Carga critica de Euler (Pandeo)

Introduccion.

Las estructuras sometidas a cargas pueden fallar de diversas maneras ya sea por el tipo

de estructura, condiciones de los soportes, tipos de cargas y también del material;

como ejemplo el eje de un vehiculo, que puede fracturarse de repente debido a ciclos

repetidos de carga. Estos tipos de falla se pueden prevenir en diseño, es decir hacer

hasta lo imposible para que las tensiones máximas y los desplazamientos máximos

permanezcan dentro de la tolerancia; por tanto la rigidez y l rigidez serán criterios de

partida a la hora de diseñar.

¿Pandeo?

Tipo de falla, característica en elementos estructurales esbeltos y alargados como se

aprecia a continuación:

Pandeo y Estabilidad

De inicio empezemos a idealizar con la siguiente estructura:

La estructura se compone dos barras rigidas, unidas en B

por un pasador y mantenidas en es posición por un resorte rotatorio

con rigidez , el cual concentra la elasticidad.

P es la carga axial que tiene su línea de acción a lo largo del eje longitudinal, por tanto

las barras se encuentran en compresión directa.

Ahora si suponemos que esta estructura sea perturbada por alguna fuerza externa

que desplaza el punto B una pequeña distancia, incidirá en las barras a tomar un un

giro minimo ϴ y en referencia al resorte se desarrollara un momento, el sentido del

mismo tratara de regresar la estructura a la posición de inicio(momento restitutivo).

Sin embargo, a la vez la fuerza axial de compresión P, aumentara el desplazamiento

lateral.

Entonces, apreciaremos que estas dos acciones poseen efectos opuestos:

-momento restitutivo (disminuye el desplazamiento)

-Fuerza axial(aumenta el desplazamiento)

¿Qué sucede si P se aproxima a 0 y también si P es muy grande?

La estructura se encontrara en la posición inicial (Estable)

Después en caso contrario, la estructura tendrá un desplazamiento mas y mas

considerable en B, hasta llegar a su colapso(Insetable o falla por pandeo lateral)

Carga Critica ( )

Se denomina asi al valor especial que ocurre en la tansicion de estabilidad e

inestabilidad. Su valor puede ser calculado encontrando el “equilibrio”.

Por tanto, se puede apreciar que no existe reacción horizontal en C.

Luego considerando BC como cuerpo libre, se tendrá la fuerza axial P y el momento

(es igual a la rigidez rotatoria multiplicada por el angulo de rotación )del

resorte, con lo que se tiene:

Puesto que el angulo es muy pequeño, el desplazamiento lateral del punto B es

; por tanto:

Y sustituyendo la ecuación (a):

Una solución de la ecuación es , entonces la estructura esta en equilibrio, no

importando que valor tome P.

La segunda solución es igualar a cero el termino entre paréntesis de 11-1, entonces:

De esta ecuación se extracta que la estructura estará en equilibrio esta vez sin

importar la magnitudel angulo .

Veamos que paso con el momento restitutivo, este mismo coincidirá con el efecto de

pandeo de la carga axial P, por tanto la carga critica representa, la frontera entre las

condiciones de estabilidia e inestabilidad.

Ahora relacionemos efectos:

Si , La estructura es estable.

Si , la estructura es inestable(ocurre pandeo).

Si , la estructura se encuentra en equilibrio neutro

Columnas con Extremos

Articulados.

Del grafico (a), se observa que se aplica P en el centroide de la sección transversal, se

asume también que la columna es perfetamente recta y esta hecha de un material

elástico lineal es decir obedece la Ley de Hooke, por tanto denominemosla como

columna ideal.

Para fines de análisis, desiganamos el sistema con origen en A, y con el eje x a lo largo

del eje longitudinal de la columna, el eje y se dirigirá hacia la izquierda y el eje z sale

hacia el observador del seistema.

Asumimos también que el plano xy es un plano de simetría y que cualquier flexion

tiene lugar en ese plano, figura(b).

Ahora si afectamos con P, con un valor pequeño, la columna permanecerá recta y

sufre compresión axial directa y solo se tendrá las tensiones de compresión, obtenidos

con . en fin se endra una columna estable, después de sufrir esa pequeña

perturbación de P.

Relacionando:

Si , La estructura es estable.

Si , la estructura es inestable(ocurre

pandeo ante la mas pequeña perturbacion).

Si , la estructura se encuentra en

equilibrio neutro,es decir en posición recta o

ligermanete flexionada.

Ecuacion diferencial para el pandeo de columnas.

Se usara la ecuación de segundo orden(ecuación del

momento flector), por que su solución general suele

ser muy simple.

Puesto que no existe fuerzas horizontales en los soportes(cortantes) el eqilibrio de

momentos respecto de A es:

Por lo que se obtiene la ecuación diferencial de la curva de deflexxion:

Al resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se podrá determinar la magnitud

de la carga critica.

Solucion de la ecuación diferencial.

Por conveniencia se puede escribir la solución general, introduciendo la notación:

(11-6a,b)

Quedando asi la (11-5) :

(11-7)

Donde las soluciones son:

(11-8)

Donde, las constantes de integración se evalúan a partir de condiciones de frontera o

de extremo de columna.

Sea :

De esta ecuación concluimos que dos posibilidades.

Caso 1.

, la deflexión será 0, por lo que la columna permenece recta, en consecuencia el

valor de kL no es de importancia, en conclusión se dice, que el comportamiento es

igual al de una columna ideal .

Caso 2.

, que se satisface cuando

Sin embargo, como , significa que P = 0, y esta solución no es de interés,

Por tanto, las soluciones que se consideren son:

O también:

(11-10)

Esta formula da los valores de P, que satisfacen la ecuación de pandeo