Universidad de Santiago de Chile, Facultad de Ciencia, Departamento de

Física

Laboratorio Nº 1: Cinematica en una y dos dimensiones

Resumen

En el siguiente informe se trabajó con dos experimentos, para lo cual debimos hacer ambos montajes; el primero para determinar la ecuación itinerario del cuerpo con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en un plano inclinado (1). En la segunda experiencia se trabajó para lograr determinar la velocidad inicial de un proyectil lanzado (dos dimensiones) (2).

Objetivos:

Los objetivos de este experimento son los siguientes:

Desarrollar habilidades para hacer mediciones de tiempo, longitudes y en la determinación de valores medios de estas magnitudes.

Desarrollar habilidades en la utilización de la teoría de errores. Desarrollar habilidades en el tratamiento gráfico de resultados experimentales. Determinar la velocidad inicial del proyectil lanzado a un sensor, tomando en cuenta el

tiempo que demora en llegar hasta el impacto. Encontrar la ecuación itinerario de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado en un plano inclinado.

Introducción1.-Para determinar el movimiento de la partícula en una dimensión, consideramos

un sistema referencial determinando para éste una variable que dependerá del factor tiempo. Para ello la experiencia consiste en soltar (desde un plano inclinado) un carro del cual será medida su velocidad con la ayuda de un sensor de movimiento, otorgando también una gráfica que nos permita comprender el comportamiento de dicho movimiento (esto último con ayuda del programa DataStudio).

2.- Para determinar el movimiento de una partícula en dos dimensiones, consideramos un sistema referencial, de tal manera que al lanzar un proyectil, pueda ser medida la distancia recorrida siendo descompuesta en largo y alto, de tal modo que al usar una ecuación sea independiente del tiempo, logrando determinar la velocidad inicial del proyectil.

Reseña teóricaLa cinemática es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

Se ha llegado a partir del análisis de estos movimientos, que pueden ser en una o más dimensiones, a distintas ecuaciones que permiten determinar efectos tales como la posición, la velocidad y la aceleración de una partícula en un determinado tiempo.

Si el cuerpo o partícula se mueve constantemente sin ser acelerado, se denomina movimiento rectilíneo uniforme, y si el cuerpo se mueve en una línea recta con aceleración constante, se habla de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Las expresiones que describen este movimiento son:

x (t )=x0+v0t + 12

a t 2

Denominada ecuación de itinerario para el movimiento de una partícula en una dimensión, que

describe su posición en función del tiempo, donde x0 corresponde a la posición inicial de la

partícula, va la velocidad de esta, a corresponde a la aceleración y t al tiempo. De esta ecuación podemos obtener inmediatamente podemos obtener también la velocidad de esta partícula, aplicando derivadas obtenemos:

v (t )=v0+at

Que describe la velocidad del cuerpo en función del tiempo transcurrido.

Para un movimiento en dos dimensiones tenemos el Movimiento de Proyectil, en donde la aceleración es constante y es igual a la aceleración de gravedad “g”, vertical y dirigida hacia abajo.

Las ecuaciones itinerario para este tipo de movimiento son:

y (t )= y0+( v0sin φ ) t−12

g t 2

x (t )=x0+( v0 cosφ )t

Materiales

- (1): El aparataje empleado es bastante sencillo. Consiste en un carro, una superficie lisa que nos permita deslizar el carro, un soporte para esta superficie y un sensor de movimiento (Rango: 0,15m a 8m ; Presición:1,0mm) para analizar el comportamiento del carro mientras desliza, que se encuentra conectado a una interfaz.

- (2): Para el montaje de este experimento ocupamos una bola de acero, una rampla que describe un movimiento parabólico, diferentes soportes para dicha rampla, y dos fotopuertas (Rango: 1/10000 de segundos; Presición: 1,0mm) conectadas a una interfaz, que medían el tiempo de vuelo de la bola de acero.

Montaje, diseño del experimento

(1)

El experimento contaba de un carrito que se movía en un eje horizontal con una determinada pendiente, donde se calculaba la velocidad y la posición del objeto.

(2)

La experiencia trataba de demostrar un “tiro horizontal”, en donde tomamos los valores de la altura máxima, del alcance del cuerpo proyectado en x y del tiempo que tarda en realizar este movimiento.

Desarrollo del experimentoCon lo realizado en se obtienen 2 gráficos.

1. Posición vs Tiempo.

En este gráfico podemos ver el desplazamiento del carro en un determinado tiempo. A continuación podemos ver un ajuste cuadrático realizado para concluir los valores que representan a sus componentes en una ecuación.

Como podemos ver el gráfico nos muestra los valores para un “A, B y C” que representados de forma matemática y teniendo en consideración que se trata de una ecuación de segundo grado llegamos a una forma:

y ( x )=a x2+bx+c

Según los datos entregados nos queda:

x (t )=0.258t 2−0.855 t +0.861Estos datos son de gran importancia y nos ayudarán a establecer una relación con el

siguiente gráfico.

2. Velocidad vs Tiempo.

Este gráfico nos muestra la variación de velocidad con respecto al tiempo. Podemos ver que a medida que pasa el tiempo la velocidad aumenta, ya que la aceleración es responsable de este aumento. A continuación veremos un ajuste lineal de este gráfico.

Ahora podemos ver los valores para “m y b” que nos sirve para establecer una ecuación de primer grado de la forma:

y ( x )=mx+b

Quedando: v (t )=0.527 x−1.78

Experimento (2):Esta experiencia fue realizada en 6 ocasiones, de tal manera que los datos obtenidos

fueron:

H x T

0.500.550.600.650.700.75

0.3470.3550.3750.4050.4180.427

0.32550.34830.35800.38110.38950.4073

De lo cual se obtienen los siguientes gráficos que nos muestran la variación de altura con respecto al tiempo o la variación de la distancia versus el tiempo:

Podemos ver los valores para “m y b” que nos sirve para establecer una ecuación de primer grado de la forma:

y ( x )=mx+b

Quedando: x (t )=1.10 t−0.0176

Ahora podemos ver el gráfico nos muestra los valores para un “A, B y C” que representados de forma matemática y teniendo en consideración que se trata de una ecuación de segundo grado llegamos a una forma:

y ( x )=a x2+bx+c

Según los datos entregados nos queda:

y ( x )=5.08 x2−1.19x+0.317

Ahora podemos ver los valores para “A”, “B” y “C” que representados de forma matemática y teniendo en consideración que se trata de una ecuación de segundo grado llegamos a una forma:

y ( x )=a x2+bx+c

Según los datos entregados nos queda:

y (t )=4.51 t2−0.144 t+0.0621

Análisis de resultados:

Primero partimos de la base de que se trata de un cuerpo que posee una aceleración uniformemente acelerada y eso se puede presenciar con la gráfica de la velocidad cuya pendiente representa esta aceleración. Tomando esto como consideración calculamos el área de la gráfica bajo la curva entre el t0 y tf (tiempo inicial y final respectivamente) para ello establecemos subintervalos que nos permitan mantener una mayor exactitud en cuento a su área. De esta forma encontraremos una ecuación que corresponda a la velocidad (1), haciendo lo mismo de forma análoga al paso anterior llegaremos a una ecuación para la posición (2). Por último despejamos la variable independiente que es “t” de (1) y reemplazamos en (2) para finalmente tener una relación que es:

v2=v0+2 a( x−x0)

Esta ecuación relaciona la posición del objeto y su velocidad de forma independiente del tiempo. Hay que acotar que:

- v0: es la velocidad inicial que es un dato conocido, ya que sabemos que parte de una velocidad “0” por lo tanto es una constante

- a: corresponde a la aceleración que es un dato que nos proporciona el gráfico de la velocidad, ya que corresponde a su pendiente cuyo valor es 0.582 m/s2.

- x0 : corresponde a la posición inicial que consideraremos como 0.15 m.

Por lo tanto lo único que variará será “x” y “v2” que son los datos que nos interesan.

En el segundo experimento debemos tomar en cuenta que se trata de un “lanzamiento de proyectil” con un ángulo de inclinación igual a 0°, o también llamado “tiro horizontal”. Podemos ver que los valores de nuestra ecuación:

x (t )=1.10 t−0.0176

Satisfacen los de la ecuación para calcular “x” en función de “t” donde:x=t vo

Por lo tanto nuestra velocidad inicial estará dada por 1,10 metros por segundo.

Según los datos entregados en el segundo grafico nos queda:

y ( x )=5.08 x2−1.19x+0.317Desde los conocimientos previos esta ecuación correspondería a la ecuación independiente de t:

y=x tan∝−12

g x2 1

vo2 cos∝

Tras analizar el último gráfico nos da la siguiente ecuación:

y (t )=4.51 t2−0.144 t+0.0621Lo que satisface la ecuación:

y (t )=h−12

g t 2

Según esto nuestra altura inicial es 0.0621 metros.

Errores Experimentales:- Experimento (1):

Debemos considerar que en el gráfico podemos encontrar un error sistemático, ya que el carro no comienza desde una distancia de 0.15 metros, esto es producido por el sensor de movimiento que tiene un error de medición que considera como distancia mínima los 0.15 metros señalados.

- Experimento (2):El error más notorio dentro de este experimento fueron las gráfica obtenidas de las variables (y(t) vs t ) e (y(t) vs x(t)), las cuales sabemos, deberían haber dado una parábola bien definida, pero por diferentes errores de medición y precisión no se puede apreciar claramente. Afectan también la precisión de los implementos utilizados en el experimento.

Hipótesis, suposiciones sin comprobación:

- Experimento (1): En el desarrollo del primer experimento al darle un pequeño impulso al carrito de prueba se puede haber hecho de tal forma que en una alguna medida la dirección en la que sale el carrito por el riel no fue netamente recta y que al seguir esta dirección se puede haber visto afectado por una fuerza de roce en contra del movimiento del carrito. Además se da por hecho que el riel tiene una superficie lisa pero que en sectores no cumplen esta afirmación.

- Experimento (2): En el desarrollo se dio por hecho que la bolita caía en línea recta a la segunda fotopuerta, pero al lanzar la bolita a través de la rampla había en leve corrimiento en el punto que esta caía que puede haber afectado los valores del tiempo de la bolita, ya que esta tendría un mayor desplazamiento en el aire.

Conclusiones:

(1) Como pudimos observar en el experimento 1 llegamos finalmente a una ecuación que nos permitiese relacionar las variables que se nos presentaban que era la posición y la velocidad. Además pudimos observar que la aceleración se mantenía constante lo que nos permite concluir como dato extra, de que la superficie era lisa y su inclinación se mantenía con el tiempo, ya que de manera contraria tendríamos otro gráfico como resultado.

También debemos considerar que esta experiencia se da en una sola coordenada, ya que si bien el plano es inclinado, la partícula se mueve a través de una coordenada por lo cual concluimos que se trata del movimiento de una partícula en una dimensión.

(2) Con respecto al lanzamiento del proyectil llegamos a la conclusión que este es muy particular debido a que es acelerado en el eje y, en comparación con el eje x el cual es un movimiento rectilíneo uniforme, este detalle permite estudiar este movimiento por separado para poder comprenderlo y modelar su posición en función del tiempo. La unión de los datos de las

ecuaciones de posición de los ejes x e y permite formar la ecuación de la trayectoria del proyectil, la cual entrega el par coordenado de la posición y es independiente del tiempo.

Referencias:

- Física I, Luis Rodríguez Valencia, Cap. 6

- Libro de Introducción a la Mecánica: Cinemática en una y dos dimensiones.