.526 14.523 9.526 9.526 9.526 4.526 4.526 4.526 0.000 0.000 0.000

80

0000 0.003 0.039 0.156 0.401 0.819 1.459 2.364 3.578 5.142 7.089 9.449

12.242 13. 132

cartesianas

y

9.212 8.964 6.563 4.616 3.088 1.936 1.111 0.561 0.231 0.065 0.007 0.000

NURTE

512.964 512.345 511.441 510.458 509.350 508.073 506.582 504.836 502.798 SOO.434 497.717 494.627 491.156 490.082

NORTE

490.082 487.313 483.132 419.095

NORTE

419.095 478.670 473.985 469.148 464.217 459.237 454.238 449.241 444.156 439.286 434.330 429.850

ESTE

426.480 429.9'1'0 434.887 439.790 444.665 449.499 454.m 458.957 463.523 467.929 472.126 476.056 419.656 480.625

ESTE

480.625 482.853 485.596 487.661

ESTE

487.661 487.850 489.597 490863 491692 492.134 492.243 492.074 491.685 491.132 490.472 489.829

Programa en parmetros Y de simtricas, ( 10 SET F3

INP "OELTA=",A,"R=",R." 20

30 INP "C=",C,"L=".L

40 INP "ATE=",P

50 G=2* ASN(C/(2*R

Q=2*R*LZ=SQR(R*L) 60

70 GSB 390

80 B=X:U=Y

90 S=90*LI( 1l'*R):O=Y-R *( 100 K=X-R*SIN(S) 110 T=(R+O)*TAN(AI2)+K. 120 E=R+O)/COS(AI2-R 130 PRT "G=";:OMS(G) 140 PRT "0=";0 , *TE=";T. 150 PRT "S=";:OMS(S): 160 H=A-2*S: 170 O=N+L:IF H>O THEN 180 H=O:S=AJ2:L=S*R*

190 GSB 390

200 PRT "LC=";J

210 PRT "Tl=";v.-rc=*

220 INP "CALCULAR 230 IF A$=*N" THEN 20 240 F=INTP+C)/1 0) . 250 IF P